Khảo sát độ cong gauss độ cong trung bình và đường khắc địa của lớp các mặt thông dụng mặt cực tiểu​

Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng - mặt cực tiểu Hoàng Công Phúc Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG Các khái niệm đường – mặt E n Đường E 1.1 1.2 Mặt E 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 CHƯƠNG Khảo sát độ cong trung bình độ cong Gauss Của mặt - Độ cong trắc địa – Cung trắc địa I Mặt bậc hai II Mặt sinh đường tiếp tuyến đường cong R III Mặt kẻ IV Mặt tròn xoay CHƯƠNG Mặt cực tiểu Mặt Scherk 2.Mặt Enneper - Bảng tóm tắt độ cong Gauss – Độ cong Trung bình Độ cong trắc địa mặt KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI NÓI ĐẦU Trong vài thập niên gần Hình học vi phân phát triển mạnh, đối tượng nghiên cứu hình học đa tạp khả vi mà sở ban đầu lý thuyết đường, mặt E Việc nắm vững kiến thức bước tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm nghiên cứu hình học vi phân đa tạp khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng vấn đề thiếu Đề tài đặc biệt quan tâm đến vấn đề Luận văn gồm chương - Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số phép tính liên quan chứng minh sách hình vi phân Đây công cụ thiếu cho việc nghiên cứu phần sau - Chương 2: Dành cho việc nghiên cứu độ cong Gauss K, độ cong trung bình H đồng thời tìm đường tham số hóa lưới đường tọa độ đóng vai trò đường trắc địa mặt thông dụng xét mặt cầu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic tầng, hai tầng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, mặt kẻ helicoid, Catenoid, xuyến - Chương 3: Trong lớp mặt đa tạp ta quan tâm đặc biệt đến mặt có độ cong trung bình H = mà ta gọi mặt tối tiểu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy Nguyễn Hà Thanh Tiến só giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ suốt trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn Thầy Cô khoa nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học bạn bè lớp tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG – MẶT TRONG E3 Chương dành cho việc nhắc lại kiến thức lý thuyết đường mặt với kết có nhằm làm sở cho việc tính toán khảo sát chương lại n §1.ĐƯỜNG TRONG E ( n = 2,3 ) 1.1 Cung E n n 1.1.1 Định nghóa cung tham số: Mỗi ánh xạ γ : J → E từ khoảng n J ⊂ R vào E gọi cung tham số (hay quỷ đạo) trongE n Hai cung tham số (I , J khoảng R; γ r khả vi ) gọi tương đương có vi phôi Dễ thấy quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan n hệ gọi cung E ; cung tham số lớp tương đương gọi tham số hóa cung ; vi phôi λ gọi phép biến đổi tham số cung 1.1.2 Điểm quy điểm kỳ dị Cho cung ’ Điểm to Γ mà γ (t0) ≠ ’ γ (t0) = Cung mà điểm quy gọi cung quy 1.1.3 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy a/- Độ dài cung : n Cho cung tham số γ : [ a ,b ] → E xác định đoạn thẳng [ a ,b ], giả sử γ liên tục Với phép chia a = t < t1 - n Cung Γ E gọi song quy điểm Γ điểm song quy - Một cung song quy cung quy Cung quy cung song quy ⇔ độ cong khác điểm Thật tsh tự nhiên s → r(s) Γ , T (s) = r’(s), neân { r’ , DT ds T = Dr ' Dr ' DT ds } độc lập tuyến tính ds = ds ≠ -Xét trường vectơ Dt ds dọc cung song quy Γ E'' Đặt N = DT/ds DT / ds trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Γ Từ (1) ta viết 1.2.3 Trường mục tiêu Fénet dọc cung song quy định hướng E độ xoắn n a/- Định nghóa : Γ cung song quy định hướng E có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T trường vectơ pháp tuyến đơn vị N dọc Γ Nếu n = E có hướng xác định trường Vectơ đơn vị B = T ∧ N dọc Γ gọi trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc Γ Vậy cho cung song quy định hướng Γ E , có trường mục tiêu trực chuẩn { T , N , B } dọc Γ gọi trường mục tiêu Frénet dọc Γ Khi : B.B = nên Do BT = Mà nên DB ds B = DB DT ds T + B ds = DT DB ds = K.N vaø B.N = nên ds T = Vậy ⇒ DB ds trực giao với T B DB ds phương với N điểm Từ có hàm số T dọc Γ gọi (hàm) độ xoắn Γ để - Công thức Frénet Chứng minh công thức (b) VìN.N=1 T.N = N.B=0 Vậy b Lưu ý Lấy tham số hóa tự nhiên s → r (s) Γ Giả sử lân cận mở U ảnh Γ E có trường mục tiêu trực chuẩn { U1,U2 , U3 } maø U1or = T U2or = N, U3or = B từ phương trình DUi = ∑ wij ⇒ So sánh với công thức Frénet, ta K = w12 ( T ) = - w21 ( T ) T = w23 ( T ) = -w32 ( T ) Coøn w13 (T ) = - w31 ( T ) = 1.2.4 Công thức tính độ cong độ xoắn Cho cung song quy định hướng Γ E xác định tham số hóa γ :J →E t 6γ (t) -68- BẢNG TÓM TẮT ĐỘ CONG GAUSS – ĐỘ CONG TRUNG BÌNHĐƯỜNG TỌA ĐỘ LÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA CỦA MẶT MẶT Phương trình tắc tham số ƒ Mặt cầu 2 x + y +z = R MẶT BẬC f(u,v) = (R cosucosv , R sinucosv, R sinu) HAI ƒ Elipsoid x a y + f(u ,v) = ( a cosu cosv , b sinu cosv , c sinu) b z2 + c =1 -69- ƒ Hyperboloid eliptic y x2 2 z + a b - c x2 f(u,v) = a (v + ) cos u, v Hyperboid ( hai taàng) z x 2y ƒ a + b - c =-1 ƒ f(u,v) a (v − b ) cos u, v (v− v -70- Paraloid eliptic x ƒZ= y a ƒ + 2 b f(x,y) = ( x , y , Paraboloid hyperbolic x ƒZ= a y - b ƒ f(x,y) = ( x , y , -71- MẶT KẺ K=- f(s) = ( K= s s f(δ,t) = (coss+tcos coss, sins + tcoss sins, s t sin ) f(t)= ( cosS0 + tcos S0 sosS0 , SinSo S S tsin ) -72- Helicoid f(s,t) = ( tcoss, tsins, bs ) b≠0 MAËT Tổng quát TRÒN f(s,t) = ( C1(s)cost,C1(s)sint,C2(s) ) XOAY ƒ Torus f(s,t) = ( a+bcoss)cost, (a+bcoss ) sint, bsins) -73- ƒ Catenoid s f(s,t) = (ach MẶT ƒ CỰC e cosx – cosy = TIỂU a Mặt Scherk z ( cosx cosy > ) cost , ach -74- ƒ Maët E f(x,y) = ( x − x + xy 2 , -87- KẾT LUẬN Bằng cách dựa vào kiến thức lý thuyết đường, mặt chương 1, chương luận văn dành cho việc khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt thông dụng gồm: mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đừơng cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay Như biết mặt cụ thể có tham số hóa r (u,v); lưới đường tọa độ u - tham số , v - tham số đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu mặt Vì việc khảo sát đường đường trắc địa cần thiết Luận văn độ cong Gauss, độ cong trung bình đường tọa độ mặt cụ thể đường trắc địa Lý thuyết đường trắc địa giải tổng quát, nhiên việc tìm đường tọa độ đường trắc địa mặt cụ thể chưa đề cập tài liệu hình học vi phân Vì việc tìm độ cong Gauss K, độ cong trung bình , luận văn tập trung tìm đường tọa độ đường trắc địa mặt cụ thể : mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đường cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay việc nghiên cứu giúp ta giải số toán cụ thể vật lý thực tế Như biết mặt có độ cong H = khảo sát Meusnier, ta có: mặt có diện tích cực tiểu tất mặt có biên có H = Vì mặt có H = gọi mặt cực tiểu Lớp mặt có độ cong H = quan tâm nhà toán học Đây đề tài mang tính chất thời Luận văn số mặt có độ cong H = chứng minh -88- mặt kẻ cực tiểu liên thông phần mặt phẳng helicoid Như biết mặt tròn xoay cực tiểu liên thông mặt phẳng Catenoid; phép đẳng cự biến helicoid thành Catenoid ta khảo sát thêm mặt có độ cong H=0 Sherk Enneper -89- TÀI LIỆU THAM KHẢO Alekseevskij – Vinberg – Solodovnilov, Geometry of space of constant curvature, Springer – Verlag 1993 Borisovich – Bliznyakov – Izrailevich, Introduction to topology, Mir Publishers Moscow 1985 Detlef Laugwitz, Differential and Riemannian geometry, Academic Press Inc 1965 Eisenhart, An introduction to differential geometry, Princeùton, 1947 Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968 Martin Lipschultz, Differential geometry, M Graw-Hill, 1969 Postnikov , Smooth manifold, Mir Publishers Moscow 1987 Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 2000 Struik, D.J, Lectures on classical differential geometry, Second edition, A ddison – wesley, Reading, Mass, 1961 10 Su Buchin, Lectures on differential geometry world Scientific Singapore 1980 ... CHƯƠNG Các khái niệm đường – mặt E n Đường E 1.1 1.2 Maët E 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 CHƯƠNG Khảo sát độ cong trung bình độ cong Gauss Của mặt - Độ cong trắc địa – Cung trắc địa I Mặt bậc hai II Mặt sinh... II Mặt sinh đường tiếp tuyến đường cong R III Mặt kẻ IV Mặt tròn xoay CHƯƠNG Mặt cực tiểu Mặt Scherk 2 .Mặt Enneper - Bảng tóm tắt độ cong Gauss – Độ cong Trung bình Độ cong trắc địa mặt KẾT LUẬN... cứu hình học vi phân sau Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm nghiên cứu hình học vi phân đa tạp khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng vấn đề thiếu Đề tài