Tai lieu boi duong hinh hoc 8

BàI TậP bồi d- ỡng hsg hình học I Tứ giác, hình thang: Bài tập vị trí t- ơng đối điểm, đ- ờng thẳng Bài toán 1a: Cho hình thang ABCD (AB//CD) đáy CD tổng hai cạnh bên BC AD Hai đ- ờng phân giác hai góc A, B cắt K Chứng minh C, D, K thẳng hàng A B D K C HD: Gọi K giao điểm phân giác góc A với DC Dễ dàng chứng minh đ- ợc DAK cân D Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK phân giác góc B Đpcm TIP: Bài c/m theo h- ớng: - Gọi K giao điểm hai phân giác góc A B C/m KC + KD = DC => K thuéc DC => đpcm Bài toán 1b: *Cho tứ giác ABCD Gọi ABCD theo thứ tự trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đ- ờng thẳng AA, BB, CC,DD đồng quy B B A L I B' C I F F E E A D' C' J A’ A' K D J C D HD: Gọi E,F lần l- ợt trung điểm AC, BD ; I trung điểm EF ; J trung điểm AC - Tam giác CAA có EJ đ- ờng trung bình nên EJ//AA - Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A FJ // với EJ nên AA qua trung điểm I FE - Hoàn toàn t- ơng tự chứng minh đ- ợc BB, CC, DD qua I - Các đ- ờng thẳng đồng quy I Bài tập chứng minh Bài toán 2a: Cho tam giác ABC AB < AC Gọi H chân đ- ờng cao kẻ từ đỉnh A M,N,P lần l- ợt trung điểm cạnh AB,AC,BC Chứng minh tứ giác NMPH hình thang cân A HD: - MNHP hình thang - MP = AC/2 ( §- êng TB ) - HN = AC/2 ( §- êng TT ) N M B H P C đpcm Bài toán 2b: Cho tứ giác ABCD có AD=BC M,N lần l- ợt trung điểm AB DC Đ- ờng thẳng AD cắt đ- ờng thẳng MN E Đ- ờng thẳng BC cắt đ- ờng thẳng MN F Chứng minh AEM = BFM E F M A B I N D HD: C - Gọi I trung điểm BD - Chứng minh tam giác IMN cân I ( IM = IN = AD/2=BC/2) - IM // DE vµ IN //CF đpcm Bài tập tính toán Bài toán 3a: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC kéo dài cắt E Hai cạnh AB DC kéo dài cắt M Hai phân giác hai góc CED BMC cắt K TÝnh gãc EKM theo c¸c gãc cđa tø gi¸c M A D K HD: B C E Trong tam giác MKE đ- ợc MKE = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 1800 - D KMD = (1800 - C - B)/2 KED = (1800 -A-B)/2 Thay vào ta đ- îc: MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D) = (3600 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-3600)/2= (B+D)/2 Bài toán 3b: Cho hình thang ABCD M,N lần l- ợt trung điểm hai đáy AD BC O điểm thuộc MN Qua O kẻ đ- ờng thẳng song song với đáy hình thang Đ- ờng thẳng cắt AB,CD lần l- ợt E,F Chứng minh OE=OF B E HD: C N O H F I A D M Chøng minh SBNMA = SNCDM (Do cã tổng hai đáy chiều cao ) Chứng minh SBEN=SNFC SEAM = SFMD để đ- ợc SEMN =SFMN Tõ ®ã cã EH = FI ( víi EH, FI lần l- ợt hai đ- ờng cao hai tam giác OE =OF Bài tập quỹ tích, dựng hình Bài toán 4a: Cho tứ giác lồi ABCD HÃy dựng đ- ờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích A B I M D C E Ph©n tÝch: Giả sử AM đ- ờng thẳng cần dựng Lấy ®iĨm E ®èi xøng víi D qua M AE c¾t BC t¹i I Cã: SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI ð SABC = SEBC => BE// AC Cách dựng: - Dựng đ- ờng chéo AC - Từ B dựng đ- ờng thẳng song song với AC cắt AC E - Lấy M trung điểm DE - AM đ- ờng thẳng cần dựng TIP: Thực chất phép dựng biến đổi hình thang tam giác t- ơng đ- ơng ( có diện tích diện tích hình thang ) Để chuyển toán tập dựng trung tuyến tam giác Sau tập áp dụng việc biến đổi Bài toán 4b: Cho tứ giác ABCD I điểm AB Qua I hÃy dựng đ- ờng thẳng chia tứ giác làm hai phần cã diÖn tÝch b»ng B I A F J E C D Phân tích: Giả sử đà dựng đ- ợc IJ Sử dụng ph- ơng pháp biến đổi tam giác t- ơng đ- ơng.Ta có b- ớc phân tích: Xác định điểm F tia DC cho SIJCB = SIJF Lóc ®ã SBIC = SFIC.Suy BF//IC Xác định điểm E tia CD cho SIJAD = SIJE Lóc ®ã SAID = SEID.Suy AE//ID Rõ ràng J trung điểm đoạn thẳng EF Cách dựng: - Qua A dựng đ- ờng thẳng song song với ID cắt DC E Qua B dựng đ- ờng thẳng song song với IC cắt DC F - Dựng J trung