Phân dạng tính đơn điệu của hàm sô đầy đủ và chi tiết có lời giải

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM * Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f ( x) xác định K  Hàm số y  f ( x) đồng biến K x1 , x2  K mà x1  x2  f  x1   f  x2   Hàm số y  f ( x) nghịch biến K x1 , x2  K mà x1  x2  f  x1   f  x2  * Định lí:  Hàm số y  f ( x) đồng biến K  y  ; x  K  Hàm số y  f ( x) nghịch biến K  y  ; x  K Chú ý: dấu “=” xảy số hữu hạn điểm * Nhận xét: - Hàm số đồng biến K , đồ thị có hướng lên từ trái sang phải - Hàm số nghịch biến K , đồ thị có hướng xuống từ trái sang phải - \  x0  để kết luận tính đơn điệu hàm số Khơng dung kí hiệu '' '' (hợp), hay kí hiệu Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm số y  f ( x) * Phương pháp: - Tìm TXĐ - Tính y’( hay f '( x) ) Tìm giá trị xi , i  1, 2, n làm cho y '  y ' không xác định - Lập bảng biến thiên( bảng xét dấu y ' ) - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận tính đơn điệu hàm số a) Loại 1: Hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx  cx  d (a  0) +) TXĐ: D  +) y '  3ax  2bx  c +) Nếu y '  vơ nghiệm có nghiệm kép thì: Nếu a  hàm số đồng biến Nếu a  hàm số nghịch biến +) Nếu y '  có nghiệm phân biệt x1 , x2 Nếu a   bảng biến thiên: x  x1 + y'  x2 - + Hàm số đồng biến khoảng (; x1 ) ( x2 ; ) Hàm số nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) Nếu a   bảng biến thiên: x y'  x1 -  x2 + - Hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) Page Hàm số nghịch biến khoảng (; x1 ) ( x2 ; ) Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y  x3  3x Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số Giải: * TXĐ: D  x   y   * Ta có: y '  3x  x     x   y  4 * BBT:  x + y'  - +  y -4  * Kl: Hàm số đồng biến khoảng (;0) (2; ) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) Nhận xét: Nếu làm trắc nghiệm ví dụ thực chất ta cần lập( kẻ) trục xét dấu sau đủ để kết luận tính đơn điệu hàm số, chưa cần tính giá trị y nghiệm y ' ( cực trị học sau)  x + y'  - + Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y   x3  x  x Giải: * TXĐ: D  * Ta có: y '  3x  x  * Vì y '  vô nghiệm a  3  nên hàm số nghịch biến hay (; ) Bài tập trắc nghiệm: Câu Hỏi hàm số y x3 A (; 1) x2 3x B (1;3) nghịch biến khoảng nào? C (3; ) Câu Hàm số y   x3  3x  nghịch biến khoảng? A B C Câu Hàm số y   x  3x  đồng biến khoảng nào? A  ;0  B  2;   C  0;  D (; ) D D 1;  Câu Hàm số y  x3  3x  nghịch biến x thuộc khoảng sau đây? A (2; 0) B (3;0) C (; 2) Câu Cho hàm số f ( x)  x3  x  Khoảng nghịch biến hàm số là: Page 2 ;0) Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y   x3  3x  là: ) A (-1;1) B (0; A  ;1 va  2;   B  0;  D (0; ) C ( D (1;  ) C  2;   D Câu Hàm số y   x3  3x  đồng biến khoảng: A  ;1 B  0;  C  2;   D Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y  x3  3x  là: A  ; 1 B 1;   C  1;1 D  0;1 Câu Các khoảng đồng biến hàm số y  x3  x là: A  ; 1 va 1;   B  1;1 C  1;1 D  0;1 Câu 10 Các khoảng đồng biến hàm số y  x3  3x  là: A  ;0  va 1;   B  0;1 C  1;1 D Câu 11 Các khoảng nghịch biến hàm số y   x3  3x  là: A  ;0  va  2;   B  0;  C  0; 2 D Câu 12 Các khoảng đồng biến hàm số y  x3  x  x  là: A  ;1 va  ;   B 1;  C  5;7 3   3 Câu 13 Các khoảng nghịch biến hàm số y  3x  x3 là: D  7;3 1 A  ;   va  ;    2 2  1 B   ;   2 D  ;   C  ;    2 2  Câu 14 Cho hàm số y  x  