TỌA độ PHẲNG

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ TỌA ĐỘ PHẲNG THẦY GIÁO : PHẠM KIM CHUNG A Chủ đề SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TỐN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM  Phương trình đường thẳng ur r ur • Véctơ n =/ gọi véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá véctơ n vng góc với ∆ u r r u r • Véctơ u =/ gọi véctơ phương đường thẳng ∆ giá véctơ u song song trùng với • ∆ ur Đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) nhận véctơ n ( A; B ) làm véctơ • pháp tuyến có phương trình ∆ : Ax + By = Ax0 + By0 gọi phương trình tổng quát đường thẳng ∆ u r Đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) nhận véctơ u ( a;b) làm véctơ  x = x0 + at • phương có phương trình  ( t ∈ R ) gọi phương  y = y0 + bt tham số đường thẳng ∆ ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = Cho hai đường thẳng trình ∆2 : a2 + b2 y + c2 = Tọa độ giao điểm hai đường thẳng ∆1 ∆  a1 x + b1 y + c1 = ( 1)  a2 x + b2 y + c2 = Nếu hệ (1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) hai đường thẳng cắt A ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình     Nếu hệ (1) vơ số nghiệm hai đường thẳng trùng Nếu hệ (1) vô nghiệm hai đường thẳng song song với  Phương trình đường trịn • Đường trịn ( C ) tâm I ( a;b) • ( x − a) Cho đường bán kính R > có phương trình + ( y − b) = R ( C ) : ( x − a) 2 ∆ : Ax + By + C = thẳng đường tròn + ( y − b) = R Tọa độ giao điểm ∆ ( C ) 2 2  ( x − a) + ( y − b) = R ( 2) nghiệm hệ phương trình  Ax + B y + C =    Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt ∆ cắt (C) hai   điểm khác Nếu hệ (2) có nghiệm kép ∆ tiếp xúc với (C) Nếu hệ (2) vô nghiệm ∆ khơng cắt ( C ) Sự tương giao hai đường thẳng tốn tìm tọa độ điểm 3   Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M  ;0÷ trung điểm đoạn 2  AC Phương trình đường cao AH , BK 2x − y + = 3x − y + 13 = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: Viết phương trình đường thẳng AC vng góc với BK qua M Suy { A} = AC ∩ AH ⇒ C Viết phương trình đường thẳng BC qua C vng góc AH ⇒ { B} = BC ∩ BK Lời giải Đường thẳng AC qua M vng góc với BK nên có phương trình 4x + y = 4x + 3y = ⇒ A ( 0;2) Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  2x − y = −2 3  Từ M  ;0÷ trung điểm AC suy C ( 3; − 2) 2  Đường thẳng BC qua C vng góc với AH nên có phương trình x + 2y + =  x + 2y = −1 ⇒ B ( −3;1) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  3x − y = −13 Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC A ( 0;2) , B ( -3;1) , C ( 3;-2)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( 4; − 1) phương trình đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh B 2x − 3y + 12 = 2x + 3y = Xác định tọa độ đỉnh lại tam giác ABC Định hướng: - Tọa độ điểm { B} = BH ∩ BM - Viết phương trình đường thẳng AC qua A vng góc với BH Suy tọa độ { M } = AC ∩ BM ⇒ C Lời giải với Gọi BH , BM đường cao trung tuyến kẻ từ B 2x − y + 12 = ⇒ B ( −3;2) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  2x + y = Đường thẳng AC qua A vng góc với BH nên có phương trình 3x + 2y − 10 = 2x + y = ⇒ M ( 6; −4) Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  3x + 2y − 10 = Do M trung điểm AC suy tọa độ điểm C ( 8; − 7) Vậy B ( -3;2) , C ( 8;-7)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M ( 2;0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao kẻ từ A có phương trình 7x − 2y − = 6x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC Định hướng: -Tìm tọa độ điểm { A} = AH ∩ AM ⇒ B -Viết phương trình đường thẳng BC qua B vuông với AH -Tìm tọa độ { N } = BC ∩ AN ⇒ C -Viết phương trình đường thẳng AC qua A ,C Lời giải Gọi AN , AH đường cao trung tuyến kẻ từ A 7x − y − = ⇒ A ( 1;2) Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trìn  