CHỦ đề 3 LUY THUA với số mũ tự NHIÊN

CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A KIẾN THỨC CẦN NHỚ * Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: an = a a.a.a.a a ( n tha s a vi a Ô ) Qui ước: a0 = 1(a ≠ 0) a1 = a * Các phép tính luỹ thừa: - Nhân hai luỹ thưa số: am an = am+ n - Chia hai luỹ thừa số : am :an = am−n (a ≠ 0; m ≥ n) - Luỹ thừa tích: (a.b)n = an bn - Luỹ thừa thương: (a: b)n = an : bn (b ≠ 0) - Luỹ thừa luỹ thừa: (am )n = am.n - Luỹ thừa tầng: amn = a(mn ) Ví dụ: 323 = 38 - Luỹ thừa với số mũ âm: a− n = Ví dụ: 10−3 = (a ≠ 0) an 103 B CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu luỹ thừa số: + Khi số lớn 1, luỹ thừa có số mũ lớn lớn hơn: CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH am > an ( a > 1) ⇒ m > n + Khi số nhỏ 1, luỹ thừa có số mũ lớn bé hơn: am > an ( a < 1) ⇒ m > n + Khi số 1, hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên - Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn an > bn ( n > ) ⇒ a > b Phương pháp 2: So sánh thừa số riêng tích: Xét: an biến đổi dạng: c.dk bm biến đổi dạng: ed k + Nếu c < e c.dk < ed k ⇒ an < bm + Nếu c > e c.dk > ed k ⇒ an > bm Phương pháp 3: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân: A > B B > C A > C A.C < B.C (với C > 0) ⇒ A < B Phương pháp 4: Xét: an biến đổi dạng: cq.dk p h bm biến đổi dạng: e g Nếu cq < ep dk < gh cq.dk < ep.gh C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: So sánh hai số lũy thừa  Một số lưu ý: CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH Vận dụng phương pháp so sánh nêu phần B để so lũy thừa cho  Các ví dụ điển hình: Ví dụ So sánh số sau đây: a) 1619 825 b) 2711 818  Định hướng tư duy: Nhận thấy, câu a) 16 số liên quan tới lũy thừ số 2, câu b) 27 81 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với  Lời giải: a) 1619 = (24 )19 = 276 ; 825 = (23)25 = 275 Vì 276 > 275 ⇒ 1619 > 825 b) 2711 = (33)11 = 333; 81 = (34 )8 = 332 Vì 333 > 332 ⇒ 2711 > 818 Ví dụ 2: So sánh: a) 32n 23n ( n ∈ N * ) b) 2100 3200 c) 5100 3500  Định hướng tư duy: Nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũ n , câu b) c) lũy thừa có chung số mũ 100 Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH  Lời giải: ( ) a) 32n = 32 n ( ) = 9n ;23n = 23 n = 8n Vì > ⇒ 32 > 23 => (32 )n > (23)n b) 2100 = (23 )100 = 8100 3200 = (32 )100 = 9100 Vì 8100 < 9100 ⇒ 2300 < 3200 ( ) c) 5300 = 53 100 ( ) = 125100 3500 = 33 100 = 243100 Vì 125100 < 243100 ⇒ 5300 < 3500  Lời bình: Qua hai ví dụ ta thấy rằng, trước so sánh hai lũy thừa với trước hết ta cần làm hai việc sau: + Kiểm tra số xem số có biến đổi số không + Kiểm tra số mũ lũy thừa xem có ước chung