Không gian f dugundji, không gian f milutin và co rút f giá trị tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Nguyễn Hồng Dũng LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc q thầy thật nhiều sức khỏe thành cơng! Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 26 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Nguyễn Hồng Dũng MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .5 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian compact 1.3 Không gian mêtric .7 1.4 Đồng cấu nhóm 1.5 Không gian lồi địa phương 1.6 Dàn Banach .9 1.7 Toán tử 10 1.8 Độ đo 13 1.9 Hàm tử 14 1.10 Khối lập phương Cantor 15 1.11 Khối lập phương Tychonoff 16 Chương KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN .18 2.1 Không gian Dugundji không gian Milutin 18 2.2 Một số định lý không gian F – Dugundji F – Milutin 20 Chương CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI 27 3.1 Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối 27 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho vài hàm tử chức 37 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Với hàm tử chức F : Comp → Comp phạm trù Comp không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa khái niệm không gian F – Dugundji F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển khơng gian Dugundji Milutin Qua đó, ta chứng minh lớp không gian F – Dugundji trùng với lớp co rút F – giá trị tuyệt đối Kế tiếp, cho X không gian compact Dugundji với tích tensơ tương ứng hàm tử liên tục đơn cấu F : Comp → Comp , X co rút F – giá trị tuyệt đối tập hai phần tử {0,1} co rút F – giá trị tuyệt đối Ta chứng minh với hàm tử Lipk phiếm hàm k – Lipschitz ( k < 2), co rút Lipk – giá trị tuyệt đối sinh mở Mặt khác, compact hóa điểm khơng gian rời rạc khơng đếm khơng thể sinh mở lại co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối Tổng quát hơn, không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa nâng rời rạc hữu hạn n = ht (X ) co rút Lipk – giá trị tuyệt k  n+2 − 1.2 Thực tiễn đề Một định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với hàm số liên tục f : X → xác định tập đóng X tôpô thông thường Y xác định thác triển liên tục f :Y → không gian Trước đây, có nhiều nỗ lực nhằm hợp định lý Tietze-Urysohn tốn tử quy Dugundji đề cập [9] mong muốn hoàn toàn tự nhiên hợp lý, nhiên nỗ lực thất bại tồn cặp (X , A) không gian Hausdorff compact A ⊂ X tốn tử mở rộng tuyến tính quy không nhận u : C (A ) →C (X ) Điều khiến A.Pelczynski [15] ý tưởng giới thiệu lớp không gian compact Dugundji Tồn không gian compact X nhận với phép nhúng X ⊂Y vào không gian Hausdorff compact Y tốn tử mở rộng tuyến tính quy u : C (X ) →C ( Y ) Dugundji chứng minh mơ tả co rút P – giá trị tuyệt hàm tử P : Comp → Comp độ đo xác suất phạm trù Comp không gian Hausdorff compact ánh xạ liên tục Cần nhắc lại với không gian Hausdorff compact P ( X ) không gian co xác suất phiếm tuyến tính quy µ : C (X ) → µ( f ) ⊂ conv ( f (X ))) Ta đồng điểm δx : C (X ) → δx xác định phép nhúng gán x với độ đo xác suất Đồng thời R Haydon làm sáng tỏ hiểu biết cấu trúc AE (0) không gian Dugundji compact chứng minh lớp không gian Dugundji compact trùng với lớp mở rộng compact tuyệt đối số chiều không Như thấy trước sau Haydon có nhiều nghiên cứu vấn đề đặt xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin co rút F – giá trị tuyệt đối đạt nhiều kết Từ cho thấy cấp thiết đề tài cần quan tâm nghiên cứu Với