tài liệu bồi dưỡng hình học 8

tài liệu bồi dưỡng hình học 8 tham khảo

Tài liệu bồi dỡng môn hình học ( Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi ) Kớnh Thy giỏo, Cụ giỏo ging dy b mụn Toỏn cp THCS ton huyn ! Nhm giỳp qỳy Thy giỏo, cụ giỏo cú mt ti liu bi dng hc sinh gii, hc sinh nng khiu b mụn toỏn ca cp Trung hc c s phự hp, b phn chuyờn mụn Phũng GD&T Qu Sn trờn c s tham kho ý kin ca cỏc thy cụ giỏo cú nhiu kinh nghim ging dy b mụn, biờn son b ti liu Ti liu bi dng hc sinh gii - B mụn Toỏn - Cp THCS Ti liu bi dng hc sinh gii mụn Hỡnh Hc l ti liu b ti liu núi trón cú th s dng bi dng cp trng, ti liu khụng chia thnh cỏc chuyờn m c phõn b theo chng trỡnh ca sỏch giỏo khoa Tuy vy, manh mỳn, cỏc ni dung c trỡnh by theo ch kin thc ch khụng theo tng bi Ni dung hỡnh hc c ti liu phõn thnh sỏu ch sau : I T giỏc, hỡnh thang II Hỡnh bỡnh hnh III Hỡnh ch nht, hỡnh thoi, hỡnh vuụng IV i xng trc, i xng tõm V nh lý Thalet v tam giỏc ng dng VI H thc lng tam giỏc - nh lý Pitago Vi mi ch kin thc bi c phõn thnh sỏu loi c bn : Bi v v trớ tng i ca im, ng thng - Chng minh thng hng - Chng minh song song, vuụng gúc - Chng minh ng quy Bi v chng minh bng - Chng minh s bng ca gúc, on thng - Chng minh mt tam giỏc l cõn, u Mt t giỏc l hỡnh thang cõn ,hỡnh bỡnh hnh, hỡnh thoi, hỡnh vuụng Bi tớnh toỏn - Tớnh s o gúc, di on thng, cỏc bi toỏn v din tớch Bi v qu tớch , dng hỡnh Bi toỏn cc tr hỡnh hc - Bi toỏn v bt ng thc, Xỏc nh hỡnh hỡnh hc mt i lng no ú t giỏ tr ln nht, nh nht Cỏc bi toỏn tng hp Cú l ti liu cha ỏp ng mt cỏch y nhng yờu cu ca quớ thy giỏo, cụ giỏo B phn chuyờn mụn Phũng GD&T Qu Sn rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp chõn thnh cú th sa cha b sung nhng gỡ cũn thiu sút Hy vng ti liu giỳp ớch phn no ú cụng tỏc bi dng hc sinh gii b mụn Toỏn ca quý thy cụ B phn chuyờn mụn THCS I Tứ giác, hình thang : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD (AB//CD) đáy CD tổng hai cạnh bên BC AD Hai đờng phân giác hai góc A ,B cắt K Chứng minh C,D,K thẳng hàng A B D K C HD : Gọi K giao điểm phân giác góc A với DC Dễ dàng chứng minh đợc DAK cân D Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK phân giác góc B Đpcm TIP : Bài c/m theo hớng : - Gọi K giao điểm hai phân giác góc A B C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm Bài toán 1b : Cho tứ giác ABCD Gọi ABCD theo thứ tự trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đờng thẳng AA, BB, CC,DD đồng quy B E A C I F A J D HD : Gọi E,F lần lợt trung điểm AC, BD ; I trung điểm EF ; J trung điểm AC - Tam giác CAA có EJ đờng trung bình nên EJ//AA - Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A FJ // với EJ nên AA qua trung điểm I FE - Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I - Các đờng thẳng đồng quy I Bài tập chứng minh Bài toán 2a : Cho tam giác ABC AB < AC Gọi H chân đờng cao kẻ từ đỉnh A M,N,P lần lợt trung điểm cạnh AB,AC,BC Chứng minh tứ giác NMPH hình thang cân HD : - MNHP hình thang - MP = AC/2 ( Đờng TB ) - HN = AC/2 ( Đờng TT ) đpcm A N M B H P C Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD có AD=BC M,N lần lợt trung điểm AB DC Đờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN E Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN F Chứng minh AEM = BFM E F A M B I N D HD : C - Gọi I trung điểm BD - Chứng minh tam giác IMN cân I ( IM = IN = AD/2=BC/2) - IM // DE IN //CF đpcm Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC kéo dài cắt E Hai cạnh AB DC kéo dài cắt M Hai phân giác hai góc CED BMC cắt K Tính góc EKM theo góc tứ giác M A D K B C