điểm EF IJ đ- ờng thẳng cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a: Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M tứ giác cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ Giải: Cách 1: Gọi O giao điểm hai đ- ờng chéo M O MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ Thật vậy, M O ta cã: MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD Víi M bÊt kú tø gi¸c ta cã: MA +MC ³ AC MB + MD ³ BD ð MA +MB +MC +MD ³ AC + BD ð MA +MB +MC +MD nhá nhÊt lóc M º O D C¸ch 2: Víi ba ®iĨm M; A; C ta cã: MA +MC AC C Dấu = xảy lúc Mẻ[AC] M O Víi ba ®iĨm M; B; D cã MB + MD ³ BD DÊu “=” x¶y lóc M Î [BD] ð MA + MB +MC +MD ³ AC + BD A B Dấu = xảy lúc Mẻ[AC] Mẻ[BD] M O ( Với O giao điểm hai đ- ờng chéo ) Bài toán 5b: Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác lồi không lớn nửa tổng hai cạnh lại Giải: Gọi I trung ®iĨm cđa AC ta cã: C MI = BC / B IN = AD / I ð MI + IN = ( BC +AD)/ M N Lại có với ba điểm M,I,N MI + IN ³ MN ð MN £ (BC + AD) / =>đpcm A D II Hình bình hành: Các toán vị trí t- ơng đối: Bài toán 1a: Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D,E,F lần l- ợt trung điểm cạnh AB,BC,CA L,M,N lần l- ợc trung điểm OA,OB,OC Chứng minh EL, FM, DN đồng quy Giải: A Dựa vào tính chất đ- ờng trung bình chứng minh tứ giác LFEM, NEDL hình bình hành đpcm B L D F O M N E C Bài toán 1b: Chứng minh rằng: tam giác ba đ- ờng cao ®ång quy M A B N H C P HD: - Dễ dàng chứng minh ba đ- ờng trung trực tam giác đồng quy cách dựa vào tính chất đ- ờng trung trực đoạn thẳng - Từ ba đỉnh tam giác ABC đựng đ- ờng thẳng song song với cạnh đối diện Các đ- ờng thẳng đôi cắt MNP - Các tứ giác BCNA BCAM hình bình hành nên HA đ- ờng trung trực MN - Tam giác MNP nhận đ- ờng cao tam giác ABC làm đ- ờng trung trực - Các đ- ờng trung trực tam giác MNP ®ång quy hay c¸c ®- êng cao cđa tam gi¸c ABC đồng quy Các toán chứng minh nhau: Bài toán 2a: Cho tứ giác ABCD E,F lần l- ợt trung điểm AB, CD M, N, P, Q lần l- ợt trung điểm AF, CE, BF, DE Chøng minh r»ng MN = PQ HD : C B N E M P F Q D A Chøng minh tø gi¸c MNPQ cã hai đ- ờng chéo giao trung điểm đ- ờng (Chính trung điểm EF) Bài toán 2b: Cho tứ giác ABCD.Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC ; G đỉnh thứ t- hình bình hành CADG ; H đỉnh thứ t- hình bình hành CABH a Chøng minh BD // GH G b Chøng minh HD = 2EF D E I C J H F A B HD: a BDGH hình bình hành BH DG song song AC =>đpcm b Gọi I,J lần l- ợt trung điểm CD CH Chứng minh EIJF hình bình hành => đpcm Các tập tính toán: Bài toán 3a: Cho hình bình hành ABCD có ADC = 750 O giao đIểm hai đ- ờng chéo Từ D hạ DE DF lần l- ợt vuông góc víi AB vµ BC (E thc AB, F thc BC ) TÝnh gãc EOF E A B O C D F Có O trung điểm DB Từ có đ- ợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến, cạnh huyền ) EOD = 2EBO ( Vì DEOB cân O ) DOF = 2FBO ( Vì DFOB cân O ) Cộng hai đẳng thức để đ- ợc: EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF Do EBF = ADC nªn EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 Bài toán 3b: Cho tam giác ABC Một đ- ờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần l- ợt D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD Tính số đo góc tam giác GIB A D G K E I B C HD: Qua C kẻ đ- ờng thẳng song song với AB, đ- ờng cắt DE K - Tứ giác DBCK hình bình hành nên BK cắt DC trung ®iĨm I cđa DC - Chøng minh hai tam gi¸c DBG EKG - Từ có đ- îc GIB =900 vµ BGI = BGK/2 = DGE/2 - Có DGE = 1200 ( Do ADE ) nên BGI = 600 GBI = 300 Các toán quỹ tích, dựng hình Bài toán 4a: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DA=CE Tìm q tÝch trung ®iĨm I cđa DE D di động cạnh AB A E I D B C Bài toán 4b: Cho góc nhọn xAy O điểm thuộc miền góc Dựng Ax điểm M Ay điểm N để: x a O trung điểm MN b OM =2ON