Chuyên đề hàm số lớp 12 - Thủ thuật công phá - Giáo viên Việt Nam

Phương pháp tự luận: Vì yêu cầu đề bài không có đoạn [a; b] nên ta sẽ tìm tập xác định của hàm số trước rồi tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định: Bước 1.B. Trong cá[r]

(1)

SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Kiến Thức Cần Nhớ

Cho hàm số y = f (x)có tập xác định làD đó: • Nếu f0(x) > 0,∀x ∈ D f (x)đồng biến D • Nếu f0(x) < 0,∀x ∈ D f (x)nghịch biến D • Nếu f (x)đồng biến D f0(x) ≥ 0,∀x ∈ D • Nếu f (x)nghịch biến D f0(x) ≤ 0,∀x ∈ D Ta nói chung D khoảng đơn điệu hàm số

1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số

Phương Pháp Giải

Bài toán: Cho hàm số y = f (x)tìm khoảng đơn điệu hàm số Quy trình bấm máy sau:

Bước Nhấn tổ hợp phím q Y

Bước Nhập hàm số y = f (x)vào máy tính ta cho x = X Bước Nhấn phím r

Bước Thử đáp án kết số dương hàm số y = f (x) đồng biến khoảng đó, ngược lại kết âm hàm số y = f (x)nghịch biến khoảng

Phương pháp làm tự luận:

Bước Tìm tập xác định hàm số

Bước Tính y0, giải phương trình y0= 0 tìm điểm mà y0 không xác định giả sử phần tử làxi

Bước Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Bước Nêu kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số.

Ví dụ (THPT Chu Văn An, Đắk Nơng) Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = 2x2− x4

A.(−1;0) B.(−1;0)và(1; +∞) C.(−1;1) D.(−∞;−1) và(0; 1) Lời giải.Chọn đáp án B

(2)

Bước Nhập hàm y = 2x2− x4 vào phím chức Q cho x = X

Bước Nhấn phím r máy tính hỏi X ta thử X thuộc đáp án

Bước Thử đáp án:

Đáp án A khoảng (−1;0)ta chọn X = −0,5nhập vào máy tính cách nhấn p sau nhấn = kết −3

2 < ⇒ hàm số nghịch biến khoảng này, đáp án ta cần kiểm tra tất đáp án để thu đáp án xác đầy đủ

Đáp án B khoảng (−1;0) (1; +∞) khoảng (−1;0) đã thử đáp án A nên ta cần thử khoảng (1; +∞), khoảng ta chọn X = 10 cách tiếp tục nhấn r nhập X = 10vào nhấn = kết −3960 < ⇒ hàm số nghịch biến khoảng này, đáp án đầy đủ xác đáp án B.

Để cho chắn ta thử hai đáp án lại ta để ý đáp án C, D có khoảng (0; 1) ta thử với X = 0,5 cách tiếp tục nhấn r = kết

2> ⇒Hàm số không nghịch biến đáp án cuối cùng đáp án B.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu (THPT Ngơ Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II) Hàm số y = x3− x2− x+3nghịch biến khoảng

A. µ

−∞; −1 ¶

B.(1; +∞)

C.

1 3;

ả

D.

à

; ả

và(1; +∞)

Câu (THPT Quốc Oai, Hà Nội) Cho hàm số y = x4− 2x2+ Khẳng định đúng?

(3)

A Hàm số đồng biến khoảng(−1;0)và(1; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng(−∞;−1)và (1; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng(−1;0)và(1; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng(−1;1)

Câu (THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 3) Hàm số y = 2x3− 6x nghịch biến khoảng khoảng sau?

A.(−∞;−1) B.(1; +∞) C. (−1;1) D.(−1;+∞) Câu (chuyên Hoàng Văn Thụ, Hồ Bình) Hàm số y =1

3x

3− x2+ xđồng biến trên

A.R B.(−∞;1)và(1; +∞) C.(−∞;1) ∪ (1;+∞) D.R\{1} Câu (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3) Cho hàm số f (x) = x

3

3 − x2

2 −6x+

4.Mệnh đề đúng?

A Hàm số đồng biến khoảng(−2;3) B Hàm số nghịch biến khoảng(−2;3) C Hàm số đồng biến khoảng(−2;+∞) D Hàm số nghịch biến khoảng(−∞;−2)

Đáp án

1 - C 2 - A 3 - C 4 - A 5 - B

2 Tìm m để hàm số đơn điệu

2.1 Hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TAY

Bài tốn: Tìm tất giá trị thực tham sốm để hàm số y = f (x, m) = ax3+ bx2+ cx + d đồng biến (hoặc nghịch biến) tậpD

TH1 Nếu D = Rthì:

• Hàm số đồng biến trênR ⇔  



b2− 3ac ≤ 0 a >

• Hàm số nghịch biến trênR ⇔  



b2− 3ac ≤ 0 a <

TH2 Nếu tập D khoảng hay đoạn ta nên sử dụng máy tính phương pháp lập mtức làm sau:

Bước Tính đạo hàm f0(x, m) (hay tính y0) Ở ta xét trường hợp hàm số đồng biến D (trường hợp nghịch biến làm tương tự f0(x, m) ≤ 0) tức f0(x, m) ≥ 0, ∀x ∈ D dấu=chỉ xảy hữu hạn điểm

(4)

phần tử không chứa tham sốmở vế)

Bước Sử dụng nhận xét:   

 

h(m) ≤ g(x)∀x ∈ D ⇔ h(m) ≤

D g(x)

h(m) ≥ g(x)∀x ∈ D ⇔ h(m) ≥ max

D g(x)

Từ ta

thu giá trị tham sốmcần tìm

Ví dụ (TRƯỜNG THPT ĐƠNG ANH) Tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y =1

3x

3+ mx2+ 9x − 2m + 1đồng biến khoảng

(−∞;+∞)là

A.(−3;3) B.[−3;3] C.[3; +∞) D.(−∞;3) Lời giải.Chọn đáp án B

Hàm số đồng biến khoảng (−∞;+∞) làR Như tốn rơi vào trường hợp

thứ áp dụng vào           

a =1 b = m

c =

⇒  



b2− 3ac ≤ 0 a > ⇔

      

m2− 3.1 3.9 ≤

a =1 3>

⇒ m2− ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤

Ví dụ (THPT CHUN THÁI BÌNH 2016-2017-LẦN 5) Tìm giá trị củamđể hàm số y = −x

3

3 − mx

2− mx + 1nghịch biến trên R.

A. 

 m ≤

m ≥

B.



 m <

m >

C.0 ≤ m ≤ D.0 < m <

Lời giải.Chọn đáp án C

Bài toán rơi vào trường hợp thứ hai nên  



b2− 3ac ≤ 0 a < ⇔

      

(−m)2− µ

−1 ¶

.(−m) ≤

a = −1 3< ⇒ m2− m ≤ ⇔ ≤ m ≤

Ví dụ (Sở GD ĐT Gia Lai) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3+ (1 − 2m)x2+ (2 − m)x + m + 2đồng biến khoảng (0; +∞)

A.m ≤5

4 B.−1 ≤ m ≤ C. m >

4 D.−1 < m < Lời giải.Chọn đáp án A

Bài toán rơi vào trường hợp thứ hai

Bước Ta có y0= 3x2+ 2(1 − 2m)x + − m Đề yêu cầu tìm mđể hàm số đồng biến khoảng(0; +∞)nên điều kiện y0≥ 0hay3x2+ 2(1 − 2m)x + − m ≥ ∀x ∈ (0; +∞)

Bước Biến đổi bất phương trình để lập m ta 3x2+ 2(1 − 2m)x + − m ≥ ⇔ 3x2+ 2x − 4mx + − m ≥ ⇔ 4mx + m ≤ 3x2+ 2x + ⇔ m(4x + 1) ≤ 3x2+ 2x + ⇒ m ≤ 3x

2+ 2x + 2

4x + vớix ∈ (0;+∞) ⇒ m ≤ min

(0;+∞)

3x2+ 2x + 4x +

Bước Xét hàm g(x) =3x

2+ 2x + 2

4x + trên(0; +∞) Có g

0(x) =12x

2+ 6x − 6

(4x + 1)2 ⇒ y0= ⇔



 

x = −1

x =1

(5)

⇒

(0;+∞)

3x2+ 2x + 4x + = g

à1

2 ả

=5

4 m

Notes

Ta sử dụng phương pháp hàm số tức tìmm cho hàm f0(x, m)là hàm bậc hai nằm phía hay phía trục hồnh

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO

Bài toán: (Ta sử dụng chức tính đạo hàm hàm số) Tìm tất giá trị thực tham sốmđể hàm số y = f (x, m) = ax3+ bx2+ cx + d đồng biến (hoặc nghịch biến) tậpD Sử dụng phương pháp loại đáp án:

Bước Nhập hàm f (x, m)vào máy ta chox = X Bước Nhấn phím r

Bước Thử đáp án xét hàm số tập D nên sau nhấn r ta gán cho X giá trị thuộc tập D nhớ quy tắc chọn chọn X không lớn chọnM ≈ X2(tức ta chọn X = 10thì chọn M = 102= 100hoặc M = −102= −100) Nếu kết dương hàm số đồng biến, kết âm hàm số nghịch biến

Notes

Ta nên quan sát đáp án trước để gán giá trị cụ thể vào biến M, cho loại đáp án nhanh Thử với nhiều giá trị củaX vàM đáp án xác

Ví dụ (TRƯỜNG THPT ĐƠNG ANH) Tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y =1

3x

3+ mx2+ 9x − 2m + 1đồng biến khoảng

(−∞;+∞)là

A.(−3;3) B.[−3;3] C.[3; +∞) D.(−∞;3) Lời giải.Chọn đáp án B

Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị

(6)

Bước Nhập hàm y = 3x

3+ mx2+ 9x − 2m + 1 vào bằng

phím chức Q cho x = X tức nhập 3X

3+ M X2+

9X − 2M +

Bước Nhấn phím r

Bước Khi nhấn nút r máy hỏi ta gán giá trị X là Ta quan sát đáp án thấy đáp án A, B khác hoàn toàn so với đáp án C, D ta gán giá trị sau: Vì hàm số đồng biến khoảng D = (−∞;+∞) nên ta chọn gán cho X = tức nhập1 = hình hiển thị gán Mbằng

Đáp án A gán M = 2 cách tiếp tục nhấn = kết 14 > thỏa mãn đáp án chọn

Đáp án B khác đáp án A hai điểm3,−3nên ta gán M = M = −3 xem có thỏa mãn khơng cách tiếp tục nhấn= = = kết là16 > như chọn đáp án loại đáp án A.

Đáp án C khác đáp án A, B nên ta gán giá trịM = 10 thay đổi giá trị X lúc ta cho X = −1bằng cách tiếp tục nhấn = p = 10 = kết là−10 < ⇒loại đáp án C.

Đáp án D ta lại gán giá trị X = 1 M = −10 kết là−10 < ⇒ loại đáp án D.

⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ (THPT CHUN THÁI BÌNH 2016-2017-LẦN 5) Tìm giá trị củamđể hàm số y = −x

3

3 − mx

2

− mx + 1nghịch biến R

A. 

 m ≤

m ≥

B.



 m <

m >

C.0 ≤ m ≤ D.0 < m <

Tương tự Thầy nói bước bản:

(7)

Bước Nhấn tổ hợp phímq Y

Bước 2+3 Nhập hàm y = −x

3

3 − mx

2− mx + 1 bằng cách

tiếp tục nhấn lần lượtp Q [ q d a $ p Q m Q [ d p Q m Q [ + $ Q [ r

Bước Thử đáp án, yêu cầu hàm số nghịch biến trênR nên trước tiên ta gán X = 1ta để ý đáp án A, C cóm = 0và m = 1vậy ta thử với hai giá trị quy trình bấm máy tiếp tục sau1 = = kết là−1 < ⇒ m = thỏa mãn hàm số nghịch biến tiếp tục nhấn= = = kết là−4vậy hai giá trị m = 0 m = 1 thỏa mãn hàm số nghịch biến ta thử đáp án:

Đáp án A, B với m ≤ ta chọn m = −10 cách nhấn tiếp tục= = p 10 = kết là29 > ⇒ hàm số đồng biến, loại đáp án A, B

Đáp án C, D ta thử với m = vàm = thỏa mãn nên ta chọn đáp án C.

