Từ những kiến thức đó đã nêu đƣợc các ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong việc giải các bài toán ở trƣờng trung học phổ thông. Phƣơng pháp tuyến tính hóa cho ta những cách giải độc[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
………
NGUYỄN TIẾN TUẤN
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
………
NGUYỄN TIẾN TUẤN
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS LÊ ĐÌNH ĐỊNH
(3)1 MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Dãy số, hàm lƣới sai phân
1.2 Phƣơng trình sai phân tuyến tính
1.3 Một số phƣơng trình sai phân tuyến tính đơn giản 13
1.4 Phƣơng trình sai phân phi tuyến tính tuyến tính hóa 23
1.5 Một số phƣơng trình sai phân phi tuyến tính thƣờng gặp 24
Chƣơng 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 29
2.1 Giải hệ phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 29
2.2 Chuyển đổi đại lƣợng trung bình 31
2.3 Tìm giới hạn dãy số 33
2.4 Giải toán số học 41
2.5 Giải toán phƣơng trình hàm 52
2.6 Giải tốn tích phân 56
BÀI TẬP THAM KHẢO 60
KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
(4)2
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn tác giả đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn trực tiếp
của Tiến sĩ Lê Đình Định – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc
Gia Hà Nội
Lời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến ngƣời thầy dạy
và ngƣời thầy hƣớng dẫn - Tiến sĩ Lê Đình Định Thầy dành nhiều thời gian để bảo, hƣớng dẫn tác giả với nhiệt tình, chu đáo, sâu sắc, đầy kinh
nghiệm học tập suốt q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn
này
Xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ tất ngƣời tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành nhiệm vụ
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015
(5)3
LỜI MỞ ĐẦU
Rất nhiều tƣợng khoa học kỹ thuật thực tiễn mà việc tìm hiểu
dẫn đến tốn giải phƣơng trình sai phân Phƣơng trình sai phân cịn cơng
cụ giúp giải tốn vi phân, đạo hàm phƣơng trình đại số cấp cao
Sự đời phƣơng trình sai phân xuất phát từ việc xác định mối quan
hệ thiết lập bên đại lƣợng biến thiên liên tục (đƣợc biểu diễn
hàm, chẳng hạn f(x) ) với bên lại độ biến thiên đại lƣợng
Đối với hàm thơng thƣờng nghiệm giá trị số (số thực, số phức,… )
Cịn phƣơng trình sai phân mục tiêu tìm cơng thức hàm chƣa đƣợc
biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề Thông thƣờng họ phƣơng
trình, sai lệch số C Hàm đƣợc xác định xác
có thêm điều kiện xác định ban đầu điều kiện biên
Trong ứng dụng thực tế, khơng dễ dàng để tìm cơng thức hàm
nghiệm Với giá trị thực tiễn ngƣời ta quan tâm tới giá trị hàm
các giá trị cụ thể biến độc lập
Các phƣơng pháp nhằm tìm giá trị xác hàm đƣợc gọi phân tích
định lƣợng Tuy nhiên khơng phải lúc xác định đƣợc giá trị thực, lúc ngƣời ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ (có độ xác định) với