E HD : Trong tam giác MKE đợc MKE = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 1800 - D KMD = (1800 - C - B)/2 KED = (1800 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D) = (3600 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-3600)/2= (B+D)/2 Bài toán 3b : Cho hình thang ABCD M,N lần lợt trung điểm hai đáy AD BC O điểm thuộc MN Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang Đờng thẳng cắt AB,CD lần lợt E,F Chứng minh OE=OF B E A N O C H F I M D HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy chiều cao ) Chứng minh SBEN=SNFC SEAM = SFMD để đợc SEMN =SFMN Từ có EH = FI ( với EH, FI lần lợt hai đờng cao hai tam giác OE =OF Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài toán 4a : Cho tứ giác lồi ABCD Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích A B I D M C E Phân tích : Giả sử AM đờng thẳng cần dựng Lấy điểm E đối xứng với D qua M AE cắt BC I Có : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI SABC = SEBC => BE// AC Cách dựng : - Dựng đờng chéo AC - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC E - Lấy M trung điểm DE - AM đờng thẳng cần dựng TIP : Thực chất phép dựng biến đổi hình thang tam giác tơng đơng ( có diện tích diện tích hình thang ) Để chuyển toán tập dựng trung tuyến tam giác Sau tập áp dụng việc biến đổi Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD I điểm AB Qua I dựng đ ờng thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích B I A F C J E D Phân tích : Giả sử dựng đợc IJ Sử dụng phơng pháp biến đổi tam giác tơng đơng Ta có bớc phân tích : Xác định điểm F tia DC cho SIJCB = SIJF Lúc SBIC = SFIC Suy BF//IC Xác định điểm E tia CD cho SIJAD = SIJE Lúc SAID = SEID Suy AE//ID Rõ ràng J trung điểm đoạn thẳng EF Cách dựng : - Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC E Qua B dựng đờng thẳng song song với IC cắt DC F - Dựng J trung điểm EF IJ đờng thẳng cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M tứ giác cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ Giải : Cách 1: Gọi O giao điểm hai đờng chéo M O MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ Thật vậy, M O ta có : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD Với M tứ giác ta có : MA +MC AC MB + MD BD MA +MB +MC +MD AC + BD MA +MB +MC +MD nhỏ lúc M O D Cách : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC AC C Dấu = xảy lúc M[AC] M O Với ba điểm M; B; D có MB + MD BD Dấu = xảy lúc M [BD] MA + MB +MC +MD AC + BD A B Dấu = xảy lúc M[AC] M[BD] M O ( Với O giao điểm hai đờng chéo ) Bài toán 5b : Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác lồi không lớn nửa tổng hai cạnh lại Giải : Gọi I trung điểm AC ta có : C MI = BC / B IN = AD / I MI + IN = ( BC +AD)/ M N Lại có với ba điểm M,I,N MI + IN MN MN (BC + AD) / =>đpcm A D II Hình bình hành : Các toán vị trí tơng đối : Bài toán 1a : Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D,E,F lần lợt trung điểm cạnh AB,BC,CA L,M,N lần lợc trung điểm OA,OB,OC Chứng minh EL, FM, DN đồng quy Giải : A Dựa vào tính chất đờng trung bình chứng minh tứ giác LFEM , NEDL hình bình hành L D F O N B E C đpcm M Bài toán 1b : Chứng minh : tam giác ba đờng cao đồng quy M A B N H C P HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực tam giác đồng quy cách dựa vào tính chất đờng trung trực đoạn thẳng - Từ ba đỉnh tam giác ABC đựng đờng thẳng song song với cạnh đối diện Các đờng thẳng đôi cắt MNP - Các tứ giác BCNA BCAM hình bình hành nên HA đờng trung trực MN - Tam giác MNP nhận đờng cao tam giác ABC làm đờng trung trực - Các đờng