Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình - THCS.TOANMATH.com

Sau khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn một ngày.. Tính số sản phẩm làm trong mỗi ngày theo quy định.[r]

1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ĐẠI SỐ

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bước 1: Lập phương trình:

 Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

 Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết;

 Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận

II.BÀI TẬP MINH HỌA

A.DẠNG BÀI CƠ BẢN

Phương pháp chung

Bước 1: Kẻ bảng được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn

Bước 2: Giải thích ô bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện trả lời toán

Dạng 1: Toán Chuyển Động

Loại 1.Chuyển động Phương pháp

Bước 1: Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, qng đường điền thơng tin vào bảng gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn

Bước 2: Giải thích bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện trả lời tốn

2 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B

Ví dụ Một người từ A đến B với vận tốc dự định km/h Sau nửa quãng đường AB với vận tốc đó, người tơ với vận tốc 30 km/h, đến B sớm dự định 10 phút Tính chiều dài quãng đường AB

Ví dụ Một người dự định xe đạp từ Ađến B cách 60 km thời gian định Sau 30 km người dừng lại nghỉ 30 phút Do đó, để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định người

Ví dụ Một tơ dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu tơ

Loại 2.Chuyển động dịng nước

-Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng ca nơ + vận tốc dòng nước ( viết tắt vx= vr + vn)

Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng ca nơ – vận tốc dịng nước ( viết tắt vng= vr - vn, ý vr > )

-Quãng đường = vận tốc x thời gian; Sx= vx.tx; Sng= vng.tng

Ví dụ :Để đoạn đường từ A đến B, xe máy phải hết 3giờ 30’; ô tô hết 2giờ 30’ phút Tính quãng đường AB Biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h

Ví dụ 2: Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng

Dạng 2: Tốn Năng Suất

3 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com -Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian -Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất

Ví dụ : Trong tháng đầu hai tổ cơng nhân xí nghiệp dệt 800 thảm len Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ vượt mức 20% nên hai tổ dệt 945 thảm len Tính xem tháng thứ hai tổ dệt thảm len

Ví dụ Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất Sau làm 400 sản phẩm, tổ tăng suất thêm ngày 10 sản phẩm, hồn thành cơng việc sớm ngày Tính số sản phẩm làm ngày theo quy định

Ví dụ Một người thợ làm 120 sản phẩm thời gian suất dự định Khi làm 50 sản phẩm, người thợ nhận thấy làm với suất thấp suất dự định sản phẩm ngày Do đó, để hồn thành thời gian định, người thợ tăng suất thêm sản phẩm ngày so với dự định Tính suất dự định người thợ

Dạng 3: Tốn Làm Chung Cơng Việc

Ví dụ Hai đội cơng nhân sửa mương hết 24 ngày Mỗi ngày phần việc

làm đội phần việc đội làm Nếu làm mình, đội

sửa xong mương ngày?

Ví dụ Khối trường THCS có số lớp nhiều 2, tổ chức trồng cây:

Lớp thứ trồng

5 số lại.Lớp thứ hai trồng tiếp 10

5 số

lại.Lớp thứ ba trồng tiếp 15

5 số lại.Cứ trồng đến lớp cuối vừa hết số số lớp trồng Tính số mà khối trồng số lớp khối tham gia trồng

4 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ Trong tháng giêng hai tổ cơng nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%, hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy?

Dạng 4: Tốn Có Nội Dung Hình Học

Dạng ta cần ghi nhớ công thức chu vi, diện tích hình tam hình vng, hình chữ nhật,

Ví dụ Lan có miếng bìa hình tam giác ABC vng A, cạnh AB = 3cm Lan tính cắt từ miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 2cm hình bên hình chữ nhật có diện tích nửa diện tích miếng bìa ban đầu Tính độ dài cạnh AC tam giác ABC

Ví dụ Một hình chữ nhật có chu vi 320m tăng chiều dài thêm 10m tăng chiều rộng thêm 20m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 2700m2 Tính kích thước hình chữ nhật

Dạng Dạng tốn có chứa tham số

Ví dụ : Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất tháng a% (a số cho trước) lãi tháng tính gộp vào vống cho tháng sau

a Hãy viết biểu thức biểu thị : + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;

+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất; + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai

b Nếu lãi suất 1,2% (tức a = 1,2) sau tháng tổng số tiền lãi 48,288 nghìn đồng, lúc đầu bà An gửi tiền tiết kiệm?

