1 các hằng đẳng thức cơ bản

1. Tìm các giá trị của  để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.. Công thức nhân đôi nh[r]

Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác

A Kiến thức cần nhớ

1 Các đẳng thức

a) sin2 xcos2 x1 b)

x x x

cos sin

tan  c)

x x x

sin cos cot 

d)

x

x 2

2

cos tan

1  e)

x

x 2

2

sin cot

1  f) tanx.cotx1

2 Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt

a) Hai cung đối b) Hai cung bù c) Hai cung khác 2

x x

x x

x x

x x

cot )

cot(

tan )

tan(

sin )

sin(

cos ) cos(

  

  

  

 

x x

x x

x x

x x

cot )

cot(

tan )

tan(

cos )

cos(

sin ) sin(

  

  

  

 

   

x x

x x

x x

x x

cot ) cot(

tan ) tan(

cos ) cos(

sin ) sin(

 

 

 

 

   

d) Hai cung khác  e) Hai cung phụ

x x

x x

x x

x x

cot ) cot(

tan ) tan(

cos )

cos(

sin )

sin(

 

 

  

  

   

x x

x x

x x

x x

tan

cot ; cot

tan

sin

cos ; cos

sin

    

   

   

  

    

   

   

  

 

 

B Bài tập

1 Tìm giá trị  để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ



 cos

1

; sin

1

  

 B

A

2 Xét dấu biểu thức sau:

a) sin123o sin132o b) cot304o cot316o

3 Rút gọn biểu thức sau:

a) 5tan540o 2cos1170o 4sin990o 3cos540o

b)

3 19 cos 13 tan 25 sin

3     

c) sin215o sin235o sin255o sin275o

e) 12 11 sin 12 sin 12 sin 12 sin 12 sin 12

sin2           

f) 12 11 cos 12 cos 12 cos 12 cos 12 cos 12

cos2           

g) 

                

a a a a

2 tan ) cot( cos )

sin(   

h) A 4a 2a a a

cos sin cos

sin  

 i) cos sin tan cos sin a a a a a B          

j) o o

o o o C 342 cot 252 tan 156 cos 530 tan ) 260 tan( 696 cos 2 2     

k)  

2 cot 13 cot tan 17

tan     

           

  b   b



l) 

                     x x x x x x x x cos cos cos cos sin sin sin sin

m) sin3a(1cota)cos3a(1tana)

n) b b b cot tan tan  o) a a a 4 cos sin cos

1 

p)                   x x x x x x cot ) cot( sin ) sin( ) cos( ) sin(       q) 2 ) cos( cos ) sin( sin                             

  x  x  x  x

r) 

                          

 a a a a a

2 tan ) tan( cos tan

sin     

t) tan50o.tan190o.tan250o.tan260o.tan400o.tan700o

4 Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh:

a) sin(AB)sinC;cos(BC)-cosA c)

-cotC B)

cot(A ; tan )

tan(AC  B  

b)

2 sin

C B cos ; cos

B A

sin   C   A d)

2 tan

B A cot ; cot

tanAC  B   C

5 Tìm giá trị lớn hàm số:

2 cos sin

cos

 

 

x x

x y

6 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng  x:

4 sin cos

3 sin cos

 

 



x x

x x

y

7 Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC

a) Cho sin2 Bsin2C2sin2 A Chứng minh A 60o

b) 2(acosAbcosBccosC)abcABC

c) Chứng minh: 0sinAsinBsinC-sinA.sinB-sinB.sinC-sinC.sinA1

Phần 2: Các công thức lượng giác I Công thức cộng

A Kiến thức cần nhớ

b a b a b

a

a b b a b

a

sin sin cos cos ) cos( )

cos sin cos sin ) sin( )

 



 



b a

b a b

a

tan tan

tan tan

) tan( )

  



B Bài tập

1 Chứng minh công thức sau:

a) 

  

   

       

 a a a

a

4 sin

cos sin

cos  

b) 

  

   

   

   

 a a a

a

4 sin

cos sin

cos  

2 Rút gọn biểu thức:

a)

   

   



   

