Tải Giải SBT Toán 12: Đề toán tổng hợp - Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian - Giải SBT Toán lớp 12

Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C).. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.[r]

(1)

Giải SBT Toán 12: Đề toán tổng hợp - Chương Phương pháp tọa độ không gian

Bài 3.63 trang 133 sách tập (SBT) – Hình học 12

Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(1; 1; 1), C(13;13;13)

a) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua O vng góc với OC

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa AB vng góc với (α)

Hướng dẫn làm bài:

a) Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến OC→=(13;13;13) hay

n→=3OC→=(1;1;1)

Phương trình mặt phẳng (α) x + y + z =

b) Gọi (β) mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng (α) Hai vecto có giá song song nằm là: AB→=(0;1;1) n

α→=(1;1;1)

Suy (β) có vecto pháp tuyến nβ→=(0;1;−1)

Phương trình mặt phẳng (β) y – z =

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (β): x + 3ky – z + = (γ): kx – y + z + =

Tìm k để giao tuyến (β) (γ) vng góc với mặt phẳng

(α):x–y–2z+5=0

Ta có nβ→=(1;3k;−1) nγ→=(k;−1;1) Gọi dk=β∩γ

Đường thẳng dk vng góc với giá nβ→ nγ→ nên có vecto phương là:

a→=−n

β→∧−nγ→=(3k−1;−k−1;−1−3k2)

Ta có: dk⊥(α) 3k−1/1=−k−1/−1=−1−3k⇔ 2/−2 k=1⇔

(2)

Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) với a > b> Gọi M trung điểm cạnh CC’

Xác định tỉ số abab để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với

Mặt phẳng (A’BD) có vecto pháp tuyến n1→=BD→∧BA′→=(ab;ab;a2)

Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến n2→=BD→∧BM→=(ab/2;ab/2;−a2)

Ta có (BDM) (A′BD) n⊥ ⇔ 1→.n2→=0

⇔a2b2/2+a2b2/2−a4=0

⇔a=b a/b=1⇔

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),S(0;0;2√2 Gọi M trung điểm cạnh SC

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa SA song song với BM

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM

Hướng dẫn làm

a) Ta có C(-2; 0; 0) M(−1;0;√2)

Gọi (α) mặt phẳng chứa SA song song với BM Hai vecto có giá song song nằm (α) SA→=(2;0;−2√2) BM→=(−1;−1;√2)

Suy vecto pháp tuyến (α)(α) là: n→=(−2√2;0;−2) hay n→′=(√2;0;1)

Mặt phẳng (α) có phương trình: √2(x−2)+z=0 hay √2x+z−2√2=0

b) Ta có d(SA,BM)=d(B;(α))=|−2√2|/√2+1=2√2/√3

Vậy khoảng cách hai đường thẳng SA BM 2√6/3

Cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – = mặt cầu (S):

(3)

a) Xác định tọa độ tâm I bán kính r mặt cầu (S)

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn mà ta kí hiệu (C) Xác định bán kính r’ tâm H đường tròn (C)

a) (S) có tâm I(−3/2;−2;5/2) có bán kính

b) d(I,(P))=|2.(−3/2)−3.(−2)+4.(5/2)−5|/√4+9+16=8/√29<√26/2

Vậy d(I, (P)) < r

Suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn tâm H bán kính r’

H hình chiếu vng góc I xuống mặt phẳng (P) Gọi Δ đường thẳng qua I vng góc với (P) Ta có vecto phương Δ

a→

Δ= n(P)→=(2;−3;4)

Phương trình tham số Δ: x=−3/2+2t;y=−2−3t;z=5/2+4t

Δ cắt (P) H(−32+2t;−2−3t;52+4t) Ta có:

H (α) 2(−3/2+2t)−3(−2−3t)+4(5/2+4t)−5=0∈ ⇔

⇔29t+8=0 t=−8/29⇔

Suy tọa độ H(−3/2−16/29;−2+24/29;5/2−32/29) hay

Ta có r′2=r2−d2(I,(P))=26/4−64/29=249/58 Suy r′=√249/58

Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; ; -1), D(4; 1; 0) Gọi (S) mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A

(4)

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 3)

Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) A nên (α) có vecto pháp tuyến IA→=(4;−1;0)

Phương trình mặt phẳng (α)

4(x–6)–(y+2)=0 hay 4x–y–26=0

Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) D(1; 1; 0)

a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D

b) Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD)

a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 –2ax – 2by – 2cz + d = (*)

(5)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0

b) Ta có AC→=(−1;0;1) AD→=(0;1;0)

Suy (ACD) có vecto pháp tuyến n→=AC→∧AD→=(−1;0;−1) hay n′→=(1;0;1)

Vậy phương trình mặt phẳng (ACD) x – + z = hay x + z – =

Mặt cầu (S) có tâm I(1/2;1/2;1/2)

Ta có I (ACD), suy mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo đường trịn có tâm∈ I(1/2;1/2;1/2) có bán kính r bán kính mặt cầu (S), vậy:

Cho hai đường thẳng Δ1: x/2=y+2/3=z/4 Δ2: {x=1+t;y=2+t;z=1+2t

a) Viết phương trình mặt phẳng ((α) chứa Δ1 song song với Δ2

b) Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn

thẳng MH có độ dài nhỏ

a) Phương trình tham số đường thẳng Δ1: {x=2t′;y=−2+3t′;z=4t′

Δ1 qua điểm M1(0; -2; 0) có vecto phương a1→=(2;3;4)

Δ2 qua điểm M2(1; 2; 1) có vecto phương a2→=(1;1;2)

Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến n→=a

1→∧a2→=(2;0;−1)

(α) qua điểm M1(0; -2; 0) có vecto pháp tuyến n→, phương trình của

(α) là: 2x – z =

b) Xét điểm H(1+t;2+t;1+2t) Δ∈

MH→=(t−1;t+1;2t−3)

Ta có: MH nhỏ MH Δ⇔ ⊥ 2⇔ MH→.a2→=0

⇔t–1+t+1+2(2t–3)=0 t=1⇔

(6)

Trong khơng gian Oxyz, cho điểm D(-3; ; 2) mặt phẳng (α) qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8)

a) Viết phương trình đường thẳng AC

b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α)

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = Chứng minh mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S)

a) Đường thẳng AC có vecto phương AC→=(0;1;−3)

Phương trình tham số đường thẳng AC: {x=1;y=t;z=11−3t

b) Ta có: AB→=(−1;1;−1) AC→=(0;1;−3)

n→=AB→∧AC→=(−2;−3;−1)

Suy (α) có vecto pháp tuyến n→=(−2;−3;−1)

Mặt phẳng (α) có phương trình:

2(x–1)+3(y)+(z–11)=0 hay 2x+3y+z–13=0

c) Phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính 5: (x + 3)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 25

Ta có d(D,(α))=|2.(−3)+3.(1)+(2)−13|/√4+9+1=14/√14=√14<5

Do d(D,(α))<r Vậy mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S)