Dạng Toán tỉ lệ chia phần

Ví dụ Hai đội cơng nhân tham gia lao động công trường xây dựng Số người đội I gấp hai lần số người đội II Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II

số người đội II

5 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ví dụ Học kì I số học sinh lớp 8A

8 số học sinh lớp Sang học kì II có ba

bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi Do số học sinh giỏi 20% số học sinh lớp Hỏi lớp 8A có học sinh giỏi

Dạng 7.Dạng toán liên quan đến số học

Phương Pháp: Ở chương trình đại số lớp 8, em thường gặp loại tìm số tự nhiên có hai chữ số, loại tốn tương đối khó em; để giúp học sinh đỡ lúng túng giải loại trước hết phải cho em nắm số kiến thức liên quan : - Cách viết số hệ thập phân

- Mối quan hệ chữ số, vị trí chữ số số cần tìm…; điều kiện chữ số Ví dụ “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho

Ví dụ 2.Tìm số tự nhiên có chữ số tận Biết xóa chữ tận số nhỏ số đầu 2003 đơn vị

Ví dụ 3.Cho phân số 37

53 Hãy tìm số tự nhiên m cho đem tử số mẫu số trừ

m phân số

Dạng : Dạng tốn có nội dung vật lý, hóa học

Phương Pháp Để lập phương trình, ta phải dựa vào công thức, định luật vật lý, hóa học liên quan đến đại lượng có đề tốn

Ví dụ : Biết 200g dung dịch chứa 50g muối Hỏi phải pha thêm gam nước vào dung dịch để dung dịch chứa 20% muối?

6 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN

Dạng 1: Toán Chuyển Động

Loại 1.Chuyển động

Ví dụ 1.Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược Xe từ A có vận tốc 40 km/h, xe từ B có vận tốc 30 km/h Nếu xe từ B khởi hành sớm xe từ A xe gặp địa điểm cách A B Tìm độ dài quãng đường AB

Giải Gọi độ dài quãng đường AB x (km), với x 0

Vì hai xe gặp địa điểm cách A B nên quãng đường xe x

(km)

Thời gian

2 quãng đường AB xe từ A là.2.40 80

x x

 (h)

Thời gian

2 quãng đường AB xe từ B là.2.30 60

x x

 (h)

Theo đề ta có phương trình: 1440 60 80

x x x

   

Vậy quãng đường AB dài 1440 km

Ví dụ Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B

Lời giải

Vận tốc Thời gian Quãng đường

Lúc x 24

x

24

Lúc x4 24

4

x 24

7 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Vận tốc từ B trở A x4 (km/h)

Thời gian lúc lúc 24

x 24

4

x (giờ)

Vì thời gian thời gian 30phút

 nên ta có phương trình :

 2

2

24 24 24( 4) 24 96 ( 4) ( 4)

4 192 4 196 196 14 12 (TM), 16 (L)

x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

 

     

  

                   

Vậy vận tốc lúc 12 (km/h)

Ví dụ Một người từ A đến B với vận tốc dự định km/h Sau nửa quãng đường AB với vận tốc đó, người tơ với vận tốc 30 km/h, đến B sớm dự định 10 phút Tính chiều dài quãng đường AB

Lời giải

Đổi 10 phút = 13

Gọi chiều dài quãng đường AB x (km), (x > 0)

Thời gian người nửa quãng đường AB với vận tốc km/h

8 :

x

x  (giờ)