lớn khơng Việc làm giúp lựa chọn phương pháp so sánh Ví dụ 3: So sánh: a) 523 6.522 b) 7.213 216 c) 1512 81.125  Định hướng tư duy: Nhận thấy số lũy thừa cần so sánh số mũ chúng khơng có ước chung, số chúng biểu diễn dạng chung số Do việc đưa lũy thừa lũy thừa có số (hoặc số mũ) để so sánh khơng khả quan Tuy CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH nhiên số lũy thừa có ước chung, nên việc tách lũy thừa thành tích, để xuất thừa số chung so sánh thừa số riêng khả quan Để làm điều ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi an dạng: c.dk , biến đổi bm dạng: ed k so sánh hai số c e Từ so sánh hai số an bm  Lời giải: a) Ta có: 523 = 5.522 Vì < ⇒ 5.522 < 6.522 ⇒ 523 < 6.522 b) Ta có: 216 = 23.1213 = 8.213 Vì 7.213 < 8.213 ⇒ 216 > 7.213 ( ) ( ) 3 c) Ta có: 81.125 = 34 53 = 312.515 = ( 3.5) 53 = 1512.53 12 Vì 1512.53 > 1512 ⇒ 81.125 > 1512  Lời bình: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp ta nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa dựa vào việc so sánh thừa số riêng Ví dụ 4: So sánh: a) 10750 7375 b) 291 535  Định hướng tư duy: Trong câu a) số mũ hai lũy thừa có ước chung 25, nhiên số 733 1072 , số tính lớn, việc đưa so sánh hai lũy thừa số mũ không khả quan Còn câu b) số mũ số khơng có ước chung nên CẦN CÙ BÙ THƠNG MINH khơng thể áp dụng phương pháp ví dụ Như cịn cách lựa chọn dùng tính chất bắc cầu (so sánh qua lũy thừa trung gian)  Lời giải: a) Ta có: 10750 < 10850 = ( 27) 7375 > 7275 = ( 9) 50 75 = 2100 3150 = 2225 3150 Vì 2100 < 2225 ⇒ 2100.3150 < 2225.3150 ⇒ 10750 < 7375 ( ) b) Ta có: 291 > 290 = 25 ( ) 535 < 536 = 52 18 18 = 3218 = 2518 Vì 3218 > 2518 ⇒   291 > 535  Lời bình: Một cách tạo lũy thừa trung gian so sánh ta tăng số mũ (hoặc tăng số) thêm đơn vị DẠNG 2: So sánh biểu thức lũy thừa với số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)  Một số lưu ý: * Thu gọn biểu thức lũy thừa cách vận dụng phép tính lũy thừa, cộng trừ số theo quy luật * Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa phần B * Phương pháp so sánh phần bù: Với a, n, m, k ∈ N * Ta có: - Nếu m > n k − a a > k− m n k+ a a < k+ m n CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH - Nếu m < n k − a a < k − m n * Với biểu thức tổng số so sánh sau: k+ a a > k+ m n (với a ∈ N*) ta có vận dụng a 1 1 − − < < a a+ a− a a  Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Cho S = 1+ + 22 + 23 + + 29 So sánh S với 5.28  Định hướng tư duy: Trước so sánh biểu thức S với 5.28 ta cần dùng phương pháp tính tổng theo quy luật để tính S Để làm việc ta cần nhân vào hai vế biểu thức S, sau tính hiệu 2S − S triệt tiêu số hạng giống tính S  Lời giải: Ta có: S = 