6x − y − = Từ M trung điểm AB ⇒ B ( 3; −2) Đường thẳng BC qua B vng góc với AH nên có phương trình x + y + = 7x − 2y − = 3  ⇒ N  0; − ÷ Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình  2   x + 6y + = Từ N trung điểm BC suy tọa độ điểm C ( −3; − 1) Khi phương trình ta có phương trình đường thẳng AC : 3x − y + = góc  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phương trình x + y − = , điểm M ( −1; − 1) trung điểm đoạn AD Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB qua điểm E ( −1;1) Định hướng: - Viết phương trình AB qua E vng góc với BC - Suy { B} = AB ∩ BC - Viết phương trình AD qua M vng góc với AB - Suy { A} = AB ∩ AD ⇒ D ⇒ C Lời giải Đường thẳng AB qua E vng góc với BC nên có phương trình x − y + =  x − y = −2 ⇒ B ( 1;3) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  x + y = Đường thẳng AD qua M song song với BC nên có phương trình x + y + =  x + y = −2 ⇒ A ( −2;0) Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình   x − y = −2 Do M trung điểm AD nên tọa độ điểm D Đường thẳng DC qua D vng góc với BC nên có phương trình x − y − = x + y = ⇒ C ( 3;1) Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  x − y = Vậy A ( 0;2) , B ( 1;3) , C ( 3;1) ,D ( 0;-2)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A ( −1;2) tâm 1  I  ;0÷ Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng BC qua 2  điểm M ( 4; −3) Định hướng: -Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I -Viết phương trình BC qua C , M -Viết phương trình AB qua A vng góc BC -Suy { B} = AB ∩ BC ⇒ D Lời giải Từ I trung điểm AC ⇒ tọa độ điểm C ( 2; −2) Phương trình đường thẳng BC : x + 2y + = Đường thẳng AB qua A vng góc với BC nên AB : 2x − y + =  x + 2y + = ⇒ B ( −2;0) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  2x − y + = Từ I trung điểm BD ⇒ Tọa độ điểm D ( 3;0) Vậy B ( -2;0) , C ( 2;-2) , D ( 3;0) µ =C µ = 900 Phương  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD có B trình đường thẳng AC DC x + 2y = x − y − = Xác định tọa độ đỉnh  3 hình thang ABCD, biết trung điểm cạnh AD M  − ; − ÷  2 Định hướng: -Tìm tọa độ điểm { C} = AC ∩ CD -Gọi N trung điểm CD , viết phương trình đường thẳng MN -Tìm tọa độ điểm { N } = CD ∩ MN ⇒ D ⇒ A -Viết phương trình đường thẳng AB, BC -Suy tọa độ điểm B Lời giải x − y− = ⇒ C ( 2; − 1) Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình   x + 2y = Gọi N trung điểm DC, đường thẳng MN qua M song song với AC nên MN : 2x + y + = Tọa độ điểm N nghiệm x − y =  5 ⇒ N  ;− ÷  x + y = −  2  Do N trung điểm DC, suy D ( −1; −4) hệ phương trình M trung điểm AD, suy A ( −2;1) Đường thẳng AB qua A song song với DC nên có phương trình x − y = −3 Đường thẳng BC qua C vng góc với DC nên có phương trình x + y =  x − y = −3 ⇒ B ( −1;2) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  x + y = Vậy A ( -2;1) , B ( -1;2) , C ( 2;-1) ,D ( -1;-4)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD tâm O Biết phương trình đường thẳng AB : x − y + = trung điểm M cạnh BC thuộc đường thẳng x + y − = , xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng MO -Tìm tọa độ { M } = OM ∩ BC -Viết phương trình BC ⇒ { B} = BC ∩ AB -Từ M trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C ,từ O trung điểm AC ⇒ A Lời giải Đường thẳng MO qua O song song với AB nên có trình x − y = Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình x − y =  3 ⇒ M ; ÷   2  x + 3y − = Đường thẳng BC qua M vng góc với AB nên có trình x + y − = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình x − y+ = ⇒ B ( −1;4)  x + y− = Từ M trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C ( 4; − 1) Từ O trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm A ( −4;1) , D ( 1; −4) Vậy A ( -4;1) ,B ( -1;4) ,C ( 4;-1) ,D ( 1;-4)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD (vng A B) Gọi M ( −3;3) , N trung điểm AD AB Xác định tọa độ đỉnh hình thang vng ABCD, biết phương trình đường thẳng BD : 7x + y + = 0, CN : x − y = đường thẳng AB qua điểm E ( −3;1) Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng MN Suy { N } = CN ∩ MN phương phương -Viết phương trình đường thẳng AB ⇒ { B} = BD ∩ AB ⇒ A -Viết phương trình đường thẳng BC Suy tọa độ điểm { C} = BC ∩ CN Lời giải Đường thẳng MN qua M song song với BD nên MN : 7x + 3y + 12 =  x − 3y =  1 ⇒ N  − ;− ÷ Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình  x + y + 12 =  2  Phương trình đường thẳng AB : x + y + = 7x + y + = ⇒ B ( 1; −3) Tọa độ điểm B nghiệm hệ  x + y+ = Từ N trung AB ⇒ A ( −4;2) Phương trình đường thẳng BC : x − y − =  x − 3y = ⇒ C ( 6;2) Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  x − y− = Phương trình đường thẳng AD : x − y + = x − y+ = ⇒ D ( −2;4) Tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình  7x + y + = Vậy A ( -4;2) , B ( 1;-3) ,C ( 6;2) ,D ( -2;4)  1  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , có trọng tâm G  ; ÷  3 Phương trình đường thẳng BC x − 2y − = 0, phương trình đường thẳng BG 7x − y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: -Tìm { B} = BC ∩ BG -Viết phương trình AG , tìm { M } = AG ∩ BC -Sử dụng tính chất trọng tâm suy A Lời giải Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  x − 2y − = ⇒ B ( 0; −2)  7x − y − = Đường thẳng AG qua G vng góc với BC nên có phương trình 2x + y = Tọa độ trung điểm M BC nghiệm hệ 2x + y = ⇒ M ( 2; −1)   x − 2y − = Từ suy tọa độ điểm C ( 4;0) 3xG = xA + xB + xC ⇒ A ( 0;3) Từ  3yG = yA + yB + yC Vậy A ( 0;3) , B ( 0;-2) ,C ( 4;0)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A Đường thẳng BC đường cao kẻ từ B có phương trình x + y + = 0, x − 2y − = 0; Điểm M ( 2;1) thuộc đường cao kẻ từ C Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: -Tìm tọa độ điểm B Nhận xét BM ⊥ BC -Viết phương trình MN , tìm { N } = BH ∩ MN -Suy C , viết phương trình BC Tìm I -Viết phương trình AI , AC , suy A Lời giải Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình x + y+ = ⇒ B ( 0; −1)   x − 2y − = uuuur  uuuur uuuu r  BM ( 2;2) ⇒ BM uBC = ⇒ BM ⊥ BC r Lúc  uuuu  uBC ( 1; − 1) Phương trình đường thẳng qua M song song với BC có phương trình ∆ : x + y − =  x+ y− =  1 ⇒ N ; ÷ Tọa độ giao điểm N = BH ∩ ∆ nghiệm hệ   3  x − 2y − = Đường thẳng qua N vng góc với BC cắt BC C có phương trình x − y =   5  x− y = ⇒ C  ;− ÷ Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình   3  x + y + =  4 Trung điểm BC I  ; − ÷ Phương trình đường thẳng AI : x − y =  3 Đường thẳng AC qua C vng góc với BH nên AC : 2x + y = −   x − y =  11  ⇒ A  ;− ÷ Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  9  2x + y = −   11  5 Vậy A  ;- ÷, B ( 0;-1) ,C  ;- ÷ 9   3  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A Biết phương trình đường thẳng AB,BC x − 7y + 14 = 2x + y − = Viết phương trình cạnh AC, biết đường thẳng AC qua M ( 4;0) Định hướng: -Tìm { B} = AB ∩ BC -Viết phương trình MN , AH -Tìm { N } = MN ∩ AB ⇒ I -Viết phương trình AI , tìm { H } = AI ∩ BC ⇒ C -Viết phương trình AC Lời giải  x − y + 14 = ⇒ B ( 0;2) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình   2x + y − = Gọi H trung điểm BC Đường thẳng ∆ qua M song song với BC cắt AB N cắt AH I Ta có: Phương trình đường thẳng ∆ : 2x + y =  x − y + 14 =  14 12  ⇒ N ; ÷ Tọa độ điểm N nghiệm hệ   5 2x + y − =  17  Do tam giác ABC cân A, suy I trung điểm MN, nên I  ; ÷  5 Đường thẳng AH qua I vng góc với BC nên có phương trình x − 2y − =  x − 2y − = ⇒ H ( 1;0) Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình  2x + y − = Từ suy tọa độ điểm C ( 2; − 2) phương trình đường thẳng AC : x -y - 4=0  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB / /CD ) Biết