Ví dụ (Sở GD ĐT Gia Lai) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3+ (1 − 2m)x2+ (2 − m)x + m + 2đồng biến khoảng(0; +∞)

A. m ≤5

4 B.−1 ≤ m ≤ C.m >

4 D.−1 < m < Lời giải.Chọn đáp án A

Tương tự em tự giải ý ta xét đồng biến khoảng (0; +∞) nên gán giá trị X thuộc khoảng

Notes

Ví dụ sau cho ta thấy việc chọnMở đáp án quan trọng! chọn không xác ta khó có kết luận

Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số mđể hàm số y = x3+ 3mx2− 4mx + 4đồng biến trênR

A.0 ≤ m ≤4

3 B.−

4

3≤ m ≤ C.0 ≤ m ≤

4 D.−

3

(8)

Lời giải.Chọn đáp án B

Bước 1+2+3 Bạn đọc tự nhập!

Bước Vì hàm số yêu cầu đồng biến tập số thực nên ta gán giá trị X tùy ý không lớn! ta gán X = Tiếp theo ta gán giá trị M quan sát đáp án ta thấy đáp án cóM = 0vậy không xét M =

∗) Hai đáp án A, C có phần chung ta chọn số M thuộc hai đáp án chọn M =3

4 ta kết là−3 ⇒loại A, C.

∗)Còn lại đáp án B, D ta thấy hai đáp án này đều có phần chung cụ thể đáp án B bao gồm cả đáp án D ta thử với đáp án B trước ta chọnM = −4

3

⇒kết là5.333 > ⇒thỏa mãn hàm số đồng biến⇒ loại đáp án D chọn đáp án B

Câu (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = −1

3x

3+ (m − 1)x2− 4x nghịch biến trênR.

A.−1 ≤ m ≤ B. m ∈ R C. m ≥ D.





m ≤ −1

m ≥ Câu (Sở GD ĐT Gia Lai) Có số nguyênmđể hàm số y =(m + 1)x −

x − m đồng biến khoảng xác định nó?

A.1 B.3 C. D.0

Câu (THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Lai Châu, lần 3) Tìm tập hợp tất giá trị tham số thựcmđể hàm số y =1

3x

3− mx2+ (2 + m)x + 1đồng biến trênR.

A.(1; 2) B.(−∞;2) C.(−∞;−1] ∪ [2;+∞) D.[−1;2]

Câu (THPT Chun Biên Hịa, Hà Nam, lần 3) Tìm tất tham số thực m để hàm số y = 2x3− 3(2m + 1)x2+ 6m(m + 1)x + 1đồng biến khoảng(2; +∞)

A.m < B. m ≤ C. m < D. m > Đáp án

1 - A 2 - C 3 - D 4 - B

2.2 Hàm bậc bậc nhất y= ax+b cx+d

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TAY

(9)

Bài tốn: Tìm tất giá trị thực tham sốmđể hàm số y = f (x, m) =ax + b cx + d thỏa mãn đồng biến nghịch biến sau:

TH1 Hàm số đồng biến tập xác định điều kiện là ad − bc > TH2 Hàm số nghịch biến tập xác định điều kiện là ad − bc <

TH3 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; x1)thì điều kiện

  

 

ad − bc >

−d c ≥ x1 TH4 Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; x1)thì điều kiện

  

 

ad − bc <

−d c ≥ x1 TH5 Hàm số đồng biến khoảng (x1; +∞)thì điều kiện

  

 

ad − bc >

−d c ≤ x1 TH6 Hàm số nghịch biến khoảng (x1; +∞)thì điều kiện

  

 

ad − bc <

−d cl eqx1

TH7 Hàm số đồng biến khoảng (x1; x2)thì điều kiện

            

ad − bc > 

  

−d c ≤ x1 −d

c ≥ x2

TH8 Hàm số nghịch biến khoảng (x1; x2)thì điều kiện

            

ad − bc < 

  

−d c ≤ x1 −d

c ≥ x2

Notes

∗) Để nhớ trường hợp ta nên hiểu có vậy: Hàm số y = ax + b

cx + d ⇒ y

0= ad − bc

(cx + d)2 mẫu y0 là(cx + d)

2 luôn dương dấu của y0 chỉ phụ

thuộc vàoad − bcdo ta có trường hợp: TH1 Hàm số đồng biến nếuad − bc > TH2 Hàm số đồng biến nếuad − bc <

∗)Phương pháp bấm máy gần tương tự hàm bậc ba xét (ở dạng nên làm tay!)

Ví dụ (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2) Tìm giá trị của mđể hàm số y = mx +

x + m nghịch biến khoảng xác định

(10)

Bài toán rơi vào trường hợp thứ2 với              

a = m

b =

c =

d = m

⇒ ad − bc < ⇔ m.m − 4.1 < ⇔ m2− < ⇔ −2 < m <

Ví dụ (Sở GD ĐT Lâm Đồng (HKII)) Tìm tất giá trị thực tham sốmđể hàm số y =mx +

x + m nghịch biến(−∞;1)

A.(−2;1] B.(−2;2) C.(−2;−1) D.[−2;2] Lời giải.Chọn đáp án A

Bài toán rơi vào trường hợp thứ với                     

a = m

b =

c =

d = m

x1= 1

⇒điều kiện   

 

ad − bc <

−d c > x1

⇒  



m2− < 0 −m

1 > ⇒

 



− < m <

m ≤ ⇒ −2 < m ≤ ⇒ m ∈ (−2; 1]

Câu (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2) Cho hàm số y = mx −

4x − m, với mlà tham số thực Tìm tất giá trị củamđể hàm số đồng bin trờn khong

à 4; +

ả

A.m ∈ [−6;6] B. m ∈ (−6;6) C. m ∈ (−6;1] D. m ∈ (−6;1) Câu (SỞ GD-ĐT LONG AN) Cho hàm số y = x −

x − m, vớimlà tham số thực Tìm tập hợp T gồm tất giá trị mđể hàm số nghịch biến trên(3; +∞)

A.T = (1;+∞) B. T = (1;3] C. T = (−∞;3) D.T = (1;3)

Câu (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4) Tìm tất giá trị của m để hàm số y =mx +

x + m nghịch biến khoảng(−∞;1)

A.−2 < m < −1 B.−2 ≤ m < C.−2 ≤ m ≤ −1 D. −2 < m ≤ −1 Câu (THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 3) Tìm tất giá trị thực của tham sốmđể hàm số y = mx −

m − x nghịch biến khoảng(−3;1)

A.m ∈ (1;2) B. m ∈ [1;2] C. m ∈ [1;2) D. m ∈ (1;2]

Câu (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2) Có giá trị nguyên của m để hàm số y = mx +

x + m + nghịch biến khoảng xác định

A.2 B.3 C.4 D.5

Đáp án

1 - C 2 - B 3 - D 4 - C 5 - B

(11)

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định lý 1. Cho hàm số y = f (x)liên tục khoảng(x0− h; x0+ h)vớih > Điều kiện cần

và đủ để hàm số đạt cực trị x0 ∗)Nếu

 



f0(x) > 0, ∀x ∈ (x0− h; x0) f0(x) < 0, ∀x ∈ (x0; x0+ h)

⇒ x0 điểm cực đại hàm số y = f (x)

∗)Nếu  



f0(x) < 0, ∀x ∈ (x0− h; x0) f0(x) > 0, ∀x ∈ (x0; x0+ h)

⇒ x0 điểm cực tiểu hàm số y = f (x)

Định lý 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai khoảng(x0− h; x0+ h) Điều

kiện đủ để hàm số đạt cực trị x0

∗)Nếu  



f0(x0) =

f00(x0) >

⇒ x0 điểm cực tiểu hàm số y = f (x)

∗)Nếu  



f0(x0) =

f00(x0) <

⇒ x0 điểm cực đại hàm số y = f (x)

Notes

∗)Đối với định lí ta hiểu đơn giản f0(x−0)và f0(x0+)trái dấu hàm đạt cực trị x0 Ở Thầy lạm dụng kí hiệu f0(x−0)ta hiểu gán x = x0− 10−8

và f0(x+0)sẽ hiểu gán x0= + 10−8 máy tính Cho hàm số y = f (x) Khi đó:

∗)Điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số kí hiệu xCĐ xCT điểm này gọi chung điểm cực trị hàm số.

∗) Các giá trị f (xCĐ) f (xCT) gọi giá trị cực đại giá trị cực tiểu của hàm số Kí hiệu là fCĐ, fCTvà gọi chung cực đại, cực tiểu hàm số

∗)Điểm M (xCĐ; f (xCĐ)), M (xCT; f (xCT))được gọi điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số.

(12)

Minh họa bảng biến thiên

Cực Đại Cực Tiểu

x

f0(x)

f (x)

a xCT b

− +

f (a) f (a)

fCT fCT

f (b) f (b)

x

f0(x)

f (x)

a xCĐ b

+ −

f (a) f (a)

fCĐ fCĐ

f (b) f (b)

Minh họa đồ thị

x y

O

fCT xCT

xCĐ fCĐ

Điểm cực tiểu đồ thị hàm số

(13)

I. Tìm cực trị hàm số

1. Phương pháp - ví dụ

Bài toán Cho hàm số y = f (x), tìm điểm cực trị hàm số Cách Sử dụng bảng biến thiên

Bước Tìm tập xác định.

Bước Tính f0(x) Tìm điểm f0(x) = 0bằng cách giải phương trìnhf0(x) = 0 điểm mà f0(x) không xác định khơng có đạo hàm

Bước Xét dấu f0(x) Nếu f0(x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi cụ thể f0(xi)đổi dấu từ dương sang âm cực đại f0(xi)đổi dấu từ âm

sang dương cực tiểu Ở bước ta sử dụng máy tính CASIO để kiểm tra cách tính f0(x−i)và f0(x+i)rồi so sánh dấu chúng

Cách Sử dụng định lí 2 Bước Tìm tập xác định.

Bước Tính f0(x)và giải phương trình f0(x) = 0kí hiệu xi (i = 1,2, )là nghiệm

Bước Tính f00(x) từ tính f00(xi) Từ dựa vào dấu f00(xi)kết luận cực trị

cụ thể f00(xi) > hàm số đạt cực tiểu xi, f00(xi) < hàm số đạt cực đại

tạixi

Notes

∗) Ta nên áp dụng cách số1cho trường hợp hàm số y = f (x)đã cho hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm chứa thức

∗)Cho hàm số y = f (x) điểm x0 thuộc tập xác định Nếu y0đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x0thì điểm điểm cực đại, y0đổi dấu từ âm sang dương qua

điểm x0 điểm điểm cực tiểu

Ví dụ (Sở GD-ĐT HCM - Cụm II) Tìm giá trị cực tiểu yCT hàm số y = x3− 3x A. yCT= −4 B. yCT= 2 C. yCT = −2 D. yCT = −1 Lời giải.Chọn đáp án C

Vì hàm y = x3− 3x không chứa hay giá trị tuyệt đối nên ta áp dụng cách hai ta làm sau:

Bước Tập xác định:D = R

Bước Tính đạo hàm y0= 3x2− 3 Giải phương trình y0= ⇔ 3x2− = ⇔ 

 x =

x = −1

Bước Tính đạo hàm cấp hai y00= 6x ⇒  



y00(1) = > 0 y00(−1) = −6 < 0⇒

 



xCT= 1

xCĐ= −1⇒  



(14)

A.(0; 2) B.(0; −4) C.(0; 4) D.(4; 0) Lời giải.Chọn đáp án C

Vì đề yêu cầu tìm tọa độ điểm cực đại đồ thị hàm số nên ta cần tìm đủ xCĐ yCĐ mà hàm số y = x4− 2x2+ 4không chứa dấu giá trị tuyệt đối hay thức, nên áp dụng cách số hai ta làm sau:

∗)Tính đạo hàm cấp y0= 4x3− 4x ⇒ y0= ⇔ 4x3− 4x = ⇔ 

   

x =

x = −1

∗)Tính đạo hàm cấp hai y00= 12x2− ⇒  



y00(0) = 12.02− = −4 < 0 y00(±1) = 12.(−1)2− = > 0⇒

 



xCĐ= 0

xCT= ±1 ⇒ yCĐ= 04− 2.02+ =

Vậy tọa độ điểm cực đại đồ thị hàm số là(0; 4)

Nhận xét: Để làm nhanh ví dụ ta nhớ hàm số trùng phương y = ax4+ bx2+ cvới a 6= 0ln có cực trị cụ thể:

∗)Nếu a > 0thì đồ thị hàm số có điểm cực đại làM(0, c) ∗)Nếu a < 0thì đồ thị hàm số có điểm cực tiểu M(0, c)

Ví dụ (Sở GD ĐT Hà Tĩnh) Tìm giá trị cực tiểu hàm số y = −x3+ 3x +

A.0 B.1 C.4 D.−1

Lời giải.Chọn đáp án A

Vì đề yêu cầu tìm giá trị cực tiểu nên ta cần tìm yCT ∗)Tính đạo hàm y0= −3x2+ ⇒ y0= ⇔ −3x2+ = ⇔



 x =

x = −1

∗)Tính đạo hàm cấp hai y00= −6x ⇒  



y00(1) = −6 < 0

y00(−1) = > 0⇒ yCT= −(−1)

3

+ 3.(−1) + =

Ví dụ (THPT Ngơ Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II).

Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục đoạn [−2;2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = f (x)là

A. x = B. M(1; −2)

C. M(−2;−4) D. x = −2

x

−1

y

3

−2

2

−2

−4

Vì đề yêu cầu tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số nên ta phải tìm xCT yCT Nhìn đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tạixCT= 1và yCT= −2 ⇒ M(1; −2).

2. Bài tập tự luyện

Câu (THPT Phù Cừ, Hưng Yên) Cho hàm số y =1 3x

3

− 2x2+ 3x −1

(15)

A.(−1;1) B. µ

3; −1 ả

C.

à 0;

3 ¶

D.(1; 1)

Câu (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)) Hàm số y =1 3x

3

+ x2− 3x + 2đạt cực tiểu

A. x = B. x = −3 C. x =1

3 D. x =

Câu (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4) Hàm số y = x3−5x2+3x+1đạt cực trị điểm sau đây?

A. x = 1, x = B. x = −3, x = −1 C. x = −1, x = D. x =1 3, x =

Câu (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Hàm số y = 3x4−4x3−6x2+12x+1có cực trị?

A.1 B.2 C.0 D.3

Câu (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục R có bảng biến thiên

x

y0

y

−∞ +∞

+ − +

−∞ −∞

3

−5 −5

+∞ +∞

Khẳng định sau đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x = 1và cực tiểu x = B Hài số đạt cực đại tại x =

C Hàm số có cực trị.

D Hàm số có giá trị cực tiểu bằng2

ĐÁP ÁN

(16)

II. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn tính chất

1. Phương pháp - ví dụ

Bài toán 1:Cho hàm số y = f (x, m) = ax3+ bx2+ cx + d, (a 6= 0) Tìm điều kiện tham số mđể hàm số thỏa mãn:

TH1: Hàm số khơng có cực trị điều kiện là b2− 3ac ≤ 0

TH2: Hàm số có hai điểm cực trị (hoặc hàm số có cực trị) điều kiện làb2−3ac > 0 Bài toán 2:Cho hàm số y = f (x, m)có đạo hàm điểmx0 Tìm điều kiện tham số m để hàm số thỏa mãn:

TH1: Hàm số có cực trị tại x0 trước tiên ta tìm mbằng cách giải f0(x0) = 0sau

thaymtìm vào phương trình f0(x, m) để tính f0(x+0)và f0(x−0)bằng cách sử dụng máy tính hai giá trị trái dấu ta kết luận đượcmlà giá trị cần tìm Có thể sử dụng điều kiện sau với hàm bậc ba

 



b2− 3ac > 0 f0(x0) =

TH2: Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện  



y0(x0) =

y00(x0) >

TH3: Hàm số đạt cực đại tại x0thì điều kiện  



y0(x0) =

y00(x0) <

Notes

∗) Nếu toán số hai mà y0(x0) = với m hai trường hợp

(trường hợp hai trường hợp ba) ta cần xét thêm trường hợp y00(x0) = Đối với trường

hợp ta cần lập bảng biến thiên sử dụng máy tính để tính đạo hàm trái đạo hàm phải tức tính f0(x−0)và f0(x+0)nếu hai giá trị trái dấu ta kết luận thêm m giá trị cần tìm Cụ thể kết phép tính f0(x−0)và f0(x+0)lần lượt dương âm x0 cực đại, kết âm dương x0 cực tiểu

Ví dụ (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = −x3+ 2x2− mx + đạt cực đại tạix =

A. m = −7 B. m = C. m = −1 D. m =

Phân tích:u cầu đề giống với tốn số hai thuộc trường hợp ba ta làm sau:

∗)Đạo hàm cấp y0= −3x2+ 4x − m ⇒ y0(1) = −3.12+ 4.1 − m = − m ⇒ y0(1) = ⇔ − m = ⇔ m =

∗)Đạo hàm cấp hai y00= −6x + ⇒ y00(1) = −6.1 + = −2 < 0 (thỏa mãn) Vậy vớim = hàm số đạt cực đại x =

(17)

A. m < B. m ≥ C. m > D. m ≤ Lời giải.Chọn đáp án A

Phân tích:Yêu cầu đề rơi vào toán thuộc trường hợp thứ hai ta làm sau: Điều kiện để hàm số có cực trị b2− 3ac > ⇔ (−3)2− 3.1.3m > ⇔ − 9m > ⇔ m < 1

Nhận xét: Một vài nhận xét cho việc giải nhanh câu hỏi:

1 Đối với hàm bậc ba y = ax3+ bx2+ cx + d vớia 6= 0 điều kiện để hàm số đạt cực trị tạix0

 



y0(x0) =

b2− 3ac > 0

2 Bài toán số hai TH2 TH3 ta sử dụng máy tính để kiểm tra điều kiện y00(x0)xem kết âm hay dương, có kết nhanh trước tiên ta

tính đạo hàm cấp y0 sau sử dụng máy tính để chọn đáp án chức năngr CASIO

3 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax3+bx2+ cx + dvớia 6= 0là y =

µ 2c

3 − 2b2

9a ¶

.x + d −bc 9a

Ví dụ (Sở GD-ĐT Yên Bái) Cho hàm số y = 3x

3−1

2¡m

2+ 1¢ x2+ (3m − 2) x + m Tìm tất cả

các giá trị thực tham sốmđể hàm số đạt cực đại x =

A. m = −1 B. m = C. m = D. m = −2

Phân tích:Sử dụng nhận xét hai trước tiên ta tính đạo hàm cấp y0= x2− (m2+ 1)x + 3m − sau dùng CASIO ta tìm đáp án sau:

Bước Nhập hàm y0= x2−(m2+1)x+3m−2vào máy tính CASIO

Bước Thử đáp án đáp án cách nhấn r đề yêu cầu hàm số đạt cực đại tạix = 1nên ta gán x = 1vào cách tiếp tục nhấn1 = tiếp tục gán giá trịmnào cho kết là0thì tạm chấp nhận

Đáp án A gán m = −1được kết quả−6 6= ⇒loại

(18)

Để khẳng định xem đáp án B có xác hay khơng ta tiếp tục tính f0(x0−)và f0(x+0)ở đề yêu cầu cực đại tạix = nên ta ý kết f0(x0−)phải dương kết f0(x+0)phải âm tính cách:

Tính f0(x−0) ta gán x = − 10−8 gán m =

cách nhấn= p ; p = =

được kết quả3.10−8>

Tính f0(x+0) ta gán x = + 10−8 gán m = cách tiếp tục nhấn = + ; p =2= kết quả−3.10−8<

Vậym = thỏa mãn mà f0(x0−)dương f0(x+0)âm ta chọn đáp án

Nhận xét: Cách làm máy tính CASIO tương tự ví dụ áp dụng hàm y = f (x, m)khác cần ý f0(x−0)và f0(x+0)trái dấu hàm đạt cực trị tạix0 Cụ thể ta gán sau

 



x−0 = x0− 10−8 x+0 = x0+ 10−8

Ví dụ (THPT Ngơ Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II) Hàm số y = x3− 3x2+ mx − có hai điểm cực trịx1, x2thỏa mãn x21+ x22= Giá trị tham số mlà

A.−3 B.−3

2 C.

3

2 D.3

Phân tích: Đối với dạng ta cần sử dụng định lí vi-ét nhớ x1, x2 nghiệm phương trình y0= 0

Cách 1: Ta sử dụng CASIO để thử đáp án.

Cách 2: Để hàm số có hai điểm cực trị thìb2− 3ac > ⇔ (−3)2− 3.1.m > ⇔ m < Có y0= 3x2− 6x + m ⇒ y0= ⇔ 3x2− 6x + m = 0 theo vi-ét ta có

  

 

x1+ x2= −b a= −

−6 = x1.x2=

c

a= m

3

Điều kiện

đề bàix21+ x22= ⇔ (x1+ x2)2− 2.x1.x2= ⇒ 22−

m

3 = ⇒ m = 2. Bài tập tự luyện

Câu (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm VII) Tìm tất giá trị tham số mđể hàm số y = x3− 2mx2+ m2x + 2đạt cực tiểu x =

A. m = B. m = C. m = ∨ m = D. m = −1

Câu (THPT Thực hành Cao Nguyên, Đắk Lắk, lần 2) Hàm số y = x3+mx+2có cực đại cực tiểu

(19)

Câu (HK2 THPT YÊN VIÊN) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3− 3mx2+ (2m + 1)x − 2đạt cực trị x =

A. m = B. m = −1 C. m = D Không tồn tạim Câu (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4) Tìm tất giá trị của m để hàm số y = x3− 3mx2+ 6mx + mcó điểm cực trị

A.0 < m < B. 

 m <

m > C.−2 < m < D. 



m < −2

m >

Câu (THPT CHUYÊN SƠN LA, LẦN 4) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3− mx + 3khơng có cực trị

A. m < B. m > C. m = D. m ≤

Câu (THPT Chuyên Thái Nguyên, lần 3) Nếux = −1là điểm cực tiểu đồ thị hàm số f (x) = −x3+ 2(2m − 1)x2− (m2+ 8)x + 2thì giá trị củamlà

A. m = −7 B. m = −1 C Khơng có m D. m = −1, m = −7 Câu (THPT Chu Văn An, Đắk Nơng) Tìm tất giá trị thực tham số msao cho hàm số y =1

3x

3− mx2− x + m + 1có hai điểm cực trị x

1, x2thỏa mãn x21+ x22+ 4x1x2=

A. m = B. m = C. m = 3, m = −3 D. m = 1, m = −1

ĐÁP ÁN

1 - A 2 - A 3 - D 4 - B 5 - D 6 - C 7 - D

3. Hàm trùng phương y=ax4+bx2+c

Đối với hàm số trùng phương y = ax4+ bx2+ c ⇒ y0= 4ax3+ 2bx với a 6= ta có số kết sau:

Hàm số có cực trị A(0; c)nếuab ≥ 0 Hàm số có ba cực trị nếuab < 0 a > có cực tiểu

làA(0; c)

a < có cực đại A(0; c)

a > có cực đại A(0; c) hai cực tiểu

a < có hai cực đại cực tiểu

A(0; c)

Nếu hàm số có ba cực trị ba cực trị A(0; c), B µ

− r

− b 2a; −

∆ 4a

¶ , C

µr − b

2a; − ∆ 4a

¶

⇒ AB = AC = s

b4 16a2−

b

2a, BC = r

− b

2a với∆= b

2− 4ac

Phương tình qua điểm cực trịBC : y = − ∆

4a AB, AC : y = àr

b 2a

ả3 x + c

GọiB AC = α,ln có 8a (1 + cosα) + b3(1 − cosα) = ⇒ cosα =

b3+ 8a b3− 8a vàS

2

∆ABC= −

b5 32a3

Một số công thức giải nhanh: Nếu hàm sốy = ax4+bx2+ccó ba cực trịA(0; c), B µ

− r

− b 2a; −

4a

ả ,

C àr

− b 2a; −

∆ 4a

¶

(20)

STT Dữ Kiện Cơng Thức Vì hàm số có ba cực trị nên trường hợp ta ýab < 0 Tam giác ABCvuông Ahoặc tam giác ABC cân tạiA 8a + b3= 0

2 Tam giác ABC 24a + b3=

3 Tam giác ABC có gócB AC = α 8a + b3 tan2

α

2 = Tam giác ABC có diện tíchS∆ABC= S0 32a3(S0)2+ b5=

5 Tam giác ABC có diện tíchmax(S0) S0=

s

− b

5

32a3

6 Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r∆ABC= r0

r0= b

2

4|a| 

1 + s

1 − b

3

8a 



7 Tam giác ABC có độ dài cạnhBC = m0 am20+ 2b =

8 Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 16a2n20− b4+ 8ab =

9 Tam giác ABC có cực trịB, C ∈ Ox b2− 4ac = 0 10 Tam giác ABC có ba góc nhọn b(8a + b3) >

11 Tam giác ABC có trọng tâmO b2− 6ac = 0

12 Tam giác ABC có trực tâmO b3+ 8a − 4ac = 0 13 Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp

R∆ABC= R0

R =b

3− 8a

8|a|b

14 Tam giác ABC điểmOtạo thành hình thoi b2− 2ac = 15 Tam giác ABC cóOlà tâm đường trịn nội tiếp b3− 8a − 4abc = 0 16 Tam giác ABC cóOlà tâm đường trịn ngoại tiếp b3− 8a − 8abc = 17 Tam giác ABC có cạnhBC = kAB = kAC b3.k2− 8a(k2− 4) = 18 Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện

tích

b2= 4p2|ac|

19 Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hồnh b2− 8ac = 0

Ví dụ (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội-Lần 3) Cho hàm số f (x) = x4− 2x2+ Tính diện tíchS tam giác có ba đỉnh điểm cực trị đồ thị hàm số