giá trị thực Việc tìm giá trị đƣợc thực thƣờng phƣơng pháp số
với cơng cụ máy tính
Phƣơng trình sai phân đƣợc nghiên cứu rộng rãi tốn học túy
ứng dụng, vật lí ngành kỹ thuật
Toán học túy quan tâm đến việc tìm tồn hàm
nghiệm
Phƣơng trình sai phân đƣợc phân làm nhiều loại, luận văn trình bày nghiên cứu
về phƣơng trình sai phân có chứa số hạng đại số sai phân
Trong loại phƣơng trình sai phân lại đƣợc chia thành hai dạng tuyến tính
(6)4
đƣợc nhƣng phƣơng trình sai phân phi tuyến tính khơng có cơng thức chung để giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng Thay vào dùng hàm tuyến tính để xấp xỉ hàm phi tuyến với điều kiện ràng buộc định
Ở trƣờng trung học phổ thông nhƣ kỳ thi học sinh giỏi toán
xuất nhiều tốn hay khó dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy hồi,
phƣơng trình hàm, … đƣợc cho dƣới dạng phƣơng trình sai phân hay có sử
dụng phƣơng trình sai phân để giải Chính mà nhiệm vụ tìm hiểu ứng
dụng phƣơng trình sai phân tốn phổ thơng u cầu cấp
thiết quan trọng
Việc xây dựng có hệ thống kiến thức phƣơng trình sai phân có
phân loại dạng phƣơng trình sai phân với tổng hợp phƣơng pháp giải
đóng góp tốt hơn, có hiệu cao cho việc định hƣớng nghiên cứu phát triển tƣ cho học sinh
Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chƣơng nhắc lại xây dựng kiến thức mà đƣợc ứng dụng
rộng rãi chƣơng sau
Phần kiến thức chuẩn bị nhắc lại định nghĩa dãy số, hàm
lƣới, sai phân tính chất sai phân
Phần thứ hai chƣơng trình bày kiến thức định nghĩa, phân dạng
các phƣơng pháp giải dẫn đến công thức nghiệm phƣơng trình sai phân
tuyến tính
Phần thứ ba chƣơng giới thiệu số dạng phƣơng trình sai phân tuyến
tính đơn giản, thƣờng gặp tốn phổ thơng Đó phƣơng trình sai
phân tuyến tính cấp một, hai, ba phƣơng pháp giải dẫn đến công thức
(7)5
Phần thứ tƣ chƣơng trình bày phƣơng trình sai phân phi tuyến tính
vấn đề tuyến tính hóa Đặc biệt phần nêu đƣợc phƣơng pháp để
tuyến tính hóa số phƣơng trình sai phân dạng phi tuyến tính dạng tuyến tính
giải đƣợc Nhờ mà làm phong phú thêm ứng dụng phƣơng trình sai phân
Phần cuối chƣơng giới thiệu số dạng ví dụ phƣơng trình sai
phân phi tuyến tính tuyến tính hóa đƣợc
Chƣơng 2: Một số ứng dụng phƣơng trình sai phân
Chƣơng nêu ứng dụng phƣơng trình sai phân giải tốn phổ
thơng Đặc biệt giới thiệu đƣợc số tốn kì thi học sinh giỏi có
sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính phi tuyến tính để giải Vấn đề tuyến
tính hóa đƣợc thâm nhập sâu đa dạng chƣơng
Phần chƣơng nêu rõ đƣợc phƣơng pháp giải tổng quát cho hệ hai
phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một, việc biến đổi có sử dụng phƣơng
trình sai phân tuyến tính cấp hai Trong phần đƣa số tập có lời
giải để học sinh nắm bắt dạng toán vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải
Phần hai chƣơng tổng qt đƣợc sáu dạng tốn có lời giải chuyển
đổi đại lƣợng trung bình đối số hàm số nhờ việc biến đổi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phần ba chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải số
bài tập việc tìm giới hạn có liên quan đến dãy số đƣợc biết đến dƣới dạng: số
hạng tổng quát; phƣơng trình sai phân hay hệ phƣơng trình sai phân
Phần bốn chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải số
bài toán liên quan đến số học
Phần năm chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải
bài tốn phƣơng trình hàm
Phần cuối chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải
(8)6
Những kiến thức trình bày luận văn phổ thông đƣợc dùng cho
các em học sinh ôn luyện tham gia kì thi học sinh giỏi Tất nhiên kiến thức
đó đƣợc xếp, trình bày cách có hệ thống để tiện theo dõi Ngƣời đọc từ
có thể nhận xét, đánh giá tổng quan để bổ sung, mở rộng kiến thức
nhằm phát huy khả sáng tạo, say mê khám phá hứa hẹn nhiều kiến thức
(9)7
( ) ( )
( ) * + ( )
( )
) ( )
) ( )
(10)8
( )
* +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) * +
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
∑( )
(
( ) )
(11)
9
( ) ( )
) )
)
∑
( )
∑
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
| |
(12)10
) ( ) ) ( ) ) ( )
( ) ( )
) ( )
( ) ( ) ̃ ( ) ( )
̃ ( ) ( ) ̃ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
( ) ̃
̃ ( ) ( )
( ) ( ̃ ) ( ̃ ) ( ) ( )
( ) ̃
( )
( )
(13)11
* + ( ) ( ) ̃ ( )
( ) ( )
( )
̃ ∑
∑
( ) ( )
| | √
̃ ∑
( )
( )
( )
( )
) ( ) ( ) ) ( ) ( )
( ) ( ) ) ( ) ( )
) ( ) ( )
( )
(14)(15)13
) ) )
)
̃ ̃
̃
̃
( ) ) ( )
) ( )
(16)14
) ( )
̃ ̃ ( )
( ), ( ) - ( )
( ) ̃ ( )
( ) ( )
̃
̃
̃
(17)15
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
{
( )
̃ ̃ [( ) ∏
]
{
( )
( )
( )
̃ ( ) ( )
(18)16
*(( ) ) ( ) +
( ) * ( ) + ( ) ( ) ( )
̃ ( ) ( ) ( )
̃ * ( ) + ( )
̃
̃ ( ∑
)
̃
( /
)
/
/
/
/
(19)
17
( )
̃
( )
( ) ,( ) - , ( ) - ( ) ( )( ) ( )
̃
( ) ( ) ( )
) ) )
(20)18
̃ ̃
̃
) ̃
) ̃ ( )
) ( ) ̃ ( )
( ) ) ( ) ( ) ) ( )
) ( )
( ) ( ) ) ( ) ( )
) ( ) ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) ) * +
) ( ) ( )
(21)19
̃
̃
̃ ( )
̃
, ( ) ( ) - , ( ) ( ) - ( )
( )
{
{
(22)
20
̃ ( )
( ) ( ) ̃
̃ ( )
( )
, ( ) ( )- , ( ) ( )- ( )
{ {
̃ ( )
( )
(23)21
)
) )
)
̃
̃
̃
) ̃
) ̃ ( ) ) ̃ ( ) ) ( )
̃ ( )
(24)
22
) ( )
) ( ) ) ( ) ) ( ) ( )
)
) ( ) ) ( )
( )
( )
̃
( )
( )
( )
(25)23
)
) √
( )
{
(26)
24
( )
{
( )
( )
{
/
{ { {
( ) ( )
(27)
25
{
/
( )
{ { {
( )
( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
{
/
√
(√ ) ( √ )
(√ ) (√ ) (√ ) ( √ )
√ √
(28)(29)27
√
√
√
√
√
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )
√ √
√ [ ( √ ) ( √ ) ]
* + √
√
(30)28
√
√
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ ) (√ √ ) (√ √ )
( )
(√ √ ) (√ √ ) *(√ √ ) (√ √ ) +
)
)
(31)29
{ ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
(
