Ví dụ 1 : Tìm một phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số thì ta được một phân số mới hơn phân số ban đầu là 7/36.. Phân tích : Ta đã biết nhân một phân[r]
(1)VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ 1 Kiến thức cần ghi nhớ
Khi nhân (chia) tử số mẫu số với số tự nhiên lớn ta phân số phân số cho
Khi tử số mẫu số gấp (giảm) lần hiệu tổng chúng gấp (giảm) nhiêu lần
Ví dụ: Cho phân số 3
Hiệu mẫu số tử số là: - = Tổng mẫu số tử số là: + = Khi gấp tử số mẫu số lên lần ta có:
9 3
3
x x
Hiệu mẫu số tử số là: - = Tổng mẫu số tử số là: + = 12 Ta thấy: 6: =
12 : = 2 Bài tập
Bài 1: Cho phân số 369 234
Hỏi phải bớt tử số mẫu số đơn vị để phân
số mới, rút gọn phân số ta phân số
Bài 2: Cho phân số b a
có a + b = 136 Rút gọn phân số b a
ta phân số
Tìm phân số b a
Bài 3: Cho phân số b a
có a + b = 108, rút gọn phân số b a
ta phân số
Tìm phân số
b a
Bài 4: Cho phân số b a
có b - a = 18, rút gọn phân số b a
ta phân số
(2)Bài 5: Cho phân số 36 54
Hãy tìm số tự nhiên a cho bớt a tử, thêm a vào mẫu
phân số ta phân số Rút gọn phân số ta
Bài 6: Cho phân số 45 26
Hãy tìm số tự nhiên a thêm a tử số giữ nguyên mẫu số ta
được phân số có giá trị
Bài 7: Cho phân số 37 25
Hãy tìm số tự nhiên a cho đem mẫu số trừ a giữ nguyên
tử số ta phân số có giá trị
Bài 8: Cho phân số 58 43
Hãy tìm số tự nhiên m cho lấy tử số mẫu số phân số cho trừ số tự nhiên m ta phân số Rút gọn phân số ta phân số
4
Bài 9: Cho phân số b a
, rút gọn phân số b a
ta phân số
Nếu thêm đơn vị vào mẫu số b
mà giữ nguyên tử số a ta phân số Rút gọn phân số ta phân số
Tìm phân số b a
Bài 10: Cho phân số d c
, rút gọn phân số d c
phân số
Nếu giảm tử số 12 đơn
vị rút gọn phân số 49 36
Tìm phân số d c
(3)Dạng 1: So sánh cách qui đồng mẫu số
VD 1: So sánh:
Giải Ta có:
20
4
20 15
5
Vì 20 15 20
8
nên
Dang 2: So sánh với 1.
Dạng 3: So sánh hai phân số cách so sánh phần bù đơn vị phân số:
Ta so sánh phần bù đơn vị phân số hai phân số phảI:
Nhỏ 1.
Mẫu 1- tử 1= mẫu - tử hoặc: (mẫu1- tử 1)=n(mẫu 2- tử 2) Phân số có phần bù nhỏ phân số lớn hơn.
Ví dụ 1: So sánh phân số sau: 2003 2000
2009 2007
Hướng dẫn:
(nhận thấy: 2003 – 2000 = 2009 – 2007 = 2) Giải
Ta có:
2003
2 2003 2000 2003
2003 2003
2000
1
;
2009
2 2009 2007 2009
2009 2009
2007
1
Vậy 2009 2003
2
nên 2009 2007 2003
(4)Ví dụ 2: So sánh hai phân số: 2005 2003
2134 2128
Hướng dẫn:
Nhận thấy: 3(2005 - 2003) = 2134 – 2128 Giải
6015
6009
2005 2003 2005
2003
2015
6 6015 6009 6015
6015 6015
6009
2005 2003
1
2134
6 2128 2134 2134
2134 2134
2128
1
Vậy 2134 2015
6
nên 2134 2128 2005
2003
Dạng 4: So sánh phân số cách so sánh phần hai phân số.
Ta so sánh phấn hai phân só so sánh phảI
*Lớn 1.
