Bài toán 5: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác, giả sử là biểu thức A, tính các giá trị của biểu thức lượng giác B.. Phương pháp:.[r]
(1)TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Trong chủ đề này, xin giới thiệu chuyên đề hình học lớp 10 nữa, đó phép nhân vơ hướng hai vecto Phép nhân cho kết số, số gọi tích vơ hướng hai vecto Để xác định tính vơ hướng hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác góc với
0 180 mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn đã biết lớp 9.
§1 Giá trị lượng giác góc từ 0 đến 180
A Lý thuyết
1 Định nghĩa
Với góc (0 180 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM Tung độ điểm M sin góc , kí hiệu sin Hồnh độ điểm M cơsin góc , kí hiệu cos
Giả sử điểm M có tọa độ M x y 0; 0 Khi y0 sin , x0 cos
Khi x , tỉ số 0 0
y
x gọi tang góc , kí hiệu tan
Khi y , tỉ số 0 0
x
y gọi cotang góc , kí hiệu cot
Các số sin ,cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác góc
Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy:
+ Góc từ 0 đến 180 có sin thuộc đoạn 0;1
+ Góc từ 0 đến 180 có cosin thuộc đoạn 1;1
+ Với 0 ;90 : sin ,cos , tan , cot 0 Ch
ủ đề
8
Vấn đề cần nắm:
1 Giá trị lượng giác góc từ 0 180
2 Tích vơ hướng hai vectơ
3 Các hệ thức lượng tam giác
STUDY TIP
- Để nhớ định nghĩa giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot ta có câu sau:
Cơ sin (cos) trục nằm ngang (trục hoành)
Song song với chàng tang (cot)
Cịn sin đứng thẳng bang
(2)+ Với 90 ;180 : sin 0,cos , tan ,cot
2 Các hệ thức lượng giác bản
1 sin2 cos2 1 4 tan cot 1 sin ,cos 0
2
sin
tan (cos 0) cos
2
2
1 tan
cos
3
cos
cot sin
sin
2
2
1 cot
sin
3.Tính chất
a) Hai góc phụ nhau
1 sin cos 90 tan cot 90
2 cos sin 90 cot tan 90
b) Hai góc bù nhau
1 sin sin 180 tan tan 180
2 cos cos 180 cot cot 180
4 Giá trị lượng giác góc đặc biệt
Giá trị lượng giác 0 30 45 60 90
sin
2
2
3
2
cos 1
2
2
1
2
tan
3 ||
cot || 1
3
Ghi nhớ:
(3)- Bước 1: Ghi góc đặc biệt lên ngón tay hình vẽ (lịng bàn tay hứng vào trong)
Tính giá trị lượng giác góc nào, ta quặp ngón tay lại hình vẽ
- Bc 2: sin
số ngón tay bên phải
cos
2 sè ngã
n tay bên trái
Cỏch 2: Đánh số vị trí cho góc ,30 , 45 ,60 ,90 theo thứ tự 0,
1, 2, 3,
4
sin ,cos
2
sè vÞ trÝ sè vÞ trÝ
Chú ý: Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác
Chẳng hạn:
3 sin120 sin 180 60 sin 60
2
cos135 cos 180 45 cos 45
2
5 Góc hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ a b khác vectơ 0 Từ điểm O ta vẽ OA a và
OB b
Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b ,a b
Nếu a b , 90
ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu ab ba
Lời giải
b) Nhận xét:
Từ định nghĩa ta có ,a b b a,
+ ,a b
a b hướng
+ a b , 180
a b ngược hướng STUDY TIP
Trong định nghĩa O lấy tùy ý Tuy nhiên giải tốn ta chọn vị trí điểm O thích hợp, hay chọn điểm O trùng với điểm gốc vectơ a
b
(4)B Các dạng tốn điển hình
Xác định tọa độ điểm M
Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM (như hình vẽ) Tọa độ điểm M là:
A. sin ;cos B. sin ;cos
C. cos ;sin D. cos ;sin Lời giải
Vì hồnh độ điểm M cos , tung độ điểm M sin nên tọa độ điểm M cos ;sin
Đáp án C.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM (như hình vẽ) Hồnh độ điểm M là:36
A.
1
4
B.
1
4
C.
1
4
D
1
2
Phân tích: Dựa vào ví dụ 1, hồnh độ điểm M cos36 Dùng máy tính cầm tay ta suy kết đáp án A Ta chuẩn xác lời giải cách sau:
Lời giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Xét tam iacs ABC cân A, BAC 36 , BC Khi 1 ABCACB72 Dựng phân giác CD Suy tam giác ACD cân D, tam giác BCD cân C. Do đó: DA DC CB 1
Dạ ng 1
STUDY TIP
Muốn xác định tọa độ điểm M nửa đường tròn đơn vị, ta xác định
góc xOM Khi điểm M có tọa độ là
(5)Kẻ DH AC Đặt AH HC x AB AC 2 ,x BD2x
Khi cos36
AH x AD
Do CD phân giác góc ACB nên
1 2 AD AC
x DB BC x
2
4 0
4
x x x x
Vậy
1 cos36
4
Hoành độ điểm M
1 cos36
4
Lưu ý: Từ toán ta tính sin18 cách làm tiếp từ toán sau:
Kể CK AB, tam giác CDB cân C nên
2
2
BD x DK DB
Mà CDB nên 72
2 sin18 cos 72
2
DK x DC
Cách 2: (Sau học xong cơng thức lượng giác)
Ta có: cos36 sin 54 1 2sin 182 4sin 183
3
2
4sin 18 2sin 18 3sin18 sin18 4sin 18 2sin18
5
sin18 cos36
4
Đáp án A
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B hai điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOA ,xOB 0 180 (như hình vẽ) Giá trị cos bằng:
A. cos cos sin sin B. cos cos sin sin
C. cos cos sin sin D sin sin cos cos
Phân tích: Với toán thi trắc nghiệm, với kiểu hỏi này, ta cho 60 , 30
Từ ta cho kết đáp án B STUDY TIP
Do
0 xOM 36 90 Nên cos 36 1. Như ta thấy đáp án C, D bị loại
STUDY TIP
Ở cách 2, ta cần biết công thức sau:
3
sin 3sin 4sin
sin 2sin cos
Do 0 18 90
(6)Lời giải
Từ giả thiết, ta có: Bcos ;sin ,Acos ;sin BOA
Dựng tam giác MON cho MON , N giao điểm nửa đường trịn với trục hồnh, M thuộc nửa đường tròn đơn vị.
Suy Mcos ;sin N1;0
Với cách dựng ta có: AOBNOM c g c AB NM
2
2
2 2
2
cos cos sin sin cos sin
cos 2cos cos cos sin 2sin sin sin
cos cos sin
cos cos cos sin sin
Đáp án B
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, A' giao điểm nửa đường
tròn đơn vị với trục Ox (A thuộc tia Ox), M thuộc trục Ox cho OA OM (như hình vẽ) Dựng điểm N nửa đường tròn đơn vị cho MN vng góc với OA Khi tan NOA bằng:
A. 15 B.
1
4 C 15 D
15 15
Lời giải
Do MN vng góc với OA nên hoành độ điểm N hoành độ điểm M Do
4 OA OM
nên
1 M x
Suy
1 M x
Tung độ điểm N dương giả thiết toán.
Do
2 1 1 1 15
16
N N N N
x y y x
Khi
tan N 15
N y NOA
x
Đáp án A
STUDY TIP
-Với 0 ;90 sin ,cos , tan ,cot 0
- Với 90 ;180
sin 0;
(7)Giaovienvietnam.com
Tính giá trị biểu thức lượng giác
Với dạng toán này, ta sử dụng hệ thức lượng giác bản, giá trị lượng giác góc đặc biệt
Bài tốn 1: Biết cos , tính giá trị lượng giác cịn lại góc .
Phương pháp:
Ta có: sin2 cos2 1 sin cos 2 Biết sin , cos ta tính tan ,cot
Bài tốn 2: Biết sin , tính giá trị lượng giác cịn lại góc
Phương pháp:
Trường hợp 1: Nếu 0 ;90 giá trị cos , tan , cot
Do ta tính đưuọc giá trị cos , tan ,cot sau:0
- Tính cos cách sử dụng công thức: cos sin 2 , suy hai giá trị lại
- Tính cot cách sử dụng cơng thức:
cot
cot
, suy hai giá trị lại
Trường hợp 2: Nếu 90 ;180 cos , tan , cot 0
Do ta tính giá trị cos , tan ,cot sau:
- Tính cos cách sử dụng công thức: cos sin 2 , suy hai giá trị cịn lại
- Tính cot cách sử dụng công thức:
cot
sin
, suy hai giá trị lại
Bài tốn 3: Biết tan , tính giá trị lượng giác cịn lại góc (Trường hợp biết cot tính tương tự)
Phương pháp:
Trường hợp 1: Nếu 0 ;90 cos ,sin , cot 0
(8)Do ta tính giá trị cos ,sin , cot sau:
- Tính cos cách sử dụng công thức:
1 cos
1 tan
, suy ra
hai giá trị lại
Trường hợp 2: Nếu 90 ;180 cos ,sin ,cot 0
Do ta tính giá trị cos ,sin , cot sau:
- Tính cos cách sử dụng công thức:
1 cos
1 tan
, suy
ra hai giá trị lại
Bài toán 4: Biết giá trị biểu thức lượng giác theo , tính giá trị lượng giác góc
Phương pháp:
- Biến đổi biểu thức lượng giác cho dạng chứa hàm lượng giác, tực phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải phương trình đại số - Biến đổi biểu thức cho dạng tích
- Sử dụng bất đẳng thức
Bài toán 5: Biết giá trị biểu thức lượng giác, giả sử biểu thức A, tính các giá trị biểu thức lượng giác B.
Phương pháp:
- Biến đổi A thay vào B. - Biến đổi B sử dụng A.
- Biến đổi đồng thời hai biểu thức A, B xuất biểu thức trung gian. - Sử dụng phương pháp giải phương trình để tính giá trị
Ví dụ 1: Biết
1 cos
3
0 180 a) Tính giá trị lượng giác cịn lại
b) Tính giá trị biểu thức:
3tan cot tan cot
P
(9)a) Ta có
2 2
sin cos sin cos , tan 8,cot
3
b) Với câu b, ta thay trực tiếp kết tính ý a, cho kết Ngồi ta làm sau:
2 2
2 2
sin cos
3
3tan 2cot cos sin 3sin 2cos cos 26 sin cos
tan cot sin cos cos
cos sin P
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có tanA 5 a) Tính sin ,cosA A ?
b) Tính giá trị biểu thức:
3
2
sin cos sin cos 3sin
A A
P
A A A
Lời giải
a) Vì tanA nên suy góc 5 A tù Do cosA 0
Ta co:
1
cos
26 tan
,
5 sin tan cot
26 A A A
b) Với ý b, ta thay trực tiếp kết từ ý a Sau nêu thêm cách sau:
3
3
2
2 2
3
sin 4cos
tan 121
cos
tan 3tan 3tan 365 sin cos 3sin sin cos
cos
A A
A A
P
A A A
A A A A A
A
Ví dụ 3: Cho số m, n dương số 0 ;180 \ 90 thỏa mãn
tan cot
m n mn
Tính sin ,cos , tan ,cot
Lời giải
Với tan , ta suy cot0 Khi 20 mn m tanncot (vơ lí).0
Vậy tan 0, cot 0 0 ,90
Cách 1: (sử dụng bất đẳng thức).
(10)tan cot tan cot m n mn mn .
Dấu xảy khi:
tan tan cot
cot
n m
m n mn
m n
Áp dụng hệ thức lượng giác ta có:
2
2 2
1 1
1 tan cos
cos 1 tan
1
m m n n
m
sin tan cos n m n
m m n m n
Cách 2: Ta tính tan ,cot sau:
2
2
tan cot tan cot tan cot
tan cot tan cot
m n mn m n mn
m n m n mn
Cách 3: Đặt ttant0 Khi (1) trở thành
2
2
2 0
n n
mt mn mt t mn n t m n t
t m
Ví dụ 4:
a) Với giá trị , 0 ;180 biểu thức
1 sin cos P
xác định.
b) Cho góc 0 ;180 thỏa mãn sincos Tính sinn cosn
n
S .
Lời giải
a) Biểu thức
1 sin cos P
xác định sin cos 0 tan 135
b) Ta có:
1 sin cos 2sin cos sin cos
(11)Cách 1: sin cos
n n
n
S
1
1
sin cos sin cos sin cos sin cos
2
n n n n
n n n
S S S
Từ dễ dàng tìm
1
n n
S
Cách 2: sincos sin45
45 90 k260 45 k360 k
Do 0 ;180 nên 45 Vậy
2
sin cos
2 2
n
n n
n n
S
Chứng minh, rút gọn biểu thức lượng giác
Vấn đề Chứng minh đẳng thức lượng giác
Phương pháp:
Cách Biến đổi vế phức tạp sang vế rút gọn.
Cách Biến đổi hai vế biểu thức trung gian.
Cách Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh thành đẳng thức
đúng
- Sử dụng hệ thức lượng giác - Chú ý tới đẳng thức đáng nhớ:
1
2
2
2
a b a b ab a b ab
2
3
3 3
a a a b ab a b
.
3
3
3 3
a b a b ab a b
4
2
4 2 2 2
a b a b a b
5
3
6 2 3 2 2 2 2
a b a b a b a b a b a a b b
(12)Vấn đề Rút gọn biểu thức lượng giác.
Phương pháp:
- Đưa loại hàm số lượng giác - Rút gọn đến biểu thức đơn giản
- Nếu gặp dạng phân thức ta thường phải biến đổi tử mẫu duwois dạng tích rút gọn cho nhân tử chung
- Nếu gặp dạng thức thường nhân chia cho biểu thức liên hợp, biến đổi biểu thức dạng lũy thừa rút gọn
Vấn đề Chúng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số
Phương pháp:
- Biến đổi rút gọn biểu thức nhận biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu toán
- Nếu biểu thức chứa biến số biến đổi số
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau
a)
2
1 tan cos cot sin
A
với 0 ;90
b)
1 sin sin sin sin
B
.
c)
8 6
2 sin cos cos 2sin 6sin
C
Lời giải
a)
2
sin cos cos sin cos sin sin cos
A
sin cos
b)
Cách 1:
2
1 sin sin sin sin
1 sin sin
B
2
cos cos cos
1 sin sin sin cos
(13)Cách 2:
2 2
2
2
1 sin sin sin sin
2
1 sin sin cos
B
2
2
2 2sin
2
cos
cos cos
B
Cách 3:
2
1 sin sin
1 sin sin sin sin
1 sin sin
cos cos
B
c, Đặt
2
sin , cos ,
t v t v
Khi đó: t v 1 Khi
4 3 2 2 3
3 6
C t v v t t t v t v t v v t t t v
3
2 2 3
3 3
t tv v v t t v t v
Ví dụ 2: Cho a b, khác , thỏa mãn a.sin sin b.cos cos 0 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào , :
2 2
1
.sin cos sin cos
A
a b a b
Lời giải
Ta xét trường hợp sau:
Nếu cos 0 sin2 1. Theo giả thiết ta suy sin 0 cos2 1
Lúc
1
A
a b không phụ thuộc vào ,
(14)Ta xét trường hợp hai giá trị cos , cos 0
Ta có:
.sin sin cos cos tan tan tan
.tan
b b
a b
a a
2
2 2
2 2
1
1 tan tan tan tan
.tan tan tan
.tan
b a A
a b a b a b b
a b
a
2 2
2 2
2 2
1 tan tan
1 tan tan
.tan tan tan
ab b a
b a
a b ab a b ab a b
2
2
.tan tan
a b a b a b
ab
ab a b
Ví dụ 3: Cho biểu thức
6 4
sin cos sin cos
A m
Xác định m để
A không phụ thuộc vào
Lời giải
sin2 3 cos2 3 2 1sin2 2 cos2 2
A m
sin2 cos2 3 3sin2 .cos2 sin2 cos2
2 1sin2 cos2 2 2sin2 cos2
m
2 2
2
1 3sin cos 1 2sin cos
2 sin cos
m
m m
Để A không phụ thuộc vào , điều kiện
1
1
4 m m
So sánh giá trị “hàm” lượng giác
(15)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường trịn đơn vị (như hình
vẽ) lấy hai điểm M, N cho
, 00 180 0
xOA xOB
Ta có: yM sin , xM cos , yN sin , x Ncos
Với giả thiết
, 00 180 ,0
xOA xOB
ta ln có:
N M
x x
cos cos
Trường hợp 00 90 ,0 ta ln có yM yN sin sin
Trường hợp 00 90 ,0 ta ln có: sin sin sin
tan tan
cos cos cos
Khi cot cot
Trường hợp 90 0 180 ,0 ta xét tương tự
Ví dụ: So sánh cặp số: a) cos130 cos 69 b) sin 630 sin 72 15 o c) cos92 12o sin11o d) cos 27o sin 59o e) tan 92 13 o tan111 o
Lời giải
Theo nhận xét ta dễ dàng đưa kết quả:
a) Do 0o 13o 69o 180o nên cos130cos 69
b) sin 630sin 72 15
c) sin110 sin 790sin 92 12
d) sin 590 cos 310 cos 27
e) tan 92 130 tan1110
Hai góc bù nhau, phụ nhau.
(16)cos 152 0cos 252 0cos 352 0cos 452 0cos 1052 0cos 1152 0cos 1252 M
là:
A. M4. B
M
C
1
M
D.
3 2
M
Ta có:
2 0 2
cos 125 cos 180 55 cos 55 sin 35
Tương tự:
2 2 2
cos 115 cos 65 sin 25 ,cos 105 cos 75 sin 15 Vậy
2 2 2 2
cos 15 cos 25 cos 35 cos 45 sin 15 sin 25 sin 35
M
1
3
2
Đáp án B.
Ví dụ 2: Tính M tan1 tan tan tan 890 0
A. B 2 C -1
D
1
Lời giải
Ta có:
0 0
tan 89 tan 90 1 cot1
0 0
tan 88 tan 90 cot
…
0 0
tan 46 tan 90 44 cot 44
Suy M tan1 cot1 tan tan 44 cot 44 tan 450 0 0 1
Đáp án A.
(17)a)
0
0
0
cos 45 sin 45
tan 135 sin 45 sin 135
x x
A x x
x
b)
0 0
0
2 cos 90 sin 90 tan 180
2cos cot 90 sin 180
B
Lời giải
a) Do 450 x 450 x900
nên
0
cos 45 x sin 45 x
Lại có:
0 0
sin 135 x sin 180 45 x sin 45 x ,
tan 135 x tan 45 x
Vậy
2
0 0
0
cos 45 cos 45
tan 45 cos 45 sin 45
1 sin 45 sin 45
x x
A x x x
x x
2
0 0
0
1 sin 45
sin 45 sin 45 sin 45 1 sin 45
x
x x x
x
b) Ta có:
0 0
sin 90 sin 180 90 sin 90 cos
cot 90 tan
Vậy
2sin cos tan
2cos 2cos 2cos tan sin
B
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) cosAcosB C 0; b) sin cos ;2
A B C
c)
3
sin cos
2
A B C
A
(18)Theo giả thiết ta có: A B C 1800 B C 1800 A
a) Khi ta có:
cos B C cos 180 A cosA cosAcos B C 0
b)
0
0
180
sin sin sin 90 cos
2 2
A B C C C
c)
0 0
0
3
cos cos 90 cos 180 90
cos 90 sin A B C
A A
A A
3
sin cos
2
A A B C
Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
Trong số trường hợp, để nguyên dạng đại số phương trình, bất phương trình hay hàm số cho việc giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số gặp chút khó khăn Trong trường hợp đó, điều kiện cho phép người ta tàm cách chuyển phương trình, bất phương trình, hàm số từ dạng đại số thành dạng lượng giác (gọi phương pháp lượng giác hóa hàm đại số), với hi vọng dạng toán dễ giải
Các dấu hiệu phép lượng giác hóa:
1 Nếu tốn có (hiệ ẩn) điều kiện x2y2 1
cho phép biến đổi
sin cos
x y
2 Nếu tốn có biểu thức dạng a2 x2 chọn phép biến đổi
sin cos
x a y a
3 Nếu tốn có biểu thức dạng a2 x2 chọn
phép biến đổi Dạng 6
STUDY TIP
Việc chọn giới hạn góc tùy thuộc vào giới hạn
của biên x, ngồi cịn phụ thuộc vào điều kiện cụ
thể toán Các bạn cần chọn điều kiện thích hợp cho dạng lượng giác phương trình, hàm số cho đầu
có dạng đơn giản, đặc biệt xuất giá trị tuyệt
(19).tan cos
x a x a
4 Nếu tốn có biểu thức dạng a2x2 chọn phép biến đổi
.tan cot
x a x a
5 Nếu toán có biểu thức dạng x2 a2 chọn phép biến đổi
sin
cos
a x
a x
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
35 12
x x
x
Lời giải
Điều kiện: x ; 1 1;
Với x 1
35
0
12
x x
x
Trong trường hợp phương trình vơ nghiệm Vậy x1
Cách 1: Phương trình (1) tương đương
2
2
1225 144
x x
x
2
2
2
2
1225 1225
2
144 144
1
1
x x x x
x
x x
x x
Đặt
2
21 0 ,
x
t t
(20)2
25 12
144 288 1225
49 12
t
t t
t
Do điều kiện t nên ta có
2
4
2 2
25
25 144 625 1 0
25 12
1
16
x x
x x
x x
Kết hợp với điều kiện
5
1 ,
3
x x x
hai nghiệm phương trình
Cách 2: (phương pháp lượng giác).
