Tải Bài tập nâng cao hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Bài tập nâng cao Toán 9

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.. Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 3.1..[r]

Bài tập hệ phương trình bậc hai ẩn nâng cao

Bản quyền tài liệu thuộc upload.123doc.net A Lý thuyết

1 Định nghĩa

Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng ¿

a1x+b1y =c1

a2x+b2y=c2 ¿{

¿

Trong a1x+b1y =c1 a2x+b2y=c2 phương trình bậc hai ẩn

Mỗi nghiệm chung hai phương trình hệ gọi nghiệm hệ

⇒ Giải hệ hai phương trình ta tìm tất nghiệm chung hai phương trình bậc hai ẩn có hệ

Nếu hai phương trình hệ khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm

Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm

2 Minh họa hình học

Mỗi phương trình bậc hai ẩn biểu diễn đường thẳng mặt phẳng tọa độ Do đó, mặt phẳng tọa độ, nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn biểu diễn điểm chung hai đường thẳng (d1):a1x+b1y =c1 (d2):ax2+by2=c2

Khi đó, nếu:

 (d1) cắt (d2) hệ có nghiệm tập nghiệm hệ

biểu diễn giao điểm (d1) (d2)

 (d1)//(d2) hệ vơ nghiệm tập nghiệm tập rỗng

 (d1) trùng với (d2) hệ có vơ số nghiệm tập nghiệm biểu diễn

bởi (d1)

3 Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn 3.1 Phương pháp thế

Để giải hệ phương trình

¿

a1x+b1y =c1

a2x+b2y=c2 ¿{

¿

phương pháp thế, ta làm

sau:

Giả sử a1≠ 0

Bước 1: Rút ẩn x từ phương trình a1x+b1y =c1 , ta x=

c1− b1y a1

Bước 2: Thay x=c1− ba 1y

1 vào phương trình

a2x+b2y=c2 , ta phươn

trình ẩn a2.(

c1− b1y

a1 )+b2y=c2

Bước 3: Giải phương trình ẩn trên, tìm giá trị của y

Bước 4: Thay giá trị tìm ẩn y vào biểu thức x=c1− ba 1y

1 , ta tìm

giá trị tương ứng x

Cặp giá trị tìm hai ẩn nghiệm hệ cho ! Chú ý:

 Nếu a=0 , phải có điều kiện b ≠ 0 Khi rút y từ phương trình

a1x+b1y =c1 .

 Khi hệ số a1, b1, a2,b2 số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số

nó có giá trị tuyệt đối nhỏ 3.2 Phương pháp cộng đại số

Để giải hệ phương trình

¿

a1x+ b1y =c1

a2x+ b2 y=c2

¿{

¿

phương pháp cộng đại số, ta làm

như sau:

Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp cho hệ số

của ẩn hệ phương trình số (hoặc đối nhau)

Bước 2: Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình để phương trình

một ẩn Thay hai phương trình hệ phương trình ẩn ta hệ

Bước 3: Giải phương trình ẩn ta tìm giá trị ẩn Thay giá trị vừa

tìm ẩn vào phương trình cịn lại hệ ta tìm giá trị tương ứng ẩn Cặp giá trị tương ứng vừa tìm hai ẩn nghiệm hệ phương trình cho

4 Một số hệ phương trình nâng cao 4.1 Hệ đối xứng loại 1

 Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x , y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x , y cho phương trình khơng đổi

 Tính chất: Nếu (x0; y0) nghiệm hệ (y0; x0) nghiệm

của hệ

 Cách giải: Đặt

¿

S=x + y P=x y

¿{ ¿

điều kiện S2≥ P , quy hệ phương trình ẩn

S , P .

 Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x , y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x , y cho phương trình trở thành phương trình

 Tính chất: Nếu (x0; y0) nghiệm hệ (y0; x0) nghiệm

của hệ

 Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình

có dạng

( x − y )[f (x , y )]=0⇔ x − y=0 f ( x , y )=0

¿{

4.3 Hệ đẳng cấp

 Định nghĩa: Hệ đẳng cấp hệ chứa phương trình đẳng cấp hoặc

các phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp

+ Ta thường gặp dạng hệ hình thức như:

2

2

ax bxy cy d

ex gxy hy k

   

 

  



 ,

2

2

ax bxy cy dx ey

gx hxy ky lx my

    

 

   



 ,

2

3 2

ax bxy cy d

gx hx y kxy ly mx ny

   

 

    



 ,…

+ Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát

 Cách giải: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạp ra

phương trình đẳng cấp bậc n:

n n k k n

k n

a x a x  y a y

   

Từ ta xét hai trường hợp:

+ y 0 thay vào để tìm x

+ y 0 ta đặt x ty thu phương trình

n n k

k n

a t a t  a

   

Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x y, (Cách làm tương tự với trường hợp y tx )

B Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

¿

x+

1

y=

3

6 x+ 5 y=

2 15 ¿{

¿ Lời giải:

Trước giải hệ phươn trình, ta phải đặt điều kiện cho ẩn để hệ phương trình có nghĩa Điều kiện: x ≠ ; y ≠ 0

Đặt 1x=a

Khi hệ phương trình trở thành

¿

a+b=3

4

6a+ 5b=

2 15 ¿{

¿

Sử dụng phương pháp

phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình, ta

¿

a=1

2(tm)

b=1

4(tm) ¿{

¿

Với ¿

a=1

2

b=1

4 ¿{

¿

ta có

¿

x=

1

y=

1

⇔

¿x=2(tm)

y=4 (tm)

¿{ ¿

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y )=(2; 4)

Áp dụng: Giải hệ phương trình sau:

a)

¿

(x+3)( y −5 )=xy

( x − 2)( y +5 )=xy ¿{

¿

Đáp số: (x ; y)=(12;25)

b)

¿

x y−

x y +12=1 x

y −12−

x y=2

¿{ ¿

Đáp số: (x ; y)=(144 ;36)

c)

¿

4 (x + y )=5 (x − y ) 40

x+ y+

40

x − y=9

¿{ ¿

Đáp số: ( x ; y )=(9 ; 1)

d)

¿

|x − 2|+2|y − 1|=9

x+|y − 1|=− 1 ¿{

¿

Đáp số: ( x ; y )=(−3 ; 3) (x ; y)=(−3 ;−1)

e)

¿

x+ y+|x|=25

x − y+|y|=30 ¿{

¿

Đáp số: ( x ; y )=(16 ;− 7)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

¿

x+ y+2 xy=2 x3+y3=8

¿{ ¿ Lời giải:

Ta biến đổi hệ phương trình thành

¿

x + y +2 xy=2

(x+ y)(x2+xy+ y2)=8 ¿{

⇔ x+ y+2 xy=2

x+ y¿2− xy ¿ ¿=8

¿ (x + y)¿

Đặt ¿

S=x + y P=x y

¿{ ¿

điều kiện S2≥ P , hệ trở thành:

¿

S +2 P=2 S (S2− P)=8

¿{ ¿

Giải hệ với ẩn S , P Khi tìm S , P , ta tính nghiệm hệ phương trình (x ; y)=(0 ;2) hoặc (x ; y)=(2;0) .

Áp dụng: Giải hệ phương trình sau

a,

¿

2(x + y)=3(√3 x2y +√3xy2)

√x +√3 y=6

¿{ ¿

Đáp số: ( x ; y )=(−2 ; 3) hoặc (x ; y)=(3;− 2)

b,

¿

x3

+y3=19 ( x+ y )(8+ xy )=2

¿{ ¿

Đáp số: ( x ; y )=(8 ; 64) hoặc (x ; y)=(64 ;8)

c,

¿

x + y −√xy =3

√x+1+√y +1=4

¿{ ¿

Đáp số: ( x ; y )=(3; )

d,

¿

√x2

+y2+√2 xy=8√2 √x+√y =4

¿{ ¿

Đáp số: ( x ; y )=(4 ; 4)

e,

¿ ( x + y )(1+

xy)=5

(x2+y2)(1+

x2

+y2)=9 ¿{

¿

Đáp số: ( x ; y )=(1 ;3 ±√5

2 )

( x ; y )=(3 ±√5 ;1)

f,

¿

x3y (1+ y )+ x2y2

(2+ y )+ xy3− 30=0

x2y+x(1+ y + y2)

+y −11=0

¿{ ¿

Đáp số: (x ; y)=(1;2) hoặc

( x ; y )=(2; 1) hoặc

( x ; y )=(5 ±√21 ;

5∓√21 )

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

¿

x2+√x=2 y y2

+√y =2 x

¿{ ¿ Lời giải:

Điều kiện x , y ≥0 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được:

x2

+√x −(y2

+√y)=2 ( y − x )

Vì [(√x+√y)( x + y )+1+ 2(√x +√y)]>0 nên phương trình cho tương đương với

x= y .

