onluyen.vn_Các bài toán đếm – xác suất hay và khó

CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM – XÁC SUẤT HAY VÀ KHĨ Tạp chí tư liệu tốn học Tiếp nối thành công số trước, số cñng tëm hiểu tốn đếm – xác suất hay khó Bên cạnh phương pháp tình xác suất sách giáo khoa, viết giới thiệu cho bạn vài công cụ mạnh để giải toán xác suất Bản pdf đăng blog Chinh phục Olympic toán bạn chị ó đỵn đọc nhé! I HAI BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT CĨ NHIỀU ỨNG DỤNG BÀI TỐN CHIA KẸO EULER Bài toán chia kẹo Euler toán tiếng Lý thuyết tổ hợp Với học sinh chuyên Toán cấp thë tốn quen thuộc có nhiều ứng dụng Dưới cách tiếp cận toán chia kẹo Euler cho học sinh lớp & để thấy tốn đếm nói riêng tốn tổ hợp nói chung ln tốn mà lời giải chứa đựng hồn nhiên ngây thơ Trước hết, xin phát biểu lại toán chia kẹo Euler Bài toán chia kẹo Euler: Có n kẹo (giống nhau) chia cho k em bé, hỏi có cách chia cho em cỵ kẹo Một cách hợp lì, ta xét toán trường hợp cụ thể, đơn giản để từ đỵ định hướng đưa lời giải cho tốn tổng qt Bài tốn Có 20 kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có cách chia cho a) Mỗi em có kẹo b) Mỗi em có kẹo c) Em thứ có kẹo, em thứ hai có kẹo em thứ ba có nhiều kẹo Lời giải a) Nhận thấy rằng, em có kẹo nên số kẹo em thứ nhận nhiều 18 Xét trường hợp Trường hợp Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai 1, 2, 3, , 18 em thứ ba nhận số kẹo lại sau chia cho em thứ em thứ hai xong, nghĩa trường hợp có 18 cách chia kẹo Trường hợp Em thứ nhận kẹo, đỵ số kẹo em thứ hai 1, 2, 3, , 17 em thứ ba nhận số kẹo lại, nghĩa trường hợp có 17 cách chia kẹo … Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHĨ Hồn tồn tương tự cho trường hợp cịn lại, ta nhận thấy số cách chia 20 kẹo cho em bé cho em cỵ kẹo 18  17     171 Phát biểu tổng quát Nếu k  có cách chia kẹo Nếu k  ta trải n kẹo thành dàn hàng ngang, ta dùng  k   thước đặt vào  n  1 khe viên kẹo để chia thành k phần Như có tất C kn 11 cách Cả trường hợp ta có C kn 11 cách chia kẹo Trên lời giải toán chia kẹo Euler – toán đếm tiếng với nhiều ứng dụng toán đếm khác Bài tác giả trình bày tốn gốc số toán đếm dạng ứng dụng mà đếm theo cách thïng thường khỵ khăn, hiểu theo đếm toán Euler tốn lại trở thành đơn giản Sau ta tìm hiểu ứng dụng lớn việc đếm số nghiệm nguyên phương trënh Bài toán Phương trënh k x i 1  n  n  k  có nghiệm nguyên dương? i Coi x i phần kẹo em nhỏ thứ i tốn chia kẹo số nghiệm phương trình số cách chia n kẹo cho k em nhỏ Vậy phương trënh cỵ C kn 11 nghiệm nguyên dương Bài toán Phương trënh k x i 1  n  n  k  có nghiệm ngun khơng âm? i Ta có x1  x   x k  n   x     x      x k    n  k Đặt x i '  x i  xi ' số nguyên dương Áp dụng tốn gốc ta có tất C kn 1k 1 nghiệm ngun khơng âm phương trënh Bài tốn Bất phương trënh k x i 1 Ta ln có k k i 1 i 1 i  n  n  k   có nghiệm nguyên dương?  