Chọn ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).. Hướ[r]
(1)TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH
XÁC SUẤT
(2)Bài 1: Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh.Lấy viên bi từ hộp đó.Tính xác xuất để viên bi lấy lần thứ bi xanh
Hướng dẫn
* Số cách lấy viên bi từ hộp 10.9 = 90 (cách)
* Nếu lần lấy bi đỏ lần lấy bi xanh có 6.4 = 24 (cách) * Nếu lần lấy bi xanh lần bi xanh có 4.3 = 12 (cách)
Suy xác suất cần tìm p = =( 24 + ) 90 10
Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy đủ màu
Hướng dẫn
Tổng số viên bi hộp 24 Gọi Ω không gian mẫu
Lấy ngẫu nhiên viên hộp ta có C 4 cách lấy hay n( Ω ) = C
Gọi A biến cố lấy viên bi có đủ màu Ta có trường hợp sau: +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C 2 C1C1 = 2160 cách
+) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C1 C 2C1 = 1680 cách +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C1
C1
C 2
=
1200 cách
Do đó, n(A) = 5040
Vậy, xác suất biến cố A P( A) =
n ( A)
= 5040
n(Ω) 10626
≈ 47, 4%
Bài 3: Từ chữ số tập T = {0;1; 2; 3; 4; 5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên
có ba chữ số khác lên hai thẻ Tính xác suất để hai số ghi hai thẻ có số chia hết cho
Hướng dẫn
+ Có 5.A2 = 100
số tự nhiên có chữ số khác
24 24
10
10
10
(3)+ Có A2 + 4.A1 = 36
số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho
+ Có 64 số tự nhiên có chữ số khác không chia hết cho
+ n (Ω) =
C1 .C
1 = 9900 100 99
+ Gọi A biến cố : “Trong hai số ghi thẻ có số chia hết cho 5”
(4)Ta có: n ( A) =
C1 .C
1 + C1.C1 = 3564
Vậy :
36 64 36 35
P ( A) = n ( A ) = 356 = = 0, 36 n (Ω) 9900 25
Bài 4: Có 20 thẻ đánh số từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho
Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu là: n (Ω) = C 5
= 15504
- Trong 20 thẻ, có 10 thẻ mang số lẻ, có thẻ mang số chẵn chia hết cho 4, thẻ mang số chẵn không chia hết cho
- Gọi A biến cố cần tính xác suất Ta có: n ( A) = C 3 .C1.C1 = 3000
Vậy, xác suất cần tính là: P ( A) = n ( A ) = 3000 = 125 n (Ω) 15504 646
Bài 5: Gọi M tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để số chọn có chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ
số lẻ (các chữ số liền trước liền sau chữ số chữ số lẻ).
Hướng dẫn
Xét số có chữ số khác nhau:
- Có cách chọn chữ số vị trí - Có A8 cách chọn chữ số
Do số số có chữ số khác là: A8 = 3265920
Xét số thỏa mãn đề bài:
- Có C 4 cách chọn chữ số lẻ.