tọa độ điểm A ( −8;2) , B ( −4;6) , D ( −6; −8) Xác định tọa độ đỉnh C Định hướng: -Tìm tọa độ điểm E , viết phương trình E F -Viết phương trình CD , suy { F } = CD ∩E F -Suy C Lời giải Gọi E , F trung điểm AB,CD Khi E ( −6;4)  EF ⊥ AB   EF ⊥ CD Đường thẳng CD qua D song song với AB nên có phương x − y − = Đường thẳng EF qua E vng góc với AB nên có phương trình x + y + = x − y− = ⇒ F ( 0; −2) Tọa độ điểm F nghiệm hệ phương trình  x + y+ = Từ F trung điểm CD, suy tọa độ điểm C ( 6;4)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Điểm N ( 3;2) trung điểm cạnh BC, điểm M ( −2;2) P ( 2; −1) nằm cạnh AB DC cho AM = CP Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Định hướng: -Chứng minh AMCP hình bình hành nên { I } = MP ∩ AC tâm hình chữ nhật -Tìm tọa độ I ⇒ C -Viết phương trình AB , BC ,CD ⇒ B ,C -Từ suy D trình Lời giải  AM / /CP ⇒ tứ giác AMCP hình bình hành Gọi Ta có   AM = CP  1 I = MP ∩ AC suy I trung điểm MP ⇒ I  0; ÷  2 Phương trình đường thẳng AB qua M song song với NI nên phương trình x − 2y = −6 Phương trình đường thẳng BC qua N vng góc với BC nên phương trình 2x + y =  x − y = −6 ⇒ B ( 2;4) Tọa độ điểm B nghiệm hệ  2x + y = Phương trình đường thẳng DC qua P song song với AB nên phương trình x − 2y =  x − 2y = ⇒ C ( 4;0) Tọa độ điểm C nghiệm hệ  2x + y = có có có Từ I giao điểm hai đường chéo, suy A ( −4;1) , D ( −2; − 3) Vậy A ( -4;1) , B ( 2;4) ,C ( 4;0) ,D ( -2;-3) Bài 24 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d: x – 4y – = Đường thẳng BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + = Trung điểm AC M(1; 1) Viết phương trình cạnh tam giác ABC Định hướng: Biết đường cao BH trung điểm M AC ta viết đường thẳng AC Xác định tọa độ A giao AC d Từ sử dụng tính chất trung điểm ta xác định tọa độ C Vận dung quan hệ song song d BC ta viết phương trình BC Từ xác định tọa độ đỉnh B giao BH BC Tiếp theo ta dễ dàng viết phương trình AB qua hai điểm biết tọa độ Lời giải uuuur + AC qua M vng góc với BH nên nhận vectơ phương uBH (1; −1) BH làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1( x − 1) − 1( y − 1) = ⇔ x − y =   x = − x − y =  2 ⇔ ⇒ A  − ;− ÷ A giao AC d nên tọa độ A nghiệm hệ   3  x − 4y − = y= −   xC = 2xM − xA  8 ⇒ C  ; ÷ M trung điểm AC nên  y = y − y  3 M A  C 8 8   + BC qua C song song với d nên BC: 1 x − ÷ − 4 y − ÷ = ⇔ x − y + = 3 3   x + y + =  x = −4 ⇔ ⇒ B(−4;1) B giao BH BC nên tọa độ B nghiệm hệ   x − 4y + = y = x+ y−1 = ⇔ x + 2y + = + AB qua điểm A B − + − −1 3 Sự tương giao đường thẳng đường tròn tốn tìm tọa độ điểm  Bài 2.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tọa độ đỉnh A ( −3;2) C ( 3;0) Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD Định hướng: -Tìm tọa độ trung điểm I AC AC -Viết phương trình đường thẳng BD Suy tọa độ B , D giao điểm BD đường trịn -Viết phương trình đường trịn tâm I , bán kính R = Lời giải I ( 0;1) Đường thẳng uuuu r qua I nhận véc-tơ AC ( 6; −2) làm véc-tơ pháp tuyến nên có Trung điểm I đường chéo AC phương trình 3x − y + = Phương trình đường trịn tâm I , bán kính R = AC = 10 x2 + ( y − 1) = 10 Tọa độ điểm B, D nghiệm hệ phương trình  B ( −1; −2) , D ( 1;4)  3x − y + = ⇒  2  x + ( y − 1) = 10  B ( 1;4) , D ( −1; −2) Vậy B ( -1;-2) ,D ( 1;4) B ( 1;4) ,D ( -1;-2)  Bài 2.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( −5;2) , chân đường cao  1 kẻ từ A điểm H ( −2; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I  − ; ÷ Tìm tọa độ đỉnh B C  3 BD Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng BC -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC -Suy tọa độ điểm B ,C giao BC đường tròn Lời giải uuuur Đường thẳng BC qua H nhận véc-tơ AH ( 3; −3) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x − y + = Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R = I A = 221 nên có phương trình 1  1 221   x+ 3÷ +  y− 3÷ =     x− y+1 =   B ( −4; −3) , C ( 3;4)  2 Tọa độ điểm B,C nghiệm hệ  1  1 221 ⇒   x + ÷ +  y − ÷ =  B ( 3;4) , C ( −4;3) 3  3  Vậy B ( -4;-3) ,C ( 3;4) B ( 3;4) ,C ( -4;-3)  Bài 2.