Toán 9 cđ đường tròn

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN A- MỤC TIÊU: -Học sinh cần nắm vững kiến thức đường tròn -Vận dụng cách thành thục đn, tính chất để giải dạng tập -Rèn kỹ tư hình học Sáng tạo linh hoạt giải tốn hình học B - NỘI DUNG : I/ Những kiến thức : 1) Sự xác định tính chất đường trịn : - Tập hợp điểm cách điểm O cho trước khoảng không đổi R gọi đường trịn tâm O bán kính R , kí hiệu (O,R) - Một đường trịn hồn tồn xác định một điều kiện Nếu AB đoạn cho trước đường trịn đường kính AB tập hợp điểm M cho góc AMB = 900 Khi tâm O trung điểm AB cịn bán kính R = AB - Qua điểm A,B ,C khơng thẳng hàng ln vẽ đường trịn mà thơi Đường trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Trong đường trịn , đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Ngược lại đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây - Trong đường trịn hai dây cung chúng cách tâm - Trong đường trịn , hai dây cung khơng , dây lớn dây gần tâm 2) Tiếp tuyến đường tròn : - Định nghĩa : Đường thẳng gọi tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường trịn Điểm gọi tiếp điểm - Tính chất : Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính tiếp điểm Ngược lại , đường thẳng vng góc với bán kính giao điểm bán kính với đường tròn gọi tiếp tuyến - Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm điểm cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác gọi đường trịn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao đường phân giác tam giác - Đường tròn bàng tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh phần kéo dài hai cạnh 3) Vị trí tương đối hai đường tròn : - Giả sử hai đường tròn ( O;R) (O’;r) có R ≥ r d = OO’ khoảng cách hai tâm Khi vị trí tương đối hai đường trịn ứng với hệ thức R , r d theo bảng sau : Vị trí tương đối Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc Hai đường trịn khơng giao Số điểm chung Hệ thức R – r R+r (d CD AB = CD D AB < CD F Bài : Cho (O) điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh dây AB vng góc với OI I ngắn dây khác qua I Hướng dẫn chứng minh : Kẻ dây CD qua I khơng trùng với AB Nhờ mối liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây , ta kẻ OK vng góc với CD O OI > OK nên AB < CD D A C I K B * Từ tập thấy bán kính đường trịn R OI = d hỏi : - Tính độ dài dây ngắn qua I ? - Tính độ dây dài qua I ? Bài : Cho (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn Hãy dựng cát tuyến MPQ với đường tròn cho MP = MQ Hướng dẫn : Phân tích : Giả sử dựng hình thỏa mãn đề Q Kẻ OI vng góc với PQ I P M Ta có : IP = PQ ⇒ IP = MI ⇒ MP = N O Kẻ PN vng góc MQ ta thấy MN = MI MO P giao đường trịn đường kính MN (O) Cách dựng : Dựng điểm N dựng điểm P… 2) Bài tập tiếp tuyến đường tròn : a Ứng dụng tiếp tuyến : - Từ tính chất tiếp tuyến , hai tiếp tuyến cắt ta đường thẳng vng góc , cặp đoạn thẳng cặp góc ; từ ta xây dựng hệ thức cạnh , góc - Từ tính chất tiếp tuyến vận dụng vào tam giác tìm cơng thức tính diện tích đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp đường tròn bàng tiếp tam giác , bán kính - Lưu ý : Chứng minh Ax tiếp tuyến (O;R) làm E theo cách sau :  A ∈ (O;R) góc OAx = 900  Khoảng cách từ O đến Ax R F  Nếu X nằm phần kéo dài EF XA = XE.XF ( xem hình )  Góc EAX = góc AEF X A b Các ví dụ : Bài : Cho tam giác ABC vuông A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt d theo thứ tự D E a) Tính góc DOE b) Chứng minh : DE = BD + CE c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R bán kính đường tròn tâm O ) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE Hướng dẫn chứng minh : a) E Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : ˆ E = DO ˆ A + EO ˆ A = (BO ˆ A + CO ˆ A) = 90 DO A D b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : B C DE = DA + EA = BD + EC O c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2 d) Trung điểm I DE tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng DOE Ta thấy OI đường trung bình hình thang vng BDEC nên OI // BD // CE hay OI ⊥ BC hay BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE Bài : Cho hai đường tròn ( O) (O’) tiếp xúc A Kẻ đường kính AOB ; AOC’ Gọi DE tiếp tuyến chung đường tròn ; D ∈ ( O ) ; E ∈ ( O’) Gọi M giao điểm BD CE a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME hình ? c) Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Hướng dẫn chứng minh : a) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn qua A cắt tiếp tuyến chung DE F Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD = O O’ A B C FE Vậy tam giác DAE tam giác vuông A hay góc DAE = 900 D F M - - E b) Tứ giác ADME có Dˆ = Aˆ = Eˆ = 90 nên hình chữ nhật c) Từ câu b) AM qua trung điểm DE hay AM trùng với AF nên AM tiếp tuyến chung hai đường tròn Lời bình : Với tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung chúng Nó thường có vai trò quan trọng lời giải Với tập hỏi :  CMR : góc OFO’ góc vng  DE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’  Các tia AD AE cắt (O) (O’) H ; K Chứng minh : S AHK = SADE Bài : Gọi a , b, c số đo cạnh tam giác ABC , r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p r , p nửa chu vi tam giác Hướng dẫn : Gọi D , E , F tiếp điểm Theo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r A F E I B Nên : D C SABC = SABI + SBCI + SACI = (a+b+ c).r = pr S = pr Từ tập tính : - Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác vuông , tam giác theo cạnh tam giác - Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo cạnh a , b, c tam giác 3) Bài tập loại góc đường tròn Bài : Cho A điểm cố định đường tròn (O) M điểm di động đường trịn N giao AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cố định Hướng dẫn chứng minh : D A Kẻ DA // BC Kẻ đường kính DP ˆ = Pˆ ( góc A ) Ta dễ thấy : N C Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua P ∈ (O) N O cố định Nhận xét : P M Trong P cịn góc nội tiếp hai đường trịn nên đóng vai trị đại lượng trung gian để chứng minh góc Kĩ cịn gặp lại thường xuyên Bài : Cho tham giác ABC có góc nhọn Đường trịn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự D , E Gọi I giao điểm BE CD a) Chứng minh : AI ⊥ BC B D B b) Chứng minh : IDˆE = IAˆE c) Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE tam giác Hướng dẫn chứng minh : A a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường trịn , ta chứng minh I trực tâm tam giác ABC nên AI ⊥ BC E b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vng góc I Góc EBC = EDC chắn cung EC C Từ hai điều suy điều chứng minh O c) Góc BAC = 600 ⇒ Góc DBE = 300 chắn cung DE ⇒ Số đo cung DE = 600 ⇒ Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE tam giác Bài : Cho đường tròn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường tròn E , cắt BC D Chứng minh : a) Tam giác ABD cân b) H giao điểm BC DE Chứng minh DH ⊥ AB D K E C H A B O ∆ABD nên DH ⊥ AB c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi Hướng dẫn giải : a) AD phân giác hai cung AE CE Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh BE vừa phân giác vừa đường cao tam giác ABD , nên ∆ABD cân đỉnh B b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn Ta thấy H trực tâm c) Ta thấy KE = HE (vì ∆AKH cân đỉnh A) AE = DE (∆ ABD cân đỉnh B) AD⊥KH , nên tứ giác AKDH hình thoi * Từ tập câu hỏi khác : - Chứng minh OE ⊥ AC - Tìm vị trí C cung AB để ∆ABD Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh : a b c = = 2SinA 2SinB 2SinC abc b) R = 4S Δ a) R = Hướng dẫn giải a) Kẻ đường kính AA’lúc ∆ACA’ vuông C A Dựa vào hệ thức lượng tam giác vng góc nội tiếp chắn cung ta có : b a O B C H A’ ˆ ' C = 2R.SinB b = AA'.SinAA Hay R = b 2SinB Chứng minh tương tự b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB ACA’ đồng dạng nên hay AH AC = AB AA' 2S 2S b abc b = mà