Đặt
0
1
0 90
sin
x
Phương trình (1) trở thành:
1 35
sin cos 12
Đặt tsin cost0 Ta có:
2 1 2sin cos sin cos 1.
2 t t
Thay vào phương trình ta được:
2
2 35
35 24 35
12
1
t
t t t
t
Từ ta tính
12
sin cos
25
Như sin , cos nghiệm phương trình:
2 12 0.
5 25
X X
Từ ta tính
3 sin
5
4
sin
5
Tương ứng ta nghiệm phương trình
5
,
3
(21)Ví dụ 2: Giải phương trình:
3
3 1 2 1 .
x x x x
Lời giải
Điều kiện: 1 x
Đặt
0
cos 180 ,
x
phương trình trở thành:
3
sin cos sin cos
Đặt sin cos t Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
2
2 sin cos 2 sin2 cos2 2 2
t t
Phương trình nên trở thành:
3 2 3 2 0 2 2 1 2 1 0
1
t
t t t t t t
t
Với t ta có:
2
sin cos sin cos
2
x
Với t 1 2, ta có: sin cos 1 Hay
2
2
1 1 2 2 1
1
2 2
x
x x x
x x
Vậy phương trình có hai nghiệm
1 2 2
;
2
x x
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A ba số thực x y z, , cho bx cy az Chứng minh rằng: Z2x2y 2 a BC b AC c , , AB
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
b c
z x y
(22)Do tam giác ABC vuông A nên sin ,cos
c b
C C
a a Vậy
cos sin
z x C y C
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
2
2 cos sin 2 sin2 cos2 2
z x C y C x y C C x y
(đpcm)
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức:
Psin cos cos sin biết 00 90
Lời giải
Do 00 900 nên
sin cos
0 cos sin
P
Dấu xảy 900 0
Vậy giá trị nhỏ P
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
2
2 sin cos cos sin sin2 cos2 sin cos
P
2
2 sin cos sin cos 2 42
P P P
Dấu xảy 45
Vậy giá trị lớn biểu thức P 42
Nhận dạng tam giác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC khơng tù, thỏa mãn điều kiện: cos 2A2 cosB2 cosC3
Tính góc tam giác ABC
Lời giải
Ta có: cos 2A2 cosB2 cosC3
cos 2 cos cos
A B C
Dạng 7
STUDY TIP
Trong sử dụng công thức:
2 cos 2A 1 2sin A cos cos
=2cos cos
2
x y
x y x y
2
(23)cos cos cos
2
A B C B C
cos cos cos
2
A A B C
2
2cos cos cos
2
A B C B C
Do tam giác ABC không tù nên cos A 1 cos2 AcosA và
cos
2
B C
Do đó:
2
0 cos sin cos
2
A A B C
2
2cos sin 2sin sin
2 2
A A A
A
2
0 4sin sin 2sin
2 2
A A A
Vậy
0
0
2sin 90
2
45
cos
2
A
A
B C B C
Ví dụ 2: Tính góc tam giác ABC biết A B và
cosA B cosA B cos C 1
Lời giải
cos cos cos 1
A B A B C
cos cos 180 cos
A B C C
cos cos cos
A B C C
cos cos cos cos A B C C C
1 cos cos cos A B C C
(24)Do 1 cos A B cos C 0 cos2C0 nên
0
0
cos
cos( ) 45
* cos( )
cos 90
cos
C
A B A B
A B
C C
C
Ví dụ 3: Tính góc tam giác ABC biết
2 2
2 sin Acos Bcos C 2 sinAcosB 1
Lời giải
2
2 sin Acos Bcos C 2 sinAcosB 1
2 2
4sin 4sin 4cos cos cos
A A B B C
0
2 2
0
30 2sin
2sin 2cos 4cos 2cos 60
cos 90
A A
A B C B B
C C
Xác định góc hai vectơ
Ví dụ: Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường trịn tâm O Tính góc: , , , , , , , , ,
AB ED AB CF AB CD AB BD AB OD
Lời giải
Do ,
AB ED hướng nên AB ED, 0
+ ,
AB CF ngược hướng nên AB ED, 180
+ Do ,
AF CD hướng nên , , 120
AB CD AB AF FAB
+ ABBD nên , 90
AB BD
+ Do ,
AO OD hướng nên , , 60
AB OD AB AO OAB
(25)Câu 1: Cho tam giác ABC G trọng tâm tam giác ABC Khi góc
BC GC bằng:
A.30 B 60 C 120 D.150
Câu 2: Giá trị biểu thức
0
0
sin 60 tan 30 cot120 cos30
M
bằng:
A. 1 B 5 C
3
2 D.
2
Câu 3: Cho hai góc nhọn
Khẳng định sau sai?
A. cos cos B.
sin sin
C.tan tan 0 D.
cot cot
Câu 4: Bất đẳng thức sai?
A. cos750 cos50 B.
0
sin80 sin 50
C.tan 450tan 60 D.
0
cos30 sin 60
Câu 5: Trong hệ trục toạn độ Oxy, cho điểm M5;6 nửa đường trịn đơn vị hình vẽ Gọi N giao điểm đoạn OM với nửa đường tròn Tọa độ điểm N:
A.
5 ; 61 61
B.
; 61 61
(26)C.
5 11 ;
6
D.
5
; 61 61
Câu 6: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M3; 4 nửa đường trịn hình vẽ Tọa độ giao điểm đường thẳng OM với nửa đường tròn là:
A.
3 ; 5
B
; 5
C
; 5 D.
4 ; 5
Câu 7: Cho biết sin cos m Giá trị sin cos bao nhiêu?
A. sin cos m2 B.
sin cos 2 m
C.
2
1 sin cos
2 m
D. 1
sin cos
m
Câu 8: Cho hai góc khác bù nhau, đẳng thức sau đẳng thức sai?
A. sin sin B.
cos cos
C.tan tan D.
cot cot
Câu 9: Cho góc tù Điều khẳng định sau đúng?
A. sin 0 B.
cos 0
C.tan 0. D. cot 0
Câu 10: Bất đẳng thức đúng?
A. sin 900sin100 B.
0
cos95 cos100
C.tan850tan125 D.
0
cos145 cos125
Câu 11: Xét khẳng định sau:
1
0 0
sin 36 cos sin126 cos84
2
2 2
sin 51 sin 55 sin 39 sin 35 2
3
0 0 0
tan1 tan tan tan 88 tan 89 1
4.sin 22 0sin 42 0sin 62 0
2 2
sin 84 sin 86 sin 88 22
5
2 2
cos 73 cos 87 cos cos 17 2
6
2
(27)A. B 1 C 2
D 5
Câu 12: Cho
0 0 ;45
số
thực
tan 1 tan ,
t t2tancot,
tan
3cot ,
t t4 cotcot
Mệnh đề sau đúng:
A. t4 t3t1t 2 B. 3
t t t t
C.t2 t3 t1t 4 D. 1
t t t t
Câu 13: Cho biết cot Tính giá4 trị của:
2
2 cos 5sin cos
E
A.
16
17 B 70
17 C 71
16
D
69 17
Câu 14: Cho đẳng thức sau: a
cosxsinx2cosx sinx2 2, x b
2 2
tan x sin xtan xsin x x, 90 c
4 2
sin xcos x 1 2sin xcos x x, d
6 2
sin x cos x 1 3sin xcos x x, e
0
1 cos sin
0, 180
sin cos
x x
x x
x x
f
0 0
1
tan cot ,90 ,180
sin cos
x x x
x x
g
2 0
2
1
tan cot ,90 ,180 sin cos
x x x
x x h sin 22 xcos 22 x2
Số đẳng thức sai
A. B 2 C 4
D 6
Câu 15: Cho góc a, b, c, d thuộc
0
0 ;180
sao cho
sin 7sin sin 2sin cos cos cos 2cos
a b c d
a b c d
Khi đó: cosa d bằng:
A.
7
cos
2
b c
B.
5
cos
2 b c
C.3cosb c D.
7
cos
2 b c
Câu 16: Biết sinacosa 2. Giá trị sin4acos4a bằng:
A.
3
2 B
2 C -1.
D 0
Câu 17: Cho
1sink cosk
k
f x x x
(28)Giá trị biểu thức f4 x f x6 bằng:
A.
1
12 B
6 C
1
D 0
Câu 18: Biểu thức
2 2
tan xsin x tan xsin x có giá trị
bằng:
A. -1 B 0 C 2
D 1
Câu 19: Cho
1
cot
3
Giá trị biểu thức:
3sin 4cos 2sin 5cos
A
là:
A.
15 13
B -13 C
15 13
D 13
Câu 20: Cho biết
2
cos
3
Giá trị
của biểu thức:
cot 3tan 2cot tan
E bằng:
A.
25
B
11 13
C
11
D.
25 13
Câu 21: Cho tan cot m. Số các
giá trị m để tan2 cot2 7
A. 0 B 1 C 2
D 3
Câu 22: Biểu thức
2
tan cot bằng:
A. 2
1
sin cos B.
2
cot tan 2
C. 2
1
sin cos D.
2
cot tan 2
Câu 23: : Đơn giản biểu thức:
1 sin2 cot2 1 cot2 .
G x x x
A. sin 2x B cos x2 C
1 cos x
D cos x
Câu 24: Đơn giản biểu thức
sin cot
1 cos
x
E x
x ta được:
A. sin x B
1 cos x C
1 sin x
D cos x
Câu 25: Rút gọn biểu thức sau:
2
2
cot cos sin cos cot cot
x x x x
A
x x
A. A=1 B A=2 C A=3
D A=4
Câu 26: Rút gọn biểu thức
2
1 sin 2sin cos
x
P
x x ta được:
A.
1 tan
P x
B.
1 cot
P x
C.P2cot x D. tan
(29)Câu 27: Cho a0; 2 Số nghiệm
của phương trình
3
2
2
1
x x
a
x x
là
A. B 0 C 2
D 3
Câu 28: Cho tam giác ABC vuông A Các cạnh tam giác ABC thỏa
mãn điều kiện:
2 2 . 4 2.
BC BC AC AC Khi đó
sin ABC bằng:
A.
1
2 B
2
2 C
5
D
6
Câu 29: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho BD = AC Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = AD Tia DC cắt BE F Khi
tan CFB bằng:
A. B
1
3 C 1 D.
2
Câu 30: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức
2 . 0.
BC AB AC AB Khi đó
2 sin
3
A B bằng:
A.
3
2 B
1
2 C 1.
D
2
Câu 31: Cho x thỏa mãn
2
2sin cos
5
x x
Tính giá trị biểu thức: P2 sinx cos x
Bạn Anh Vũ làm sau:
Bước 1: Nếu sin 0
2
2 sin cos 2sin cos
5
P x x x x
Nếu sinx0 thì sin cos 2sin cos
P x x x x
Bước 2: Ta có:
1 sin
2
2sin cos
5
1 2sin cos cos
2
x P
x x
x x P x P
Bước 3: Do sin2xcos2x1
2 2
1 2
1 38
16 5
25
P
P P
P
Bước 4: Vậy
2 38 2; ;
5 25
P
giá trị cần tính
Bạn Anh Vũ sai bước nào?
A. B 2 C 3
(30)$2 Tích vơ hướng hai vectơ A.Lý thuyết
1. Định nghĩa.
Cho hai vectơ
a b khác vectơ 0. Tích vơ hướng a b số, kí hiệu ,
a b xác định công thức sau:
cos , a b a b a b Trường hợp hai vectơ
a b vectơ 0 ta quy ước a b 0
Chú ý:
+ Với
a b khác vectơ 0 ta có a b a b + Khi
a b tích vơ hướng a a kí hiệu a số gọi2 bình phương vơ hướng vectơ
(31)Ta có:
2 .cos 00
a a a a
+ 0 , a b a b
góc nhọn
0 , a b a b
góc vng
0 , a b a b
góc tù
2. Các tính chất tích vơ hướng
Với ba vectơ , ,
a b c số k ta có:
+ a b b a (tính chất giao hốn);
+ a b c a b a c
(tính chất phân phối);
+ ; ka b k a b a kb
+
2
0, 0
a a a
Nhận xét: Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra:
+
2 2
2
a b a a b b
;
+
2 2
2
a b a a b b
;
+
2
a b a b a b
3. Định lí hình chiếu.
Cho hai vectơ AB
CD Gọi C D, hình chiếu C, D đường thẳng AB Khi đó:
AB CD AB C D
4. Biểu thức tọa độ tích vơ hướng
Trên mặt phẳng tọa độ ; ; O i j
, cho hai vectơ
2; , 2;
a a a b b b
STUDY TIP
Hai vectơ aa a1 2; ,
2;
b b b
khác vng góc với
và khi:
1 2
(32)Khi tích vơ hướng a b là:
1 2
a b a b a b Ứng dụng
a) Độ dài vectơ
Độ dài vectơ 2;
a a a tính theo cơng thức:
2
1
a a a
b) Góc hai vectơ.
Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy
2;
a a a 2;
b b b khác 0 ta có
1 2
2 2
1 2
cos ;
.
a b a b a b
a b
a b a a b b
c) Khoảng cách hai điểm.
Khoảng cách hai điểm A x y A; A B x y B; B tính theo cơng thức:
2 2
B A B A
AB x x y y
B.Các dạng tốn điển hình Tính tích vơ hướng – Tính góc.
1 Tính tích vơ hướng
Ta lựa chọn hướng sau đây:
-Hướng 1: Sử dụng định nghĩa cách đưa vectơ a và
b gốc để xác định xác góc , a b
, từ đó: cos
a b a b
-Hướng 2: Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ
(33) 2 2
2
2 2 2 . .
2
AC AB BC
BC BC AC AB AC AB AC AB AC AB
-Hướng 3: Nếu đề cho dạng tọa độ
2; , 2; 1 2
a a a b b b a b a b a b
2 Tính góc.Cho hai vectơ
a b Nếu 2;
a a a và
2;
b b b khác 0 thì:
1 2
2 2
1 2
cos , .
a b a b a b
a b
a b a a b b
Ví dụ 1:Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a Tính: a) AB DC b)
AB OC c)
CA OC
d)
AB AD BC BD
e)
AC AB AD AB
f)
AC AB AD DA DB DC
Lời giải:
a) Do ,
AB DC hướng nên , 0
AB DC
Do đó:
2
cos ,
AB DC AB DC AB DC a
b) Hai vectơ ,
AO OC cùng hướng, đó
AO OC, AB AO, 45
Ta có:
2
2
.cos ,
2 2
a a
AB OC AB OC AB OC a
c) Hai vectơ ,
CA OC ngược hướng, đó
0
(34)Suy
.cos ,
2
a
CA OC CA OC CA OC a a
d)
2 2 2
AB AD BC BD AO BC BD AO BC AO BD
2
2 cos ,
2
a
AO BC AO BC a a
e)
2 . AC AB AD AB BC AD BD BC AD BC BD
2
2 . 2. .
2 2
a a a a
f) 4 .4 0
AC AB AD DA DB DC AO DO
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD ng A B có đáy
,
AD a BC a cạnh AB2 a a) Tính ,
AB BD BC BD AC BD
b) Gọi I, J trung điểm AB, CD Hạ II JJ, vng góc với AC
Tính
AC IJ độ dài I J
Lời giải
a) * Tính AB BD
Cách 1: (Sử dụng định lí hình chiếu)
2
4
AB BD AB BA a
Cách 2: (Sử dụng định nghĩa)
cos , cos
AB BD AB BD AB BD AB BD DBA
2 2
2
AB
AB AB AD AB a
AB AD *Tính
BC BD
(35)Gọi E hình chiếu D BC Khi đó:
2
3
BC BD BC BE a
Cách 2: (Sử dụng định nghĩa)
cos , cos cos
BC BD BC BD BC BD BC BD DBC BC BD BDA
3
BC BD AD BC AD a
BD
*Tính
AC BD
Ta có:
2
4 3
AC BD AC BC BD AB BD BC BD a a a
b) Tính AC IJ
Cách 1: (Sử dụng định lí hình chiếu).
Gọi F hình chiếu C IJ Khi tứ giác IBCF hình chữ nhật
2
2
AB BC a a
AC IJ IF IJ BC a a
Cách 2:
2
2
1 13
2 2 2
AC BD a a
AC IJ AC AC AC BD a
*Tính I J
Ta có: 13
AC IJ AC I J AC I J a I J Từ suy ra
2
6 13 13 13
a a I J
a
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có AB a CD b EF c , , E, F trung điểm AC, BD Tính cosin góc hai đường thẳng AB, CD Tìm điều kiện để góc ,
AB DC
góc tù
Lời giải
Ta có:
2
2 2
4
2
DC AB
FE EF DC AB DC DC AB AB
STUDY TIP
+ Cho tứ giác ABCD, E, E trung điểm AC, BD Khi
đó:
DC AB FE
+ Cho hai đường thẳng AB CD Khi đó:
(36)2 4
2 DC ABa b c
Suy ra:
2 2
.cos , cos ,
2
a b c a b c
DC AB AB DC AB DC
ab
Vậy
2 4
cos , cos ,
2
a b c
AB CD AB DC
ab
Để , AB DC
là góc tù
2 2 2
cos , 0
2
a b c
AB DC a b c
ab Chứng minh đẳng thức vectơ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c , , Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Và R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:
OI2R2 2Rr (Công thức Euler)
Lời giải
Ta có: 0 aIA bIB cIC
a IO OA b IO OB c IO OC
aOA bOB cOC
OI
a b c
2 2 2 2 2
2
2
2 2
a b c ab R c bc R a ac R b
OI
a b c
2
2
2 2
a b c R abc a b c abc
R R Rr
p a b c
Vậy OI2R2 2Rr
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB c BC a AC b , , Điểm M
STUDY TIP
Ở toán này, ta sử dụng công thức:
2 2
2
2
OA OB OA OB AB R c
(37)thuộc đoạn AB Giả sử AM m BM, n MC d, Chứng minh rằng: 2. 2.
c d mn a m b n
Lời giải
Giả sử chân đường vng góc H hạ từ đỉnh C nằm A M (có thể H trùng M) Ta có:
2 2 2 . 2 2 .
CB CM MB CB CM MB CM MB CB CM MB HM MB
Tương tự ta có: CA2 CM2MA2 2HM MA
Từ hai đẳng thức ta có:
2. 2. 2. 2. 2. . .
CB MA CA MB CM MA MB MB MA MA MB CM AB AB MA MB Đặc biệt: Trường hợp M trùng với A, B đẳng thức
đúng *Chú ý:
1 Khi M trung điểm AB, ta có:
2 2
2 2
2 2. 2. 2. 2 . 2 .
4 4
c c
a b c
c c c
m c a b a b c m
Tương tự,
2 2
2 , 2 .
4
a b
c b a c a b
m m
Đây công thức trung tuyến tam giác ABC
2.Khi CM phân giác góc ACB (M thuộc AB).