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tọa độ đỉnh A ( −3;0) B ( −1; −3) Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD, biết đỉnh D có tung độ dương Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng AD -Viết phương trình đường trịn tâm A ,bán kính R = AB -Tìm tọa độ điểm D giao AD đường trịn -Viết phương trình BC ,CD Suy { C} = BC ∩ CD Lời giải uuur Đường thẳng AD qua A nhận véc-tơ AB ( 2; −3) làm véc-tơ tuyến nên có phương trình 2x − 3y + = Đường tròn tâm A ( x + 3) + y2 = 13 bán kính R = AB = 13 có phương trình pháp   D ( 0;2)  2x − y + = ⇒ , yD > ⇒ D ( 0;2) 2  ( x + 3) + y = 13  D ( −6; −2) Tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình  Lúc đó: Phương trình đường thẳng DC : 3x + 2y − = phương trình đường thẳng BC : 2x − y − = 3x + 2y − = ⇒ C ( 2; −1) Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  2x − y − = Vậy C ( 2;-1) ,D ( 0;2)  Bài 2.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm đoạn BC 3  M  ; − 2÷, chân đường cao kẻ từ đỉnh C H ( −2;1) ; phương trình đường cao 2  BK : 7x − 6y + 15 = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết B có tung độ âm Định hướng: -Viết phương trình đường trịn tâm M , bán kính MH BCKH ngoại tiếp tứ giác -Tìm tọa độ giao điểm BK đường trịn Suy C -Viết phương trình AB , AC ⇒ A Lời giải Đường tròn tâm M bán kính R = MH = 85 ngoại tiếp tứ giác BCKH 3 85   x − ÷ + ( y + 2) =    7x − 6y + 15 = B ( −3; −1)   Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  3 85 ⇒   39   B ; ữ, loạ i x ữ + ( y + 2) = 2    17 17  Do M trung điểm BC , suy tọa độ điểm C ( 6; −3) Đường thẳng AB qua B,H nên có phương trình 2x − y + = Đường thẳng AC qua C vng góc với BK nên có phương trình 6x + 7y − 15 = 2x − y + = ⇒ A ( −1;3) Tọa độ điểm A nghiệm hệ  6x + y − 15 = có phương trình Vậy A ( -1;3) ,B ( -3;-1) ,C ( 6;-3)  Bài 2.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( −1;3) , trung điểm 3  đoạn BC M  ; − 2÷, phương trình đường thẳng qua chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C 2  22x − 31y + 75 = Xác định tọa độ đỉnh C, biết B có hoành độ âm BC = 85 Định hướng: -Viết phương trình đường trịn tâm M , bán kính R = BC -Tìm tọa độ điểm H giao HK đường tròn -Viết phương trình AB ⇒ B giao AB đường tròn Suy C Lời giải Đường tròn tâm M bán kính R = BC 85 ngoại tiếp tứ giác BCKH = 2  3 (Với K , H hình chiếu B 85 AC C AB ) có phương trình  x − ÷ + ( y + 2) = 2  2   H ( −2;1) 3 85  x − ÷ + ( y + 2) =  ⇒ Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  2  H  − ; 39     17 17 ÷  22x − 31y + 75 = +) Với H ( −2;1) phương trình đường thẳng AB : 2x − y + =  3 85  x − ÷ + ( y + 2) = Tọa độ điểm B nghiệm hệ  2 ⇒ B ( −3; −1) Suy C ( 6; −3)  2x − y + =  39  +) Với H  − ; ÷ ⇒ phương trình đường thẳng AB : 6x + 7y − 15 =  17 17   3 85 x − + ( y + 2) =  Tọa độ điểm B nghiệm hệ  2÷ ⇒ B ( 6; −3) , loại   6x + y − 15 = Vậy C ( 6;-3)  Bài 2.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường trịn tâm I Gọi H hình chiếu A BC , K hình chiếu vng góc B AI Giả sử A ( 2;5) , I ( 1;2) , điểm B có hồnh độ âm đường thẳng HK có phương trình x − 2y = Tìm toạ độ điểm B, C Định hướng: -Viết phương trình AI -Tìm tọa độ điểm K giao AI HK -Viết phương trình BK , phương trình ngoại tiếp tam giác ABC Suy B -Viết phương trình đường trịn đường kính AB , suy H giao đường tròn -Viết phương trình BC Suy tọa độ B ,C giao BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải  x − 2y =  1 ⇒ K  ; ÷ Phương trình đường thẳng AI : 3x − y − = Tọa độ điểm K nghiệm hệ   5 3x − y = Phương trình đường thẳng BK : x + 3y = Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC : ( x − 1) + ( y − 2) = 10 2  B ( −2;1 )    x + 3y = ⇒   14  Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  2 ( x − 1) + ( y − 2) = 10  B  ; ữ ( loạ i )  Phương trình đường trịn đường kính AB : x2 + ( y − 3) =  H ( 2;1)  x − 2y =  ⇒   1 Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình  2 ≡ K ( lo¹ i )  x + ( y − 3) =  H  ; ÷   Phương trình đường thẳng BC : y − =   C ( 4;1) y−1 = ⇒ 2  ( x − 1) + ( y − 2) = 10 C ( −2;1) ≡ B ( lo¹ i ) Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  Vậy B ( -2;1) ;C ( 4;1) HK  Bài 2.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hàng ABCD Phương trình đường trịn 2 5  1  đường kính AB ( C ) :  x + ÷ +  x − ÷ = ; đường thẳng qua B vng góc với AC có 2  2  x − y + = phương trình Xác định tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD , biết điểm B có tung độ âm đường thẳng CD qua điểm M ( 0; −4) Định hướng: - Tìm tọa độ điểm B , H giao BH đường tròn ( C ) - Tâm I trung điểm AB ⇒ A -Viết phương trình AC ,CD ⇒ C uuur uuuu r -Từ AB = DC ⇒ D Lời giải AC Gọi H hình chiếu vng góc B Tọa độ điểm B, H nghiệm hệ phương trình 2  5  1  B −3; −1 )  x + ÷ +  x − ÷ =  ( 2  2 2⇒    H ( −1;1) x − y+ = , điểm B có độ âm  1 Tâm I  − ; ÷ trung điểm BC Suy A ( −2;2)  2 Đường thẳng AC qua H vng góc với BH nên có phương trình x + y = Đường thẳng CD qua M song song với AB nên có phương trình 3x − y − = x + y = ⇒ C ( 1; −1) Tọa độ điểm C nghiệm hệ  3x − y − = uuur uuur Từ đẳng thức CD = AB ⇒ D ( 2;2) Vậy A ( -2;2) ;B ( -3;-1) ;C ( 1;-1) ;D ( 2;2)  Bài 2.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Phương trình đường thẳng chứa đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh A x − 2y − 13 = 13x − y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I ( −5;1) Định hướng: -Tìm tọa độ điểm A giao AH , AM -Gọi M trung điểm BC , viết phương trình I M , tìm tọa độ điểm M -Viết phương trình BC , viết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC Suy tọa độ điểm B ,C giao BC đường tròn tung Lời giải Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  x − 2y − 13 = ⇒ A ( −3; −8)  13x − 6y − = Gọi M trung điểm BC Đường thẳng IM qua I song song với AH có phương trình x − 2y = −7 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương nên trình 13x − 6y − = ⇒ M ( 3;5)   x − 2y = −7 Đường thẳng BC qua M vng góc với AH nên có phương trình 2x + y = 11 Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R = I A = 85 nên có phương trình ( x + 5) + ( y − 1) = 85 2  B ( 2;7) , C ( 4;3) ⇒ ( x + 5) + ( y − 1) = 85  B ( 4;3) , C ( 2;7)    Tọa độ điểm B,C nghiệm hệ phương trình  Vậy B ( 2;7) ,C ( 4;3) 2x + y = 11 2 B ( 4;3) ,C ( 2;7)  Bài 2.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm  3 I  ; ÷ Điểm M ( 3;0) trung điểm cạnh AD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD  2 Định hướng : -Viết phương trình AD -Từ diện tích hình chữ nhật suy độ dài AD -Viết phương trình đường trịn đường kính AD -Tìm tọa độ điểm A , D giao đường thẳng AD đường tròn Suy B ,C Lời giải uuur  3  Đường thẳng AD qua M, nhận véc tơ I M  − ; − ÷ làm véc-tơ  2 tuyến nên có phương trình x + y = Lại có S ABCD = 4.SIAD = 2.MI AD ⇒ AD = 24 =2 pháp Phương trình đường trịn tâm M, bán kính R = AD = ( x − 3) + y2 = 2   x+ y = x =  x= ⇒   y = −1  ( x − 3) + y =  y = Tọa độ đỉnh A, D nghiệm hệ phương trình  Từ suy tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD 2 { ( 2;1) ,( 5;4) ,( 7;2) ,( 4; −1) }  Bài 2.