06_NEU_TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226

Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo BÀI PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Phép nhân ma trận với ma trận;  Ma trận nghịch đảo;  Ứng dụng ma trận nghịch đảo Mục tiêu  Sinh viên nắm định nghĩa phép hệ phương trình Cramer  Hiểu áp dụng thành thạo việc giải hệ phương trình Cramer theo hai phương pháp: Phương pháp ma trận nghịch đảo phương pháp Cramer  Nắm mơ hình cân thị trường Áp dụng vào tập  Nắm mơ hình cân kinh tế vĩ mơ áp dụng vào tập liên quan 54 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Tình dẫn nhập Tính doanh thu cửa hàng Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên gạo Tám Thái Lan với giá tương ứng 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg 19.000 đồng/1kg Trong tháng đầu năm, cửa hàng bán số lượng cụ thể sau: Đơn vị: kg Loại gạo Tháng Bắc Hương 345 340 350 Tám Điện Biên 315 330 370 Tám Thái Lan 430 425 425 Hãy sử dụng ma trận, tính doanh thu cửa hàng tháng TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 55 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo 5.1 Phép nhân ma trận với ma trận 5.1.1 Định nghĩa phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận:  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  A =  21 ,     a m1 a m1 a mn   b11 b12 b b 22 21 B=     b n1 b n2 a1p  a 2p    a np  Trong ma trận A có số cột số dịng ma trận B Định nghĩa: Tích ma trận A ma trận B ma trận cấp m×p, ký hiệu AB xác định sau  c11 c12 c c 22 21 AB =    c m1 c m2 c1p  c2p    cmp  Trong đó: cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) Để thực phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa bạn cần lưu ý điểm sau đây: Tồn tích AB số cột ma trận đứng trước (ma trận A) số dòng ma trận đứng sau (ma trận B); Cấp ma trận AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dịng số dòng ma trận A số cột số cột ma trận B Tính phân tử ma trận AB; Phần tử cij thuộc dòng i cột j ma trận AB tích dòng thứ i ma trận A với cột thứ j ma trận B theo quy tắc nhân dòng với cột sau: [x1 x  y1  y  x n ]   = x1 y1 + x y +  + x n y n      yn  Ví dụ 1: Cho ma trận  2  A =   , B =  1 3  5 1  1    5 1 1 Trong trường hợp tích AB có nghĩa số cột A số dịng B 3, tích BA khơng có nghĩa số cột B (ma trận đứng trước) 4, số dòng A (ma trận đứng sau) 56 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ma trận AB ma trận cấp 3×4:  c11 c12 AB = c 21 c 22  c31 c32 c13 c 23 c33 c14  c 24  c34  Để tính phần tử thuộc dịng thứ AB ta lấy dòng thứ A nhân với cột B theo quy tắc nhân dòng với cột: 0 c11 = 3  2   = 3.0 + 1.1 + (  2).(  5) = 11  5 2 c12 = 3  2   = 3.2 + 1.3 + (  2).(  1) = 11  1  5 c13 = 3  2   = 3.(  5) + 1.0 + (  2).4 =  23   1 c14 = 3  2  1 = 3.1 + 1.(  1) + (  2).1 =   Để tính phần tử thuộc dòng thứ hai AB ta lấy dòng thứ hai A nhân với cột B: c 21 = 2.0 + 5.1 + 4.(  5) =  15 c 22 = 2.2 + 5.3 + 4.(  1) = 15 c 23 = 2.(  5) + 5.0 + 4.4 = c 24 = 2.1 + 5.(  1) + 4.1 = Để tính phần tử thuộc dịng thứ ba AB ta lấy dòng thứ ba A nhân với cột B c31 = (  1).0 + 0.1 + (  3).(  5) = 15 c32 = (  1).2 + 0.3 + (  3).(  1) = c33 = (  1).(  5) + 0.0 + (  3).4 =  c34 = (  1).1 + 0.