h a = suy hay S = = a ac 2R 4R c 2R Từ tập tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng , tam giác 4) Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn theo cách sau : - Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 1800 - Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm cịn lại góc - Tứ giác ABCD có AC cắt BD M mà MA.MC = MB.MD tứ giác ABCD nội tiếp - Tứ giác có hai cạnh bên AB CD giao M mà MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp Các ví dụ : Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn với đường cao BD , CE a) Chứng minh BEDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB A c) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x Chứng minh : Ax // ED D Hướng dẫn chứng minh : E a) D, E nhìn BC góc 900 nên tứ giác BEDC nội C B tiếp b) Hai tam giác vuông ABD ACE đồng dạng Suy AD.AC = AE.AB c) xAˆB = ACˆB chắn cung AB AEˆD = ACˆB phụ với góc BED Nên xAˆB = AEˆD Suy Ax // ED - Nhận xét : Với giả thiết tốn khai thác toán theo nhiều hướng nhiều câu hỏi : Kéo dài đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D’ , E’ , F’ Chứng minh : • H tâm đường trịn nội tiếp tam giác D’E’F’ • H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC • ED // E’D’ • OA ⊥ E’D’ • Các đường trịn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính • - SABC = abc 4R Vẽ hình bình hành BHCK , I trung điểm BC Chứng minh : • Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm đường trịn (O) • ˆ H = OA ˆC BA • H , I , K thẳng hàng • AH // OI ; AH = 2.OI Nếu B , C cố định A di động bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE khơng đổi • Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH M A,B,C,K,M nằm đường trịn Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E điểm cung AB , hai dây EC , ED cắt AB P Q Các dây AD EC kéo dài cắt I , dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh : a) Tứ giác CDIK nội tiếp b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với D EA A Hướng dẫn : I Q a) D C nhìn IK hai góc ( góc E nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác P DIKC nội tiếp K b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC B + BE) C = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 180 Nên tứ giác CDQP nội tiếp c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ suy IK // AB d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE tiếp tuyến Bài : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện A Hướng dẫn : B Giả sử ACD > ACB Lấy E BD cho ACB = DCE Hai tam giác ABC DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE E Hai tam giác ADC BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE C Cộng vế hai đẳng thức suy điều chứng minh D II Bài tập tổng hợp : Trong phần I , làm quen dần với dạng toán tương ứng với kiến thức đường tròn Trong phần II , nâng cao kĩ giả toán tập tổng hợp dạng toán 1) Các câu hỏi thường gặp toán hình : 10 Chứng minh : Nhiều điểm nằm đường tròn (đặc biệt điểm nằm đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp ) Chứng minh hai đường thẳng song song , vng góc với Chứng minh đẳng thức hình học Nhận biết hình hình ? ( tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân …) Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác hình thang cân khơng chứng minh hình thang có hai cạnh bên Chứng minh đường thẳng đồng quy ; hay nhiều điểm thẳng hàng Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn , tiếp tuyến chung hai đường trịn Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt Tốn cực trị hình học Tốn đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích … Trong câu hỏi tùy theo mà câu hỏi cho có logic câu thứ , thứ hai câu sau Thông thường kết câu giả thiết để chứng minh câu dưới, đơi cần vẽ thêm hình toán trở lên đơn giản 2) Bài tập vận dụng Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax By E F Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp AM cắt OE P , BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ? Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) Gọi K giao MH EB So sánh MK KH Hướng dẫn : 1) EAO = EMO = 900 Nên AEMO tứ giác nội tiếp 2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt có MPO = MQO = 900 PMQ = 900 nên PMQO hình chữ nhật F M E Q K P A H O B 3) ∆EMK ∆ EFB (g.g) ⇒ EM EF mà MF = MK FB = FB ⇒ ∆EAB ∆ KHB (g.g) ⇒ EM EF = MK MF EK AB EF AB EM EA mà ( Ta let) ⇒ = = = KH HB MF HB MK KH Vì EM = EA ⇒ MK = KH 11 Bài : Cho (O) cắt (O’) A B Kẻ cát tuyến chung CBD ⊥ AB ( C (O) D (O’).) B D C Chứng minh A , O , C A ,O’, D thẳng hàng O’ O Kéo dài CA DA cắt (O’) (O) theo thứ tự I K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp A I K Chứng minh BA , CK DI đồng quy G Hướng dẫn : CBA = DBA = 900 nên AC DA đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng Từ câu 1) dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ta thây K , I nhìn CD góc vng nên tứ giác CDIK nội tiếp A trực tâm tam giác ADG có AB đường cao hay BA qua G Bài : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A,B Các đường AO AO’cắt đường tròn (O) C D , cắt đường tròn (O’) E , F a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng D b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp E A c) Chứng minh A tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung O’ O (O) (O’) C F B Hướng dẫn : a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng b) D, E nhìn CF góc vng nên CDEF nội tiếp c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ suy EDF = ADB Hay DE phân giác góc D ∆BDE Tương tự EC phân giác góc E ∆BDE Hai phân giác cắt A nên A tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE D A O C cắt 1) d Q d) Giả sử DE tiếp tuyến chung hai đường trịn ta có OO’ // CE vng góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1) DE tiếp tuyến DE vng góc với OD O’E (2) B Vậy ODEO’ hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường trịn có bán kính ) Bài : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn B Đường thẳng d đường thẳng AC , AD theo thứ tự P Q Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn 12 P 2) Chứng minh AD AQ = AC.AP 3) Tứ giác ADBC hình ? Tại ? 4) Xác định vị trí CD để SCPQD = 3.SACD Hướng dẫn : CPB = CDA ( CBA) nên CPB + CDQ = 1800 ∆ADC ∆APQ (g.g) suy AD.AQ = AC.AP Tứ giác ADBC hình chữ nhật có góc vng Để SCPQD = 3.SACD ⇒ SADC = ¼ SAPQ tức tỉ số đồng dạng hai tam giác ½ Suy AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vng B nên C trung điểm CP ⇒ CB = CA hay ∆ACB cân ⇒ CD ⊥ AB Bài : Từ điểm S nằm đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB cát tuyến SCD đường trịn 1) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S ,A , E , O , B nằm đường tròn A 2) Nếu SA = OA SAOB hình ? Tại ? D 3) Chứng minh AC BD = BC.DA = ½ AB.CD K C E Hướng dẫn chứng minh S O 1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B nhìn SO góc vng , nên tứ giác SADO nội tiếp đường trịn đường kính SO Dựa vào tính chất đường kính vng góc với B dây cung , ta có SEO = 900 Nên E thuộc đường trịn đường kính SO 2) Nếu SA = OA SA = AB = OA = OB góc A vng nên tứ giác SAOB hình vng 3) Ta thấy ∆SAC ∆SDA ⇒ AC SC = DA SA ∆SCB ∆SBD ⇒ BC SC = BD SB Mà SA = SB ⇒ AC BC ⇒AC.BD = AD.BC (1) = AD BD Trên SD lấy K cho CAK = BAD lúc ∆CAK ∆BAD (g.g) ⇒AC.DB = AB.CK ∆BAC ∆DAK (g.g) ⇒ BC.AD = DK.AB Cộng vế ta AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) (2) suy : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD 13 Bài : Cho tam giác ABC vng A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F 1) Chứng minh CDEF nội tiếp 2) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MNPQ hình ? Tại ? 