Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu của được thực hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Anh Tuấn Nội dung của luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí được liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn của mình Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 Học viên thực KETTAVONG Chinnalone LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn người tận tình hướng dẫn suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn tơi hồn thành luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Toán – Tin cán nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập làm luận văn trường Và xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh chị em, bạn bè gần xa người thân gia đình ln khuyến khích, động viên giúp đỡ suốt trình học tập KETTAVONG Chinnalone MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.2 Phương pháp biến thiên số, công thức Cauchy 12 1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 13 1.4 Một liên hệ giữa ổn định xấp xỉ 18 Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 26 2.1 Định lý tồn nghiệm của toán biên tổng quát 26 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của tốn biên tởng qt 40 Chương BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 46 3.1 Các tiêu chuẩn cho tồn nghiệm của toán (3.1), (3.2) 46 3.2 Các tính chất đại số của toán (3.1), (3.2) 51 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 CÁC KÝ HIỆU  R  (, ); R   0,   ; R    ,0  x  R,  x     ik – Kronecker tức là: x x x x ,  x   2 1 i = k, ik   0 i  k  x   x i i1 vectơ cột n - chiều, n   R n  x   x i i1 x i  R, i  1,n , n x   xi  n i 1 Trên R n ta trang bị chuẩn n x   xi , i 1 x  max x i i 1,n  Ký hiệu X   x ik mn – ma trận cấp m  n   Đặt R mn  X   x ik mn x ik  R, i  1,m,k  1,n Trên R mn ta có chuẩn sau tương đương Nếu X   x ik   R mn thì m n x   x ik hoặc x  max x ik i 1,m i 1 k 1  k 1,n Cho X   x ik mn , Y   yik mn  R mn Ta nói: X  Y  x ik  yik , i  1,m , k  1,n  X   xik mn , X   xik  mn  Cho I  R Ta gọi ánh xạ X : I  R mn X  t    x ik  t  mn t  ma trận hàm cấp m  n Ma trận hàm X  t    xik  t  mn gọi liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, khả tích, khả vi I tất hàm x ik  t  , i  1,m; k  1,n có tính chất I  Cho ma trận hàm X  t    xik  t  mn Đặt X  t   dx   xik  t  mn dt   X  d   x  d        ik  I I  mn  C  I, R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n liên tục bị chặn I với chuẩn X  C    sup X  t  : t  I Nếu I  a,b, C a,b,R mn  không gian ma trận hàm X  t    x ik  t   liên tục a,b với chuẩn X   C  max X  t  : t   a, b  C  max x ik  t  C , i  1, m, k  1, n hoặc X    C a,b,R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n X:a,b  R mn liên tục tuyệt đối a,b với chuẩn b X C  X  a    X  t  dt a  Cloc  I,R mn  tập ma trận hàm cấp m  n liên tục tuyệt đối tập compắc của I  L  I,R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  I với chuẩn X  L       X  t  dt  I   với     Lloc  I, R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  tập compắc của I  E – ma trận đơn vị   – ma trận không MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên xuất từ kỷ XVIII đến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng sâu sắc vật lý, học, khí, sinh học Bài tốn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào điều kiện biên khác tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm được xem xét Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng vật lý học Chính vì tơi chọn đề tài “bài tốn biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính” Ý nghĩa luận văn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho tốn biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn Chương1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dụng điền kiện đủ cho việc tồn nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của toán Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tún tính Trong chương này, xây dựng điền kiện đủ cho việc tồn nghiệm của tốn biên tởng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, ta cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của tốn Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tún tính Mục đích của chương áp dụng kết của chương chương để xây dựng điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Ngồi ra, nghiên cứu số tính chất đại số cho nghiệm của toán biên hai điểm toán biên thuần tương ứng có nghiệm khác tầm thường 47 Trong Y ma trận của hệ  3.10  Nếu điều kiện (3.3) được thoả mãn thì nghiệm của toán (3.1), (3.2) cho công thức Green: b x  t   x (t)   G  t,  .q()d (3.4) a Trong x  t  nghiệm của toán  3.10  , (3.2) G ma trận Green của toán  3.10  ,  3.20  Dễ thấy hàm Green của toán  3.10  ,  3.20  có dạng: Y  t   A Y  a   A Y  b  1 A Y  a .Y 1    ,  G  t,     1 Y  t   A1Y  a   A 2Y  b   A 2Y  b .Y 1    , a t b a  t    b Từ định lý 1.3 3.1 ta có hệ sau: Hệ 3.1 Giả sử t  I hầu khắp nơi I thỏa t  t  P  t    P  s  ds     P  s  ds  P  t  t  t  0  0  Khi tốn (3.1), (3.2) có nghiệm chỉ khi:  a  b  det  A1 exp   P  s  ds   A exp   P  s  ds    t  t   0  0  Từ định lý 2.2 ta có kết sau: Định lý 3.2 Điều kiện cần đủ để toán (3.1), (3.2) có nghiệm tồn số tự nhiên k m cho ma trận: k 1 b M k  A1  A  A    P  s  i ds i 0 a qui r  M k,m   48 Trong b m 1 b   1    P  s   ds   E     P  s   i ds  M k A   P  s   ds m k i 0 a a a   b M k,m Xét hệ dx   P  t  x  q  t  dt 3.5 với   , bé tùy ý Từ định lý 3.2 ta có Hệ 3.2 Nếu: det  A1  A2   hoặc b  A1   A , det  A1   , det   P  s  ds   a  Thì tồn   cho 0, 0  , tốn (3.2), (3.5) có nghiệm Định lý 3.3 Giả sử: det  A1  A2   tồn ma trận A0  R nn cho  A1  A2  1 Ai  A0 i  1,2  3.6   b  r  A  P  s  ds    a  Khi tốn (3.1), (3.2) có nghiệm  3.7  49 Chứng minh Do det  A1  A2   nên hệ thuần nhất: dx 0 dt  3.8 với điều kiện biên  3.20  chỉ có nghiệm tầm thường, hàm Green của toán  3.8 ,  3.20  có dạng: 1   A1  A  A1 , a    t  b G  t,     1    A1  A  A , a  t    b Từ (3.6), (3.7) ta được: b  G  t,  P   d  M t  I a với b M  A  P  s  ds a r  M   Khi theo định lý 3.2, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Định lý được chứng minh Nếu A  R nn , ta ký hiệu A* ma trận chuyển vị của A Với H ma trận đối xứng, ta ký hiệu   H  ,   H  giá trị riêng lớn nhất, bé của ma trận H Định lý 3.4 Giả sử ma trận A1 qui A   A11 A2  A11 A2 , P  t   P  t   P  t   thỏa điều kiện sau: 50 b    A  exp     P  t   dt   a   3.9  hoặc b    A  exp     P  t   dt   a   3.10  Khi tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Chứng minh Để chứng minh tốn (3.1), (3.2) ) có nghiệm ta chỉ cần chứng minh toán thuần  3.10  ,  3.20  chỉ có nghiệm tầm thường Giả sử ngược lại  3.10  ,  