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, chữ số đứng đầu cuối nên có cách xếp
- Tiếp theo ta có cách chọn xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số
20
10
9
9
5
(5)- Cuối ta có 6! cách xếp chữ số lại vào vị trí cịn lại Gọi A biến cố cho, đó n( A) = C 4
.7.A2 6!= 302400
5
(6)Bài 6: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh
để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ
Hướng dẫn - Ta có n (Ω) =
C 3
= 165
- Số cách chọn học sinh có nam nữ là C 2
.C1 + C1
.C 2 = 135
- Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ 135 = 165 11
Bài 7: Hai người bắn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng người 0,8 0,9 Tìm xác suất biến cố cho có người bắn trúng mục tiêu
Hướng dẫn
- Gọi A biến cố người bắn trúng mục tiêu với xác suất 0.8 - B biến cố người bắn trúng mục tiêu với xác suất 0.9 - Gọi C biến cố cần tính xác suất C = A.B + A.B
Vậy xác suất cần tính P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26
Bài 8: Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam, nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ Chọn từ người, tính xác suất người chọn phải có nữ có đủ ba mơn
Hướng dẫn Ta có : Ω = C
4
= 1820
Gọi A: “2nam tốn, lý nữ, hóa nữ”
B: “1 nam tốn, lý nữ, hóa nữ”
C: “1 nam toán, lý nữ, hóa nữ “
Thì H = A ∪ B ∪ C : “Có nữ đủ ba mơn”
C 2
C 1
C 1 + C 1
C 2
C 1 + C 1
C 1
C 2
P(H ) = =
Ω
Bài 9: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh
để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ
11
5
(7)Hướng dẫn n (Ω) = C 3
= 165
(8)- Số cách chọn học sinh có nam nữ là C 2 .C1 + C1.C 2 =
135
- Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ 13 =
165 11
Bài 10: Trong thi “ Rung chng vàng”, đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vịng chung kết, có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia bạn thành nhóm A, B, C, D, nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm
Hướng dẫn
- Có n(Ω) =
C20C15C10C5 cách chia 20 bạn vào nhóm, nhóm bạn
- Gọi A biến cố “ bạn nữ vào nhóm” - Xét bạn nữ thuộc nhóm A có C 5
C 5 C 5 cách chia bạn nam vào nhóm cịn lại - Do vai trị nhóm nhau nên có Ω = 4C 5
C 5 C 5
Khi đó P(A) =
20
A 15 10 5
Bài 11 : Một người có 10 đơi giày khác lúc du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để giày lấy có đơi
Hướng dẫn
- Số cách lấy giày tùy ý : C20 = 4845
- Số cách chọn giày từ đôi (mỗi lấy từ đôi) : (số cách chọn đôi từ 10 đơi)×( số cách chọn chiếc) = C102
Xác suất cần tìm : C
- C
4 20
= 67 969
Bài 12: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, có đội nước đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng A, B, C bảng đội Tính xác suất để đội bóng Việt Nam ba bảng khác Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C 4 .C 4
.C 4
= 34.650
5
15 10
5
C
4
4 4
C
20 10
(9)- Gọi A biến cố “3 đội bong Việt nam ba bảng khác nhau”
- Số kết thuận lợi A n( A) = 3C 3 .2C 3 .1.C 3 = 1080
Xác xuất biến cố A P( A) = n ( A) = 1080 =
5 ≃ 0, 31
n(Ω 34650 173
(10)Bài 13: Có hộp bánh, hộp đựng bánh gồm bánh mặn bánh Lấy ngẫu nhiên từ hộp hai bánh Tính xác suất biến cố năm lần lấy có bốn lần lấy bánh mặn lần lấy bánh
Hướng dẫn
- Gọi Ω không gian mẫu phép thử
- Gọi A biến cố “Trong năm lần lấy có bốn lần lấy bánh mặn lần lấy
được bánh ngọt”.
⇒ n(Ω) = (C2
)5 , n(A) = 5.(C2
)4 C2
⇒ P(A)
= ( C5
2
) C (C2 )5
= 375 ≈ 0, 0087 1075648