kiến thức tôpô đại cương nghiên cứu không gian Dugundji nhà toán học giới Việt Nam từ báo F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts hai tác giả Taras Banakh Taras Radul xuất tạp chí Topology and its Applications năm 2015 Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 2.1 Mục tiêu nghiên cứu Từ chứng minh R Haydon lớp không gian Dugundji compact trùng với lớp  Định lý Haydon chứng minh định lý Haydon  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan không gian compact F – Dugundji không gian compact F – Milutin  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối  Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối số hàm tử chức 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số kết có liên quan đến nội dung luận văn làm sở lý luận trình bày lại số khái niệm kết có chứng minh số định lý tính chất Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, phần kết thúc Mở đầu: Nội dung phần mở đầu nhằm đề cập đến ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung chương nhằm đưa số kiến thức cần thiết cho chương chương Chương 2: Không gian F – Dugundji F – Milutin: Chương luận văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji F – Milutin tính chất liên quan Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối: Chương luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối tính chất liên quan Cuối chương tơi xin trình bày số kết có xét F hàm tử cụ thể Kết luận: Chúng hệ thống lại kết trình bày chương chương số vấn đề nhằm định hướng phương hướng nghiên cứu tương lai Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương giới thiệu nhắc lại số khái niệm kết nhằm làm sở cho việc nghiên cứu chương sau Các định nghĩa trình bày chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [12] 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Khi đó, ta gọi τ tôpô X họ tập X cho: không gian tôpô  X;τ ) 1.1.2 Lân cận điểm Cho không gian tôpô (X ;τ ) điểm x ∈ X , U ⊂ X x tồn V ∈τ cho x ∈V V ⊂U 1.1.3 Tập đóng Tập B ⊂ gọi tập đóng X 1.1.4 Tơpơ cảm sinh X gọi lân cận \ tập mở B Cho không gian tôpô (X ;τ ) A ⊂ X Ta có họ τ A = { A ∩U :U mở X } họ tập mở A τ A tôpô A cảm sinh từ tôpô τ Khi (X ;τ A ) gọi khơng gian tôpô không gian tôpô (X ;τ ) 42 Ví dụ: Một khơng gian compact vơ hạn X với điểm khơng lập có nâng rời rạc ht (X ) =1 3.2.7 Định lý Mỗi không gian compact rời rạc paracompact kế thừa X nâng rời rạc hữu hạn hàm tử Vì VX pX chứng minh phép quy nạp tro ánh xạ liên tục xạ s = ht (X ) Nếu s = F0 X Ánh xạ p :VK→F K ht(K ) compact rời rạc paracompact kế thừa K cho ht (K ) < K = Giả s thiết X nâng rời rạc Telgarsky [21], không gian rời rạc X \ {∗} mạnh, cho phép ta chọn phủ rời compact khác rỗng X \ {∗} Mỗi không gian ht (A ) < ht (X ) = s Phân tích A thành hợp hữu hạn rời tập mở, quy nạp cho ánh xạ liên ht(A)) ta thêm giả thiết tục tập điểm cho p A :VA → Fht (A) (A ) ⊂ Fs −1 (A) Giả thiết cho 43 pA δ A = δA Lấy χA : X  {0,1} kí hiệu cho hàm đặc trung tập A :VX rút rA Với °∈ (có nghĩa →VA Giả sử: µ∈VX ∪ {∅ } Xác định ánh xạ phiếm hàm p X (µ )(ϕ ) = ϕ ( ∗ ) + sup µ ( χ A ).µ A (ϕ A − ϕ ( ∗ ) )+ inf µ Trong cơng thức sup µ ( χ A ).µ A (ϕ A − ϕ ( ∗ ) ) = max µ ( χ A ).µ A (ϕ A − ϕ (∗ ) )≥ ° A∈ inf µ ( χ ° A∈ Cách xác định phiếm hàm tính yếu phiếm hàm pX (µ ) Tiếp theo, ta chứng minh phiếm hàm hàm yếu Thật vậy, p X (µ )(ϕ ) = ϕ ( ∗ ) + sup µ ( χ A ).µ A (ϕ A − ϕ ( ∗ ) )+ inf µ ( χ A ).