)
* +
{ { {
(32)30
{
(
)
( )
{ ( ) { ( )
( ) ( ) ( )
{
(
)
√
{
{
√
{
( )
(33)
31
{ (
) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) *( ) ( )+ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ ( ) ( ) {
( ) ( )
{ (
) √ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) √ ( )
( )
( ) ( ) √ ( ) ( )
( )
( ) (( ) ( )) √ ( ) ( )
( ( )) [ ( ( )) ( ( ))]
(34)32
( ) ( ( )) ( )
{
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
{
( ) √ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) √ ( ) ( )
( ) ( ) √ ( ) √ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(35)33
{ (√ )
( ) ( )
( ) ( ) ( √ )
(√ ) / ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
(√ ) √ ( ) ( )
( ) ( ) ( √ )
( ) ( ) (√ ) (√ ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
* + ( )
( )
( )
* +
(36)(37)(38)
36
√ ( )
√ (√ ) , -
√ , -
(√ ) , - ( )
√ / /
* +
√ √ √
√ √ √
√
√ √ √ √ ( )
√ √ √ ( )
√
* +
â ự ã ố * + ƣ ∑
ì
(39)
37
( ) ( )
∑ (
)
(
)
(
)
* +
ì (
)
ó
( ) ( )
∑
∑ ( )
(
)
* +
(
)
* + √ ì
{ √
( ) (√ )
(40)38
(√ ) (√ ) / (
)
.(√ ) (√ ) /
/
√
* + * + ∑ ì
( √ ) ( √ )
√ √
√ ( √ ) √ ( √ )
∑ (
)
√
( √ )
( √ ) √
ậ ( √ ) * +
√ √ ì
(41)
39
√ √
√ √
* +
√
√ √
( √ ) ( √ )
[( √ ) ( √ ) ]
√
* + (
)
ì
{
√ ( √ ) ( √ ) ( √ )
√ ( √ ) ( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √
√ √
* + | | ì
(42)
40
( )
* + √ √ √
√
ứ ọ ì √
√
√ √
√
á ị đầ
) ì ê ọ
) ó √ /
| | |
(
( )
|
ậ
(43)
41
( )
* + )
)
) ƣơ ì đ ƣ ó √
( √ ) ( √ )
√ √
√
√
√ √
√ [(
√ )
( √ )
]
ó ƣớ ố
) ( √ )
( √ )
[( √ )
( √ )
]
( [( √ )
( √ )
]
(44)42
* + * +
)
)
) ∑
)
( )
√ √
√ √
( ) ( )
) )
* +
* +
(45)43
)
∑
) ( ) ( ) ( )
* +
* +
( ) * +
)
̃ ( )
( )
, ế ế
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ê ( )
(46)44
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
* +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* +
( ) * +
(47)
45
( )
√
( ) ( )
√
( ) ( )
* + ứ ằ
)
)
) √
( √ ) ( √ )
(
√ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
(
√ ) ( √ )
(
√ ) ( √ )
(
√ ) ( √ )
(
√ ) ( √ )
)
( )
(48)46
* +
∑ ,
( )
, - , -
(* + * +) (* + * +) (* + * +)
( )
* + √
√
( )
( √ )
( √ )( ) ( )
( ) ( √ )( )
(49)47
* +
( )
ó
( ) * +
(∑
) (∑
)
( ) ( )
( √ )
(50)48
* +
, -
̃ ̃ ( )
(
)
(
)
đƣợ (
)
( )( )
( )( ) ( )
, -
* +
)
√
( √ ) ( √ )
(51)49
√ *(
√
) ( √ ) +
( )
* +
{
( )
√
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ ) ( ) ( √ )
( ) ( ) ( ( ) )
( )
( )
√
* + * +
(52)50
, -
, -
* +
√ √ √
√
( )
( )
* + (
)
∑
√ /
( )
(53)
51
∑
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
√ /
* +
( ) ( ) √ ( ) ( )
ó , ( ) - ( ) ( ) , ( ) - ( )
, ( ) - ( ) ứ ỏ ệ ủ ƣơ ì
, ( ) - ( )
đị é ó , ( ) -
ì đề ố ự ê ì ể ứ ê ế í ê * +
ứ ằ ã
ố ê ƣơ * + * +
(54)52
{
( ) ( )
ữ ô ứ đị đƣợ
ã ố đƣợ ì ầ đề đƣợ đị ƣơ ì â ệ ƣơ ì â ứ ó ê ầ
đị ế ố ố ọ ê đế ã ố ƣ ƣớ ố ố ê ố ố í ƣơ ố ậ ƣơ í ế ấ đẳ ứ ố ê ầ ê ệ ả à ẫ ả ƣơ ì â ế í ế í Đ ề à ủ ố ê ứ ụ ủ ƣơ ì â ấ đề ế í ó đƣợ ị ẳ đị ị ủ ó