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A ( −1;4) , phương trình đường thẳng BC : x − y − = Xác định tọa độ đỉnh B, C biết tam giác ABC có diện tích 18 Định hướng : - Viết phương trình AH Suy { H } = AH ∩ BC - Từ diện tích tam giác ABC ⇒ BC - Viết phương trình đường trịn tâm H , bán kính R = - Tìm tọa độ điểm B ,C giao BC đường tròn BC Lời giải Gọi H trung điểm BC Đường thẳng AH qua A vng góc với BC nên có phương trình x + y = x − y− =  1 ⇒ H  ;− ÷ Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình   2  x+ y = Lại có SABC = AH BC ⇒ BC = 2 Đường trịn tâm H, bán kính R = BC = 2 có phương trình 2 7  1   x − 2÷ +  y+ 2÷ =     11   x− y− =   x =  x =  2 ⇒ Tọa độ điểm B,C nghiệm hệ phương trình   7  1 x − + y + =8    y= ÷  ÷ y= − 2  2    2    11   Vậy tọa độ điểm B,C  ; − ÷, ; ÷  2   2    Bài 2.11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết phương trình đường chéo ∆ : 3x + y− = điểm B ( 0; −3) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi, biết diện tích hình thoi 20 Định hướng : -Nhận xét B ∈ ∆ , suy AC ≡ ∆ -Viết phương trình BD , tìm { I } = AC ∩ BD Suy D -Từ diện tích hình thoi, suy độ dài AC -Viết phương trình đường trịn tâm I , bán kính R = I A -Tìm tọa độ giao điểm A ,C Lời giải Dễ thấy B ∉ ∆ ⇒ AC : 3x + y − = Gọi { I } = AC ∩ BD Đường thẳng BD qua B vng góc với AC nên có phương trình x − 3y =  x − 3y = ⇒ I ( 3; −2) Tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình  3x + y − = Từ suy D ( 6; −1) Lại có S ABCD = AC.BD ⇒ AC = 10 Đường tròn tâm I bán kính R = I A = 10 có phương trình ( x − 3) + ( y + 2) = 10 2  A ( 4; −5) , C ( 2;1) ⇒ ( x − 3) + ( y + 2) = 10  A ( 2;1) , C ( 4; −5)    Tọa độ điểm A,C nghiệm hệ phương trình  Vậy A ( 4;-5) ,C ( 2;1) ,D ( 6;-1) 3x + y − = 2 A ( 2;1) ,C ( 4;-5) ,D ( 6;-1)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I ( 2;1) AC = 2BD Xác định tọa độ đỉnh B, biết phương trình đường thẳng AB : 4x + 3y − = điểm A có hồnh độ âm Định hướng: -Dựa vào tính chất tam giác vng I AB AC = 2BD , tính I A , I B -Viết phương trình đường trịn tâm I , đường kính AC -Tìm tọa độ điểm A giao AB đường trịn đường kính -Viết phương trình BD , tìm { B} = BD ∩ AB Lời giải AC Gọi H hình chiếu vng góc I AB Ta có: I H = d ( I ; AB ) = Lại có  1 1 1  IB = = + ⇒ = + ⇒  2 2 4I B IH IA IB IB  I A = Đường trịn tâm I bán kính R = I A = có phương trình ( x − 2) + ( y − 1) = 20   Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  4x + y − =  ( x − 2) + ( y − 1) = 20 2 ⇒ A ( −2;3) , A có hồnh độ âm Khi phương trình đường thẳng BD 2x − y − =  2x − y − = ⇒ B ( 1; −1) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  4x + y − = Vậy B ( 1;-1)  Bài 2.12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M ( 1; −1) trung điểm cạnh BC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết trọng tâm tam giác ABC 2  G  ;0÷ 3  Định hướng : -Từ tính chất trọng tâm tam giác , suy A -Viết phương trình đường thẳng BC -Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC -Tìm tọa độ điểm B ,C giao BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải uuuu r uuuur Từ tính chất G trọng tâm tam giác ABC, suy AG = 2GM ⇒ A ( 0;2) uuuur Đường thẳng BC qua M, nhận véc-tơ AM ( 1; − 3) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x − 3y − = Do tam giác ABC vuông cân A, nên MB = MC = MA = 10 Đường trịn tâm M bán kính R = MA = 10 có phương trình ( x − 1) + ( y + 1) = 10 2  B ( 4;0) , C ( −2; −2) ⇒ ( x − 1) + ( y + 1) = 10  B ( −2; −2) , C ( 4;0)    Tọa độ điểm B,C nghiệm hệ phương trình  x − 3y − = Vậy A ( 0;2) ,B ( 4;0) ,C ( -2;-2) A ( 0;2) ,B ( -2;-2) ,C ( 4;0)  Bài 2.13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( C ) : x2 + y2 + 2x − y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ∆ABC , biết điểm M ( 0;1) trung điểm cạnh AB A có hồnh độ dương Định hướng : -Viết phương trình AB Tìm tọa độ A, B giao AB đường trịn (C) -Viết phương trình BC Tìm tọa độ điểm C giao BC đường tròn (C) Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( −1;2) bán kính R = uuur Đường thẳng AB qua M nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x − y + = Tọa độ điểm A,B nghiệm hệ phương