trung trực tam giác MNP đồng quy hay đờng cao tam giác ABC đồng quy Các toán chứng minh : Bài toán 2a: Cho tứ giác ABCD E,F lần lợt trung điểm AB, CD M,N,P,Q lần lợt trung điểm AF, CE, BF, DE Chứng minh MN = PQ HD : C B N E M P F Q D A Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao trung điểm đờng ( Chính trung điểm EF ) Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC ; G đỉnh thứ t hình bình hành CADG ; H đỉnh thứ t hình bình hành CABH a Chứng minh BD // GH G b Chứng minh HD = 2EF C I D J H E F A B HD : a BDGH hình bình hành BH DG song song AC =>đpcm b Gọi I,J lần lợt trung điểm CD CH Chứng minh EIJF hình bình hành => đpcm Các tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 O giao đIểm hai đờng chéo Từ D hạ DE DF lần lợt vuông góc với AB BC (E thuộc AB, F thuộc BC ) Tính góc EOF E A B O C D F Có O trung điểm DB Từ có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ) EOD = 2EBO ( Vì EOB cân O ) DOF = 2FBO ( Vì FOB cân O ) Cộng hai đẳng thức để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 Bài toán 3b : Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lợt D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD Tính số đo góc tam giác GIB A D G K E I B C HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng cắt DE K - Tứ giác DBCK hình bình hành nên BK cắt DC trung điểm I DC - Chứng minh hai tam giác DBG EKG - Từ có đợc GIB =900 BGI = BGK/2 = DGE/2 - Có DGE = 1200 ( Do ADE ) nên BGI = 600 GBI = 300 Các toán quỹ tích, dựng hình Bài toán 4a : Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DA=CE Tìm quỹ tích trung điểm I DE D di động cạnh AB A E I D B C Bài toán 4b : Cho góc nhọn xAy O điểm thuộc miền góc Dựng Ax điểm M Ay điểm N để : a O trung điểm MN b OM =2ON x Giải : M O O A N y a C1 :( Dựa vào kiến thức hình bình hành ) Phân tích : Gọi O điểm đối xứng A qua O Khi O trung điểm MN tứ giác AMON hình bình hành Cách dựng : - Dựng O đối xứng với A qua O - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax M - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay N C2 :( Dựa vào kiến thức đờng trung bình ) Phân tích : Khi O trung điểm MN đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax trung điểm AN Cách dựng : - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax O Trên tia Ax dựng M cho O1 trung điểm AM - Tơng tự cách dựng N b M (x) D O A N N1 (y) HD : Xem O trọng tâm tam giác => xác định đợc D chân đờng trung tuyến xuất phát từ A => Quy toán 3a để giải Các toán cực trị : 10 t M1O = MO M2O =MO M1O = M2O z O O thuộc đờng trung trực đoạn thẳng M1M2 y b Có zOM2 = zOM1 = xOy zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy zOy + zOy + xOM = xOy zOy = Mox M2 MOt = tOz ( Do xOt = tOy ) Ot tia phân giác góc MOz Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài toán 4a : Một kênh có hai bờ song song P,Q hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng từ P đến N đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P M nằm bờ kênh phía Q) Q d a M N P P HD : PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P đỉnh thứ t hình bình hành PNMP Lúc PN = PM => PM=MQ => M thuộc trung trực PQ CD : -Dựng P cho PP vuông góc với bờ kênh chiều dài PP chiều rộng bờ kênh - Dựng trung trực (d) PQ d cắt bờ kênh phía Q M Từ dựng N Bài toán 4b : Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC biết ba trung điểm E,F,G DA,AB, BC (d1) (d2) A E HD : D F B G C A nằm đờng trung trực EF B nằm đờng trung trực FG Cần xác định AB lần lợt hai đờng để AB nhận F làm trung điểm Bài toán đợc quy toán 3a 20 Bài toán 4c : Cho tam