05_NEU_TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226

Bài 4: Định thức BÀI ĐỊNH THỨC Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012 Bộ mơn toán bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Tốn cao cấp 1, NXB Giáo dục Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Khái niệm định thức kí hiệu;  Tính định thức cấp 1, cấp cấp 3;  Các tính chất định thức;  Các phương pháp tính định thức Mục tiêu  Sinh viên nắm định nghĩa tính chất định thức  Biết cách tính định thức theo phương pháp nêu  Biết cách áp dụng tính chất định thức vào tập 40 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 Bài 4: Định thức Tình dẫn nhập Mở rộng khái niệm định thức biết  Trong chương trình tốn phổ thơng, ta biết ký hiệu cách tính định thức ma trận vuông cấp 2: 1  1     5   11  Có ma trận vuông cấp cấp sau:  3    A   2 1 ,  2    1  2 3 B  2   1  3 1  2 Định thức ma trận tính nào? TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 41 Bài 4: Định thức 4.1 Khái niệm định thức ký hiệu Cho A ma trận vuông cấp n, ta gán cho A số thực cố định gọi định thức A, ký hiệu det(A) A định nghĩa theo n sau:  n = 1, A ma trận vng cấp 1: A = (a) det(A) = a  a11 a12    a 21 a 22   n = 2, A   det(A)  a11 a12  a11a 22  a12a 21 a 21 a 22  Tổng quát A ma trận vng cấp n Xóa dịng thứ i cột thứ j A, ta ma trận vuông cấp n – 1, định thức ma trận ký hiệu Mij Ký hiệu: Aij = (–1)i+j Mij Khi đó: det(A)  a11A11  a12 A12    a1j A1j    a1n A1n Aij định nghĩa gọi phần bù đại số phần tử aij ma trận A phần bù đại số phần tử aij A Nếu khơng đặt tên ma trận ta viết định thức cấp n dạng bảng số có n dịng n cột đặt hai dấu gạch đứng: a11 a12 a ln a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Chú ý định thức số xác định, ma trận bảng số Dấu gạch đứng sử dụng thay cho dấu ngoặc để phân biệt định thức với ma trận vng 4.2 Tính định thức cấp 1, cấp cấp 4.2.1 Định thức cấp Ma trận vng cấp có phần tử số a Định thức ma trận vng cấp phần tử det([a]1×1) = a 4.2.2 Định thức cấp Định thức cấp tích hai phần tử thuộc đường chéo trừ tích hai phần tử thuộc đường chéo phụ: a 11 a 21 a 12 a 21  a 11 a 22  a 12 a 21 Ví dụ: x y a b  bx  ay 2  1.3  (2).5  13 42 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 Bài 4: Định thức 4.2.3 Định thức cấp ba Định thức cấp tính theo công thức: a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23  T1  T2  T3  (T4  T5  T6 ) a 33 Trong số hạng Tk (k = 1, 2, , 6) tích ba phần tử mà ta xác định theo quy tắc đường chéo sau: T1 tích phần tử thuộc đường chéo chính; tích T2 T3 tích hai phần tử đường song song với đường chéo (phía phía dưới) phần tử góc đối diện Các tích T4, T5, T6 (đặt sau dấu −) xác định hoàn toàn giống T1, T2, T3, theo đường chéo phụ Quy tắc đường chéo biểu diễn sơ đồ sau (các dấu chấm đen với thừa số tích Tk): • • • • • • • • • • • • • • • • • • T2 T3 T1 T4 T6 T5 (Gán dấu +) Ví dụ 1: Tính định thức (Gán dấu –) 1 2 3 Giải: Theo quy tắc đường chéo T1 tích ba số thuộc đường chéo (số 1, số số 2): T1 = 1.5.2 = 10 T2 tích hai số đường song song phía đường chéo (số số −2) số góc đối diện số (số 4): T2 = 2.(−2).4 = −16 T3 tích hai số đường song song phía đường chéo (số −1 số −3) số góc đối diện (số 3): T3 = (−1).(−3).3 = T4 tích ba số thuộc đường chéo phụ (số 3, số số 4): T4 = 3.5.4 = 60 T5 tích hai số đường song song phía đường chéo phụ (số số −1) số góc đối diện (số 2): T5 = 2.