M Giải: O O A N y a C1:( Dựa vào kiến thức hình bình hành ) Phân tích: Gọi O điểm đối xứng A qua O Khi O trung điểm MN tứ giác AMON hình bình hành Cách dựng: - Dựng O đối xứng với A qua O - Dựng đ- ờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax M - Dựng đ- ờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay N C2:( Dựa vào kiến thức đ- ờng trung bình ) Phân tích: Khi O trung điểm MN đ- ờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax trung điểm AN Cách dựng: - Dựng đ- ờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax O1 Trên tia Ax dựng M cho O1 trung điểm AM - T- ơng tự cách dựng N (x) b M D O A N N1 (y) HD: Xem O trọng tâm tam giác => xác định đ- ợc D chân đ- ờng trung tuyến xuất phát từ A => Quy toán 3a để giải Các toán cực trị: Bài toán 5a: Cho tam giác ABC có AM đ- êng trung tuyÕn Chøng minh r»ng: AB + AC ³ 2AM Giải: Lấy A1 điểm đối xứng A qua M ta có: A ABA1C hình bình hành ð BA1 = AC vµ AA1 = 2AM ð AB +AC = AB + BA1 B C L¹i cã: AB + BA1 > AA1 M ð AB + AC > AA1 =2AM => đpcm A1 Bài toán 5b: Chứng minh r»ng, mét tam gi¸c trung tun øng víi cạnh nhỏ lớn A M B N I H C D KỴ ND //MC (DỴBC) ; NI //AB (IẻBC) Dễ dàng chứng minh đ- ợc: MC = ND MN = BI =CD Gi¶ sư AB NI HI HB < HD ð NB < ND => NB < MC Bài toán 5c: Một kênh có hai bờ song song P,Q hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đ- ờng tõ P ®Õn Q nhá nhÊt Q N M P’ P HD: Dựng hình bình hành NMPP ta đ- ợc: PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ Do PP’ = const §Ĩ PM + MN + NQ nhá nhÊt th× P’N +NQ nhá nhÊt ð P’,N,Q thẳng hàng Dễ dàng suy cách dựng II Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông: Bài tập vị trí t- ơng đối điểm, đ- ờng thẳng Bài toán 1a: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD Chứng minh BM vu«ng gãc víi MK B C I H A M K D HD: - KỴ MI // AB ( I thuộc BH ) - Chứng minh ICKM hình bình hành => IC//MK - Chứng minh I trực tâm tam giác CBM => CI vuông góc với BM MK vuông góc với BM Bài toán 1b: Cho tam giác ABC có AD đ- ờng cao Về phía tam giác dựng hình vuông ABEF ACGH Chứng minh AD,BG,CE đồng quy I H F G A E C B D HD: Dựng hình bình hành FAHI Chứng minh hai tam giác ABC HIA để đ- ợc: IAH = BCA IA = BC Tõ IAH = BCA chøng minh IAD thẳng hàng Hay ID đ- ờng cao tam gi¸c IBC Tõ IA = BC cïng víi IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC BCG Đ- ợc CBG = AIC với IA vuông góc với BC đ- ợc BG vuông góc với IC T- ơng tự chứng minh đ- ợc CE vuông gãc víi IB ð ®pcm (TÝnh chÊt ba ®- êng cao tam giác ) Bài tập chứng minh Bài toán 2a: Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần l- ợt trung điểm AB,AD BN, CM cắt P Chứng minh DP =AB M A B N HD: 2AB P I D C Gọi I giao điểm hai đ- ờng thẳng BN CD Dễ dàng chứng minh đ- ợc IC = Hai tam giác MCB NBA đồng thời AB vuông góc với BC nên CM vuông góc với NB Tam giác vuông PIC có PD trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm ) Bài toán 2b: Cho hình vuông ABCD Về phía hình vuông dựng tam giác cân FAB (FA=FB) cho FAB = 150 Chøng minh tam gi¸c FDC tam giác C D HD: C1: I Dựng phía tam giác F tam giác ABF Các tam giác FAF J FBF từ chứng minh đ- ợc A B tam giác FAF cân F (Hai góc đáy 10 F (1) Gẻ BD => PQ//AC => DPDQ vuông cân D Từ (1) Fẻ BD => NM =PQ Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện có chu vi nhỏ Bài toán 5b: Cho tam giác vuông A M điểm thuộc BC D, E lần l- ợt hình chiếu vuông góc M lên AB, AC Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn A Giải: Tứ giác ADME hình chữ nhËt DE = AM ð D E B M C a Để DE nhỏ AM vuông góc với BC b Để DE lớn Nếu AB >AC M º B NÕu AC >AB th× M º C Nếu AB =AC M B M C Bài toán 5c: Cho hình vuông ABCD; M điểm cạnh AB Đ- ờng vuông góc với CM C cắt đ- ờng thẳng AB K Tìm ví trí M để đoạn