giác ABC , P điểm nằm tam giác Dựng M AB, N AC để tam giác MPN cân P MN // BC A HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc M N M đối xứng với N qua trục đờng thẳng (d) qua P vuông góc với MN Do MN//BC nên (d) vuông góc với BC P Đờng thẳng đối xứng với đờng B C thẳng AB qua trục (d) cắt đờng thẳng AC N Nên có cách dựng : - Dựng (d) qua P vuông góc với BC - Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng cát đờng thẳng AC N - Dựng M đối xứng với N qua (d) - Tam giác PMN tam giác cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : ( Bài toán chim ) Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm nửa mặt phẳng bờ Xác định d điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải : a Trờng hợp A,B nằm nửa mặt phẳng : B Gọi A1 điểm đối xứng A qua trục (d) A MA +MB = MA1 + MB A1B Dấu = xảy lúc M[A1B] (d) M giao điểm A1B d M TIP : Thay đổi vị trí tơng đối A,B so với d A1 ta đợc số toán khác cần giải Bài toán 5b : Cho hai điểm cố định A,B nằm mặt phẳng bờ d Tìm d hai điểm M,N cho : - MN = l cho trớc - Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ B B A d M A 21 N Bài toán 5c : Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Xác định Ox điểm A Oy điểm B cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Giải : M1 Gọi M1, M2 lần lợt hình chiếu M qua trục Ox; Oy A M MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 M1M2 Dấu = xãy A,B M1M2 O A giao điểm M1M2 với Ox B B giao điểm M1M2 với Oy M2 TIP: Bằng cách ràng buộc thêm điều kiện điểm M : M chạy đoạn thẳng; chạy đờng tròn nằm góc xOy ;Tổng OA + OB không đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị đợc hàng loạt toán khác Bài toán 5d : Cho góc nhọn xOy hai điểm AB thuộc miền góc Tìm điểm C,D lần lợc thuộc Ox Oy cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ Giải : Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B đối xứng với B qua Oy Do AB cố định nên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ lúc AC + CD + DB nhỏ Có AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 A1A2 Dấu = xảy lúc C,D [A1B1] C giao điểm A1B1 với Ox D giao điểm A1B1 với Oy B1 D O B A C A1 Bài toán 5e : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm thuộc cạnh BC I,J lần lợt hình chiếu M xuống hai cạnh AB, AC M 1, M2 lần lợt điểm đối xứng M qua AB,AC E,F lần lợt giao điểm M1M2 với AB,AC Xác định M a Để IJ nhỏ nhất; lớn b Để tam giác MEF có chu vi nhỏ A M2 Giải : 22 F E M1 J I B M C a 2IJ = M1M2 AM1 =AM=AM2 M1AM2 =2BAC = CONST IJ (max) M1M2 (max) AM1 (max) AM (max) AM nhỏ AM BC AM lớn AM = Max(AB,AC ) b Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M1M2 Để chu vi tam giác MEF nhỏ M chân đờng cao từ A xuống BC theo toán 1a E,F chân hai đờng cao lại V Định lý Thalet Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho tứ giác lồi ABCD Kẻ hai đờng thẳng song song với AC Đờng thẳng thứ cắt cạnh BA,BC lần lợt G H Đờng thẳng thứ hai lần lợt cắt cạnh DA,DC lần lợt E F Chứng minh GE,HF,BD đồng quy I Giải : Gọi O giao điểm AC BD D M,N lần lợt giao điểm GH EF E với BD A ) F N Ta có : EN = FN ( Do EF// AC AO OC O EN OA G = FN OC M C H Tơng tự ta có : B GM = OA GH OC EN GM = FN HM Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo Bài toán 1b : ( Tổng quát toán 1a/ II) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đờng vuông góc từ A xuống BD M,N theo thứ tự điểm BH CD cho : BM = CN CD Chứng minh AM vuông góc với MN BH D 23 A HD : - Chứng minh hai tam giác vuông ABH ACD đồng dạng BM = CN -Sử dụng gt : BH CD M N H B để chứng minh hai tam giác ABM ACN đồng dạng để