Bài 14: Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có mang số chia hết cho 10
Hướng dẫn
- Gọi A biến cố lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10
- Chọn 10 thẻ 30 thẻ có : C1030 cách chọn - Ta phải chọn :
+ thẻ mang số lẻ 15 mang số lẻ có C155 cách chọn
+ thẻ chia hết cho 10 thẻ mang số chia hết cho 10, có : C13 cc
+ thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 12 vậy, có : C412
Vậy xác suất cần tìm : P(A) =
C 5 .C 4 .C 1
99
15 12 =
10
667
Bài 15: Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có học sinh đạt giải mơn Tốn
đều học sinh nam học sinh đạt giải môn Vật lí có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh học sinh đạt giải dự lễ tổng kết năm học tỉnh Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ, đồng thời cịn có học sinh đạt giải mơn Tốn học sinh đạt giải mơn Vật lí
Hướng dẫn
- Không gian mẫu Ω tập hợp gồm tất cách chọn học sinh học sinh
8
5
8
C
(11)đạt giải kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, đó ta có n(Ω) = C3 = 20
- Kí hiệu A biến cố ‘‘4 học sinh chọn có nam nữ, đồng thời cịn có học
sinh đạt giải mơn Tốn học sinh đạt giải mơn Vật lí’’
(12)- Vì có học sinh nữ đạt giải thuộc môn Vật lí, phải chọn tiếp học sinh nam lại phải có mặt hai mơn khác học sinh nam đạt giải mơn Tốn học sinh nam đạt giải mơn Tốn học sinh nam đạt giải mơn
Vật lí Vậy ta có n(A) = + C1 .C1 = ⇒ P(A) = n (A)
=
2
n(Ω)
Bài 16: Một hộp đựng viên bi đỏ giống viên bi xanh giống Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy có đủ hai màu số viên bi màu đỏ lớn số viên bi màu xanh
Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu là: C 4 = 330
- Trong số viên bi chọn phải có viên bi đỏ viên bi xanh - Số cách chọn viên bi đó là: C 3
.C1 = 60
Vậy xác suất cần tìm : P = 60 = 330 11
Bài 17: Một nhóm gồm học sinh có tên khác nhau, có hai học sinh tên An Bình Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh thành hàng dọc Tính xác suất cho hai học sinh An Bình đứng cạnh
Hướng dẫn
- Mỗi cách xếp ngẫu nhiên học sinh thành hàng dọc hoán vị phần tử ⇒ n(Ω) = 6! =
720
(phần tử)
- Gọi A biến cố: "An Bình đứng cạnh nhau".
⇒ n( A) = 5!.2! = 240
(phần tử)
⇒ P( A) = n ( A) = 240 =
n(Ω) 720
(phần tử)
Bài 18: Cho tập A = {0;1; 2; 4; 5; 7;8}.Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số phân
11
(13)biệt lấy từ A Tính số phần tử X Lấy ngẫu nhiên số từ tập X, tính xác suất để số
lấy số chẵn Hướng dẫn
(14)+ Chọn a ≠ , có cách chọn, chọn chữ số b, c, d ≠
a xếp thứ tự có: A
3 =
120 cách
⇒ có tất cả: 6.120 = 720 số tự nhiên
Vậy số phần tử X là: 720 Số phần tử không gian mẫu là: +) Gọi B biến cố: “Số tự nhiên chọn số chẵn”.
n(Ω) = 720
+) Xét số tự nhiên chẵn có chữ số phân biệt lấy từ A, giả sử số có dạng: a1 a2 a3 a4 , a1 ≠ 0, a4 ∈ {0; 2; 4; 8}
+) TH1: a4 = , có cách chọn; chọn chữ
số
a1 , a2 , a3 ≠
0 xếp thứ tự có A
3 = 120
cách chọn ⇒ TH1 có: 1.120 = 120 số tự nhiên +) TH2: a 4 ∈ {2 ; ; 6} , có cách chọn;
chọn
a1 ∈ A \ {0; a4 } , có cách chọn; chọn
chữ số a2 , a3 ∈ A \ {a1;
a4 }
và xếp thứ tự có A2 = 20 cách chọn ⇒ TH2 có: 3.5.20 = 300 số
tự nhiên
⇒ có tất cả: 120 + 300 = 420 số tự nhiên ⇒ Số phần tử thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = 420
+) Vậy: P(B) = n ( B )
= 42 = n(Ω) 720 12
Bài 19: Có 13 thẻ phân biệt có thẻ ghi chữ ĐỖ, thẻ ghi chữ ĐẠI, thẻ ghi chữ HỌC 10 thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để rút thẻ : ĐỖ ; ĐẠI ; HỌC ; ; ; ;
Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu C 7 = 1716
- Có cách chọn thẻ ĐỖ ; ĐẠI ; HỌC ; ; ; 1; Vậy xác suất cần tìm P = 1716 Bài 20: Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ khơng hai cầu màu vàng
Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu Ω = C 4 = 1820
6
5
6
13
(15)(16)- Số cách lấy đỏ, xanh là: C1C 3
- Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C1C 2C1
- Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C1C1C 2
Khi ΩB = C1 14C5 +
C4C7C5 + C4C7 C5= 740
Xác suất biến cố B P ( B ) = Ω B
=
740 =
37
Ω 1820 91
Bài 21: Biết số 10 vé xổ số lại bàn vé có vé trúng thưởng Khi người khách rút ngẫu nhiên vé Hãy tính xác suất cho vé rút có vé trúng thưởng
Hướng dẫn
+ Số phần tử không gian mẫu: Ω = C 5 =252
+ Biến cố A: “Trong năm vé rút có vé trúng thưởng”
⇒ biến cố A : “Trong năm vé rút khơng có vé trúng thưởng”
⇒ Số kết thuận lợi cho biến cố A là C 5
= 56
⇒ Xác suất biến cố A là P( A ) =
252
⇒ Xác suất biến cố A P(A) = − =
252
Bài 22: Trong lơ hàng có 12 sản phẩm khác nhau, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có khơng q phế phẩm
Hướng dẫn
- Mỗi kết lấy sản phẩm từ 12 sản phẩm ứng với tổ hợp chập 12, số kết xảy là: n (Ω) =
C 6
= 924
- Gọi A biến cố: “Lấy sản phẩm có phế phẩm”
- Khi A là biến cố: “Lấy sản phẩm mà có khơng phế phẩm”
4
4
4
8 10
(17)Ta tìm n ( A) = C
2C 4
= 210 ⇒ …
Bài 23: Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có mang số chia hết cho 10
(18)Hướng dẫn
- Gọi A biến cố lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10
- Chọn 10 thẻ 30 thẻ có: C 10 cách chọn Ta phải chọn :
+ thẻ mang số lẻ 15 mang số lẻ
+ thẻ mang số chia hết cho 10 thẻ mang số chia hết cho 10 + thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 12
Theo quy tắc nhân, số cách chọn thuận lợi để xảy biến cố A là: C 15 12 35 C 4 C 1
5
Xác suất cần tìm P( A) = C15 C12 C 3 = 9 10 667
Bài 24: Chọn ngẫu nhiên số từ tập S = {1, 2, ,11} Tính xác suất để tổng ba số chọn
là 12
Hướng dẫn
- Số trường hợp C 3= 165.
- Các (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là :
(1, 2, 9), (1, 3, 8), (1, 4, 7), (1, 5, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (3, 4, 5) Vậy
P = 165
Bài 25: Gọi M tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để số chọn có chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước liền sau chữ số chữ số lẻ)
Hướng dẫn
Xét số có chữ số khác nhau:
- Có cách chọn chữ số vị trí - Có A8 cách chọn chữ số
Do số số có chữ số khác là: A8 = 3265920 Xét số thỏa mãn đề bài:
30
C30
11
9
(19)- Có C 4 cách chọn chữ số lẻ
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, chữ số đứng đầu cuối nên có cách xếp
(20)- Tiếp theo ta có
cách chọn xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số - Cuối ta có 6! cách xếp chữ số cịn lại vào vị trí cịn lại
Gọi A biến cố cho, n( A) = C 4 .7.A2 .6!= 302400.
Vậy xác suất cần tìm P( A) =
30240 =
3265920 54
Bài 26: Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Lấy ngẫu nhiên viên bi cộng số viên bi lại với Tính xác suất để kết thu số lẻ Hướng dẫn
- Gọi Ω tập hợp cách lấy viên bi từ 11 viên bi ban đầu, ta có - Số viên bi đánh số lẻ 6, số viên bi đánh số chẵn
- Gọi A biến cố lấy viên bi có tổng số lẻ TH1 Trong viên lấy có viên bi lẻ, viên bi chẵn