MK có giá trị nhỏ Giải: Gọi I trung điểm cđa MK A MK = 2CI (quan hƯ trung tun cạnh huyền ) M B I K D C Để MK nhá nhÊt => CI nhá nhÊt => I º B Lúc CI vừa trung tuyến vừa đ- ờng cao => MCK vuông cân MCB = 450 => M A Bài toán 5d: Cho đoạn thẳng AB = a C điểm AB Vẽ hình vuông ACDE; CBFG Xác định vị trí điểm C để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ G F Giải: §Ỉt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2 = 2(x -a/2)2 + a2/2 ³ a2/2 DÊu “=” x¶y lóc x =a/2 ð C trung điểm AB E A D C B Các toán tổng hợp Bài toán 1b: Cho tam giác ABC Về phía tam giác dựng hình vuông ABGH, ACEF BCIJ Gọi O1,O2, O3 lần l- ợt tâm hình vuông M trung điểm BC, D trung điểm HF a Chứng minh O1MO2 tam giác vuông cân 13 b Tứ giác DO1MO2 hình vuông c Chứng minh HF = 2AM d Chøng minh AD vu«ng gãc với BC AM vuông góc với HF e Chứng minh O1O2 = AO3 P F D H Q A O1 K G B O2 E C NM O3 J A’ I HD: a Chøng minh hai tam gi¸c HAC BAC để đ- ợc: - HC = BF -AHC = ABF cïng víi AH vu«ng gãc víi AB đ- ợc HC vuông góc với BF O1M O2M lần l- ợt hai đ- ờng trung bình hai tam giác BHC BCF nên: - O1M song song vµ b»ng nưa HC; O2M song song vµ nửa BF Kết hợp kết luận để đ- ợc điều cần chứng minh b Tứ giác DO1MO2 hình vuông T- ơng tự ta chứng minh đ- ợc O1DO2 tam giác vuông cân D từ ®ã suy ®pcm c Gäi A’ lµ ®iĨm ®èi xứng A qua M.Ta chứng minh đ- ợc BA song song AC => BA vuông góc AF Lại có BA vuông góc AH nên hai tam giác HAF ABA => HF = AA = 2AM d Hạ HP FQ vuông góc với đ- ờng cao từ AN tam giác ABC -Chứng minh hai tam giác HQA ANB b»ng => HQ=AN -Chøng minh hai tam gi¸c FPA vµ ANC b»ng => FP=AN ð HQ = FP Từ chứng minh HQFP hình bình hành => AN qua trung điểm D HF Với tam giác AHF ta có điều ng- ợc lại AM vuông góc với HF e Gọi K trung điểm AC ta cã: KA = O2K O1K = O3K O1KO2 = AKO3 ð Hai tam gi¸c O1KO3, O3KA b»ng ð Đpcm III Đối xứng trục đối xứng tâm: Bài tập vị trí t- ơng đối điểm, đ- ờng thẳng Bài toán 1a: 14 Cho tam giác nhọn ABC có AH đ- ờng cao Gọi E,F lần l- ợt điểm đối xứng H qua cạnh AB,AC Gọi M,N lần l- ợt giao ®iĨm cđa EF víi AB,AC Chøng minh F r»ng MC ^ AB NB ^ AC A Giải: N M Tam giác MNH có AM,AN phân giác hai góc M,N nên AH E phân giác gãc MNH B H Do CH ^ AH nªn CH phân giác C góc MNH Tam giác MNH có CN,CH phân giác hai góc N,H nên CM phân giác góc HMN CM ^ MB ( Vì MB phân giác HMN ).Hay CM ^ AB T- ơng tự chứng minh đ- ợc NB ^ AC Bài toán 1b: Cho tam giác ABC P điểm Gọi M,N,Q lần l- ợt trung điểm AB,AC,BC Gọi A,B,C lần l- ợt điểm đối xứng P qua Q,N,M Chứng minh A AA,BB,CC đồng quy Giải: C B P B C Chứng minh ABAB hình bình hành: A Các đoạn thẳng AB BA song song PC T- ơng tự chứng minh đ- ợc CACA hình bình hành đpcm Bài tập chứng minh Bài toán 2a : Cho góc nhọn xOy có Ot tia phân giác M điểm thuộc miền góc M 1, M2 lần l- ợt điểm đối xứng M qua Ox vµ Oy a Chøng minh O thuéc ®- êng trung trùc cđa M1M2 b Gäi Oz lµ tia thuéc ®- êng trung trùc M1,M2 Chøng minh r»ng MOx nhận Ot làm phân giác Giải: x a M1O = MO M1 M2O =MO ð M1O = M2O M t O thuộc đ- ờng trung trực đoạn th¼ng M1M2 b Cã zOM2 = zOM1 = xOy z O ð zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy ð zOy + zOy + xOM = xOy y ð zOy = Mox ð MOt = tOz ( Do xOt = tOy ) Ot tia phân giác cđa gãc MOz Bµi tËp vỊ q tÝch, dùng hình M2 Bài toán 4a: 15 Một kênh có hai bờ song song P,Q hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đ- ờng từ P đến N đoạn đ- ờng Q từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P M n»m bê kªnh phÝa Q).d M P’ N P HD: PT: - Giả sử dựng đ- ợc P Gọi P đỉnh thứ t- hình bình hành PNMP Lúc ®ã PN = P’M => P’M=MQ => M thuéc trung trùc cña P’Q CD: - Dùng P’ cho PP’ vuông góc với bờ kênh chiều dài PP b»ng chiỊu réng cđa bê kªnh - Dùng trung trùc (d) PQ d cắt bờ kênh phía Q M