3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ADB , ADC Chứng minh : r = r12 + r22 Hướng dẫn : A K 1) Dựa vào số đo cung ta thấy F C = DEB ⇒ C + DEF = 1800 Q E M P B ∆CNK C N D Nên tứ giác CDEF nội tiếp 2) ∆BED ∆BCQ ( g.g) ⇒ BPE = BQC ⇒ KPQ = KQP hay ∆KPQ cân ∆MK ⇒ EMK = CNK ⇒ BMN = BNM hay ∆BMN cân ⇒ MN ⊥ PQ MN cắt PQ trung điểm đường Nên MNPQ hình thoi 3) ∆ABC ∆DAB ∆DAC ⇒ r1 r2 r r1 r2 r2 ⇒ = = = = BC AB AC BC AB AC r12 + r2 r12 + r2 r2 ⇔ = = BC AB2 + AC BC ⇔ r2 = r12 + r22 Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD , BE tam giác Các tia AD , BE cắt (O) điểm thứ hai M , N Chứng minh : a) Bốn điểm A , E , D , B nằm đường trịn TÌm tâm I đường trịn b) MN // DE c) Cho (O) dây AB cố định , điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CED khơng đổi Hướng dẫn giải : a) E,D nhìn AB góc vng nên A tứ giác AEDB nội tiếp đường trịn đường kính AB có I ( trung điểm AB ) N tâm b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) I O E mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN H c) Kẻ thêm hình vẽ Dựa vào góc nội K tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM B D M C 14 nên OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm HC) đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE ⇒ KD = KE ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC OI // CK nên OIKC hình bình hành ⇒ KC = OI không đổi Bài : Cho tam giác nội tiếp đường trịn (O,R) 1) Tính theo chiều R độ dài cạnh chiều cao ∆ABC 2) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC ( M ≠ B,C ) Trên tia đối MB lấy MD = MC Chứng tỏ ∆MCD 3) CMR : M di động cung nhỏ BC D di chuyển đường tròn cố định , xác định tâm vị trí giới hạn 4) Xác định vị trí điểm M cho tổng S = MA + MB + MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Hướng dẫn : B E 1) AH = 2) Có MC = MD ( gt) sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200 ⇒ CMD = 600 Vậy ∆CMD I H M O D A AB AB = AC = BC = R 3) ∆IMC = ∆IMD ( c.g.c) ⇒ IC = ID C Khi M di động cung nhỏ BC D chạy đường trịn ( I ; IC ) Khi M ≡ C ⇒ D ≡ C ; M ≡ I ⇒ D ≡ E 4) ∆ACM = ∆BCD ( g.c.g ) ⇒AM = BD ⇒ S = MA + MB + MC = 2.AM ≤ 2.AI ⇒ S ≤ 4R S Max= 4R AM đường kính Bài : Cho ∆ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M , BA lấy N , CA lấy P cho BM=BN CM = CP Chứng minh : a) O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường trịn c) Tìm vị trí M , N , P cho độ dài NP nhỏ Hướng dẫn : A a) Từ tính chất tiếp tuyến cắt giả thiết suy : P DN = EM = FP ⇒ ∆ODA = ∆OEM = ∆OFP ( c.g.c ) D N B ⇒ON = OM = OP hay O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP F O M E C b) Từ câu a) suy OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp 15 c) Kẻ OH ⊥ NP Có NP = NH = NO cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE Cos (A/2) Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) Khi M , N , P trùng với tiếp điểm Bài 10 : Cho hình vng ABCD có cạnh 3a Lấy AE = a cạnh AD DF = a cạnh DC Nối AF BE cắt H a) Chứng minh : AF ⊥ BE b) Tính cạnh tứ giác ABFE đường chéo theo a c) Tính theo a đoạn HE , HB d) Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn Đường tròn cắt BF K Tính theo a đoạn BK Nhận xét điểm E , K ,C F D Hướng dẫn : C a) ∆ADF = ∆BAE ⇒DAF = EBA ⇒ BE ⊥ AF b) Pitago : BE = AF = a 10 ; EF = a ; BF = a 13 K c) Dùng hệ thức lượng : EH = E A a 10 9a 10 ; HB = 10 10 d) Dựa vào tổng góc đối 180 nên EDFH nội tiếp H B ∆BEK ∆BFH ⇒ BK = BE.BH 9a 13 = BF 13 e) Dựa vào vng góc : E , K , C thẳng hàng C : KẾT LUẬN Trên số định hướng nhằm giải số vấn đề “Đường tròn’’ 16 ... tiếp A trực tâm tam giác ADG có AB đường cao hay BA qua G Bài : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A,B Các đường AO AO’cắt đường tròn (O) C D , cắt đường tròn (O’) E , F a) Chứng minh B... chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường trịn có bán kính ) Bài : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn B Đường thẳng d đường thẳng AC , AD theo thứ... DOE tam giác Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường trịn E , cắt BC D