đợc : AM = AN AB AC Và BAM = CAN => MAN = BAC Hai tam giác MAN BAC đồng dạng AMN = ABC = 900 ( đpcm ) C Bài tập chứng minh Bài toán 2a : Cho hình thang ABCD (AB // CD ) Hai đờng chéo AC BD cắt I Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD E cắt BC F a Chứng minh : = + IF AB CD b Chứng minh I trung điểm EF A Giải : IF = FC Có : AB BC IF = BF CD BC B E I D Cộng hai đẳng thức ta đợc : IF + IF = BF + FC = AB CD BC Đpcm F C = 1 + IE AB CD b Hoàn toàn tơng tự ta có : IF = EF Đpcm Bài toán 2b : Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N trung điểm BC AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P PN cắt BD Q Chứng minh MN tia phân giác góc PMQ P HD : A I N K 24 D Q B M P C Gọi I,K,P lần lợt giao điểm AD với PM , AD với MQ, PQ với BC - Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông góc với AD - Có : IN/MP = IA/BM = AN/BP NK/MP = KD/BM = ND/BP Do AN =ND nên đợc : IN/MP = NK/MP => IN=NK Tam giác IMK có MN vừa trung tuyến vừa đờng cao nên phân giác ( đpcm ) Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho hình thang ABCD (AB//CD ) I giao điểm AC với BD Gọi S 1, S2 lần lợt diện tích tam giác IAB IAD Tính diện tích hình thang theo S 1, S2 Giải : SIBC = S2 A B Gọi S3 diện tích tam giác S1 IDC Ta có : S S3 = ID2 I S1 IB2 S3 S2 = ID D C S1 IB S3 = S2 S1 S1 S3 = S2 S1 SABCD = S1 + 2S2 + S2 S1 = (S1+S2) S1 Bài toán 3b : Cho tam giác ABC có Â = B Cho AB = c ,AC =b Tính BC theo b,c A B I 25 C Gọi AI phân giác tam giác Ta có : IC/IB = AC/AB IC = IB AC/AB (1) Lại có hai tam giác ABC IAC đồng dạng nên : IC/AC = AC/BC IC = AC2/BC (2) Từ (1) (2) ta đợc IB = AC.AB/BC Có BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC BC2 = AC( AC + AB ) BC2 = b(b+c ) Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài toán 4b : Cho tam giác ABC I điểm nằm tam giác M điểm thay đổi cạnh BC Các đờng thẳng qua M song song với BI CI theo thứ tự cắt AC AB N P Dựng hình bình hành MNQP Tìm tập hợp điểm Q Giải : Gọi K giao điểm CI với AB ; H giao điểm BI AC Qua N kẻ đờng thẳng song song với KC cắt KH Q Qua P kẻ đờng thẳng song song với HB A cắt KH Q QH NM MB Ta có : = = QK NC MC H Q QH = PB MB = MC QK PK K N QH = QH QK QK P B M C Q Q Theo cách vẽ kết ta đợc QMNP hình bình hành Q KH Hay tập hợp điểm Q đoạn KH Đảo : Tơng tự phần thuận với điểm xuất phát Q KH Chứng minh M thuộc BC Bài toán 4b : 26 I Cho góc xOy đờng thẳng d cắt hai cạnh góc Tìm đoạn thẳng AB (A Oy; B Ox ) cho AB vuông góc với d có trung điểm I nằm d Giải : (d) A Giả sử dựng đợc AB F Gọi E giao điểm d với Ox Từ E kẻ đờng thẳng song song M M với AB cắt OI M, cắt Oy F I Ta có : EF vuông góc với d E ME = MF B Cách dựng : Qua E dựng d vuông góc với d cắt Oy F Dựng trung điểm M EF Dựng I giao điểm OM với d Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với d cắt Ox B cắt Oy A AB đoạn thẳng cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Hãy dựng qua M cát tuyến cắt hai cạnh góc xOy A B cho + MA MB Giải : đạt giá trị lớn N Vẽ : MN // Oy ON // AB MN cắt Ox P Kẻ PQ //AB (Q OM) + 1 + O = = MA MB MA ON PQ 1 Để MA + MB lớn PQ nhỏ A P Q M B Do OM, P cố định nên PQ nhỏ PQ OM Lúc AB OM Bài toán 5b : Cho góc nhọn xOy M điểm thuộc miền góc Đờng thẳng d quay xung quanh M cắt Ox, Oy theo thứ tự A,B Tìm vị trí d cho OA+OB đạt giá trị nhỏ A 27 O M B X Y HD : OA + OB = OX +OY + XA + YB Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhỏ XA + YB nhỏ Lại có : hai tam giác AXM YMB đồng dạng nên : XA = XM YM YB XA.YB = YM XM = const XA + YB nhỏ XA = YB hai tam giác AXM YMB M trung điểm AB Dựng A,B nh 4b/II Bài toán