Từ dựng N Bài toán 4b: Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC biết ba trung điểm E,F,G cña DA,AB, BC (d1) (d2) F B A E HD: D G C A nằm đ- ờng trung trực EF.B nằm đ- ờng trung trực FG Cần xác định AB lần l- ợt hai đ- ờng để AB nhận F làm trung điểm Bài toán đ- ợc quy toán 3a Bài toán 4c: Cho tam giác ABC, P điểm nằm tam giác Dựng M AB, N AC để tam giác MPN cân P MN // BC A HD: Giả sử hình dựng đ- ợc, lúc M N M đối xứng với N qua trục đ- ờng thẳng (d) qua P vuông góc với MN Do MN//BC nên (d) vuông góc với BC P Đ- ờng thẳng đối xứng với đ- ờng B C thẳng AB qua trục (d) cắt đ- ờng thẳng AC N Nên có cách dựng: - Dựng (d) qua P vuông góc với BC - Dựng đ- ờng thẳng ®èi xøng víi ®- êng th¼ng AB qua trơc (d), đ- ờng thẳng cát đ- ờng thẳng AC N - Dùng M ®èi xøng víi N qua (d) - Tam giác PMN tam giác cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a: (Bài toán chim ) 16 Trong mặt phẳng P cho ®- êng th¼ng d hai ®iĨm A,B n»m cïng mét nửa mặt phẳng bờ Xác định d điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải: a Tr- ờng hợp A,B nằm nửa mặt phẳng: B Gọi A1 điểm đối xứng A qua trôc (d) A MA +MB = MA1 + MB A1B Dấu = xảy lúc Mẻ[A1B] (d) M giao điểm A1B d M TIP: Thay đổi vị trí t- ơng đối A,B so với d A1 ta đ- ợc số toán khác cần giải Bài toán 5b: Cho hai điểm cố định A,B nằm mặt phẳng bờ d Tìm d hai điểm M,N cho: - MN = l cho tr- íc - Tø gi¸c BNMA cã chu vi nhá nhÊt B’ B A d M N A Bài toán 5c: Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Xác định Ox điểm A Oy điểm B cho tam gi¸c MAB cã chu vi nhá nhÊt Giải: M1 Gọi M1, M2 lần l- ợt hình chiÕu cđa M qua trơc Ox; Oy A M MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 £ M1M2 DÊu “=” x·y A,B Ỵ M1M2 O ð A giao điểm M1M2 với Ox B B giao điểm M1M2 với Oy M2 TIP: Bằng cách ràng buộc thêm điều kiện điểm M: M chạy đoạn thẳng; chạy đ- ờng tròn nằm góc xOy ;Tổng OA + OB không đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại l- ợng cần tính cực trị đ- ợc hàng loạt toán khác Bài toán 5d: Cho góc nhọn xOy hai điểm AB thuộc miền góc Tìm điểm C,D lần l- ợc thuộc Ox Oy cho đ- ờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ Giải: Lấy A1 đối xứng víi A qua Ox; B1 ®èi xøng víi B qua Oy Do AB cố định nên đ- ờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ lúc AC + CD + DB nhá nhÊt Cã AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 ³ A1A2 DÊu ”=” x¶y lóc C,D ẻ[A1B1] C giao điểm A1B1 với Ox D giao điểm A1B1 với Oy B1 17 D O B A C A1 Bài toán 5e: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän M điểm thuộc cạnh BC I,J lần l- ợt hình chiếu M xuống hai cạnh AB, AC.M1, M2 lần l- ợt điểm đối xứng M qua AB,AC E,F lần l- ợt giao điểm M1M2 với AB,AC Xác định M a Để IJ nhỏ nhất; lớn b Để tam giác MEF có chu vi nhá nhÊt A M2 Gi¶i: F M1 E J I B M C a 2IJ = M1M2 AM1 =AM=AM2 M1AM2 =2BAC = CONST IJ (max) M1M2 (max) AM1 (max) AM (max) AM nhá nhÊt AM ^ BC AM lín nhÊt AM = Max(AB,AC ) b Chu vi tam gi¸c MEF = MF + ME +EF = M1M2 ð §Ĩ chu vi tam giác MEF nhỏ M chân đ- ờng cao từ A xuống BC theo toán 1a E,F chân hai đ- ờng cao lại V Định lý Thalet Bài tập vị trí t- ơng đối điểm, đ- ờng thẳng Bài toán 1a: Cho tứ giác lồi ABCD Kẻ hai đ- ờng thẳng song song với AC Đ- ờng thẳng thứ cắt cạnh BA,BC lần l- ợt G H Đ- ờng thẳng thứ hai lần l- ợt cắt cạnh DA,DC lần l- ợt E F.Chứng minh GE,HF,BD đồng quy I Giải: Gọi O giao điểm AC BD D M,N lần l- ợt giao điểm GH EF E víi BD F N Ta cã: = EN FN ( Do EF// AC ) A AO OC O EN = OA G ð FN OC M C H T- ¬ng tù ta còng cã: B GM = OA GH OC EN ð = GM FN HM 18 ð §pcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo Bài toán 1b: ( Tổng quát toán 1a/ II) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đ- êng vu«ng gãc tõ A xuèng BD