1+ + 22 + 23 + + 29 2.S = + 22 + 23 + 24 + + 29 + 210 ⇒ 2.S − S = S = 210 − Mà 210 − 1< 210 = 28.22 = 4.28 ⇒ S < 5.28  Lời bình: Để tính tổng S ta cần dùng phương pháp tính tổng biểu thức tổng quát S = 1+ a + a2 + a3 + + an (a ∈ N * ) Ví dụ 2: So sánh biểu thức A B trường hợp: 1015 + 1016 + a) A = 16 B = 17 10 + 10 + sau: CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH b) C = 22008 − 22007 − D = 22007 − 22006 −  Định hướng tư duy: - Ở câu a, biểu thức A B có chứa luỹ thừa số 10, nên ta so sánh 10A 10B - Ở câu b, biểu thức C D có chứa luỹ thừa số nên ta 1 C D 2 so sánh  Lời giải: a) Ta có: 1015 + 1016 + A=  1015 + 1 1016 + 10 1016 + 1+ 9 ⇒ 10A = 10. = = 1+ 16 ÷= 16 16 16 10 + 10 + 10 +  10 + 1 B= 1016 + 1017 +  1016 + 1 1017 + 10 1017 + 1+ 9 ⇒ 10B = 10. 17 = = 1+ 17 ÷= 17 17 10 + 10 + 10 +  10 + 1 Vì 1016 + 1< 1017 + nên ⇒ 1+ 9 > 17 10 + 10 + 16 9 > 1+ 17 10 + 10 + 16 ⇒ 10A > 10B hay A > B b) Ta có: 22008 − C = 2007 −1 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH ⇒ 1  22008 −  22008 − 22008 − − 1 C =  2007 = 2008 = 1− 2008 ÷ = 2008 2  − 1 − 2 −2 −2 D= ⇒ 22007 − 22006 − 1  22007 −  22007 − 22007 − − 1 D =  2006 = 2007 = 1− 2007 ÷ = 2007 2 − 1 − 2 −2 −2 Vì 22008 – 2 >  22007 – nên ⇒ 1− ⇒ 1 < 2007 −2 −2 2008 1 > 1− 2007 −2 −2 2008 1 C > D hay C > D 2  Lời bình: Đơi để so sánh hai biểu thức với nhau, ta cần biến đổi hai biểu thức dạng tổng hai số hạng, có số hạng chung ta cần so sánh số hạng riêng DẠNG 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm số (số mũ) chưa biết  Một số lưu ý: * Với số tự nhiên m, x, p số dương a + Nếu a > thì: am < ax < ap ⇒ m < x < p + Nếu a < thì: am < ax < ap ⇒ m > x > p * Với số dương a,b số tự nhiên m , ta có: am < bm ⇒ a < b CẦN CÙ BÙ THƠNG MINH  Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Tìm số ngun n thỗ mãn: 364 <  n48 < 572  Định hướng tư duy: Giải bất đẳng thức cách đưa lũy thừa có số mũ để so sánh  Lời giải: Ta giải bất đẳng thức 364 <  n48 n48 < 572 ( )  > ( ) Ta có: n48 > 364 ⇒ n3 16 16 ( )  ⇒ n3 ⇒ n > (với n ∈¢ ) ( ) Mặt khác n48 < 572  ⇒   n2 16  >  8116 ⇒ n3  >  81 (1) 24  < (5 ) ⇒ −11≤ n ≤ 11 (với n ∈¢ ) 24 ( ) ⇒ n2 24  < 12524 ⇒  n2  < 125 (2) Từ (1) (2) ⇒ < n ≤ 11 Vậy n nhận giá trị nguyên là: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11  Lời bình: Từ tốn thay đổi câu hỏi để tốn sau: Bài số 1: Tìm tổng số ngun n thoã mãn: 364 <  n48 < 572 Giải tương tự ta có số ngun n thỗ mãn là: 5+ + + + + 10 + 11 = 56 Bài số 2: Tìm tất số nguyên có chữ số cho: 364 <  n48 < 572 Giải tương tự ta có số ngun n thỗ mãn là: 5; 6; 7; 8; Bài số 3: Tìm tất số nguyên có chữ số cho 364 <  n48 < 572 10 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH b) Hai số 22003 52003 viết liền số có chữ số?  