Ta có:
MA b MA b bc
MA
MB a c a b b c Từ suy ra
ac MB
a b
Theo công thức ta có:
2 2
2 2 2
2
2
c a b c abc
c l a b c
a b a b
STUDY TIP
Ví dụ định lí Stewart tiếng, Stewart chứng minh năm 1976, nhận xét 1, trường hợp đặc biệt định lí Nhận xét 1, cịn có tên gọi Định lí Apollonius trung tuyến
Độ dài đường phân giác tính theo cơng thức sau:
2 cos
c
C ab l
a b
2 cos
a
A cb l
c b
2 cos
b
B ac l
a c
(38)
2
2
2
2
c c
ab a b c ab a b c a b c abp p c
l l
a b
a b a b
Tương tự
2
,
a b
cbp p a acp p b
l l
c b a c
Đây cơng thức tính độ dài đường phân giác
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
9MG 3 MA MB MC AB BC CA
Lời giải
Ta có: 3MG MA MB MC
2 2
9MG MA MB MC MA MB MB MC MA MC
Mặt khác,
2 2
,
2
MA MB AB
MA MB
2 2 2
,
2
MA MC AC MC MB CB
MA MC MC MB
Do đó,
2 2
2 2
2 AB CB AC MA MB MA MC MC MB MA MB MC
Vậy
2 2
2 2 2 2
9
2 AB CB AC MG MA MB MC MA MB MC
2 2 2 2
3 MA MB MC AB CB AC
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh với điểm M ta ln có:
MA MB MC OA OB OC
Lời giải
(39)Suy ra: 0 OA OB OC OA OB OC
OA OB OC
Mặt khác, ta ln có:
.cos ,
MA OA MA OA MA OA MA OA
MO OA OA
MA OA MO OA
MA OA
OA OA OA
Tương tự ta có:
,
MO OB MO OC
MB OB MC OC
OB OC
Từ suy ra:
OA OB OC
MA MB MC MO OA OB OC OA OB OC
OA OB OC
phương hai đường chéo tổng bình phương cạnh
Lời giải
Cho hình bình hành ABCD, ta chúng minh:
2 2 2
AC BD AB AD
Ta có: AC2BD2AC2BD2
AB AD 2 BC BA2 2AB2 AD2 2AB AD BA BC
Do AB AD BA BC 0,BA AB BC, AD
nên
AB AD BA BC
Vậy ta có:
2 2 2
AC BD AB AD
Ví dụ 5: Cho đường tròn O;R điểm M cố định, OM d
Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA NB MO R2 d2 R2
Lời giải STUDY TIP
Giá trị không đổi
2
MA MB d R được gọi phương tích điểm M đường trịn O kí hiệu PM O/ Ta có:
/
2
M O
P MA MB
d R
(40)
Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CBAM hay B hình chiếu C AM Khi ta có
MA MB MA MB MC MA
MO OC MO OA
MO OA MO OA
2 2 2 2 2
MO OA OM OA d R
Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Để chứng minh hai đường thẳng vng góc, ta cần chứng minh tích vơ hướng chúng 0:
ABAC AB AC
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC D hình chiếu H lên AC, M trung điểm HD Chứng minh:
AM DB
Lời giải
*Cần chứng minh: AM DB
Ta có: DB BH HD HC HD
1
AM AH AD
Do đó:
1
2
AM BD AH AD HC HD
1
2 AH HC AH HD AD HC AD HD
(41)Mà
0( )
0( )
AH HC doAH BC AD HD doAH HD
1
2
AM BD AH HD AD HC AH HD AH HD HC
1 1
2 AH HD HD HC 2HD AH HC 2HD AC
Vậy AM DB
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD, điểm M nằm đoạn thẳng AC
cho AC AM
Gọi N trung điểm CD Chứng minh BMN tam giác vuông cân
Lời giải
Đặt AD a AB b ,
Khi đó:
1
;
4
b AM AC a b AN AD DN a
1
3
4
MB AB AM b a b a b
và
1
3
4
MN AN AM a b
Ta có:
2
1
3 3
16 16
MB MN a b a b a b a b
2
2 1 2
3
16 16
MB a b a b a b a
2
2 1 2
3
16 16
MN a b a b a b a
Vậy MBMN MB = MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M
(42)Lời giải
*Cần chứng minh: HK IJ Ta có: IJ IA AC CJ
IJ AC DB IJ ID DB BJ
Suy ra: 2HK IJ HK AC BD HK AC HK BD
HB BD DK AC HA AC CK DB AC BD DB
Vậy HKIJ
Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK AC. Gọi M, N lần lượt trung điểm AK CD
1 Chứng minh: BMN 90
2 Tìm điều kiện hình chữ nhật để tam giác BMN vuông cân
*Nhận xét: - Phân tích vectơ MN BM,
theo vectơ gốc: BA BC BK, ,
- Chứng tỏ: MN BM Lời giải
1 Đặt BA a BC b BK , , c
BA a BC b BK ; ; c
Ta có:
1 1
;
2 2
a
BM a c MN MB BC CN a c b b c Do đó:
2
1 1
2 4
c
MN BM b a c a b a c b c c a b b a c b c c
Vì .a b 0
và b a c 0;b c c 0
nên
90
MN BM BMN
(43) 2 2 2
1
2 4
2 a c b 2c a c a c b c b c
2 2 cos 4 4 cos
a ac ABK b bc CBK
2 2 cos 4 4 cos
a c a ABK b c CBK
2 2 4 4
a c b c
2 6 4 0
a c b
(1)
Mặt khác: Vì ab AC c nên
2 2
2
a b c
a b
Thay vào (1) ta được:
2
2 2 2
2
6
4
a b
a b a a b b
a b
a2 b2 a2 4b2 0 a2 b2 0 a b
Vậy điều kiện cần đủ để tam giác BMN vuông cân ABCD hình vng
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
1. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm ACD Chứng minh nếu: AB = AC OE CD
2. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN Chứng minh rằng:
2 5
BM CN b c a
3. Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm cạnh AB G trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: OGCD
(44)5. Cho hình vuông ABCD, DC lấy điểm E, kẻ
EF AC F BC
M, N trung điểm AE DC Chứng minh rằng: MN DF
6. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH AC Gọi M, N trung điểm AH DC Chứng minh rằng:
BM MN
7. Cho hình vng ABCD , AB lấy điểm P, AD lấy điểm Q cho AP = AQ Kẻ AH DP. Chứng minh rằng: CH QH
(45)Chứng minh bất đẳng thức
Ta biết với hai vectơ u v,
khác
, tchs vô hướng định nghĩa sau:
.cos , u v u v u v Từ ta rút số bất đẳng thức:
.cos , u v u v u v u v
hoặc
u v u v
Sau số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh với tam giác ABC ln có:
3
cos cos cos
2
A B C
Lời giải
Thiết lập đơn vị e e e1 3, ,
có giá trị vng góc với cạnh AB, BC, AC ABC , ta được:
1 2 cos 180 cos ,
e e e e B B
2 cos 180 cos ,
e e e e C C
1 3.cos 180 cos ,
e e e e A A
Mặt khác ta có:
e e1 2e32e12e22e322 e e1 2e e2 e e1
3 cosB cosC cosA
3
cos cos cos ,
2
A B C
đpcm
Ví dụ 2: Chứng minh với tam giác ABC ln có:
3
sin sin sin
2 2
A B C
(46)Lời giải
Ta có:
sin cos ,sin cos ,sin cos
2 2 2
A B C B C A C B A
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
3
cos cos cos
2 2
B C C A B A
Đặt
0
, , 180
2 2
B C C A B A
Khi , , ba góc tam giác Theo ví dụ ta suy điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Chứng minh với tam giác ABC ln có:
3
cos cos cos
2
A B C
Lời giải
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ta nhận được:
2A OB OC , , 2B OC OA, , 2C OA OB,
Mặt khác:
OA OB OC 2 OA2OB 2 OC 22OA OB OB OC OC OA
2 2
3R R cos 2C R cos 2A R cos 2B
3 cos cos cos
2
A B C
, điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh với số thực x, y ta ln có:
2 2
1
2
1
x y xy
x y
(*)
(47)Ta có (*)
2 2
2 2 2
1 1 2
1
1 1 1
x y y x x y y x
x y x y x y
Đặt:
2
2 2
2 1
; , ;
1 1
x x y y
a b
x x y y
Suy ra:
a b
Do a b a b 1
Suy
2
2 2
2
1
1 1
x y y x
x y x y
(48)Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x318x2 36x2 9x3 9 x2
Lời giải
Điều kiện: x 2;4 0 Đặt
1;1 , 18 ; 362 u v x x x x
Ta có: u 2,v 3 2x u v 6 x
Ta có:
2
9x u v u v 6x x 0 x3
Thử lại với x = 3, thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S 3
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
2
1 3 2
x x x x
Lời giải
Điều kiện: x Đặt 1 u1;1 , v x1;x
Ta có:
2 2
2, 2
u v x x u v x x
Ta có:
2
1 2
x x u v u v x x
Dấu xảy x1 x 3 x Thử lại với x = 5, thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S 5
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2 2 (1) (2)
1 2 (3)
x x y z
x y y z
y z x z
(49)Lời giải
Trong mặt phẳng Oxy, đặt
; , 2;2 , 1;5
a x y b x z c y z
Hệ phương trình trở thành:
a b a c
c b
(I)
Nếu a 0
x0,y2 Thay vào phương trình (3) ta có:
2 2 11
9 10
3
z z z z z
Nếu a 0
từ hai phương trình đầu hệ (I) ta suy
,
b c phương.
Kết hợp với phương trình ba hệ (I) ta suy 2b c hoặc 2bc
Trường hợp 1:
1 2
2
2 5 2
y x z
b c
y x
z z
Thay vào (1) ta có
2 4 21 0
7 x
x x
x
Với x 3 y 1 Với x 7 y 19
Trường hợp 2:
1
1 2
2
5 2 3 2
y x z
b c
z z y x
Thay vào (1) ta có:
2 13 13
3
3
(50)Thử lại ta thấy số
1 11 11
0;2; , 0; 2; , 3;1;1 , 7; 19;1 ,
3
4 13 13 13 13
; ; , ; ;
3 3 3
đều nghiệm phương trình cho
Tìm tập hợp điểm, tốn cực trị
Một số toán bản:
1. Cho đoạn thẳng AB, tập hợp điểm M thỏa mãn:
+ AM AB
đường thẳng vng góc với AB A
+ MA MB
đường trịn đường kính AB
2. Cho điểm I cố định số k Tập hợp điểm M thỏa mãn IM2 k là:
+ Tập rỗng k < + Là điểm I k =
+ Là đường trịn tâm I bán kính k k > 0.
Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: MA2MB2k2 (với k số cho trước).
Lời giải
Gọi O trung điểm đoạn AB Khi đó:
2 2
2 2 .
2 AB MA MB MO OA MO OB MO
Theo giả thiết ta có:
2 2
2 2
2
2
AB k AB
MO k MO
(51)+ Đường tròn tâm O (trung điểm đoạn AB), bán kính
2
1
2 k AB 2k2AB2
+ Điểm O (trung điểm đoạn AB) 2k2AB2
+ Tập rỗng 2k2AB2
Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B phân biệt, cố định số thức k Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: MA2 MB2 k
Lời giải
Gọi O trung điểm đoạn AB H hình chiếu M lên AB Khi đó:
2 2 . 2 .
MA MB MA MB MA MB MO BA HO BA
Theo giả thiết ta có: k
HO BA k OH
AB
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:
2
MA MB k đường thẳng vng góc với AB điểm H cách trung điểm O đoạn AB khoảng xác
định hệ thức: k OH
AB
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M điểm Giả sử M di động đường thẳng , tìm vị trí M để
2 2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có: MA2 MB2MC2 MD2
MO OA 2 MO OB 2 MO OC 2 MO OD2
2 2
2MO OA OB OC OD OA OB OA OB
2 2 2 2
MA MB MC MD OA OB
(52)Do
2
2 OA OB
không đổi nên MA2 MB2MC2 đạt
giá trị nhỏ MD nhỏ Điều xảy2 M hình chiếu D lên đường thẳng
Xác định tọa độ trực tâm, tâm ngoại tiếp tam giác
1. Bài toán xác định tọa độ trực tâm ABC biết tọa độ đỉnh A, B, C
Bước 1: Giả sử H x H;yH trực tâm tam giác ABC Từ bạn tính tọa độ vectơ HA HB,
Bước 2:
,
HA BC HB AC
(53)2. Bài toán xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết tọa độ ba đỉnh A, B, C
Bước 1: Giả sử I x y I; I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ bạn tính tọa độ vectơ
, ,
IA IB IC
Suy độ dài IA, IB, IC
Bước 2:
IA IB IA IC
, suy tọa độ điểm I. Ngoài ta cần nắm dược toán sau:
3. Bài toán xác định tọa độ điểm K hình chiếu A lên đường thẳng BC
Từ
KA BC KB mCB
, ta suy tọa độ K
Ví dụ: Cho tam giác ABC có điểm A4;6 , B5;1 , C1; a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Tìm điểm M thuộc trục Oy cho M cách hai điểm A B
c) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC
d) Tìm tọa độ tâm I tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
e) Xác định tọa độ điểm N hình chiếu A lên đường thẳng IH
Lời giải
a) Ta có:
2
1; 5 26
AB AB
3; 9 32 92 90 10 AC AC
4; 4 42 42 32 BC BC
Chu vi tam giác ABC bằng: 26 10 2.
(54)Ta có:
2 2
0 12 52,
MA m m m
0 52 12 2 26
MB m m m Để M cách A B MA = MB
2 12 52 2 26 10 26 13.
5
m m m m m m
Vậy
13 0;
5
M
thoar mãn yêu cầu toán.
c) Giả sử x y; tọa độ điểm H
Ta có: HA4 x;6 y HB, 5 x;1 y
H trực tâm tam giác ABC nên
4 4
10 11
11;
8
3
x y
HA BC x y x
H
x y y
x y
HB AC
d) Giả sử u v; tọa độ điểm I
Ta có:
4 ;6 , 5 ;1 , 1 ;
IA u v IB u v IC u v
I tâm ngoại tiếp tam giác ABC nên
2 2
2
2 2 2
4
4
u v u v
IA IB
IA IC u v u v
1
5 13 2
;
3 21 2
2 u u v
I u v
v
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 65 130
2
R IA
(55)Ta có:
4; , 23; , 11 ;
2
AN m n IH NH m n
Ta có:
23
23
11
2
2
m n
AN IH k
m NH k IH
k n
23 210
23 7
2 289
23 764 764 446
11 ;
2 289 289 289
7 446
1
2 289
k k
k k
m m N
k
n n
Câu 1: Cho hai vectơ a
b
ngược hướng khác vectơ
Trong kết sau đây, chọn kết đúng:
A. a b a b
B a b
C a b
D a b a b
Câu 2: Cho hai vectơ a
b
thỏa mãn điều kiện a b 1
a b 3
Độ dài vectơ 3a5 :b
A. 5 B 24 C 8 D 124
(56)Câu 3: Cho vectơ a
b
thỏa mãn a 4,b 3
a2b 2
Khi
a b ,
bằng:
A. 120 B 90 C 60 D 30
Câu 4: Cho vectơ a
b
thỏa mãn a 4,b 3
hai vectơ u2a3b
15 14
v a b
vuông góc với Khi a b,
bằng:
A. 120 B 90 C 60 D 30
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a1; , b2;
Khi
cos ,a b
bằng:
A.
3
B
3
5 C 1 D
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ aa a1 2; ,bb b1 2;
Khi
đó sin ,a b
bằng:
A.
1 2 2 2 2
a b a b
a a b b
B.
1 2 2 2 2
a b a b
a a b b
C
1 2 2 2 2
a b a b
a a b b
D
1 2
2 2
1 2
a b a b a a b b
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ
2
3 9;1 , 1; 2 u x x v x x
Số giá trị x để u v 7
là:
A. B 1 C 2 D 3
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ aa a1 2; ,bb b1 2;
Đẳng thức sau sai:
A.
2 2 2
1
2
a b a b a b
B. a b a b .cos , a b
(57)C.
2
1
2
a b a b a b
D. a b a b 1 a b2
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a i 5j
1 2
b k i k j
a) Biết vectơ a
vng góc với b,
k bằng:
A.
4 11
k
B
2
k
C.
4
k
D
4
k
b) Số giá trị k để độ dài vectơ a
độ dài vectơ b
là:
A B 1 C 2 D 3
c) Gọi X tập hợp giá trị k thỏa mãn điều kiện góc hai vectơ a
và b
45 Khi tập hợp X bằng:
A B
1 ;
C
1 ;
D
1 ;
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 1; , b5;1
c ma nb
với m n , Biết vectơ c
vuông góc với vectơ v a b Khẳng định sau đúng?
A. 49m n 0 B m 49n0 C.41m17n D 17m 41n
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 1; 2
b 5;1
Vectơ c
thỏa mãn điều kiện c
thỏa mãn điều kiện a c 1
b c 39
Khi c có tọa độ là:
(58)C.3; D 1;1
Câu 12: Cho tam giác ABC có cạnh a Gọi H, K trung điểm BC, AC I hình chiếu H lên AB Cho mệnh đề:
1:
A AB AC BC AB AC BC
2:
A BA BC BA BI
3:
A AB AC BC a
2
4: 34
A AH CA a
5:
A CB CA CB CI
2
7: a2
A CB CK
Số mệnh đề mệnh đề sau:
A. B 4 C 5 D 6
Câu 13: Cho tam giác ABC có A1;1 , B3;1 , C2;4 a) cos A bằng:
A
5
B
2 C
2 10 D
2
b) Tọa độ trực tâm H tam giác ABC là:
A 2;3 B 2;2 C 2; D 2;2
c) Tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A 2;1 B 1;2 C 1;2 D 1;
d) Biết M nằm Oy, có tung độ m cách hai điểm A, C Khi m bằng:
A m 3 B m 3
(59)e) N nằm Ox có NA23NB2 đạt giá trị nhỏ Khi đó, điểm N có tọa
độ là:
A N2;0 B N 2;0
C N1;0 D N 1;0
f) Tọa độ điểm A đối xứng với A qua BC là:
A
13 11 ; 5 A
B
31 17 ; 5 A
C
31 17
;
5 A
D
31 17 ; 5 A
g) Gọi D điểm cho tam giác ABD vng cân B có tung độ dương Khi đó, điểm D thuộc đường thẳng đây?
A x22y2 59 B x22y2 27
C. x y 0 D x y 2
Câu 14: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD2 a Gọi I trung điểm AB, H hình chiếu B lên AD K trung điểm đoạn HD Xét khẳng định sau:
A1:IC ID 2a 2
2
2: 3a2
A AD BK
21
:
4 a A BK
Số khẳng định sai khẳng định là:
A. B 1 C 2 D 3
Câu 15: Cho hai điểm A2; , B5; Tìm M tia Ox cho AMB 90
A. M1;6 B M6;0
(60)Câu 16: Bạn Tùng Chi giải toán: “Cho đoạn thẳng AB2a số k2. Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn điều kiện: MA2 MB2 k2” theo các
bước sau:
Bước 1: Gọi O trung điểm đoạn AB Kẻ MH AB hình vẽ:
Bước 2: Ta có:
2 2
MA MB k
MO OA 2 MO OB2 k2
2
2MO OA OB k 2MO BA k
Bước 3: Sử dụng cơng thức hình chiếu ta có:
2
2
2 k HO BA k HO AB
2
0 k HO
a
Vậy tập hợp điểm M cần tìm tập rỗng
Theo bạn, lời giải bạn Tùng Chi sai bước:
A. B 2
C 3 D Không sai
(61)qua A, D vng góc với CE cắt cạnh BC F 3; 4 G1; Khi FB
FG bằng:
A.
1
2 B 1 C 2 D
Câu 18: Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Khi MAN bằng:
A. 44 B 45 C 44,8 D 45,
Câu 19: Cho tam giác cân A, AH đường cao Gọi D trung điểm AH Kẻ HE vng góc với CD E Khi MAN bằng:
A. 89 B 90 C 91 D 92
Câu 20: Cho hình chữ nhật ABCD Đường thẳng qua D vng góc với AC cắt BC N Gọi E, F trung điểm CD, CN T điểm NC cho CN = 3NT Đường thẳng AE vng góc với đường thẳng:
A. DN B DT C DF D DC
Câu 21: Gọi S tập nghiệm bất phương trình:
3 2 x 2x 1 4 x2 10 17 x10x2 x3 Số phần tử tập hợp S là:
A. B 1 C Vô số D
Câu 22: Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành khi:
AB AD BA BC CB CD DC DA
Bước 1: AB AD BA BC CB CD DC DA 0
AB AD AB BC BC CD CD AD
AB AD BC CD BC AD
Bước 2: AD BC AB CD 0
AD BC AB DC
(62)Bước 3:
0 (1) (2) AD BC
AB DC
Bước 4: 1 AD BC
Điều tương đương với tứ giác ABCD hình bình hành
2 AB DC
Điều tương đương với tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải sai bước nào?