3x  Mệnh đề ? A Hàm số đồng biến khoảng (;0) nghịch biến khoảng (0; ) B Hàm số nghịch biến khoảng (; ) C Hàm số đồng biến khoảng (; ) D Hàm số nghịch biến khoảng (;0) đồng biến khoảng (0; ) Câu 15 Hàm số y  x3  3x  có khoảng đồng biến là: A (; ) B (; 4) vµ (0; ) C 1;3  D (;1) vµ (3; ) Câu 16 Các khoảng nghịch biến hàm số y   x3  x  3x  là: A  ;1 va  2;   B  0;  Câu 17 Hàm số y  x3  x  10 x đồng biến khoảng nào? A  0;  B C  2;   D C  ;1 D  2;   C  ;   D  3;   Câu 18 Hàm số y  x3  3x  x đồng biến khoảng nào? A  1;3 B  3;1 Câu 19 Hàm số y   x3  x  x  nghịch biến khoảng nào? A  ;   B 1;   C  ; 1  3;   D 1;  Câu 20 Hàm số sau đồng biến khoảng (; ) x 1 B y  x3  x x3 Câu 21 Hàm số đồng biến tồn trục số? A y  x3  3x  B y   x3  x A y  C y  x 1 x2 C y  x3  x  D y   x3  3x D y  2 x3  3x Page Câu 22 Hàm số đồng biến khoảng  1;3 ? A y  3x  x 1 B y   x3  x  3x  Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số C y   x  x  D y  x  x  Câu 23 Hàm số nghịch biến tồn trục số? A y  x B y  x3  3x D y   x3  3x  3x  C y   x3  3x  Câu 24 Hàm số sau đồng biến khoảng (1;1) ? A y  x3  3x B C C A B C B C B y   x3  3x A C y  x  3x  D y  x 1 x 1 ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A A A A C A D B C A B C B D B b) Loại 2: Hàm đa thức bậc bốn trùng phương y  ax  bx  c(a  0) +) TXĐ: D  +) y '  4ax3  2bx  x(2ax  b) x  y '    b x  (*) 2a  +) Nếu b  pt(*) có nghiệm x  a b dấu Pt(*) vơ nghiệm Suy Pt y '  có nghiệm x  Nếu a   bảng biến thiên: x  y' - 0 Nếu a   bảng biến thiên: x  y' + 0  +  - x  +) Nếu a b trái dấu y '  có nghiệm phân biệt   x   b  2a Nếu a   bảng biến thiên: x b b    2a 2a y' + + 0 Nếu a   bảng biến thiên: x b   2a y' + 0 + b 2a  - Ví dụ Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số y  x  x  Page Giải: * TXĐ: D  x  y   * Ta có: y '  x3  x  x( x  1)     x  1  y  * BBT: Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 x y' Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số  -1 - 0 +  -  +  y 2 * Kl: Hàm số đồng biến khoảng (1;0) (1; ) Hàm số nghịch biến khoảng (; 1) (0;1) Nhận xét: - Các em cần xét dấu khoảng bất kì, khoảng cịn lại đan xen dấu - Dấu y ' khoảng (1; ) ln dấu với hệ số a Ví dụ Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số y   x  x  Giải: * TXĐ: D  * Ta có: y '  4 x3  x  x( x  1)   x   y  3 * BBT: x y'  0 +  - -3 y   * Kl: Hàm số đồng biến khoảng (;0) Hàm số nghịch biến khoảng (0; ) Bài tập trắc nghiệm: Câu Hàm số y   x  x  nghịch biến khoảng sau đây?   A  3;0 ; 2;   B  2;   C ( 2; ) Câu Hàm số y   x  x  đồng biến khoảng? A B C Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y   x  2x  B  1;  (1; ) C  0;  A (1;0)   D  2;0 va 2;   D D (; 1) (1; ) Câu Hàm số y  x  x  đồng biến khoảng nào? A  1;0  B 1;   C  1;0  1;   D x  Câu Các khoảng đồng biến hàm số y   x  x  là: C (;  ) Câu Hàm số y   x  x  nghịch biến khoảng sau đây? A  ;0  B  0;  C  2;  D D  0;  Page A (;  3) (0; 3) B ( 3;0) ( 3; ) Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số Câu Hàm số y  x  x  nghịch biến khoảng sau đây: A  ;0  B (0; 2) C  2;   D  0;   Câu Hỏi hàm số y  x  nghịch biến khoảng nào? A  ;0  B  0;     C   ;     D  ; 5    C   ;     D  0;   Câu Hỏi hàm số y  2 x  đồng biến khoảng ? 