(−1).2 = −4 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 43 Bài 4: Định thức T6 tích hai số đường song song phía đường chéo phụ (số −2 số −3) số góc đối diện (số 1): T6 = (−2).(−3).1 = Vậy, ta có: 1 2 = 10  16 +  (60  + 6) =  62=  59 3 Ví dụ 2: Tính định thức d = 2 9 1 Giải: Theo quy tắc nói ta dễ dàng tính 2 9 = 96  54 +  (48  16 + 27) = 46  59=  13 1 4.3 Các tính chất định thức Đối với định thức cấp cao việc tính định thức trực định nghĩa trở nên cồng kềnh, định thức cấp cao số lượng thành phần lớn số lượng phép toán phải thực đồ sộ Do đó, cần đến phương pháp khác để tính định thức Trước đề cập đến phương pháp tính định thức, xem xét tính chất định thức để sử dụng tính tốn Định lý 1: Định thức ma trận vuông định thức ma trận chuyển vị nó, tức là: |A’| = |A| với ma trận vuông A Định lý cho thấy dịng cột định thức có vai trị nhau, tất tính chất với dòng với cột Trong định lý tính chất định thức ta nói đến dịng Các định lý giữ nguyên giá trị ta thay chữ “dòng” chữ “cột” Định lý 2: Nếu định thức ta đổi chỗ hai dòng giữ nguyên vị trí dịng cịn lại định thức đổi dấu Ví dụ: Ta có 1 2 =  59 3 44 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 Bài 4: Định thức Sau đổi chỗ dòng thứ dòng thứ hai ta được: 1 2 = 59 3 Định lý 3: Nếu nhân dịng định thức với số α (tức nhân phân tử dịng với số α) định thức nhận định thức cũ nhân với α a11 a12 a1n a11 αa i1 αa i2 αa in = α a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a12 a1n a n1 a n2 a nn Nói cách khác: Thừa số chung phân tử dòng định thức đưa ngồi dấu định thức Ví dụ: Ta có 10 20 30 1 2 = 10 1 2 = 10.(  59) =  590 3 3 (Đưa thừa số chung phần tử dịng thứ ngồi dấu định thức) Chú ý: Nếu A ma trận vng cấp n ma trận αA nhận từ A sau nhân n dịng với α Sử dụng định lý ta có: |αA| = αn|A| Định lý 4: Nếu ta cộng vào dịng định thức tích dịng khác với số k tùy chọn định thức khơng thay đổi Ví dụ: Ta có 1 2 =  59 3 Nếu cộng dòng thứ hai dòng thứ ba, theo thứ tự, dịng thứ tích dịng thứ (−4) định thức khơng thay đổi: =  59 11 10 Định lý 5: Định thức trường hợp sau đây:  Có dịng với tất phần tử 0;  Có hai dịng giống nhau;  Có hai dịng tỷ lệ TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 45 Bài 4: Định thức Ví dụ: Định thức 1 59 47 95 = 3 Do có dịng thứ dịng thứ ba tỷ lệ Định lý sau áp dụng xem dòng (cột) định thức cấp n vectơ n chiều Định lý 6: Hệ vectơ dòng định thức phụ thuộc tuyến tính định thức Sử dụng định lý ta xét phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ n chiều có số vectơ n (hệ vectơ chiều, hệ vectơ chiều, ) thơng qua việc tính định thức Hệ quả: Hệ vectơ dòng định thức độc lập tuyến tính định thức khác Ví dụ 1: Xét phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ: X1 = (5, 3, 4), X2 = (3, −1, 7), X3 = (1, 9, −13) Giải: Hệ vectơ cho hệ vectơ dòng định thức d = 1 13 Dễ dàng tính d = 0, hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 2: Chứng minh hệ vectơ P1 = (3, −2, 4), P2 = (4, 5, −3), P3 = (2, 1, 6) sở không gian R3 Giải: Tính định thức có dạng theo thứ tự vectơ P1, P2, P3 2 4 3 = 90 + 12 + 16  (40  48  9) = 135  Theo định lý hệ vectơ P1, P2, P3 độc lập tuyến tính, sở khơng gian R3 4.4 Các phương pháp tính định thức 4.4.1 Phương pháp khai triển 4.4.1.1 Nhắc lại khái niệm phần bù đại số Cho định thức cấp n:  a11   d   a i1   a n1  46 a1j a ij a