A. Bước B Bước
C Bước D Bước
Câu 23: Cho hai vectơ a b,
có a b 1
0 , 60
a b
Số số x thỏa mãn
xa b là:
A. B 1 C 2 D
Câu 24: Cho ba vectơ a b c, ,
khác
thỏa mãn điều kiện:
b c a a c b b a c 0
(1) Gọi b c, , a c, , b a,
Có , , thỏa mãn điều kiện (1)?
A. B 5 C 6 D 7
Câu 25: Cho tam giác ABC có A 90 ,0
2 , a BC
AC a a
Khi
AB AC BC
bằng:
A.
2 a
B
2
3 a
C
2
2 3 a
D
4 a
Câu 26: Cho tam giác ABC cạnh 3a a Lấy điểm M, N, P cạnh BC, CA, AB cho BM a, CN 2 ,a AP x 0 x a Để
AM PN x bằng:
A
2
a B
4
a
C
4 15
a D
5
(63)Câu 27: Cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB = 2a a 0 DAB1200, AH vng góc với CD H Khi AH CD. 4ADAC BH
bằng:
A.
2
15
a
B
15
a
C.
15
a
D
15
a
Câu 28: Cho hình thoi ABCD cạnh a a 0 , ADC 120
Khi AB AD AD BD
A.
2
3 a a
B
2
3 a a
C.
2
3 a a
D
2
3 a a
$3 Các hệ thức lượng tam giác
A. Lý thuyết
1. Một số kí hiệu
Cho tam giác ABC có BC a AC b , AB c : + m m m trung tuyến kẻ từ A, B, Ca, b, c
+ h h h độ dài đường cao tương ứng với cạnha b c, ,
BC, CA, AB;
+ R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác; + r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
+
a b c p
(64)2. Các hệ thức lượng tam giác vuông
Cho tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu A lên BC
Đặt AH h BH, c CH, b Khi đó:
1 a2 b2c2
2 c2 c a b , b a
3 2
1 1
h b c h2c b
5 a c cosB b cosC
3. Định lí cơsin
Trong tam giác ABC bất kì, ta ln có:
2 2
2 2
2 2
2 cos ; cos ; cos
a b c bc A
b c a ca B
c a b ab C
*Hệ quả:
2 2 2 2 2
cos ;cos ;cos
2 2
b c a c a b a b c
A B C
bc ca ab
*Nhận xét: Định lí cho phép ta xét tam giác nhọn, tù hay vuông thông qua yếu tố cạnh tam giác
A nhọn b2c2 a2
A tù b2 c2 a2
A vuông b2c 2a2
Từ đưa đến cách nhận dạng tam giác ABC thông qua yếu tố cạnh
-Tam giác ABC có góc nhọn
2 2
2 2
2 2
b c a
c a b
a b c
STUDY TIP Định lí cosin sử dụng để giải tam giác biết hai cạnh
(65)-Tam giác ABC có góc tù
2 2
2 2
2 2
b c a c a b a b c
-Tam giác ABC có góc vng
2 2
2 2
2 2
b c a
c a b
a b c
4. Định lí sin.
Trong tam giác ABC bất kì, ta ln có:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
Định lí sin dùng để giải tam giác biết góc độ dài cạnh đối diện biết góc cạnh khác Các bạn linh hoạt sử dụng định lí cosin định lí sin để giải tam giác có thơng tin hợp lí
5. Độ dài đường trung tuyến
2 2
2
2 2
2
2 2
2
;
2
;
2
2
a
b
c
b c a
m
a c b
m
a b c m
*Nhận xét:
2 2 2 .
4
a b c
m m m a b c
6 Cơng thức tính diện tích tam giác
1 1
2 a b c
S ah bh ch
1 1
sin sin sin
2bc A 2ca B 2ab C
4
abc R
pr
p a p b p c
(66) 2
2
2 AB AC AB AC
1
2 xB xA yC yA xC xA yB yA
*Nhận xét: Từ định lí cosin cơng thức tính diện tích ta xây dựng cơng thức sau:
2 2 2 cos 2 2 sin cot 2 4 cot
ABC
a b c bc A b c bc A A b c S A
2 2
cot
4 ABC b c a A
S
Tương tự:
2 2 2
cot ,cot
4 ABC ABC
a c b b a c
B C
S S
B. Các dạng toán điển hình.
Giải tam giác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB 2,AC C 45 Độ dài cạnh BC là:
A BC=
6
B
6 BC
C
6 BC
D BC
Lời giải
Cách 1: Áp dụng định lí cosin tam giác ta có:
2 2 2 cos 450
c a b ab
2
6
2
2
2 6 2
2 a
a a a a
a
Cách 2: Áp dụng định lí sin tam giác ta có:
STUDY TIP
Cách 1: Biết độ dài cạnh góc tam giác, ta sử dụng định lí cosin Cách 2: Ta biết độ dài cạnh góc đối diện biết cạnh khác, ta sử dụng định lí sin
(67)
sin sin 60
sin sin 2
AB AC AC
B C B
C B AB
hoặc B 120
- Với B 60 ,0 suy A 75 Ta có:
sin 6
sin sin sin 2
AB BC A
BC AB
C A C
- Với B 120 ,0 suy A 15 Ta có:
sin 6
sin sin sin 2
AB BC A
BC AB
C A C
Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB4,BC6,AC2 Điểm M thuộc đoạn BC cho MC = 2MB
a) Cosin góc có số đo lớn bằng:
A.
7
14 B
1
2 C
2
7 D
b) Độ dài cạnh AM là:
A. AM 4 B AM 3 C AM 2 D AM 3 Lời giải
a) Do 4 nên BAC có số đo lớn nhất. Áp dụng định lí cosin tam giác ta có:
2 2 16 28 36 7
cos
2 1.4.2 14
AB AC BC
A
AB AC
Đáp án A.
b) Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có:
2 2 16 36 28 1
cos
2 2.4.6
AB BC AC B
AB AC
STUDY TIP
1 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Giả sử a > b> c
cosAcosBcosC Bài tốn tổng qt sau: Cho tam giác ABC, gọi M điểm BC cho BM k BC
Khi đó:
2 1
AM kb k c
1
k k a
Ý b ứng với
1
(68)Ta có: BC
MC MB MB
Áp dụng định lí cosin tam giác ABM ta có:
2 2 2 . .cos 16 2.4.2.1 12 2 3.
2
AM BA BM BA BM B AM
Đáp án C
Nhận xét: Cho tam giác ABC, gọi M điểm BC cho BM k BC. Khi đó:
2 1 1 2.
AM kb k c k k a Chứng minh: Ta có:
1
BM k BC AM AB k AC AB AM k AC AB k
2
2 2 1 2 1 .
AM k b c k k k AC AB
2 2
2 2 1 2 1
2 b c a
k b c k k k
2 1 1
AM kb k c k k a
*Tính diện tích tam giác, bán kính đường trịn nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp tam giác Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến
Ví dụ 3: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vng góc với có BC = 3, góc BAC 30
a) Diện tích tam giác ABC là:
A. SABC 3 3. B SABC 6
C SABC 9 3. D
3
ABC
S
(69)A B 3 C 2 D 3
c) Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC là:
A
3
3 45 24 3 B
6 3 45 24 3
C
6
3 45 24 3 D
3 3 45 24 3
d) Giả sử C B Độ dài đường trung tuyến ứng với góc C bằng:
A
81 297
B
81 297
C
81
4 81 297
Lời giải
a) Ta có:
2 2 2
2 , .
9
a c b a b c
BM CM
Do tam giác BMC vuông M nên
2 2 2
2 9 4 9
9
a c b a b c
BM CM
2 2 2
2 2
4 81 45
45
9 4 4
b c b c b c
a a b c
Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có:
2 2 2 cos 2 3 9 3 36 36 12 3
3 a b c bc A b c bc bc bc
1 36
.sin 3
2
ABC
S bc A
Đáp án A.
b) Ta có:
3
2
sin 2sin 2sin 30
a a
R R
(70)Đáp án B.
c) Thay ý a) ta có: b2c245 b c 2 2bc45 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có:
2
3 45 24 3
S S pr r
p
Đáp án C.
d) Do C B nên c b c2 b2
Ta có: b c nghiệm phương trình:2 2,
2
45 297 45 432
45 297 x
x x
x
Suy
2 45 297, 45 297.
2
b c
Cách 1:
Gọi N trung điểm AB Áp dụng định lí cosin
tam giác ACN ta có:
2
2 2 2 . .cos .
4
c CN AC AN AC AN A b bc
45 297 45 297 81 297 18
2 8
Cách 2: Áp dụng cơng thức độ dài đường trung tuyến ta có:
2 2
2
45 297
9 45 297 81 297
2 .
2 8
c a b c
m
Đáp án A.
(71)và CBB Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a, b là:
A.
2 2 sin
2sin
a b ab
R
B
2 2 sin
2sin
a b ab
R
C.
2 2 cos
2cos
a b ab
R
D
2 2 cos
2cos
a b ab
R
Lời giải
Xét tam giác BCB có: cos cos BB
BB a BC
Diện tích tam giác ABC bằng:
1
.cos
2
S BB AC ab
Lại có:
4 4 .cos 2cos
abc abc abc c
S R
R S
Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có:
2 2 2 cos 2 2 sin 2 2 sin
c a b ab C a b ab c a b ab
Vậy
2 2 sin
2sin
a b ab
R
Đáp án A.
Ví dụ 5: Tam giác ABC có AB = 5, AC = BAC 60 Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cho
A. r 1 B r 2 C r D r 2 Lời giải
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
2 2 2 cos 25 64 2.40.1 49 7.
2
(72)Cách 1: Diện tích tam giác ABC là:
1
.sin 40 10
2 2
S bc A
Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC là: 20
3 S
r p
(73)Cách 2: Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC:
tan .tan 7.tan 300 3. 3.
2 2
A b c a A
r p a
Đáp án C.
Nhận dạng tam giác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện tan 2 tan tan
C
a b a A b B Khi tam giác ABC là:
A Tam giác vuông B Tam giác cân A. C Tam giác cân B D Tam giác cân C.
Lời giải
Ta có:
1
tan cot
2 tan
2
C A B
A B
Khi đó:
tan tan tan tan tan tan
2
C A B
a b a A b B a b a A b B
tan tan tan tan
2
A B A B
a A b B
.sin sin
2
cos cos
2
A B A B
a b
A B A B
A cos B cos
sin
.sin sin
2
2
cos cos
cos cos A B
A B A B
a b
a b
A B
A B
-Nếu sin A B
A = B
-Nếu cos cos
a b
A B theo định lý sin cho tam giác ABC ta có: tanAtanB A B
(74)Như hai trường hợp ta suy tam giác ABC cân C
Đáp án D.
C Tam giác tù có góc A 1200 D Tam giác nhọn có góc A 60
2 2 .
a b c bc
Mặt khác: a2 b2c2 cot bc A Từ suy ra:
1
cot 120
2
A A
Vậy tam giác ABC tam giác tù có góc A 120
Đáp án C.
Chứng minh hệ thức, bất đẳng thức tam giác
Ví dụ 1: Hai đường phân giác BD CE tam giác vuông ABC
BAC 900 cắt I Khi đó, đẳng thức sau đúng?
A BD.CE = 2BI.CI B BD.CE = BI.CI C 2BD.CE = BI.CI D 2BD.CE = 3BI.CI.
Lời giải
Vì
900 1350
2 BAC
BIC
nên tam giác BIC ta có:
0
sin135 sin sin
2
BI CI BC
a
C B
Do đó:
2
sin sin (1) 2
B C
(75)Lại có:
2
sin sin
sin sin (2)
2 2 2 2 2
2
b c
B C B C a a BD CE
B C c b a
cos cos
BD CE
Thay (2) vào (1) ta có:
2
4
BD CE BD CE
BI CI a BD CE BI CI
a
(điều ngược lại đúng)
Đáp án A.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Điều kiện cần đủ để tồn điểm D trên
cạnh BC cho AD2 BD CD là:
A.
2
sin sin sin
A
B C
B
2
sin 2sin sin
A
B C
C
2
2sin sin sin
A
B C
D
2
sin 3sin sin
A
B C
Phân tích
Xét tam giác ABC cân (các bạn cho tam giác ABC được) D trung điểm BC Khi đó:
2
sin sin
2
A BD CD A BD CD
AB AC AB AC
2
sin ,sin sin sin
AD AD AD
B C B C
AB AC AB AC
Nên
2
sin sin sin
A
B C
Do ta suy nghĩ tới việc lựa chọn đáp án trả lời A
Lời giải
Nếu tam giác ABC vuông cân A kết luận đề hiển nhiên Xét tam giác ABC có góc nhọn (trường hợp tam giác ABC có góc tù giải tương tự)
Gọi E giao điểm AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi ta có: BD.CD = AD.DE nên điều kiện
2 .
(76)Vậy điều kiện cần đủ để tồn điểm D thỏa mãn u cầu tốn đường kính AO cắt BC hay OA2IM, I trung điểm OA M chân đường vng góc hạ từ I xuống BC
Kẻ AH BC OK, BC thì:
.cos cos , sin sin sin sin OK OB A R A AH AB B c B R B C Vậy điều kiện OA2IM tương đương với
cos 2sin sin
R R A A B
2
1 cos 2sin sin sin sin sin
A
A B C B C
Đáp án A.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A2B 4 C Khẳng định sau đúng:
A.
1 1
AB BC AC B
1 1
AC BC AB
C
1 1
BC AB AC D
1
AB BC AC Lời giải
Ta có: sinAsin 2B2sin cosB B
2 2
2 2 2
2 (1)
2 2
a b a c b
a c b b c b a bc b
R R ac
Tương tự sinBsin 2C b2 ca c (2)
Thế (2) vào (1) ta có:
2
2
1 1
a b c b c
a c ca bc
c a a a a b
Vậy
1 1
AB BC AC
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho ngũ giác ABCDE có tâm O Chứng minh rằng:
v OA OB OC OD OE 0
STUDY TIP
Với A2B 4C ta dễ dàng suy
A B C nên ta
suy
BCACAB
Suy
1 1
BC AC AB Suy B, C bị loại Bất đẳng thức
tam giác:
(77)Lời giải Cách 1: Vì ABCDE nên ABOD
OA OB kOD OE OC mOD
Cộng vế đẳng thức ta có:
v kOD mOD OD AB v AB OD k m
Tương tự ta chứng minh BC v 0,
mà AB BC,
hai vecto không phương nên v 0
(điều phải chứng minh)
Cách 2: Do ABCDE nên OA = OB = OC = OD = OE Do đó:
2 2
, , ,
OA v OA OA cos OA OB OA cos OA OC OA cos OA OD
2. ,
OA cos OA OE
2
1 2
5
OA cos cos
Chứng minh tương tự ta có:
2
2
5
OB v OB cos cos
Do OA v OB v AB v 0
Tương tụ ta chứng minh BC v 0, mà AB BC,
hai vecto không phương nên v 0 (điều phải chứng minh)
Nhận xét: Từ toán này, ta suy điều thú vị là:
2
1 2
5
cos cos
Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 1: Cho ABC có diện tích
2 Gọi a,b,c độ dài cạnh BC, CA, AB , ,h h h chiều cao xuất phát từ đỉnh A,B,C.a b c Dạng
STUDY TIP
- Có nhiều cách giải tốn Chúng tơi xin giới thiệu hai cách có sử dụng tích vơ hướng
- Cho hai vecto a b,
không phương
Một vecto c
(78)Chứng minh
1 1 1
a b c
a b c h h h
Lời giải
Ta có:
1 1
, ,
3 3
a b c
a b c
a b c
a h b h c h S
h h h
1 1
3
a b c
a b c
h h h
Bất đẳng thức
1 1 1
3
3 a b c
a b c
a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
3
3
3
1 1
1 1
a b c abc
a b c
a b c
a b c abc
(điều phải chứng
minh)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, có AB = c, BC = a, AC = b.
a) Khi a,b,c nghiệm phương trình:
A.
3 2 2 4 4 0
t pt p r Rr t pRr
B.
3 2
2
t pt p r Rr t pRr
C.
3 2 2 4 2 0
t pt p r Rr t pRr
D.
3 2 2 4 3 0
t pt p r Rr t pRr
b) Khẳng định sau đúng?
A. p2 3r212 Rr B p2 3r212 Rr
C p2 3r213 Rr D p2 3r214 r Lời giải
Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có:
2 sin sin (1)
2
A A
a R A R cos
STUTY TIP
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB D, E, F
Khi
, AEAF p a
, BD BF p b
, CD CE p c
tan
(79)Theo cơng thức bán kính nội tiếp tam giác ta có:
2 cot (2)
2 sin A cos A
p a r r
A
Từ (1) (2) suy ra:
2
sin ,
2 4
a p a
A ar A
cos
R p a Rr
Từ đó:
3 2
1 4
4
a p a ar
a pa p r Rr a pRr Rr R p a
Vậy a nghiệm phương trình đáp án A Tương tự ta chứng minh b,c nghiệm phương trình đáp án A
Đáp án A.
b) Theo ý a, ta có: 2
4 a b c p
ab bc ca p r Rr
Mặt khác :
a b c 2 3ab bc ca 4p2 3p2r24Rr p23r212 Rr
Đáp án A.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a2 ab b b2 bc c a2ac c với a,b,c >
Lời giải
STUDY TIP
Định lý Viet: Cho a,b,c nghiệm
3 0
x Px Qx R
Khi đó:
a b c P
ab bc ca Q
abc R
(80)Từ điểm O lấy OA = a, OB = b, OC = c cho: AOB BOC 600
Áp dụng định lý côsin cho tam giác OAB, OBC, OCA ta có:
2 2 2 . . 2 .
AB OA OB OA OB cos AOB a b ab
2 2 2 . . 2 .
AC OA OC OA OC cos AOC a c ac
2 2 2 . . 2 .
BC OB OC OB OC cosBOC b c bc
Lại có:
2 2 2 2.
AB BC AC a ab b b bc c a ac c Dấu “=” xảy A,B,C thẳng hàng a c 2 b
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
1 Cho ABC có độ dài cạnh a,b,c S diện tích Các trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh A,B,C m m m , , a, b, c h h h Chứng minh rằng:a b c
2 2 3 3
a b c
m m m S và
2 2 2 2 27
a b c a b c
m m m h h h S
2 Cho ABC . Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1
r p a p b p c
Trong đó: a,b,c độ dài cạnh BC, CA, AB; p nửa chu vi r bán kính đường tròn nội tiếp ABC .
3 Trong ABC cho bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp R, r Chứng minh: R2 r
4 Cho ABC có độ dài cạnh BC, CA, AB a,b,c S diện tích Chứng minh rằng: a2b2c2 4 S
5 Cho ABC có độ dài cạnh BC, CA, AB a,b,c và S diện tích Chứng minh rằng:
4
1 1 3
(81)Giaovienvietnam.com
Câu 1: Cho ABC có
6, 8, 60
b c A
a) Độ dài cạnh a là:
A 13 B 3 12. C 37 D. 20
b) Diện tích tam giác ABC là:
A 12 B C 12. D 6.
c) Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC:
A.
7 39
r
B. 14 39
r
C.
7 39 r
D.
14 39
r
d) Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC:
A
39 R
B R 2 13 C
2 39 R
D
39 R
Câu 2: Một tam giác có ba cạnh 52, 56, 60 Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Khi R.r bằng:
A 260 B 520 C 1040 D 130
Câu 3: Cho tam giác ABC có
3 7, 5,cos
5 b c A
Đường cao a
h tam giác ABC là:
A
7
2 B C D. 80
Câu 5: Cho tam giác ABC Khẳng
định sau đúng?
A.
1 ABC
S a b c
C.
2 2
cos
2 b c a B
bc
B sin
a R
A D.
2 2
2 2 .
4 c
b a c
m
Câu 6: Tam giác ABC có cosB bằng
biểu thức sau đây?
A
2 2
b c a bc
B.
2
1 sin B
C cos A C D.
2 2
a c b ac
Câu 7: Cho ABC có
2 2 0.
a b c Khi đó:
A Góc C 90 B Góc C 90 C Góc C 90
D Khơng thể kết luận về
góc C
Câu 8: Cho ABC , biết
1, 2
a AB a a
và
(82) 1, 2
b AC b b
Để tính diện tích S ABC , học sinh làm như sau:
(I) Tính
cos
a b A
a b
(II) Tính
2
2
sinA cos A a b
a b
(III) Tính
2
2
1
.sin
2
S AB AC A a b a b
(IV) Tính
12 22 12 22 1 22
1
S a a b b a b a b
2 12
1
S a b a b
2 1
1
S a b a b
Học sinh bắt đầu làm sai từ bước nào?
A (I) B (II) C (III) D.
