03_NEU_TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226

Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian vectơ n n chiều – sở không gian R BÀI CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ N CHIỀU – CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN Rn Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Khái niệm tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính;  Sự phụ thuộc tuyến tính;  Cơ sở khơng gian vectơ n chiều Mục tiêu  Sinh viên nắm khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính vectơ qua hệ vectơ  Nắm khái niệm độc lập phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ, khái niệm sở khơng gian  Ngồi sinh viên biết cách xác định hệ vectơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, vectơ có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ hay khơng n  Xác định hệ vectơ có sở không gian R hay không, xác định tọa độ vectơ sở 18 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính không gian véctơ n n chiều – sở khơng gian R Tình dẫn nhập Biểu diễn vectơ qua hệ vectơ Cho vectơ: X1 = ( 2, –3, ) X2 = ( 3, 1, –5) X3 = (–1, 4, ) X = (–1, , 3) Tìm số x, y, z cho: X = x.X1 + y.X2 +z.X3 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 19 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian vectơ n n chiều – sở không gian R 2.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính 2.1.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính Trong khơng gian Rn (n cố định) cho m vectơ X1, X2, …, Xm (2.1) Lấy m số α1, α2, …, αm lập tổng: α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.2) Định nghĩa: Mỗi tổng (2.2), α1, α2, …, αm số thực cho trước, gọi tổ hợp tuyến tính vectơ (2.1) Các số αi (i = 1, 2,…, m) gọi hệ số tổ hợp tuyến tính Từ vectơ (2.1) ta lập vơ số tổ hợp tuyến tính (mỗi hệ số α1, α2,…, αm cho tương ứng tổ hợp tuyến tính chúng) tổ hợp tuyến tính vectơ (2.1) vectơ n chiều 2.1.2 Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Ta nói vectơ X  Rn biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1, X2, …, Xm tồn tổ hợp tuyến tính vectơ X1, X2, …, Xm vectơ X, tức tồn số thực α1, α2, …, αm cho: X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.3) Đặc biệt, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y (X = αY) ta nói vectơ X tỷ lệ với vectơ Y Ví dụ: Với X1, X2, …, Xm vectơ n chiều ta ln có: On = 0X1 + 0X2 + … + 0Xm Tổ hợp tuyến tính vế phải (với tất hệ số khơng) gọi tổ hợp tuyến tính tầm thường vectơ X1, X2,…, Xm Như vậy, không gian Rn vectơ khơng ln biểu diễn tuyến tính qua vectơ (ít tổ hợp tuyến tính tầm thường) Định lý sau cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu: Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1, X2, …, Xm vectơ Xi ( i = 1, 2, …, m) biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y1, Y2, …, Yp X biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y1, Y2, …, Yp 2.1.3 Dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính Cho hệ phương trình tuyến tính: a11x1  a12   a1n x n  b1 a x  a   a x  b  21 22 2n n   a m1x1  a m2   a mn x n  b m 20 (2.4) TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian véctơ n n chiều – sở không gian R Ma trận mở rộng hệ phương trình là: a11 a A   21   a m1 a12 a1n a 22 a 2n a m2 a mn b1  b    bm  Ma trận mở rộng có n + cột, cột thứ j (j = 1, 2,…, n) cột hệ số ẩn xj, cột cuối cột số hạng tự Ta gọi Acj cột hệ số ẩn xj (cột thứ j mạ trận hệ số) B cột số hạng tự do:  a1j     a 2j  c A j =   (j = 1, 2, , n);    a   mj   b1    b B=  2       bm  Nếu xem cột vectơ m chiều, thơng qua phép tốn vectơ, ta biểu diễn hệ phương trình (2.4) dạng tương đương sau:  a11   a12   a1n   b1          a 22  a 22  a 2n  b    x1 + x2 + + x n =  2                  a m1   a m2   a mn   bm  (2.5) x1A1C  x A C2    x n A Cn  B Ở dạng (2.5) vấn đề tìm nghiệm hệ phương trình (2.4) tương đương với việc tìm hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự qua cột ma trận hệ số Mỗi nghiệm hệ phương trình (2.5) số thực (α1, α2, …, αn) mà gán x1 = α1, x2 = α2, …, xn = αn, tổ hợp tuyến tính vế trái phương trình (2.5) vectơ B Như vậy:  Hệ phương trình tuyến tính (2.4) có nghiệm cột số hạng tự B biểu diễn tuyến tính qua cột A1C , A C2 , , A Cn ma trận hệ số  Mỗi hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự qua cột ma trận hệ số nghiệm hệ phương trình (2.4) Để biểu diễn tuyến tính vectơ n chiều X qua vectơ n chiều X1, X2, …, Xm cho trước, ta phải tìm số (α1, α2, …, αm) cho: X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm Điều thực thơng qua việc giải hệ phương trình tuyến tính có cột số hạng tự vectơ X cột ma trận hệ số vectơ X1, X2, …, Xm Ma trận mở rộng hệ phương trình (ta viết vectơ thành cột): A = [ X1 X2 … Xm X] Ví dụ: Hãy biểu diễn tuyến tính vectơ X = (16, 7, −1) qua vectơ X1 = (1, −1, 3), X2 = (2, 1, 1), X3 = ( 5, , −1) TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 21 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính không gian vectơ n n chiều – sở không gian R Giải: Bộ hệ số (α1, α2, α3) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua vectơ X1, X2, X3 cho nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng sau: 16    A =  1   1 1   Chú ý ma trận A có cột thứ vectơ X1, cột thứ hai vectơ X2, cột thứ ba vectơ X3 cột số hạng tự vectơ X Quá trình khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 16        0 A =  1  1 1 0 5    16  1    23  0  0 0 15 48 147  0    16  23 16 49 16  23 8 32 Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác α1 + 2α + 5α3 = 16  3α + 8α = 23    8α =  32  Giải hệ phương trình ta tìm được: α1 = 2, α2 = –3 ,α3 = Như vậy, vectơ X biểu diễn tuyến tính cách qua vectơ X1, X2, X3: X = 2X1 –3X2 + 4X3 2.2 Sự phụ thuộc tuyến tính 2.2.1 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính Cho m vectơ n chiều: X1, X2, …, Xm (2.6) Khi xem xét quan hệ vectơ (2.6) ta gọi vectơ hệ vectơ Định nghĩa: Ta nói hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực k1, k2, …,km, có số khác 0, cho: k1X1 + k2X2 + … + kmXm = On (2.7) Ngược lại đẳng thức (2.7) thỏa mãn tất hệ số vế trái (k1 = k2 = … = km = 0) ta nói hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ nhìn nhận góc độ biểu diễn tuyến tính vectơ khơng On qua vectơ hệ Như ta biết, vectơ On biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ vectơ n chiều tổ hợp tuyến tính 22 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính không gian véctơ n n chiều – sở khơng gian R tầm thường (tổ hợp tuyến tính với tất hệ số 0) Câu hỏi đặt là: ngồi tổ hợp tuyến tính tầm thường vectơ (2.6) cịn tổ hợp tuyến tính khác vectơ On hay không? Nếu câu trả lời có hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính Nếu câu trả lời không, tức tổ hợp tuyến tính tầm thường tổ hợp tuyến tính On, hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính 2.2.2 Xét phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ Để xét phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ (2.6) ta xem hệ thức (2.7) hệ phương trình tuyến tính viết dạng vectơ, với ẩn số k1, k2, …, km Ma trận hệ số hệ phương trình có cột theo thứ tự vectơ n chiều X1, X2, …, Xm viết dạng cột Đối với hệ phương trình tuyến tính (2.7) có hai khả xảy ra: (1) Hệ có nghiệm k1 = k2 = … = km = Trong trường hợp hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính (2) Hệ có vơ số nghiệm, tồn nghiệm không tầm thường (k1, k2,…, km) Trong trường hợp hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính Như vậy, muốn biết hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm sau: Lập ma trận A với cột vectơ X1, X2, …, Xm viết dạng cột; Áp dụng thủ tục khử ẩn liên tiếp hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số ma trận A Hệ vectơ độc lập tuyến tính trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính q trình khử ẩn kết thúc dạng hình thang Ví dụ 1: Trong khơng gian Rn xét hệ vectơ: E1 = (1, 0, …, 0) E2 = (0, 1, …, 0) ……………… En = (0, 0, …, 1) Các vectơ E1, E2, …, En gọi vectơ đơn vị không gian Rn Xét hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số các cột theo thứ tự vectơ E1, E2, …, En ( viết vectơ dạng cột):  0    0 A=    0 1 Hệ phương trình tuyến tính sẵn dạng tam giác, hệ vectơ đơn vị độc lập tuyến tính Ví dụ 2: Cho hệ vectơ chiều X1 = (1, 3, –2, 5), X2 = ( 3, –2, 1, 4), X3 = (–1, 8, –5, 6) TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 23 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian vectơ n n chiều – sở không gian R Muốn biết hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta xét hệ phương trình tuyến tính ẩn số k1, k2, k3, với ma trận hệ số có cột thứ vectơ X1, cột thứ hai vectơ X2, cột thứ ba vectơ X3: 1   2 8  A=  2 5   6  Phương pháp khử ẩn liên tiếp thực ma trận hệ số sau: 1  1  1 1 0 11 11  11 11 0 1 1    A    0 0  0 0  7  0       0  0 0  0 11 11 0 Quá trình khử ẩn kết thúc dạng hình thang:  k1 + 3k  k =   k + k3 =  Do hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 3: Xét hệ vectơ: X1 = (–2, 2, 3, 4) X2 = (3, –2, 3, 5) X3 = (4, 1, 6, –3) Hệ thức k1X1 + k2X2 + k3X3 = O4 cho tương ứng với hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số là: 4  2  2 1  A=  3 6   3  Biến đổi khử ẩn: 4  2  2  2   1   A   12     3    4  2  2    5     0 51      0 50   4 5 15 24   11 5 4 5 51  0 Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác, hệ vectơ cho độc lập tuyến tính 24 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian véctơ n n chiều – sở không gian R 2.2.3 Các định lí phụ thuộc tuyến tính Định lý 1: Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua vectơ lại Định lý áp dụng cho hệ có từ hai vectơ trở lên Theo định lý hệ gồm hai vectơ X, Y phụ thuộc tuyến tính hai vectơ tỷ lệ Vì vectơ On biểu diễn tuyến tính qua vectơ nên từ đinh lý suy ra: Hệ quả: Mọi hệ việc vectơ n chiều chứa vectơ On, phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác, hệ vectơ độc lập tuyến tính khơng chứa vectơ không Chú ý: Trường hợp đặc biệt, m = 1, hệ vectơ X phụ thuộc tuyến tính X = On, độc lập tuyến tính X ≠ On Định lý 2: Nếu hệ vectơ có hệ (một phận) phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Định lý kéo theo kết luận sau đây: Hệ quả: Nếu hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính (hệ vectơ độc lập tuyến tính khơng thể có hệ phụ thuộc tuyến tính) Nếu hệ vectơ có hai vectơ tỷ lệ hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (hai vectơ tỷ lệ tạo thành hệ phụ thuộc tuyến tính) Định lý 3: Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn n phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác, khơng gian Rn hệ vectơ độc lập tuyến tính có số vectơ nhỏ n 2.3 Cơ sở không gian vectơ n chiều 2.3.1 Khái niệm sở không gian vectơ n chiều Định nghĩa: Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính có số vectơ n gọi sở khơng gian Rn Ví dụ 1: Hệ n vectơ đơn vị n chiều E1, E2, …, En mà ta nói đến phần trước sở khơng gian Rn độc lập tuyến tính có số vectơ n Cơ sở gọi sở đơn vị hay sở tự nhiên khơng gian Rn Ví dụ 2: Xét hệ vectơ chiều: P1 = (1, 2, 3), P2 = (1, 3, –2), P3 = (2, 3, –1) Hệ vectơ có số vectơ Bạn tự kiểm tra để khẳng định hệ vectơ độc lập tuyến tính Theo định nghĩa hệ vectơ P1, P2, P3 cho sở không gian vec tơ R3 Theo định lý đề cập trước khơng gian vectơ n chiều hệ vectơ độc lập tuyến tính có số vectơ khơng vượt q n Như vậy, sở không gian vectơ n chiều hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại Cơ sở khơng gian Rn có tính chất quan trọng sau đây: Định lý: Nếu cho trước sở không gian Rn P1, P2, …, Pn TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 25 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian vectơ n n chiều – sở không gian R Thì vectơ X  Rn biểu diễn cách dạng: X = α1 + α2P2 + … + αnPn n Nói cách khác, vectơ X không gian R biểu diễn tuyến tính qua vectơ sở hệ số (α1, α2,…,αn) biểu diễn tuyến tính xác định cách 2.3.2 Tọa độ vectơ sở 2.3.2.1 Khái niệm tọa độ vectơ Cơ sở khơng gian Rn có vai trị giống hệ tọa độ khơng gian hình học n Theo định lý nêu trên, cho trước sở {P1, P2,…, Pn}của khơng gian R vectơ X  Rn cho tương ứng n số thực có thứ tự (α1, α2,…, αn) thỏa mãn hệ thức: X = α1P1 + α2P2 +… + αnPn Định nghĩa: Bộ hệ số (α1, α2, …,αn) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua vectơ sở {P1, P2, …, Pn} gọi tọa độ vectơ X sở Chú ý: Bản thân vectơ X = (x1, x2, …, xn) tọa độ sở đơn vị: E1 = (1, 0, …, 0) E2 = (0, 1, …, 0) ……………… En = (0, 0, …, 1) Bạn dễ dàng kiểm tra hệ thức: X = x1E1 + x2E2 + … + xnEn 2.3.2.2 Tìm tọa độ vectơ sở cho trước Để tìm tọa độ vectơ X  n sở (2.3) ta xem hệ thức (2.4) dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính n ẩn số α1, α2, …,αn