1  A  ;   2  ĐÁP ÁN D C B B  ;0  C A D A A B c) Loại Hàm phân thức hữu tỉ biến y  ax  b (ad  bc  0) cx  d  d \    c ad  bc M +) Ta có y '   (cx  d ) (cx  d )2 +) TXĐ: D  d d +) Nếu M  hàm số đồng biến khoảng TXĐ (;  ) ( ; ) c c d d Nếu M  hàm số nghịch biến khoảng TXĐ (;  ) ( ; ) c c d d Chú ý: Nếu nói hàm số ln đồng biến(nghịch biến) \{  } x   sai chất c c vấn đề 2 x  Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y  x 1 Giải: \ 1 * TXĐ: D  * Ta có: y '  (2).1  (3).1   0, x  1 ( x  1) ( x  1)2 * BBT: x y'   -1 + +  -2 y -2  Page * Kl: Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (1; ) Bài tập trắc nghiệm: Câu Cho sàm số y  2x  (C) Chọn phát biểu đúng? x 1 Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số \ 1 \ 1 C Hàm số nghịch biến khoảng (–; 1) (1; +) D Hàm số đồng biến khoảng (–; 1) (1; +) x2 nghịch biến khoảng: x 1 A  ;1 va 1;   B 1;   C  1;   Câu Hàm số y  Câu Hàm số y  A D 2x  đồng biến khoảng: x3 B  ;3 C  3;   Câu Kết luận sau tính đơn điệu hàm số y  A Hàm số nghịch biến R \ 1 \ 1 D \ 3 2x 1 đúng? x 1 B Hàm số nghịch biến  ;1 1;   C Hàm số đồng biến \ 1 D Hàm số đồng biến  ;1 1;   x 1 Khẳng định sau khẳng định đúng? x 1 A Hàm số đồng biến \ 1 Câu Cho hàm số y  B Hàm số nghịch biến khoảng ( ;1) (1; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( ;1) nghịch biến khoảng (1; ) D Hàm số nghịch biến 2x  Câu Cho hàm số y = Khẳng định sau đúng? x 1 A Hàm số đồng biến tập xác định B Hàm số đồng biến (-∞; - 1) (1; ) C Hàm số nghịch biến tập xác định D Hàm số nghịch biến (-∞; -1) (1; ) Câu Hàm số nghịch biến khoảng tập xác định nó? 2x 1 x  A y  B y  C y  x  x  D y  x3  x  x  x 1 x2 ĐÁP ÁN: A C C B B B A d) Loại Hàm số khác x2 đồng biến khoảng đây? 1 x A (;1) 1;  B (;1) (2; ) Page Câu Hàm số y  C  0;1 1;  D (;1) (1; ) Giải: Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số \ 1 ‫٭‬TXĐ: D  ( x ) '(1  x)  x (1  x) ' x(1  x)  x (1)  x  x   (1  x)2 (1  x)2 (1  x)2 ‫٭‬Ta có: y '  x  y '  o   x2  2x    x  ‫٭‬BBT  x y' - 0 + +  - Chọn đáp án C x2  8x  Câu Hàm số y  đồng biến khoảng nào? x2  1 A (-  ;  ) B ( ; +  ) C (-2;  ) 2 Giải: * TXĐ: D  D (-  ;  ) ( ; +  )  x  3x  2 x   ; y '   x  x     ( x  1) x  * Ta có y '  * BBT: x   + y'  - + * Chọn đáp án D x Câu Hàm số y  nghịch biến khoảng nào? x x A (-1; +∞) B (0; 1) C [1; +∞) Giải: x   D  (;0)  (1; ) * TXĐ: x  x    x  D (1; +∞) 2x 1 x  x  x x 1 x2  x   2 x x 2( x  x) x  x 2( x  1) x  x * Ta có: y '  * BBT:  x y'  + - * Chọn đáp án D Câu Hàm số y  x    x nghịch biến trên: Page A (3; 4) B (2;3) C ( 2;3) D (2; 4) Giải: * TXĐ: D   2; 4 Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số 1 * Ta có: y '   x2 4 x y'   x2  4 x  x2  4 x  x  * BBT: x y'  +  - y 2 * Chọn đáp án A Câu Cho hàm số y  3x  x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng  0;2  B Hàm số đồng biến khoảng  ;0  ;  2;3 C Hàm số nghịch biến khoảng  ;0  ;  2;3 D Hàm số nghịch biến khoảng  2;3  Giải: * TXĐ: 3x  x3   x (3  x)   x   D   ;3 * Ta có: y '  x  ; y '   x  3x   3x  x x  x  3x 2 * BBT: x y'  - + - y * Chọn đáp án B Câu Hàm số y  sin x  x : A Đồng biến B Đồng biến  ;0  C Nghịch biến D Nghịch biến  ;0  đồng biến  0;   Giải: * TXĐ: D  * Ta có: y '  cosx   0x  Suy hàm số nghịch biến * Chọn đáp án C Câu Cho hàm số sinx  cosx  3x Tìm khẳng định khẳng định sau: A Hàm số nghịch biến (;0) B Hàm số nghịch biến (1;2) D Hàm số đồng biến (; ) C Hàm số hàm số lẻ Page Giải: * TXĐ: D    * Ta có y '  cosx  sinx   2sin( x  )     2sin( x  )  2, x  4 Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số Suy hàm số đồng biến * Chọn đáp án D x Câu Cho hàm số y   sin2 x, x  0;   Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào?  7 11   7   11  ;  ; A  0; B      12   12   12 12   7   7 11  ; C  0;     12   12 12  Giải: * TXĐ: D   7 11 ; D   12 12   11    12 ;      7   x  12 1    0;   * Ta có: y '   sin x   sin x    sin( )   2  x  11  12 * BBT: x 7 11  12 12 + 0 + y' * Chọn đáp án A Câu Cho hàm số sau: (I) : y  x3  x  3x  (IV) : y  x3  x  sin x x 1 (III) : y  x  x 1 (V) : y  x  x  Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A B C D Giải: * Loại hàm (V) hàm bậc trùng phương khơng thể đồng biến nghịch biến TXĐ * Xét hàm (I): y '  x  x  , y '  vô nghiệm a   nên hàm số đồng biến (II) : y   0, x  1 nên hàm số đồng biến khoảng xác định ( x  1)2 2x * Xét hàm (III): y '   0x  nên hàm số đồng biến (0; ) x2  * Xét hàm (II): y '  * Xét hàm (IV): y '  3x   cosx  0x bên hàm số đồng biến Vậy có hàm (I), (II), (IV) thỏa mãn yêu cầu Chọn đáp án C Câu 10 Cho hàm số sau: (I) : y   x3  3x  3x  (II) : y  sin x  x (IV) : y  x2 1 x Hỏi hàm số nghịch biến toàn trục số? A (I), (II) B (I), (II) (III) C (I), (II) (IV) D (II), (III) Giải: Page 10 (III) : y   x3  Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 o 2S1   [2f '( x)  x]dx  2 o o  Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số 2  g '( x)dx  g ( x) 2  g (2)  g(2)   g (2)  g(2) (1) 2 4 2  g (2)  g(4)   g (2)  g(4) 2S2   [2 x  2f '( x)]dx    g '( x)dx   g ( x) (2) S1  S2  g (2)  g(2)  g (2)  g(4)  g (4)  g(2) (3) Từ (1), (2), (3) suy g (2)  g(4)  g(2) Câu Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ bên y Đăt g ( x)  f ( x)  ( x  1) Mệnh đề đúng? A g (3)  g (3)  g (1) B g (1)  g (3)  g (3) S1 C g (3)  g (3)  g (1) y  x 1   S2 -3 D g (1)  g (3)  g (3) O  x -2 Giải:Chọn D  Ta có g '( x)  f '( x)  2( x  1)  Kẻ đường thẳng y  x  , gọi S1 , S hình phẳng giới hạn đường hình vẽ Khi ta có: o 2S1   [2f '( x)  2( x  1)]dx  3 1  g '( x)dx  g ( x) 3  g (1)  g(3)   g (1)  g(3) 3 (1)  o 3 2S2   [2( x  1)  2f '( x)]dx    g '( x)dx   g ( x)  g (1)  g(3)   g (1)  g(3) (2) 1 o S1  S2  g (1)  g(3)  g (1)  g(3)  g (3)  g(3) (3) Từ (1), (2), (3) suy g (1)  g(3)  g(3) Câu Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ bên Đăt g ( x)  f ( x)  ( x  1) Mệnh đề đúng? y   x  y  A g (1)  g (3)  g (3) B g (1)  g (3)  g (3) -3 C g (3)  g (3)  g (1) S1 -2 D g (3)  g (3)  g (1) Giải:Chọn B  Ta có g '( x)  f '( x)  2( x  1)  x O -4  S2  Kẻ đường thẳng y  ( x  1) , gọi S1 , S hình phẳng giới hạn đường Page 35 hình vẽ Khi ta có: o 1 3 3 2S1   [  2( x  1)  2f '( x)]dx    g '( x)dx   g ( x)  g (3)  g(1)   g (3)  g(1) 3 (1) Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG môn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số  o 2S2   [2f '( x)  2( x  1)]dx   g '( x)dx  g ( x)  g (3)  g(1)   g (3)  g(1) 1 (2) o S1  S2  g (3)  g(1)  g (3)  g(1)  g (3)  g(3) (3) Từ (1), (2), (3) suy g (3)  g(3)  g(1) Dạng Tính đơn điệu hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Loại Từ đồ thị (C) hàm số y  f  x  , suy cách vẽ đồ thị (G) hàm số y  f  x  Cần nhớ:   f  x  f  x   - Ta có y  f  x      f  x  f  x   - Suy đồ thị  G  xác định sau: +) Giữ nguyên phần đồ thị (C ) phía trục hồnh +) +) Lấy đối xứng qua trục hồnh phần đồ thị (C ) phía trục hồnh bỏ phần đồ thị phía trục hồnh Ví dụ Hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị hình vẽ Xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x) ? Giải: y y -2 -1 O -1 x O x -2 -2  Từ đồ thị hàm số f ( x) ta suy đồ thị hàm số f ( x) hình vẽ  Suy ra, hàm số đồng biến khoảng (1;0),(1; 2),(3; ) hàm số nghịch biến khoảng (; 1), (0;1), (2;3) Loại Từ đồ thị (C) hàm số y  f  x  , suy cách vẽ đồ thị (H) hàm số y  f  x  Cần nhớ: - Vì  x  x nên y  f  x  hàm số chẵn, suy đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối Page 36 xứng Suy đồ thị  H  xác định sau: +) Bỏ phần đồ thị (C ) bên trái trục tung +) Giữ nguyên phần đồ thị (C ) bên phải trục tung +) Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị (C ) bên phải trục tung Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số Ví dụ Hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị hình vẽ Xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x ) ? y  Giải: y  -1  -3 -2    -1 O -2      1 O -2  x   x    Từ đồ thị hàm số f ( x) ta suy đồ thị hàm số f ( x) hình vẽ  Suy ra, hàm số đồng biến khoảng (2;0), (2; ) hàm số nghịch biến khoảng (; 2), (0; 2) Loại Từ đồ thị (C) hàm số y  f  x  , suy cách vẽ đồ thị (K) hàm số y  f  x  Lời giải Cần nhớ:  f  x  f  x   - Ta có y  f  x     f  x  f  x   - Suy đồ thị  K  xác định cách thực liên tiếp phép lấy đối xứng( từ ngoài): +) Thực phép đối xứng qua trục tung( theo loại 2) +) Tiếp tục thực phép đối xứng qua trục hoành( theo loại 1) đồ thị vừa tìm Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  x3  x2  x  , vẽ đồ thị (K) hàm số y  x  6x2  x  y O    x Giải: Page 37 -1   Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số Dạng Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng cho trước ### Cần nhớ: Đối với tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c  a   a  * f ( x)  x  R     a  * f ( x)  x  R     a  * f ( x)  x  R     a  * f ( x)  x  R     So sánh nghiệm phương trình bậc với số   Giả sử Pt ax  bx  c  có nghiệm phân biệt x1 , x2 , :   x1 x2  ( x1  x2 )    ( x1   )( x2   )   x1  x2    x1    x2        x1  x2  2  ( x1   )  ( x2   )      x1  x2   x1    x2      x1    x2  x1     x2    ( x1   )( x2   )   x1 x2  ( x1  x2 )     ( x1   )( x2   )   x x  ( x1  x2 )     ( x1   )  ( x2   )    x1  x2  2  b   x1  x2  a Với  x x  c  a Định lí Max - Min  f ( x)  m x  D  minf ( x)  m x  D  f ( x)  m x  D  maxf ( x)  m x  D a) Loại Hàm bậc y  ax3  bx  cx  d (a  0) Page 38 Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau nghịch biến ? y   x  mx  (2m  3) x  m  A 3  m  B m  C 3  m  D m  3; m  Giải: Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12   TXĐ: D  Ta có: y '   x  2mx  2m    'y '  m2  2m   Hàm số nghịch biến Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số  y '  x  '   y '  m  2m      3  m  a  1    Chọn đáp án A x3  mx  mx  m đồng biến C m  1 D m  6 Câu Tìm giá trị nhỏ tham số m cho hàm số y  ? A m  5 B m  Giải:  TXĐ: D   Ta có: y '  x  2mx  m   'y '  m2  m  Hàm số đồng biến  y '  x  '   y '  m  m     1  m  a  1    Giá trị nhỏ m -1 Chọn đáp án C Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  x  mx  đồng biến khoảng  0;   ? A m  C m  B m  12 D m  12 Giải: # Cách 1: Theo định lí tam thức bậc  TXĐ: D   Ta có: y '  3x  12 x  m   'y '  36  3m  TH1: Nếu  'y '   36  3m   m  12 a   o Suy hàm số đồng biến  nên đồng biến  0;   o