µ A (ϕ A − ϕ (∗)) ≥ ϕ ( ∗ ) + + inf µ ( χ A )(min ϕ A − ϕ ( ∗ ) )≥ ϕ A ≥ minϕ Tương tự ta chứng minh Do p Ta cần kiểm tra rằng: p X (µ)∈Lip2 s +1 −1 (X ) Cố định hai ánh xạ ϕ ,ψ ∈C (X ) chọn (có thể rỗng) tập Aϕ , Aϕ , Aψ , Aψ ∈ cho: µ ( χ A ).µ A (ϕ Aϕ − ϕ ( ∗ ) ) = sup µ ( χ A ).µ A (ϕ A − ϕ (∗)) ϕ ϕ A∈ 44 ( µ χ µ(χ ( µ χ hàm A, A∈ , cho ta: p X (µ )(ϕ ) − pX (µ )(ψ ) = ( ) ϕ ( +µ ∗ ( −ψ ϕ ) −µ ∗ (∗)+ µ(χA ϕ ).µ (ϕ Aϕ ( ) Aϕ −ϕ (∗))+ µ χAψ µAψ (ϕ Aψ −ϕ (∗)) ( ) −ψ −µ ∗ )− µ(χ ))(ϕ(∗)−ψ (∗))+  (χ ).(µ (ϕ A )− µ (ψ A ))  (1− µ(χ Aϕ Aϕ Aϕ Aψ ϕ Aϕ ϕ ( +µ ≤ ≤ χ ( ( + Bằng phiếm hàm pX (µ ) Sử dụng tính liên tục ánh xạ ϕ A−ϕ(∗) ánh xạ p X :VX → 45 Cuối cùng, ta kiểm tra pX (µ ) = µ µ = δX (x) độ đo Dirac điểm x∈ X Nếu x=* µ p X cho vài hàm A µ A A =p Vr phủ rời rạc rA (x ) = x Lấy hàm ϕ ∈C (X ), ϕ (x) ≥ ϕ (∗) Nếu ϕ (x) ≤ ϕ (∗) Vì X p ( 3.2.8 Định lý Mỗi không gian nâng rời rạc hữu hạn tử Fs +1 = V Chứng minh rạc đếm điểm Theo định lý 3.2.7 không gian hàm tử Fs +1 = V rút Y Trong [16, 1.7] đề cập đến không gian compact sinh mở có phần tử đếm Điều dẫn đến không gian X compact không đếm có điểm khơng lập khơng sinh mở µ ( 46 Mặt khác, theo định lý 3.2.7 X co rút F – giá trị tuyệt hàm tử F = V ∩ V± ∩ V ∩ Lip3  3.2.9 Hệ Với X không gian compact không đếm có điểm khơng lập không sinh mở co rút F – giá trị tuyệt hàm tử F = V ∩ V± ∩ V ∩ Lip3 AR [F ]⊄ OG Kết hợp định lý 3.2.4, 3.2.7 mệnh đề 3.1.3 ta có hệ sau đây: 3.2.10 Hệ Hàm tử V ∩ V± ∩ V ∩ Lip3 không nhận phép biến đổi tự nhiên vào hàm tử Lipk với k ∈[1,2) Với lý do, định lý 3.1.4 3.2.3 cho hệ quả: 3.2.11 Hệ Hàm tử S = V ∩ V± ∩V< không nhận phép biến đổi tự nhiên vào hàm tử chuẩn tắc F : Comp → Comp Điều thú vị cần ý hàm tử F = V ∩ V± ∩V có lớp cực đại AR[F ] co rút F – giá trị tuyệt đối 3.2.12 Định lý Cho hàm tử F = V ∩ V± ∩V lớp AR[F ] trùng với lớp tất không gian compact Hausdorff Chứng minh Chú ý với không gian compact X không gian co rút tuyệt đối, kéo theo lớp AR [V ] VX=VX= chứa tất không gian compact [ Để chứng minh rằng: AR r :VX →FX X Xét phiếm hàm α ∈ FX  (ϕ) = (min ϕ + maxϕ ) Định nghĩa rút rX :VX → FX biến phiếm 47 (X ) thành phiếm hàm pX (µ) biến hàm số khác hàm  ∈V ∈ (X ) thành số thực C α(ϕ)+ Điều chứng minh rút định nghĩa tốt từ 48 KẾT LUẬN Những kết đạt được: Luận văn trình bày: Các khái niêm khơng gian Dugundji, không gian Milutin, không gian co rút P – giá trị tuyệt đối mối liên hệ không gian qua định lý Haydon Các khái niệm không gian compact F – Dugundji, không gian compact F – Milutin định lý cung cấp cách chứng minh không gian compact không gian compact F – Dugundji F – Milutin Các khái niệm không gian co rút F – giá trị tuyệt đối F – Milutin tuyệt đối định lý liên hệ không gian Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối số hàm tử chức F Một số câu hỏi: Câu hỏi Hàm tử F =V ∩V± ∩V có co rút (tự nhiên) hàm tử V hay không? Điều thấy rút rX :VX → FX xây dựng chứng minh định lý 3.2.12 không xác định phép biến đổi tự nhiên r :V → F Câu hỏi Có phải khơng gian X compact có điểm khơng lập co rút Lip2 - giá trị tuyệt đối hay không? Câu hỏi Mỗi khơng gian compact (rời rạc) có phải co rút Lipk giá trị tuyệt vài Câu trả lời cho câu hỏi trước không gian Mrowka ψ tập vô hạn sinh ∪ () Mặt khác, ψ ∪ phương A ={{A}∪A\F Khơng gian Mrowka có nâng rời rạc paracompact kế thừa Nó tách lại chứa không gian rời rạc không đếm Nếu họ không Frechet-Urysohn Câu hỏi Không gian Mrowka ψ ( trị tuyệt vài số thực k ≥1 hay khơng? Ta nói hàm tử không gian X