*Tử – mẫu = Tử – mẫu hoặc: (Tử 1- mãu 1)=n(tử 2- mẫu 2)
*Phân số có phân lớn phân số lớn
Ví dụ 1: So sánh hai phân số: 1999 2001
2005 2007
Hướng dẫn
Nhận thấy: 2001 – 1999 = 2007 – 2005 Giải
1999
2 1999 1999 1999
2001
1999 2001
2007
2 2007 2007 2007
2009
2007 2009
(5)Vậy 2007 1999
2
nên 2007 2009 1999
2001
Vý dụ 2: So sánh hai phân số: 2001 2005
2028 2048
Hướng dẫn
Nhạn thấy: 5 (2005 - 2001) = 2048 – 2028 Giải
8005 8025
2001 2005 2001
2005
8005
20 8005 8005 8005
8025
8005 8025
2001 2005
2028
20 2028 2028 2028
2048
2028 2048
Vậy 2028 20 8005
20
nên 2028 2048 2001
2005
Dạng 5: So sánh phân số trung gian.
Trong trường hợp đơn giản, chọn phân số trung gian là: 1, 2, …hay ,
4 , ,
bằng cách tìm thương tử số mầu số phân số lấy phân số trung gian là phân số có tử mẫu số thương phân số lớn hơn.
Trong trường hợp hai phân số b a
d c
a> c b<d ta chọn phân số trung
gian d a
.
Ví dụ: So sánh hai phân số: 57 23
và 675 215
Hướng dẫn
Nhận thấy: 57: 23 = (dư 11) 675 : 215 = (dư 30)
Vậy ta chọn phân số
(6)57 23
; 675 215
Vậy 675 215 57 23
nên 675 215 57
23
Ví dụ 2: So sánh hai phân số: 57 40
55 47
Hướng dẫn
Nhận thấy: 40 < 47 57 > 55 nên ta chọn phân số trung gian là: 55 40
Giải
55 40 57 40
; 55 40 55 47
Vậy 55 47 55 40 57 40
nên 55 47 57 40
Dạng 6: Thực phép chia phân số để so sánh.
*Lấy phân số thứ chia cho phân số thứ hai :
-Thương tìm nhỏ phân số thứ nhỏ phân số thứ hai
-Thương tìm lớn phân số thứ lớn phân số thứ hai.
Ví dụ: So sánh hai phân số:
10
Giải
Ta có: 63 50 10 10
7 :
(7)Vậy 10
II luyện tập
Bài 1: So sánh phân số sau cách hợp lí nhất:
a) 11
23 17
b) 48 12
47 13
c) 30 25
49 25
d) 47 23
45 24
e) 43 34
42 35
h) 48 23
92 47
k) 395 415
581 572
Bài 2:So sánh phân số sau cách hợp lí nhất.
a) 17 12
15
b) 2001 1999
11 12
c) 27 13
41 27
d) 1999 1998
2000 1199
e) 1
a 1 a
Bài 3: So sánh hai phan số sau cách hợp lí nhất:
a) 25 15
b) 60 13
100 27
c)
49 17
d) 47 43
35 29
e) 1995 1993
998 997
g) 49 43
35 31
h) 15 47
35 29
i) 27 16
29 15
(8)a) 15 13
25 23
b) 28 23
27 24
c) 25 12
49 25
d) 15 13
153 133
e) 15 13
1555 1333
Bài 5:
a) Sắp xếp phân số theo thứ tự giảm dần:
10 ; ; ; ; ; ; ; ;
b) Sắp xếp phân số sau theo thư tự tăng dần:
253 152 ; 11 26 ; 10 10 ; 253 215 ; 15 26
c) Sắp xếp phân số sau theo thư tự tăng dần:
; ; ; ;
d) Sắp xếp phân số sau theo thư tự từ lớn đến bé:
29 19 ; 81 60 ; 25 21
e) Sắp xếp phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:
1999 2004 ; 15 12 ; ; ; 14 ; 15
Bài 6: Tìm phân số nhỏ phân số sau:
a) 1982 1984 ; 30 31 ; 1981 1983 ; 60 19 ; 1980 1985
(9)a) Tìm phân số tối giản nằm
b) Hãy viết phân số khác nằm hai phân số
c) Hãy viết phân số khác nằm hai phân số 51997 1995
1996 1995 Bài 8: Hãy tìm phân số có tử số chia hết cho nằm hai phân số:
a) 1001 999
1003 1001
b) 10
13 11
Bài 9: So sánh phân số sau với 1:
a) 33 35 34 34
b) 1995 1995 1999 1999
c) 198619861986 198619861986 87 1987198719
1981985198
QUY ĐỒNG TỬ SỐ CÁC PHÂN SỐ
Trong sách giáo khoa khơng có học "quy dồng tử số phân số" Thực việc quy đồng tử số phân số đưa việc quy đồng mẫu số phân số "đảo ngược" (đúng số nghịch đảo phân số cho) Tuy nhiên, nhiều trường hợp việc làm dễ gây phiền phức, dễ bị nhầm lẫn
Một số toán giải nhiều cách, dùng cách quy đồng mẫu số phân số Tuy nhiên nói cach quy đồng tử số phân số
+ Ví dụ Ba khối lớp có 792 học sinh tham gia đồng diễn thể dục Tìm số học sinh khối
lớp, biết 2/3 số học sinh khối ba 1/2 số học sinh khối bốn 40% số học sinh khối năm
Quy đồng tử số phân số 2/3; 1/2; 40/100 Ta có: 1/2 = 2/4; 40/100 = 2/5
(10)Dựa sơ đồ dễ dàng tìm số học sinh khối (khối ba có 198 HS; khối bốn có 264 HS; khối năm có 330 HS)
Cần lưu ý phân số 2/3; 2/4; 2/5 giảm lần để đưa 1/3 số HS khối ba 1/4 số HS khối bốn 1/5 số HS khối năm (trở thành toán bản)
+ Ví dụ Tìm hai số, biết 3/4 số thứ 6/11 số thứ hai; số thứ hai lớn
hơn số thứ 1935 dơn vị
Quy đồng tử số phân số 3/4 6/11 Ta có 3/4 = 6/8
Như 6/8 số thứ 6/11 số thứ hai; hay 1/8 số thứ 1/11 số thứ hai
Dựa sơ đồ tìm số (số thứ 5160; số thứ hai 7095)
Từ ví dụ cho thấy việc quy đồng tử số làm việc xác định tỉ số hai số dễ dàng, thuận tiện
PGS.TS Đỗ Trung Hiệu
MỘT DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ
Khi học phân số em làm quen với nhiều tốn có lời văn mà giải phải chuyển chúng dạng toán điển hình Trong viết tơi xin trao đổi dạng tốn thơng qua số ví dụ sau :
Ví dụ : Tìm phân số biết nhân tử số phân số với 2, giữ ngun mẫu số ta phân số phân số ban đầu 7/36
Phân tích : Ta biết nhân phân số với số tự nhiên ta việc nhân tử phân số với số
tự nhiên giữ nguyên mẫu số Vậy nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức ta gấp phân số lên lần Bài tốn chuyển tốn tìm hai số biết hiệu tỉ
(11)Phân số ban đầu :
Ví dụ : Tìm phân số biết ta chia mẫu số phân số cho 3, giữ nguyên tử số giá trị phân số tăng lên 14/9
Phân tích : Phân số phép chia mà tử số số bị chia, mẫu số số chia Khi chia mẫu số
cho 3, giữ nguyên tử số tức ta giảm số chia lần nên thương gấp lên lần hay giá trị phân số gấp lên lần Do phân số gấp lần phân số ban đầu Bài tốn chuyển dạng tìm hai số biết hiệu tỉ
Bài giải : Khi chia mẫu phân số cho 3, giữ nguyên tử số ta phân số nên phân số gấp lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :
Phân số ban đầu :
Ví dụ : An nghĩ phân số An nhân tử số phân số với 2, đồng thời chia mẫu số phân số cho An phân số Biết tổng phân số phân số ban đầu 35/9 Tìm phân số An nghĩ
Phân tích : Khi nhân tử số phân số với 2, giữ ngun mẫu số phân số gấp lên lần
Khi chia mẫu số phân số cho 3, giữ nguyên tử số phân số gấp lên lần Vậy nhân tử số phân số với đồng thời chia mẫu số phân số cho phân số gấp lên x = (lần) Bài toán chuyển dạng tốn điển hình tìm số biết tổng tỉ
(12)Phân số ban đầu :
Từ ví dụ ta rút nhận xét sau : Một phân số :
- Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số lần giữ nguyên mẫu số phân số tăng (hoặc giảm) nhiêu lần
- Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số lần giữ ngun tử số phân số tăng (hoặc giảm) nhiêu lần
Các bạn thử sức số tốn sau :
Bài : Tìm phân số biết tăng tử số lên lần, đồng thời tăng mẫu số lên lần giá trị phân số tăng 12/11
Bài : Tốn nghĩ phân số sau Tốn chia tử số phân số cho nhân mẫu số của phân số với Tốn thấy giá trị phân số giảm 15/8 Tìm phân số mà Toán nghĩ
Bài : Từ phân số ban đầu, Học nhân tử số với phân số thứ nhất, chia mẫu số cho phân số thứ hai, chia tử số cho đồng thời nhân mẫu số với phân số thứ ba Học thấy tổng ba phân số 25/8 Đố bạn tìm phân số ban đầu Học
Ngô Văn Nghi
(Giáo viên trường TH Nam Đào, thị trấn Nam Giang, Nam Trực, Nam Định)
V SO SÁNH PHÂN SỐ
1 KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1 So sánh phân số cách quy đồng mẫu số, quy đồng tử số a) Quy đồng mẫu số
(13)Bước 2: So sánh phân số vừa quy đồng
Ví dụ: So sánh 2
+) Ta có:
3
3
6
2
+) Vì 6
nên
b) Quy đồng tử số
Bước 1: Quy đồng tử số
Bước 2: So sánh phân số quy đồng tử số
Ví dụ: So sánh hai phân số 5
cách quy đồng tử số +) Ta có :
15
3
8
2
+) Vì 15
6
nên
2 So sánh phân số cách so sánh phần bù với đơn vị phân số - Phần bù với đơn vị phân số hiệu phân số
- Trong hai phân số, phân số có phần bù lớn phân số nhỏ ngược lại
Ví dụ: So sánh phân số sau cách thuận tiện nhất.
2001 2000
2002 2001
Bước 1: (Tìm phần bù)
Ta có : 2001 2001 2000
1
1- 2002
1 2002 2001
(14)Vì 2002 2001
1
nên 2002
2001 2001
2000
* Chú ý: Đặt A = Mẫu - tử B = mẫu - tử
Cách so sánh phần bù dùng A = B Nếu trường hợp A B ta sử dụng tính chất phân số để biến đổi đưa phân số có hiệu mẫu số tử số hai phân số nhau:
Ví dụ: 2001 2000
và 2003 2001
+) Ta có: 4002
4000
2001 2000 2001
2000
- 4002 4002 4000
1- 2003 2003 2001
+)Vì 2003
2 4002
2
nên 2003 2001 4002
4000
hay 2003 2001 2001
2000
3 So sánh phân số cách so sánh phần với đơn vị phân số: - Phần với đơn vị phân số hiệu phân số
- Trong hai phân số, phân số có phần lớn phân số lớn
Ví dụ: So sánh: 2000 2001
2001 2002
Bước 1: Tìm phần hơn
Ta có: 2000
1 2000 2001
2001 1 2001 2002
Bươc 2: So sánh phần đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì 2001
1 2000
1
nên 2001 2002 2000
2001
(15)Cách so sánh phần dùng C = D Nếu trường hợp C D ta sử dụng tính chất phân số để biến đổi đưa hai phân số có hiệu tử số mẫu số hai phân số
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2000 2001
2001 2003
Bước1: Ta có: 4000
4002 2000 2001 2000 2001 2001 2001 2003 4000 4000 4002
Bước 2: Vì 2001
2 4000
2
nên 2001 2003 4000
4002
hay 2001 2003 2000
2001
4 So sánh phân số cách so sánh hai phân số với phân số trung gian
Ví dụ 1: So sánh 5
Bước 1: Ta có:
Bước 2: Vì
4
nên
Ví dụ 2: So sánh 60 19
90 31
Bước 1: Ta có:
90 30 90 31 60 20 60 19
Bước 2: Vì 90
31 60 19
nên 90 31 60 19
Ví dụ 3: So sánh 100 101
101 100
Vì 101
100 100 101
nên 101 100 100 101
(16)Ví dụ 4: So sánh hai phân số cách nhanh nhất.
57 40
55 41
Bài giải
+) Ta chọn phân số trung gian : 55 40
+) Ta có: 55 41 55 40 57 40
+) Vậy 55 41 57 40
* Cách chọn phân số trung gian :
- Trong số trường hợp đơn giản, chọn phân số trung gian phân số dễ tìm
được như: 1, 3, ,
(ví dụ 1, 2, 3) cách tìm thương mẫu số tử số phân số chọn số tự nhiên nằm hai thương vừa tìm Số tự nhiên mẫu số phân số trung gian cịn tử số phân số trung gian
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số b a
d c
(a, b, c, d khác 0)
- Nếu a > c b < d (hoặc a < c cịn b > d) ta chọn phân số trung gian d a
(hoặc b c
)
- Trong trường hợp hiệu tử số phân số thứ với tử số phân số thứ hai hiệu mẫu số phân số thứ với mẫu số phân số thứ hai có mối quan hệ với tỉ số
(ví dụ: gấp 3lần,…hay 5, , ,
) ta nhân tử số mẫu số hai phân số lên số lần cho hiệu hai tử số hiệu hai mẫu số hai phân số nhỏ Sau ta tiến hành chọn phân số trung gian
Ví dụ: So sánh hai phân số 23 15
(17)Bước 1: Ta có: 115 75 23
5 15 23 15
Ta so sánh 117 70
với 115 75
Bước 2: Chọn phân số trung gian là: 115 70
Bước 3: Vì 115
75 115
70 117
70
nên 115 75 117
70
hay 23 15 117
70
5 Đưa hai phân số dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực phép chia tử số cho mẫu số hai phân số ta thương ta đưa hai phân số cần so sánh dạng hỗn số, so sánh hai phần phân số hai hỗn số
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15 47
21 65
Ta có: 21
2 21 65 15
2 15 47
Vì 21 15
2
nên 21
2 15
2
3
hay 21 65 15 47
- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta hai thương khác nhau, ta đưa hai phân số hỗn số để so sánh
Ví dụ: So sánh 11 41
10 23
Ta có:
10
3 10 23 11
8 11 41
Vì > nên 10 11
8
hay 11 41
> 10 23
(18)Ví dụ: So sánh 15 47
21 65
+) Ta có: 15 47
x =
2 65 21 65
2 47
+) Vì
nên
2 9
hay 15 47
> 21 65
6 Thực phép chia hai phân số để so sánh
- Khi chia phân số thứ cho phân số thứ hai, thương tìm hai phân số nhau; thương tìm lớn phân số thứ lớn phân số thứ hai; thương tìm nhỏ phân số thứ nhỏ phân số thứ hai
Ví dụ: So sánh 9
10
Ta có:
: 10
= 63 50
Vậy
< 10
BÀI TẬP
Bài 1: Rút gọn phân số sau thành phân số tối giản:
9970 7976 ; 4284 3672 ; 1281
549 ; 1185
474 ; 891 297
Bài 2: Quy đồng mẫu số phân số sau:
a) ;
b) 18 13 ; 32 26
c) 49
43 ; 27
5 ; 16 13
d) 60
56 ; 36 28 ; 65 45
Bài 3: Quy đồng mẫu số phân số sau:
a) 60 23 ; 15
8
b) 18 11 ; 24 13
c) 80 17 ; 16 11
d)
2 ; ;
(19)a) ; 13 12
b) 19
21 ; 31 27 ; 15 16
Bài 5:
a)Viết số thập phân dạng tỉ số phần trăm: 0,15 ; 3,1 ; 0,8 ; 3,5 b)Viết tỉ số phần trăm dạng số thập phân: 25% ; 1.3% ; 10% ; 85%
