Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của[r]
(1)1
BÀI TẬP TOÁN 11 TUẦN THÁNG – 2020
BÀI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG
A TĨM TẮT LÝ TUYẾT
I Định nghĩa: đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng ( ) d vng góc với đường thẳng
a nằm mặt phẳng ( )
Nghĩa là: d ⊥( ) ⊥d a, a ( )
II Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
( ) ( ) , d a d b d a b
a b M
⊥ ⊥ ⊥ =
III Tính chất:
• Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng
Mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB
IV Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng
• ( ) ( ) a b b a ⊥ ⊥ • ( )( ) a b
a a b
b ⊥ ⊥ • ( ) ( )
( ) a ( )
a ⊥ ⊥ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a ⊥ ⊥ • ( ) ( ) a a b b ⊥ ⊥ • ( ) ( ) ( ) a
a b a
b ⊥ ⊥
V Phép chiếu vng góc định lí ba đường vng góc 1 Phép chiếu vng góc
(2)2 2 Định lí ba đường vng góc:
Cho a( ) b( ) , 'b hình chiếu 'b lên ( ) Khi đó: a⊥ ⊥ b a b'
3 Góc đường thẳng mặt phẳng:
• Nếu d ⊥( ) thì ta nói góc giữa d ( ) 90
• Nếu đường thẳng d khơng vng góc với mp ( ) thì góc giữa d hình chiếu '
d nó lên mp ( ) gọi góc giữa d ( ) • Kí hiệu: (d,( ) )
( )
(d, )=( )d d, ' = đó ' d hình chiếu d lên mp ( ) 0 90
B VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCcó đáy ABC tam giác vng B SA vng góc với mặt phẳng (ABC)
a) Chứng minh BC⊥(SAB)
b) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Chứng minh AH ⊥(SBC) c) Kẻ đường cao AK tam giác SAC Chứng minh SC⊥HK
Giải
a) Chứng minh BC⊥(SAB)
Ta có: SA⊥(ABC) mà BC(ABC) suy SA⊥BC Lại có BC⊥AB
( )
,
SA AB SAB ; SAAB= nên A BC ⊥(SAB)
b) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Chứng minh AH ⊥(SBC) Ta có BC⊥(SAB) mà AH (SAB) suy BC⊥ AH Lại có AH⊥SB
( )
, ;
(3)3
c) Kẻ đường cao AK tam giác SAC Chứng minh SC⊥HK
Ta có AH ⊥(SBC) mà SC(SBC) suy AH ⊥SC Lại có AK⊥SC
( )
, ;
AK AH AHK AKAH = nên A SC⊥(AHK) HK (AHK)SC⊥HK Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc mặt
phẳng (ABCD) SA=a
a) Tính góc giữa SC mặt phẳng (ABCD) b) Tính góc giữa SB mặt phẳng (SAD)
Giải
a) Tính góc SC mặt phẳng (ABCD)
• Ta có SA⊥(ABCD) SC(ABCD)= nên AC hình chiếu SC lên C mặt phẳng (ABCD) suy (SC ABCD,( ))=(SC AC, )=SCA
• Xét tam giác SAC vng A có: tan 50 46 '
2 SA a
SCA SCA
AC a
= = =
Vậy (SC ABCD,( )) 50 46 '
b) Tính góc SB mặt phẳng (SAD)
• Ta có SA⊥(ABCD) mà AB(ABCD) suy SA⊥ AB Lại có AB⊥AD
( )
, ;
SA AD SAD SAAD= nên A AB⊥(SAD) mặt khác SB(SAD)= Do đó S SA hình chiếu SB lên mặt phẳng (SAD) suy (SB SAD,( ))=(SB SA, )=ASB
• Xét tam giác SAB vng A có: tan 30
3
AB a
ASB ASB
SA a
= = = =
(4)4
C BÀI TẬP
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG d VNG GĨC MẶT PHẲNG ( )
( ) ( )
,
d a
d b
d a b
a b M
⊥ ⊥
⊥
=
Bài 3.1 Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm S đường thẳng vng góc mặt phẳng
(ABC) A Dựng AH AK, hai đường cao tam giác SAB SAC, Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh:
a) BC⊥SA b) AB⊥(SAC) c)AC⊥(SAB) d) SC⊥KB e) SI ⊥BC f) AI ⊥(SBC)
Bài 3.2 Cho tứ diện S ABC có SA⊥(ABC) tam giác ABC vng B Trong (SAB) kẻ AM ⊥SB M Trên SC lấy điểm N cho SM SN
SB = SC Chứng minh rằng: a) BC⊥(SAB) b) AM ⊥(SBC) c) SB⊥AN
Bài 3.3 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC
a) Chứng minh BC⊥(ADI)
b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH ⊥(BCD)
Bài 3.4 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi ABCD SA SB= =SC=SD Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng:
a) SO⊥(ABCD) b) AC⊥(SBD) c) BD⊥(SAC)
Bài 3.5 Trên mặt phẳng ( )P cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD S điểm nằm ( )P cho SA=SC SB, =SD Chứng minh rằng: a) SO⊥(ABCD)