Thế x= y vào hai phương trình ta nghiệm hệ phương

trình (x ; y)=(0 ;0) hoặc (x ; y)=(1;1) (3−√5 ;

3 −√5 ) Áp dụng: Giải hệ phương trình sau

a,

¿

(x − 1)(y2+6)=y(x2+1) ( y −1)(x2+6)=x(y2+1)

¿{ ¿

Đáp số: (x ; y)=(2;2) hoặc ( x ; y )=(3; ) ( x ; y )=(2; ) hoặc (x ; y)=(3;2)

b,

¿

x3+3 x −1+√2 x+1= y

y3+3 y − 1+

√2 y +1=x ¿{

¿

Đáp số: ( x ; y )=(0 ; 0)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

 

3

2

8

3

x x y y

x y            Lời giải:

Ta biến đổi hệ phương trình thành

3

2

8

3

x y x y

x y          

Đểy ý nhân chéo phương trình hệ ta phương trình đẳng cấp

bậc 3:     

3 2

6 x y  8x2y x 3y

Từ ta có lời giải sau:

Vì x 0không nghiệm hệ nên ta đặt y tx Khi hệ trở thành:

 

 

      

2

3 3 3

3

2

2 2 2 2

1

8 1 4

3

1 3

3 1 3 6

x t t

x x t x tx t t

t t t

t

x t x x t

                               

12

1 t t t t             Với  

2 1 32 6

3 1 3 x t x t x y y                 . Với 78 13 78 13 x t y          

  Suy ta cặp nghiệm hệ phương trình. Áp dụng: Giải hệ phương trình sau

a,

 

   

2

2

2

5

2

x y xy y x y

xy x y x y

             

Đáp số: x y ;  1;1, x y   ;   1; 1,

b,      

2

2

3

2 3

2

x y y

y x y x x x

 ;  2;

5

x y  

 ,

 ;  2;

5

x y    

 

  Đáp số:

 ;  14 5;

9 18

x y   

 

c,

 

2

2 2

1

3

x y x y

x y

x

x y x y

               Đáp số:

 ;  17 13 17;

4

x y    

  d, 3 2 x y x y x y          

Đáp số:

 ;  2; , 2;

2 2

x y       

   

hoặc

 ;  5; , 5;

5 5

x y       

   

e,

2

3

1 2

3

x y xy x

x x xy

            Đáp số:

 

3

; 9;

9

x y   

 

f,  

2

2 3

2

2 3

xy x y

xy x x y x

            Đáp số:

 ;  1;1 , 31 ;34

x y   

 

Ví dụ 5: Cho hệ phương trình với tham số m

 

 

1 1(1)

1 2(2)

m x y m

x m y

            a, Giải hệ phương trình với m 3 b, Giải biện luận hệ phương trình

c, Tìm giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d, Tìm giá trị nguyên m để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn điều kiện x y nhỏ

Lời giải:

a, Với m 3 hệ trở thành

11

4 9

2

18 x x y x y y                  .

b, Rút ytừ (1) ym1x m1 Thay vào (2)

 1  1 2 2 1(3)

x m  x m    m x m 

+ Nếu m 0

2 m x m  

Khi m y m  

Hệ có nghiệm + Nếu m 0 phương trình (3) trở thành 0x 1 Hệ cho vô nghiệm

c, Ta phải có    

2 2

1 1

m  m  m  m U  

Với m 1 x2,y2 Với m 1 x2,y2 Vậy giá trị nguyên m -1

d, Ta có  

2

2

2

1

m m

x y m

m m m

 

Đặt

t

m  , ta có:

2

2 7

1 2

2 16 8

t

x y   t t  t     t   

   

Vậy  

7

8

x y   t

hay m 4

Áp dụng:

Bài 1: Tìm giá trị m để nghiệm hệ phương trình sau số dương:

2

mx y x y

  



  

Đáp số:

3

2

m

  

Bài 2: Tìm giá trị m để hai hệ phương trình sau tương đương:

2

3

x y

x y

  



 



3

3

mx y

x y

  



  

Đáp số: m 4

Bài 3: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vơ nghiệm, vơ số nghiệm:

   

 

2

1

m x m y m

m x my m

    

  

   

 

Đáp số: m 2hệ vơ nghiệm, m 1 hệ có vơ số nghiệm

Bài 4: Cho hệ phương trình với tham số m:

 

 

1

1

m x y m

x m y m

   

  

  

 

a, Giải biện luận hệ phương trình theo m

b, Tìm giá trị nguyên m để nghiệm hệ phương trình số nguyên

c, Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm dương

Đáp số: b, m  1; c, m 0 m 2

Bài 5: Cho hệ phương trình với tham số m:

 

2

3 1

mx y

x m y

 

  

   

 a, Giải hệ phương trình với m 3

b, Giải biện luận hệ phương trình theo m

c, Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm số nguyên

Đáp số: a, x y  ;  1; 1 c, m 3;3;1

Bài 6: Cho hệ phương trình với tham số m:

x my m

mx y m

  

 

   

b, Trong trường hợp hệ có nghiệm nhất, tìm giá trị m để tích xy nhỏ