   

a a

a a

4 sin sin

4 cos cos

b) cos10o cos11o.cos21o cos69o.cos79o

c) (tanatanb).cot(ab)tana.tanb

3 Chứng minh tam giác ABC ta có:

a) tanAtanBtanCtanA.tanB.tanC b)

1 tan tan tan tan tan

tanA B B C C A

c) cotA.cotBcotB.cotCcotC.cotA1 d)

2 cot cot cot cot cot

cot A B C  A B C

4 a) Cho

4    b

a , chứng minh: a

b b

tan tan

1 tan

 



b

a a

tan tan

1 tan

  



b) Cho

4



  b

a , chứng minh: (1tana)(1tanb)2 (1cota)(1cotb)2

c) Cho

n y a

m a x

 

 

) tan(

) tan(

Chứngminh:

ab b a y x

   

1 )

tan(

d) Cho

5 tan a ,

7

tanb (0a, b 1v) Tìm a + b

e) Cho

2

tana )

2

(  a tanb3 )

(  b Tìm a + b

f) Cho

3 tana ,

4

tan b (0a, b 1v) Tìm a - b

g) Cho

12 tana ,

5 tanb ,

3

tanb Chứng minh a + b + c = 45o

5 Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: o

15

12 

75ohoặc 12 5

6 Cho ,, thoả mãn điều kiện:

2

  

   Tìm giá trị lớn biểu thức:

  

 

.tan tan tan tan tan

tan

1    

 A

7 Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức

sau tam giác ABC cân:

a) (cot cot )

2 sin

sin

cos

cos 2

2

2

B A

B A

B

A  

 

b) A

C B

c) ( tan tan )

tan A a A b B b

a   d) tanA2tanBtanA.tan2B

II Công thức nhân đôi nhân ba A Lý thuyết cần nhớ

2 2

2

3

sin 2 sin cos

2 tan

cos cos sin sin cos ; tan

1 tan

sin 3sin sin ; cos cos 3cos

a a a

a

a a a a a a

a

a a a a a a



      



   

B Bài tập

1 Rút gọn biểu thức sau:

a)

a a a

a

a a

sin cos cos

3 sin

4 sin sin



   

   

   

  

b)

8 tan

1 tan2

  

c) cos20o.cos40o.cos80o d) 2sinacosa(cos2asin2a)

e) 4a 2a 2a 4a

sin cos

sin

cos   f)

2 cos sin

cos2a  a a

g) 18sin2acos2a h) 8cos10ocos20ocos40o

i) 4sin3acos3a4cos3asin3a j) 4sin44asin22a

k)

5 cos

cos  l) cos20ocos40ocos60ocos80o

m) tana2tan2a4tan4a8tan8a16tan16a32tan32a

n)

a a

a a

3 cos cos

3 sin sin

3

 

o)

a a

a a

3 sin sin

3 cos cos

 

2 Chứng minh:

a) a a a sin3a

4

sin

sin

sin 

      

  



  

Áp dụng với   a

b) 8sin3188sin2181

c)

32 cot 32 tan 16 tan tan

8       

d) tan236otan272o 5

e) a a a cos3a

4

cos

cos

cos 

  

   

   

  

Tính:

18 cos 18 cos 18

f)

a a a

a 2

3

tan

tan tan 3 tan

  

g) a a a tan3a

3 tan

tan

tan 

  

   

   

  

Chứng minh:

5 10

1 66

tan 54 tan tan

  

o o

o

3 a) Cho sin ( , 0) 

 a b

b a

ab

 Tìm sin2, cos2, tan2

b) Cho 2

1 cos

a a  

 Tìm sin2, cos2, tan2

c) Cho

4 cos

sin   Tìm sin2, cos2, tan2

4 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau:

a) 

      

      

4 sin

sin x  x 

y b) ycos4xsin4x c) y18sin2xcos2x

III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo

2 tana t  A Lý thuyết cần nhớ

a a

a a

2

sin 2 cos

cos 2 cos

 

 

2

1 sin

t t a



 22

1 cos

t t a

 

 2

1 tan

t t a

 

B Bài tập

1 Chứng minh biểu thức sau:

a)