3.20  có nghiệm khơng tầm thường x  t  Đặt: u  t   x  t .x(t) Khi u '  t   P  t  x  t  x  t  u  a   A x  b .x(b) Từ theo bở đề 1.8 ta có: 0  P  t  u  t    u'  t   0  P  t   u  t    A  u  b   u  a     A  u  b  Khi theo bở đề 1.1 ta có: b    A  exp     P  t   dt  u  b   u  b  a  b     A  exp     P  t   dt  u  b  a   3.11 51 Khi (3.9) (hoặc (3.10)) xảy ra, ta nhận được u(b)  u(b) (hoặc u(b)  u(b) ) (mẫu thuẫn) Do ta có điều phải chứng minh 3.2 Các tính chất đại số tốn (3.1), (3.2) Cùng với hệ (3.1), (3.2) ta xét hệ thuần sau: dy  P*  t .y dt 3.12  với điều kiện biên thuần B1 y  a   B2 y  b   3.13 P ma trận đối ngẫu của P B1,B2  R nn Hệ (3.12) gọi hệ đối ngẫu của hệ  3.10  Định nghĩa 3.1 Giả sử rank  A1,A2   n Điều kiện biên (3.13) gọi đối ngẫu với điều kiện  3.20  rank  B1,B2   n A1 B1*  A2 B*2 (3.14) Bổ đề 3.1 Nếu  B01 ,B02  ,  B1 ,B2  ma trận điều kiện biên đối ngẫu với điều kiện  3.10  Khi tồn ma trận qui M  R Bi  M.B0i nn cho: i  1,2 3.15 Chứng minh Theo giá thiết điều kiện biên (3.13) điều kiện biên B01 y  a   B02i y  b   3.16 điều kiện biên đối ngẫu với điều kiện biên  3.20  nên: rank  B01 ,B02   rank  B1 ,B2   n 3.17  A1 B*01  A B*02 , A1 B1*  A B*2 3.18 52 Do (3.14), (3.18) nên cột của ma trận sau:  B*01   B1*  D   *  D0   *   B   B   2  02  nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau:  A1 ,A2  z  3.19 Do  A1 ,A   R n2n rank  A1 ,A2   n nên ranD  n Tương tự ta có ranD0  n Do tồn ma trận qui M0  R nn cho: D  D0 M Đặt M  M*0 ta được điều phải chứng minh Bổ đề 3.2 Nếu rank  A1 ,A2   n , đó: i.) Tồn ma trận B0i  R nn  i  1,2  cho điều kiện biên (3.16) đối ngẫu với điều kiện biên  3.20  ii.) Nếu x , y  C  I, R n  , x thỏa điều kiện biên  3.20  y thỏa điều kiện biên đối ngẫu  3.13 ta có: x  b .y  b   x  a .y  a   3.20 Chứng minh Vì rank  A1 ,A2   n nên tồn ma trận Ai  R nn  i  1,2  cho ma trận  A1 H  A1 A2   A2  qui Khi ma trận ngược của ma trận H có dạng:  3.21 53 H 1  B01 B01    *   B B 02   02  3.22  i  1,2  B0i ,B0i  R nn  B01 B01  H       B B 02   02 1  3.23 Hiến nhiên rank  B01 ,B02   n thỏa (3.18) Vì điều kiện biên (3.16) đối ngẫu với điều kiện biên  3.20  Giả sử điều kiện biên (3.13) đối ngẫu của điều kiện biên  3.20  Giả sử x , y  C  I, R n  thỏa điều kiện biên  3.20  (3.13) Theo bổ đề 3.1 thì (3.15) từ (3.13) kéo theo (3.16) Theo (3.21), (3.23) ta có:  x a    y a   x  b  y  b   x  a  y  a     x  b    y  b       x a    y a    x  a   1   y  a    H 1.H   H   H    x  b    y  b   x b         yb   A1 x  a   A x  b    B01 y  a   B02 y  b     A x  a   A x  b    B y  a   B y  b   02     01   A1 x  a   A x  b  . B01 y  a   B02 y  b      A1 x  a   A x  b    B01 y  a   B02 y  b   Từ  3.20  (3.16), ta được (3.20) Bổ đề 3.3 Giả sử rank  A1 ,A2   n (3.13) điều kiện biên đối ngẫu của điều kiện biên  3.20  , tốn  3.10  ,  3.20  (3.12), (3.13) có số nghiệm độc lập tuyến tính sau: 54 Chứng minh Giả sử tốn (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính Ta sẽ chứng minh tốn  3.10  ,  3.20  có m nghiệm độc lập tuyến tính Do rank  A1 ,A2   n nên ta có thể chọn ma trận Ai  R nn  i  1,2  , để ma trận H (3.21) qui giả sử H 1 có dạng (3.22) Khi điều kiện biên (3.16) sẽ đối ngẫu của điều kiện biên  3.20  Mặt khác theo bổ để 3.1, tồn ma trận qui M  R nn cho đẳng thức (3.15) được thoả mãn Giả sử Y ma trận của hệ  3.10  Khi Y 1 ma trận của hệ (3.12) Vì nghiệm của hệ (3.12), (3.13) có dạng y  t   Y 1  t . Trong  nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần đại số: B Y 1  a   B2Y  b  .  