(IV)
Câu 9: Khoảng cách từ A đến B
khơng thể đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc
0
78 24 Biết CA = 250m, CB = 120m Khoảng cách AB bao nhiêu?
A 266m B 255m C 166m D.
298m
Câu 10: Hai tàu thủy cùng
xuất phát từ vị trí A, thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu thứ chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h Hỏi sau hai tàu cách km?
A 13 B 15 13 C 20 13. D 15.
Câu 11: Từ đỉnh tháp chiều cao
80 ,
CD m người ta nhìn hai điểm A B mặt đất góc nhìn 72 12 34 26 Ba điểm0 A,B,D thẳng hàng Khoảng cách AB gần giá trị nhất?
A 71m B 13m C 79m. D 40m.
Câu 12: Cho điểm A1; ,
2;3
B
, C0; 4 Diện tích ABC bao nhiêu?
A
13
2 B 13. C 26
D
13
Câu 13: Cho tam giác ABC thỏa
mãn: b2c2 a2 bc Khi đó:
A A 30 B A 45
C A 60 D A 75
Câu 14: Cho tam giác ABC, biết
24,
a b13,c15. Tính góc A?
(83)Câu 15: Tam giác ABC có
68 12 ,0
A B 34 44 ,0 AB117 Tính AC?
A 68 B.168 C 118 D.
200
Câu 16: Cho ABC Gọi
, , a b c
m m m độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh
, ,
BC a CA b AB c Giá trị nhỏ
nhất
2 2
a b c
a b c ab bc ca abc m m m
A B C 3. D
Câu 17: Cho tam giác ABC vuông
tại A, có AB a AC b , Hai phân giác BB 1, CC cắt R, AR1
cắt B C M Khoảng cách từ M1
tới BC theo a b
A 2
ab
a b a b B.
2
2ab a b a b
C 2
2
ab
a b a b D.
2
2
ab a b a b
Câu 18: Cho tam giác ABC vng
tại A có đường trịn nội tiếp tiếp xúc với cạnh huyền BC M
,
BM m CM (m,n cho trước).n Diện tích tam giác ABC theo m,n là:
A mn B 2mn C m + n. D 4mn.
Câu 19: Đường tròn tâm O nội tiếp
xúc với cạnh AB D Biết AC.BC = 2AD.BD Tam giác ABC là:
A Tam giác đều.
B Tam giác vuông A. C Tam giác vuông B. D Tam giác vuông C.
Câu 20: Cho tam giác ABC vuông
tạo A ACAB.Gọi O trung điểm BC, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, BIO 900 Tỉ số
AB AC bằng
A
1
3 B
4 C
D
1
Câu 21: Xét tam giác ABC thay đổi,
cân A, nội tiếp đường tròn
O R;
cho trước Kẻ BH vng góc với AC H BH đạt giá trị lớn
khi tan A
A B C
1
D
1
Câu 22: Cho tam giác nhọn ABC,
(84)tiếp tam giác BDE tâm J có bán kính r I trung điểm đoạn AC Độ dài đoạn IJ bằng:
A 10 B C 5. D 15
Câu 23: Cho hình thang vng
ABCD (vuông A B),
ACBD Khi AC2BD2 bằng
A 3AB2CD2 B.
2
3AD CB
C AB23CD2 D.
2 3
AD CB
Câu 24: Cho tam giác ABC vng
tại A AB AC có BC 2 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC
có bán kính Khi sin sin
B C
A B
1
3 C 1.
D
2
Câu 25: Chọn mảnh giấy hình
chữ nhật kích thước 15cm x 20cm, ta gấp dọc theo đường chéo Diện phần chung hai nửa mảnh giấy
A
2
1875
16 cm B
2
1875 18 cm
C
2
625
4 cm D
2
625 cm
Câu 26: Cho tam giác ABC có tâm
đường tròn nội tiếp I Gọi
1
, , ,
R R R R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, IBC, ICA, IAB Biết R1 + R2 + R3 =
3R Khi tam giác ABC là:
A Tam giác đều. B Tam giác vng.
C Tam giác cân có BAC tù. D Tam giác bất kỳ.
Câu 27: Cho tam giác ABC, có độ
dài đường cao
6 ,
AH cm BH cm số đo góc CAH ba lần số đo góc BAH Diện tích tam giác ABC
A 108cm2 B 90cm 2
C 108cm 2 90cm D.2
2
216cm
Câu 28: Cho tam giác ABC có
2 ,
AB cm AC4cm AM, 3cm
(M trung điểm BC)
a) Khi BAC bằng
A 120 B 0 135 C 0 150 D 90
b) Diện tích tam giác ABC
A B C 3. D 3
Câu 29: Cho tam giác ABC nhọn.
Giá trị biểu thức sau
sin sin sin
sin sin sin sin sin sin
A B C
M
B C A C B A
(85)A
3 0;
2
B.
3 1;
2
C
3 ;2
D.
1;
Câu 30: Xét ABC nội tiếp đường
tròn (O) cho trước Các trung tuyến xuất phát từ A, B, C cắt đường tròn (O) tương ứng M, N, P Biểu thức
2 2
2 2
AM BN CP P
AB BC CA
đạt giá trị nhỏ tam giác ABC
A Tam giác đều. B Tam giác vuông.
C Tam giác cân có BAC tù. D Tam giác vng cân.
Câu 31: Cho tam giác ABC AM,
BN, CP đường phân giác (M BC , N CA , P AB )
của tam giác Để PM vng góc với NM số đo BAC bằng
A 120 B 0 135 C 0 150 D 90
Câu 32: Xét hình chữ nhật ABCD
và điểm M di động BC Phân
giác góc DAM cắt BC N AN MN đạt giá trị nhỏ điểm M:
A Trùng điểm B. B Trùng điểm C.
C Trùng với trung điểm BC. D Trùng với giao điểm phân
giác góc BAC với BC.
Câu 33: Để đo chiều cao từ mặt đất
đến đỉnh cột cờ kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế), người ta cắm hai cọc AM BN cao 1,5 mét so với mặt đất Hai cọc song song cách 10 mét thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa) Đặt giác kế đỉnh A B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta góc 51 40 và0
0
45 39 so với đường song song với mặt đất Chiều cao cột cờ (làm tròn 0,01 mét) là:
A 54,33 m. B 56,88 m.
C 55,01 m. D 54,63 m.
Câu 34: Cho tam giác ABC thỏa
mãn:
2cosA sinB sinC sin 2C sin B Khi ABC tam giác
A Tam giác vuông. B Tam giác cân.
(86)Câu 35: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O
, ,
BC a CA b AB c Khi đó
2 2
a OA b OB c OC bằng
A abc B.
3 3
a b c
C
2 2
a b b c c a D. 2
a b c
Câu 36: Cho tam giác ABC số
thực m Trên cạnh BC, CA AB tam giác, lấy điểm , ,A B C Gọi , ,S S S Sa b c tương ứng diện tích
, ,
AB C BC A CA B ABC Biết.
a b c
S S S
S
đạt giá trị lớn nhất,
2019
a b c
S S S
max m
S
Khi m
A
4035 m
B m 1345 C
4035 m
D m 807 Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, cho đường trịn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi) Gọi A B điểm di động tia Ox, Oy cho đường thẳng AB tiếp xúc với đường trịn diện tích tam giác OAB nhỏ Tọa độ điểm A, B
A R 2;0 , 0; R
B
6 3;0 , 0;
2 R R
C
2 ;0 , 0;
3 R R
D
2
;0 , 0;
R
R
Câu 38: Cho ABC có
, ,
BC a CA b AB c b c và diện tích S Kí hiệu m m m lầna, b, c lượt độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết
2 2
2ma mb mc(*) Gọi O G lần
lượt tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm BC Xét khẳng định sau:
1 a24 cot S A MOG không nhọn.
2 2 2 .
4
a b c
m m m a b c
Số khẳng định là:
A B C 2. D 3.
Câu 39: Muốn đo chiều cao của
(87)cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều
cao CD tháp Người ta đo góc DA C 1 490
0
1 35
DB C . Chiều cao CD tháp
A 22,77 m. B 21,47 m.
C 21,77 m. D 20,47 m.
Câu 40: Tam giác ABC có đặc điểm
gì
sin 2sin sin
2 cos cos
B C
A
B C
A Tam giác đều.
B Tam giác có A 120 C Tam giác có A 150 D Tam giác có A 90
Câu 41: Cho tam giác ABC Xét các
khẳng định sau:
a)
2 .cos .cos .
b c a b C c B b)
b2 c2cosA a c .cosC b.cosB.
c) sinAsin B cosCsin cosC B
sin B C
d) a b cosC c cos B e) ha 2 sin sin R B C
f)
2
2
1
2
ABC
S AB AC AB AC
Số khẳng định sai là:
A B C D.
4
Câu 42: Một thợ lặn có vị trí cách
mặt nước 8m, tàu đắm góc 70 Sau xuống tới một0 điểm cao 14m so với đáy đại dương, thợ lặn nhìn thấy tàu đắm góc 57 Chiều sau con0 tàu đắm gần giá trị nhất?
A 24,979 m. B 32,964 m.
C 32,979 m. D 33,25 m.
Câu 43: Đầu tổng thống ở
(88)A 182,753 m. B 99,649 m.
C 99,9 m. D 168,055 m.
Câu 44: Nhìn vào thiết kế dưới,
góc ACD gần giá trị nhất?
A 126 23,08 B.
0
126 22,08
C 126 24, 08 D.
0
126 21,08
Câu 45: Cho tam giác ABC vuông
tại A Chia cạnh huyền BC có độ dài a thành n đoạn (n lẻ) MN n đoạn thẳng biết MAN trung điểm thuộc đoạn thẳng MN Khi độ dài đường cao AH tam giác ABC
A
1 tan
n a
AH
n
B
1 tan
n a
AH
n
C
1 tan
n a
AH
n
D
1 tan
n a
AH
n
Câu 46: Dựa vào thiết kế bên dưới,
góc EF với AE gần giá trị nhất?
A 33 41 24, 24 B.
0
33 40 24, 24
C 32 41 24, 24 D.
0
31 41 24, 24
Câu 47: Trong sơ đồ, chùm sáng
hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ sau phản xạ vào gương màu xanh hình vẽ Biết OP2 ,m
2
(89)A
2
3 m B
2
3 m
C
2
3 m D
6 m
Câu 48: Cho số thực dương x, y,
z thỏa mãn hệ phương trình
2
2
2
50 169
144 y z
y x xy
z x xz
Giá trị biểu thức K xy yz xz
A 120 B 121 C 122 D.
123
Câu 49: Số giá trị tham số
m (m> 0) để hệ 16
25 36 x y xy xy z y zy zy x z xz xz
xy yz xz m xyz
có
nghiệm , ,x y z là0
A B C D.
Vô số
Câu 50: Cho số thực x,y,z với y
> thỏa mãn
2 2
29
2
1 x y
y z
y x z
Giá trị biểu thức
1
A y x z bằng
A B C D.
5
Câu 51: Cho số thưc dương
x,y,z thỏa mãn
2
2
2
9 16 x y y z y xz
Giá trị của biểu thức B xy yz
A 10 B 11 C 12 D.
13
Câu 52: Số nghiệm phương
trình
2 3 2 9 4 2 16 5
x x x x
A B C D.
(90)Câu 1: Cho tam giác ABC có hai
trung tuyến AA BB vng góc với Giá trị cotAcotB
A.
cot
C
B.
cot
C
C
cot
C
D.
cot C
Câu 2: Cho tam giác ABC có G là
trọng tâm, I tâm nội tiếp tam giác ABC Biết IGIC
, ,
a BC b AC c AB Giá trị của
a b c a b
A. abc B . ab C 6abc D ab
Câu 3: Trong tam giác ABC có
trung tuyến CM vng góc với phân
giác AL
3
5
CM
AL Khi góc BAC bằng
A. 60 B 0 36 C 0 72 D 90
Câu 4: Cho tam giác ABC Điểm M
thỏa mãn điều kiện
2 2
3MA 2MB MC Tập hợp các điểm M
A Đường thẳng qua tâm ngoại
tiếp tam giác ABC vuông góc với đường thẳng là
giá vectơ 2AB AC
B Đường thẳng qua tâm ngoại
tiếp tam giác ABC vng góc với đường thẳng là
giá vectơ AB AC
C Đường thẳng qua tâm ngoại
tiếp tam giác ABC vng góc với đường thẳng là
giá vectơ 2AB AC
D Đường thẳng qua tâm ngoại
tiếp tam giác ABC vng góc với đường thẳng BC
Câu 5: Cho ABC thỏa mãn
4 4
a b c trong đó
, ,
a BC b AC c AB ABC tam giác
A Vng. B có góc
ABC tù.
C có ba góc nhọn D có góc
ACB tù.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại
A Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Xét mệnh đề
a
sin sin
2 b c l l
B C
a
b
2 b c l l IB IC
c
2
a bc l
b c
Số mệnh đề
A B C 2. D 3.
Câu 7: Cho tam giác ABC có
45 0
ABC Gọi D điểm đoạn
(91)BC cho CD2BD 15 0
DAB Góc ACB bằng
A. 60 B 0 72 C 0 75 D 80
Câu 8: Cho hình thang ABCD có
đáy lớn CD 10, đáy bé AB 4 Giả sử AC vng góc với BD BC cắt DA Q cho AQB 45 Diện tích hình thang ABCD
A.
560
3 B
140
C
280
3 D
245
Câu 9: Cho ABC , P điểm nằm
trong tam giác cho
.
PAB PBC PCA Biết 13, 14, 15
AB BC CA và
tanPAB m n
(m,n hai số tự nhiên, nguyên tố nhau) Tổng
m n bằng
A 463. B 631.
C 346. D 136.
Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ
trục tọa độ Oxy, cho hai điểm hình vẽ Biết tam giác OAB Khi đó ab bằng
A 1248. B 135.
C 315. D 513.
Câu 11: Cho tam giác ABC khơng
tù có ABAC B 45 Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Biết
2IOAB AC Khi sin A
bằng
A.
2 sin
2
A
hoặc 2
sin
2
A
B.
2 sin
2 A
hoặc
sin
2
A
C.
3 sin
2
A
hoặc 2
sin
2
A
D.
3 sin
2 A
hoặc
sin
2
A
(92)Câu 12: Cho ABC thỏa mãn tính chất: Có điểm P nằm tam giác
sao cho
10 ,0 20 ,0 30 ,0 400
PAB PBA PCA PAC Khi tam giác ABC:
A Cân C. B Vuông.
C Đều. D Cân B.
Câu 13: Cho tam giác ABC có
43,
AB AC 7 và
60 ,0 2.
BCA BC Khi BC
A B C D.
6
Câu 14: Cho tam giác ABC có
6; ,
A B3;5 , C6;
Tọa độ trực tâm H tam giác ABC
A. 6; B.
3;5
C
9 ; 2
D.
0;
Câu 15: Cho
;3, 3;2
a x b x
Gọi góc a b Giá trị nguyên lớn x cho góc tù
A. 2. B 1. C 0.
D 1.
Câu 16: Cho tam giác ABC vng cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Gọi r bán kính
đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Tính r R
A. 1. B.
2 1.
C 2 1. D.
2 1.
Câu 17: Cho tam giác ABC vuông
cân A có AB AC 30. Hai đường trung tuyến BN CM cắt G Diện tích tam giác GMN
A 25. B.
75
C 25 D.
15 105
Câu 18: Cho tam giác ABC có
,
BC a CA b AB c , Mệnh đề sau đúng?
A Nếu a2b2 c2 C0 vng
B Nếu a2b2 c2 C0 tù
C Nếu a2b2 c2 C0 nhọn
D Nếu a2b2 c2 C0 nhọn
Câu 19: Cho tam giác ABC có
7,
(93)A.
1
2 B
3 C
D
2
Câu 20: Cho tam giác ABC có
6,
AB AC 8,BAC 30 0
Tính diện tích tam giác ABC
A 24 B 48 C 12 D.
12
Câu 21: Cho tam giác ABC có
2,
AB BC 4,CA Độ dài3 đường phân giác góc A
A.
3 10
a l
B
6
a l
C
3
a l
D
54
a l
Câu 22: Cho hình thang cân ABCD,
đáy lớn CD10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Diện tích hình thang cân
A.
50 125
B.
2 2
C 25 D.
10
Câu 23: Cho tam giác ABC có
2,
AB BC4,CA G trọng3 tâm tam giác ABC Giá trị
GA GB GB GC GC GA
A.
29
B
29
C
29
6 D
29
Câu 24: Trong mặt phẳng với hệ
trục tọa độ Oxy, cho ABC với
2;1 , 2; ,
A B C3;
Diện tích tam giác ABC
A.
5
2 B
2 C
D
3
Câu 25: Cho tam giác ABC không
vuông ( đặt BC a AB c AC b , ,
) Giá trị
2 2
2 2
a c b b c a
bằng
A.
sin cos
A
B B
tan tan
A B
C
sin sin
A
B D
cos cos
A B
Câu 26: Cho ABC có
2 3, 2,
a b C 30 0
Độ dài chiều cao h bằnga
A B C D.
2
Câu 27: Trong tam giác ABC có
8,
a B 60 ,0 C 75 0
Diện tích đường trịn nội tiếp tam giác ABC
A.
2
12 3
(94)B.
2
12
C.
2
12 3
D.
2
12
Câu 28: Cho
0
0 ;180
Xác định mệnh đề đúng?
A.
2
3
sin
1 cot cot cot sin
cos
B.
2
3
sin
1 2cot cot cot sin
cos
C.
2
3
sin
1 cot 2cot cot sin
cos
D.
2
3
sin
1 cot 2cot cot sin
cos
Câu 29: Biểu thức
2
2
cot 2 sin cot cot
cos cos
A
(với
0 0
0 ;90 \ 45
) rút gọn thành
A 1. B.
2
1 sin 2 cos
C 2sin D.
2
1 2sin
Câu 30: Cho ABC có
1; , 2;0 ,
A B C 3;1
Tọa độ điểm M đường thẳng BC
cho
1
M ABC
S S
và
2 6 8 0
M M
x x là
A.
1 ; 3
B
11
;
3
C
11 ; 3
D Khơng có
M
Câu 31:
1 tan1 tan tan 450 0 0 2 n
Khi giá trị n
A 20 B 21 C 23. D 22.
Câu 32: Trong tam giác ABC, các
đường trung tuyến AD CE có độ dài 18, 27 Biết AB 24 Đường thẳng CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai F Diện tích tam giác AFB bằng m n (trong m,n số ngun dương n khơng chia hết cho bình phương số nguyên tố nào) Tính m n ?
A 60 B 61 C 62. D 63
Câu 33: Cho tam giác ABC vuông
tại B AD phân giác góc CAB Trên AB, AC lấy các điểm E F, biết
(95)tích tứ giác DCFG gần giá trị nguyên nhất?
A 146 B 147 C 148. D 149.
Câu 34: Cho tam giác ABC đều,
ABC có độ dài cạnh Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE, BCHI, CAFG Diện tích lục giác DEFGHI
A.
12 3
B
9
C 3 D
6 3
Câu 35: Sáu hình lục giác được
đặt xung quanh lục giác cạnh Diện tích tam giác ABC bao nhiêu?
A B 3
C 2 3. D 1 2.
Câu 36: Trong hình chữ nhật ABCD
có DC2CB. Các điểm E,F nằm
trên đoạn AB cho DE,DF chia ADC thành ba góc như hình vẽ Tỉ số diện tích tam giác DEF so với diện tích hình chữ nhật ABCD bao nhiêu?
A.
1
6 B
1
C 2 D
3
Câu 38: Trên đoạn thẳng AC lấy
điểm B cho AB16,BC 4 Lấy hai điểm D,E nằm phía đường thẳng AC cho tam giác ABD, BCE hai tam giác Gọi M trung điểm đoạn AE, N trung điểm đoạn CD Diện tích tam giác BMN x Khi x bằng2
A 508 B 507 C 506. D 505.
Câu 39: Biết
45
0
1
1
, sin
n
k
m k
m n số nguyên lớn sin 2x2sin cosx x và
sin 90 x cosx
(96)A 90 B 91 C 92. D 93
Câu 40: Tam giác ABC có độ dài
các cạnh AB12,BC 25,CA17 Hình chữ nhật PQRS có đỉnh P nằm cạnh AB, đỉnh Q nằm cạnh AC hai đỉnh R,S nằm cạnh BC Với điều kiện PQ diện tích PQRS biểu diễn dạng đa thức bậc hai
2
PQRS
S
với hệ số ,
m n
m n hai số nguyên dương nguyên tố Tính m n ?