tổng hợp Bài toán 6a : Cho tam giác ABC có G trọng tâm M điểm tam giác Gọi A1, B1, C1 lần lợt giao điểm AM với BC; BM với AC; CM với AB Đờng thẳng GM cắt AB,AC,BC lần lợt C2 , B2 , A2 MA1 + AA1 MA1 + b Chứng minh : GA1 c Chứng minh : + GA2 a Chứng minh : MB1 MC1 =1 + BB1 CC1 MB1 MC1 =3 + GB1 GC1 1 = GB2 GC2 Giải : A C2 G M B2 B D M1 A1 C a MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC Tơng tự có MB1/BB1 = SMAC/SABC MC1/CC1 = SMAB/SABC Cộng đẳng thức ta đợc : MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = (đpcm ) b Qua G kẻ đờng thẳng song song với AA1 cắt BC M2 Có 28 A2 GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2 MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1 Tơng tự ta có MB2/GB2 = 3MB1/BB1 MC2/GC2 = 3MC1/CC1 Cộng đẳng thức ta đợc : MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = ( Theo câu a ) A c Qua G kẻ đờng thẳng song song với BC,AC Các đờng thẳng G2 cắt AB lần lợt G1,G2 Dễ dàng có AG2 = G1B = AB/3 C2 G B2 AG2 =G2G1 = G1B = AB/3 G1 A2 GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB C B GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB Cộng hai đẳng thức ta đợc : GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = G1G2/AB = Chia hai vế cho GC2 ta đợc : 1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2 ( đpcm) Bài toán 6b : Cho tam giác ABC I điểm tam giác IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA , AB M, N, P NP cắt BC R a Chứng minh : IA = NA + PA IM NC PB MB NC PA b Chứng minh : MC NA PB =1 ( Định lý Cê va ) RB NC PA c Chứng minh : RC NA PB =1 ( Định lý Mê nê lauyut ) MB RB d Chứng minh : MC = RC A E Giải : P F N Q I Qua A kẻ đởng thẳng song song với BC cắt BN E cắt CP F NA = AE Có : NC BC R PA = AF PB BC 29 B M C b Có : AE + AF NA + PA = = BC BC NC BC EF = IA BC IM MB = AE NC = BC PA = AE ; ; MC AF NA AF PB BC Nhân bất đẳng thức vế theo vế ta đợc : MB NC PA AE BC AF = MC NA PB AF AE BC = c Kẻ BQ//AC (Q thuộc RN ) Có : RB = BQ PA = AN NC = NA ; ; RC CN PB BQ NA NA Nhân bất đẳng thức vế theo vế ta đợc : RB PA NC BQ AN NC = RC PB NA CN BQ NA = d Từ b c dễ dàng suy đpcm VI hệ thức lợng tam giác - định lý pitago Hệ thức lợng tam giác thờng Bài toán 1a : Chứng minh tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn tổng bình phơng hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với hình chiếu cạnh lại Chứng minh : Giả sử A góc nhọn Gọi AH hình chiếu cạnh AC cạnh AB Cần chứng minh : BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH - Tam giác vuông CHB có : BC2 = CH2 + HB2 (1) - Tam giác vuông CHA có : CH2 = AC2 - HA2 (2) - Do góc A nhọn nên H nằm AB , có : HB = AB-HA HB = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3) Thay (2) (3) vào (1) đợc đpcm Bài toán 1b : 30 A H B C Chứng minh tam giác bình phơng cạnh đối diện góc tù tổng bình phơng hai cạnh cộng hai lần tích hai cạnh với hình chiếu cạnh lại Chứng minh : Hoàn toàn giống toán 1a với ý : H Do góc A tù nên A nằm BH Có A HB = AB + HA HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA B C Bài toán 1c (Định lý đờng trung tuyến ) : Cho tam giác ABC có AM trung tuyến , AH đờng cao Chứng minh hệ thức : A AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2 Chứng minh : Giả sử : AMB < 900 => AMC > 900 Tam giác MAB có : AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH (1) Tam giác MAC có : B H M C AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2) Cộng (1) (2) với ý MB =MC =BC/2 ta đợc đpcm Bài tập chứng minh đồng quy, vuông góc : Bài toán 2a : a Chứng minh tổng bình