A. S = B.S = C.S = D.S =1

2 Lời giải.Chọn đáp án B

Phân tích:Ở đề yêu cầu tính diện tíchScủa tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị đồ thị hàm số trùng phương nên ta áp dụng cơng thức tính nhanh S2= − b

5

32a3 áp dụng vào ta được:

Hàm số f (x) = x4− 2x2+ ⇒  

 a =

b = −2⇒ S

2= − b5

32a3 = −

(−2)5 32.13 =

Ví dụ (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224) Cho hàm số y = x4− mx2+ m4, với mlà tham số Tìmmđể đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

(21)

Phân tích:Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng rơi vào trường hợp số bảng tức điều kiện

 

 ab <

8a + b3=

áp dụng vào ta có:

Hàm số y = x4− mx2+ m4 có  

 a =

b = −m⇒  

 ab <

8a + b3= 0⇔  

 m >

8.1 − m3= 0⇒ m =

4. Bài tập tự luyện

Câu (Sở GD ĐT Đồng Tháp) Đồ thị hàm số sau có3 điểm cực trị? A. y =¡x2+ 1¢2

B. y = −x4− 3x2+ C. y = x3−6x2+9x −5 D. y = 2x4− 4x2+ Câu (Sở GD ĐT Bình Dương) Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x4−6x2+5

A.¡p3,0¢ và¡−p3, 0¢

B.¡p3,4¢ và¡−p3, 4¢

C.(0, 5) D.¡p3,−4¢

và¡−p3, −4¢

Câu (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1) Tìm tất giá trị thực tham sốmđể đồ thị hàm số y = x4−2mx2+1có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng1

A. m =−1 + p

5

2 B. m = 1; m =

−1 −p5

2 C. m = D. m = 1; m =

−1 +p5 Câu (Sở GD-ĐT HCM-Cụm 6) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x4+ 2mx2+ 4có ba điểm cực trị nằm trục tọa độ

A. m = B. m = −2hoặcm =

C Khơng có giá trị mnào D. m = −2

Câu (Sở GD ĐT Hà Tĩnh) Cho hàm số y = x4− 2mx2+ 2m + m4 Tìm giá trịmđể đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích bằng4

A. m = 16 B. m =p516 C. p3 16 D.−p3 16

ĐÁP ÁN

(22)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

HÀM SỐ

Định nghĩa 1. Cho hàm số y=f (x) xác định tập D

ã Số M được gọi giá trị lớn hàm số y= f (x) tập D

f (x)≤ M với x thuộc D tồn x0 thuộc D cho f (x0) = M Kí hiệu M=max

D f (x)

ã Sốmđược gọi giá trị nhỏ hàm số y=f (x)trên tậpDnếu f (x)≥ m với x thuộcD tồn x0 thuộcDsao cho f (x0)=m Kí hiệu m=min

D f (x)

Định lý 1. Hàm số y= f (x) liên tục đoạn [a; b] tồn giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn

I. Quy tắc tìm giá trị lớn nhỏ nhất

Bài toán: Cho hàm số y=f (x), tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn[a; b]

Bước Tìm điểm x1, x2, x3, , xn khoảng (a; b) mà f0(x)=0

hoặc f0(x) khơng xác định

Bước Tính f (a), f (x1), f (x2), f (x3), , f (xn), f (b)

Bước Tìm số lớn nhỏ số giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y=f (x) đoạn[a; b]

Ví dụ (THPT Chu Văn An, Đắk Nơng) Tìm giá trị lớn hàm số y=x3− x2−8xtrên đoạn[1; 3]

A. max [1;3] y=

176

27 B.max[1;3] y= −4 C.max[1;3] y= −6 D.max[1;3] y= −8

Phương pháp tự luận:

Bước Có y0=3x2−2x−8⇒y0=0⇔3x2−2x−8=0⇔   

x=2 x= −4

3∉[1; 3]

Bước Tính f (1)=13−12−8.1= −8, tương tự ta có f (2)= −12, f (3)= −6 Bước So sánh số bước hai ta thấy

[1;3] y= −12vàmax[1;3] y= −6

Phương pháp sử dụng CASIO:

(23)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

nhấn= cho End? bằng3rồi nhấn= cho Step? bằng0, 5(thường cho giá trị

0, số trường hợp ta cho 0, 2, 0, ) nhấn = máy cho bảng ta so sánh xem giá trị lớn bảng giá trị lớn hàm số giá trị nhỏ

bảng giá trị nhỏ hàm số

Nhìn bảng ta thấy giá trị lớn là−6 vậymax [1;3] y= −6

Ví dụ (THPT Ngơ Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II) Giá trị nhỏ hàm số

y=x4+2x2−1 đoạn[−1; 2]là

A. −1 B.2 C.1 D.−2

Phương pháp tự luận:

Bước Có y0=4x3+4x⇒y0=0⇔4x3+4x=0⇔x=0

Bước Tính y(−1)=(−1)4+2(−1)2−1=2, y(0)= −1, y(2)=23 Bước So sánh số vừa tính ta thấy

[−1;2]y= −1

Phương pháp sử dụng CASIO:

Nhấn liên tiếp bước sau: w Q [ ; $ + Q [ d p = p = = = $ sau tra bảng ta thấy giá trị nhỏ −1vậy

[−1;2]y= −1

Nhận xét:

∗) Ở Thầy cho Step? (bước nhảy) 0, tùy em cho Step? với giá trị (thường là0, 2, 0, 3, 0, 5) lưu ý bảng tính được20 giá trị

∗) Nếu đề khơng cho tìm giá trị lớn nhỏ đoạn [a; b]thì ta cần tìm giá trị lớn nhỏ tập xác định

Ví dụ (Sở GD ĐT Phú Thọ, lần 2) Gọi M, mlần lượt giá trị lớn nhỏ hàm số f (x)=x+p4−x2.Tính M−m.

A. M−m=2p2 B. M−m=2p2−2 C. M−m=4 D. M−m=2p2+2 Lời giải.Chọn đáp án D

Phương pháp tự luận: Vì yêu cầu đề khơng có đoạn [a; b] nên ta tìm tập xác định hàm số trước tìm giá trị lớn nhỏ hàm số tập xác định: Bước Tìm tập xác định: 4−x2≥0⇒ −2≤x≤2 Vậy ta tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số trên[−2; 2] Có y0=1−p x

(24)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

⇒y0=0⇔1−p x

4−x2=0⇔ p

4−x2−x p

4−x2 =0⇒ p

4−x2−x=0⇔p4−x2=x

⇔ (

x≥0

4−x2=x2⇔ (

x≥0 2x2=4⇔

( x≥0

x= ±p2⇒x= p

2

Bước Tính y(−2)= −2+p4−(−2)2= −2tương tự ta có y(p2)=2p2, y(2)=2 Bước So sánh số vừa tính ta thấy

(

M=max y=2p2

m=min y= −2 ⇒M−m=2 p

2+2

Phương pháp sử dụng CASIO: Với phương pháp ta cần phải tìm điều kiện xác định hàm số làm tương tự ta có điều kiện xác định là[−2; 2]ta tìm giá trị lớn nhỏ đoạn ta sử dụng chức w cho Step? 0.5được kết sau:

Giá trị nhỏ làm=min y= −2

Giá trị lớn M=max y=2, 8228≈2p2

Vậy M−m=2p2+2

II. Mối liên hệ f’(x) f(x)

Ví dụ (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội).

Cho hàm số y=f (x) liên tục R, đồ thị hàm số y=f0(x) có dạng hình vẽ bên Số lớn số sau f (0), f (1),

f (2), f (3)?

A. f (1) B. f (2) C. f (3) D. f (0)

x y

O

y=f0(x)

Để so sánh số f (0), f (1), f (2), f (3) ta cần lập bảng biến thiên hàm số ban đầu

y=f (x)mà để lập bảng biến thiên ta cần biết dấu hàm số f0(x)và điểm mà f0(x)=0nhìn vào đồ thị ta thấy f0(x)=0⇔

" x=1 x=3

Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

−∞ +∞

+ − +

f (1) f (1)

f (3) f (3)

f (2)

(25)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Để lập bảng biến thiên ta quan sát đồ thị hàm số y=f0(x)thấy rằng:

∗)Từ (−∞; 1) hàm số f0(x) nằm phía trục hồnh mang dấu dương

∗)Từ (1; 3) hàm số f0(x) nằm phía trục hồnh mang dấu âm

∗)Từ (3;+∞) hàm số f0(x) nằm phía trục hồnh mang dấu dương Như nhìn vào bảng biến thiên ta thấy số lớn số f (0), f (1), f (2), f (3)

là số vị trí cao f (1)

Ví dụ (THPT Quốc Học, Quy Nhơn).

Cho hàm số y=f (x) liên tục R có đạo hàm f0(x) liên tục trênR.Hình bên đồ thị hàm số f0(x)trên đoạn[−5; 4].Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A.

x∈[−5;4]f (x)=f (−5) B.x∈[−5;4]min f (x)=f (−4) C.

x∈[−5;4]f (x)=f (1) D.x∈[−5;4]min f (x)=f (4)

−4 O

y

x

−5

Bảng biến thiên hàm số y=f (x)

x

f0(x)

f (x)

−∞ −4 +∞

− + −

f (−4) f (−4)

f (1) f (1) −5

f (−5)

4

f (4)

Nhìn bảng biến thiên ta thấy

(

f (−5)>f (−4)

f (1)>f (4) để tìm giá trị nhỏ hàm số

trên đoạn[−5; 4]ta cần so sánh f (−4)và f (4)

Gọi S1, S2 diên tích tạo đồ thị hàm số y= f0(x) trục Ox

đoạn[−4; 1],[1; 4] Từ đồ thị, ta thấy S1>S2

Suy

1 Z −4

f0(x) dx> − Z

f0(x) dx⇔ Z −4

f0(x) dx+ Z

f0(x) dx>0⇔ Z −4

f0(x) dx>0

Vậy f (4)>f (−4) Do

x∈[−5;4]f (x)=f (−4)

Nhận xét: Như dạng toán cho đồ thị hàm số y= f0(x) yêu cầu tìm giá trị lớn nhỏ trước tiên từ đồ thị ta lập bảng biến thiên hàm số y= f (x) sau chưa so sánh ta cần dựa vào ứng dụng tích phân so sánh diện tích hai hình đồ thị

(26)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Cho hàm số y= f (x) có đạo hàm f0(x) liên tục R đồ thị hàm số f0(x) đoạn[−2; 6]như hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau

A. max

[−2;6]f (x)=f (2) B.[−2;6]maxf (x)=f (−1) C. max

[−2;6]f (x)=f (6) D.[−2;6]maxf (x)=f (−2)

x y

O

2

1

−1 −2

Từ đồ thị f0(x) ta có bảng biến thiên hàm số f (x) sau:

x

y0

y

−2 −1

+ − +

f (−2) f (−2)

f (−1) f (−1)

f (2) f (2)

f (6) f (6)

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

      

f (−1)>f (−2) f (−1)>f (2) f (6)>f (2)

Do hàm số đạt giá trị

lớn x= −1hoặc x=6

GọiS1là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f0(x), trụcOx với−1≤x≤2vàS2là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f0(x), trục Ox với2≤x≤6

Nhìn vào đồ thị ta thấyS1<S2⇐⇒ − Z

−1

f0(x)dx< Z

f0(x)dx=⇒f (−1)< f (6) Vậy max

[−2;6]f (x)= f (6)

III. Bài tập tự luyện

Câu (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2) Tìm giá trị lớn hàm số y=x3+3x2−9x+7trên đoạn[−2; 2]

A. max

[−2;2]y=29 B.[−2;2]maxy=9 C.[−2;2]maxy=5 D.[−2;2]maxy=34

Câu (Sở GD ĐT Cần Thơ, mã đề 317) Gọi m, M giá trị nhỏ

giá trị lớn hàm số y= x−1

2x+1 đoạn[1; 3] TínhS=m+M

A. S=2

7 B.S= −

2

7 C. S=3 D.S=4

Câu (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang - HK2) Tìm giá trị nhỏ hàm số y= x4+2x2−1trên đoạn[−1; 2]

A. −1 B.2 C.1 D.−2

(27)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Cho hàm số y=f (x) xác định, liên tục

· −1;3

2 ¸

và có đồ thị

đường cong hình vẽ Giá trị lớn M giá trị nhỏ m

của hàm số f (x)

· −1;3

2 ¸

là

A. M=4, m=1 B.M=7

2, m= −1

C. M=4, m= −1 D.M=7

2, m= −1

x y

−1

O

2

Câu (Sở GD & ĐT Phú Yên) Biết hàm số f (x)= 4x

4

−2x2+1 đạt giá trị nhỏ đoạn[−1; 3]tại điểm x0 Mệnh đề sau đúng?