Vậy m  12 thỏa mãn TH2: Nếu  'y '   36  3m   m  12 o Suy pt y '  có nghiệm phân biệt x1  o Bảng biến thiên x  y' +  36  3m -  36  3m  36  3m , x2  3  36  3m o Từ bbt suy ra, hàm số đồng biến  0;     +  36  3m 0 Page 39  36  3m  6 bpt vô nghiệm  Kết luận m  12 Chọn đáp án D Chú ý: Ở TH2 giải sau: o Nếu m  12 Pt y '  có nghiệm phân biệt x1, x2 ( khơng cần tính nghiệm cụ thể) Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số c  m x x      a  o Hàm số đồng biến  0;    x1  x2    VN  b 12 x  x   0 0  a  # Cách 2: Dùng phương pháp hàm số( min, max)  TXĐ: D   Ta có: y '  3x  12 x  m  Hàm số đồng biến  0;    y '  x  (0; )  3x  12 x  m  x  (0; )  g ( x)  3x  12 x  m x  (0; )  g ( x)  3x  12 x  m x  [0; ) ( g ( x) liên tục)  max g ( x)  m 0;  (1) Xét hàm số g ( x)  3x  12 x , x   0;   Ta có: g '( x)  6 x  12   x   y  12 Bbt x + y'  12 y  Từ bbt suy max g ( x)  12 (2) 0;  Từ (1) (2) suy kết luận m  12 Chọn đáp án D Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  mx3  7mx  14 x  m  giảm nửa khoảng [1; ) ? 14  14    A  ;   B  ;   C 15  15    Giải:  Cách Dùng phương pháp hàm số  TXĐ: D   Ta có: y '  mx  14mx  14 14    2;  15   14  D   ;    15  (Ycbt)  y '  x  1;    mx  14mx  14  x  1;    ( x  14 x)m  14  x  1;   14 x  1;   (vì x  14 x  0, x  ) x  14 x 14   m (1) 1;    x  14 x 14 * Xét hàm số g ( x)  , x  1;   x  14 x Page 40 m Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 14(2 x  14) o g '( x)    x  7 ( x  14 x)2 o BBT x -7 - + g '( x) Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số  + g ( x) 14 15 14 14 (2)  1;  x  14 x 15 14 14  Từ (1) (2) suy m   m  (; ] , Chon đáp án B 15 15  Cách Phương pháp tam thức bậc  TXĐ: D   Ta có: y '  mx  14mx  14 o Từ bbt   Nếu m   y '  14 , x   Nếu m  ta có   49m  14m ' y'  m  không thỏa mãn  hàm số đồng biến o TH1:  '   49m2  14m    m   hàm số đồng biến không thỏa mãn m  (1)  y ' có nghiệm phân biệt x1  x2 o TH2:  '   49m  14m    m   Dấu y ' : 0m x  y' x1 -  x2 + - ( x  1)( x2  1)  (Ycbt )  x1  x2   x1   x2     ( x1  1)  ( x2  1)   x x  ( x1  x2 )    (*)  x1  x2   b   x1  x2  a  14 Theo định lí Vi-et ta có  , thay vào (*) ta được:  x x  c  14  a m Page 41 14 14  15m 0 14   14     m  14  15m   m  (2) m 15 14   16   Từ (1) (2) suy m  14 14  m  (; ] , Chon đáp án B 15 15 Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số 1 Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y   x3  (m  2) x  m(m  3) x  giảm 3 nửa khoảng (1; ) ? m  5 5 m4 A  B m  C D m  m   2  Giải: Bài phải dung phương pháp tam thức bậc không cô lập tham số m đạo hàm hàm số  TXĐ: D   Ta có: y '   x  2(m  2) x  m(m  3)  '  (m  2)  m(m  3)   m   TH1:  '    m   m  a  1   y '  0, x   hàm số nghịch biến  hàm số nghịch biến (1; )  m  thỏa mãn (1) TH2:  '   m   y '  có nghiệm phân biệt x1  x2 Dấu y ' : x y'  x1 -  x2 + - ( x1  1)( x2  1)   x x  ( x1  x2 )    (Ycbt) x1  x2   x1   x2     (*) ( x1  1)  ( x2  1)   x1  x2   b   x1  x2  a  2(m  2) Theo định lí Vi-et ta có  , thay vào (*) ta được:  x x  c  m(m  3)  a  5 m    m2  5m   m(m  3)  2(m  2)   5 (2)     5  m  2(m  2)    2m   m   m  m   Từ (1) (2) suy  , Chọn đáp án A m    1 Câu Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y   x3  mx  (m  2) x  đồng biến 3 đoạn có độ dài là: m   m  3 A  B m  C  D m  2  m  2 m  Page 42 Giải:   TXĐ: D  Ta có: y '   x  2mx  m    '  m2  m  Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12  Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số TH1:  '  , a  1   hàm số nghịch biến  không thỏa mãn yêu cầu  m  2 (1)  y ' có nghiệm phân biệt x1  x2 TH2:  '   m  m     m   o Dấu y '  x x1  x2 + y' o (Ycbt )  x1  x2   ( x1  x2 )  x1 x2  16 (*) o  x1  x2  2m Theo định lí Vi-et   x1 x2  (m  2) m  Thay vào (*): 4m  4(m  2)  16  m  m     thỏa mãn (1)  m  3 m  Kết luận:  , Chọn đáp án C  m  3  Câu Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)   x3  12 x  2, x  Tìm tất tham số thực m cho hàm số g ( x)  f ( x)  mx  đồng biến khoảng (1;4) A m  14 B m  14 C m  10 Giải:  Ta có g '( x)  f '( x)  m   x3  12 x   m  D m  10 (Ycbt )  g '( x)  0, x  (1; 4)   x3  12 x   m  x  (1;4)  h( x)   x3  12 x   m x  [1; 4]  m  g ( x) 1;4  Xét hàm số h( x)   x3  12 x   x  2  h(2)  14 h '( x)  3x  12     x   h(2)  18 o BBT o x h '( x) - -2 + 13 - 18 h( x ) -14 -14 o Từ BBT suy ra: m  14 , Chọn B Page 43 b) Loại Hàm đa thức bậc trùng phương y  ax  bx  c Câu Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  2mx  đồng biến (1; ) là: A m  Giải: B m  C m  D  m  Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số   TXĐ: D  Ta có: y '  x3  4mx  x( x  m)  TH1: Nếu m  y '   x( x  m)   x   y '  0, x  (1; )  m  thỏa (1) x  TH2: Nếu m  y '   x( x  m)    x   m BXD:   x y'  m + 0 -  m + (Ycbt )  m   m    m  (2)  Từ (1) (2) suy m  , chọn đáp án B Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  2(m  1) x  m  đồng biến (1;3) là: A m  B m  C m  D  m  Giải:   TXĐ: D  Ta có: y '  x3  4(m  1) x  x[x  (m  1)]  TH1: Nếu m    m  y '   x[x  (m  1)]   x   y '  0, x   Hàm số đồng biến (0; )  Hàm số đồng biến (1;3)  m  thỏa mãn (1)  x  TH2: Nếu m    m  y '   x[x  (m  1)]     x   m 1 BXD: x  - y'  m 1 + 0 - m 1  + (Ycbt )  m    m    m  (2)  Từ (1) (2) suy m  , chọn đáp án B c) Hàm phân thức hữu tỉ mx  Câu Giá trị m để hàm số y  nghịch biến khoảng xác định là: xm A 2  m  B 2  m  1 C 2  m  D 2  m  Giải:  TXĐ: D  \{  m} Page 44  Ta có: y '  m2  ( x  m)2  (Ycbt )  y '  0, x  D  m2    2  m  , Chọn đáp án A Chú ý: Hàm số khơng có dấu “=” y’ Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số mx  Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  đồng biến (;3] là: xm  m  2 A 2  m  B m  C  D m  m  Giải:  TXĐ: D  \{m}  Ta có: y '  m2  ( x  m)2    m  2  y '  0, x  (;3] m2     (Ycbt )     m   m  m  (;3] m  m   Chọn đáp án B x  2mx  m Câu Hàm số y  đồng biến khoảng xác định khi: x 1 A m  B m  C m  D m  1 Giải:  TXĐ: D  \{1} y'  (2 x  2m)( x  1)  ( x  2mx  m) x  x  m  ( x  1)2 ( x  1)2  Ta có:  (Ycbt )  y '  0, x   x  x  m    '    m   m  Chọn đáp án B mx  x  Câu Hàm số y  nghịch biến nửa khoảng [1; ) khi: x2 14 A m  B m  C m   Giải:  TXĐ: D  \{-2} y'  Ta có:  (Ycbt )  y '  0, x   mx  4mx  14  0, x   m( x2  x)  14, x   m  o Ta có g'( x)  BBT 14 mx  4mx  14 ( x  2)2  o D m   14  g ( x)  m  g ( x) [1; ) x  4x 14(2 x  4)   x  2 ( x  x) x y'  + y 14 Page 45  Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12  Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số 14 o g ( x)   1;  14 Vậy m   , Chọn đáp án C Dạng Ứng dụng tính đơn điệu để giải PT, BPT ### Phương pháp:  Đưa PT, BPT dạng f ( x)  m, f ( x)  m  Lập BBT f ( x)  Dựa vào BBT để kết luận Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x3  3x  x  m  có nghiệm?  