nj a1n   a in    a nn  TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 Bài 4: Định thức Xóa dòng thứ i cột thứ j (dòng cột chứa phân tử aij) định thức d ta định thức cấp n –1, ký hiệu Mij Định nghĩa: Định thức Mij gọi phần bù Aij = (−1)i+j Mij gọi phần bù đại số phần tử aij định thức d Chú ý phần bù đại số phần tử aij phần bù Mij gán dấu (+) (i+j) số chẵn, gán dấu (−) (i + j) số lẻ:  M ij nÕu i  j ch ½ n a ij   M ij nÕu i  j lỴ Ví dụ: Cho định thức  2 d =   3 1 5 2 2 Phần bù đại số phần tử thuộc dòng thứ định thức cho là: A 11 = (  1)1+1 M 11 = + 1 A 12 = (  1)1+2 M 12 =  A13 = (  1)1+3 M13 = + 4.4.1.2 = 10; 2 = 4; =  13 1 Quy tắc khai triển định thức Ta công nhận định lý sau đây: Định lý: Định thức cấp n tổng n số hạng, số hạng tích phần tử dòng (hoặc cột) với phần bù đại số phần tử Ta ln có: d = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (4.2) d = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj (4.3) Công thức (4.2) gọi công thức khai triển định thức theo dịng i cơng thức (4.3) gọi cơng thức khai triển định thức theo cột j Các công thức khai triển (4.3) (4.4) cho phép ta tính định thức cấp n thông qua định thức cấp n – Ví dụ 1: Tính định thức 1 3 d1 = 2 1 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 2 0 1 47 Bài 4: Định thức Khai triển định thức d1 theo dòng thứ ba ta được: d1 = (  2)A 31 + 5.A 32 + 0.A 33 + 0.A 34 2 2 = (  2)M 31 + 5.(  M 32 ) =   3 1 1 1 =  2.8  5.(  48) = 224 Nhận xét: Trên ta có chọn dòng thứ ba để khai triển định thức d1 có mặt phần tử dịng giảm hẳn khối lượng tính tốn Để việc tính tốn khỏi cồng kềnh, bạn nên biến đổi cho dịng (hoặc cột) cịn lại phần tử khác 0, sau khai triển theo dịng (hoặc cột) Bằng cách ta tính định thức cấp n thơng qua định thức cấp n – Ví dụ 2: Tính định thức d2 = 2 11 3 3 2 Giải: Trước hết ta biến đổi cho cột thứ hai lại phần tử khác a12 = Để thực điều ta cộng vào dịng thứ hai, dịng thứ ba dịng thứ tư tích dịng thứ năm, theo thứ tự, với (–2),(–1) Theo tính chất định thức (định lý 4) định thức khơng thay đổi qua ba phép biến đổi đó, 4 d2 = 1 14 0 3 2 Khai triển định thức theo cột thứ hai ta được: 4 2 d = 1.A12 =  1 14 4.4.2 =  429 Phương pháp biến đổi dạng tam giác Xét định thức ma trận dạng tam giác: b 11 d  b12 b1n b 22 b 2n b nn  b11b 22  b nn (bij = i < j) Sử dụng liên tiếp công thức khai triển định thức theo cột thứ ta dễ dàng có công thức sau: d = b11 b22… bnn Như vậy, định thức dạng tam giác tích phần tử thuộc đường chéo Điều gợi ý cho ta phương pháp khác để tính định thức biến đổi định thức 48 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 Bài 4: Định thức dạng tam giác Việc biến đổi thực tương tự phương pháp khử ẩn liên tiếp ma trận hệ số để giải phương trình tuyến tính nhất, song bạn cần lưu ý sử dụng xác tính chất định thức lần biến đổi Ví dụ 3: Tính định thức 3 d3 = 4 6 6 Giải: Giống thủ tục biến đổi khử ẩn hệ phương trình tuyến tính, trước hết ta biến đổi cho số đứng đầu dòng từ dòng thứ hai trở xuống Để khỏi phải tính phân số trình trung gian ta nhân dịng thứ hai với Theo tính chất định thức định thức sau biến đổi 2d3, 3 10 d3 = 4 6 6 Cộng vào dòng thứ hai, thứ ba thứ tư, theo thứ tự, tích dịng thứ với (−3), (−2) (−3) ta được: 1 13 d3 = 1 14 15 8 3 19 12 11 Tiếp theo, cộng vào dòng thứ ba thứ tư, theo thứ tự, tích dịng thứ hai với (–1) (–15) ta được: d3 = 3 1 13 19 7 0 1 0 187 274 Cuối cùng, cộng vào dịng thứ tư tích dòng thứ ba với 187, ta được: d3 = 3 19 1 13 4 0 1 0 1583 Theo quy tắc tính định thức dạng tam giác ta được: d = 2.