A. x0=0 B. x0= ±2 C. x0= −3 D. x=2

Câu (Sở GD ĐT TP.HCM,CỤM I) Cho hàm số f (x)=x3−3x2+7x+2017 Gọi M

là giá trị lớn hàm số đoạn[0; 2017] Khi đó, phương trình f (x)=M có tất nghiệm?

A. B.0 C.1 D.3

Câu (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm V) Tìm giá trị điểm cực tiểu hàm số y= −x3+6x2+15x+10

A. B.110 C.2 D.−1

Câu (SGD BẮC GIANG) Cho hàm số y= x+p1−x2 Gọi M, m giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Giá trị biểu thức49M2−m2

A. 96 B.97 C.95 D.94

Câu (Sở GD ĐT Hà Tĩnh) Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x)=px2−2x+5

trên đoạn[−1; 3]

A. B.2p3 C.

2 D.2

p

Câu 10 (Tạp chí THTT, lần 9) Giá trị lớn hàm số y=p2x−x2 đoạn

· 0;3

2 ¸

là

A. B.1 C.2 D.p3

Câu 11 (Tạp chí THTT, lần 9) Đặt M giá trị lớn nhất, m giá trị nhỏ hàm số f (x)= |x3+3x2−72x+90| đoạn [−5; 5] Khi tổng M+m có giá trị số thuộc khoảng đây?

A. (369; 471) B.(313; 315) C.(149; 151) D.(−6; 10)

Câu 12 (THPT Đông Hà-Quảng Trị-lần 2) Tìm giá trị lớn hàm số y= x−m2

x+1 trên[0; 1]

A. max [0;1] y=

1+m2

2 B.max[0;1] y=

1−m2

2 C.max[0;1] y=m

2. D.max

[0;1] y= −m 2.

(28)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

A. max

[−1;2]f (x)= −2 B.[−1;2]maxf (x)=0 C.[−1;2]maxf (x)=4 D.[−1;2]maxf (x)=2 Câu 14 (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH, LẦN 4) Tập hợp chứa tất các giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y=¯¯x2−2x+m

¯

¯ [−1; 2]

bằng5

A. (−5;−2)∪(0; 3) B.(0;+∞) C.(−6;−3)∪(0; 2) D.(−4; 3) Câu 15 (Sở GD ĐT Gia Lai).

Cho hàm số y= f (x) có đạo hàm R Biết đồ thị hàm số

y= f0(x) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ a, b, c hình vẽ bên Mệnh đề mệnh đề đúng?

A. f (c)>f (a)>f (b) B. f (a)>f (c)>f (b) C. f (b)>f (a)>f (c) D. f (c)>f (b)>f (a)

a b c O

x y

Câu 16 (Sở GD ĐT Bình Dương) Biết giá trị lớn hàm số y= −x2+4x−m

trên đoạn[−1; 3]là 10 Khi đó, giá trị mlà bao nhiêu?

A. B.−15 C.−6 D.−7

Câu 17 (Sở GD ĐT Bình Dương) Tìm giá trị nhỏ hàm số y= x

+3 x−1

đoạn[2; 4]

A.

[2;4]y= −2 B.min[2;4]y=6 C.min[2;4]y= −3 D.min[2;4]y= 19

3

Câu 18 (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1).

Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục đoạn

[−2; 2], có đồ thị hàm số y= f0(x) hình vẽ Tìm giá trị x0 để hàm số y= f (x) đạt giá trị lớn

đoạn[−2; 2]

A. x0=1 B. x0= −1 C. x0= −2 D. x0=2

x y

0

−2 −1

1

Câu 19 (THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, lần 3).

Cho số thực a, b, c, d thoả mãn 0<a< b< c<d hàm số

y= f (x) Biết hàm số y= f0(x) có đồ thị hình vẽ Gọi M m

lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= f (x)

trên[0; d] Khẳng định sau khẳng định đúng? A. M+m=f (0)+f (c) B. M+m=f (d)+f (c) C. M+m=f (b)+f (a) D. M+m=f (0)+f (a)

y

x

a b c d

O

(29)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

1 A

2 A

3 A

4 C

6 C

7 C

8 B

9 A

10 B

11 A

12 B

13 C

14 A

15 A

16 C

17 B

18 A

(30)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Định nghĩa:Kí hiệu(C) đồ thị hàm số y=f (x), đó: ã Tiệm cận đứng: Nếu có điều kiện lim

x→x+

f (x) = +∞,

lim x→x0+

f (x)= −∞, lim

x→x−0 f (x)= −∞, x→xlim−0 f (x)= −∞thỏa mãn đường thẳng x=x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số(C)

ã Tiệm cận ngang: Nếu có điều kiện lim

x→+∞f (x) = y0 lim

x→−∞f (x)=y0 đường thẳng y=y0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số(C)

I. Tìm tiệm cận ngang - tiệm cận đứng

Bài toán: Cho hàm số y=f (x)= P(x)

Q(x) tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ

thị hàm số

∗)Tiệm cận đứng: Ta sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng sau:

Bước Giải phương trình mẫu tức giải phương trìnhQ(x)=0giả sử nghiệm làx1, x2,

Bước Thay nghiệm x1, x2, vào tử tức thay xi vàoP(x) đượcP(xi)

nếu kết số khác x=xi tiệm cận đứng đồ thị hàm số,

kết ra0hoặc khơng xác định x=xi khơng phải tiệm cận đứng đồ thị

hàm số

∗)Tiệm cận ngang: Ta sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang sau: Bước Tính lim

x→+∞f (x) x→−∞lim f (x) Bước So sánh kết nếu lim

x→+∞f (x) kết số hữu hạn tức y0

thì hàm số có tiệm cận ngang y=y0tương tự trường hợp lim

x→−∞f (x), ngược

lại kết là±∞ hàm số khơng có tiệm cận ngang

Notes

Nếu cách tìm tiệm cận đứng bước ta giải nghiệm x=x0bộinvớin≥2thì

ta cần sử dụng máy tính CASIO để tính giới hạn lim x→x±0

P(x)

Q(x) kết vơ

thì x=x0 tiệm cận đứng kết số hữu hạn x=x0 khơng tiệm

cận đứng Hoặc ta tìm tiệm cận đứng cách sau:

(31)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

lim x→x±i

P(x)

Q(x) kết vô x=xi tiệm cận đứng kết số

hữu hạn x=xi khơng tiệm cận đứng

Ví dụ (Sở GD-ĐT Yên Bái) Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y= 2−x x+2 có

phương trình

A. x= −2 B. y=2 C. y= −1 D. x= −1

Bước Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x+2=0⇒x= −2 Bước Thay x= −2 vào tử số tức thay vào2−xta kết 46=0 Vậy x= −2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Ví dụ (Sở GD ĐT Lâm Đồng - Học kì 2) Đường thẳng tiệm

cận ngang đồ thị hàm số y= x−1?

A. x= −1 B. y=1 C. x=1 D. y=0 Lời giải.Chọn đáp án D

Bước Tính giới hạn lim x→+∞

1

x−1=0 vàx→−∞lim x−1=0

Bước So sánh kết hai giá trị lim

x→+∞f (x) x→−∞lim f (x) số hữu

hạn nên ta có y=0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Ví dụ (THPT Chu Văn An, Đắk Nơng) Tìm tất đường tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y= 7−x

(x−2) (x−3)

A. x= −2, x= −3 B. y=2, y=3 C. x=2, x=3 D. y= −2, y= −3

Bước Giải phương trình mẫu tức giải phương trình (x−2)(x−3)=0⇔ "

x=2 x=3

Bước Thay (

x=2

x=3 vào tử số tức thay vào7−x

2 ta được:

- Với x=2⇒7−x2=36=0⇒x=2là tiệm cận đứng - Với x=3⇒7−x2= −26=0⇒x=3là tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x=2và x=3

Ví dụ (THPT Chuyên Biên Hịa, Hà Nam, lần 3) Tìm đường tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số y= 2−x 9−x2

A. x=0 B. y=1 C. y=0 D Khơng có.

Bước Tính giới hạn lim x→+∞

2−x

9−x2=0 x→−∞lim 2−x 9−x2 =0 Bước So sánh kết hai giá trị lim

x→+∞f (x) x→−∞lim f (x) số hữu

(32)

Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền

Nhận xét: Đồ thị hàm số y= ax+b

cx+d có tiệm cận đứng đường thẳng x= − d

c

tiệm cận ngang đường thẳng x= a c

Ví dụ (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)) Đồ thị hàm số y = 1−x

2x+1 có tất bao

nhiêu đường tiệm cận?

A. B.1 C.3 D.0

Sử dụng nhận xét ta có đồ thị hàm số y= 1−x 2x+1 =

−x+1 2x+1 ⇒

            

a= −1 b=1 c=2 d=1

có tiệm cận

đứng đường thẳng x= −d c = −

1

2 tiệm cận ngang đường thẳng y= a c =

−1 = −

1

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

Ví dụ (THPT Bắc Dun Hà, Thái Bình, lần 2) Đồ thị hàm số y= x

+1 x2−3|x| −4 có

bao nhiêu tiệm cận đứng?

A 1. B 4. C 3. D.2

Lời giải.Chọn đáp án D

Bước Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x2−3|x| −4=0 ta xét hai trường hợp sau:

TH1: x≥0⇒ |x| =x⇒x2−3|x| −4=0⇔x2−3x−4=0⇔ "

x=4

x= −1<0⇒x=4

TH2: x<0⇒ |x| = −x⇒x2−3|x| −4=0⇒x2+3x−4=0⇔ "

x=1

x= −4<0 ⇒x=1

Vậy phương trình x2−3|x| −4=0 có hai nghiệm

( x=4 x=1

Bước Thay (

x=4

x=1 vào tử tức thay vào x

+1 ta được: - Với x=4⇒x2+1=176=0⇒x=4 tiệm cận đứng - Với x=1⇒x2+1=26=0⇒x=1là tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng x=4 x=1

Ví dụ (Sở GD ĐT Lâm Đồng (HKII)) Đồ thị hàm số y= p

4−x2

x2−3x−4 có

đường tiệm cận?

A. B.1 C.3 D.0

Lời giải.Chọn đáp án B Tiệm cận đứng:

Bước Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x2−3x−4=0⇔ "

(33)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Bước Thay "

x= −1

x=4 vào tử tức thay vào p

4−x2 ta được: - Với x= −1⇒p4−x2=p36=0⇒x= −1là tiệm cận đứng

- Với x=4⇒p4−x2=p4−42=p−12không xác định đường thẳng x=4

khơng tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= −1 Tiệm cận ngang: Tính giới hạn lim

x→+∞ p

4−x2

x2−3x−4 x→−∞lim p

4−x2

x2−3x−4 ta thấy hai giới

hạn không xác định tức không tồn hai giới hạn nên đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận x= −1

Nhận xét:Trong số trường hợp để làm nhanh cách tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số chứa thức ta trước tiên tìm tập xác định hàm số áp dụng phương pháp loại giá trị khơng cần thiết

Áp dụng vào ta có điều kiện xác định hàm số 4−x2 ≥0⇔ −2≤ x≤2

nên ta loại trường hợp x=4 không cần tính hai giới hạn lim x→+∞

p 4−x2 x2−3x−4 lim

x→−∞ p

4−x2

x2−3x−4 x→ ±∞khơng thỏa mãn −2≤x≤2

II. Tìm tiệm cận dựa vào bảng biến thiên

Ví dụ (THPT Quốc Thái, An Giang) Cho hàm số y= f (x) xác định, liên tục tậpR\{1} có bảng biến thiên hình vẽ

x

y0

y

−∞ +∞

− −

−1 −1

−∞ +∞

3

Tìm tất đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y=f (x)

A. y= −1, y=3 B. y= −1, y=1 C. y=0, y=1 D. y=1, y=3

Tiệm cận đứng: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi x tiến tới từ vế trái tức

x→1− hàm số ynhận giá trị −∞điều có nghĩa lim

x→1−f (x)= −∞ ⇒x=1là tiệm

cận đứng

Tiệm cận ngang: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:

- Khi x→ −∞ giá trị y tiến đến −1 điều có nghĩa lim

(34)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

y= −1là tiệm cận ngang

- Khix→ +∞ giá trị y tiến đến3 điều có nghĩa lim

x→+∞f (x)=3⇒y=3

là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số y=f (x) có hai tiệm cận ngang y= −1và y=3

