Đường thẳng qua C cắt các tia đối của tia BA, Da lần lượt tại M, N.[r]
(1)UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2005-2006
Ngày thi: 13/12/2005
Mơn: TỐN – Thời gian: 180 phút (khơng kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1: (2 điểm)
1) Giải phương trình: 4x3 1x2 3x
2) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau với x < 0
) ( ) )( (
x m x x m
Bài 2: (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
128
2
y x
y x y x
2) Với x thỏa:
2
0x , chứng minh: 2sinx 2tanx 2x1
Bài 3.(2,5 điểm)
Cho hình tứ diện OABC
1) Gọi M điểm thuộc miền hình tứ diện OABC x1; x2; x3; x4; lần
lượt khoảng cách từ M đến bốn mặt (ABC), (OBC), (OAC) (OAB) Gọi h1; h2; h3; h4
chiều cao hình chóp tam giác O.ABC; A.OBC; B.OAC C.OAB
Chứng minh tổng
4 3 2 1
h x h x
h x h x
số
2) Các tia OA, OB, OC đôi hợp với góc 600 OA = a Góc BAC 900 Đặt OB+OC = m (m >0, a > 0) Chứng minh m > 2a Tính thể tích khối tứ diện OABC theo m a
Bài 4.(1,5 điểm)
Cho dãy số u0, u1, u2, …, un thỏa điều kiện sau:
2 1
0
1 ,
2
k k uk
n u u
u ( k = 1, 2, 3, …, n)
Chứng minh: 11 un 1
n
Bài (2 điểm)
1) Tìm GTNN hàm số:
5 10 32
16
1 2
1
x x x x x x x
y
2) Chứng minh tam giác ABC tam giác
CA BC
AB )
(2)UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2006-2007
Ngày thi: 08/12/2006
Mơn: TỐN – Thời gian: 180 phút (khơng kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1.
Giải phương trình: 53 1x2 8x6 (1x2)3
Câu 2.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hai đường chéo vng góc với I; J đỉnh thứ tư hình chữ nhật IBJC
Chứng minh: IJ vng góc với AD
Câu 3.
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Các đường thẳng GA, GB, GC, GD cắt mặt cầu (S) điểm thứ hai A’, B’, C’, D’
Chứng minh: VABCD VA'B'C'D'
Câu 4.
Xác định giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thỏa: 1 |x| 3
0 )
1 log( ) ( )
1 ( log )
(x2 x2 m x2 x2 m
Câu 5.
Giải bất phương trình:
x
x
7 cos
1
cos cos
Câu 6.
Cho x, y hai số thực dương thỏa x3 y3 2 Chứng minh: x2 y2 2
Câu 7.
Cho hệ phương trình:
0
0 ) (
2
y x y x
m my x m
Xác định m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (x1; y1), (x2; y2) cho biểu thức
2 2
1 ) ( )
(x y x y
(3)UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2007-2008
Ngày thi: 14/11/2007
Mơn: TỐN – Thời gian: 180 phút (khơng kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu (3.0 điểm)
Giải hệ phương trình:
1
2
) ( )
(
2
2
y x xy
x y
y x
Câu (3.0 điểm)
Cho A, B, C ba góc tam giác, tìm giá trị nhỏ biểu thức:
) cos )( cos )( cos (
C C
A
M
Câu (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H trực tâm tam giác Gọi D trung điểm cạnh BC Các đường trịng đường kính BC AD cắt E F Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng
Câu (3.0 điểm)
Cho phương trình: x ax
x
x
1 2
1
(a tham số) Tìm a để phương trình cho
có nghiệm
Câu (3.0 điểm)
Giả sử đa thức: p(x) = x5 + x2 + có năm nghiệm phân biệt r1, r2, …, r5 Đặt: q(x) = x2–
Hãy tính tích: q(r1).q(r2)…q(r5)
Câu (3.0 điểm)
Cho số thực dương a, b thỏa mãn a2 + 2b2 = Chứng minh 2 24 2 3
b a
b
b a
Câu (2.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD, AB > BC M điểm
đường thẳng BD Chứng minh:
BC BA MC
MA DC
(4)UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2008-2009
Ngày thi: 25/11/2008
Mơn: TỐN – Thời gian: 180 phút (khơng kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu (3.0 điểm)
Tìm cặp số x, y với
2 ;
x ,
2 ;
y thỏa mãn hệ phương trình sau
3
2 1
2
tan tan
y x
x y y x
Câu (3.0 điểm)
Tìm số k bé để bất phương trình sau luôn
0
) )(
1 (
2 x2 x4 k x x2 k
Câu (3.0 điểm)
Tồn hay không đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa P(25) = 1945 P(11)=2008
Câu (3.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, Da M, N Chứng minh:
2
AC BD S
S
AMN BCD
Câu (3.0 điểm)
Cho dãy số (un) xác định công thức
) ( )
25
(
2
1
n u
u u
u
n n n
Đặt
n
k k n
u v
1
1
với n = 1, 2, 3, …
Tính n
nlimv
Câu (3.0 điểm)
Giả sử phương trình x4 ax3 bx2 ax10 có nghiệm Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2
Câu (2.0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình: 320