(  1).(  1).(  1583) =  1583 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 49 Bài 4: Định thức Ví dụ 4: Tính định thức 2 d= 5 1 2 3 3 Giải: Để biến đổi dạng tam giác, trước hết ta cộng vào dòng thứ hai, dòng thứ ba, dịng thứ tư dịng thứ năm tích dòng thứ nhất, theo thứ tự, với (−2), (−1), (−3), (−1) Sau phép biến đổi ta được: 2 4 d = 1 11 7 5 5 13 2 3 18 2 Tiếp theo để tránh phải tính phân số ta cộng vào dịng thứ hai, dòng thứ tư dòng thứ năm, theo thứ tự, tích dịng thứ ba với (−1), (−2) (−1) Kết là: 2 5 1 3 3 d = 1 2 1 5 0 4 Bây cộng vào dòng thứ ba dòng thứ tư theo thứ tự, tích dịng thứ hai với (–1) ta được: 2 1 d= 0 3 5 3 19 20 48 2 1 4 Tiếp theo, cộng vào dòng thứ ba dịng thứ tư tích dịng thư năm, theo thứ tự, với 19 với 2, sau đổi chỗ dòng thứ ba dòng thứ năm ta được: 2 5 1 3 3 d= 0 4 0 9 0 20 28 50 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 Bài 4: Định thức Cuối cùng, cộng vào dịng thứ năm tích dòng thứ tư với 5, ta định thức dạng tam giác: 2 5 1 3 3 d=  0 4 0 9 0 0 73 Theo quy tắc tính định thức dạng tam giác ta được: d =  1.(  1).1.4.(  73) =  292 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 51 Bài 4: Định thức Tóm lược cuối  Định thức ma trận vuông A ký hiệu |A|, det(A)  Mỗi định thức số xác định  Định thức ma trận vng cấp phần tử  Định thức cấp tích hai phần tử thuộc đường chéo trừ di tích hai phần tử thuộc đường chéo phụ  Định thức cấp ba: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23  T1  T2  T3  (T4  T5  T6 ) a 31 a 32 a 33  Định thức ma trận vuông định thức ma trận chuyển vị  Nếu định thức ta đổi chỗ hai dòng giữ ngun vị trí dịng cịn lại định thức đổi dấu  Nếu nhân dịng định thức với số α (tức nhân phân tử dịng với số α định thức nhận định thức cũ nhân với α  Nếu ta cộng vào dòng định thức tích dịng khác với số k tùy chọn định thức khơng thay đổi  Định thức trường hợp sau đây:  Có dịng với tất phần tử 0;  Có hai dịng giống nhau;  Có hai dòng tỷ lệ  Hệ vectơ dòng định thức phụ thuộc tuyến tính định thức Cho d định thức ma trận vng A cấp n Xóa dịng thứ i cột thứ j (dòng cột chứa phần tử aij) định thức d ta định thức cấp n –1, ký hiệu Mij: gọi phần bù aij Aij = (−1)i+j Mij gọi phần bù đại số phần tử aij  Phương pháp khai triển: Áp dụng định lý sau để tính định thức Định thức cấp n tổng n số hạng, số hạng tích phần tử dòng (hoặc cột) với phần bù đại số phần tử  Phương pháp biến đổi định thức dạng tam giác: Biến đổi định thức dạng tam giác áp dụng kết sau: b 11 d  52 b12 b1n b 22 b 2n b nn  b11b 22  b nn TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 Bài 4: Định thức Câu hỏi ôn tập Nêu định nghĩa định thức cấp 1, 2, Nêu khái niệm phần bù phần tử ma trận Nêu định nghĩa công thức tính phần bù đại số phần tử ma trận Phần bù đại số phần tử ma trận có phụ thuộc vào giá trị ma trận hay khơng? Nêu tính chất định thức Nhân dòng định thức với số có làm thay đổi định thức khơng? Khi tính định thức, ta lấy dịng trừ dịng khác định thức có thay đổi hay khơng? Nêu quy tắc khai triển định thức theo dòng Nêu quy tắc khai triển định thức theo cột 10 Nêu nội dung phương pháp biến đổi định thức dạng tam giác TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 53