Nhận xét:Như để làm dạng toán ta cần nhớ lại định nghĩa tiệm cận phần kiến thức cần nhớ ngồi ta hiểu cách đơn giản sau:

ã Tiệm cận đứng: Khi x tiến đến x0 từ bên trái từ bên phải y tiến

đến vơ x=x0 tiệm cận đứng

ã Tiệm cận ngang: Khi x tiến đến −∞ x tiến đến +∞ y tiến đến số y0 y=y0 tiệm cận ngang

∗) Tóm lại tiệm cận đứng hiểu là x tiến đến số, y tiến đến vơ tiệm cận ngang hiểu là x tiến đến vô cùng, ytiến đến số

Ví dụ (Chun Lê Q Đơn - Vũng Tàu ) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên bảng

x

f0(x)

f (x)

−∞ −1 +∞

+ −

−1 −1

−∞ +∞

1

Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số f (x) có đúng1 tiệm cận ngang 1tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số f (x) khơng có tiệm cận ngang và1tiệm cận đứng

C Đồ thị hàm số f (x) có đúng2tiệm cận ngang khơng có tiệm cận đứng D.Đồ thị hàm số f (x) có đúng2 tiệm cận ngang và1 tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng: Quan sát bảng biến thiên ta thấy x tiến đến −1 y tiến đến vơ nên x= −1 tiệm cận đứng

Tiệm cận ngang: Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

- Khi xtiến đến −∞ y tiến đến −1nên y= −1là tiệm cận ngang - Khi xtiến đến +∞ y tiến đến 1nên y=1 tiệm cận ngang Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= −1 hai tiệm cận ngang

(

y= −1 y=1

III. Tìm m để hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện

(35)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Bài toán: Cho hàm số y= f (x, m)= P(x)

Q(x) tìm tất giá trị thực tham số m

để đồ thị hàm số có a tiệm cận đứng (hoặc a tiệm cận ngang, a tiệm cận nói chung)

Bước Tìm điều kiện xác định tử P(x)và mẫu Q(x)

Bước Ta nhớ lại cách tìm tiệm cận để giải tốn này:

TH1 Có a tiệm cận đứng phương trình mẫu Q(x)=0 phải có a nghiệm a nghiệm phải thuộc điều kiện xác định bước khơng nghiệm tử

TH2 Có a tiệm cận ngang giới hạn

  

lim x→+∞f (x)

lim x→−∞f (x)

phải a số hữu hạn

TH3 Có a tiệm cận ta cần tính tiệm cận đứng tiệm cận ngang xét

Ví dụ (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2) Tìm tất giá trị thực tham số

m để đồ thị hàm số y= x

+x−2

x2−2x+m có hai đường tiệm cận đứng A. m∈(−8; 1) B. m∈(−∞;−8)∪(−8; 1)

C. m∈(−∞;−1) D. m∈(−∞; 1)

Phân tích: Bài tốn rơi vào trường hợp số Vì u cầu đề cần có hai tiệm cận đứng nên phương trình mẫu cần có hai nghiệm thuộc tập xác định tử mẫu mà hai nghiệm phải khác nghiệm tử nên ta làm sau:

Bước Điều kiện xác định tử x2+x−2và mẫu x2−2x+m x∈ R

Bước Yêu cầu đề có hai tiệm cận đứng nên phương trình mẫux2−2x+m=0

phải có hai nghiệm phân biệt đó∆0=1−m>0⇒m<1

Hai nghiệm phải khác nghiệm phương trình tử mà phương trình tử

x2+x−2=0⇒ "

x=1

x= −2⇒ phương trình mẫu x

−2x+m=0 phải có hai nghiệm

( x6=1 x6= −2

⇒ (

12−2.1+m6=0

(−2)2−2.(−2)+m6=0⇒ (

m6=1 m6= −8

Vậy với

( m<1

m6= −8 hay m∈(−∞;−8)∪(−8; 1) đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

đứng

Ví dụ (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội) Tìm tập hợp giá trị tham số thựcm để

đồ thị hàm số y= x−1

x(x+m) có hai đường tiệm cận

A. {−1; 0} B.{1} C.R\{1} D.R\{−1}

Phân tích: Đề yêu cầu đồ thị hàm số có hai tiệm cận tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai

(36)

Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền Vương Quy ền

Tiệm cận ngang: Ta tính hai giới hạn   

lim x→+∞f (x)

lim x→−∞f (x)

tức tính        lim x→+∞

x−1 x(x+m) =0 lim

x→−∞

x−1 x(x+m)

Như

vậy hai giới hạn cho kết hữu hạn y=0 nên đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang Do để đồ thị hàm số có hai tiệm cận ta tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng: Ta xét phương trình mẫu x(x−m)=0⇒ "

x=0

x= −m Nghiệm tử x−1=0⇒x=1 Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng phương trình mẫu có nghiệm khác nghiệm tử phương trình mẫu có hai nghiệm mà nghiệm trùng với nghiệm tử Rõ ràng x=0 nghiệm mẫu khác nghiệm tử nên ta xét nghiệm lại x= −m nghiệm trùng với nghiệm tử

−m=1⇒m= −1, mặt khác để phương trình mẫu có nghiệm hai nghiệm

" x=0

x= −m phải trùng m=0

Vậy với

"

m= −1

m=0 đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

Nhận xét: Từ ví dụ ta có nhận xét số tiệm cận đứng số nghiệm mẫu (nghiệm thuộc tập xác định tử) mà nghiệm tử, số tiệm

cận ngang số kết hữu hạn khác hai giới hạn

  

lim x→+∞f (x)

lim x→−∞f (x)

Ví dụ (THPT Hưng Nhân, Thái Bình, Lần 3) Cho hàm số y= x

x−m Với giá trị

nào m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang?

A. m=0 B.m6=1 C. m6=0 D.∀m∈ R Lời giải.Chọn đáp án D

Để hàm số có tiệm cận ngang phải tồn hai giới hạn lim

x→+∞f (x)

lim

x→−∞f (x) ta thấy với m∈ Rthì      lim x→+∞ x x−m=1 lim

x→−∞ x x−m=1

Do với m∈ Rthì đồ thị hàm

số ln có tiệm cận ngang y=1

IV. Bài tập vận dụng

Câu (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2) Đường thẳng y= −1 đường tiệm cận đồ thị hàm số hàm số đây?

A. y=−x

+1

x+2 B. y=

−3x+4

3+x C. y= x+5

6−x D. y= −1 x+2

Câu (THPT Sông Ray, Đồng Nai) Xác định tiệm cận đứng tiệm cận ngang của

(37)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

A. x=1, y= −1 B. x=1, y=2 C. x=2, y=1 D. x= −1, y=2 Câu (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y=

x+px2+1 2x−3

A. B.3 C.1 D.0

Câu (THPT Quốc Thái, An Giang) Tìm tất tiệm cận ngang đồ thị hàm

số y= p

2x2+3 x

A. y=0và y= −3

2 B. y=0và y=2

C. y= −2và y=2 D. y= −p2 y=p2

Câu (Để TTTHPT QG- Sở Cần Thơ) Tìm đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số

y=2x−4 x+2

A. y=2 B. y= −2 C. x= −2 D. x=2

Câu (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2) Tính tổng số đường tiệm cận đứng và

tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= p

x2−3x+2 2x2−5x+3

A. B.2 C.3 D.4

Câu (Sở GD ĐT Phú Thọ, lần 2) Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ

thị hàm số y=3x−1− p

x+3 x2+2x−3

A. x= −3 B. x= −1 x=3 C. x=1và x= −3 D. x=3 Câu (THPT Hậu Lộc, Thanh Hoá, lần 3) Đồ thị hàm sốy= x−2

x2−3x+2 có

đường tiệm cận?

A. B.1 C.4 D.3

Câu (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An, lần 4) Đường thẳng tiệm cận

đứng đồ thị hàm số y= x− p

x+2 x2−4 ?

A. y= −2 B. y=0 C. x=2 D. x= −2

Câu 10 (THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, lần 3) Cho hàm số y= p

10−x2−2x−1 x2+3x−4

Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số

A 3. B 1. C 2. D 0.

Câu 11 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1) Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị

hàm số y=2− p

x2+x+2 x3+8

A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng. B. x= −2

C. x=2 D. y=0

Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang - HK2) Tìm tập hợp tất giá trị của

tham số thực mđể đồ thị hàm số y= x−1

(38)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

A. µ

−∞;9 ả

B.

ẵ 2;9

4 ắ

C.

à ;9

4

D.{2}

Câu 13 (Sở GD ĐT Bình Phước) Biết đồ hị hàm số y=(a−2b)x

2+bx+1 x2+x−b có

tiệm cận đứng đường thẳng x=1 tiệm cân ngang đường thẳng y=0 Tính

a+2b

A. B.7 C.8 D.10

Câu 14 (Sở GD ĐT Hưng Yên) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ

thị hàm số y=(m+1)x

+1

x2−2x+m2 có đúng2 đường tiệm cận A. m∈[−1; 1) B. m∈(−1; 1)

C. m∈[−1; 1] D. m∈(−∞;−1)∪(1;+∞)

Câu 15 (Sở GD ĐT Bình Dương) Tìm tất giá trị thực tham số m để

hàm số y= m p

x2+1

x−1 có đường thẳng y= −2là tiệm cận ngang

A. m∈ {−2; 2} B.m∈ {−1; 1} C. m∈ {2} D.m∈ {1;−2}

Câu 16 (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1) Gọi a, b tương ứng số đường tiệm cận

đứng số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= p

x−2−1

x2−4x+3 Tính a+b A. a+b=3 B.a+b=2 C. a+b=0 D.a+b=1

Câu 17 (TRƯỜNG THPT ĐƠNG ANH) Tìm tất giá trị của m để đồ thị hàm

số y= x

−6x+m

x−m khơng có đường tiệm cận đứng

A. m=6 B. "

m=3

m=5 C.

" m=0

m=5 D.m=7

Câu 18 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1) Cho hàm số y=f (x) có bảng biến thiên

x

y0

y

−∞ +∞

+ − +

−∞ −∞

0

−1 −1

2

Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số y=f (x) có giá trị cực tiểu là−1

B Đồ thị hàm số y=f (x) có tiệm cận ngang đường thẳng y=2 C Đồ thị hàm số y=f (x) có hai điểm cực trị

D Đồ thị hàm số y=f (x) có tiệm cận đứng đường thẳng x=0

(39)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

x

f0(x)

f (x)

−∞ −1 +∞

− || + + || − +∞

+∞

−3 −3

2

−4 −4

Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hàm số có hai điểm cực trị.

B Hàm số đồng biến khoảng(−1; 2)

C Hàm số đạt giá trị lớn bằng 2và giá trị nhỏ −3 D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận.

Câu 20 (Trường THPT Tân Yên - Bắc Giang) Cho hàm số y= f (x) có bảng biến thiên hình bên Hỏi đồ thị hàm số y=f (x) có đường tiệm cận?

x

y0

y

−∞ −1 +∞

+ − + +

−∞ −∞

1 +∞

−2 −2

+∞

−∞

3

A. B.4 C.2 D.1

Câu 21 (Sở GD ĐT Bình Thuận) Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm

số y=3x−1− p

x2+x+2 x2+2x−3

A. x= −3 B. x=0 C. x= −3và x=1 D. x=1 Câu 22 (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224) Cho hàm số y = p5x+3

4x2−1 Số đường

tiệm cận đồ thị hàm số

A. B.2 C.1 D.4

Câu 23 (Vương Quyền) Cho hàm số y= f (x) có bảng biến thiên hình vẽ

x

f0(x)

f (x)

−∞ −1 +∞

+ − + −

−∞ −∞

1 +∞

−∞ −3

7

−4 −4

Hỏi đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang?

(40)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Câu 24 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 5) Hàm sốy=

x2−2mx+m2−m+2 Tìm m để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng

A. m>0 B.m>3 C. m<1 D.m<2

Câu 25 (SỞ GD-ĐT LONG AN) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị

hàm số y= mx+2

x−1 có tiệm cận đứng

A. m6=2 B.m<2 C. m≤ −2 D.m6= −2

Câu 26 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4) Tìm tất giá trị củamsao

cho đồ thị hàm số y= p

mx2+3mx+1

x+2 có tiệm cận

A. m>0 B.−2<m< −1 C. m≤0 D.m≥1

Câu 27 (THPT CHUYÊN SƠN LA, LẦN 4) Tìm tập hợp giá trị thực của m để

đồ thị hàm số y= 2x−1

(mx2−2x+1)(4x2+4mx+1) có đường tiệm cận A. (−∞;−1)∪(1;+∞) B.{0}

C ∅. D.(−∞;−1)∪ {0} ∪(1;+∞)

Câu 28 (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần 5) Tập hợp giá trị củamđể đồ thị

hàm số y= mx

2+6x−2

x+2 có tiệm cận đứng

A. R \ ẵ7

2 ắ

B.R C.R \ {0} D.