Hệ phương trình có ma trận mở rộng ma trận: A  P1 P2  Pn X  Trong vectơ P1, P2,…, Pn, X xếp thành cột Nghiệm hệ phương trình tuyến tính với ma trận mở rộng A tọa độ vectơ X Ví dụ 1: Tìm tọa độ vectơ X = (3, –1) sở sau không gian R2 P1 = (2, 5), P2 = (4, 1) Giải: Hai vectơ P1, P2 không tỷ lệ, chúng độc lập tuyến tính tạo thành sở không gian R2 Tọa độ vectơ X = (3, –1) hai số thực (α1, α2) thỏa mãn hệ thức: X = α1P1 + α2P2 26 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian véctơ n n chiều – sở không gian R (α1, α2) nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng là:  3 A = [P1 P2 X] =    1 Giải hệ phương trình theo phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được: 17 α1 =  , α = 18 18  7 17  Tọa độ vectơ X = (3, –1) sở cho là:  ,   18 18  Ví dụ 2: Tìm tọa độ vectơ X = (2, –3, 17) sở sau không gian R3 P1 = (1, 2, 3)  P2 = (1, 3,  2) P = (2, 3,  1)  Giải: Ta phải tìm ba số thực (α1, α2, α3) cho: X = α1P1 + α2P2 + α3P3 Bài toán quy việc giải hệ phương trình tuyến tính ẩn số α1, α2, α3 với ma trận mở rộng có cột vectơ P1, P2, P3, X (mỗi vectơ xếp thành cột):  1 2 A  [P1 P2 P3 X] =  3 3  2 1 17  Giải hệ phương trình phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được: α1 = 3, α2 = –5, α3 = Tọa độ vectơ X = (2, –3, 17) cở sở là: (3, –5, 2) Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ X = (3, –2, 4) cở sở sau không gian R3  P1 = (1, 1, 5)   P2 = (3, 2,  1)  P = (5, 3,  6)  Giải: Hệ vectơ P1, P2, P3 độc lập tuyến tính ( bạn tự kiểm tra), sở khơng gian R3 Tọa độ vectơ X ba số thực (α1, α2, α3) thỏa mãn hệ thức: X = α1P1 + α2P2 + α3P3 Đây dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính ẩn số α1, α2, α3 với ma trận mở rộng có cột vectơ P1, P2, P3, X (mỗi vectơ xếp thành cột): 3 1  A= [P1 P2 P3 X] =  2  5 1 6  Giải hệ phương trình cách phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được: α1 = 57, α2 = – 133, α3 = 69 Tọa độ vectơ X = (3, –2, 4) sở là: (57, –133,69) TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 27 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian vectơ n n chiều – sở không gian R Tóm lược cuối  Từ vectơ X1, X2, …, Xm ta lập vơ số tổ hợp tuyến tính chúng  Phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu  Để xét vectơ n chiều X có biểu diễn tuyến tính qua vectơ n chiều X1, X2, …, Xm cho trước hay không, ta xét đẳng thức: X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm Giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng có ma trận mở rộng vectơ X1 X2 … Xm X viết theo cột Nếu hệ phương trình vơ nghiệm X khơng biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ Nếu hệ phương trình có nghiệm, tìm α1, α2, … , αm Suy X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm cách biểu diễn tuyến tính X qua X1, X2, … , Xm  Để xác định hệ vectơ X1, X2, …, Xm phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm sau: Xét hệ phương trình có ma trận hệ số A với cột vectơ X1, X2, …, Xm Biến đổi ma trận A Hệ vectơ độc lập tuyến tính q trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính trình khử ẩn kết thúc dạng hình thang  Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua vectơ cịn lại  Nếu hệ vectơ có hệ (một phận) phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính  Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn n phụ thuộc tuyến tính  Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính có số vectơ n gọi sở khơng gian Rn  Việc tìm tọa độ vectơ sở tìm cách biểu diễn tuyến tuyến tính vectơ cho qua vectơ sở 28 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính không gian véctơ n n chiều – sở không gian R Câu hỏi ôn tập Thế tổ hợp tuyến tính hệ vectơ? Nêu khái niệm biểu diễn tuyến tính vectơ qua hệ vectơ? Nêu khái niệm hai vectơ tỷ lệ? Khái niệm tổ hợp tuyến tính tầm thường? Nêu khái niệm hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính Nêu cách để xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ Nêu cách để xét vectơ có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ cho trước hay không? Định nghĩa sở không gian vectơ Rn Định nghĩa tọa độ vectơ sở cho trước 10 Nêu cách tìm tọa độ vectơ sở TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 29