(  1) + (  3).1=  Kết là:  11 11 23  AB =  15 15 1  15 7 4  TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 57 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ví dụ 2: Cho ma trận:  1 1 A =  5 , B =  2   0  7 1    1 Hai ma trận cho hai ma trận vng cấp Theo quy tắc nhân ma trận AB BA có nghĩa hai tích ma trận vng cấp Bạn tự tính tốn phần tử ma trận tích đối chiếu với kết sau đây: 15 9   13  2    AB =  66 3 , BA =  66 41 3 19 36 4   Chú ý: Trong phạm vi ma trận vng cấp ta nhân hai ma trận tích hai ma trận vuông cấp n ma trận vuông cấp n Tuy nhiên, phạm vi ma trân vng cấp phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn (ví dụ trường hợp AB ≠ BA) 5.1.2 Các tính chất phép nhân hai ma trận Phép nhân ma trận với ma trận có tính chất sau Chúng bỏ qua phần chứng minh Bạn cần đọc kỹ để hiểu xác nội dung tính chất (1) Tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC) Trong A, B, C ba ma trận thỏa mãn điều kiện: số cột A số dòng B số cột B số dịng C Do phép nhân có tính chất kết hợp, viết tích ba nhiều ma trận ta bỏ dấu ngoặc (2) Tính chất phân phối phép nhân hai ma trận phép cộng: A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD Trong B C hai ma trận cấp có số dịng số cột ma trận A số cột số dòng ma trận D (3) Với A, B hai ma trận cho tích AB có nghĩa α số ta có: α(AB) = (αA)B = A(αB) Tính chất cho ta quy tắc: Khi nhân số với tích hai ma trận ta nhân số với hai ma trận (4) Tính chất nhân với ma trận đơn vị AE = A, EB = B Đặc biệt, tập hợp ma trận vng cấp ta ln có: AE = EA = A (5) Ma trận chuyển vị ma trận AB (khi tích AB có nghĩa) tích ma trận chuyển vị B với ma trận chuyển vị A: (AB)’ = B’A’ (6) Định thức tích ma trận vng cấp tích định thức chúng: AB = A B 58 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Chú ý: Tính chất thứ sáu mở rộng cho tích số hữu hạn ma trận vuông cấp: A1A A n = A1 A A n Đối với ma trận vuông, ta sử dụng ký hiệu lũy thừa nguyên dương sau: A2 = AA, A3 = AAA, An = AA…A (n lần) Từ tính chất suy ra: An = A n 5.2 Ma trận nghịch đảo 5.2.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo Như ta biết, tập hợp tất số thực số giữ vai trò phần tử trung hòa phép nhân (a.1 = a, a  R) gọi số đơn vị Trong tập hợp tất ma trận vuông cấp, ma trận đơn vị E có vai trị tương tự: AE = EA = A Trong số học, số nghịch đảo số thực a ≠ số thực a–1 thỏa mãn điều kiện a.a–1 = Khái niệm ma trận nghịch đảo ma trận vuông định nghĩa tương tự Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: AX = XA = E Chú ý khái niệm ma trận nghịch đảo áp dụng cho ma trận vuông Từ định nghĩa ta suy ma trận vng A có ma trận nghịch đảo có ma trận nghịch đảo Thật vậy, giả sử X Y ma trận nghịch đảo ma trận A, tức là: AX = XA = E AY = YA = E Khi ta có: X(AY) = XE = X (XA)Y = EY = Y Do phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức suy X = Y Như vậy, ma trận vng A có ma trận nghịch đảo ma trận nghịch đảo xác định Ta dùng ký hiệu A–1 để ma trận nghịch đảo ma trận A Theo định nghĩa ta có: AA–1 = A–1A = E Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo ta cịn nói A ma trận khơng suy biến 5.2.2 Ma trận phụ hợp ma trận vuông Trước đề cập đến điều kiện tồn ma trận nghịch đảo ta đưa vào khái niệm sau: Định nghĩa: Ma trận phụ hợp ma trận vuông cấp n TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 59 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  21  A=     a n1 a n2 a nn  ma trận vuông cấp n, ký hiệu A*, có phần tử thuộc dòng i cột j phần bù đại số phần tử aji ma trận A:  A11 A 21 A A 22 * * A = a ij  =  12 nxn    A1n A 2n A n1  A n2    A nn  (5.1) Để lập ma trận phụ hợp A* ma trận vng A ta phải tính phần bù đại số Aij tất phần tử aij xếp Aij vào dịng j, cột i A* Ví dụ: Lập ma trận phụ hợp ma trận  2  A =  1 5  6 2  Giải: Trước hết ta tính phần bù đại số tất các phần tử A11 = + A 21 =  A31 = 1 1 = 26, A12 =  = 33, A13 = + = 8 6 2 2 6 2 3 2 =  16, A 22 = + =  20, A 23 =  =4 6 2 2 6 2 2 =  14, A32 =  3 2 =  17, A33 = + =4 1 1 Ma trận phụ hợp ma trận A là:  A11 A =  