ẵ7

ắ

Câu 29 (THPT Cổ Loa, Hà Nội, lần 3) Tìm tất giá trị thực tham sốmđể

đồ thị hàm số y=

p x+1

(x2+3x+2)(x+m) có hai đường tiệm cận

A. m≤1 B.m>1 C. m≥1 D.m<1

Câu 30 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Ngãi) Tìm tất giá trị thực

của tham số m để đồ thị hàm số y= x+2

x2−4x+m có ba đường tiệm cận

A. m<4và m6= −12 B. m>4

C. m<4 D. m= −12hoặc m=4

Câu 31 (THPT Thạch Thành 1-Thanh Hóa) Tìm tất giá trị tham số m

để đồ thị hàm số y= 2x

3x−pmx2+1 có ba đường tiệm cận

A. m>0 B.0<m<9 C. m>0và m6=9 D.m>9

ĐÁP ÁN

1 C

2 B

3 A

4 D

5 C

6 B

7 A

8 A

9 D

10 D

11 A

12 B

13 C

14 A

15 A

16 D

17 C

18 D

19 C

20 A

21 A

22 D

23 C

24 D

25 D

26 A

27 C

28 A

29 C

30 A

(41)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

§5 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Khi nhìn đồ thị hàm số, để kết luận đồ thị hay để chọn phương án trả lời em cần nắm-vận kỹ sau:

ã Kỹ dựa vào dạng chuẩn đồ thị hàm số bậc ba, trùng phương, hàm bậc bậc

ã Kỹ dựa vào giao điểm đồ thị với trục tung(O y) trục hoành

(Ox)

ã Kỹ dựa vào điểm cực trị đồ thị hàm số

ã Kỹ dựa vào đường tiệm cận đồ thị hàm số

Tùy vào đồ thị hàm số đề cho ta ứng dụng linh hoạt kỹ cách linh hoạt để nhanh chóng đưa phương án trả lời xác

I. Kỹ nhìn dạng chuẩn đồ thị hàm số

1. Nhìn dạng chuẩn hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d

Các dạng đồ thị hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d với a6=0

Dữ kiện a>0 a<0

Hàm số có hai cực trị -phương trình y0 = có hai nghiệm phân biệt hay b2− 3ac>0

x y

O

x y

(42)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Hàm số khơng có

cực trị

Phương trình y0=0

có nghiệm kép hay

b2−3ac=0

x y

O x

y

O

Phương trình y0=0

vơ nghiệm hay b2− 3ac<0

x y

O x

y

O

Ví dụ (Vương Quyền) Đường cong trong

hình bên đồ thị hàm số hàm số sau đây? A. y=1

3x

−x2+3x+2 B. y= −x3+3x2+5x+1 C. y=4

3x

3−3

2x+1 D. y= −

1 3x

3+2

3x+1 x

y

O

Quan sát đồ thị dựa vào bảng ta thấy hàm số có dạng hàm bậc ba hệ sốa>0⇒loại phương án B, D.

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có hai cực trị nên b2−3ac>0 ta thấy đáp án A cho kết quả b2−3ac= −2<0⇒ loại phương án A, đáp án C cho kết là

b2−3ac=6>0⇒Chọn C.

Ví dụ (THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội, lần 4).

Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số hàm số đây?

A. y=x3−3x2+3x+1 B. y= −x3+3x2+1 C. y= −x3−3x2+1 D. y=2x3−x+1

1

2

O

(43)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm bậc ba hệ số a>0 nên loại hai đáp án B, C.

Tiếp tục ta để ý đồ thị rơi vào trường hợp phương trình y0=0 có nghiệm kép tức b2−3ac=0⇒Chọn đáp án A.

2. Nhìn dạng chuẩn hàm số trùng phương y=ax4+bx2+c

Các dạng đồ thị hàm số trùng phương y=ax4+bx2+c với a6=0

Dữ kiện a>0 a<0

Hàm số có ba cực trị -phương trình y0 = có ba

nghiệm phân biệt hay ab<0 x y

O x

y

O

Hàm số có cực trị - phương trình y0 = có nghiệm làx=0hay

ab≤0

x y

O

x y

O

Ví dụ (Vương Quyền) Đường

cong hình bên hàm số hàm số sau đây?

A. y= −x

2 +2x

−1 B. y=x4−2x2−1

C. y=x4+3x2−1 D. y= −x4−x2−1 x

y

O

Nhìn đồ thị ta thấy đồ thị hàm trùng phương có hệ số a>0 ⇒ loại đáp án A, D hàm số có ba cực trị nênab<0⇒Chọn đáp án B.

(44)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Hình vẽ bên đồ thị hàm số hàm số đây?

A. y=x3−3x2+1 B. y= −2x4+4x2+1

C. y= −x3+3x2+1 D. y=2x4−5x2+1 x

y

O

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm trùng phương nên loại đáp án A, C, mặt khác hệ số hàm trùng phương có hệ số a>0⇒ Chọn đáp án D.

3. Nhìn dạng chuẩn hàm số y= ax+b

cx+d với c6=0, ad−bc6=0

Các dạng đồ thị hàm số y=ax+b

cx+d với c6=0, ad−bc6=0

Hàm số đồng biến ad−bc>0 Hàm số nghịch biến ad−bc<0

x y

O

y =a c

x

=

−

d

c

x y

O

y =a c

x

=

−

d

c

Ví dụ (Vương Quyền) Đường

cong hình bên hàm số hàm số sau? A. y= x+3

x+1 B. y=

x−1 2x−1

C. y=x3−2x2+x−1 D. y=−x+2

3x+1 x

y

O

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số hàm bậc bậc y= ax+b

cx+d ⇒ loại C mà hàm số đồng biến nên có ad−bc>0⇒ Chọn đáp án

(45)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

II. Kỹ dựa vào giao điểm - cực trị - tiệm cận đồ

thị hàm số

ã Kỹ nhìn vào giao điểm: Đối với đồ thị hàm số cho điểm mà nó qua ta cần thay tọa độ điểm qua vào đáp án thỏa mãn chọn đáp án cụ thể:

2

Nếu đồ thị hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d giao điểm với trục tung điểm y0 x0=0nên d=y0

2

Đồ thị hàm số bậc ba có điểm uốn làU µ

− b 3a; y

µ − b

3a ¶¶

Hồnh độ điểm uốn

là nghiệm phương trình y00=0

2

Nếu đồ thị hàm số trùng phương y=ax4+bx2+c giao điểm với trục tung điểm y0 x0=0nên c=y0

2

Nếu đồ thị hàm số bậc bậc y=ax+b

cx+d giao với trục tung

điểm y0thì x0=0nên b

d =y0 đồ thị giao với trục hồnh điểmx0 y0=0

nên −b a=x0

ã Kỹ nhìn vào cực trị: Cũng gần tương tự hình vẽ đồ thị hàm số cho ta tọa độ điểm cực trị thay tọa độ điểm vào đáp án thay vào phương trình y0=0 để ý điểm cực trị hàm bậc ba hàm trùng phương nghiệm phương trình y0=0

ã Kỹ nhìn vào tiệm cận: Đối với kỹ thường áp dụng cho hàm phân thức y= ax+b

cx+d với c6=0, ad−bc6=0 có tiệm cận đứng đường thẳng x= − d c

và tiệm cận ngang đường thẳng y= a c

Ví dụ (THPT Tiên Hưng, Thái Bình).

Đồ thị bên hàm số hàm số đây? A. y=1

3x

3

−x2+1 B. y=1

3x

+x2+1 C. y= −x3+3x2−2 D. y= −1

3x

+x2+1

x y

O

Đồ thị hàm số hàm bậc ba y=ax3+bx2+cx+d cắt trụcO y điểm y0=1⇒d= y0=1⇒ loại C, kết hợp với dạng chuẩn (kỹ nhìn dạng chuản) thì a>0⇒

loại D.

Hàm số có hai cực trị nênb2−3ac>0⇒Chọn A cób2−3ac=02−3.1

(46)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Ví dụ (Sở GD ĐT Đồng Tháp).

Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D dây?

A. y= −x4−2x2−1 B. y=x4−2x2−1

C. y=x4+2x2−1 D. y= −x4+2x2−1 x

y

O

−1

2

Đồ thị hàm số qua điểm

( x0=1 y0=2

⇒ Thay vào đáp án ta thấy đáp án C thỏa mãn⇒ Chọn C.

Ví dụ (Sở GD ĐT Hưng Yên).

Đồ thị hình vẽ bên đồ thị hàm số hàm số đây?

A. y=2x+1

x+1 B. y= x−1 x+1

C. y=2x+1

x−1 D. y=

−x+1

x−2 O x

y

2

−1

Nhìn đồ thị ta thấy hàm số hàm bậc bậc y= ax+b

cx+d, đồ thị có

tiệm cận đứng đường thẳng x= −1= −d

c ⇒loại đáp án C, D.

Tương tự đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường thẳng y=2=a

c ⇒ Chọn đáp

án A đáp án B có tiệm cận ngang là y=1

Ví dụ (THPT Chun Biên Hịa, Hà Nam, lần 3). Cho hàm số y=ax4+bx2+ccó đồ thị hình Chọn đáp án

A. a>0, b>0, c<0 B. a>0, b<0, c<0

C. a<0, b>0, c<0 D. a<0, b>0, c>0

x y

O

Quan sát đồ thị đối chiếu với dạng chuẩn ta có đồ thị hàm số cho hàm trùng phương hệ số a>0⇒ loại C, D.

Hàm số có ba cực trị nên a.b<0mà a>0⇒b<0⇒ Chọn B. Ví dụ (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2).

Cho hàm số y=ax+b

x+c có đồ thị hình vẽ bên Tính giá trị S=a+2b+c

A. S=0 B. S= −1 C. S=3

D. S= −2

x y

O

(47)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vấn đề ta cần tìm a, b, c Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x=2= −c

1⇒ −c=2⇒c= −2

Tiệm cận ngang đường thẳng y= −1=a

1 ⇒a= −1

Đồ thị hàm số giao với trục hoành x0=3⇒ − b

a=3⇒ − b

−1=3⇒b=3

VậyS=a+2b+c= −1+2.3−2=3

Ví dụ (THPT Ngơ Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II). Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d (a6=0) có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng?

A. a>0, b<0, c>0, d>0 B. a<0, b<0, c>0, d>0 C. a<0, b=0, c>0, d>0

D. a>0, b>0, c<0, d>0

x

−2

y

1

−1 −1

Hàm số bậc ba có hệ số a<0⇒ loại A, D.

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số có điểm uốn y=1⇒x=0= − b

3a⇒b=0⇒Chọn

C.

Nhận xét:

ã Đôi ta cần ý đến dấu hai điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d sau sử dụng định lí vi-ét sau Vì điểm cực đại cực tiểu nghiệm phương trình y0=0hay 3ax2+2bx+c=0 (1)nên:

∗)Nếu hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung O ythì phương trình (1)có hai nghiệm trái dấu x1.x2=

c

3a<0 hay ta có điều kiện c a <0

∗)Nếu hàm số có hai cực trị nằm phía so với trục tungO ythì phương trình

(1) có hai nghiệm dấu: Nếu nằm bên phải so với O y phương trình

(1) có hai nghiệm dương, nằm bên trái so với O y phương trình (1) có hai nghiệm âm

ã Ta cần nhớ điểm M(x0; f (x0))là điểm cực trị đồ thị hàm số hình

chiếu M lên trục hồnh nghiệm phương trình f0(x)=0 hay nói khác điểm M(x0; f (x0)) giao điểm đồ thị hàm số y=f0(x)với trục hồnh

Ví dụ (Vương Quyền).

Cho hàm số y = ax3+ bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A. a<0, b>0, c<0, d>0 B. a<0, b>0, c<0, d<0 C. a<0, b>0, c>0, d<0 D. a>0, b>0, c>0, d<0

x y

O

Quan sát đồ thị đối chiếu với dạng chuẩn ta có a<0⇒ loại D.

(48)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Đồ thị hàm số có hai cực trị trái dấu nên theo nhận xét ac <0mà hệ sốa<0⇒c>0

Đồ thị hàm số có điểm uốn x0>0⇒ − b

3a >0⇒ b

3a <0 mà a<0⇒b>0⇒ chọn

C.