xi  n   xi  x'  n  x'  1 Vậy có tất Ckn 1 nghiệm nguyên dương phương trënh Bài toán Bất phương trënh k x i 1 Ta có k x i 1 i i  n  n  k  có nghiệm nguyên dương? k k i 1 i 1  n   xi  x'  n  x'     xi  x''  n   x''  x'  Áp dụng toán Euler ta có C kn nghiệm Bài tốn Phương trënh k x i 1 i  n có nghiệm nguyên thỏa mãn đồng thời k điều kiện xi  di  di   , n   di  k   ? i 1 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 xi '   k Đặt x i '  x i  d i    k x '  n  k  di   i  i 1 i 1 k Đặt D   di theo tốn chia kẹo, phương trënh cỵ C kn 1k D 1 nghiệm i 1 BÀI TỐN ĐẾM HÌNH HỌC Bài tốn Cho đa giác cỵ n đỉnh Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác  Cỵ đòng cạnh chung với đa giác n  n    Cỵ địng cạnh chung với đa giác n  Khơng có cạnh chung với đa giác C 3n  n  n  n   Bài tốn Cho đa giác có 2n đỉnh Số tam giác vng có đỉnh đỉnh đa giác n  2n   Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Số tam giác tñ tạo thành từ n đỉnh  n  2k  n.C 2n   đa giác   n  2k   n.C n 1  Bài toán Cho đa giác có n đỉnh Số tam giác nhọn tạo thành từ n đỉnh đa giác  C 3n  (số tam giác tù + số tam giác vng) Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Cơng thức tổng qt tính số tam giác tù:  Nếu n chẵn  n.C 2n 2  Nếu n lẻ  n.C 2n 1 Bài toán Cho đa giác cỵ n đỉnh Xét tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác  Cỵ địng cạnh chung với đa giác n  C 2n    n     A  Cỵ địng cạnh chung với đa giác n  n    n  n  5 B  Cỵ địng cạnh chung với đa giác n  C  Không có cạnh chung với đa giác C n4   A  B  C  Và ta chứng minh C n4   A  B  C   n C n 5 Bài tốn Cho đa giác có 2n đỉnh Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT C 2n Bài tốn Cho đa giác có 4n đỉnh Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH VNG n Chứng minh Tứ giác có cạnh chung với đa giác Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Chọn cạnh n cạnh đa giác nên cỵ n cách Chọn đỉnh lại n  đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có C 2n  đỉnh khïng liên tiếp nên trừ cho n  (vì đỉnh liên tiếp tạo nên cạnh mà có n  đỉnh cịn lại nên có n  cạnh) Vậy trường hợp có n  C 2n    n    tứ giác Tứ giác có cạnh chung với đa giác Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Vì hai cạnh kề cắt đỉnh, mà đa giác cỵ n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Chọn đỉnh lại n  đỉnh (bỏ đỉnh tạo nên hai cạnh kề đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ) Do đỵ trường hợp có n  n   tứ giác Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh đa giác Chọn cạnh n cạnh đa giác nên cỵ n cách Trong n  đỉnh cịn lại (bỏ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề cạnh chọn, tham khảo hình vẽ) tạo nên n  cạnh Chọn cạnh n  cạnh đỵ nên cỵ n  cách Tuy nhiên trường hợp số tứ giác mënh đếm đến lần Do đỵ trường hợp có | Chinh phục olympic tốn n  n  5 n  n  5 tứ giác Vậy có n  n    tứ giác thỏa mãn 2 Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Tứ giác có cạnh chung với đa giác Đánh số thứ tự đỉnh đa giác, ta cỵ n số:  1; 2; 3;  ,  2; 3; 4;  , .,  n  3; n  2; n  1; n  ,  n  2; n  1; n;  ,  n  1; n; 1;  ,  n; 1; 2;  Vậy trường hợp có n tứ giác thỏa mãn II CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP Câu 1: Cho tập A  1; 2; 3; ; 2018 số a, b, c  A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc cho a  b  c a  b  c  2016 Lời giải Xét phương trënh a  b  c  2016 Ta biết phương trënh cỵ C 22015 nghiệm ngun dương  TH1: Xét cặp nghiệm số trñng nhau: a  