A12  A13 * A 21 A 22 A 23 A 31   26 16 14  A 32  =  33 20 17  A 33   8 4  Giữa ma trận vuông A ma trận phụ hợp có mối liên hệ với thể định lý sau: Định lý: Tích ma trận vuông A với ma trận phụ hợp A* tích ma trận đơn vị E với định thức ma trận A:  d   d   (d = A ) AA* = A*A = dE =       0 d  60 (5.2) TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ví dụ: Với A cho ví dụ ta có d = |A| = −4 Với ma trận phụ hợp tìm bạn thử thực phép nhân để kiểm tra kết sau  4 0  AA = A A  4   0 4  * 5.2.3 * Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Như ta biết, số thực a có số nghịch đảo a ≠ Đối với ma trận vuông ta có kết tương tự: Định lý: Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo d = |A| ≠ Khi ma trận nghịch đảo ma trận A xác định theo công thức:  A11 A 21  A 22 1 A A 1 = A*   12 d d    A1n A 2n A n1  A n2    A nn  (5.3) Một ma trận vng có định thức khác gọi ma trận không suy biến Định lý khẳng định điều kiện không suy biến điều kiện cần đủ để ma trận vng có ma trận nghịch đảo Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông cấp a b  A=   c d Giải: Muốn biết ma trận nghịch đảo có tồn hay khơng ta phải tính định thức A: |A| = ad – bc Nếu ad – bc = ma trận A khơng có ma trận nghịch đảo Khi ad – bc ≠ ta có: A -1 =  A11 A 21  * A= A ad  bc  A12 A 22  d   d b    ad  bc = =   a  c ad  bc  c   ad  bc  b  ad  bc   a  ad  bc  Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận  4 A   3  3 1 Giải: Trước hết ta tính định thức ma trận A d= TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 1 3 3 =  + +  (  36   12) = 60 1 61 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ma trận A có ma trận nghịch đảo: A 1  A11 *  = A = A12 60 60   A13 A 21 A 22 A 23 A 31  A 32  A 33  Ta tính phần bù đại số: A11 = 3 A 21 =  A 31 = 1 = 3, A12 =  3 3 1 =10, A13 = 3 =11 4 = 9, A 22 = = 10, A 23 =  = 7 1 3 1 3 4 =  15, A 32 =  = 10, A 33 = =5 3 3 Ma trận nghịch đảo ma trận A cho là: A 1 1   15  20  = 10 10 10  =    60 11 7 5   11  60 20  60 1    1 6  1 12  Ví dụ 3: Cho ma trận  3   1 1  B=  3 4 1    m Hãy tìm điều kiện m để ma trận B có ma trận nghịch đảo Với điều kiện đó, tính phần tử thuộc dịng thứ hai cột thứ ba ma trận B–1 Giải: Trước hết ta tính định thức ma trận B 3 3 3  3   1 1 1 7 1 7    3(m  2) B=  3 4 1 11 10 0 3   0 m2  m  1 7 m  Ma trận cho có ma trận nghịch đảo khi: B = 3(m + 2)   m  2 Khi m ≠ –2 ta có: B1 = 62 B* 3(m+2) TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Phần từ thuộc dòng thứ hai cột thứ ba ma trận phụ hợp B* phần bù đại số phần tử thuộc dòng thứ ba cột thứ hai ma trận B: 3 b 23 = B32 =  1 * = 7m + 14 m Gọi x23 phần tử thuộc dòng thứ hai cột thứ ba ma trận B–1, ta có: x 23 = 5.2.4 B32 7m + 14 = = 3(m + 2) 3(m + 2) Các tính chất ma trận nghịch đảo (1) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo (A−1) −1 = A, |A−1| = |A|−1 Điều suy trực tiếp từ định nghĩa ma trận nghịch đảo (2) Nếu hai ma trận vuông cấp A B có ma trận nghịch đảo ma trận AB có ma trận nghịch đảo và: (AB) −1 = B−1A−1 Thật vậy, theo tính chất phép nhân ma trận, ta có: (B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1EB = B−1B = E; (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AEA−1= A−1A = E Theo định nghĩa điều chứng tỏ B−1A−1 ma trận nghịch đảo ma trận AB 5.3 Ứng dụng ma trận nghịch đảo Trong đại số sơ cấp ta biết phương trình bậc ax = b (a ≠ 0) có nghiệm nhất: x= b = ba 1 a Tương tự, tập hợp ma trận vuông cấp n (n cố định) ta xét phương trình: AX = B (5.4) YA = B (5.5) Trong A B ma trận cho trước Xét trường hợp ma trận A có ma trận nghịch đảo Trong trường hợp này, nhân hai vế