Định hướng tư duy: So sánh lũy thừa với số luỹ thừa 10, từ lập luận tìm số chữ số số  Lời giải: a) Ta có: 58 = (54)2 = 6252 > 6002 = 360000 58 = 108 100000000 100000000 = < = 400000 256 250 28 ⇒ 360000 < 58 < 400000 Do 58 có chữ số b) Giả sử 22003 có a chữ số 52003 có b chữ số viết số liền ta (a + b) chữ số Vì 10a−1 < 22003 < 10a 10b−1 < 52003 < 10b ⇒ 10a−1.10b−1 < 22003.52003 < 10a.10b ⇒ 10a+ b−2 < 102003 < 10a+ b Do đó: 2003 = a + b − 1⇒ a + b =  2004  Vậy số có 2004 chữ số 13 CẦN CÙ BÙ THƠNG MINH Ví dụ 3: Tìm số 5các chữ số số n m trường hợp sau: a) n =  83 155 b) m =  416 525  Định hướng tư duy: Nhóm luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất luỹ thừa 10, từ lập luận tìm số chữ số số  Lời giải: a) Ta có: ( ) n =  83 155 = 23 ( 3.5) = 29 35 55 =  24 35.( 2.5) =  16.243 105 = 3888 105 5  Số 3888.105 gồm 3888 theo sau chữ số nên số có chữ số Vậy số n có chữ số b) Ta có: ( ) = ( ) = 128.10 m =  416 525 = 22 = 232.525 16 25 25 25 25 Số 128.1025 gồm 128 theo sau 25 chữ số nên số có tất 28 chữ số Vậy số m có 28 chữ số C/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập So sánh: a) 2435 3.275 c) 6255 1257 Bài tập 2: So sánh: 14 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH e) 9920 999910 b) 3500 7300 d) 202303 303202 e) 111979 371320 Bài 3: So sánh: c) 85 3.47 f) 1010 48.505 i) 230 + 330 + 430 3.2410 g) 199010 + 19909 199110 Bài 4: So sánh số sau: 19920 200315 Bài 5: So sánh: a) 7812 − 7811 7811 − 7810 b) A = 7245 − 7244 B = 7244 − 7243 Bài 6: So sánh số sau: 339 1121 Bài Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Bài 8: Chứng minh rằng: 21995 < 5863 Bài 9: Chứng minh rằng: 21999 < 7714 Bài 10 So sánh: 3200 2300 Bài 11: So sánh: 7150 3775 Bài 12: So sánh số: a) 5020 255010 b) 99910 9999995 Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ;375 550 Bài 14: So sánh số: 123456789 567891234 Bài 15: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi khơng có chữ số Hãy so sánh m với 10.98 Bài 16: Cho A = 1+ 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +… + 201271 + 201272 B =  201273 − So sánh A B 15 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH Bài 17: So sánh hai biểu thức: B = Bài 18: So sánh: M = 310.11+ 310.5 210.13+ 210.65 C = 39.24 28.104 7 + N = + 8 8 1930 + 1931 + Bài 19: So sánh M N biết: M = 31 N = 32 19 + 19 + Bài 20: So sánh 1 1 1 + + + + 2 2 2 101 102 103 104 105 3.5       − 1÷ − Bài 21: So sánh A =  − 1÷. − 1÷. − 1÷ . 