b  c  672  TH2: Xét cặp nghiệm cỵ a  b , c  a  2a  c  2016 Suy c số chẵn thỏa  c  2016 nên có 1007 giá trị c Do đỵ cỵ 1007 cặp, mà cỵ cặp trừ cặp  672, 672, 672  (loại) Do đỵ cỵ  1006 cặp Tương tự ta suy cỵ 1006.3 cặp nghiệm cỵ số trñng Do số tập hợp gồm ba phần tử cỵ tổng 2016 C 22015  3.1006   337681 3! (Chia cho ! a  b  c nên khïng tình hốn vị ba  a, b, c  ) Câu 2: Cho tập A  1; 2; 3; ; 100 Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tình xác suất để số chọn khïng cỵ số số nguyên liên tiếp Lời giải Số cách chọn ngẫu nhiên số C 10 Ta tëm số cách chọn số  a; b; c  thỏa mãn, theo giả thiết ta cỵ  a  b   c   Đặt b'  b  1; c'  c    a  b'  c'  Mỗi cách chọn  a; b'; c' từ tập 1; 2; ; 8 tương ứng với ba số  a; b; c  thỏa C83 mãn Vậy cỵ tất C cách chọn thỏa mãn Xác suất cần tëm  C10 15 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Câu 3: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số lập thành từ tập X  1; 2; ; 8 Ròt ngẫu nhiên từ tập X số tự nhiên Tình xác suất để số rịt số mà số đỵ chữ số đứng sau luïn lớn chữ số đứng trước? Lời giải Số số thuộc tập S 8.9.9  648 Số rịt cỵ dạng abc với  a  b  c  Đặt a'  a  1; c'  c    a'  b  c'  Mỗi cách chọn  a; b'; c' từ tập 0; 1; 2; ; 9 tương ứng với ba số  a; b; c  thỏa mãn Vậy cỵ tất C 10 cách chọn thỏa mãn Vậy xác suất cần tình 27 Câu 4: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Tình xác suất để số rịt số mà số đỵ chữ số đứng sau luïn lớn chữ số đứng trước ba chữ số đứng đïi khác nhau? Lời giải Số số thuộc tập S 9.10 Số chọn cỵ dạng abcde với  a  b  c  d  e  Đặt a'  a  1; e '  e    a'  b  c  d  e '  10 Đến thực tương tự câu ta tëm C 11 số Vậy xác suất cần tình 77 1500 Câu 5: Từ 12 học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập nhóm làm tập lớn khác nhau, nhóm học sinh Tính xác suất để nhỵm cỵ học sinh giỏi học sinh Lời giải C 93 C 63 C 33 Ta có số phần tử không gian mẫu n()  C 12 Đánh số nhóm A, B, C, D  Bước 1: xếp vào nhóm học sinh có ! cách  Bước 2: xếp học sinh giỏi vào nhóm có nhóm có học sinh giỏi Chọn nhóm có học sinh giỏi có cách, chọn học sinh giỏi có C 25 cách, xếp học sinh giỏi lại có ! cách  Bước 3: Xếp học sinh trung bình có ! cách Đáp số: 4!.4.C 25 3!.3! 36  C 12 C 93 C 63 C 33 385 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Câu 6: Trí chơi quay bánh xe số chương trënh truyền hënh ‚Hãy chọn giá đòng‛ kênh VTV3 Đài truyền hënh Việt Nam, bánh xe số cỵ 20 nấc điểm: , 10 , 15 , , 100 với vạch chia giả sử khả chuyển từ nấc điểm cỵ tới nấc điểm cín lại Trong lượt chơi cỵ người tham gia, người quyền chọn quay lần, điểm số người chơi tình sau:  Nếu người chơi chọn quay lần thë điểm người chơi điểm quay  Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay khïng lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay  Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay lớn 100 thë điểm người chơi tổng điểm quay trừ 100 Luật chơi quy định, lượt chơi người cỵ điểm số cao thắng cuộc, hịa chơi lại lượt khác An Bình tham gia lượt chơi, An chơi trước có điểm số 75 Tính xác suất để Bình thắng lượt chơi Lời giải Cách 1: Ta có n     100    20 Để Bình thắng ta cỵ ba trường