n (Ω) = C4
= 330
Suy TH1 có C1 C3 = 6.10 = 60 cách
TH2 Trong viên lấy có viên bi lẻ, viên bi chẵn Suy TH2 có C3 C1 = 20.5 = 100 cách
Vậy n (A ) = C
1 C3 + C3 C1 = 160
Suy P (A ) =
n ( A )
== 16 =
6 n (Ω)
330 33
Bài 27: Trường THPT Trần Quốc Tuấn có 15 học sinh Đồn viên ưu tú, khối 12 có nam nữ, khối 11 có nam nữ, khối 10 có nam nữ Đồn trường chọn nhóm gồm học sinh Đoàn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt sĩ Tính xác suất để nhóm chọn có nam nữ, đồng thời khối có học sinh nam
Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu: Ω = C 4
= 1365
- Gọi biến cố A: “nhóm chọn có nam nữ, đồng thời khối có học sinh
nam”
- Số phần tử biến cố A: Ω = C
1.C1 .C1 .C1 = 96
Vậy: P( A) = =
A 3
1365 455 A4
11
6
6
(21)Bài 28: Xét số tự nhiên có chữ số khác Tìm xác suất để số tự nhiên có chữ số khác lấy từ số thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước
(22)- Các số tự nhiên có chữ số khác nhau: a1 ≠ ⇒ Có cách chọn a1
a1a2 a3a4
a5
trong ai ≠ a j với i ≠ j
+ Mỗi cách chọn a1 có cách chọn a2
+ Mỗi cách chọn a1, a2 có cách chọn a3
+ Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có cách chọn a4
+ Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có cách chọn a5
⇒ Ω = 9.9.8.7.6 = 27216
- Xét biến cố A: “Số có năm chữ số lấy thoả mãn chữ số đứng sau lớn chữ số
đứng trước” Vì chữ số đứng trước số nên xét tập hợp:
X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9} Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách
xếp theo thứ tự tăng dần ⇒ Ω =
C5 ⇒ P ( A) =
12
=
A
27216 216
Bài 29: Một hộp chứa bi màu vàng, bi màu đỏ bi màu xanh có kích thước trọng lượng nhau, lấy ngẫu nhiên bi hộp Tính xác xuất cho bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ
Hướng dẫn
Gọi A biến cố: “trong bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ” Trường hợp 1: Chọn bi vàng, bi đỏ bi xanh
Trường hợp 2: Chọn bi vàng, bi đỏ bi xanh Trường hợp 3: Chọn bi vàng, bi đỏ
( ) 2
⇒ n A = C 6 C 5
C 4
+ C 6 C 5 C
4
+ C 6 C
5
=
- Gọi khơng gian mẫu Ω số trường hợp xảy lấy ngẫu nhiên bi hộp chứa 15 bi: ⇒ n (Ω) =
C 8
= 6435
Vậy xác suất cho bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ là:
P ( A) = n ( A ) = 142 = 95
n (Ω) 6435 429
(23)Bài 30: Có hộp bi, hộp thứ có bi đỏ bi trắng, hộp thứ hai có bi đỏ bi trắng Chọn ngẫu nhiên hộp viên, tính xác suất để bi chọn màu
Hướng dẫn
- Gọi w không gian mẫu: tập hợp cách chọn ngẫu nhiên hộp viên bi
(24)Gọi A biến cố bi chọn màu ⇒ n( A) = 4.2 + 3.4 = 20
Vậy xác suất biến cố A P(A)= n ( A) = 20 = 10 n(w) 42 21
Bài 31: Trong hộp kín có 50 thẻ giống đánh số từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất lấy hai thẻ mang số chia hết cho
Hướng dẫn
Gọi Ω khơng gian mẫu - Chọn thẻ 50 thẻ có C
3
cách chọn
⇒ số phần tử không gian mẫu là: n (Ω) = C3
= 19600
- Gọi A biến cố “ Trong thẻ lấy có hai thẻ mang số chia hết cho 8” - Từ đến 50 có số chia hết cho
Do số cách chọn thẻ có thẻ chia hết cho : C 2
.C1
= 660
⇒ số kết thuận lợi cho biến cố A n ( A ) = 660
Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên thẻ có hai thẻ mang số chia hết cho là:
P ( A ) = 6
= 3
19600 980
Bài 32: Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi mơn có mơn bắt buộc Tốn, Văn, Ngoại ngữ mơn thí sinh tự chọn số mơn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, 10 học sinh chọn mơn Vật lí 20 học sinh chọn mơn Hóa học Lấy ngẫu nhiên học sinh trường X Tính xác suất để học sinh ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học
Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu nΩ 40
- Gọi A biến cố “3 học sinh chọn ln có học sinh chọn mơn Vật lý học sinh
chọn mơn Hóa học”
- Số phần tử biến cố A n = C1 .C 2
50
50
6 44
3
(25)+ C 2
.C1 + C1
.C1
.C1
A 10 20 10 20 20 10 10
Vậy xác suất để xảy biến cố A P = n A
= 12
nΩ 247
Bài 33: Một hộp chứa bi màu vàng, bi màu đỏ bi màu xanh có kích thước trọng lượng nhau, lấy ngẫu nhiên bi hộp Tính xác xuất cho bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ
(26)Hướng dẫn
- Gọi A biến cố: “trong bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ” Trường hợp 1: Chọn bi vàng, bi đỏ bi xanh
Trường hợp 2: Chọn bi vàng, bi đỏ bi xanh Trường hợp 3: Chọn bi vàng, bi đỏ
( ) 2
⇒ n A = C 6 C 5 C 4
+ C 6 C 5 C
4
+ C 6 C
5
=
- Gọi không gian mẫu Ω số trường hợp xảy lấy ngẫu nhiên bi hộp chứa 15 bi: ⇒ n (Ω) =
C 8
= 6435
Vậy xác suất cho bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ
là: P ( A) = n ( A ) = 142 = 95
n (Ω) 6435 429
Bài 34: Một lớp học có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng làm tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Hướng dẫn
- Khơng gian mẫu Ω tập hợp tất gồm học sinh chọn từ 25 học sinh nên ta có: n (Ω) =
C 4
= 12650
- Gọi A biến cố “4 học sinh chọn có nam nữ” Có trường hợp:
+ Chọn nữ nam: có C1 C 3
+ Chọn nữ nam: có C 2 C
2
+ Chọn nữ nam: có C 3 C1
= 4550
= 4725
= 1800
Suy số cách chọn học sinh có nam nữ là: 4550 + 4725 + 1800 = 11075
Vậy: P ( A) = n ( Ω A ) = 110 75 = 443 ≃ 0, 875 n (Ω) 12650 506
15
25
10 15
10 15
(27)Bài 35: Trong thùng có chứa đèn màu xanh khác đèn đỏ khác Lấy ngẫu nhiên đèn mắc vào chi mắc nối tiếp Tính xác suất A: “mắc đèn xanh
Hướng dẫn
- Ta có: n C (3Ω) = , n ( A) = C
2
.C1 ⇒ P ( A) =
15
(28)Bài 36: Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam, nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác , tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba môn
Hướng dẫn
- Chọn ngẫu nhiên nhà khoa học 16 nhà khoa học có C
4
cách
+ Chọn nhà toán học nam, nhà vật lý nữ, nhà hóa học nữ có C 2 .C1.C1
+ Chọn nhà toán học nam, nhà vật lý nữ, nhà hóa học nữ có C1.C 2 .C1
+ Chọn nhà toán học nam, nhà vật lý nữ, nhà hóa học nữ có C1.C1.C
2
cách
cách
cách
Vậy xác suất cần tìm : P = C 2 .C 1.C 1 + C 1.C 2 .C 1 + C 1.C 1.C =2
16
Bài 37: Gieo súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm Tính xác suất để phương trình
Hướng dẫn
x2 + bx + =
có hai nghiệm phân biệt
- Có khả xảy tung súc sắc nên số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6 - Gọi A biến cố: phương trình x2
+ bx + =
0 (*) có hai nghiệm phân biệt
- (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ b2 − > ⇔ b ∈{3; ; 5; 6} ⇒ n( A) =
Xác suất cần tìm P( A) = n ( A) = n(Ω)
Bài 38: Cho hộp đựng 12 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để lấy viên bi màu đỏ Hướng dẫn
- Gọi Ω tập hợp tất cách lấy viên bi số 12 viên bi Ta có: Ω = C 3
= 220
- Gọi A biến số “lấy viên bi màu đỏ” Số cách lấy viên bi màu đỏ http://megabook.vn/
16
8
8
8
7 C
(29)7 viên bi màu đỏ Ω = C 3 = 35
A 7
Ω 35
- Vậy xác suất P(A) để lấy viên bi màu đỏ : P( A) = A = =
Ω 220 44
Bài 39: Cho đa giác 30 cạnh Gọi S tập hợp tứ giác tạo thành có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác Chọn ngẫu nhiên phần tử S Tính xác suất để hình chữ nhật