2 2  3  4   100  Bài 22: Tìm số tự nhiên n cho: a) < 3n ≤ 234 b) 8.16 ≥ 2n ≥ Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Bài 24: Cho A = 3+ 32 + 33 + … + 3100 Tìm số tự nhiên n , biết 2A + = 3n Bài 25: Tìm số nguyên dương m n cho: 2m − 2n = 256 Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết: a) 64 < 2n < 256 b) 243 > 3n ≥ Bài 27: Tìm số nguyên n lớn cho: n200 < 6300 Bài 28: Tìm n ∈ N biết: a) 32 < 2n < 512 b*) 318 < n12 ≤ 208 D/ HƯỚNG DẪN GIẢI 16 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH Bài Định hướng tư duy: Nhận thấy, câu a) 243 27 số liên quan tới lũy thừ số 3, câu b) 625 125 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với Lời giải: ( ) a) Ta có: 2435 = 35 ( ) = 325 ; 3.275 = 33 = 3.315 = 316 Vì 316 < 325 ⇒ 3.275 < 2435 b) 6255 = (54 )5 = 520 ;125 = (53)7 = 521 Vì 521 > 520 ⇒ 1257 > 6255 Bài 2: Định hướng tư duy: Nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũ 10, câu b) lũy thừa có chung số mũ 100, câu c) lũy thừa có chung số mũ 101, câu d) lũy thừa có chung số mũ 660 Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với Lời giải: ( ) a) Ta thấy: 9920 = 992 Vì ( 99.99) 10 10 < ( 99.101) ( ) b) Ta có : 3500 = 35 100  = ( 99.99) ;999910 =  ( 99.101) 10 10 10 ⇒ 9920 < 999910 ( ) = 243100 , 7300 = 73 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c) Ta có: 17 100 = 343100 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH ( ) 101 ( ) 101 202303 = ( 2.101) 3.101 = 23.1013 303202 = ( 3.101) 2.101 = 32.1012 ( = 8.101.1012 ( = 9.1012 ) ) 101 = ( 808.101) 101 101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 d) Ta có: ( ) 111979 < 111980 = 113 371320 = ( 37 ) 660 660 = 1331660 = 1369660 (1) (2) Từ (1) (2) suy ra: 111979 < 371320 Bài 3: a) Ta có: 85 = 215 = 2.214 , 3.47 = 3.214 Vì < ⇒ 2.214 < 3.214 ⇒  85 < 3.47 b) Ta có : ( ) ( ) 48 505 = 24 25 510 = 29 510 1010 = 210 510 = 29 510 , Vì < ⇒ 29 510 < 29 510 ⇒ 1010 < 48 505 c) Ta có: 430 = (22 )30 = (2.2)30 = 230.230 = (23)10.(22 )15 = 810.415 , 2410.3 = (8.3)10.3 = 810.310.3 = 810.311 Vì 311 < 415 ⇒ 810.311 < 810.415 ⇒ 430 > 3.2410 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 d) Ta có : 199010 + 19909 = 19909.( 1990 + 1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 19909 < 199110 18 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH Bài 4: Biến đổi an dạng: c.dk , biến đổi bm dạng: ed k so sánh hai số c e Từ so sánh hai số an bm 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23.52 )20 = (23.52 )20 = 260.540 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53)15 = (24.53 )15 = 260.545 Vì 545 > 540 ⇒ 260.545 > 260.540 ⇒ 200315 > 19920 Bài 5: Biến đổi an dạng: c.dk , biến đổi bm dạng: ed k so sánh hai số c e Từ so sánh hai số an bm 12 11 11 11 a) Ta có: 78 − 78 = 78 ( 78− 1) = 78 77 7811 − 7810 = 7810.( 78− 1) = 7810.77 Vì 7811 > 7810 ⇒ 7811.77 > 7810.77 ⇒ 7812 − 7811 > 7811 − 7810 b) Ta có A = 7244(72 − 1) = 7244.71 B = 7243(72 − 1) = 7243.71 7244 > 7243 ⇒ 7244.71> 7243.71 ⇒ A > B Bài 6: Dùng tính chất bắc cầu: So sánh hai số với số lũy thừa 10 Ta có: 339 < 340 = (34 )10 = 8110 1120 = (112 )10 = 12110 < 1121 Vì 8110 < 12110 ⇒ 339 < 1121 Bài Với , học sinh lớp khơng định hướng cách làm , giáo viên gợi ý học sinh so sánh: 263 > 527  và 263 < 528 19 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH ( ) ( ) Ta có : 263 = 27 Lại có: 263 = 29 ( ) ( ) = 1289 , 527 = 53 = 5127 , 528 = 54 = 1259 ⇒ 263 > 527 (1) = 6257 ⇒ 263 < 528 (2) Từ (1) (2) ⇒  527 < 263 < 52 Bài 8: Xét: an biến đổi dạng: cq.dk p h bm biến đổi dạng: e g Nếu cq < ep dk < gh cq.dk < ep.gh Ta có: 21995 = 21990.25 ; 5863 = 5860.53 Nhận xét: 25 = 32 < 53 = 125 nên cần so sánh 21990 5860 Có: 210 = 1024, 55 = 3025 ⇒ 210 < 55 ⇒ 21720 3172  < 5860 Có: 21990 = 21720.2270 , cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 sau: 37 = 2187; 211 = 2048 ⇒ 37 > 211 ( ) 3172 = 37 24 ( ) ( ) 34 > 211 24 > 211 26 = 2270 Do đó: 21720.2270 < 21720 3172 < 5860 ⇒ 21990  < 5860 Mà 25  < 53 ⇒  21995 < 5863 Bài 9: Ta có: 210 = 1025 ; 73 = 343 ( ) ⇒ 210 < 3.73 ⇒ 210 238 ( ) < 3238 73 ⇒ 22380 < 3238 7714 ( ) Xét: 3238 = 33 3235 = 33 35 238 (1) 47 ( ) < 33 28 20 47 < 25.2376 = 2381 (vì 35 < 28 ) CẦN CÙ BÙ THƠNG MINH ⇒ 3238 < 2381 (2) Từ (1) (2), ta có: 22380 < 2381 7714 ⇒ 21999 < 7714 Bài 10 Đưa so sánh hai lũy thừa số mũ ( ) Ta có: 3200 = 32 100 ( ) = 9100 ; 2300 = 23 100 = 8100 mà 8100 < 9100 ⇒ 2300  < 3200 Bài 11: Biến đổi an dạng: c.dk , biến đổi bm dạng: ed k so sánh hai số c e Từ so sánh hai số an bm Ta có: 7150 < 7250 = ( 8.9) 50 = 2150.3100 (1) 3775 > 3675 = ( 4.9) 75 = 2150 3150 (2) Mà 2150 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775 > 7150  Bài 12: 10 a) Ta có: 5020 = ( 50)  = 250010 < 255010 ⇒ 520 < 255010   b) Ta có: 99910 = ( 999)  < 9980015 < 9999995 ⇒ 99910 < 9999995   Bài 13: 2100 = (22 )50 = 450 < 550 (1) 375 = (33 ) = 2725 = 375 > 550 (2) 550 = (55)25 = 2525 (3) 21 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH Từ(1),(2) (3) ⇒ 2100 < 550 < 375 Bài 14: ( ) Ta có: A = 123456789 > 100050000 = 103 50000 ( ) B = 567891234 < 1000002000 = 105 = 10150000 2000 = 1010000 Vì 1010000 < 10150000 ⇒ 567891234 < 123456789 Bài 15: Số có chữ số a1a2 a8a9 chữ số ≠ (i = 1; 9) giống Từ tập hợp số { 1;2;3;4;5;6;7;8;9} chữ số có cách chọn Do ta có số số có chữ số thỏa mãn toán m= 99 số Từ đó: m= 99 = 9.98 < 10.98 Bài 16: Ta có: A = 1+ 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +… + 201271 + 201272 2012.A =  2012 + 20122 + 20123 + 20124 +… + 201271 + 201273 ⇒ 2012.A – A = 2011A = 201273 – ( ) ⇒ A = 201273 – :2011< 201273 − Vậy A < B Bài 17: B= 310.11+ 310.5 310(11+ 5) = = 39.24 39.16 C= 210.13+ 210.65 210(13+ 65) 22.78 = = = 104 28.104 28.104 Vậy B = C Bài 18: 22 CẦN CÙ BÙ THƠNG MINH Ta có:  3 3 + = + + =  + ÷+ 8 8 8   3 3 + = + + =  + ÷+ 8 8 8   3  3 4 < ⇒  + ÷+ <  + ÷ + 8 8  8  Vì ⇒ M 32 19 + 19 + 1+ 31 90 90 > + hay 19M > 19N  ⇒ M > N 19 31 + 19 32 + Bài 20: Nếu n số tự nhiên lớn ta có: 1 n − (n − 1) n − n + 1 − = = = > n − n (n − 1).n (n − 1).n (n − 1)n n ⇒ 1 < − n−1 n n Áp dụng vào toán ta được: 23 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH 1 < − 101 100 101 1 < − 102 101 102 1 < − 105 104 103 ⇒ 1 1 + + + < − 2 101 102 105 100 105 = 105− 100 = 2 = 2 100.105 5.3.7 3.7 Vậy 1 + + < 2 2 102 105 3.7 Bài 21: A tích 99 số âm Do đó:  1   1   − A =  1− ÷ 1− ÷ 1− ÷  1− 2÷    16    100  = 15 9999 2 1002 = 1.3 2.4 3.5 99.101 2 1002 Để dễ rút gọn ta viết tử dạng tích số tự nhiên liên tiếp: −A = 1.2.3.4.5.6 98.99 3.4.5 100.101 101 101 = = > 2.3.4.5 .99.100 2.3.4 99.100 100 200 Vậy A < − Bài 22: 24 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH Đưa số lũy thừa có số a) < 3n ≤ 234 ⇒ 31 < 3n ≤ 35 ⇒ 1< n ≤ ⇒ n nhận giá trị là: 2, 3, 4, b) 8.16 ≥ 2n ≥ ⇒ 23.24 ≥ 2n ≥ 22 ⇒ 27 ≥ 2n ≥ 22 ⇒ ≥ n ≥ ⇒ n nhận giá trị là: 2,3,4,5,6,7 Bài 23: 415 915 < 2n 3n < 1816 216 ⇒ ( 4.9) 15 < ( 2.3) < ( 18.2) n 16 ⇒ 3615 < 6n < 3616 ( ) ⇒ 62 15 ( ) < 6n < 62 16 ⇒ 630 < 6n < 632 ⇒ 30 < n < 32 ⇒ n = 31 Bài 24: Có A = 3+ 32 + 33 + … + 3100 ⇒ 3A = 32 + 33 + 34 +…+ 3101 ⇒ 3A – A = 2A = 3101 – ⇒ 2A + = 3101 Mà theo đề ta có 2A + = 3n ⇒ 3101 = 3n ⇒ n = 101 Bài 25: Ta có: 2m − 2n = 256 = 28 => 2n (2m− n − 1) = 28 (1) Dễ thấy m ≠ n , ta xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m − n = từ (1) ta có: 2n.(2 − 1) = 28 ⇒ 2n = 28 ⇒ n = m = 25 CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH Trường hợp 2: Nếu m − n ≥ ⇒ 2m− n − số lẻ lớn nên vế trái (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ phân tách thừa số nguyên tố, vế phải (1) chứa thừa số nguyên tố 2, hai vế (1) mâu thuẫn Vậy n = m = đáp số Bài 26: a) Ta có: 64 < 2n < 256 ⇒  26 < 2n < 28  ⇒  6 < n < , mà n nguyên dương, nên n = b) Ta có: 243 > 3n ≥ 9 ⇒  35 >  3n ≥ 32  ⇒ > n ≥ 2, mà n nguyên dương nên n nhận giá trị là: 4; 3; Bài 27: ( ) Ta có: n200 = n2 100 ( ) ; 6300 = 63 ( ) n200 < 6300 ⇒   n2 100 100  = 216100 < 216100 ⇒ n2 < 216  (*) ⇒ Số nguyên lớn thoã mãn (*) n = 14 Bài 28: a) Với n ∈ N, ta xét: 32 < 2n ⇔ 25 < 2n ⇒ < n 2n < 512 ⇔ 2n < 29 ⇒ n < Do đó: < n < ⇒ n∈ { 6;7;8} b) Với n ∈ N, ta xét: ( ) 3. 2410 ⇒ 230 + 33 0 + 430 > 3. 2410 d)