2 tan

sin sin

2 sin sin

2 2a

a a

a

a 

 

b) 

  

   

 

 

a a

a

a a

4 tan

cos sin

2 cos sin

1 

c)

2 cos ) cos (cos

) sin

(sina b 2 a b  2ab d) a a 2cota

cot

tan  

e) 

  

   

 

2 cot sin

1 sin

1 a

a

a 

f) tan7o30' 3 2 21

g)

2 cos ) cos (cos

cos ) sin (sin

h)

2 sin ) cos (cos

) sin

(sina b  a b  ab i)

a a

a a

sin

2 sin

sin

2 sin

    

   

    



  

)

(  a

2 Rút gọn biểu thức sau:

a) cos

2 2



 (0 ) b) cos

2 2



 (0 )

c)

2 cot

2 cot

2 a

a



d)

4 tan cot

2 tan cot

a a

a a

 

e)

2 tan

2 tan

2 tan

2 tan

a a

a a

  

f)

2 tan

1

2 tan

1

a a

  

g)

 

 

sin sin

2 cos cos

1

  

h)

  



cos

cos cos

2 sin

 

3 Tìm giá trị biểu thức

a)

a a cos

sin

 biết tan22 a

b)

a a

a a

sin tan

sin tan

 

Biết

15 2 tana 

4 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:

a) y2cos2xsin2x b) y2sin2xcos2x c) 2 ) cos (sin

4

sin x x x

y  

     

 

IV Công thức biến đổi tổng tích A Lý thuyết cần nhớ

1 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

   

 

1

sin cos sin( ) sin( ) ; cos cos cos( ) cos( )

2

1

sin sin cos( ) cos( )

2

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

       

   

2 sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin sin b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a                  b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a sin sin ) sin( cot cot sin sin ) sin( cot cot cos cos ) sin( tan tan cos cos ) sin( tan tan             

B Bài tập

1 Rút gọn biếu thức

a) cosacos(ab)cos(a2b) cos(anb)(nN)

b) a a a a a a a a sin sin sin sin cos cos cos cos       c) a a a a a a sin sin sin cos cos cos     d) a a a a cos cos cos cos                   e) cot cot cos cos a a a a                 

f) a a a cos2a

2 cos cos

cos   g) cos23cos21cos4cos2

h) sin1osin91o2sin203o(sin112osin158o) i)

) 140 sin 130 (sin 185 sin 125 cos 35

cos o o o o o

j) sin20osin40osin60osin80o k) tan20otan40otan60otan80o

2 Chứng minh:

a) 16 80 sin 60 sin 40 sin 20

sin o o o o 

b) na

d)

2 sin

2 ) ( cos sin cos

cos cos cos

a a n na

na a

a a

 

  



3 Chứng minh tam giác ABC ta có:

a)

2 cos cos cos sin sin

sinA B C A B C

b)

2 sin sin sin cos cos

cosA B C  A B C

c) sin2Asin2Bsin2C2(1cosAcosBcosC)

d) cos2Acos2Bcos2C12cosAcosBcosC

e)

2 cos sin sin sin sin

sinA B C A B C

f)

2 sin cos cos cos cos

cosA B C A B C 

g) sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC

h) cos2Acos2Bcos2C14cosAcosBcosC

i) sin2 Asin2Bsin2C 2sinAsinBcosC

4 Chứng minh bất đẳng thức: (sin sin )

1

sinxy  x y với 0 yx, 

5 Tính giá trị biểu thức sau:

a)

16 sin 16 sin 16 sin 16

sin4        b) tan67o5'cot67o5'cot7o5'tan7o5'

c) cos5ocos55ocos65o d)

11 cos 11 cos 11 cos 11 cos 11

cos        

6 Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a) 

  

   



2 cos sin sin

4 x x  x với

2 3

  x b)

x x x

x cos 4cos cos2

cos

c)    

   

   

  

 x x

x

3 cos

cos

cos2   d)

   



 

    



 

 x x

x

3 sin

2 sin

sin2  

7 Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là:

B A

C B

A

cos cos

sin sin

sin

  

