[r]
(1)math.vn Sở Giáo Dục & Đào Tạo Phú Thọ
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi
Mơn thi: Tốn học
Vòng 2
Bài 1.
Cho x; y; z > Chứng minh rằng: (x + 1)(y + 1)2
3√3 z2x2+ 1 +
(y + 1)(z + 1)2 3p3
x2y2+ +
(z + 1)(x + 1)2 3p3
y2z2+ ≥ x + y + z +
Bài 2.
Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên k ≤ ∈ N Giả sử x1; x2; · · · ; xkvới x1< x2< · · · < xk
là số nguyên thỏa mãn: ≤ P(xi) ≤ k − 1, ∀ i = 1; 2; · · · ; k
Chứng minh rằng: P(x1) = P(x2) = · · · = P(xk)
Bài 3.
Cho tam giác ABC có BC > AB > CA cos A + cos B + cosC = 11 Lấy điểm X đoạn BC điểm Y tia AC cho: BX = AY = AB
1) Chứng minh rằng: AB= 2XY
2) Giả sử Z điểm cung AB khơng chứa điểm C đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỉ số: ZC XC+YC
Bài 4.
Giả sử c số nguyên dương Xét dãy số {Un}∞
n=1 cho bởi:
U1= 1; U2= c; Un= (2n + 1)Un−1− (n2− 1)Un−2; ∀ n ≥
Hãy tìm c cho: Ui Uj; ∀ i ≥ j ≥
Bài 5.
Có thể xếp hay khơng số tự nhiên từ đến n2với n ≥ vào ô bảng vng cho số bảng số hàng cột với
số ln ln chọn ba số mà ba số tích hai số cịn lại