1 3.24  Tuy nhiên theo (3.15) thì  nghiệm của hệ sau: B Y 01 1  a   B02Y  b  .  1 3.25 Theo giả thiết hệ (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính, nên (3.12), (3.25) có m nghiệm độc lập tuyến tính Đặt  Ya    H1  H    Y  b     Do (3.21), (3.22) ta được  A1Y  a  H1    A Y a   A 2Y  b    A 2Y  a    3.26  55  Y  a  H       B01Y  a  B02Y  b     1 1 1 Y  b    B01Y  a  B02Y  b   1 1 H 1  1 1 Do với nghiệm  của hệ (3.25), ta có biểu diển: 1     H1         0 Trong đó:    B01Y  a   B02Y 1 1  b  .    *  H       0  3.27  Từ cùng với (3.26) ta được:  *     Y  a  A1       *    Y  b A2 Y  a  A1*        Y  b  A*2     Y  a  A1*       Y  b  A*     Y  b  A*2   Y  a  A1*    Vì  nghiệm của hệ sau: Y a  A  *  Y  b  A*2    3.28 Vì nghiệm của hệ (3.25), (3.28) được cho tương ứng (3.27) Do H1 qui, suy hệ (3.28) có m nghiệm độc lập tuyến tính, suy hệ  A1Y  a   A 2Y  b   c   3.29  có m nghiệm độc lập tuyến tính, tốn  3.10  ,  3.20  có m nghiệm độc lập tuyến tính điều phải chứng minh 56 Bổ đề 3.4 Nếu rank  A1 ,A2   n , với C0  R n tồn véc tơ hàm u : I  R n khả vi liên tục I cho: A1 u  a   A2 u  b   c0 3.30 Chứng minh Do rank  A1 ,A2   n nên tồn A1  R nn  i  1,2  cho ma trận H (3.21) qui Đặt c  c1  1    H      c2   c0  Khi  c1   c0  H      c   c0  A1c1  A 2c2  c0 Từ đặt u  t   c1 bt t a  c2 ba ba u  t  thỏa (3.30) Định lý 3.5 Giả sử rank  A1 ,A2   n (3.13) điều kiện biên đối ngẫu của điều kiện biên  3.20  u : I  R n véc tơ hàm khả vi cho: A1 u  a   A2 u  b   c0 Giả sử toán  3.10  ,  3.20  có nghiệm khơng tầm thường Khi 57 i.) Bài tốn  3.10  ,  3.20  (3.12), (3.13) có số nghiệm độc lập tuyến tính ii.) Bài tốn  3.1 ,  3.2  giải được chỉ nghiệm y  y  t  của (3.12), (3.13) thỏa đẳng thức: b   q  t   P  t .u  t   u '  t  y  t  dt  0 3.31 a iii.) Nếu x0 nghiệm của toán  3.1 ,  3.2  x1 , x , , x m sở nghiệm của toán  3.10  ,  3.20  , nghiệm của  3.1 ,  3.2  điều có dạng: n x  t   x  t    i x i  t   3.32  i 1 Chứng minh - Từ bổ đề 3.3 ta có i.) - Chứng minh ii.) Đặt x  t   z  t   u  t  3.33 Do x  t  nghiệm của  3.1 ,  3.2  , nên z  t  nghiệm của toán dz  P  t  z  q0  t  dt A1 z  a   A z  b    3.34   3.35  Trong đó: q0  t   q  t   P  t  u  t   u'0  t  Khi ta chỉ cần chỉ rằng: điều kiện (3.31) điều kiện cần đủ để toán (3.33), (3.34) có nghiệm Thật theo định lý Cauchy 1.8 thì nghiệm của tốn (3.33) có dạng: t x  t   Y  t .c   Y  t .Y 1   .q    d a 58 với c  R n ,Y  t  ma trận của  3.20  Khi tốn (3.33), (3.34) có nghiệm chỉ hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm b  A1Y  a   A2Y  b   c  A2Y  b   Y 1   .q0    d a Mặt khác hệ giải được chỉ nghiệm  của (3.28) thỏa b   1  A Y  b   Y    q    d    a   Mặt khác b b   1 1 A Y b Y  q  d          q    Y   .Y  b .A2  d    a a    b     q    Y 1   . d a với   Y  b .A  Mặt khác ta chứng minh được  nghiệm của (3.28) thì   Y  b  A  nghiệm của (3.24) Tương tự chỉ được toán (3.33), (3.34) giải được chỉ cho khác nghiệm y của (3.12), (3.13) theo (3.31) điều phải chứng minh 59 KẾT LUẬN Mục tiêu của luận văn xây dựng điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nội dung chương chủ yếu xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của tốn Định