phơng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến hai đỉnh đối diện hình chữ nhật b Trên cạnh tam giác ABC phía ngời ta dựng hình chữ nhật ABB1A1 ; BCC1B2; CAA2C2 Chứng minh đờng trung trực đoạn A1A2; B1B2; C1C2 đồng quy Chứng minh : a Cần chứng minh hệ thức : PA2 + PC2 = PB2 + PD2 A Gọi O giao điểm AC BD ,có : PO trung tuyến tam giác PAC, PDB - Tam giác PDB có : PD2 + PB = 2OP2 + BD2/2 - Tam giác PAC có : PA2 + PC2 = 2OP2 + AC2/2 D - Do AC = BD nên PA + PC2 = PB + PD2 b Chứng minh : 31 P B O C B2 Gọi P giao điểm hai trung trực đoạn B1B2 A1A2 PB2= PB1 ; PA1 = PA2 B1 B C1 A1 P C A A2 C2 - Xét điểm P hình chữ nhật BCC1B2 có : PC12 = PC2 + PB 22 -PB2 = PC2 + PB12 -PB2 (1) - Xét điểm P hình chữ nhật ACC2A2 có : PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2) Trừ (1) cho (2) đợc : PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = ( Do quan hệ điểm P với HCN ABB1A1 ) PC1 = PC2 => P thuộc trung trực C1C2 => đpcm Bài tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình vuông có cạnh a Qua tâm hình vuông vẽ đờng thẳng (d) tuỳ ý Chứng minh tổng bình phơng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đờng thẳng (d) không đổi A B C1 A1 D1 O D B1 C Dễ dàng chứng minh đợc tam giác AA1O, CC1O, OB1B, OD1D nhau, tam giác OAD vuông cân O Từ có : DD12 + BB12 = 2OA12 AA12 + CC12 = 2AA12 DD12 + BB12 +AA12 + CC12 = 2(OA12 +AA12) = 2AO2 = AD2 = a2 =const 32 Bài tập 3b : Chứng minh rằng: Trong hình thang ,tổng bình phơng hai đờng chéo tổng bình phơng hai cạnh bên cộng hai lần tích hai cạnh đáy A D B E F C Hạ AE, BF vuông góc với DC (E,F thuộc DC ) áp dụng định lý Pitago cho - Tam giác vuông EAC có : AC2 = AE2 + EC2 =AE2 +EF2 +FC2 +2EF.FC - Tam giác vuông AED có AE2 = AD2 - DE2 Đợc : AC2 = AD2 - DE2 + EF2 +FC2 -2EF.FC (1) - Tam giác vuông BFD có :BD2 = BF2 + FD2 =BF2 +EF2 +DE2 +2EF.DE - Tam giác vuông AED có BF2 = BC2 - FC2 Đợc : BD2 = BC2 - FC2 + EF2 +DE2 -2EF.DE (2) Cộng (1) ( 2) đợc : AC2 + BD2 = AD2 +BC2 +2EF2 + 2EF.FC+2EF.DE = AD2 +BC2 +2EF(EF +FC+DE ) =AD2 +BC2 +2EF.DC =AD2 +BC2 +2AB.DC ( đpcm) Bài toán cực trị hình học Bài toán 2a : Cho hai đờng thẳng a,b song song với cách khoảng 2k cho trớc I điểm cách hai đờng thẳng ; Hai cạnh góc vuông có đỉnh I lần lợt cắt a A cắt b B Xác định góc vuông ( vị trí tia IA; IB) để tam giác IAB có diện tích nhỏ D x A Giải : Có : ID = IC = k Đặt: AD = x CB = y I Có : C y B SIAB = SABCD -(SIAD+ SICB) = (x +y)k - (x+y)k/2 = (x + y)k/2 Xét hai tam giác đồng dạng : IAD BIC đợc : AD/IC = ID/BC => AD.BC = ID.IC = k2 = const x.y = const Để SIAB nhỏ => x + y nhỏ => x = y => ABCD hình chữ nhật 33 Tính x,y : Có x2 +k2 + y2 + k2 = 2x2 + 2k2 = IA2 +IB2 = AB2 = 4k2 x2 = k2 => x = k (do x>0) Bài toán 2b : Cho tam giác ABC vuông A Xác định điểm M tam giác cho tổng bình phơng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác đat giá trị nhỏ A E F I B M H G C ME2 + MF2 +MG2 = AM2 + MG2 (AEMF hình chữ nhật ) = AI2 +IM2 + MG2 (AIM vuông I ) AI2 + IH2 ( Dấu = xảy M thuộc AH ) (1) Lại có : AI2 + IH2 = AH2 - 2AI.IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 +MG2 nhỏ AI.IH lớn Và có AI +IH = AH =const nên AI.IH lớn lúc AI=IH=AH/2 (2) Kết hợp (1) (2) đợc M trung điểm AH tổng bình phơng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác nhỏ Ht 34 [...]... kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏ nhất Q N P P 11 M HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc : PM + MN + NQ = PP + PN + NQ Do PP = const Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì PN +NQ nhỏ nhất P,N,Q thẳng hàng Dễ dàng suy ra cách dựng II Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông : 1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trung điểm... = (O 1M +O2N)/2 = (AC + CB)/ 4 =const A M J C NB I di chuyển trên phần đờng thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu vi nhỏ nhất Giải : B N C Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của MN; NQ; PQ ta có : MN = 2BE... là hình vuông cần dựng TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này Bài toán 4b : 15 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH Các hình vuông này có tâm lần lợt là O1,O2 Tìm quỹ tích trung điểm I của O1O2 khi C chạy trên AB E D HD : Hạ O1M,IJ,O2N vuông G góc với AB I H O1 O1MNO2 là hình. .. = FC/2 - Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H Hay góc FHC = 900 4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình Bài tập 4a : Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và điểm N thuộc cạnh BC A M E - B N O N M D F - C HD : Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có : - Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M) - Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N) -... điểm P và hình chữ nhật BCC1B2 có : PC12 = PC2 + PB 22 -PB2 = PC2 + PB12 -PB2 (1) - Xét điểm P và hình chữ nhật ACC2A2 có : PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2) Trừ (1) cho (2) đợc : PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = 0 ( Do quan hệ điểm P với HCN ABB1A1 ) PC1 = PC2 => P thuộc trung trực của C1C2 => đpcm 3 Bài tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình vuông có cạnh a Qua tâm hình vuông... D HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH ) - Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK - Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM MK vuông góc với BM Bài toán 1b : Cho tam giác ABC có AD là đờng cao Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy I H F A E B 12 D G C HD: Dựng hình bình hành FAHI Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng... giác vuông tại A M là điểm bất kỳ thuộc BC D,E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất A Giải : Tứ giác ADME là hình chữ nhật DE = AM D E B a Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC 16 M C (1) b Để DE lớn nhất Nếu AB >AC thì M B Nếu AC >AB thì M C Nếu AB =AC thì M B hoặc M C Bài toán 5c : Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB Đờng vuông... điểm bất kỳ trên AB Vẽ các hình vuông ACDE; CBFG Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ nhất G F Giải : Đặt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x) 2 = 2(x -a/2)2 + a2/2 a2/2 Dấu = xảy ra lúc x =a/2 E D A C là trung điểm của AB C B 6 Các bài toán tổng hợp Bài toán 1b : Cho tam giác ABC Về phía ngoài Pcủa tam giác dựng các hình vuông F ABGH , ACEF... Tam giác EDK cân tại E ED = EK DE = EK = AE + KC đpcm ) Bài toán 3b : Cho hình vuông ABCD Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB sao cho AE=AF Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE Tính góc CHF F B A E 14 D O H K C HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC O là giao điểm của BK và FC - Chứng minh đợc FBCK là hình chữ nhật - Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2... toán 2a : Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD BN, CM cắt nhau tại P Chứng minh rằng DP =AB M A B P N I D C HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD Dễ dàng chứng minh đợc IC = 2AB Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên CM vuông góc với NB Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm ) Bài toán 2b: Cho hình vuông