A 161 B 160 C 162. D 163
Câu 41: Trong tam giác ABC có
13,
AB BC15,CA17. Trên đoạn AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho
, ,
ADpAB BEqBC CF rCA ( p q r, , số dương thỏa
mãn
2 2
2
,
3
p q r p q r
DEF
ABC
S m
S n m n, số
nguyên dương nguyên tố Tính m n ?
A 60 B 61 C 62. D 63
Câu 42: Cho ABC có
21, 22,
AB AC BC 20. D E nằm AB AC cho DE song song với BC qua tâm
nội tiếp ABC Giả sử
m DE
n m, n số nguyên dương, nguyên tố Tính
? m n
A 923 B 924 C 925. D 926.
Câu 43: Cho tam giác ABC vng
tại C, có AC 7,BC24 M trung điểm AB dựng D phía với C so với AB cho
15
AD BD Diện tích tam giác
CDM m n
p m n p, ,
là số nguyên dương, m p, nguyên tố nhau, n khơng chia hết cho bình phương số ngun tố Tính m n p
A 581 B 580 C 579. D 578.
Câu 44: Cho ngũ giác lồi ABCDE
với
/ / , / / , / / , 120 , AB CE BC AD AC DE BAC
3, 5, 15
AB BC DE Biết ABC
EBD
S m
S n m n, hai số
nguyên dương nguyên tố Tính m n ?
A 485 B 484 C 483. D 482.
Câu 45: Trong tứ giác ABCD lồi có
8, 12, 10
BC CD AD và
60 0
(97)A 148 B 149 C 150. D 151
Câu 46: Cho tam giác ABC khơng
cân có BC 20 Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC chia trung tuyến AD thành ba phần Giả sử diện tích tam giác ABC có dạng m n m n, số tự nhiên n khơng chia hết cho bình phương số nguyên tố Tính m n ?
A 38 B 39 C 40. D 41.
Câu 47: Cho tam giác ABC có
1; ,
A B3;5 , C1;4 Gọi AH chiều cao tam giác ABC Tọa độ điểm H
A. 4; B 5;6 C 6;8 D 3; Câu 48: Bắt đầu từ gốc tọa độ, một
nguồn sáng chiếu vào điểm A4;8 nằm gương phẳng (biểu diễn đường thẳng d ) có tia phản xạ đi qua điểm B8;12 Hệ số góc đường thẳng d bằng
A.
10
B
2 10
C
3
10 1 D
10 1
Câu 49: Đơn giản biểu thức sau ta
được
4
sin x4cos x cos x4sin x
A cos x B cos x 2 C cos x 3 D cos x 4
Câu 50: Cho
0
0 ,90
x
số thực
y thỏa mãn
2
2
2
sin cos
2sin cos cos sin
y y
y y
x x
x x
x x
Số cặp x y; thỏa mãn:
(98)Câu 1: Đáp án A. Câu 2: Đáp án B Câu 3: Đáp án A. Câu 4: Đáp án A. Câu 5: Đáp án A.
Ta có:
,
61 cos AOM
sin
61 AOM
Do tọa độ N
5
;
61 61
Câu 6: Đáp án C.
Do M thuộc góc phần tư thứ III nên giao điểm N OM với nửa đường trịn có hồnh độ, tung độ dương
Ta có:
3, cosNOA
sin
5 NOA
Do
tọa độ điểm N
, 5
Câu 7: Đáp án D
2
2 sin
m cos 1 2sin cos
2 1
sin
2 m cos
Câu 8: Đáp án D
Mối liên hệ hai cung bù
Câu 9: Đáp án D. Câu 10: Đáp án B. Câu 11: Đáp án A.
0
sin 36 cos 6
0 0
sin 90 36 cos 90
0 0
sin 36 cos6 cos36 sin
0
sin 30
sin 512 sin 392 0
sin 552 sin 352 0
2 0
sin 51 cos 51
sin 552 cos2550
=
tan1 tan 89 tan tan 880 0 0
0
tan 44 tan 46
0
.tan 45 =1
2
sin sin
2
sin 86 sin 88 sin 22 sin 882 0
2 0
sin 44 sin 46
sin 22 cos220
2 0
sin 44 cos 44
22
2 0
73 17
cos cos
cos2870 cos2 03
cos2730 sin 732 0
cos2870 sin 872 0
2
tan2x 2 tan cotx x cot2x
tan2x 2 tan cotx x cot2x 4
Câu 12: Đáp án A.
Do
0
0 , 45
nên cot 1 tan 0 Do
3 4,1 3,
t t t t t t
Câu 13: Đáp án D.
2
2
1 sin 2cot 5cot
sin
E
2
1
3cot 5cot
1 cot
GIÁ TRỊ LƯỢNG
GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00
ĐẾN 1800
(99)69 17
Câu 14: Đáp án B.
6
sin x cos x
sin2 x cos2x 1 sin2xcos2 x
2
sin 2x cos 2x
Câu 15: Đáp án D.
Từ giả thiết ta có:
sin 8sin 4sin 7sin cos 8cos 4cos cos
a d c b
a d c b
sina 8sind2 cosa 8cosd2
4sinc sinb2 4cosc cosb2
2cos a d 7cos b c
Câu 16: Đáp án B.
Ta có
sinacosa
2
2 sina cosa
1 sin cos
2 a a
4 2
sin acos asin acos a
2
2sin acos a
2
1
1
2
Câu 17: Đáp án A
Ta có
4 2
sin xcos x 1 2sin cos x x
6 2
sin xcos x 1 3sin cos x x
2
3 2sin xcos x
2
2 3sin xcos x
12 f x f x
Câu 18: Đáp án B.
2 2
tan xsin x tan xsin x
2 2
tan x sin x sin x
2 2 sin
cos sin cos
x
x x
x
Câu 19: Đáp án D.
3sin 4sin cot 2sin 5sin cot
A
4cot 13 5cot
Câu 20: Đáp án C.
2
cot 3tan 3tan 2cot tan tan
E
2
4 tan tan
2 2
4 4 3
1 3 1
3 cos cos cos cos 11
Câu 21: Đáp án C.
2
7 tan cot
tan cot2
2 9 3.
m m
Câu 22: Đáp án C
cotatana2
2
cot a cot tana a tan a
cot2a 1 tan2a 1
2
1
sin a cos a
Câu 23: Đáp án A.
1 sin2 1 cot2 1
G x x
2
sin cotx x
2
1 cos x sin x
Câu 24: Đáp án C.
sin cot cos x E x x cos sin sin cos
x x x x
cos cos sin sin sin cos
x x x x
x x
cos cos cos sin cos
x x x
x x
cos cos cos cos sin cos
x x x x
x x sin x
Câu 25: Đáp án A.
2
2
cot cos sin cos
cot cot
x x x x
A x x 2
cos sin cos
cot cot
x x x
x x
2
1 sin x sin x
(100)2
1 sin cos 2sin cos 2sin cos
x x
P
x x x x
cos cot 2sin
x
x x
Câu 27: Đáp án B.
Điều kiện
1 (*) x x
Phương trình cho tương đương với
2
2
2
1 1
x x
a
x x
2
1 1 x x
a x
2 (1)
1
x
x a
x
Từ (1) suy x 0, với điều kiện (*) ta phương trình cho với
1,
x x
Phương trình (1) tương đương với
2
1
1 1
1
a
x x
Vì x1;x nên
0 1, x
2 x Đặt
0 0
1
cos 90 , 45
x
Ta phương trình
1
cos sin a
sin cos a.sin cos Đặt
sin 2 t 0 t Phương trình trở thành
2
( ) 4 0, 0;1 f t a t t t Do 0a2 nên8
( ) ; f t Max f f
4;
Max a
Do đó, phương trình ( )
f t vô nghiệm
khi a0; 2
Câu 28: Đáp án C.
Cách 1: Gọi D trung điểm BC, từ giả thiết ta có:
2CD2 4CD AC. 4AC2
2 .
CD CD AC AC
(1)
AC CD
CD CD AC
Kẻ đường phân giác AE tam giác ACD Theo tính chất đường phân giác ta có:
EC AC AC EDAD DC
(2)
EC AC
CD AC CD
Từ (1) (2) suy
EC AC AC CD
Suy ACE đồng dạng với DCA, nên
ACE
cân A Lại có
1 1
2
EAC CAD ACB
Do đó:
1
180 2ACB ACB ACB
720 180
ACB ABC
sin
4
ABC
Cách 2: Lấy điểm K đối xứng với C qua A Giả thiết suy
2
CB CA BC CK
KCB CBK Lấy điểm D đoạn BK
sao cho
.
CDK CKD Suy ra BCK
(101)với CKD Khi BC CK
CK KD
2 .
CK BC KD
hay
2
4AC BC BC BD Kết hợp với giả thiết ta có:
BC BD BC AC , BD CK CD
nên tam giác CDB cân D
Vậy
2 4 BKC KDC CBK ABC Từ suy ra:
4 900 180
ABC ABC ABC
sin
4
ABC
Câu 29: Đáp án C.
Qua B vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt đường thẳng qua C song song với BE K Khi ta có BK//CE, KC//BE, suy
BKC CEB
(g.c.g) nên , BK CE AD mà BD AC (gt) suy ra
BKD ADC
(c.g.c) Từ suy ra,
(1),
DK DC KDB ACD MàADC ACD 900
900
KDB ADC
90 (2)0
KDC
Từ (1) (2) suy tam giác DKC vng cân,
450
DCK
Lại có: CFB DCK (đồng vị)
Vậy
450 tan 1. CFB CFB
Câu 30: Đáp án A.
Từ điều kiện ta có:
2 0 a c b
a bc c
c a
đồng thời có c b Trên cạnh AB lấy điểm D cho
AD b BD c b
Ta có: ABC CBD (c.g.c) ACB CDB (1) Mặt khác
(2) CDB A ACD ,
1800 (3)
A
ACD
Từ (1), (2) (3) suy
1800 1800
2
A A
ACB A
2C A 180
2 180 A B A 180
3A 2B 180
2 600
3
A B
2 sin
3
A B
Câu 31: Đáp án D.
Bạn Anh Vũ không ý tới điều kiện sinx 0 Với điều kiện
1
0
4 P
2
5 P
Như giá trị P = -2 bị loại Vậy bạn Anh Vũ sai bước 4, chưa thử lại kết luận vội vàng
Câu 1: Đáp án D. Câu 2: Đáp án B.
3a5b2 9a230ab25b2 90 25 124
3a 5b 124
(102)Câu 3: Đáp án A.
Ta có:
2 a b
a 2b2 28
2
4 28
a b ab
2
4 , 28
a b a b cos a b
, , 1200
2
cos a b a b
Câu 5: Đáp án A.
Ta có:
, ab
cos a b
a b 4 16
Câu 6: Đáp án D.
Ta có:
0
0 a b , 180 sin , a b 1 Suy
2
sin ,a b cos a b ,
2
1 2
2 2
1 2
1
a b a b a a b b
2 2
1 2 1 2
2
2 2
1 2
a a b b a b a b a a b b
1 2
2 2
1 2
a b a b a a b b
Cách nhớ: Với 2
2 2
1 2
b sin , a a b a b
a a b b
Trong
1
1 2
1
a a
a b a b b b
Câu 7: Đáp án C.
Ta có u v
2
3x 9x 3x 2 7x Đặt t 3x2 2x2 Điều kiện t Khi0
2
3x 2x9 t 7, phương trình trở thành t2 t
2 7 7
t t
2
2 7 7 7
t t t
2 7 14 49
t t t
t
Với t ta có:3
2
3x 2x2 3
2
3x 2x
2
3x 2x
22 22 x x Vậy
1 22 22 ,
3
S
Câu 8: Đáp án C. Câu 9: a) Đáp án A.
Ta có:
2 11 ab k k k
4
11
11 k k
b) Đáp án C.
Ta có: a b
2 2
26 k 2k
2
5k 2k 24
12 k k
c) Đáp án C.
, a b
cos a b
a b 11
26 2
k k k
11
2 26 2
k k k
13 5k 2k 11k
2
65k 26k 26 121k 88 16k
2
56k 62k 10
(103)31 39 56 31 39
56 k k
Câu 10: Đáp án B.
Ta có:
9; ,
v c ma nb
5n m m n,
Ta có: v c
9 5n m 2m n
49n m
Câu 11: Đáp án A.
Với cách trắc nghiệm này, ta thử phương án tìm kết A
Giả sử cm n;
Theo yêu cầu tốn ta có:
2
7;
5 39
m n m
c
m n n
Câu 12: Đáp án A.
AB AC BC. a a cos . 600BC 2 a BC
. . 600
AB AC BC AB a a cos 2 a AB
Do AB BC,
không hướng nên hai
vectơ AB AC BC
AB AC BC không Mệnh đề A1 sai
Theo công thức hình chiếu ta có:
BA BC BA BH BA BI
Mệnh đề A2
Ta có:
AB AC BC. 2AH BC. 0 a2
Mệnh đề A3 sai
0
150
AH CA AH AC cos
3 3
2
a
a a
Mệnh đề A4
CB CI CB CB BI
2 . 600
CB CB BI cos
2 . . 2600
CB CB BH cos
2
2 .1
2
a a a a a CB CI Lại có:
7 60 a CB CA a a cos
Như mệnh đề A5
đúng
0
60
CB CK CB CK cos
2
2
a a a
a
Mệnh đề A6 sai
Câu 13: a) Đáp án B. Ta có:
4;0 , 3;3
AB AC
Suy ra:
cosA cos AB AC ,
12
4.3 2 AB AC
AB AC
b) Đáp án D.
Gọi H x y ; trực tâm tam giác ABC
CH AB BH AC
2; , 4;0
CH x y AB
3; , 3;3
BH x y AC
Suy CH AB BH AC
4 0
3 3
x x y
2
2;2
4
x x
H
x y y
c) Đáp án B.
Gọi I x y ; tâm đường tròn ngoại tiếp
(104)2
2
AI BI AI BI AI CI AI CI
2 2
2 2
1
1
x y x y
x y x y
8
6 18
x x
x y y
1;2
I
d) Đáp án C.
Gọi K điểm thỏa mãn
3 2;1
KA KB K Ta có:
2 3
NA NB
NK KA2 3NK KB2
2
4NK 2NK KA 3KB
2 3
KA KB
2 2
4NK KA 3KB
2 3
NA NB đạt giá trị nhỏ NK đạt giá trị nhỏ Điều suy N hình chiếu K lên Ox, hay N(2;0)
f) Đáp án D.
Gọi T x y ; hình chiếu A lên BC
Khi
3
3 x y AT BC x k
BT k BC y k
13 13 11 ,
11 5
5 x T y
Do T trung điểm
AA’
31 17 ; 5
A
g) Đáp án A.
Gọi x y; tọa độ điểm D Suy
3; 1
BD x y
Ta có:
2 2
3
3
x BD BA
BD BA x y
2
3 3, 5
3, 16
x x y
x y y
3;5
D
Câu 14: Đáp án D.
Do ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường
kính AD2a nên
, 120 AB BC CA a ABC Khi
3
2
a a a
AH HD HK
Ta có:
IC ID IB BC IA AD
IB IA IB AD BC IA BC AD
2 . . 600
IA IB AD cos
0
120 BC IA cos
BC AD 2a a AD BK AD HK
2
2
BK BK BA AK
2 2 .
AB AK BA AK
2 2 . . 1200
AB AK AB AK cos
2
2 25 2 .5 21.
16 16
a a a
a a 21 a BK
Vậy số khẳng định
Câu 15: Đáp án C.
Gọi M x ;0 , với
x Khi đó:
2; , 5;2
AM x BM x
(105)x 2 x 4 x2 0x 1;0 6;0 x M x M
nên chọn C
Câu 16: Đáp án A.
Lời giải bạn Tùng Chi sai từ bước 1, bước vẽ hình Ta có:
2 2
MA MB k MA MB
Xét hai tam giác AOM BOM có OM chung, OA OB MA MB , suy
AOM BOM Lại có:
1800 900
AOM BOM AOM Vì vậy, điểm H trùng với O nằm khác phía với A O
Câu 17: Đáp án B.
Ta có:
3; , 4; 3
GK GF
GK GF
và
5 GK GF
Suy tam giác KGF vuông cân G Do G tiếp điểm
C
cạnh BC Do DG vng góc với CE CK nên C, K, E thẳng hàng Ta có: EG ED EB và
90 ,0
EFC EAC
do F trung điểm
của BG FB FG
Câu 18: Đáp án B.
Gọi a độ dài cạnh hình vng Khi đó:
,
AM AB BM AN AD DN 2
AM AB BM
2 a a a 2
AN AD DN
2 10 a a a Ta có:
AM AN AB BM AD DN
2 5
3
a a a
AB DN BM AD
AM AN cosMAN AM AN 45
5 10 a MAN a a
Câu 19: Đáp án B.
Ta có:
, ,
EA EH HA EB EB HB
CD CH HD
Do EH vng góc với CD nên EH CD
EH CH HD
EH HB EH HD
Ta có:
EA EB EH HA EH HB .
EH EH HA HB
2 2
EH EH HD HD
2 .
EH EH HD
2 . .
EH EH HD cosEHD
2 . .HE 0
EH EH HD HD
EA EB
Câu 20: Đáp án C.
Gọi T giao điểm DN AC Do tam giác DCN vuông nên DC2 DT DN
Ta có:
2
DF DC DN AE AD AC
4DF AE
(106)DC DN AD AC
DN AD DC AC
DN AD cos ADN
DC AC cos ACN
.DT DC
DN AD DC AC
DA AC
2 . 0
DC DN DT
Câu 21: Đáp án B.
Điều kiện:
1
(*) 2 x Xét hai vectơ:
3 ;1 ,
u x
1; v x x
Ta có:
2 u v x x x
2
10 17 10
u v x x x Suy bất đẳng thức cho có dạng
, u v u v u v hướng
3
0
x
x x
3 2x 2 4x 2x
1 x
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy x 1 nghiệm bất phương trình cho
Câu 22: Đáp án C.
Bạn A sai bước Vì theo định nghĩa hai vectơ có
,
a b a b có phương vng góc với
Để kết bạn A khắc phục sau:
AD BC AB DC 0
AB BD BD DC AB DC
AB DC2 AB DC Hay tứ giác ABCD hình bình hành
Câu 23: Đáp án C Ta có:
2
3
xa b xa b
2
2 2 3
x a xab b
2 2 600 1 3
x xcos
2 2 0
2 x x x x Vậy số số x thỏa mãn
Câu 24: Đáp án C.
Đặt
1 , ,
a b c
e e e
a b c
Chia hai vế (1)
cho a b c
ta
1
cos e cos e cos e Nếu
giá trị
, , cos cos cos hai giá trị cịn lại Thật giả sử
0
0 90
cos
2
2
e e
cos e cos e 0 90
cos cos
Giả sử
cos cos cos Nhân vô hướng vế trái (1) với e e e1, ,2
ta được: 2
cos cos cos cos cos cos cos cos cos
2 2 1.
4
cos cos cos
0 0 0 0
120 , 60 120 , 60 120 , 60
120 60
Như có thỏa mãn điều kiện (1)
Câu 25: Đáp án A.
(107)2
AB BC AC
2 3 a a a
AB AC BC
AB AC CB BC
2
AB AB BC
2 . . , AB AB BC cos AB BC
2 . ,
AB AB BC cos BA BC
2 3
a a a
cos ABC
2 2
3 3
a a a AB BC
2 2 1 2
3 3
a a a a
Câu 26: Đáp án B.
Ta có:
1
AM AB BM AB BC
AM AB AC AB
3AB 3AC
Ta có:
PN AN AP
3 x AC AB a
Để AM PN
AM PN
3AB 3AC
3 x AC AB a 2
2
9 9
x
AB AC AB AC
a x AB AC a
2 2
0
2
60 3
9 9
x
AB AC cos a a
a
0
60
x
AB AC cos a
2 2
2
.9 9
9 9
x
a a a
a
2
.9
9 x a a
2
2
2
a
a ax x
Vậy a x
AM PN
Câu 27: Đáp án A.
Gọi I trung điểm CD Ta có:
2 CD IC ID AB nên tứ giác ABCD hình bình hành Khi AI = BC, mà AD = BC (do ABCD hình thang cân) nên AD = AI
Vậy tam giác ADI tam giác
1800 1200 600
ADI
và AD = AI
AD AI DI a
Xét tam giác vng ADH ta có:
0
.sin 60 a AH AD
,
0
60
2
a DH AD cos
Suy ta tính được:
AH CD AD
AH CD AH AD AH AD
(
AH CD AH CD )
AH CD AD
4AH AD cosDHA
0
3
4 30
2
a
a cos a
Ta có:
,
AC AH HC BH AH AB Khi
(108)
AC BH AH HC AH AB
AH AH AB AH HC HC AB
2
2 . 3 .