lý 1.1 khẳng định tốn Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm nghiệm được cho công thức Cauchy (1.35) được trình bày Định lý 1.7 Định lý 1.8 đưa điều kiện để toán (1.1), (1.2) xấp xỉ được Chương 2: Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm của toán biên tởng qt cho phương trình vi phân tuyết tính Hơn nữa, xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho toán Sự tồn nghiệm của tốn (2.1), (2.2) được nói Định lý 2.1 Định lý 2.4 đưa điều kiện để toán (2.1), (2.2) xấp xỉ được Chương 3: Trên sở kết của Chương Chương Trong Chương ta áp dụng kết của Chương để nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính (3.1), (3.2) Các kết của chương định lý 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 Trong phần cuối của chương xem xét tính chất đại số của toán (3.1), (3.2) toán thuần  3.10  ,  3.20  có nghiệm khơng tầm thường Các kết của phần định lý 3.5 Từ những vấn đề mà luận văn nêu trên, cách tự nhiên ta thấy kết trình bày luận văn có cịn hay khơng cho tốn biên nhiều điểm hay tốn biên dạng t̀n hồn, kết có cịn hay khơng toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân 60 hàm tuyến tính Tuy nhiên, với trình độ nhiều hạn chế của tác giả thời gian có hạn, luận văn xin chỉ trình bày những nội dung nêu Tác giả mong góp ý chỉ bảo của Quý thầy hội đồng, để luận văn được hoàn thiện tốt Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn thầy hội đồng dành thời gian quý báu của mình để đọc góp ý cho luận văn 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Anh Tuấn, Bài giảng lý thuyết ổn định cho hệ phương trình vi phân, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Hartman P (1964), Ordinary differential equations John Wiley & Sons, Inc., NewYork-London-Sydney Kantorovitch L V., Akilov L V (1984), Functional Analysis (Russian) Nauka, Moscow Kiguradze I (1965), On the Cauchy problem for singular systems of ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Urav 1, No 10., 1271-1291 Kiguradze I (1975), Some singular boundary value problems for ordinary differential equations (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi Kiguradze I (1986), On the periodic solutions of systems of nonautonomous ordinary differential equations (Russian) Mat Zametki 39, No 4, 562-575 Kiguradze I (1987), Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (Russian) Current problems in mathematics Newest results, vol 30, 3-103, VINI’TI, Moscow Kiguradze I (1996), On the singular Cauchy problem for systems of linear ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 32, 215-223 Kiguradze I (1996), On the correctness of Cauchy problem for the linear differential system on an infinite interval Georgian Math J 3, 475-484 10 Kiguradze T (1995), Some boundary value problems for systems of linear differential equations of hyperbolic type Mem Diff Equations Math Phys 5, 1-113 ... xem xét Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng vật lý học Chính vi? ? tơi chọn đề tài ? ?bài tốn biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính? ??... đủ cho vi? ??c tồn nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của tốn Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. .. tham khảo cho sinh vi? ?n học vi? ?n cao học nghiên cứu toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ phương