trình x− y+ =   ⇒ A ( 1;2) , B ( −1;0) , A có hồnh độ dương  2  ( x + 1) + ( y − 2) = uur Đường thẳng BC qua B nhận véc-tơ I A làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x + =   Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  x+1 =  ( x + 1) + ( y − 2) = 2 ⇒ C ( −1;4) Vậy A ( 1;2) ,B ( -1;0) ,C ( -1;4)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có chu vi 5 , tâm 3  1  I  0; ÷ , trung điểm đoạn AD E  −1; − ÷ Xác định toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, 2  2  biết A có hồnh độ âm Định hướng : -Viết phương trình AD -Từ chu vi hình chữ nhật tính AD , I A -Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD -Viết phương trình AD Suy tọa độ A , D giao điểm AD đường tròn -Suy B ,C Lời giải uuu r Đường thẳng AD qua E nhận véc-tơ I E ( −1; − 2) làm véc-tơ pháp nên có phương trình x + 2y + = Ta lại có CVABCD = 5 ⇒ AB + AD = 5 ⇒ 2I E + AD = 5 ⇒ AD = Lúc I A = IE + AE = 65 Phương trình đường trịn tâm I bán kính R = I A = 65 có phương trình 2 1 65  x +  y− ÷ = 2   x + 2y + =  A ( −4;0)  Tọa độ điểm A, D nghiệm hệ phương trình   (Do A có hồnh độ âm) 1 65 ⇒   D ( 2; −3) x +  y − ÷ = 2   Từ I tâm hình chữ nhật suy điểm B ( −2;4) ,C ( 4;1) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật A ( -4;0) ,B ( -2;4) ,C ( 4;1) ,D ( 2;-3)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ C xuống AB H ( 4;2) , trung điểm BC M ( 3;4) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I ( 5;3) Tìm tọa độ điểm A Định hướng : -Viết phương trình BC -Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC -Tìm tọa độ B ,C giao điểm BC đường trịn -Viết phương trình AB ⇒ A Lời giải uuur Đường thẳng BC qua M nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 2x − y − = tuyến Đường trịn tâm M bán kính R = MH = ngoại tiếp tam giác BCH có phương trình ( x − 3) + ( y − 4) = 2x − y − =   Tọa độ điểm B,C nghiệm hệ   ( x − 3) + ( y − 4) Lúc : ( x − 5) 2 2  B ( 4;6) , C ( 2;2) ⇒ =  B ( 2;2) , C ( 4;6) Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I, bán kính R = I B = I C = 10 nên có phương trình + ( y − 3) = 10 uuuu r +) Với B ( 4;6) ,C ( 2;2) ⇒ Đường thẳng AB qua H nhận véc-tơ CH làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x =  Tọa độ điểm A nghiệm hệ  x= ( x − 5) + ( y − 3) 2 ⇒ A ( 4;0) uuuu r +) Với B ( 2;2) ,C ( 4;6) ⇒ Đường thẳng AB qua H nhận véc-tơ CH làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình y =   Tọa độ điểm A nghiệm hệ  y=  ( x − 5) + ( y − 3) 2 ⇒ A ( 8;2) Vậy A ( 4;0) A ( 8;2)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD biết trực tâm ∆BCD H ( 4; −3)  1 , tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABD I  ; − ÷ điểm B thuộc đường thẳng x − y + =  2 đường thẳng BC qua M (−1; −1) Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết đểm B có hồnh độ âm Định hướng : -Phát chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Suy A -Viết phương trình đường trịn tâm I bán kính I H -Tìm tọa độ điểm B , viết phương trình DH -Tìm tọa độ điểm D giao DH đường tròn Suy C Lời giải  DC / / AB ⇒ AB ⊥ BH ⇒ H nằm đường tròn tâm I Do   DC ⊥ AH ... hình vng ABCD có tọa độ đỉnh A ( −3;2) C ( 3;0) Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD Định hướng: -Tìm tọa độ trung điểm I AC AC -Viết phương trình đường thẳng BD Suy tọa độ B , D giao điểm... −2;0) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  2x − y + = Từ I trung điểm BD ⇒ Tọa độ điểm D ( 3;0) Vậy B ( -2;0) , C ( 2;-2) , D ( 3;0) µ =C µ = 900 Phương  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ. .. trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C ( 4; − 1) Từ O trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm A ( −4;1) , D ( 1; −4) Vậy A ( -4;1) ,B ( -1;4) ,C ( 4;-1) ,D ( 1;-4)  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình