Hình thức luận Dirac

69 Chơng 10: Hình thức luận Dirac 10.1. Véctơ trạng thái Trạng thái của vi hạt và toán tử là hai khái niệm cơ sở trong Vật lý lợng tử. Dirac đ đề xuất một hình thức luận chính xác và thuận tiện cho việc thực hiện các tính toán trong Vật lý lợng tử và viết các biểu thức Vật lý lợng tử. Theo kí hiệu Dirac, một vật thể tuân theo Vật lý lợng tử (thuần khiết) có thể đợc mô tả hoàn toàn bằng véctơ trạng thái của nó. Các véctơ trạng thái gồm hai loại: bra và két. Các véctơ này chứa đựng các thông tin đồng nhất và là các véctơ liên hợp trong không gian Hilbert H. Két véctơ đợc viết là , trong đó chỉ số xác định trạng thái. Véctơ liên hợp của két đợc gọi là bra và đợc viết là . Một trạng thái có thể đợc khai triển theo tổ hợp tuyến tính của các trạng thái khác: = n nn c . (1) trong đó n c là số phức. Ta nói rằng trạng thái là chồng chất của các trạng thái n . Tích vô hớng của 2 véctơ trạng thái đợc viết nh sau: ( ) =, . (2) Véctơ liên hợp là liên hợp écmít của két véctơ tơng ứng . Liên hợp écmít đợc kí hiệu là + và là một toán tử tuyến tính. Liên hợp của một số vô hớng c , toán tử tuyến tính A ) và két 70 tơng ứng là * c , + A ) , , trong đó * kí hiệu phép lấy liên hợp phức. Chú ý răng hai lần lấy liên hợp liên tục thì khử nhau. Khi một tích vô hớng của các toán tử hay trạng thái đợc lấy liên hợp thì cả 2 thừa số đợc lấy liên hợp và thứ tự tơng hỗ của chúng bị đảo ngợc: = + . (3) Trong trờng hợp đặc biệt, vì tích vô hớng là một số phức, ta có thể đơn giản hoá biểu thức: * = . (4) Khi lấy liên hợp một tích có nhiều hơn hai thừa số, ta chỉ việc áp dụng liên tiếp quy tắc nói trên: ( ) ( ) + ++ == AAA ))) . (5) Khác với các véctơ trong không gian R n , thừa số nhân của véctơ trạng thái không có ý nghĩa. Do đó và c , trong đó c là số phức khác 0 , biểu diễn cùng một trạng thái. Theo quy ớc (và để đơn giản hoá việc diễn tả xác suất của véctơ trạng thái), ta dùng các véctơ trạng thái đ chuẩn hoá, nghĩa là 1= . (6) Bởi vậy, mỗi trạng thái tơng ứng với một véctơ trạng thái duy nhất (không kể một thừa số pha tầm thờng). Xác suất tìm thấy hạt (đợc mô tả bởi véctơ trạng thái ) ở trạng thái n đợc tính theo công thức 10 2 n . (7) Hai trạng thái đợc gọi là trực giao nếu 71 0= (8) và hai trạng thái đợc gọi là đồng nhất nếu 1 = . (9) Giả sử tất cả các trạng thái trong tập { } n trực giao. Với những điều kiện nhất định, một trạng thái bất kỳ có thể đợc biểu diễn theo tổ hợp của các trạng thái cơ sở này. Khi đó tập { } n là một cơ sở trực giao đủ. Từ (1) và (7) ta thấy rằng xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái n là 2 n c , nghĩa là bằng bình phơng môđun của hệ số khai triển của trạng thái của hạt. 10.2. Các trạng thái số Vào đầu thế kỉ 20 các nhà vật lí phát hiện ra rằng phổ phát xạ nhiệt điện từ có thể đợc giải thích nếu ta giả sử rằng trờng điện từ bị lợng tử hoá theo các đơn vị năng lợng h , trong đó h là hằng số Planck và là tần số. Nhận xét này sau đó đợc bổ sung bởi sự quan sát hiệu ứng quang điện. Sau đó, đơn vị lợng tử của năng lợng điện từ đợc gọi là photon. Vì năng lợng là đại lợng quan sát đợc nên nó liên quan với một toán tử écmít và một tập hợp đủ các trạng thái riêng. Do năng lợng của các trạng thái nh thế đợc viết là hn + 2 1 , trong đó .2,1,0 = n là số lợng tử năng lợng điện từ trong mode, nên các trạng thái riêng của năng lợng điện từ thờng đợc viết là { } n và đợc gọi là các trạng thái số hoặc trạng thái Fock. Trạng thái 0 là trạng thái điện từ cơ sở và thờng đợc xem là trạng thái chân không. 72 Do các trị riêng không suy biến nên các trạng thái số trực giao. Ngoài ra, vì các trạng thái là chuẩn hoá nên ta có: mn nm = . (10) Cơ sở gồm các trạng thái số là một cơ sở đủ và thuận tiện để khai triển các trạng thái khác nhau của trờng điện từ. 10.3. Toán tử tuyến tính Động lực học của tất cả các đại lợng vật lí của các hạt hay hệ hạt tuân theo Vật lý lợng tử đợc mô tả bởi tác động của các toán tử tuyến tính. Toán tử thờng đợc kí hiệu bằng một chữ cái có dấu ^. Nói chung, khi một toán tử tác động lên một trạng thái sẽ cho ta một trạng thái khác: ' = A ) . (11) Thứ tự giữa một toán tử và một trạng thái, cũng nh thứ tự giữa các toán tử khác nhau là quan trọng vì đại số toán tử không giao hoán. Toán tử tác động lên két từ bên phải và tác động lên bra từ bên trái. Ta chỉ cần định nghĩa tác động của một toán tử (và liên hợp của nó) lên két vì tác động của toán tử liên hợp lên bra đợc định nghĩa bởi biểu thức ( ) + + AA . (12) Tích ngoài của 2 trạng thái và đợc định nghĩa là . (13) Tích ngoài của 2 trạng thái và là một toán tử, khác với tích trong là một số phức. Toán tử đồng nhất I ) đợc định nghĩa là 73 = I (14) với mọi thuộc H. Ta có thể viết toán tử đồng nhất ở dạng cụ thể hơn nh sau: Nếu tập hợp các trạng thái { } n biểu diễn một cơ sở trực giao đầy đủ thì toán tử đồng nhất có thể viết dới dạng n nn I . (15) Do tác động của toán tử coi nh đợc biết nếu biết tác động của toán tử lên mỗi trạng thái cơ sở nên mọi trạng thái có thể đợc diễn tả nh là tổng các tích ngoài. Nghĩa là nếu = n A m mmn a (16) thì = A nm nmmn a , . (17) Toán tử tuyến tính thoả mn ( ) 22112211 AcAcccA +=+ . (18) Ngoài ra ( ) BABA +=+ . (19) Toán tử nghịch đảo của toán tử A , đợc kí hiệu là 1 A và đợc định nghĩa là IAAAA 11 == . (20) Toán tử U đợc gọi là unita nếu toán tử liên hợp của nó bằng toán tử nghịch đảo của nó, nghĩa là 1 + = UU hay 1 == ++ UUUU . (21) Giao hoán tử của các toán tử A và B đợc định nghĩa là 74 [ ] ABBABA , . (22) Nếu giao hoán tử bằng 0 thì các toán tử giao hoán. Từ định nghĩa giao hoán tử ta suy ra rằng mọi toán tử giao hoán với chính nó và giao hoán với toán tử đồng nhất. Từ định nghĩa giao hoán tử ta suy ra [ ] [ ] BAAB , , = . (23) Nếu hai toán tử A và B không giao hoán thì nói chung ABBA . (24) Tuy nhiên ngay cả khi A và B không giao hoán, ta vẫn có thể tìm thấy các trạng thái xác định mà khi đó giao hoán tử bằng 0. Đại số không giao hoán làm cho vật lý lợng tử phong phú hơn về mặt hiện tợng luận so với vật lý cổ điển, nhng tính toán phức tạp hơn. Ngoài ra, các toán tử không giao hoán đợc dùng để biểu diễn các đại lợng vật lí dẫn tới các khái niệm bổ sung và bất định trong vật lý lợng tử. Trạng thái riêng n E và trị riêng n của toán tử A thoả mn nnn EEA = (25) trong đó n nói chung là phức. Mọi đại lợng vật lí quan sát đợc đều tơng ứng với một toán tử écmít. Định nghĩa của toán tử écmít là OO = + . (26) Điều này dẫn tới kết quả rằng các trị riêng của toán tử écmít là thực. Ngoài ra, các trạng thái riêng ứng với các trị riêng khác nhau là trực giao. Nếu tất cả các trị riêng đều không trùng nhau thì tập hợp tất cả các trạng thái riêng đ chuẩn hoá { } n E xác định một cơ sở trực giao đủ. Ta đ biết rằng các trạng thái số, là các trạng thái riêng 75 của toán tử năng lợng (écmít) + 2 1 nh tạo nên một cơ sở trực giao đủ bao gồm các véctơ trạng thái. Khi đo một đại lợng vật lí tơng ứng với toán tử écmít O ta sẽ thu đợc một trong số các trị riêng của toán tử nh là đầu ra của máy đo. Xác suất thu đợc một giá trị cụ thể