8 Chứng minh góc ABC thoả mãn:

2 cos cos

cosA B C

tam giác

9 Chứng minh cạnh góc ABC thoả mãn hệ thức:

a c b B A cos  

cos tam giác tam giác vuông

10 Cho tam giác ABC

2 tan tan

5 A B  Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b)

Phần 3: Phương trình lượng giác I Phương trình lượng giác A Lý thuyết cần nhớ

1 Phương trình: sin xsin

  

 

2

k x

k x

  

 

Phương trình: cos xcos



 k2

x 

3 Phương trình: tanx tan k Phương trình: cotx cot k

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a)

2

3

sin 

  



 

x b) sin(3x - 2) = -1 c)

5 cos

2 

  

  

x

d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) =

3

tan f) cot(45o - x) =

3

g) sin3x - cos2x = h) x cos3x

2

sin 

  

   

i)

0 cos

5

sin 

  



 

    



   

j) cos(2 30 )

cosx  x o k) cos2x = cosx l) 

  



 

    

  

4 sin

sin  x x 

m)

12

sin 

  



 x  n)

2 12

sin 

  



 

x o)

2

6

cos 

  



 

x

p) cos( x5 )1 q) tan(3  x6 )1 r) tanx6

s)

3

4

tan 

  



  x t) 12

6

cot 

  



   x

u)

3

7 12

cot 

  



   x

v)  

2

12

sin  x  w) cos2xasin3x x) sin(3xb)cos5x

y) 

  



 

    



 x x

6 cot

tan   z)   

  



 



x 7x

12 tan

cot  

II Phương trình bậc hàm số lượng giác A Lý thuyết cần nhớ

Là phương trình bậc hay bậc hai hàm sinx, cosx, tanx hay cotx Phương pháp: Đặt ẩn phụ t giải phương trình bậc hay bậc với t

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) 3sin22x7cos2x30 b) 6cos2 x5sinx70 c)

0 sin

cos x x 

d) cos2xcosx10 e) 6sin23xcos12x14 f) 4sin4 x12cos2 x7

g) 8sin2xcosx5

2 Giải phương trình lượng giác:

a)

5 cot

3 

  

  

x b)

4

tan2 

  

  

x

c) 7tanx4cotx12 d) cot2 ( 31)cot  30 x

x

III Phương trình bậc sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: asinx cosb xc

Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 b

a  đặt:

2

cos

b a

a  

 ;

2

sin

b a

b  



Đưa phương trình dạng: cossinxsincosxsin sin(x)sin Giải

tìm x B Bài tập

1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y(2 3)sin2xcos2x b) y(sinxcosx)22cos2x3sinxcosx

c) y(sinx2cosx)(2sinxcosx)1 d)

4 sin cos

3 sin cos

 

 



x x

x x

y

2 Giải phương trình sau:

a) 4sinx3cosx5 b)

2 sin cos

3 x x

c) 3sin2x2cos2x3 d) 2sin2x3cos2x 13sin14x

e) 4sinx3cosx2 f) sinx 3cosx1

3 Tìm giá trị    

    ;

4

x thoả mãn phương trình sau với m:

x x x

m x m x m x

m2sin  sin2  2cos  cos2 cos sin

4 Tìm giá trị  để phương trình:

a) (cos3sin 3)x2 ( 3cos3sin2)xsincos 30 có nghiệm

x =

b) (2sincos21)x2 ( 3sin)x2cos2(3 3)sin 0 có nghiệm x =

3

5 Giải phương trình:

a)

14 sin cos 12

5 sin

5 cos

12  

 

 

x x

x

x

b) (4sinx5cosx)213(4sinx5cosx)420

c)

1 sin cos

6 sin

4 cos

3 

 

 

x x

IV Phương trình sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: asin2xbsinxcosxccos2xd

- Nếu cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm

- Nếu cos x Chia vế phương trình cho cos2 x tiến hành giải phương

trình bậc hai tanx: (ad)tan2xbtanxcd0

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) sin2 x2sinxcosx3cos2 x0 b) 6sin2 xsinxcosxcos2 x2

c) sin2x2sin2 x2cos2x d) 2sin22x2sin2xcos2xcos22x2

e) cos( )

2 sin cos ) sin( cos sin

4   

  