III. Một số đồ thị có từ đồ thị hàm số y= f (x)

1. Đồ thị hàm y= f (|x|)

Từ đồ thị hàm số y=f (x) suy đồ thị hàm số y= f (|x|)

Bước 1: Xác định phần bên phải trục tung giữ nguyên phần bỏ phần bên trái trục tung

Bước 2: Lấy đối xứng phần bên phải qua trục tung phần bên phải xác định phần bên trái vừa lấy đối xứng đồ thị hàm số y=f (|x|)

Notes

Cơ sở phương pháp dựa vào tính chất |x| ≥0,∀x∈ Rvà|x| = (

xnếux≥0 −xnếux<0

Ví dụ (Vương Quyền) Cho hàm số y=f (x) có đồ thị hình vẽ

x y

O

Trong hình vẽ hình đồ thị hàm số y=f (|x|)?

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Ta giữ nguyên phần bên phải trục tung O y

như sau: x

y

(49)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Lấy đối xứng phần qua trục tung ta

được đồ thị hàm số y=f (|x|)là: x y

O

2. Đồ thị hàm y= |f (x)|

Từ đồ thị hàm số y=f (x) suy đồ thị hàm số y= |f (x)|

Bước 1: Xác định phần phía trục hồnh đồ thị hàm y=f (x)

Bước 2: Lấy đối xứng hết phần trục hoành đồ thị hàm y=f (x)qua trục hồnh đồ thị hàm số y= |f (x)| tất phần phía xác định bước phần vừa đối xứng lên trục hoành

x y

O

Trong hình vẽ hình đồ thị hàm số y= |f (x)|?

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Ta xác định phần trục hoành (phần

màu xanh) hình bên: x

y

O

Lấy đối xứng phần biên (phần màu

đen) trụcOx lên phía trụcOx ta x y

(50)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Kết hợp hai phần ta đồ thị hàm số y= |f (x)|là

x y

O

3. Đồ thị hàm số y= |f (|x|)|

Từ đồ thị hàm số y=f (x) suy đồ thị hàm số y= |f (|x|)|

Bước 1: Ta xác định đồ thị hàm số y=f (|x|)theo bước nhắc đến

Bước 2: Từ đồ thị hàm y=f (|x|) vừa xác định ta tiếp tục lấy đối xứng phần bên qua trụcOx để đồ thị hàm y= |f (|x|)|

x y

O

Trong hình vẽ đây, hình đồ thị hàm số y= |f (|x|)|?

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Bước 1: Xác định hàm y=f (|x|)bằng cách bỏ phần bên

trái trụcO y lấy đối xứng phần bên phải sang ta được: x y

O

Bước 2: Từ đồ thị xác định đồ thị hàm số y= |f (|x|)|

bằng cách giữ nguyên phần trục Ox lấy đối xứng

phần lên ta được: x

y

(51)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

4. Đồ thị hàm |y| = f (x)

Từ đồ thị hàm số y=f (x) suy đồ thị hàm số |y| =f (x)

Bước 1: Xác định phần phía trục hồnh đồ thị hàm số y= f (x) bỏ phần phía trục hồnh đồ thị hàm số y=f (x)

Bước 2: Lấy đối xứng phần vừa xác định (phía trục hồnh) qua trục hồnh hai phần phía phía trục hồnh đồ thị hàm số|y| =f (x)

x y

O

Trong hình vẽ đây, hình đồ thị hàm số |y| = f (x)?

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Bước 1: Ta xác định phần phía trục hồnh đồ

thị hàm số y=f (x) được: x

y

O

Bước 2: Lấy đối xứng phần xác định qua trục

Ox ta được: x

y

O

⇒Đồ thị hàm số |y| = f (x) hai phần

x y

(52)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

5. Một số dạng đồ thị khác

Từ đồ thị hàm số y=f (x) suy đồ thị hàm số y=f (x)+a ta thực phép tịnh tiến:

2

Nếu a≥0 ta tịnh tiến đồ thị y=f (x) phía bên trục hồnh a đơn vị

2

Nếu a<0 ta tịnh tiến đồ thị y=f (x) phía bên trục hồnh a đơn vị

Ví dụ Cho hàm số y=f (x) có đồ thị hình vẽ

x y

O

Trong hình vẽ cho đây, hình đồ thị hàm số y=f (x)−1

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Vì số a= −1<0⇒ Đồ thị hàm số y= f (x)−1 thu từ đồ thị hàm số y= f (x)

bằng cách tịnh tiến xuống trục hoành 1đơn vị ta đồ thị đáp án B.

(53)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

điểm (0, 1)⇒ f (0)=1⇒f (0)−1=0⇒đồ thị hàm y=f (x)−1 có điểm (0, 1) bị tịnh tiến xuống thành điểm (0, 0)⇒đồ thị đáp án B.

Nhận xét: Như dạng từ đồ thị hàm số y= f (x) ta tự suy đồ thị tương ứng cách lấy điểm thuộc đồ thị thực phép tốn cách số hai ví dụ theo đề cho, biến đổi theo tính chất giá trị tuyệt đối thực phép toán theo đề Ta xét ví dụ sau

Ví dụ Cho hàm số y=f (x) có đồ thị hình vẽ

x y

O

Trong hình đây, hình đồ thị hàm số y= ||f (x)| −1|?

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Cơ sở cách tìm hàm y= ||f (x)| −1| tính chất hàm trị tuyệt đối sau:

y= ||f (x)| −1| = (|f (x)| −1nếu|f (x)| ≥1 −(|f (x)| −1)nếu|f (x)| <1 =

(|f (x)| −1nếu f (x)≥1hoặcf (x)≤ −1

−(|f (x)| −1)nếu −1<f (x)<1 Do

ta xác định hai hàm số y = |f (x)| −1 với f (x) ≥1 f (x) ≤ −1 hàm số

(54)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

IV. Bài tập tự luyện

Câu (Chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu ) Trong các

hàm số sau, hàm số có đồ thị hình vẽ đây? A. y=−x+2

x+2

B. y=2x−2 x+1

C. y=−2x+2 x+1

D. y=x−2 x+1

x

1

−2

−1

y

O

Câu (THPT Sông Ray, Đồng Nai) Đồ thị hàm số y=x3−3x+2 có dạng sau đây?

A.

y

x O

B.

y

x O

C.

y

x O

D.

y

x O

Câu (Để TTTHPT QG- Sở Cần Thơ- Mã 329).

Đường cong hình vẽ đồ thị bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào?

A. y=x4−2x2+1 B. y=2x4−4x2+1 C. y=x4−4x2+1 D. y=2x4−2x2+1

−1

O

x y

Câu (THPT Chu Văn An, Đắk Nông).

Đồ thị hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số được liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số đó hàm số nào?

A. y=2x+1

x−1 B. y= x+1

x−1 C. y= x+2

x−1 D. y= x+2

1−x x

y

−2 −2 O

Câu (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3).

Cho hàm số y=ax+1

x−b có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề

nào sau đúng?

A. a>0>b B. a>b>0 C. a<b<0 D.a<0<b

y

x

(55)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Câu (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1).

Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng?

A. a>0, c<0, d>0 B. a>0, c>0, d>0 C. a<0, c<0, d>0 D. a>0, c<0, d<0

x y

O

Câu (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1).

Cho đồ thị ba hàm số y=f (x), y= f0(x), y= f00(x) mơ tả hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y=f (x),

y= f0(x) y= f00(x) theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào?

A. (C3); (C2); (C1) B.(C2); (C1); (C3) C.(C2);(C3);(C1) D.(C1); (C3); (C2)

O

(C3)

(C2)

(C1)

x y

−1

Câu (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm V).

Cho hàm số y=ax4+bx2+c có đồ thị hình bên Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A. a<0, b<0, c>0 B. a>0, b>0, c>0 C. a>0, b<0, c>0 D. a<0, b>0, c>0

x y

O

Câu (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm VIII).

Hàm số y=ax3+bx2+cx+d (a6=0) có đồ thị sau Khi đó, khẳng định sau đúng?

A. a>0, b>0, c=0, d>0 B. a>0, b<0, c>0, d>0 C. a>0, b>0, c>0, d>0 D. a>0, b<0, c=0, d>0

O x

y

Câu 10 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2) Cho

hàm số y=f (x) có đồ thị y0=f0(x) cắt trụcOx ba điểm có hồnh độa<b<c hình vẽ Mệnh đề đúng?

A. ( f (b)−f (a)) ( f (b)−f (c))<0 B. f (c)>f (b)>f (a) C. f (c)+f (a)−2 f (b)>0 D. f (a)> f (b)> f (c)

x y

O

a b c

(56)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Cho hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị hình vẽ Dấu a; b; c; d

A. a<0; b<0; c>0; d<0 B.a<0; b<0; c<0; d<0

C. a<0; b>0; c<0; d<0 D. a>0; b>0; c>0; d<0 x

y

O

Câu 12 (THPT Lê Viết Thuật, Nghệ An, lần 2) Cho hàm số y=ax4+bx2+c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng?

A. a<0, b>0, c>0 B. a>0, b<0, c>0 C. a<0, b<0, c>0 D. a>0, b<0, c>0

x y

O

Câu 13 (THPT Đông Hà-Quảng Trị-lần 2) Đồ thị hình bên đồ thị của hàm số hàm số liệt kê đáp án A, B, C, D?

A. y= −x3−x+2 B. y= −x3+1 C. y= −x3+3x+2 D. y= −x3+2

x y

O

1

Câu 14 (THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định).

Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị hình bên Mệnh đề sau đúng?

A. a>0, b<0, c>0, d<0 B. a>0, b<0, c<0, d>0 C. a<0, b>0, c>0, d<0 D. a<0, b>0, c<0, d>0

x y

O

Câu 15 (Sở GD ĐT Cần Thơ, mã đề 324).

Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào?

A. y=x3−3x2−3 B. y=x3−6x2+9x+3

C. y= −x2+3x+3 D. y=x3−3x2+3 x

y

O

(57)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Cho hàm số y= x+b

cx+d có đồ thị hình vẽ Khẳng định

đây đúng?

A. b<0, c>0, d<0 B. b>0, c>0, d>0 C. b<0, c<0, d>0 D. b<0, c>0, d>0

x y

O

Câu 17 (THPT Chuyên Hà Tĩnh, lần 2).

Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số hàm số cho đây?

A. y= −x2−1 B. y=1

2x

+x2−1 C. y=x4−x2−1 D. y=x3+x2−1

x y

O

Câu 18 (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3).

Cho hàm số y=ax+1

x−b có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề

nào sau đúng?

A. a>0>b B. a>b>0 C. a<b<0 D.a<0<b

y

x

O

Câu 19 (THPT Minh Khai, Hà Nội).

Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị hình bên?

A. y= x−1 x+1

B. y=2x−1 x+1

C. y=2x+1 2x−1

D. y=2x−1 2x+1

x y

−1

−1 O

Câu 20 (THPT Bắc Duyên Hà, Thái Bình, lần 2) Đường cong hình bên là đồ thị hàm số đây?

A. y=x4+2x2+1 B. y=x4−2x2+1 C. y= −x4+2x2+1

D. y= −x4−2x2+1 O x

y

Câu 21 (Trường THPT Tân Yên - Bắc Giang) Cho hàm số y= x+2

x−1 có đồ thị

(58)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

x y

O 1

Hình vẽ đồ thị hàm số y=|x| +2 |x| −1?

x y

O

−1

Hình 1

x y

O

1

Hình 2

x y

O

1

Hình 3

x y

O

1

Hình 4

A Hình B Hình3 C Hình D Hình1

Câu 22 Cho hàm số y=f (x) có đồ thị hình vẽ

x y

O

(59)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Câu 23 Cho hàm số y=x4−2x2 có đồ thị hình vẽ

x y

O

Hình đồ thị hàm số y= |x4−2x2|?

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

(60)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

Câu 25 Cho đồ thị hàm số y=f (x) có đồ thị hình vẽ

x y

O

Trong hình vẽ đây, hình biểu diễn đồ thị hàm số y= |f (x)| +1?

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

(61)

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Vương

Quy ền

Biết hàm số y=4x3−6x2+1 có đồ thị hình vẽ bên Phát biểu sau phát biểu đúng?

A Đồ thị hàm số y=¯¯4x3−6x2+1 ¯

¯có cực trị B Đồ thị hàm số y=¯¯4x3−6x2+1

¯

¯ có cực trị C Đồ thị hàm số y=¯¯4x3−6x2+1

¯

¯ có cực trị D Đồ thị hàm số y=¯¯4x3−6x2+1

¯

¯ có cực trị

O

x y

1

−1

1

ĐÁP ÁN

1 C

2 C

3 B

4 C

5 A

6 A

7 A

8 D

9 D

10 C

11 C

12 A

13 D

14 C

15 D

16 D

17 B

18 A

19 A

20 C

21 D

22 C

23 A

24 B

25 C

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	0,92 MB