b) Nếu tam giác SAB kẻ SH ⊥AB H AB⊥(SHO)
Bài 3.6 Cho tam giác ABC vng A , có SA⊥(ABC) Vẽ AK đường cao tam giác ABC, AH đường cao tam giác SAK Chứng minh rằng:
a) BC⊥SK b) AH ⊥SB
c) HC⊥SB d) 2 12 12 2
AH = AS + AB + AC
(5)5
Bài 3.8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SA⊥(ABCD) Gọi E F H, ,
lần lượt hình chiếu A lên SB SD SBD, ( ) Chứng minh: a) Các mặt bên hình chóp tam giác vuông
b) BD⊥SC c) SC ⊥(AEF)
d) H trực tâm tam giác SBD
Bài 3.9 Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) tam giác ABC khơng vng Gọi H K, lần lượt trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh:
a) AH SK BC, , đồng quy b) SC ⊥(BHK)
c) HK ⊥(SBC)
Bài 3.10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a SA⊥(ABCD) SA a= a) Chứng minh mặt bên hình chóp S ABCD tam giác vng b) Từ A kẻ AH ⊥SB,(HSB);AK ⊥SC K,( SC) Chứng tỏ SC⊥(AHK) c) Gọi I =SC(AHK) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vng góc tính diện tích tứ giác đó
Bài 3.11 Cho tứ diện ABCD có đáy ABC tam giác cân DA⊥(ABC) biết AB=AC= , a
5
BC= a Gọi M trung điểm BC Vẽ AH ⊥DM H( DM) a) Chứng minh rằng: AH ⊥(BCD)
b) Cho
4
AD= a Tính góc giữa hai đường thẳng AC DM
c) Gọi G G1, 2 trọng tâm tam giác ABC BCD Chứng minh G G1 ⊥(ABC)
Bài 3.12 Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , vng góc với đôi
, ,
OA=a OB=b OC=c
a) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh: OH ⊥(ABC) b) Tính OH theo a b c, ,
Bài 3.13 Cho hình chóp S ABCDcó đáy hình vng tâm O SA vng góc với đáy Dựng H K, hình chiếu vng góc A lênSB SD, Chứng minh rằng:
a) BC⊥AH b) CD⊥AK
c) SC⊥(AHK)tại M Xác định M Chứng minh AHMK tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vng góc
d) Gọi I hình chiếu vng góc của O lên SC Chứng minh rằng:SC⊥(BDI) Bài 3.14 Cho hình thang ABCD vuông A B có đáy AD=2BC AB=BC Lấy
(6)6
a) Các mặt bên tam giác vuông b) SD⊥CI
c) SC⊥BI d) AK⊥KD
Bài 3.15 Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng SI ⊥(ABCD) với I trung điểm AB
a) Chứng minh rằng: SAD SBC, tam giác vuông
b) Gọi K trung điểm DC , H hình chiếu A lên SK Chứng minh
( )
IH ⊥ SCD
c) Gọi J trung điểm AD Chứng minh: CJ ⊥SD
DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
• Nếu d ⊥( ) thì ta nói góc giữa d ( ) 90
• Nếu đường thẳng d không vuông góc với mp ( ) thì góc giữa d hình chiếu '
d nó lên mp ( ) gọi góc giữa d ( ) • Kí hiệu: (d,( ) )
( )
(d, )=( )d d, ' = đó ' d hình chiếu d lên mp ( ) 0 90
Bài 3.16 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông C , AB=2 ,a BAC = 60
( )
SA⊥ ABC SA a= Gọi I trung điểm SC a) Chứng minh rằng: BC⊥(SAC); AI ⊥(SBC)
b) Tính góc giữa: SB (ABC); SA (SBC); SB (SAC); SC (SAB) Bài 3.17 Cho hình chóp S ABCDcó đáy hình vuông ABCD cạnh a SA⊥(ABCD)
3
SA=a Tính góc giữa:
a) SC mp (ABCD) (; SAB) (; SBD)
b) SA mp (SBC) (; SCD) (; SBD)
Bài 3.18 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B SA vuông với mặt phẳng đáy Biết BSC= 30 , ACB= Gọi I hình chiếu B SC Xác định để góc giữa BI (SAC) 60
Bài 3.19 Cho hình chóp S ABCcó 3 a
SA=SB=SC= đáy ABC tam giác cạnh a a) Gọi H hình chiếu S lên (ABC) Tính SH
b) Tính góc giữa SA (ABC)
Bài 3.20 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a SA=a vng góc với đáy
(7)7 b) Tính góc giữa SC (ABCD)
c) Tính góc giữa SC (SAB); SB (SAC); AC (SBC)
Bài 3.21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng tạiA B,
2 ,
AD= a AB=BC=a SA vuông với đáy SA=2a a) Chứng minh SCD tam giác vng
b) Tính góc giữa SD (SAC)
Bài 3.22 Cho hình chóp tứ giác S ABCDcó cạnh đáy a , tâm O Gọi M N, trung điểm củaSA BC, Biết góc giữa MN (ABCD) 60