Các dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian - Giáo viên Việt Nam

Vấn đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.. Tính tỉ số.. a) Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.. Viết phương trình.. tổng quát của mặt phẳng đó.. b) Chứng tỏ rằng tồn[r]

Vấn đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. TỌA ĐỘ CỦAVÉCTƠ, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho a   (1; 2;1), b  ( 2;1;1) 

, c 3i 2j k 

 



Tìm tọa độ véctơ sau:

a)u3a 2b b)v c 3b c)w  a b 2c d)

3 2 x a  b c

   

Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho a   (1; 1;0), b  ( 1;1; 2) 

, c i  2j k 

 



, d i  a) xác định k để véctơ u(2; 2k1;0) phương với a

b) xác định số thực m, n, p để d ma nb pc   

c) Tính a b a, , 2b    

Bài 3: Cho 2; 5; , A  B3;7; ,  C x y ; ; 6

a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng yOz Tính độ dài đoạn AB c) Xác định tọa độ điểm M mp Oxy cho MA MB nhỏ nhất.

Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho

1 (1; 2; )

4 a  

, b  ( 2;1;1) 

, c3i 2j4k 

 



a) Tính tích vơ hướng a b  , c b  Trong ba véctơ có cặp véctơ vng góc

b) Tính Cos(a,b)  

,Cos(a,i)  

Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A1; 1;1 ,   B2; 3;2 ,   C4; 2;2 ,   D3;0;1 , 1;2;3 E  a) Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật Tính diện tích

b) Tính cos góc tam giác ABC

c) Tìm đường thẳng Oy điểm cách hai điểm AB d) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA MB  2MC0

   

Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A1; 1;1 ,   B2; 3;2 ,   C4; 2;2   a) Tìm tọa độ trung điểm đoạn AB

Vấn đề 2: TÍCH CĨ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, tính tích có hướng u v,   

biết rằng: a)u  (1; 2;1)



, v  ( 2;1;1) 

b)u  ( 1;3;1) 

, v (0;1;1) 

c)u4 i j, v i   2j k 

Bài 2: Trong không gian Oxyz, tính tích u v, w    

biết rằng: a) u  (1; 2;1)



, v (0;1;0) 

, w (1;2; 1)  

b) u   ( 1; 1;1)



, v (0;0;2) 

, w (1; 2; 1)   

c) u4i j  ,  v i  2j k , w (5;1; 1) 



Bài 3: Trong không gian Oxyz, Cho A1; 1;1 ,  B2; 3;2 ,   C4; 2;2 ,   D1;2;3 a) Chứng tỏ A,B,C không thẳng hàng

b) Chứng tỏ bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng c) Tính diện tích tam giác ABC

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.Biết

Bài 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có:

2; 1;1 , 2; 3;2 ,    4; 2;2 , 1;2; ,  

A  B  C  D  S0;0;7

a) Tính diện tích tam giác SAB b) Tính diện tích tứ giác ABCD

c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD Từ suy khoảng cách từ S đến mp(ABCD)

d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết rằng:

1;2; ,   1;1;3 ,   1; 1;2 ’ 2; 2; 3  

A  B  C   và D  

a) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại b) Tính thể tích hình hộp

c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC Tính tỉ số

' ' ' ' ' ' '

ABCD A B C D

A A B C

V V d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU

a) (x 2)2(y1)2(z 2)2 9 b)

2 2 4 5 3 25 0

4 x y z  x y z 

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A1;3; ,   B5; 1;1  a) Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB b) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

c) Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho A1;1;1 , 1;2;1 ,  B  C1;1;2 ,  D2;2;1 a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D

b) Tìm hình chiếu tâm mặt cầu câu a) lên mp Oxy Oyz,

Bài 4: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu qua điểm: A1;2; , 

1; 3;1 ,  2;2;3

B  C có tâm nằm mp Oxy

Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho A2; 1;6 ,   B3; 1; ,    C5; 1;0 ,   D1;2;1 a) Chứng tỏ ABCD tứ diện

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện đường tròn có bán kính lớn

Bài 6: Chứng tỏ phương trình: x2y2z24mx 2my4z m 24m0 ln ln phương trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ

Bài 7: Chứng tỏ phương trình: x2y2 z22 os c  x 2sin  y4z 4sin 2 0 phương trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu lớn

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6) a) Viết phương trình mp qua A nhận vectơ n (1; 1;5)



làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mp qua A biết hai véctơ có giá song song hoặt nằm mp a(1;2; 1), (2; 1;3) b 

c) Viết phương trình mp qua C vng góc với đường thẳng AB d) Viết phương trình mp trung trực đoạn AC

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a) Viết phương trình mp qua I(2;1;1) song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp qua A song song với mp  P : 2x y  3z 0 c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng

 Q : 2x y 2z 0

d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với trục Oy vng góc với mặt phẳng  R : 3x y  3z 0

e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

Bài 3: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp qua M(2;1;4) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho: OA = OB = OC

Bài 4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp qua M(2;2;2) cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ

Bài 5: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mp qua M(1;1;1) cắt tia Ox, Oy, Oz lần lược điểm A, B, C cho tam giác ABC cân A, đồng thời M trọng tâm tam giác ABC

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, biết rằng: A2; 1;6 ,   B3; 1; ,  

5; 1;0 ,  1;2;1 

C  D

a) Viết phương trình mp chứa A song song với mp (ABC) b) Viết phương trình mp cách bốn đỉnh tứ diện

Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2x y 2z 0 hai điểm A2; 1;6 , 

 3; 1; 

B   

a) Tính khoảng cách từ A đến mp (P)

b) Viết phương trình mp chứa hai điểm A,B tạo với mp (P ) góc có số đo lớn

c) Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng:

  : 2x y  2z1 0;   :x 2y z 1 0;   : 2 x y 2z 0 a) Trong ba mặt phẳng mp song song với mp nào?

b) Tìm quỹ tích điểm cách   và  c) Tính khoảng cách hai mp   và 

d) Tìm quỹ tích điểm cách   khoảng

Bài 9: Trong kh.gian Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y  2z 1 0;  :x 2y z  1 a) Tính cosin góc hai mp

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với hai mp

c) Viết phương trình mp qua giao tuyến hai mp song song với trục Ox

Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 0 mặt cầu (C ): (x1)2(y1)2(z 2)2 25

a) Chứng tỏ mặt phẳng (P) mặt cầu (C ) cắt Tìm bán kính đường trịn giao tuyến

b) Lập phương trình tiếp diện mặt cầu song song với mặt phẳng (P)

Bài 11: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 2x 2y z  0 mặt cầu (C)(x1)2(y1)2(z 2)2 25

a) Lập phương trình tiếp diện mặt cầu song song với Ox vng góc với mặt phẳng  

b) Tính góc giưa mp  với Ox

c) Lập phương trình mp qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) hợp với mặt phẳng

  một góc 600

Bài 13: Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A1;1;2 , 1;2;1 ,  B  C2;1;1 ,  D1;1; 1  a) Viết phương trình mặt phẳng ABC

b) Tính góc cosin hai mặt phẳng (ABC) (ABD)

Bài 14: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2;1;-1) qua giao tuyến hai mặt phẳng x y z   3 và x y z   0

Bài 15: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mpx2z  và x y z   3 đồng thời song song với mặt phẳng x y z  0

Bài 16: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mp qua giao tuyến hai mặt phẳng 3x y z    và x4y 0 đồng thời vng góc với mp 2x y  7

Bài 17: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi I, J, K trung điểm cạnh BB’, C’D’và D’A’

a) Chứng tỏ mặt phẳng (IJK) vng góc với mặt phẳng (CC’K) b) Tính góc hai mặt phẳng (JAC) (IAC’)

c) Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)

2 ;

AB SA  a AD a Đặt hệ trục Oxyz cho tia Ox, Oy, Oz trùng với

các tia AB, AD, AS

a) Từ điểm C vẽ tia CE hướng với tia AS Tìm tọa độ E b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

c) Chứng tỏ mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) d) Tính cosin góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC)

e) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Bài 19: Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC cạnh a; I trung điểm BC

D điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Dựng đoạn SD = a

vng góc với mp (ABC) Chứng minh rằng:

a) mp SAB( )mp SAC( ) b) mp SBC( )mp SAD( )

c) Tính thể tích hình chóp S.ABC

Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng: a) Đi qua A(1; 2; -1) có vectơ phương a   (1; 2;1)

b) Đi qua hai điểm I(-1; 2; 1), J(1; -4; 3)

c) Đi qua A song song với đường thẳng

1

2

x y z

 



d) Đi qua M(1; 2; 4) vuông góc với mặt phẳng 3x y z  1 0

Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, tìm phương trình tắc đường thẳng:

a) Qua điểmA3; 1;2  song song với đường thẳng

1

x t

y t

z t    

     

b) Qua A3; 1;2  song song với hai mặt phẳng x2z 0;  x y z   3 c) Qua điểm M(1;1;4) vng góc với hai đường thẳng:

(d1):

1

x t

y t

z t    

    

 (d

2):

1

2

x y z

 



b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(1;5;-2) vng góc với hai đường thẳng AB, CD

Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng (d):

1

2

x y z

 

 lên mặt phẳng tọa độ

Bài 5: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình hình chiếu (vng góc) đường

thẳng (d): x t y t z t         

 lên mặt phẳng  P x y z:    3

Bài 6: Trong không gian Oxyz, viết phương trình giao tuyến hai mặt phẳng

  : 2x y  2z1 0,   :x 2y z 1 0

Vấn đề 6: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH

Bài 7: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng:

a) (d)

1

2

x y z

 

(d’)

6

3

x y z

 



b) (d)

1

2

x y z

 

 (d’)

8

2

x y z

 



c) (d)

2

4

x y z

 

  (d’)

7

6 12

x y z

  d) (d) x t y t z t         

 và (d’) giao tuyến hai mặt phẳng:

  : 2x 3y 3z 0,   :x 2y z  3

Bài 8: Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Tìm tọa độ giao điểm của chúng có:

a) (d)

12

4

x y z

 

  : 3x5y z  0

b) (d)

1

2

x y z

 

  : 3x 3y2z 0

c) (d)

9

8

x y z

 

Bài 9: Tính góc cặp đường thẳng:

a) (d)

1

2

x y z

 

(d’)

6

3

x y z

 



b) (d)

1

2

x y z

 

 (d’)

8

2

x y z

 



c) (d)

2

4

x y z

 

  (d’)

7

6 12

x y z

 

Bài 10: Tính khoảng cách cặp đường thẳng (nếu chúng chéo hoặc song song nhau)

Bài 11: Tính góc đường thẳng mặt phẳng:

a) (d)

12

4

x y z

 

  : 3x5y z  0

b) (d)

1

2

x y z

 

  : 3x 3y2z 0

c) (d)

9

8

x y z

 

  :x2y 4z 1

Bài 12: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến đường thẳng:

a) (d1):

12

4

x y z

 

b) (d2):

1 x t y t z t          

c) (d3) giao tuyến mặt phẳng   : 2x 3y 3z 0,   :x 2y z  3

Bài 13: Cho đường thẳng (d)

1

1

x y z

 

  :x2y 4z 1 a) Tìm giao điểm (d)  

b) Viết phương trình mp chứa (d) hợp với   góc có số đo lớn c) Viết phương trình mp chứa (d) hợp với   góc có số đo nhỏ

Bài 14: Trong khơng gian cho bốn đường thẳng

(d1):

1

1 2

x y z

 

 , (d2):

2

2 4

x y z

 



(d3):

1

2 1

x y z 

 

, (d4) :

2

2

x y z

 



a) Chứng tỏ (d1) (d2) nằm mặt phẳng Viết phương trình

b) Chứng tỏ tồn đường thẳng (d) cắt bốn đường thẳng cho c) Tính cơsin góc (d1) (d3)

Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2) mp   :x y z   0 a) Tính cosin góc hai đường thẳng AB BC

b) Tìm mp   điểm cách điểm A, B, C

c) Tìm phương trình hình chiếu đường thẳng AB lên mp 

Bài 16: Cho tứ diện ABCD, biết rằng: A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1) a) Tính góc hai đường thẳng AC BD

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD c) Tìm tọa độ hình chiếu H A lên mp (BDC)

d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB e)T ính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (BCD)

Bài 17: Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M(2;-1;1) qua mp  :x y z   0

Bài 18: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A(2;-1;5) quađường thẳng

1

1

x y z

 

Bài 19: Cho A(3;1;0), B(1;-2;5) mp  :x y z   0 Tìm điểm M mp   cho MA MB nhỏ nhất.

Bài 20: Cho hai điểm A(2;1;1), B(1;2;-1) mp  : 2x y z   4 Tìm điểm M mp  cho MA MB lớn

Bài 21: Cho hai điểm A(2;1;1), B(1;2;-1) mp  : 2x y z   4 Tìm điểm M

mp   cho MA MB                            

nhỏ

Bài 22: Cho hai điểm A(3;1;0) , B(1;-2;5) mp  :x y z   0 Tìm điểm M mp   cho MA2MB2 nhỏ nhất.

Bài 23: Cho ba điểm A(3;1;0), B(1;-2;5), C(-1;-2;-3) mp  :x y z   0 Tìm điểm M mp   cho MA2 MB2MC2 nhỏ nhất.

Bài 25: Cho ba đường thẳng (d1):

1 2

1

x y z

 

, (d2):

3 x t y t z t         

 (d3) giao tuyến

của hai mặt phẳng   : 2x y 4z 0,   : 2x y z   1

Viết phương trình song song với (d1) cắt hai đường thẳng (d2) (d3)

Bài 26: Cho hai đường thẳng (d1):

1 x t y t z t         

 và (d2) giao tuyến hai mặt phẳng

  : 2x y z  1 0,   :x2z 0

Viết phương trình đường thẳng qua A(1;-1;1) cắt hai đường thẳng (d1), (d2)

Bài 27: Viết phương trình đường thẳng nằm mp  P :y2z 0 cắt hai

đường thẳng (d1):

1 x t y t z t        

 ; (d2): x t y t z          

Bài 28: Cho hai đường thẳng (d):

1

2

x y z

 

(d’):

2

1

x y z

 

 a) Chứng tỏ (d) (d’ ) chéo Tính khoảng cách chúng b) Viết phương trình đường vng góc chung chúng

c) Tính góc (d1) (d2)

Bài 29: Cho hai đường thẳng (d):

1

1

x y z

  (d’): x t y t z t          

a) Chứng tỏ (d) (d’ ) chéo Tính khoảng cách chúng b) Viết phương trình đường vng góc chung chúng

c) Tính góc (d1) (d2)

Bài 30: Cho hai đường thẳng (d1):

1 x t y t z t         

 (d2) giao tuyến hai mặt phẳng

  :x y z   2 0,  :x 1

Viết phương trình đường thẳng qua A(0;1;1) vng góc với đường thẳng (d1) cắt (d2)

Bài 31: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng

  :x4y1 0,   :x z 0