M,N theo BM = CN thứ tự điểm BH CD cho: CD Chøng minh r»ng AM vu«ng gãc víi MN BH A D HD: - Chøng minh hai tam giác vuông N M H ABH ACD đồng dạng BM = CN -Sư dơng gt: CD BH B C để chứng minh hai tam giác ABM ACN đồng dạng để đ- ợc: AM = AN AC AB Và BAM = CAN => MAN = BAC ð Hai tam giác MAN BAC đồng dạng AMN = ABC = 900 ( đpcm ) Bài tập chứng minh Bài toán 2a: Cho hình thang ABCD (AB // CD ) Hai đ- ờng chéo AC BD cắt I Qua I kẻ đ- ờng thẳng song song với hai đáy cắt AD E cắt BC F a Chứng minh: 1 = + IF AB CD b Chøng minh I trung điểm EF Giải: Có: A IF FC = AB BC BF IF = BC CD E B I D Cộng hai đẳng thức ta đ- ợc: IF IF BF + FC + =1 = CD AB BC ð §pcm F C = 1 + IE AB CD b Hoàn toàn t- ơng tự ta có: IF = EF Đpcm Bài toán 2b: Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N trung điểm BC AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P PN cắt BD Q Chứng minh MN tia phân giác cña gãc PMQ HD: P N 19 A K I D Q P B M C Gäi I,K,P lÇn l- ợt giao điểm AD với PM, AD với MQ, PQ với BC - Dễ dàng chứng minh đ- ỵc MN vu«ng gãc víi AD - Cã: IN/MP = IA/BM = AN/BP NK/MP = KD/BM = ND/BP Do AN =ND nên đ- ợc: IN/MP = NK/MP => IN=NK Tam giác IMK có MN vừa trung tuyến vừa đ- ờng cao nên phân giác ( đpcm ) Bài tập tính toán Bài toán 3a: Cho hình thang ABCD (AB//CD ).I giao điểm AC với BD Gọi S1, S2 lần l- ợt diện tích tam giác IAB IAD Tính diện tích hình thang theo S1, S2 Giải: SIBC = S2 A B Gọi S3 diện tích tam giác S IDC Ta cã: S2 S3 ID2 I = S1 IB2 S3 S2 ID = D C S1 IB S3 = S2 ð S1 S12 ð S3 = S2 S1 ð SABCD = S1 + 2S2 + S2 S1 = (S1+S2) S1 Bài toán 3b: Cho tam giác ABC có  = B Cho AB = c, AC =b TÝnh BC2 theo b,c A B I Gọi AI phân giác tam gi¸c Ta cã: IC/IB = AC/AB ð IC = IB AC/AB (1) Lại có hai tam giác ABC IAC đồng dạng nên: IC/AC = AC/BC IC = AC2/BC (2) 20 C Từ (1) (2) ta đ- ợc IB = AC.AB/BC Cã BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC ð BC2 = AC( AC + AB ) ð BC2 = b(b+c ) Bµi tËp quỹ tích, dựng hình Bài toán 4b: Cho tam giác ABC I điểm nằm tam giác M điểm thay đổi cạnh BC Các đ- ờng thẳng qua M song song với BI CI theo thứ tự cắt AC AB N P Dựng hình bình hành MNQP Tìm tập hợp điểm Q Giải: Gọi K giao điểm CI với AB ; H giao điểm BI AC Qua N kẻ đ- ờng thẳng song song với KC cắt KH Q Qua P kẻ đ- ờng thẳng song song với HB cắt KH Q QH NM MB Ta cã: A = = NC MC QK Q’H = PB MB I H = Q MC Q’K PK K N QH = Q’H ð Q’K QK P ð Q Q B M C Theo cách vẽ kết ta đ- ợc QMNP hình bình hành Q ẻ KH.Hay tập hợp điểm Q đoạn KH Đảo: T- ơng tự phần thuận với điểm xuất phát Q ẻ KH Chứng minh M thuộc BC Bài toán 4b: Cho góc xOy đ- ờng thẳng d cắt hai cạnh góc Tìm đoạn thẳng AB (A ẻ Oy; Bẻ Ox ) cho AB vuông góc với d có trung điểm I nằm d Giải: (d) A Giả sử đà dựng đ- ợc AB F Gọi E giao ®iĨm cđa d víi Ox Tõ E kỴ ®- êng thẳng song song M M với AB cắt OI M, cắt Oy F I Ta có: EF vuông gãc víi d E ME = MF B C¸ch dùng: Qua E dựng d vuông góc với d cắt Oy F Dựng trung điểm M EF Dựng I giao điểm OM với d Qua I dựng đ- ờng thẳng vuông góc với d cắt Ox B cắt Oy A AB đoạn thẳng cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a: Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miỊn cđa gãc H·y dùng qua M mét c¸t tuyến cắt hai cạnh góc xOy A B cho + MA MB đạt giá trị lớn 21 Giải: N Vẽ: MN // Oy ON // AB MN cắt Ox P Kẻ PQ //AB (Q ỴOM) 1 1 O + + = = ON PQ MA MB MA 1 Để MA + MB lớn PQ nhỏ nhÊt A P M Q B Do OM, P cè định nên PQ nhỏ PQ ^ OM Lúc AB ^ OM Bài toán 5b: Cho góc nhọn xOy M điểm thuộc miền góc Đ- ờng thẳng d quay xung quanh M cắt Ox, Oy theo thứ tự A,B Tìm vị trí d cho OA+OB đạt giá trị nhỏ A X O HD: OA + OB = OX +OY + XA + YB Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhá nhÊt XA + YB nhá nhÊt Lại có: hai tam giác AXM YMB đồng dạng nªn: XA = XM