hợp  Trường hợp Bình quay lần điểm số lớn 75, ta cỵ khả thuộc tập hợp 80; 85; 90; 95; 100 Do đỵ xác suất P1   20  Trường hợp Bình quay lần đầu điểm số a  75 , ta có 15 khả 15 Do đỵ xác suất P2   20 Khi đỵ để thắng Bình cần phải có tổng hai lần quay lớn 75, ta cỵ khả thuộc tập hợp 80  a; 85  a; 90  a; 95  a; 100  a Do đỵ xác suất P3   20 Vậy xác suất để Bình thắng lượt P  P1  P2 P3    4 16 Cách 2:  TH1: Bình quay lần thắng ln Vì An quay vị trí 75 nên Bình quay vào số 20 vị trì để thắng Do đỵ P  A    20  TH2: Bình quay hai lần thắng Nghĩa lần Bënh quay kết nhỏ 75 quay tiếp để tổng hai lần quay lớn 75 đồng thời nhỏ 100 Giả sử lần Bënh quay a điểm, lần quay b điểm Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHĨ  a  75 Cần có:   a  b  80, 85, 90, 95, 100 Khi đỵ: Chọn a có 15 cách, chọn b có cách Suy chọn cặp a, b có 15.5  75 cách Khơng gian mẫu cho TH2 có 20.20 cách Do đỵ P  A   Kết luận: P  A   P  A   P  A   75  20.20 16   16 16 Câu 7: Một số tự nhiên gọi số thú vị số có chữ số đïi khác lập thành tự tập 1; 2; ; 8 số đỵ chia hết cho 1111 Hỏi có số tự nhiên thú vị thế? Lời giải Số cần tëm cỵ dạng i  a 1a a a b1 b b b Ta cỵ tổng chữ số số cần tëm tổng chữ số từ đến 36 chia hết số cần tëm chia hết cho Do 1111 cỵ ước chung lớn nên theo giả thiết thë i chia hết cho 9999 Đặt x  a 1a a 3a , y  b b b b Ta có i  x.10  y  9999x  x  y chia hết cho 9999 từ đỵ suy  x  y  chia hết cho 9999 Mặt khác  x  y  2.9999  x  y  9999 Do đỵ a  b1  a  b  a  b  a  b  Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 cỵ cặp  1;  ,  2;7  ,  3;  ,  4;  nên cỵ cách chọn a ; cách chọn a ; cách chọn a cách chọn a tức chọn a k có ln b k Vậy số số thị vị 8.6.4.2  384 số Câu 8: Cho tập A  1; 2; 3; ; 18 Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Cỵ cách chọn số tập A cho hiệu số bất kë số đỵ cì trị tuyệt đối khïng nhỏ 2? Lời giải Các số chọn xếp theo thứ tự tăng dần Giả sử dãy số chọn thỏa mãn a  a  a  a  a Theo giả thiết ta có:  a  a   a   a   a   14 Đặt a '  a  1, a3 '  a3  2, a4 '  a4  3, a5 '  a5  Đến thực tương tự câu 2, ta có số cách chọn C 14 cách chọn Câu 9: Có bạn cđng ngồi xung quanh bàn trín, bạn cầm đồng xu Tất bạn cñng tung đồng xu mënh, bạn cỵ đồng xu ngửa thë đứng, bạn cỵ đồng xu sấp thë ngồi Xác suất để khïng cỵ hai bạn liền kề cđng đứng Lời giải Gọi A biến cố khïng cỵ hai người liền kề cñng đứng | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Số phần tử khïng gian mẫu n      256 Rð ràng nhiều đồng xu ngửa thë biến cố A không xảy Để biến cố A xảy cỵ trường hợp sau:  TH1: Cỵ nhiều đồng xu ngửa Kết trường hợp    TH2: Có đồng xu ngửa Hai đồng xu ngửa kề nhau: cỵ khả Suy số kết trường hợp C 82   20  TH3: Có đồng xu ngửa Cả đồng xu ngửa kề nhau: cỵ kết Trong đồng xu ngửa, cỵ địng cặp kề nhau: cỵ 8.4  32 kết Suy số kết trường hợp C 83   32  16  TH4: Có đồng xu ngửa Trường hợp cỵ kết thỏa mãn biến cố A xảy Như n  A    20  16   47 Xác suất để khïng cỵ hai bạn liền kề cđng đứng P  n A  n   47 256 Câu 10: Cho đa giác 20 cạnh Hỏi cỵ tất hënh chữ nhật khïng phải đỉnh hënh vụng cỵ đỉnh đỉnh đa giác cho? Lời giải 20 Số hënh vụng cỵ đỉnh đa giác 5 Đa giác cỵ tất 10 đường chéo qua