( ) (
)
* +
( ) ( ) ( )
{
( )
ệ ê ó
(55)53
( √ ) ( √ )
(√ )
√
(√ )
√
√
√
√
√
√
ậ [(√ ) ]
(√ )
( √ ) √
ì ậ (√ ) √
√
ê ụ ê ( ) ( ) ( ) ( √ )
ầ ì ( ) ằ ố
̅̅̅̅̅̅
∑
( )
∑ ( )
Đặ ả ế
/ /
ặ ∑
( ) /
(56)54
ế ì ( ) ( )
∑ ( )
∑ ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) *( ) ( )+ ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ̃( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(57)55
( ) ( ) ( ) √ ( )
( )
( ) ( ) √ ( )
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ))
( )
( ) √ ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) √ ( ) ( ) ( )
( ) ( √ )( √ ) ( √ )( √ )
( )
(58)
56
∫
{
( )
( ) ( )
( )
∫
* + ( )
( )
ƣ ậ ( )
∫ ∫
, ( ) ( ) -
(59)57
( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
)
( )( ) ( )
∫
|
( ) ( )
( )
( )( ) ( ) )
( ) ( )
( )
(60)58
) ( )
( )( ) ( )
∫
( )
( ) ( )
( )
∫
( )
∫ ( )
( ) ( ∑ ( )
)
∫ ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( )
(61)
59
, - ∫( )
( )
∫( )
( )
í đƣợ
( ) ( )
∫ ( )
( )
( )
( )( ) ( ) ∫
( )
(62)60
/ ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
(63)
61
( )
( )
( )
( )( )
( )( )( )( )
√
ố
(64)
62
ã ( ) ( ) đ
ì ổ
ã ( ) ( ) đ
ì √ √
ã ( ) đ
í
ã ( ) đ ì để ố ủ ã đô ộ
ã ( ) đ
ì
ã ( ) đ
ì đ ề ệ ủ để ã ó ố ố ố ê
ã ( ) đ
ứ ã ố ị ặ í ∑
(65)
63
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ƣớ )
ứ ổ ủ ã ố
ã ự ô ( ) đ ứ ằ ô ố ự ê để
( ) √ √
( √ )
( )
√ ( )
ã ( ) đ
(66)64
KẾT LUẬN
Bản luận văn nêu đƣợc phƣơng pháp giải phƣơng trình sai phân tuyến
tính số dạng phƣơng trình sai phân phi tuyến tính tuyến tính hóa
đƣợc Từ kiến thức nêu đƣợc ứng dụng phƣơng trình sai phân việc giải toán trƣờng trung học phổ thông
Phƣơng pháp tuyến tính hóa cho ta cách giải độc đáo khác cho
các tốn có dạng đặc th Tuy nhiên với toán lên quan đến phƣơng
trình sai phân khai thác phƣơng pháp tổng quát xây dựng đƣợc để giải Đây thành công mặt định hƣớng cho phƣơng pháp giải
toán
Với thời gian nghiên cứu khả có hạn, chúng tơi hy vọng luận văn
sẽ giúp ích phần cho thầy, cô giáo em học sinh nhà trƣờng phổ
thơng việc học tập mơn tốn Luận văn hy vọng đóng góp phần
nhỏ bé vào việc mở rộng ứng dụng phƣơng trình sai phân việc rèn luyện
học sinh giỏi tốn trung học phổ thơng
Cuối tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến
Ban lãnh đạo, thầy cô Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt trình học tập
nghiên cứu Đặc biệt hƣớng dẫn bảo tận tình, chu đáo, sâu sắc đầy kinh
nghiệm Tiến sỹ Lê Đình Định – Giảng viên nhà trƣờng giúp tác giả hoàn
(67)65
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Lê Đình Định – Bài tập phương trình sai phân, Nhà xuất Giáo dục 2011
2 Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp
-Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục 2001
3 Lê Đình Thịnh , Lê Đình Định – Các phương pháp sai phân, Nhà xuất