compact vô hạn, số không gian FX không gian X Chỉ số không gian tôpô lực lượng dương nhỏ sở Hiểu nghĩa là: w ( T ) = {: ∈ } với lực lượng tập tất sở T Câu hỏi Mỗi khơng gian compact co rút F – giá trị tuyệt vài hàm tử bảo toàn số F ⊂ V hay khơng? Điều có cho hàm tử Lip3 hay không? Câu hỏi Sự compact hóa Stone-Cech β co rút Lip – giá trị tuyệt đối hay không? số nguyên dương có 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2006), “Tôpô đại cương”, Nxb Giáo dục Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006) “Đại số đồng đều”, Nxb Đại học Quốc gia Tp.HCM Nguyễn Bích Huy (7/2006) “Tài liệu học tập - Mơn giải tích sở”, khoa Tốn – Tin học, trường Đại học Sư phạm TP HCM Tiếng Anh Taras Banakh, Taras Radul (2015), “F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts” Topology and its Applications, 170, pp 34-50 R Alkins, V Valov, “Functional extenders and set-valued retractions”, J Math Anal 399 (1) (2013) 306-314 I Banakh, T Banakh, K Yamazaki, “Extenders for vetor-valued functions”, Math 191 (2009) 123-150 T Banakh, A Leiderman, “Uniform Eberlein compactifications of metrizable spaces”, Topol Appl 159 (7) (2012) 1691-1694 R Cauty, “Sur les rétractes absolus Pn-valués de dimension finie”, Fundam Math 158 (3) (1998) 241-248 J Dugundji, “An extension of Tietze’s theorem”, Pac J Math (1951) 353367 10 R Engelking, “General Topology”, Heldermann Verlag, Berlin, 1989 11 V Fedorchuk, “Probability measures in topology”, Usp Mat Nauk 46 (1991) 41-80 12 V.V Fedorchuk, V.V Filippov, “General Topology” Fundamental Constructions, Nauka, Moscow, 2006 13 R Haydon, “On a problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces and AE(0-dim)”, Stud Math 52 (1974) 23-31 51 14 A.A Milyutin, “Continuous function spaces”, Doctoral dissertation, Moscow State University, 1952 15 A Pelczynski, “Linear extensions, linear averagings, and their applications to linear topological classification of spaces of continuous functions”, Diss Math 58 (1968) 1-89 16 T Radul, “On functional representations of Lawson monads”, Appl Categ Struct (2001) 69-76 17 T Radul, “Monads and tensor products”, Proc Indian Acad Sci (2014), submitted for publication 18 L.V Shirokov, “External characterization of Dugundji spaces and Kmetrizable bicompacta”, Dokl Akad Nauk SSSR 263 (5) (1982) 10731077 19 E Schepin, “Functors and uncountable powers of compacta”, Usp Mat Nauk 36 (1981) 3-62 20 A Teleiko, M Zarichnyi, “Categorical Topology of Compact Hausdorff Spaces”, VNTL Publishers, Lviv 1999 21 R Telgarsky, “Total paracompactness and paracompact dispersed spaces”, Bull Acad Pol Sci, Sér Sci Math Astron Phys 16 (1968) 567-572 22 V Valov, “Extenders and k-metrizable compacta”, Mat Zametki 89 (2011) 331-341 23 M Zarichnyi, “Spaces and mappings of idempotent measures”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat 74 (2010) 45-64 ... Chương CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI 27 3.1 Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối 27 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối. .. niệm co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối Chương trình bày số khái niệm co rút F – giá trị tuyệt đối F – Milutin tuyệt đối số kết có lớp co rút F – giá trị tuyệt đối nghiên... Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối 3.1.1 Định nghĩa Với không gian compact Hausdorff F X hàm tử : Comp → Comp Không gian X gọi là: • Một co rút F – giá trị tuyệt đối