phương trình (5.4) với A−1 bên trái ta được: X = A−1B (5.6) Tương tự, nhân hai vế phương trình (5.5) với A−1 bên phải ta được: Y = BA−1 (5.7) Như vậy, ma trận A có ma trận nghịch đảo phương trình (5.4) (5.5) có nghiệm xác định theo công thức (5.6) (5.7) TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 63 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ví dụ: Cho hai ma trận 2 0 A =  1 1 , B =  2   1 5  3      Do det(A) = nên ma trận A có ma trận nghịch đảo: A 1 1  1 1 =  4 2  10 5 5 Phương trình AX = B có nghiệm ma trận: 1  1 5  1 1 X  A B   4 2  3 10 5 5  0 11     5 11    1 9 47      9 9 47     5 5  20 15 65   13  4 3   1 Phương trình YA = B có nghiệm ma trận: 1  1    1   Y  BA  3  4 2  5   10 5 5  19 22   42    5  42 19 22    1 32 19 17     32 19 17     5 5     2   5  1 Chú ý: Cơng thức (5.6) áp dụng để giải phương trình (5.4) với B ma trận cấp n×p Tương tự, cơng thức (5.7) áp dụng để giải phương trình (5.5) với B ma trận cấp q×n Ví dụ: Giải phương trình AX = B, với  2 A=  , B =  1 1 2 4  1 5   Ma trận A có ma trận nghịch đảo: A 1 = 64 A  A11 A 21  1 2  A =    12 A 22  1 3 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Nghiệm phương trình là: 6      1 2    4 6  5 X  A 1B           19  1 3  1 5  11 3 19   11  5   Trong trường hợp ma trận A khơng có ma trận nghịch đảo ta giải phương trình (5.4) (5.5) cách quy hệ phương trình tuyến tính với ẩn số phần tử ma trận phải tìm X TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 65 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Tóm lược cuối  Tích ma trận A ma trận B ma trận cấp m  p, ký hiệu AB = (cij)m×p xác định sau: cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj  Tồn tích AB số cột ma trận đứng trước (ma trận A) số dòng ma trận đứng sau (ma trận B)  Ma trận AB có số dịng số dịng ma trận A số cột số cột ma trận B  Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: AX = XA = E −1 ký hiệu A để ma trận nghịch đảo ma trận A  Ma trận phụ hợp ma trận A:  A11 A 21 A A 22 * * A =  a ij  =  12 nn    A1n A 2n A n1  A n2    A nn   Tích ma trận vuông A với ma trận phụ hợp với A* tích ma trận đơn vị E với định thức ma trận A  Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo là: d = |A| ≠ Khi ma trận nghịch đảo ma trận A xác định theo công thức: A 1 = A* d  Phương trình ma trận AX = B trường hợp ma trận A vng có ma trận nghịch đảo có nghiệm tính theo cơng thức: X = A–1B  Phương trình ma trận YA = B trường hợp ma trận A vng có ma trận nghịch đảo có nghiệm tính theo cơng thức: Y = BA−1  Trong trường hợp ma trận A khơng có ma trận nghịch đảo ta giải phương trình ma trận cách quy hệ phương trình tuyến tính với ẩn số phần tử ma trận phải tìm X Y 66 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Câu hỏi ôn tập Điều kiện để hai ma trận nhân với nhau? Phép nhân ma trận có tính chất giao hốn khơng? Một ma trận nhân với nào? Nêu cơng thức tính phần tử nằm dịng i cột k tích AB với A ma trận cấp m×n, B ma trận cấp n×p Nêu tính chất phép nhân hai ma trận Nêu định nghĩa phép lấy lũy thừa ma trận Nêu khái niệm tính chất ma trận phụ hợp ma trận vuông Nêu định nghĩa ma trận nghịch đảo Nêu điều kiện cơng thức tính ma trận nghịch đảo 10 Nêu tính chất ma trận nghịch đảo 11 Nêu cơng thức tính phần tử nằm dòng i cột k ma trận phụ hợp, ma trận nghịch đảo ma trận vuông A có det(A)≠ 12 Nêu cơng thức tính phần tử nằm dòng i ma trận phụ hợp ma trận vuông A 13 Nêu công thức tính phần tử nằm cột k ma trận phụ hợp ma trận vuông A 14 Nêu ứng dụng ma trận nghịch đảo việc giải phương trình ma trận TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 67