 

 

    



 x x x x x

x    

f)

2 cos cos sin sin

3 x x x x

2 Giải phương trình sau:

a) 2sin3 x4cos3x3sinx

b) 

  

   

 

   



 

2 sin cos sin cos sin 2 cos sin

3 x  x x x x x x 

3 Số đo độ góc tam giác vng ABC nghiệm phương

trình:

0 cos sin sin

sin3 x x x 3x Chứng minh tam giác ABC vuông cân

V Phương trình đối xứng sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: a(sinxcosx)bsinxcosxc

Cách giải: Đặt t sin x cosx, ta có: | t| t2 12sinxcosx1sin2x Thay

vào phương trình giải t

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) cotxtanxsinxcosx b) 2sinxcotx2sin2x1

e) x x sin4x cos sin

1   f) (1cosx)(1sinx)2

VI Một số dạng phương trình lượng giác khác Giải phương trình lượng giác sau:

a)

4 cos

cos x x  b) (tan cot )

2

sin cos

sin4

x x x

x x

 



c) 4cos2x3tan2x4 3cosx2 3tanx40 d) 1sinx 1sinx 2cosx

e)

2 sin sin cos

sin 2 

  

   

 x x

x

x  f)

2 cos

2 tan

2

1   

x x

g) (46m)sin3x3(2m1)sinx2(m2)sin2xcosx(4m3)cosx0 (Biện luận

theo m)

h) 1tan2x2tanxtan2x i) sin4x2cos2x1

j) 8cos4xcos4x1 k)

2 cos sin cos

1 x x x

l)

2 sin

sin2  

x

x m) tanxtan2xsin3xcosx

n) tanx3cotx4(sinx 3cosx) o) sin3xcos3xcos2x

p) sin4xtanx q) sin4x4sinx(cos4x4cosx)1

r) 3(cotxcosx)5(tanxsinx)2 s) cos7x 3sin7x

t) tanx2 2sinx1 u) 2cos3xsin3x

v)

x x x

sin

cos tan2

 

 w) (sin cos )

6 cos

sin6x 6x 4x 4x

x) x

x x

x x

4 cos

4 tan

tan

2 cos

sin

4

    

   

     





 y)

1

4 tan

tan

cos

sin6

         

     



x x

x x

 

z) cos2xsin2x2cosx10

2 Giải phương trình lượng giác sau:

a) x

x x

2 sin tan

tan

  



b)

x x

x

sin cos

1

sin

2  

  

  

e) sin

5 sin

 x x

f)

2 sin sin sin cos cos

cosx x x x x x 

g) sin24xcos26xsin(10,5 10x) Tìm nghiệm thuộc khoảng      

2 ; 

h) x x x x cos2x

4 ) cos (sin

2 cos

sin8   10  10  i)

x x

x 2cos 2 2cos2

sin

3   

j)

2 3 sin sin

sin2 x x x k)

x x

x

cos cos

sin

3  

l) cot2x tan2x2tan2x1 m) 2cosx 2sin10x3 22cos28xsinx

n) sin2x2cos2x1sinx4cosx o) sin2x2tanx3

p) x x x sin4x

2 cos ) cos cos

1

(    q)

1 cot

) sin (cos 2

cot tan

1

  

 x

x x x

x

r) x 2sinx

4 sin3 

     

s) 2cos6x2 2sin3xsin3x6 2cos4x10

t) cos3xsin3xsin2xsinxcosx u) 34cos2xsinx(2sinx1)

v) 3sinxcosxcos2xsin8x w)

x x

x x

x

xcot cot3 tan cot cot3

tan2   

x)

tan

cos cos

2

 



x x x

y) 

  

   

   



 

x x

x

4 sin sin

3

sin  

z) sinxcosxcos2x

3 Giải phương trình lượng giác sau:

a) 9cotx 3cotx20

b) cos2 sin 10 x x

c) sin3x2cos2x20 d) sin3xsinxsin2x0

e) cos2x3cosx20 f) 3cos4 2cos23 1 x x

g) 13cosxcos2xcos3x2sinxsin2x h) tanxtan2xsin3xcos2x

i)

x x x

cos cos

tan2   j) x x sin4x

2 cos sin

1  

m)