tâm, hënh chữ nhật tạo hai đường chéo qua tâm nên cỵ tất C 10 hënh chữ nhật Vậy số hënh chữ nhật khïng phải hënh vụng cỵ đỉnh đỉnh đa giác cho 45   40 Chú ý: Số đa giác cỵ m cạnh cỵ đỉnh đỉnh đa giác n cạnh cỵ thể cỵ n m Câu 11: Từ chữ số thuộc tập hợp S  1; 2; 3; ; 8; 9 có số có chín chữ số khác cho chữ số đứng trước chữ số , chữ số đứng trước chữ số chữ số đứng trước chữ số ? Lời giải Chọn vị trì để xếp chữ số , (số đứng trước ): có C 92 cách Chọn vị trì để xếp chữ số , (số đứng trước ): có C72 cách Chọn vị trì để xếp chữ số , (số đứng trước ): có C 25 cách chữ số cịn lại có ! cách Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Vậy có 3!.C 92 C 72 C 52  45360 số Câu: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D, đỉnh A có sâu, lần di chuyển bị theo cạnh hình hộp chữ nhật đến đỉnh kề với đỉnh nỵ đứng Tính xác suất cho lần di chuyển dừng đỉnh C’ Lời giải Khơng tính tổng quát giả sử tọa độ đỉnh A  0; 0;  C  1; 1;  Ta thây: lần sâu di chuyển cộng thêm vị trì hồnh độ, tung độ cao độ từ vị trì sâu đứng Do đỵ số phần tử khơng gian mẫu n     39  19683 Sau lần di chuyển sau đứng vị trí  1; 1;  sâu di chuyển số lần tọa độ thành phần hoành độ ; tung độ, cao độ :  3; 3;  ; hoán vị  1; 3;  ; hoán vị  7; 1;  Do đỵ số trường hợp thuận lợi biến cố A : sâu C sau bước di chuyển n  A   C 93 C 63 C 33  6.C 95 C 34 C 11  3.C79 C12 C11  4920 Câu 12: Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác đỵ Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho bao nhiêu? Lời giải Ta có số tam giác tạo từ đỉnh 12 đỉnh: C 12  Số tam giác cỵ đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: đỉnh liên tiếp cho tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác cỵ đỉnh đỉnh liên tiếp đa giác tức có cạnh cạnh liên tiếp đa giác, cạnh cắt đỉnh, mà đa giác cỵ 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này)  Số tam giác cỵ đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: Trước tiên ta chọn cạnh 12 cạnh đa giác nên cỵ 12 cách chọn; chọn đỉnh lại đỉnh (trừ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề với cạnh chọn) Do đỵ trường hợp có 8.12 tam giác 3 C 12  12  12.8 n     C 12  P  Ta có  3 C 12 n  A   C 12  12  8.12 Câu 13: Cho đa giác  H  có n đỉnh  n  , n   Biết số tam giác có đỉnh đỉnh  H  khơng có cạnh cạnh  H  gấp lần số tam giác có đỉnh đỉnh  H  cỵ địng cạnh cạnh  H  Khẳng định sau đòng? A n   4; 12  B n   13; 21 C n   22; 30  D n   31; 38 Lời giải 10 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học ... olympic toán | 19 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Câu 29: Cho tập X  6;7; 8; 9 , gọi E tập số tự nhiên khác có 2018 chữ số lập từ số tập X Chọn ngẫu nhiên số tập E , tính xác suất. .. có cách chọn Vậy có tất 17 cách chọn Xác suất cần tính Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học 17 45 Chinh phục olympic toán | 21 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Câu 34: Chọn ngẫu nhiên số phân... Dán tem thư Tj vào bë thư đỵ, cỵ hai trường hợp xảy sau: Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 15 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ + TH1: tem thư Tj dán vào bë thư B