2
a a
AH HC AB a
2 2
3 3
4
a a a
Vậy
AH CD AD AC BH 15 a
Câu 28: Đáp án A.
Từ ABCD hình thoi cạnh a,
120 ,0
ADC suy ra 600
BAD hay
AB AD , 60 0
Ta có:
2
2
u AB AD
2
2
AB AD AB AD
2 2 ,
AB AD AB AD cos AB AD
2 2 600 3
a a a a cos a
Do đó: u a
Ta có:
AD BDAD AD AB
AD AD AB
2
2 . . 600
2 a AD AD AB cos
2
2 a AB AD AD BD a
Câu 1: a) Đáp án A. Ta có:
2 2 2 cos
a b c bc A
0
36 64 2.6.8.cos60 52
2 13 a
b) Đáp án A.
1 sin
S bs A
1
.6.8 12
2
c) Đáp án C.
Ta có:
2 13
7 13
2
p
Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Spr
12 39 13 S r p
d) Đáp án C.
Áp dụng định lý sin ta có:
2 13 39 2sin 3
a R
A
Câu 2: Đáp án B.
Mà abc S R r S p 52.56.60
2 52 56 60
abc a b c
520
Câu 3: Đáp án A.
Ta có:
2 2 2 cos
a b c bc A
2
7 2.7.5 32
5 a
Mặt khác:
2
sin Acos A 1
2 16
sin cos
25 25 A A sin A (do sinA )0 Mà
1
.sin
2
ABC a
S b c A a h
4 7.5
sin 5
a bc A h a
Câu 4: Đáp án D. Câu 5: Đáp án B.
Ta có:
2 sin sin sin
a b c
R A B C
2
sin sin sin b c
b c
A B C
2sin sin sin
b c b c
A B C
sinB sinC 2sinA
(109)Ta có:
2 2 2 cos
b a c ac B
2 2
cos
2 a c b B
ac
Câu 7: Đáp án B.
Ta có:
2 2
cos
2 a b c C
ab
Mà a2b2 c2 0
0
cosC C 90
Câu 8: Đáp án D. Câu 9: Đáp án B.
Ta có:
2 2 2 cos
AB CA CB CB CA C
2 0
250 120 2.250.120 78 24cos
64835 AB 255
Câu 10: Đáp án C.
Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ chạy là:
1 30.2 60
S km. Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy S 2 40.2 80 km
Vậy sau 2h hai tàu cách là:
2
1 2 60
S S S S S cos 20 13
Câu 11: Đáp án B.
Trong tam giác vuông CDA có:
0
tan 72 12 CD AD
0
tan 72 12 CD AD 80 25,7 tan 72 12
Trong tam giác vuông CDB:
0
tan 34 26 CD BD
0
tan 34 26 CD BD 80 116, tan 34 26
khoảng cách 116,7 25,7 91
AB m
Câu 12: Đáp án A.
Cách 1: Ta có:
3;5 34
AB AB
1;6 37
AC AC
2;1
BC BC
Mặt khác
2 AB AC BC p
37 34
13
2 S p p AB p AC p BC
Cách 2:
3;5 , 1;6
AB AC
Khi
1 13
2
S
Câu 13: Đáp án A.
2 2
cos
2 b c a A bc 3 30 2 bc A bc
Câu 14: Đáp án B.
2 2 132 152 242
cos
2 2.13.15
b c a A bc 117 49
15 A
Câu 15: Đáp án A.
Ta có: Trong
: 180
ABC A B C
1800 68 12 34 440 77 40
C
Mặt khác:
sin sin sin
a b c
A B C
.sin
sin sin sin
AC AB AB B
AC
B C C
0
117.sin 34 44 68 sin 77
Câu 16: Đáp án A.
Áp dụng công thức đường trung tuyến cho tam giác ABC ta có:
2 2
4ma 2 b c a
2 2
2 a b c
2
4ma 3a 4a 3ma
(110)2 2
2 a a b c
m a
Tương tự
2 2
2 b a b c
m b
2 2
2 c a b c
m c
2 2
( )( )
2
a b c
a b c ab bc ca abc m m m
Dấu xảy tam giác ABC
Câu 17: Đáp án C.
Gọi chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, CA, AB D, E, F Dễ thấy AEMF hình vng
Đặt
ME MF AEAFx Theo tính chất đường phân giác ta có:
1
AB AB B C BC
1 AB AC AB AB BC 2 ab
a a b
Tương tự:
1 2 2
ab AC
b a b
Do MF//AB1 nên
1
CF MF AC AB
1
1
AC x x
AC AB 1 1 AB AC x AB AC 2 ab
a b a b
Vì M nằm tam giác ABC nên
ABC ABM ACM BCM S S S S
2 2
ab ME AC MF AB MD BC
2 2 ab MD
a b a b
Câu 18: Đáp án A.
Ta có:
2
a b c a c b mn
2 2
4 a b c
2 2
1
2 4a b c bc
2 ABC ABC bc
S S mn
Câu 19: Đáp án D.
Ta có:
,
2
b c a a c b
AD BD
Theo giả thiết:
AC BC AD BD
2
2
b c a a c b
ab
2
2
2ab c b a
2 2
c a b
Câu 20: Đáp án B.
Gọi E, F, H tiếp điểm đường tròn (I) với cạnh AC, AB, BC Do tam giác ABC vuông A nên tứ giác AFIE hình vng
AE AF FI IE r
Do BIO 900 nên tam giác IOB vng I Ta có:
2 .
IH OH HB OB HB HB
2
2 b c a
2 2
a a b c a b c
b c a2 c b a b c
3 3
a a c b a c b
2
2
9a 3c b
b b bc c
(111)Gọi I trung điểm BC Kẻ đường kính AD Ta có:
.sin A BH BC C BI cos
2 sin
2
A A
AB cos
2
4 sin
2
A A
R cos
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
2 2
1 sin
2 2 2
A A A
cos cos
2
3 sin
4 2
A A
cos
2
sin
2
A A
cos
8 R BH
Dấu xảy
2
sin
2 2
A A
cos
1 tan
2 A
Câu 22: Đáp án A.
Áp dụng định lý din tam giác DBE ta có:
sin DE
r DBE
sin 45
2
DBE DEB
( tam giác ABC nhọn) Do tam giác ABE vng cân E nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đường tròn đường kính AC
0
90
IDE IDC CDE IDC EAC
BCA ABC
Do ID, IE tiếp tuyến đường tròn (BDE)
Ta có:
2
2 DIJ
DE
S IJ DI DJ
Câu 24: Đáp án A.
Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, H tiếp điểm đường tròn (I) với cạnh BC
Đặt HB x HC , y, ta có:
2 (1)
BC x y
1,
AB x AC y Áp dụng định lý Pytagore cho tam giác ABC, ta có:
2 2
AB AC BC
x 12 y 12 x y2
1 (2) xy x y Từ (1) (2)
3 (3)
xy
Từ (1) (3) x y, hai nghiệm phương trình:
2 2 1 3 3 0
X X Vì AB < AC nên x < y, x 3,
2
y Lại có:
tan 30
3 IH
IBH IBH
BH
ABC 60 ,0 ACB 300
sin
tan 3
sin B B
C
Câu 25: Đáp án A.
Chúng ta cần tính diện tích tam giác BFH Sử dụng tính chất AB ED , dễ thấy hai tam giác ABF EDF (c.g.c) Do tam giác FBD cân với cạnh đáy BD Gọi FG đường cao tam giác FBD Trong tam giác vng FGD có:
25
2
BD
GD
và
20 4.
25
AD cosBDA
BD
(112)Từ đó:
25 125 GD
FD
cosBDA
Vậy diện tích tam giác BFD bằng:
2
1 1875
2 16
S AB FD cm
Câu 26: Đáp án A.
Áp dụng định lý sin cho tam giác IBC ABC ta có:
1
2 sin
2sin 2sin
2
a R A
R
B BIC
2 sin A R
Tương tự:
2 sin 2 sin 2
B C
R R R
Từ ta có:
1
R R R
2 sin sin sin
2 2
A B C
R R
Dấu xảy tam giác ABC tam giác
Câu 27: Đáp án C.
Có trường hợp xảy ra:
TH1: Điểm H nằm B C Trên tia HC lấy điểm D cho DAH BAH .
Suy AD phân giác góc BAC
nên
DC DB AC AB và
2
DB BH cm Áp dụng định lý Pytagore tam giác vng Abh ta có:
2 2 45
AB AH BH
AB
Đặt DC x x 0
Ta có: DC AC 5 2 DC x AC Lại có:
2 2
AC AH CH
2 x x
2 24 180 0 30
6 x x x x Vậy diện tích tam giác ABC trường hợp
2
1
.6 30 108 2AH BC2 cm
TH2: Điểm B nằm H C Lấy điểm D đối xứng với B qua H Khi AD phân giác ngồi BAC Tương tự trường hợp 1, ta tìm BC = 30cm (bằng DC TH1) Vậy diện tích ABC trường hợp
bằng
2
1
.6.30 90 2AH BC2 cm Lời bình: Nhiều bạn khơng ý tới vị trí H nên dễ hai trường hợp
Câu 28: a) Đáp án A.
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến tam giác ABC ta có:
2 2
2
2
AB AC BC
AM
2 2
2
4
BC AB AC
AM
4 16
3 7
2 BC
Ta có:
2
2 AB AC BC cosBAC AB AC sin 120 2.8 BAC
b) Đáp án A
.sin
ABC
S AB AC BAC
2
1
2.4
2 cm
Câu 29: Đáp án D.
Áp dụng định lý sin tam giác ABC
ta có:
2 sin sin sin
a b c
(113)sin ,sin ,
2
a b
A B
R R
sin
sin c C
C
Khi đó:
a b c
M
b c a c a b
Do a,b,c dương nên
,
a a b b
b c a b c a c a b c
c c
a b a b c Suy ra: M 1
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
b c a nên:
2
a a a
b c b c b c a b c Tương tự:
2
,
b b c c
a c a b c a b a b c
Suy ra: M 2
Vậy M 1;2
Câu 30: Đáp án A.
Gọi D,E,F trung điểm BC, CA, AB Khi đó:
2
4 BC AD DM DB DC
2
4 BC AD AM AD
2
4 BC AD AM AD
Theo công thức độ dài đường trung tuyến tam giác ta có:
2
2 2
2 BC AB AC AD
2AD AM
Tương tự ta ta:
2 2 . ,
BC BA BE BN
2 2 . .
CB AC CF CP Từ đó, theo bất đẳng thức Cauchy – Schwars ta có:
2 2 . . .
BC BA AC CF CP BE BN AD AM
AM BN CP AD BE CF2 2 2 2
BA2 BC2 AC22
2 2 2 2
4 BA BC AC AM BN CP
4 P
Đẳng thức xảy tam giác ABC
Câu 31: Đáp án A.
Theo định lý sin ta
có:
sin
sin
NA AMN
A NM
sin sin
;
sin sin
NM C BC A
NC CMN BA C Nhân ba đẳng thức
trên theo vế với vế
để ý , NA BA NC BC suy ra:
sin sin sin sin
2
AMN A
A A
2
2
sin sin
(1) sin
sin
AMN CMN
A A
Tương tự:
2
2
sin sin
(2) sin
sin
AMP BMP
A A
Mặt khác:
2
sin AMNsin AMP1
2
sin CMNsin BMP1 (3) Cộng đẳng thức (1), (2) theo vế đồng thời kết hợp với (3) ta suy ra:
sin sin 120
2 A
A BAC
Câu 32: Đáp án A.
Đặt
, ,
AB a AD b AM m
,
AN n m AMN Theo giả thiết ta có: AN phân giác
(114)Vậy ANM cân M MN AM m Theo định lý cosin cho ANM có:
2 2 2
n m m m m cos
2
2m cos
2
n m cos
Theo ta có:
2
m cos
AN n
AM m m
2 cos
Ta có: 900 (vì M di động đoạn BC) cos 0
2
AN cos AM AN MN
đạt giá trị nhỏ
2 AN
MN xảy ra
0
0 90
cos M B
Câu 33: Đáp án C.
Ta có:
128 20 ,0 6 10
CAB ACB Áp dụng định lý hàm số sin ABC:
0
sin 45 39 sin
AC AB
0
.sin 45 39 sin AB
AC
Xét tam giác vuông ACD:
0
.sin 51 40
CD AC
0
0
.sin 45 39 sin 51 40 sin
AB
CD
Suy chiều cao cột cờ là:
1,5 h CD =1,5+
0
0
.sin 45 39 sin 51 40 sin
AB
55,01( )m
Câu 34: Đáp án C.
2cosA sinB sinC sin 2C sin 2B
4cos cos sin
2
B C B C
A
sin
cos B C B C
4cos cos sin
2
B C B C
A
4cos cos sin
2
B C B C
A
4cos cos B C A 2
B C B C
cos cos
8cos sin sin sin
2 2
B C B C A
Do sin ,sin2
B C nên: cos 90 sin A A B C B C
Vậy tam giác ABC vuông A hay cân A (đpcm)
Câu 35: Đáp án A.
Xét tứ giác AMON có: AM AN, OM ON và
1800 (*) MAN MON
AMON AMN OMN S S S
.sin 2AM AN MAN
.sin 2OM ON MON
2
1
sin 2AM MAN
2
1
sin 2OM MAN (do (*)) sin 2OA MAN
Chứng minh tương tự ta có: sin BMOP
(115)2
1
.sin
CNOP
S OC C
1
AMON BMOP CNOP
ABC
S S S
S 2 1 sin sin 2 1
.sin sin
2
OA A OB B
b c A a c B
sin 1 sin OC C
a b C
2 2
1
OA OB OC b c a c a b
2 2
a OA b OB c OC a b c
Câu 36: Đáp án A.
Ta có cơng thức tính diện tích:
2 sin
2 sin
a
S AC AB A
S AB AC A
a
S AC AB
S AB AC
AC AB AB AC (BĐT Cauchy) Tương tự ta có:
1 b
S BA BC
S BC BA
Và c
S CB C A
S CA CB
Do đó:
a b c
S S S
S S S Dấu “=” xảy
AC AB AB AC BA BC BC BA CB CA CA CB / / / / , , / /
C B BC
A C CA A B C
B A BA
là trung điểm BC, CA, AB
Vậy
3
a b c
S S S
Max S 4035 2019 2 m
Câu 37: Đáp án A.
Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử
;0 ,
A a B0;b với 0,
a b (*)
Suy ra: OAB ab
S
Mà 2
1 1 a b R (**)
2
2 2
1 a b R a b
2 2 2 2
a b R a b R ab
2 OAB ab S R
không đổi (dấu xảy
a b )
Kết hợp (*)(**): dấu xảy a b R
Câu 38: Đáp án D.
Chứng minh rằng:
2 4 cot (*)
a S A
2 2 a b c
2 2 2
2 4
c a b a b c
2 2 2 2
b c a b c a a Hay cotS A a
Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm BC Chứng minh MGO không nhọn. Ta chứng minh:
GO GM OG GM
Ta có:
3OG OA OB OC ;
6GM 2AM AB AC OB OC 2OA
3OG GM.6
OA OB OC OB OC 2OA
2 2 2 .
OB OC OA OB OC
(116)
OA OC OA OB
2OB OC OA OC OA OB
Mặt khác:
2
2
BC OC OB
2 2 .
OB OC OB OC
2
2OB OC 2R a
(trong đó:
R OA OB OC ). Tương tự ta có:
2
2OA OC 2R b ;
2
2OB OA 2R c
Vậy
2
2
18
2 b c
OG GM a
OG GM (do có (**))
2 2 2
4
a b c
m m m a b c
Câu 39: Đáp án A.
Đặt C D x1 Ta có:
1
1 tan 49 tan 49 x x AC AC Lại có:
1
1 tan 35 tan 35 x x B C B C Do:
1 1 1
B C A B A C
0 12
tan 35 tan 49
x x
0
0
12.tan 49 tan 35 tan 49 tan 35 x
1,3 22, 77 CD x
Ta có:
(1) a
R
2 2 2
2 2 2 b c R R
a c b a b c
ac ab
2 2 2
2
a c b a b c
a ac ab b c
2 2 2
2
2
a c b a b c
c b
c b
2 2 2
0
a c b a b c
c b
2 2 2
2
2 a c b a b c
c b
c b
2 2 2
0
a c b a b c
c b
2 2 1 0 a b c
c b
2 2.
a b c
Vậy tam giác ABC vuông A
Câu 41: Đáp án A. Câu 42: Đáp án C.
Đặt CD x AB y , Xét tam giác BCD:
tan 14.tan 33 14
x
CBD x
Xét tam giác ACD: tan 14 x CAD y
14 ytan 200 x
0 14.tan 33 14 10,979 tan 20 y
Chiều sâu tàu đắm bằng: 0 14.tan 33 32,979 tan 20
Câu 43: Đáp án D.
Đặt AB y BC x , Ta có: 0 tan 44,76 tan 44,76 x x y y Lại có: 0 18 18 tan 48 tan 48 x x y y 0 18 tan 44,76 tan 48
x x
0
0
18.tan 44,76
18 tan 48 tan 44,76 x
168,055
Câu 44: Đáp án A.
Ta có:
2
2
0, 1,25 0,6
CD
1433 20
1,5 0,2 2 0,25 0,52
AC
(117)1117 10 AD
Ta có:
2
2 AC CD AD cos ACD
CA CD
1381 1433 117 400 400 100 1433 1381 400 827 1978973
ACD 126 23, 080
Câu 45: Đáp án A.
Ta có: , a a MN AI n
Đặt AH h Ta có: sin ABC AMN S
S AM AN
n sin ah n AM AN
Mặt khác:
2
2 2
2 MN AM AN AI
2 2 2
2 2
a n a a n n Lại có:
2 2
2
AM AN MN
cos
AM AN
2 2 2
2 2
1
2
2
a n a a n
n n n
AM AN AM AN
Vậy
tan nh a n
1 tan n a h n
Câu 46: Đáp án A.
Ta có: tan FD DEF DE 11,30993247 DEF
Khi đó:
450 33 41 24, 240
FEA DEF
Câu 47: Đáp án A.
Ta có:
,
SQB PQT TPO Xét tam giác POQ ta có: 450 Ta có:
1800 2 900
PQO Áp dụng định lý cosin
trong tam giác OPQ
ta có:
2 2 2 . . 450
PQ OP OQ OP OQ cos
2
4 2.2 = Khi
2 3
2 2.2 2 cos
0
30
Áp dụng định lý sin tam giác PTO ta có:
2 sin 45 sin 90 PT 0
2sin 45 sin 60 PT
Câu 48: Đáp án A.
Xét tam giác vuông ABC C với AB=13, AC=5, BC=12 Gọi O điểm nằm tam giác ABC thỏa mãn
90 ,0 1350
AOC BOC Đặt
, ,
2
y z
OB x OA OC Dễ thấy x y z, , thỏa mãn điều kiên
Ta có:
1 1
, ,
4 4
AOB AOC OBC
S xy S yz S xz Từ suy ra:
K xy yz zx
4 SOAB SOBC SAOC
(118)1
4 .5.12 120
ABC S
Câu 49: Đáp án A.
Giả sử: x y z, , nghiệm hệ thì:
1 1 16
1 1 25
1 1 36
1 1
x y xy
z y zy
x z xz
m
x y z
Đặt
1 1
, ,
a b c
x y z
(a,b,c>0) Hệ trở thành:
2 2 2 16 25 36 a b ab b c bc a c ac a b c m
Trong mặt phẳng ta vẽ ba đoạn thẳng
, ,
MA a MB b MC c đơi hợp với góc 120
Theo định lý hàm số cosin ta dễ dàng có AB = 4, BC = 5, AC = Áp dụng cơng thức Herong ta
có:
15 ABC
S
Tam giác ABC nhọn, suy M nằm tam giác ABC Khi đó:
ABC MAB MAC MBC S S S S
1
sin120 ab bc ca
15
5 21
ab bc ca
Từ ba phương trình đầu ta có:
2 2
2 a b c ab bc ca 77
2 2 77 21
2
a b c
Vậy
2
a b c
2 2 2
a b c ab bc ca
77 21 77 15 21 10 21
2
77 15 21
a b c m
Câu 50: Đáp án D.