(30)Hướng dẫn
- Số tứ giác tạo thành với đỉnh lấy từ đỉnh đa giác C 4 - Suy n(S ) = n(Ω) = C 4
- Gọi A biến cố tứ giác hình chữ nhật - Số đường chéo đa giác qua tâm đa giác đều: 15
- Số hình chữ nhật tạo thành : C 2⇒ n( A) = C 2 ⇒ p( A) =
n ( A) = n(Ω) 261
Bài 40 : Từ chữ số 1;2;3;4;5 lập số tự nhiên có năm chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho
Hướng dẫn - Gọi a1a2 a3a4
a5
là số tự nhiên cần tìm,
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 thuộc {1; 2; 3; 4; 5}
- Sắp chữ số vào ba vị trí, có C 3 = 10 (cách)
- Cịn lại hai vị trí, chữ số Chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí đó, có C 2 =
12
(cách)
- Vậy khơng gian mẫu có 10.12 =
120 phần tử
- Gọi A biến cố: “số chọn chia hết cho 3”, có hai phương án: + Hai chữ số lại 5, có C 3 2! = 20 số
+ Hai chữ số lại 4, có C 3 2! = 20 số
Vậy biến cố A có 40 phần tử Xác suất biến cố A là: P = = 120
Bài 41: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ
Hướng dẫn + n (Ω) = C3
= 165
+ Số cách chọn học sinh có nam nữ C 2 .C1 + C1
.C 2 = 135
http://megabook.vn/ 30 30 15 15 5 11
(31)Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ 13 = 165 11
Bài 42: Một người chọn ngẫu nhiên hai giày từ bốn đơi giày cỡ khác Tính xác suất để hai chọn tạo thành đôi
Hướng dẫn
(32)- Số phần tử không gian mẫu số cách chọn giày từ tùy ý
n(Ω) = C
2
= 28
- Kí hiệu A biến cố chọn hai giày đôi Số cách chọn đôi
4 đôi giày cách Do n(A) = Vì P(A) =
Bài 43: Tại điểm thi kì thi Trung học phổ thơng quốc gia có 10 phịng thi gồm phịng phịng có 24 thí sinh phịng phịng có 25 thí sinh Sau buổi thi, phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh số thí sinh dự thi buổi để vấn Giả sử khả chọn để vấn thí sinh Tính xác suất để 10 thí sinh chọn vấn khơng có thí sinh thuộc phịng thi
Hướng dẫn
- Tổng số thí sinh điểm thi: 6.24+4.25=244 (thí sinh)
- Khơng gian mẫu Ω tập hợp gồm tất cách chọn 10 thí sinh từ 244 thí sinh điểm thi
- Ta có: n (Ω) = C10
- Kí hiệu X biến cố "Trong 10 thí sinh chọn phỏng
vấn thí sinh thuộc phòng thi" ⇒ n ( X ) = 246.254
- Xác suất cần tìm là: P = n ( X ) n (Ω)
2 6 25 4
= ≈ 4, 37.10−4
244
Bài 44: Có 300 học sinh đăng ký Có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A Bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói Tìm xác suất để có 90% số học sinh đạt yêu cầu
Hướng dẫn
- Gọi A biến cố: “Chọn 90% học sinh đạt yêu cầu”. - Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có C
(33)cách chọn
- Chọn 90% học sinh đạt yêu cầu, tức chọn 27 em Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có C 27cách
- Chọn nốt em từ 250 em cịn lại có C 3 cách
- Số cách chọn học sinh đạt yêu cầu là: C 27
C 3
50 250
http://megabook.vn/
50
(34)Xác suất biến cố A là C
27
.C
3
P( A) = 50
300
≈ 1, 6.10−21
Bài 45: Một tổ có học sinh (trong có học sinh nữ học sinh nam) Xếp ngẫu nhiên học sinh thành hàng ngang Tìm xác suất để học sinh nữ đứng cạnh
Hướng dẫn
Gọi A biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”
+ Số biến cố đồng khả năng: Xếp học sinh ngẫu nhiên, có số hốn vị 7! + Số cách xếp có học sinh nữ cạnh nhau:
Coi học sinh nữ phần tử, kết hợp với học sinh nam suy có phần tử, có 5! cách xếp Với cách xếp lại có 3! cách hốn vị học sinh nữ Vậy có 5!.3! cách xếp
+ Xác suất biến cố A là: p ( A) = 5!.3!