YM YB M Y B ð XA.YB = YM.XM = const ð XA + YB nhá nhÊt XA = YB ð hai tam gi¸c AXM YMB M trung điểm cđa AB Dùng A, B nh- bµi 4b/II Bµi toán tổng hợp Bài toán 6a: Cho tam giác ABC có G trọng tâm M điểm tam giác Gọi A1, B1, C1 lần l- ợt giao điểm AM với BC; BM với AC; CM với AB Đ- ờng thẳng GM cắt AB,AC,BC lần l- ỵt ë C2, B2, A2 a Chøng minh : MA1 + AA1 MA1 + b Chøng minh: GA1 + c Chøng minh: GA2 Gi¶i: MB1 MC1 =1 + BB1 CC1 MB1 MC1 =3 + GB1 GC1 1 = GB2 GC2 A C2 G B a MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC T- ¬ng tù cã MB1/BB1 = SMAC/SABC 22 D M M1 A1 B2 C A2 MC1/CC1 = SMAB/SABC Cộng đẳng thức ta đ- ợc: MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = (đpcm ) b Qua G kẻ đ- ờng thẳng song song với AA1 cắt BC M2 Có GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2 MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1 T- ¬ng tù ta cịng cã MB2/GB2 = 3MB1/BB1 MC2/GC2 = 3MC1/CC1 Cộng đẳng thức ta đ- ợc: MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = ( Theo c©u a ) A c Qua G kẻ đ- ờng thẳng song song với BC,AC Các đ- ờng thẳng G2 cắt AB lần l- ợt ë G1,G2 DƠ dµng cã AG2 = G1B = AB/3 C2 G AG2 =G2G1 = G1B = AB/3 B2 G1 GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB A2 C B GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB Cộng hai đẳng thức ta đ- ợc: GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = G1G2/AB = Chia hai vế cho GC2 ta đ- ợc: 1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2 ( đpcm) Bài toán 6b: Cho tam giác ABC I điểm tam giác IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB M, N, P NP cắt BC R a Chøng minh: IA = NA + PA IM NC PB b Chøng minh r»ng: c Chøng minh r»ng: d Chøng minh r»ng: MB NC PA MC NA PB RB NC PA NA PB RC MB = RB RC MC Giải: =1 ( Định lý Cê va ) =1 ( Định lý Mê nê lauyut ) A E F P Q Qua A kẻ đ- ởng thẳng song song với BC cắt BN E cắt CP F NA = AE Có : BC NC ð PA = AF BC PB AE + AF NA PA + = = BC BC BC NC MB = AE AF MC NC = BC AF NA R N I B M C EF = IA BC IM PA = AE PB BC 23 b Cã: ; ; Nhân bất đẳng thức vế theo vế ta đ- ợc: = = c Kẻ BQ//AC (Q thuéc RN ) Cã: RB BQ ; PA AN ; NC NA = = = CN PB BQ NA RC NA Nhân bất đẳng thức vế theo vế ta đ- ợc: RB PA NC = BQ AN NC PB BQ NA RC NA CN = d Tõ b vµ c dƠ dµng suy đpcm VI hệ thức l-ợng tam giác - định lý pitago Hệ thức l- ợng tam giác th- ờng Bài toán 1a: Chứng minh tam giác bình ph- ơng cạnh đối diện góc nhọn tổng bình ph- ơng hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với hình chiếu cạnh lại Chứng minh: Giả sử A góc nhọn Gọi AH hình chiếu cạnh AC cạnh AB Cần chøng minh: BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH - Tam giác vuông CHB có: BC2 = CH2 + HB2 (1) - Tam giác vuông CHA có: CH2 = AC2 - HA2 (2) - Do gãc A nhän nªn H n»m gi÷a AB, cã: HB = AB-HA ð HB = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3) Thay (2) vµ (3) vào (1) đ- ợc đpcm A H B C Bài toán 1b: Chứng minh tam giác bình ph- ơng cạnh đối diện góc tù tổng bình ph- ơng hai cạnh cộng hai lần tích hai cạnh với hình chiếu cạnh lại Chứng minh: Hoàn toàn giống toán 1a với ý: H Do góc A tù nên A nằm BH Có A HB = AB + HA ð HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA B C Bài toán 1c (Định lý ®- êng trung tuyÕn ): Cho tam gi¸c ABC cã AM trung tuyến, AH đ- ờng cao Chứng minh hÖ thøc: AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2 24 A Chøng minh: Gi¶ sư: AMB < 900 => AMC > 900 Tam gi¸c MAB cã: AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH (1) Tam gi¸c MAC cã: B H M C AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2) Céng (1) vµ (2) víi chó ý MB =MC =BC/2 ta đ- ợc đpcm Bài tập chứng minh đồng quy, vuông góc: Bài toán 2a: a Chứng minh tổng bình ph- ơng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến hai đỉnh đối diện hình chữ nhật b Trên cạnh tam giác ABC phía ng- ời ta dựng hình chữ nhật ABB1A1 ; BCC1B2; CAA2C2 Chứng minh đ- ờng trung trực đoạn A1A2; B1B2; P C1C2 ®ång quy Chøng minh: A B a CÇn chøng minh hƯ thøc: PA2 + PC2 = PB2 + PD2 Gọi O giao điểm AC BD, có: O PO trung tuyến tam gi¸c PAC, PDB C D - Tam gi¸c PDB cã: PD2 + PB2 = 2OP2 + BD2/2 B2 - Tam gi¸c PAC cã: PA2 + PC2 = 2OP2 + AC2/2 B1 2 2 B - Do AC = BD nªn PA + PC = PB + PD C1 b Chứng minh: Gọi P giao điểm hai trung trực đoạn B1B2 A1A2 PB2= PB1 ; PA1 = PA2 P A1 C A A2 C2 - Xét điểm P hình chữ nhật BCC1B2 có: 2 2 2 PC1 = PC + PB2 -PB = PC + PB1 -PB (1) - Xét điểm P hình chữ nhật ACC2A2 có: PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2) Trừ (1) cho (2) đ- ợc: PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = ( Do quan hƯ ®iĨm P víi HCN ABB1A1 ) ð PC1 = PC2 => P thuéc trung trùc cña C1C2 => đpcm 3.Bài tập tính toán: Bài toán 3a: Cho hình vuông có cạnh a Qua tâm hình vuông vẽ đ- ờng thẳng (d) tuỳ ý Chứng minh tổng bình ph- ơng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đ- ờng thẳng (d) không ®æi B A A1 D1 D C1 O B1 C 25 Dễ dàng chứng minh đ- ợc tam giác AA1O, CC1O, OB1B, OD1D nhau, tam giác OAD vuông cân O Từ có: DD12 + BB12 = 2OA12 AA12 + CC12 = 2AA12 ð DD12 + BB12 +AA12 + CC12 = 2(OA12 +AA12) = 2AO2 = AD2 = a2 =const Bµi tËp 3b: Chøng minh r»ng: Trong hình thang, tổng bình ph- ơng hai đ- ờng chéo tổng bình ph- ơng hai cạnh bên cộng hai lần tích hai cạnh đáy A D E B F C Hạ AE, BF vuông góc với DC (E,F thuộc DC ) áp dụng định lý Pitago cho - Tam giác vuông EAC có: AC2 = AE2 + EC2 =AE2 +EF2 +FC2 +2EF.FC - Tam giác vuông AED có AE2 = AD2 - DE2 Đ- ợc: AC2 = AD2 - DE2 + EF2 +FC2 -2EF.FC (1) - Tam giác vuông BFD có:BD2 = BF2 + FD2 =BF2 +EF2 +DE2 +2EF.DE - Tam giác vuông AED có BF2 = BC2 - FC2 Đ- ợc: BD2 = BC2 - FC2 + EF2 +DE2 -2EF.DE (2) Céng (1) vµ ( 2) đ- ợc: AC2 + BD2 = AD2 +BC2 +2EF2 + 2EF.FC+2EF.DE = AD2 +BC2 +2EF(EF +FC+DE ) =AD2 +BC2 +2EF.DC =AD2 +BC2 +2AB.DC ( đpcm) Bài toán cực trị hình học Bài toán 2a: Cho hai đ- ờng thẳng a,b song song với cách khoảng 2k cho tr- ớc I điểm cách hai đ- ờng thẳng ; Hai cạnh góc vuông có đỉnh I lần l- ợt cắt a A cắt b B Xác định góc vuông ( vị trí tia IA; IB) để tam giác IAB cã diƯn tÝch nhá nhÊt D x A Gi¶i: Có: ID = IC = k Đặt: AD = x CB = y I Cã: C y B = SABCD -(SIAD+ SICB) = (x +y)k - (x+y)k/2 = (x + y)k/2 Xét hai tam giác đồng dạng: IAD BIC ®- ỵc: AD/IC = ID/BC => AD.BC = ID.IC = k2 = const ð x.y = const §Ĩ SIAB nhá nhÊt => x + y nhá nhÊt => x = y => ABCD hình chữ nhật Tính x,y: 26 SIAB Cã x2 +k2 + y2 + k2 = 2x2 + 2k2 = IA2 +IB2 = AB2 = 4k2 ð x2 = k2 => x = k (do x>0) Bµi toán 2b: Cho tam giác ABC vuông A.Xác định điểm M tam giác cho tổng bình ph- ơng khoảng cách từ MAđến ba cạnh tam giác đat giá trị nhỏ E F I B M H G C ME2 + MF2 +MG2 = AM2 + MG2 (AEMF hình chữ nhật ) = AI2 +IM2 + MG2 (AIM vuông I ) AI2 + IH2 ( DÊu ‘=’ x¶y M thuéc AH ) (1) L¹i cã: AI2 + IH2 = AH2 - 2AI.IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 +MG2 nhá nhÊt AI.IH lín nhÊt Vµ cã AI +IH = AH =const nªn AI.IH lín nhÊt lóc AI=IH=AH/2 (2) Kết hợp (1) (2) đ- ợc M trung điểm AH tổng bình ph- ơng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam gi¸c nhá nhÊt 27 ... tam gi¸c MKE đ- ợc MKE = 180 0 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 180 0 - D KMD = ( 180 0 - C - B)/2 KED = ( 180 0 -A-B)/2 Thay vào ta đ- ợc: MKE = 180 0 -(( 180 0-C-B + 180 0-A-B )/2 + 180 0-D) = (3600 -3600 +A+C+2B... EF// AC ) A AO OC O EN = OA G ð FN OC M C H T- ¬ng tù ta cịng cã: B GM = OA GH OC EN ð = GM FN HM 18 ð Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo Bài toán 1b: ( Tổng quát toán 1a/ II) Cho hình chữ nhật