Từ hệ phương trình suy x1,z Hệ phương trình tương đương: 2 2 25 4 x y y z
y x z
Xét tam giác ABC vuông B, đường cao BD với
5
, 2
AB BC
Đặt
, 1,
BDy AD x CD z Rõ ràng x y z, , thỏa
mãn điều kiện
Khi đó:
A y x z 2 .2
2 ABC
S
Câu 51: Đáp án C.
Xét tam giác vng ABC B có
4,
BC BA và đường cao BD Đặt
, ,
BD y DA x DC z Ta thấy x y z, , thỏa mãn điều kiện Khi đó:
ABC3.4 12
B y x z S
(119)Với x 0
2
3 16 x x x x
Trường hợp phương trình vơ nghiệm
Với x xét tam0, giác ABC vng A có AB4,AC3 Gọi AD phân giác góc BAC Trên tia AD lấy điểm M cho AM x
Áp dụng định lý cosin tam giác ACM:
2 3 2 9
CM x x
Áp dụng định lý cosin tam giác ABM:
2 4 2 16
BM x x
Suy ra:
5 CM BM BC Dấu xảy M trùng với D hay:
3.4 12
3
xAD
Phương trình có nghiệm
Câu 1: Đáp án A.
Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có:
2 2
2
3
b c a AG AA
2 2
2
3
a c b BG BB Do AG vuông góc với BG nên
2 2
AB BG AG
2 2 2
2
9 4
b c a a c b
c
2
2
9 b a
c c
2 2
5c a b cosab C 4c
sin sin cosA B C
2sin A B sinC
2sin cot sin sin A B C A B
cotC cotA cotB
Câu 2: Đáp án D
Ta có:
1
CG CA CB Lại có:
aIA bIB cIC
a IC CA b IC CB cIC
aCA bCB IC
a b c
GI CI CG
2
3
a b c CA b a c CB a b c
Theo yêu cầu toán:
IGIC GI CI
2a b c CA 2b a c CB
aCA bCB 0
2 2
b a b c a b a c
ab CB CA 0
Do ab CB CA
cos ab ab C
1 cos
ab C
nên
2 2
b a b c a b a c
a b c a b 6ab
Câu 3: Đáp án C.
1
2
AM AB CM AB AC Lại có: b c
AL AB AC
b c b c
ALCM AL CM
b c
AB AC
b c c b
2AB AC
bAB c AC AB 2AC
(120)c 2b AB AC
bc c 2b0 c b Khi đó: 3
AL AB AC 2
2 cos
9
b A b
AL cos b A Và
2 2 2 cos2
CM b b b A
2
2b cosA
Theo giả thiết ta có:
5
CM
AL
2
9
5
CM AL
1 cos
5 cos A A cos 72
A BAC
Câu 4: Đáp án A.
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có:
2 2
3MA 2MB MC
2MO OA3 2OB OC
2MO 2AB AC
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đường thẳng qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với đường thẳng
giá vectơ 2AB AC
Câu 5: Đáp án C.
Ta có:
4 4 c a
a b c
c b , ABC BAC
nhọn
Lại có:
4 2 2 2 2
c a a b b a c b c
2 2 2 cos
c a b c ab C
cosC ACB
nhọn
Câu 6: Đáp án D.
Ta có:
,
2 b c
B c C b
cos cos
l l
Lại có:
2
sin sinB C bc a
2
4sin sin cos cos 2 2 B C B C bc
a
2
sin sin
2
b c l l
B C
a
Áp dụng định lý hàm sin tam giác IBC ta có:
sin sin sin
2
IB IC a
a C B BDC
2
sin sin 2
b c l l B C IA IC a
Gọi D chân đường phân giác góc A Khi ta có:
ABC ABD ACD S S S
0
1
sin 45 2bc 2bla
0
1
sin 45 2cla a bc l b c
Câu 7: Đáp án C.
Ta có: ADC 600 Cách 1: Áp dụng định lý sin hai tam giác ADC ABC ta có:
sin 600
sin
CD CA
CAD
0
sin 45
sin 15
BC CA
CAD
0
sin 15 sin 45 sin 60 sin CD CAD BC CAD 0
sin sin 45 sin 60 sin 15
CAD CAD
(121)
CEAD Xét tam giác CDE ta có:
30 ,0 .sin DCE DE DC DCE
2 CD DE
Suy BD DE , hay tam giác BDE cân
D Suy
300
DBE DEB Khi đó:
300
CBE DEB 150
EBA EAB
Suy hai tam giác BCE, BAE cân hay
EA CE BE
Điều suy tam giác AEC vuông cân Hay ACE 450 Vậy ACB 750
Câu 8: Đáp án B.
Theo định lí Thales ta có:
4
10
AP BP
PC PD
Đặt
2 , ,
AP x BP y
Do tam giác APB vuông P nên
2 2
2
4 4
4
x y
x y
Lại có
DPC DQC PCQ PDQ
45 0 PCQ PDQ Suy ra:
tan PCQ PDQ tan 45
2 2 5
1 2
5 10
1 21
y x x y y x x y x y xy
40 21 xy
Diện tích hình thang ABCD bằng:
1
S AC BD
1 49
.7
2
49 40 140
2 21 x y xyy
Câu 9: Đáp án A.
Đặt AP x PB , y PC, z ÁP dụng định lí cosin tam
giác PCA, PAB, PBC ta có:
2 2 2 cos
x z b bz
2 2 2 2 cos
y x c cx
2 2 2 2 cos
z y a ay
2 cos
cx ay bz
2 2
a b c
2 2
13 14 15 590
=1
cos 295
cx ay bz Ta có:
ABC PAB PAC PBC
S S S S
sin
2
cx ay bz
Áp dụng công thức Heron ta suy
84
ABC
S Suy
sin
84
cx ay bz
sin 168
cx ay bz
Vậy
168
tan
295
Suy m n 463
Câu 10: Đáp án C.
Cách 1:
Dựa vào hình vẽ ta suy a, b dương
(122) 2 2 121 676 12 1369 OA AB OB OA
a b a
a b 2 2
2 555 1248 555 2 1248 b ab a b b a b a b 2 2 555 2 555 555
4 4
1248 b a b b b b
4 2
555 2
3 3882 555 b a b b b 555 2 75 b a b b
21 3, 315
a b ab
Cách 2: Đặt
,
x OA OB AB giả sử Góc góc tạo tia OA tia Ox
Khi đó,
11
sin ,cos a
x x
vàBOx 600
ta có:
37
sin 60
x
0
sin cos 60 cos sin 60
11
2
a
x x
cos 60
b x
0
cos cos 60 sin sin 60
11
2
a
x x
Từ suy
21 3,
315
a b
ab
Câu 11: Đáp án A.
tan 45 tan 2 B r p b
a c b
sin sin sin R
A C B
Và
0
sinCsin 180 A B
0
sin 135
2 sin cos A A A
Áp dụng công thức Euler ta có:
2 2
OI R R r
2
1
sin sin sin
R A C B
Theo giả thiết ta có: Io AB AC
2
2 2 sin sin
OI R C B Vì vậy,
1 sin AsinC sinB 1
2
2 sin sin
C B
2
1 sin cos A A
2 sin cos A A
2 sin
A
2 cos 1
A
sin 1 cos 1
A A
2 sin
2
4 2 sin A A
Câu 12: Đáp án D.
Đặt
800 .
x PCB PBC x
Áp dụng định lý sin ta có:
1PA PB PC
PB PC PA
sin sin sin
sin sin sin
PBA PCB PAC
(123)
0
0 0
sin 20 sin sin 40 sin10 sin 80 sin 30 x x 0
4sin sin 40 sin10 sin 80 x x 0
2sin sin 30 sin 50 sin 80 x x 0
sin 2cos 40 sin 80 x 0
2sin cos 40 sin 80 sin
x
x x
0
2sin 40 cos 40 20
x x
Vậy ACB500BAC
Câu 13: Đáp án D.
2 2 2 . .cos
AB BC AC BC CA ACB
2
43 49
BC BC
2 7 6 0
1 BC BC BC BC
Câu 14: Đáp án B.
Giả sử H x y ; Ta có:
AB HC AC HB
6
2
3 x y x y x y
Câu 15: Đáp án C.
cos ab a b
2 2
3 6
0
x x x x 3 x x
Giá trị nguyên lớn x thỏa mãn
yêu cầu toán x =
Câu 16: Đáp án B.
Do tam giác ABC vuông cân nên
2 BC a R và
2
AB AC R
2 2
2
R R R
p
R R
Lại có tan A
r p a
2 2 tan 450 R R R
1
R r
R
Câu 17: Đáp án B.
sin GMN
S GM GN MGN
.sin
2 2
GC GB BGC
1 , GBC S
d G BC BC
1 1
,
1 12 ABC
d A BC BC
S
1 75
.sin
12 2
AB AC A
Câu 18: Đáp án D.
Ta có:
2 2 2 cos
a b c ab C Nếu tam giác ABC có C nhọn
thì a2b2 c2 0
Câu 19: Đáp án D.
Áp dụng định lí cosin tam giác
ABC ta có:
2 2 92 42 72 2
cos
2 2.9.4
b c a
A
bc Câu 20: Đáp án C.
Diện tích tam giác ABC
0
1
.sin 6.8.sin 30 12
2
S AB AC A
Câu 21: Đáp án D.
Nửa chu vi tam giác ABC
2
2
(124)Ta có:
9 3.2
2 2 2
3 a
bc p p a l
b c
54
Câu 22: Đáp án D.
Dựng đường cao AE Đặt AB = x Khi AE =x
Ta có:
10
2
CD AB x
DE 10 10 10 2
x x
CE DC DE
Do tam giác CAD vuông A nên
2
2 . 100
4
x
AE DE CE x
2 20 20 5
x x Diện tích hình thang cân bằng:
10 5
2
AB CD AE S
10
Câu 23: Đáp án D.
Ta có:
GA GB GB GC GC GA
2 2
2 2
2
2 GA GB AB
GB GC BC
2 2
2
GA GC AC
2 2
2 2
2
GA GB GC
BC AB AC
2 2
2 2
4
2
a b c
m m m
a b c
2 2
2 2
4
2
a b c a b c
2 2
1 29
6
a b c
Câu 24: Đáp án A.
Ta có:
1;3 , 1; 2
AB AC
Diện tích tam giác ABC bằng:
1
1
2
S
Câu 25: Đáp án B.
2 2
2 2
2 cos cos cos
cos
a c b ac B
bc A b c a
a B b A
2 sin cos tan sin cos tan
R A B A
R B A B
Câu 26: Đáp án A.
Diện tích tam giác ABC
0
1 sin
.2 3.2.sin 30
S a b C
Lại có
2 3
a
a
S a h S h
a
Câu 27: Đáp án A.
Ta có:
1800 45 0
A B C
Áp dụng định lí sin tam giác
ABC ta có:
0 0
8
sin 45 sin 60 sin 75
b c
4 4 b c
Nửa chu vi tam giác ABC: 4
6
p
Diện tích tam giác ABC bằng:
0
1
sin 8.4 sin 75
2
S ab C
24
(125)24 6
S r p
Diện tích đường trịn nột tiếp tam giác bằng:
2 12 .
3
r
Câu 28: Đáp án A.
3
cos sin cos sin sin sin
2 cot cot sin
cot cot cot
2
1 cot cot cot
Câu 29: Đáp án A.
2
2
cot cos cot sin cos
cot
A
2
cos sin cos cos cot sin 2
1 sin sin
Câu 30: Đáp án B Ta có:
2 6 8 0 2;4
M M M
x x x
1
ABM ABC
S S
1 1
, ,
2
d A BM BM d A BC BC BM BC
Giả sử M x y ; Trường hợp
3
3
BC x
BM
y
1 1
;
3 3
x y M
Trường hợp
3
3
BC x
BM
y 11
11
3 ; .
1 3
3 x M y
Câu 31: Đáp án C.
Ta có:
1 tan k01 tan 45 k0
0
0
1 tan tan 45 k k
0
0
tan tan 45
k k
0
0
1 tan 45
tank tan 45 k
0
0
tan tan 45
k k
Vậy
0
0 tan1 tan
tan 45
0 tan1 tan 44
tan
0 tan 22 tan 23
tan 45
23
2
Vậy n = 23
Câu 32: Đáp án D.
Áp dụng công thức độ dài đường
trung tuyến , ta có:
2 2 2 2 4.18 24 24 4.27 BC AC AC BC 70 AC Mặt khác ta có:
Áp dụng định lí cosin tam giác
AEC ta có:
122 272 9.70 cos 2.12.27 AEC 55 sin AEC Ta có:
2 .sin
2
ABF AEF
S S AE EF AEF
(126)Vậy m n 8 55 63.
Câu 33: Đáp án C.
1
.sin 10
2
1 3
.sin
2
AGF AEG
A AF AG
S AF
A
S AE AG AE
10 13 AGF
AEF
S S Lại có:
1
.sin 30 10
1 . .sin 444 148
AEF ABC
AF AE A S
S AB AC A
25 481 AGF
ABC
S S
Do tam giác ABC vuông B nên
2
37 12 35
BC
Do AD phân giác
góc CAB
Nên dễ dàng suy
60
BD
Diện tích tam giác ABC:
.12.35 210
ABC
S BA BC
Suy
25 5250
.210
481 481
AGF
S
Diện tích tam giác ABD:
1 60 360
.12
2 7
ABD
S BA BD
Diện tích tứ giác DCFG bằng: 148 ABC AGF ABD
S S S S
Câu 34: Đáp án C.
3600 900 600 900
EAF
0 120
Diện tích tam giác AEF
0
1
.sin120
1 3
2
AEF
S AE AF
Dễ thấy:
AEF CGH BDI
3
AEF CGH
BDI
S S
S
Diện tích hình lục giác DEFGHI
3
ABDE AEF ABC
S S S S
3 3
3 3
4
Câu 35: Đáp án B.
Chú ý tam giác bên tam
giác ABC gộp thành lục
giác
diện tích lục giác có cạnh
là
0
1 3
6 .1.1.sin120
2
S
Do diện tích tam giác ABC
2S 3
Câu 36: Đáp án A.
(127)bằng SABCD 2 x2 Theo đề ta có:
30 0
ADE EDF FDC
Áp dụng hệ thức lượng tam
giácADE ADF ta có:
0
cos30
3 x DE x
DE
0
cos 60 x DF 2 x
DF
Diện tích tam giác DEF
0
.sin 30
DEF
S DE DF
2
1
2 3
x x x
Tỉ số diện tích
2
2
3
3 .
6
DEF ABCD
x S
S x
Câu 37: Đáp án C.
Đặt BEx AJ, y Vì
FKH EJK AGJ DHG
FHK EKJ AJG DGH nên
Tam giác KEJ, JAG, GDH, HFK đồng
dạng Sử dụng tính chất đối xứng
định lí Pytago ta có: EK = xy,
2
1 ,
FK y EJ x y
Vì ta biết
1
BE EJ AJ EK FK Nên ta có phương trình:
2
2
1
1
x x y y xy y
2
2
2
1
1 1
1 y
x
y
y y
y y
y y
2
x y
Câu 38: Đáp án B.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, giả
sử điểm A0;0 , B16;0
20;0
C
do đối xứng ta cho D E
góc phần tư thứ Do hai tma giác ABD, BCE nên
8;8 , 18;2
D E
Do M trung điểm AE, N trung
điểm BD nên 9; , 14;4
M N
Từ suy
2 13
BM BN MN
Diện tích tam giác BMN
0
.sin 60
BMN
S BM BN
2
1
13 13
2
2
13 507 x x
Câu 39: Đáp án B.
Đặt
0 0
sin1 sin sin sin 89
p
0 0
0
(128)0 0
0
0
0
sin1 sin sin sin177 sin179
sin sin sin176 sin178
0 0
0 0
sin1 sin sin179 2sin1 cos1 2sin 89 cos89
0 0
0 0
sin 91 sin 92 sin178 sin179 cos1 cos cos89
89
Suy
89
1
2
p Vậy m + n = 91
Câu 40: Đáp án A.
Trường hợp P trùng với B, Q trùng với
C ta có PQ 25 Khi
2 0
PQRS
S
25 625 25
Trường hợp P trùng với trung điểm
đoạn AB, Q trùng với trung điểm
đoạn AC ta có:
25
PQ
dễ thấy
1
PQRS ABCD
S S
áp dụng hệt thức Hê-rông ta có:
SABC =90
625 625 625 45
2 4
36 125
Vậy m + n = 161
Câu 41: Đáp án B.
DEF ABC ABC ADF
BDE CEF ABC
S m
n S
S S
S S
S
1
1
p r
q p r q
pq qr rp p q r
Do
2
p q r
2 2
p q r
pq qr rp
1 45 pq qr rp
Vậy
1 16
1
45 45
61
m n
m n
Câu 42: Đáp án A.
Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC Ta có: tam giác BDI cân
D, tam giác CEI cân E Vậy DE BD EC Chu vi tam giác ADE AD + AE + DE
= AB + AC =43 Tỉ số chu vi vủa tam giác ADE
ABC
43
63 tỉ số
đồng dạng hai Tam giác Do
43 860
.20
63 63
923
DE m n
Câu 43: Đáp án D.
Do tam giác ABC vuông C nên AB 72242 25
Suy
25
AM
Cách 1:
Gọi N hình chiếu C lên AB
Lại có:
2
(129)2
2 25 11
5
4
Vậy
1
CDM
S MN MD
1 527 11 527 11
2 50 40
578 m n p
Cách 2:
Ta có:
25
CM AM
2
2 152 25 11
4
MD AD AM
Ta có: sinCMD cosCMA
2 2 527
2 625
MC MA AC MC MA
.sin
CDM
S MC MD CMD
1 25 11 527 527 11
2 2 625 40
578 m n p
Câu 44: Đáp án B.
Ta có ABCF hình bình hành
F giao điểm CE AD
ABCEFD
Áp dụng định lí cosin tam giác
ABC ta có:
2 2 . .cos 7
AC BA BC BA BC B
Suy
2 7
15
ABC EFD
S AC
S DE
và
1
ABC FAC
S S
ta có:
, ,
ABC BDE
d B AC AC S
S d B DE DE
, ,
,
, d B AC AC d B AC
d F AC DE
d F DE
,
,
,
15 + ,
7
d B AC AC d B AC
d B AC DE
d B AC
49 29 425
7
484 AC
DE m n
Câu 45: Đáp án C
Đặt AB = x
Gọi E giao điểm AD BC
Khi tam giác EAB Ta có: ED = x-10, EC = x-8 Áp dụng định lí cosin tam giác
EAD ta có:
2 2
0
.cos 60 DC ED EC
ED EC
2 2
2
12 10
x x
10 8
x x
2 18 60 0
9 141
x x
x
Vậy m + n = 150
Câu 46: Đáp án A.
Gọi E, F, G điểm tiếp xúc
(130)PQ giao điểm (I) với AD (P
ở AQ) Khơng tính tổng qt,
giả sử AC < AB, E nằm D C
Đặt AD = 3x Ta có:
2
2
.2
DE DQ DP x x AP AQ AF
DEAF
Đặt CE = CF = y (y <10)
Khi 2x2 10 y2 Ta có:
AC = AF + CF = DE + CE = CD= 10
Suy DE = AF = AG = 10-y
Vậy BG = BE = BD+ DE = 20-y,
Suy AB = AG + BG = 30 – 2y
Áp dụng công thức độ dài đường trung
tuyến ta có:
2
2
3 20 20.10.10 10 10 30 10
x
y
2 12 20 0
10 y y y y Với y =0 bị loại Vậy y =2
Vậy BC = 20, AB =26, AC =10
Diện tích tam giác ABC
28.8.2.18 24 4 Vậy m + n =38
Câu 47: Đáp án D.
Gọi x y; tọa độ điểm H Ta có: AH BC AH BC B BC BH k BC
2
3
5
x y k
x k x
y k y
3;
H
Câu 48: Đáp án A.
Gọi l đường thẳng vuông góc với d A
Khi l phân giác OAB
Ta có: AB4 2,AO4 Khi đó:
5
4 2; AB AO
Chính vecto phương đường
thẳng l
hệ số góc đường thẳng l là:
4 2 5
Hệ số góc đường thẳng d là:
5 10 2
Câu 49: Đáp án B.
4 sin 4cos cos 4sin x x x x 4
sin sin
- cos cos
x x x x 2
2 sin cos cos
x x
x
Câu 50: Đáp án A.
Áp dụng AM-GM ta có:
2 2 2 sin cos cos sin
2 sin cos
y y y y y y x x x x
x x
(131)
2
4
2sin cos
2 sin cos y y x x
x x
2
4
1 sin cos
y y
x x
2
1
4
y y y Dấu xảy
0 sinxcosx x45
(132)