= ( p( A) ≈ 0.14) 7!
Bài 46: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ chữ số
0,1, 2,3, 4, 5,6 Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn có chữ số
hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm Hướng dẫn
- Gọi số cần tìm tập S có dạng abc (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c, a, b, c ∈{0,1, 2,3, 4, 5,6})
- Số cách chọn chữ số a có cách (vì a ≠ ) - Số cách chọn chữ số b có cách (vì b ≠ a ) - Số cách chọn chữ số c có cách (vì c ≠ a, c ≠ b )
- Vậy S có 6.6.5 = 180 (số) Số phần tử không gian mẩu
Ω = 180
- Gọi A biến cố “số chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm” Khi ta có số thỏa mãn biến cố A là: 1b2, 2b4, 3b6 b có cách
chọn nên có 3.5 = 15 (số) Các kết có lợi cho biến cố A
là ΩA = 15
http://megabook.vn/
(35)Vậy P ( A) =
ΩA = 15 =
1
Ω 180 12
Bài 47: Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tổng số ghi thẻ chia hết cho
Hướng dẫn
(36)+ Để thẻ rút có tổng chia hết cho thẻ phải có dạng: 3k; 3k +1; 3k +
+ Ta thấy ≤ 3k ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9;10} , loại thẻ 3k có 10 thẻ + Tương tự ≤ 3k +1 ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9} , loại thẻ 3k +1 có 10 thẻ
+ ≤ 3k + ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9}, loại thẻ 3k + có 10 thẻ
Như vậy: để tổng số ghi thẻ chia hết cho ta có TH sau: - TH1: rút thẻ 3k có cách
- TH2: rút thẻ 3k +1 có - TH3: rút thẻ 3k + có
3
cách
3 cách
- TH4: rút thẻ 3k, thẻ 3k +1 , thẻ 3k + có 10.10.10 cách
Đáp số:
C + C 3 + C 3 +
10
10 p = 1 10 10
30
Bài 48: Một hộp đựng 52 bóng đèn có bóng đèn bị hỏng Lấy ngẫu nhiên lúc bóng đèn Tính xác suất để bóng đèn lấy có bóng đèn bị hỏng
Hướng dẫn
+ Số cách lấy lúc bóng đèn từ 52 bóng đèn = 22100(cách)
+ Gọi A biến cố “Trong bóng đèn lấy có bóng bị hỏng”
⇒ A biến cố “Trong bóng lấy khơng có bóng hỏng”
⇒ số cách lấy bóng mà khơng có bóng hỏng
⇒ p(A) = − P(A) = − 17 = 120 22100 5525
3
52−4 =
17296 (cách)
Bài 49: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Tính xác suất để chọn nhóm đồng ca gồm người phải có nữ
Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu C
(37)- Số phần tử biến cố “ người có nữ” :
3
- Vậy xác suất
C5 .C10 + C5 .C10 + C5 .C10
p = 3690 6453
= 3690
(38)Bài 40: Một lớp học có 25 học sinh nam 15 học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên nhóm học sinh Tính xác suất để nhóm học sinh chọn có học sinh nữ
Hướng dẫn
- Số học sinh lớp học 25+15=40
- Mỗi cách chọn học sinh 40 học sinh tổ hợp chập 40 nên không gian mẫu Ω gồm tổ hợp chập 40 ⇒ n(Ω) = C 3
- Gọi A biến cố “chọn nhóm học sinh có học sinh nữ” ⇒ A
“chọn nhóm học sinh nam”
là biến cố
- Số cách chọn học sinh nam 25 học sinh nam số tổ hợp chập
25 ⇒ n(A) = C
3
n ( A) C 3 11 37 9
⇒ p(A) = = 25 = ⇒ p( A) = − p(A) =
25
n(Ω) 494 494
http://megabook.vn/
40