8 ) ( sin ) ( sin

sin4 x x  x  n) 2cos sin

1 sin

 

 x x

x

o) cos3 xsinx3sin2xcosx0 p) 2sin3xcos2xsinx

q) 3cosx 1cosx 2 r) sinxcosx2sinx2cosx2

s)

16 cos cos cos

cosx x x x t) sin2 xsin23xcos22xcos24x

u) sin3x(cosx2sin3x)cos3x(1sinx2cos3x)0

v)

2 cos cos

) sin ( tan tan

3 2 

  

   

 

 x

x x x

x 

w) 2cos3 xsin3x

x) cos2x 3sin2x 3sinxcosx40

y) cos2xcos2x 1tanx z) 3cot2 x2 2sin2x(23 2)cosx

4 Giải phương trình sau:

a)

cos cos 2 cos sin

tan 

  



 

 



x x

x x

x b) 4(sin3xcos2x)5(sinx1)

c) 2cos2xsin2xcosxsinxcos2x2(sinxcosx)

d) tanxsin2x2sin2x3(cos2xsinxcosx) e) sin2x(cotxtan2x)4cos2x

f) (1 cot2 cot )

sin cos

1

48 4  2  x x 

x

x g) sin x cos x cos4x

6

6  

h) cos3 xcos2 x2sinx20 i)

2 tan cos

2 x  x

j) cos3x 2cos23x 2(1sin22x) k) sinxsin2xsin3x0

l) cotxtanxsinxcosx m) sin3xcos2x12sinxcos2x

n)

x x

x

cos cos cos

2    o)

4 cos sin

3 sin cos

3

cos x 3x x 3x x

p) 9sinx6cosx3sin2xcos2x8 q) sin3 xcos3xcos3xsin3xsin34x

r) x x 3x 4x x x 3x 4x

cos cos

cos cos

sin sin

sin

sin       

s) 2sin2 xsinxcosxcos2 x1 t) cos

sin

1 cos

sin2   

x x

x x

u) 2sin3xcos2xcosx0 v) 1cos3xsin3xsin2x

y) cos2xsin3xcosx0 z) cosxsinx|cosxsinx|1

5 Giải phương trình sau:

a) 2cos2x5sinx b) sin3xcos3x2(sin5xcos5x)

c) sin2 xcos22xcos23x d) x cos3x

cos

8 

     

e) |sinxcosx||sinxcosx|2 f) 2sinxcotx2sin2x1

g) x x cos 2x

8 13 sin

cos6   h) 13tanx2sin2x

i) sin3xcosxcos2x(tan2xtan2x) j) 9sin2x9cos2x 10

k) 4cos3x3 2sin2x8cosx l) x cosx

1

2





m) x 2sinx

4 sin3 

     

n)

5 sin

3

sin x  x

VII Hệ phương trình lượng giác

1 Giải hệ phương trình lượng giác sau:

a)

3 tan tan



 



y x

y x

b)

y x

y x

tan tan

3

4 cos sin

 

c)

6 tan tan

3 tan tan

    

z y

y x

z y

x 

d)

2 cos

cos

2 sin

sin

 

 

y x

y x

e)

y x x

y x x

sin sin cos

cos cos sin

2

 

f)

1 cos cos

1 tan tan tan

tan

  

 



x y

y x x y

g)

       



   

   



4 sin cot tan

4 sin cot tan

 

x y

y

y x

x

h)

4 sin cos

2 cos

sin

2

2  

 

y x

y x

VIII Các dạng tập khác

1 Tìm tất nghiệm phương trình 15sinx2cos2 x0 thoả mãn cos x

3 Chứng minh tam giác ABC có ba góc thoả mãn:sin2 Asin2 Bsin2Cm Nếu

m = tam giác ABC vng, m > ba góc A, B, C nhọn m < tam

giác có góc tù

4 Cho góc tam giác ABC thoả mãn:

2 sin 2 sin sin sin sin

sinA B C A B  C

Chứng minh số đo góc C 120o

5 Hai góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan A

tan  B  Chứng minh rằng:

1 tan



 C

6 Biện luận theo tham số a số nghiệm PT:

| | | | cos

sin

2x2 x x2 x a  a

7 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC có hệ thức:

3 ) cot cot

(cot sin

1 sin

1 sin

1

 

 



 A B C

C B

A

8 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

0 cos

cos

cos A B C  tam giác tam giác vng

9 Chứng minh tam giác có: (b2c2)sin(CB)(c2b2)sin(CB)thì tam

giác vng cân

10 Tìm giá trị lớn hàm số: y5cosxcos5x   ;

 

11 Cho phương trình:

x m

x m x m

x m

sin

2 cos cos

2 sin

  

 

a) Giải phương trình m =

b) Khi m0 m 2, phương trình có nghiệm nằm đoạn

] 30 , 20

[  

12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

2 cot cot

2bac A C 

13 Cho tam giác ABC có:

2 tan A tan

5 B  Chứng minh rằng: 3c2(ab)

15 Tìm giá trị x(0,2) cho cosxsinxcos2x0

16 Tìm t để phương trình sau có nghiệm x[0,]: t x

x 

 

2 sin

1 sin

17 Cho tam giác ABC Chứng minh:

S c b a C B

A

4 cot

cot cot

2 2  

 



18 Chứng minh với

2

0 x thì:

3 tan sin

2

2 x x  x

19 Cho tam giác ABC thoả mãn:

2 cos cos

cos 

 

 

c b a

C c B b A a

Chứng minh tam giác

ABC

20 Tìm giá trị lớn hàm số: (cos4 cos8 )

1 ) cos sin (

2 x x x x

y   

21 Giải phương trình sau: 9cotx 3cotx20

22 Cho tam giác ABC thoả mãn:

C B

a C

c B b

sin sin cos

cos   Chứng minh tam giác

ABC vuông

23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta ln ln có: cosAcosBcosC1 24 Chứng minh tam giác ABC vuông cân

B b A a A b B

acos  cos  sin  sin

25 Chứng minh tam giác ABC có:

2 cot tan

tanA B C tam giác ABC

cân

26 Tìm giá trị lớn bé hàm số đoạn:

2 cos sin  

 x x

y

27 Cho ysin25x Tính y(n)

28 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:

x x y

cos

sin

 



29 Tìm giá trị lớn bé hàm số: 1

4 cos

2

sin 2 2 

   

x x x

x

y

30 Xác định m để phương trình sau có nghiệm      

4 ;  :

0 cos

sin

cos2 x x xm 

31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Pcot4acot4b2tan2atan2b2

32 Với giá trị a phương trình: 1sin2nacosxcó nghiệm

33 Tìm m để bất phương trình: 2sin2  cos 30 x

m

x nghiệm 

      

2 ; 

x

34 Tính góc tam giác ABC góc thoả mãn:

0 ) cos

(cos

cos A B C  

35 Cho tam giác ABC thoả mãn:

2 B A b)tan (a

btanB A

tan    

a Chứng minh tam

giác ABC cân

36 Chứng minh tam giác ABC tù cos2 Acos2 Bcos2C 1

37 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn

a c b C B cos  

cos tam giác

ABC vng

38 Cho phương trình: cos3xsin3xksinxcosx

a) Giải phương trình với k

b) Với giá trị k phương trình có nghiệm

39 Giải biện luận phương trình:

2 sin cos

) sin (cos

2m x x  m2  x x

40 Cho phương trình: cos2xm(cos2x) 1tanx

a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm đoạn

41 Chứng minh ) ; (  

x ta có:

cos sin

1 cot

tan sin

cos      

x x

x x x

x

42 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: ysin20xcos20x

43 Chứng minh

2 cot , cot ,

cot A B Ctheo thứ tự lập thành 1cấp số cộng

3 cot

cot A C 

44 Tìm giá trị nhỏ hàm số:

x x

y

cos sin

1 

 với 

     

2 ; 

45 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn ( tan tan )

tanC a A b B

b

a  

cân

46 Tìm m để hàm số sau xác định với x: f(x) sin4xcos4x2msinxcosx