n khi đo trạng thái là 2 nn EP = . (27) Do đó, kết quả đo của một trạng thái cụ thể nói chung là không xác định. Tuy nhiên, nếu phép đo thu đợc kết quả là n thì trạng thái của hệ rơi vào trạng thái riêng n E . Phép đo trạng thái ngay sau đó chắc chắn thu đợc kết quả n . Do kết quả phép đo trong vật lý lợng tử nói chung là không xác định nên vật lý lợng tử phải đợc mô tả một cách thống kê. Giá trị kì vọng của một toán tử, khi trạng thái là , là n n n n nn n nn cEPAA 2 2 === (28) Trong đó ta đ áp dụng (26) và nn Ec là hệ số khai triển của véctơ trạng thái trong cơ sở trạng thái { } n E . Khi tính một biểu thức có dạng A ta có thể cho toán tử A tác động về bên phải lên rồi sau đó lấy tích vô hớng của với kết quả thu đợc. Ta cũng có thể cho cho toán tử A tác động về bên trái lên rồi lấy tích vô hớng của kết quả này với . Kết quả thu đợc, nói chung là một số phức, sẽ nh nhau trong hai trờng hợp. Toán tử mật độ là một toán tử quan trọng trong vật lý lợng tử. Đối với trạng thái thuần khiết, toán tử mật độ đơn giản chỉ là tích 76 ngoài của véctơ trạng thái, nghĩa là = . Toán tử mật độ có dạng đối xứng, thuận tiện có việc áp dụng trong đại số toán tử. Giá trị kỳ vọng của một toán tử là { } ATrA = . (29) Tr kí hiệu việc lấy vết và đợc tính bằng cách khai triển trạng thái theo một cơ sở trực giao đủ bất kỳ và lấy tổng theo các phần tử chéo: { } == n n nnn cEAEATr 2 . (30) Có thể chứng minh đợc rằng { } 1 = Tr (31) và { } { } ACBTrCBATr = . (32) 10.4. Toán tử sinh và huỷ Dùng cơ sở trạng thái số { } n ta có thể định nghĩa toán tử huỷ a nh sau: 00 =a , (33) .3,2,1,1 == nnnna (34) Tơng tự, toán tử sinh + a đợc định nghĩa: nnnna ++= + ,11 . (35) Ta cũng có thể định nghĩa toán tử sinh theo tích ngoài của các trạng thái số: 77 nnna n 11 0 ++ = + . (36) Các toán tử sinh và huỷ là khác nhau và không phải là toán tử écmít. Các toán tử này không tơng ứng với bất cứ đại lợng vật lí nào trong quang học lợng tử. Tuy nhiên, có thể chứng minh đợc rằng các toán tử đợc tạo bởi tích của chúng, aa + và + aa , đều là écmít. áp dụng các định nghĩa nói trên của các toán tử sinh và huỷ, ta dễ dàng chứng minh đợc rằng nnnaa = + . Từ đó, toán tử năng lợng của một mode phải là += + 2 1 aahE . Toán tử aan + = đợc gọi là toán tử số. Ta có thể dùng toán tử sinh và huỷ để diễn tả (hoặc sinh) một trạng thái từ chân không: ( ) 0 ! n a n n + = . (37) Do { } n là một tập cơ sở đầy đủ nên mọi trạng thái bất kì có thể đợc sinh ra từ chân không: ( ) = + = == 00 0 ! n n n n n n a cnc . (38) Ta thấy rằng [ ] nnnnnnaanaanaa =+== +++ )1( , (39) với mọi n , nghĩa là [ ] 1 , == + Iaa . (40) Do đó, các toán tử écmít + aa và aa + liên hệ với nhau theo hệ thức 1 += ++ aaaa . ý nghĩa của các toán tử + aa và aa + trong Quang học lợng tử là: Toán tử aa + tơng ứng với một phép đo số photon (hoặc năng lợng) bởi một máy đo hấp thụ trong khi đó toán tử + aa tơng ứng với cùng phép đo bởi một máy đo phát xạ. Máy đo phát xạ 78 nhạy ngay cả với trạng thái chân không (bởi phát xạ tự phát) trong khi đó máy đo hấp thụ không có đặc điểm đó. 10.5. Các toán tử cầu phơng Bằng cách tổ hợp tuyến tính các toán tử sinh và huỷ ta có 2 toán tử cầu phơng ( ) + + aaa 2 1 1 , (41) ( ) + aa i a 2 1 2 . (42) Các toán tử cầu phơng 1 a và 2 a là écmít và tơng ứng với phép đo các thành phần đồng pha và ngợc pha của trờng điện. Để làm rõ điều này, ta hy nhìn vào kí hiệu (phức) cổ điển của trờng điện. Một trờng điện (băng hẹp) với tần số góc đợc kí hiệu là ti E . Tuy nhiên, điện trờng thực đợc cho bởi { } { } { } ).sin(Im)cos(ReRe tEtEE ti += Do đó, điện trờng đợc tách một cách duy nhất theo các thành phần cầu phơng thay đổi chậm { } ( ) 2/Re * EEE += và { } ( ) )2/(Im * iEEE = . Các toán tử tơng ứng là 1 a và 2 a và các toán tử này tơng ứng với một phép đo homodyne hoàn hảo. Vì điện trờng là một đại lợng quan sát đợc và có giá trị liên tục nên các trị riêng của các trạng thái riêng tơng ứng có phổ liên tục. Do 1 a và 2 a là tổ hợp tuyến tính của các toán tử a và + a nên mọi toán tử đợc tạo bởi các tổ hợp của a và + a có thể đợc biểu diễn theo 1 a và 2 a . Ta có thể chứng minh đợc rằng toán tử năng lợng E có thể đợc viết dới dạng ( ) 2 2 2 1 aahE += . Các toán tử cầu phơng 1 a và 2 a không giao hoán. Từ hệ thức [ ] 1 , == + Iaa ta tính đợc giao hoán tử của các toán tử cầu phơng 1 a và 2 a : [...]... số phức Phơng trình định nghĩa của trạng thái kết hợp l (44) a = trong đó l số phức Biểu thức khai triển theo trạng thái số của trạng thái kết hợp l =e 2 2 n=0 n n! n (45) Các trạng thái kết hợp ứng với = 1,2 phải đợc đánh số sao cho có thể phân biệt với các trạng thái số 1 , 2 Tuy nhiên, từ biểu thức khai triển của , ta thấy rằng = 0 biểu diễn trạng thái cơ bản của trờng điện từ, tức... 2 trong đó toán tử n đợc định nghĩa l n n n 80 ánh sáng từ một nguồn laser tốt thông thờng gần nh ở trạng thái kết hợp với những khoảng thời gian đo bé hơn thời gian kết hợp của laser Từ các hệ thức giao hoán đ thì a + = * , ta có thể suy ra giá trị kì vọng của các a = toán tử a1 v a 2 nh sau: a1 = Re{ }; v a1 biết, kết hợp với kết quả: nếu 2 = a 2 a 2 = Im{ } 2 = (48) 1 ; 4 (49)... nói trạng thái l thuần khiết Đây l hệ quả của việc 2 mode kết hợp không vớng víu Toán tử mật độ của mọi trạng thái thuần khiết đều thoả m n Tr { 2 } = 1 Ta dễ d ng chứng minh đợc rằng (55) tho m n hệ thức n y Nếu lấy vết mode thứ nhất của trạng thái (54) ta thu đợc kết quả: Tr1 { } = n1 n 1 ( 1,0 1,0 + 1,0 0,1 + 0,1 1,0 + 0,1 0,1 ) n1 = 1 ( 0 0 + 1 1 ) (56) 2 2 Trạng thái n y không thể viết đợc... đợc mô tả bởi một sự trộn lẫn thống kê của trạng thái 0 v 1 Dễ thấy rằng đối với trạng thái n y Tr { } = 1 (điều n y đúng cho mọi trạng thái, cả thuần khiết v trộn lẫn) nhng Tr { 2 } = < 1 Bất đẳng thức n y l 1 2 dấu hiệu nhận biết của một trạng thái trộn lẫn 10.10 Sự tiến triển theo thời gian Ta đ thấy rằng một trạng thái có thể thay đổi nh l hệ quả của phép đo Tuy nhiên, ngay cả khi trạng thái... Theo cách thứ hai, ta xem trạng thái không phụ thuộc thời gian v gắn sự tiến triển theo thời gian v o toán tử Đó l biểu diễn Heisenberg a) Biểu diễn Schrodinger Phơng trình Schrodinger viết theo kí hiệu Dirac có dạng ih d (t ) = H (t ) dt (59) ở đây ta giả thiết rằng tóan tử H không phụ thuộc tờng minh v o thời gian Tích phân phơng trình trên ta thu đợc ( ) (t ) = exp iHt / h (0) = U (t ) (0)... triển theo thời gian của trong biểu diễn Schrodinger ih [ ] d (t ) = H , (t ) , ta suy ra giá trị kì vọng của một toán tử dt A bất kì, trong một trạng thái với toán tử mật độ đợc tính theo công thức { } { } { } { } A (t ) = Tr (t ) A = Tr U (t ) (0)U + (t ) A = Tr (0)U + (t ) AU (t ) = Tr H AH (t ) , (64) trong đó toán tử A không phụ thuộc thời gian v toán tử mật độ trong biểu . 10: Hình thức luận Dirac 10.1. Véctơ trạng thái Trạng thái của vi hạt và toán tử là hai khái niệm cơ sở trong Vật lý lợng tử. Dirac đ đề xuất một hình thức. hình thức luận chính xác và thuận tiện cho việc thực hiện các tính toán trong Vật lý lợng tử và viết các biểu thức Vật lý lợng tử. Theo kí hiệu Dirac, một