c)Viết phân số sau dạng tỉ số phần trăm: 16 ; ; ;
Bài 6: So sánh phân số sau cách hợp lí nhất:
a) 11
và23 17
d) 43 34
42 35
b) 48 12
47 13
e) 48 23
và 92 47
c) 30 25
49 25
g) 395 415
581 572
Bài 7: So sánh phân số sau cách hợp lí nhất:
a) 17 12
15
d) 1999 1998
2000 1999
b) 2001 1999
11 12
e) 1
a 1 a
c) 27 13
và 41 27
g) 47 23
45 24
Bài 8: So sánh phân số sau cách hợp lí nhất:
a) 25 15
e)
49 17
b) 60 13
100 27
g) 47 43
35 29
c) 1995 1993
998 997
h) 49 43
(20)d) 15 47
35 29
i) 27 16
29 15
Bài 9: So sánh phân số sau cách hợp lí nhất:
a) 15 13
và 25 23
d) 15 13
153 133
b) 28 23
27 24
e) 15 13
1555 1333
c) 25 12
và 49 25
Bài 10:
a) Sắp xếp phân số theo thứ tự giảm dần: 10 ; ; ; ; ; ; ; ;
b) Sắp xếp phân số theo thứ tự tăng dần: 253 152 ; 11 26 ; 10 10 ; 253 215 ; 15 26
c) Sắp xếp phân số theo thứ tự tăng dần: ; ; ; ;
d) Sắp xếp phân số theo thứ tự từ lớn đén bé: 29 19 ; 81 60 ; 25 21
e) Sắp xếp phân số theo thứ tự từ lớn đén bé: 1999 2004 ; 15 12 ; ; ; 14 ; 15
Bài 11: Tìm phân số nhỏ phân số sau:
a) 1982
1984 ; 30 31 ; 1981 1983 ; 60 19 ; 1980 1985
b) 175
175 ; 60 21 ; 37 39 ; 45 14 ; 189 196
Bài 12: Viết phân số sau dạng phân số thập phân xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
50 19 ; 1000 600 ; 25 ; 10 ; 20 11
(21)123 231 ; 47 13 ; 100 135 ; 18 77 ; 49 12 Bài 14:
a) Tìm phân số tối giản nằm
b) Hãy viết phân số khác nằm hai phân số:
5
1997 1995
1996 1995
Bài 15: Hãy tìm phân số có tử số chia hết cho nằm hai phân số:
a 1001 999
1003 1001
b 10
13 11
Bài 16: So sánh phân số sau với 1
a) 33 35 34 34
b) 1995 1995 1999 1999
c) 198619861986 198619861986 87 1987198719 85 1985198519
Bài 17: So sánh
49 35 28 20 14 10 35 21 20 12 10
với 708 308
Bài 18: So sánh A B, biết:
A = 13 15 17 39 45 51 65 75 85 117 135 153 135 117 99 75 65 55 45 39 33 15 13 11
B = 1717 1111
Bài 19: So sánh phân số sau (n số tự nhiên)
4 ; ) ; ) n n n n b n n n n a
(22)7 ; ) ; ) a a a a b a a a a a
Bài 21: Tổng S =
1
có phải số tự nhiên khơng? Vì sao?
Bài 22: So sánh 90
1 89 33 32 31
với
Bài 23: Hãy chứng tỏ rằng:
1 80 79 43 42 41 12
Bài 24: So sánh A B biết:
246813579 2006 987654321 2007 246813579 2007 987654321 2006
. B
A
Bài 25: So sánh M N, biết:
2005 2004 2004 2003 2005 2004 2004 2003 N M
Bài 26: So sánh A B, biết:
00 1998199820 1997 1997 1997 1231 1231 1231 1231 99 9999999999 21 4321432143 B A
Bài 27: Cho phân số:
M = 11 12 13 19
(23)