Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận PHẦN II: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC BÀI CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH ĐỐI VỚI MA TRẬN Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau: Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn Đọc tài liệu: Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung Các khái niệm phép toán tuyến tính ma trận; Các dạng ma trận; Các phép tốn tuyến tính ma trận; Các phép biến đổi ma trận Mục tiêu Sinh viên nắm khái niệm ma trận; Biết thực phép tốn tuyến tính ma trận; Biết xác định ma trận từ phương trình ma trận có phép tốn tuyến tính ma trận 30 TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 Bài 3: Các khái niệm phép toán tuyến tính ma trận Tình dẫn nhập Tổng hợp lương nhân viên Bảng tổng hợp lương ba tháng đầu năm 2014 nhân viên phận kỹ thuật công ty cho sau: Tháng Làm thêm Họ tên Lương Phụ cấp Ngày thường Ngày nghỉ Tổng số Trần Quang Ba 4.981.750 300.000 250.000 200.000 5.731.750 Nguyễn Thu Hà 3.662.500 300.000 350.000 350.000 4.662.500 Phạm Quốc Trung 3.400.000 100.000 300.000 150.000 3.950.000 Lê Thị Uyên 3.315.000 100.000 450.000 200.000 4.065.000 Lương Phụ cấp Ngày thường Ngày nghỉ Trần Quang Ba 4.525.250 500.000 150.000 200.000 5.375.250 Nguyễn Thu Hà 3.575.500 300.000 350.000 250.000 4.475.500 Phạm Quốc Trung 3.315.000 100.000 400.000 250.000 4.065.000 Lê Thị Uyên 3.200.000 100.000 200.000 150.000 3.650.000 Tháng Làm thêm Họ tên Tổng số Tháng Làm thêm Họ tên Lương Phụ cấp Ngày thường Ngày nghỉ Tổng số Trần Quang Ba 4.420.500 300.000 350.000 250.000 5.320.500 Nguyễn Thu Hà 3.608.000 300.000 400.000 350.000 4.658.000 Phạm Quốc Trung 3.300.000 100.000 350.000 150.000 3.900.000 Lê Thị Uyên 3.115.000 100.000 400.000 150.000 3.765.000 Hãy tổng hợp lương tháng đầu năm người phận trên? TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 31 Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận 3.1 Các khái niệm ma trận 3.1.1 Khái niệm ma trận Trong nói đến khái niệm ma trận hệ số ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính Các bảng số cho biết tồn thơng tin giúp ta tìm ẩn số Trong nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn cơng tác thống kê cơng tác kế tốn, người ta thương trình bày liệu dạng bảng số, số liệu xếp theo hàng cột Trong toán học ta gọi bảng số gọi ma trận Định nghĩa: Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Một ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp m × n Khi cho ma trận ta viết bảng số bên dấu ngoặc trịn ngoặc vng Ma trận cấp m × n có dạng tổng quát sau: a11 a 21 a ml a ln a 2n a mn a12 a 22 a m2 a11 a 21 a ml a12 a 22 a m2 a ln a 2n a mn Ta dùng chữ in hoa: A, B, C, … để đặt tên ma trận Để gán tên cho ma trận A ta viết: a11 a A = 21 a ml a12 a 22 a m2 a ln a 2n a mn (3.1) Các số ma trận gọi phần tử Ở dạng tổng quát (3.1) phần tử nằm dòng i cột j ký hiệu aij Ta dùng ký hiệu: A = [aij]m n (3.2) Để nói A ma trận cấp m n mà phần tử nằm dòng i cột j ký hiệu aij Cách viết (3.2) tương đương với cách viết (3.1) dùng nói đến ma trận tổng quát Khi cấp ma trận phần tử xác định số ta thường sử dụng cách viết dạng (3.1) Ví dụ: A= 4 11 7 Là ma trận cấp Đối chiếu với ký hiệu tổng quát phần tử A là: a11 = 5, a12= 3, a13 = 7, a21 = −4, a22 = 11, a23 = 3.1.2 Đẳng thức ma trận Định nghĩa: Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đôi 32 TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận Để nói hai ma trận A B ta viết A = B Chú ý khái niệm ma trận áp dụng cho ma trận cấp Trong tập hợp ma trận cấp m × n, đẳng thức ma trận tương đương với hệ m × n đẳng thức số: a ij = bij [a ij ]mxn =[bij ]mxn i=1, 2, ,m; j =1, 2, , n 3.1.3 Ma trận không ma trận đối Ma trận khơng ma trận có tất phần tử Trong tập hợp tất ma trận cấp m × n (m, n cố định) có ma trận khơng ký hiệu Om n, O (nếu cấp ma trận xác định trước): 0 0 O = Om n = 0 0 0 0 Ma trận đối ma trận A ma trận cấp mà phần tử số đối phần tử tương ứng ma trận A Ma trận đối ma trận A ký hiệu –A Ví dụ: Ma trận đối ma trận 1 A= 4 11 Là ma trận 5 A = 11 3.1.4 Hệ vectơ dòng hệ vectơ cột ma trận Cho cột ma trận cấp m × n: a11 a A= 21 a ml a12 a 22 a m2 a ln a 2n a mn Ta xem dòng ma trận A vectơ n chiều cột vectơ m chiều Như vậy, ma trận cấp m×n cho tương ứng hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều hệ vectơ gồm cột gồm n vectơ m chiều Khi sử dụng thuật ngữ hai dịng (cột) nhau, tổng dịng (cột), tích dòng (cột)với số, dòng cột phụ thuộc tuyến tính… ta hiểu thuật ngữ nói vectơ Trong phần giảng ta dùng ký hiệu Adi để dòng thứ i ma trận A ký hiệu Ajc để cột thứ j TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 33 Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận 3.2 Các dạng ma trận 3.2.1 Ma trận vng Ma trận vng ma trận có số dịng số cột Một ma trận có số dòng số cột n gọi ma trận vng cấp n Ma trận vng cấp n có dạng tổng quát sau: a11 a12 a a 22 A = 21 a nl a n2 a ln a 2n a nn Trong ma trận vuông A đường chéo thứ nối góc bên trái với góc bên phải gọi đường chéo chính, đường chéo thứ hai gọi đường chéo phụ Vị trí phần tử aij so với đường chéo xác định theo số i, j sau: aij thuộc đướng chéo i = j; aij nằm phía đường chéo i < j; aij nằm phía đường chéo i > j 3.2.2 Ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo Có hai loại ma trận tam giác: a11 a12 0 a 22 Ma trận tam giác trên: 0 a11 a 21 Ma trận tam giac dưới: : a n1 a ln a 2n a nn a 22 a n2 (aij = i > j) (aij = i < j) a nn Ma trận đường chéo ma trận đơn vị Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo Ma trận đường chéo cấp n có dạng: a11 0 a 22 0 (aij = i ≠ j) a nn Ma trận đường chéo có tất phần tử thuộc đường chéo gọi ma trận đơn vị, ký hiệu E En: 34 TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận 1 0 E= 0 0 1 Gọi eij phần tử thuộc dòng i cột j ma trận đơn vị E, ta có: 0 i j eij = 1 i = j 3.2.3 3.2.4 Ma trận dòng ma trận cột Ma trận có dịng (ma trận cấp 1n) gọi ma trận dòng Tương tự, ma trận có cột (ma trận cấp n1) gọi ma trận cột Ta xem ma trận dòng ma trận cột vectơ Tuy nhiên bạn cần lưu ý xét giác độ ma trận thì: a1 a a1 , a , , a n , a n Là hai ma trận khác nhau, danh nghĩa vectơ hai dạng viết (dạng dòng dạng cột) vectơ 3.3 Các phép tốn tuyến tính Thuật ngữ “phép tốn tuyến tính” dùng để phép tốn tương tự phép toán vectơ: phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số Ở phần nói đến phép tốn khác nhận ma trận với ma trận 3.3.1 Phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số Cho hai ma trận cấp m×n: A=[aij]m × n , B=[bij]m × n Định nghĩa: (1) Tổng hai ma trận A B ma trận cấp mxn, ký hiệu A + B xác định sau: A + B=[aij + bij]m × n (2) Tích ma trận A với số α ma trận cấp m × n, ký hiệu αA xác định sau: αA = [αa ij ]m×n Chú ý phép cộng ma trận áp dụng cho ma trận cấp (có số dòng số cột nhau) Trong tập hợp ma trận cấp, phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số định nghĩa hoàn toàn tương tự phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số: Cộng hai ma trận cấp có nghĩa cộng phần tử vị trí tương ứng với nhau; TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 35 Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận Nhân ma trận với số α có nghĩa nhân phần tử ma trận với α Ví dụ 1: Cho 3 9 A , B 12 5 1 ta có 12 4 2 15 20 10 A+ B = , 5A = 17 5 3 25 30 Ví dụ 2: Theo định nghĩa ma trận không ma trận đối, với A ma trận bất kỳ, ta ln có: 0A = O, −A = (−1)A 3.3.2 Các tính chất phép tốn tuyến tính Do phép cộng ma trận phép nhận ma trận với số định nghĩa hoàn toàn tương tự phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số nên tính chất lập lại hoàn toàn tương tự Gọi A, B, C ma trận m×n (m, n cố định), α β số bất kỳ, ta ln có: 3.3.3 A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A+O=A A +(− A) = O 1A = A α (A + B) = αA + αB (α + β)A = αA + βA (αβ)A = α(βA) Phép trừ ma trận Trong tập hợp ma trận cấp phép trừ định nghĩa tương tự phép trừ vectơ Hiệu ma trận A ma trận B xác định thông qua phép cộng sau: A – B = A + (−B) Với A = [aij]m × n, B = [bij] m × n ta có A – B = [aij − bij] m × n Tức phần tử A – B hiệu phần tử tương ứng A B Tương tự vectơ, ta chứng minh hệ thức sau: (A – B) + B = A α(A – B) = αA – αB (α – β)A = αA – βA 36 TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận 3.4 Các phép biến đổi ma trận 3.4.1 Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau ma trận gọi phép biến đổi sơ cấp: (1) Đổi chỗ hai dòng (cột); (2) Nhân dòng (cột) với số khác 0; (3) Cộng vào dịng (cột) tích dịng (cột) khác với số k tùy chọn 3.4.2 Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận cấp m n: a11 a12 a a 22 A= 21 a m1 a m2 a ln a 2n a mn Nếu xoay dòng A thành cột (các cột thành dòng) với thứ tự tương ứng ta ma trận cấp n m: a11 a A = 12 a1n a 21 a m1 a 22 a m2 a n a mn Định nghĩa: Ma trận A gọi ma trận chuyển vị ma trận A Phép biến đổi ma trận A thành ma trận A gọi phép chuyển vị ma trận Nếu gọi a ij' phần tử thuộc dòng i cột j ma trận chuyển vị A’ ta có: a ij' = a ji (i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) Ví dụ: Ma trận chuyển vị ma trận 12 9 A = 5 3 1 Là ma trận 5 1 A' = 12 9 3 TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 37 Bài 3: Các khái niệm phép toán tuyến tính ma trận Tóm lược cuối Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Một ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp m × n Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi Ma trận đối ma trận A ký hiệu –A Ký hiệu Adi để dòng thứ i ma trận A ký hiệu Ajc để cột thứ j ma trận A Ma trận vng ma trận có số dịng số cột Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo Ma trận đơn vị ma trận đường chéo có tất phần tử thuộc đường chéo 1, ký hiệu E En Ma trận có dịng(cột) (ma trận cấp n) gọi ma trận dòng (cột) Cộng hai ma trận cấp có nghĩa cộng phần tử vị trí tương ứng với Nhân ma trận với số α có nghĩa nhân phần tử ma trận với α Có phép biến đổi ma trận là: o Đổi chỗ hai dòng (cột); o Nhân dòng (cột) với số khác 0; o Cộng vào dịng (cột) tích dịng (cột) khác với số k tùy chọn; o Phép chuyển vị ma trận Muốn cộng hai ma trận, ta lấy phần tử vị trí tương ứng cộng với Muốn nhân ma trận với số, ta lấy số nhân vào tất phần tử ma trận Muốn trừ hai ma trận, ta lấy phần tử ma trận trước trừ phần tử vị trí tương ứng ma trận sau 38 TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 Bài 3: Các khái niệm phép tốn tuyến tính ma trận Câu hỏi ôn tập Định nghĩa ma trận cấp m n Khái niệm ma trận dòng ma trận cột Nêu khái niệm hệ vectơ dòng hệ vectơ cột ma trận Nêu khái niệm ma trận không, ma trận đối, ma trận chuyển vị hai ma trận Thế ma trận vuông cấp n Khái niệm ma trận đường chéo ma trận đơn vị cấp n Nêu định nghĩa phép cộng hai ma trận phép nhân số với ma trận Nêu định nghĩa phép trừ ma trận Nêu tính chất phép tốn tuyến tính ma trận 10 Nêu phép biến đổi ma trận TXTOCB02_Bai3_v1.0014104226 39