m  27  m  27 A 27  m  B  C  D 27  m  m  m  Giải:  ( Pt )  x3  3x  x  m  Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y  x3  3x  x đường thẳng y  m  Ta có BBT hàm số y  x3  3x  x x y'  + -1 -  +  y   -27  m  27 Từ BBT suy ra, (Ycbt )   , Chọn đáp án B m  Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x   x  m có nghiệm thực? A m  B m  C m  D m  Giải:  ĐKXĐ: x  1  ( Pt )  x   x  m  Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y  x   x đường thẳng y  m  Xét hàm số y  x   x , với x  1 Page 46 o Ta có y '  1 x 1 y '   x 1   x 1   x  o BBT o Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 x y' Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số -1  0 + - y   Từ BBT suy ra, (Ycbt )  m  , Chọn đáp án B Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình nghiệm dương? B 3  m  A  m  Giải:  x  x   m  x  x có C   m  D 3  m  Đặt t  x  x  , Pt cho trở thành t  t   m  (1) x2 o Xét hàm số f ( x)  x  x  , ta có f '( x)  ; f '( x)   x  2 x  4x  o Xét x  ta có bảng biến thiên x f '( x) -  +  f ( x) x  x   t có nghiệm t dương  t  o Từ BBT suy ra, Pt  (Ycbt )  tìm m để phương trình (1): t  t   m  có nghiệm t  (1; 5)  g (t )  t  t   m có nghiệm t  (1; 5) o o Ta có g '(t )  2t   0, t  (1; 5) BBT x + y' y -3 o Page 47  Từ BBT suy 3  m  Kết luận 3  m  , Chọn đáp án B Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình log32 x  log32 x   2m   có nghiệm thuộc đoạn [1;3 ] Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12 A 1  m  Giải:  ĐK: x   B  m  C  m  Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số D 1  m  Đặt t  log32 x   log32 x  t  , x 33 1 t  Phương trình cho trở thành: t  t  2m    t  t   2m,  (Ycbt )  tìm m để đths g (t )  t  t  đường thẳng y  2m cắt điểm t [1; 2] đoạn [1; 2] o Xét hàm số g (t )  t  t  , t [1; 2] Ta có g '(t )  2t    t   o BBT t g '(t) + g (t ) o Từ BBT suy ra,  2m    m  , Chọn đáp án B Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình 3(  x   x )  (1  x)(3  x)  m nghiệm với x  [  1;3] ? A m  Giải: C m   B m  D m    Đặt t   x   x  t  (1  x)(3  x)   (1  x)(3  x)  t   Với x [  1;3]  t [2;2 2]  Bất phương trình cho trở thành f (t )  t  3t   m , t [2;2 2]  (Ycbt )  m  f (t )  Xét hàm số f (t )  t  3t   2;2    o Ta có f '(t )  2t  3; f '(t )   2t    t  2 o BBT t 2 - f '(t) f (t ) Page 48 4  Kết luận m   , Chọn D Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL Tài liệu ôn thi THPTQG mơn Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số Page 49 ĐANG CẬP NHẬT PHẦN TIẾP THEO TRONG THỜI GIAN SỚM NHẤT, CÁC EM VUI LÒNG CHỜ NHÉ! THÂN MẾN! Tài liệu biện soạn sưu tầm có sai sót mong Q Thầy Cơ em HS góp ý Trân trọng cảm ơn! SĐT+Zalo:0989.809.039 Facebook: https://www.facebook.com/ThayTrongDGL ... dấu sau đủ để kết luận tính đơn điệu hàm số, chưa cần tính giá trị y nghiệm y ' ( cực trị học sau)  x + y'  - + Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y   x3  x  x Giải: * TXĐ: D  * Ta có: y... Tốn 12 Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số * Loại hàm (III) (IV) tập xác định khơng phải đơn điệu tồn trục số * Chọn đáp án A nên chúng Dạng Cho biểu thức f '( x) , hỏi khoảng đơn điệu hàm số y  f (u(... Chủ đề: Tính đơn điệu hàm số C Hàm số (C ) nghịch biến khoảng (1;1) D Hàm số (C ) đồng biến khoảng (1; 2) Loại Cho đồ hàm số y  f '( x) Hỏi khoảng đơn điệu hàm số y  f (u( x)) y Câu Hàm số