Thời gian người qng đường cịn lại với vận tốc 30 km/h

60 30 :

x

x  (giờ)

Theo đề bài, người đến B trước 10 phút (

13giờ)nên ta có phương trình :

6 13 60 8 

x x

8 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ Một người dự định xe đạp từ Ađến B cách 60 km thời gian định Sau 30 km người dừng lại nghỉ 30 phút Do đó, để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định người

Lời giải

Vận tốc Thời gian Quãng đường

Dự định X 60

x

60

Thực tế X 30

x

30

x + 30

2 x

30

Đổi 30 phút = 2giờ

Gọi vận tốc dự định x ( km/h) Điều kiện: x >

Thời gian dự định 60

x (giờ)

Thời gian người 30 km đầu 30

x (giờ)

Thời gian người 60 – 30 = 30 km lại 30

x ( giờ) Do xe đến B hạn nên ta có phương trình

30 x +

30 x +

1 2=

60 x 

30 x -

30 x =

1

60

( 2) x x

 



 x2 + 2x - 120 = x2 + 2x + – 121= (x+1)2 = 121 x+ 1=11 x= 10 ( thỏa mãn), x= -12 (loại)

9 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô

Lời giải

Vận tốc Thời gian Quãng đường

Dự định X 120

x

120

Thực tế X x

x + 120

6 x x



 120 - x

Đổi 10 phút = 6giờ

Gọi vận tốc lúc đầu ô tô x ( km/h) Điều kiện: x >

Thời gian dự định ô tô 120

x (giờ)

Trong đầu ô tô x (km) nên quãng đường lại 120 - x (km)

Thời gian ô tô quãng đường lại 120

x x



 (giờ) Do xe đến B hạn nên ta có phương trình

120 x x   +1+ =

120 x  120 x - 120 x x   =

2 720 7 ( 6) x

x x 

 



 6(x2+ 720)=7(x2+ 6x)x2 + 42x – 4320 = ( x – 48 )( x + 90 )=

x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại)

Vậy vận tốc lúc đầu ô tô 48 ( km/h)

10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ :Để đoạn đường từ A đến B, xe máy phải hết 3giờ 30’; ô tơ hết 2giờ 30’ phút Tính qng đường AB Biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h

Đối với toán chuyển động, ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ta vẽ sơ đồ minh họa học sinh dễ hình dung tốn

Tóm tắt:

Đoạn đường AB 

t1 = 30 phút = 3,5 giờ; t2 = 30 phút = 2,5 v2 lớn v1 20km/h (v2 – v1 = 20)

Tính quãng đường AB=?

- Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy)

- Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian - Các số liệu biết:

+ Thời gian xe máy : 30’ + Thời gian ô tô :2 30’ + Hiệu hai vận tốc : 20 km/h

- Số liệu chưa biết: vxe máy? vôtô? sAB ?

Cần lưu ý : Hai chuyển động quãng đường không đổi Quan hệ đại lượng s, v, t biểu diễn công thức: s = v.t Như tốn có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên chọn x (km) chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x >

Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biết

Vận tốc xe máy :

3,5x (km/h)

Vận tốc ôtô :

2,5x (km/h)

Dựa vào mối liên hệ đại lượng(v2 – v1 = 20)

20

2,5 3,5x  x 

11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

- Giải phương trình ta x = 175 Giá trị x phù hợp với điều kiện Vậy ta trả lời chiều dài đoạn AB 175km

Sau giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy : Như ta phân tích tốn cịn có vận tốc xe chưa biết, nên việc chọn quãng đường ẩn, ta chọn vận tốc xe máy vận tốc ôtô ẩn

- Nếu gọi vận tốc xe máy x (km/h) : x > Thì vận tốc ơtơ x + 20 (km/h)

- Vì qng đường AB khơng đổi nên biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy ôtô đi)

- Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20) Giải phương trình ta được: x = 50

Ví dụ 2: Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng

Lời giải

Vận tốc Thời gian Qng đường

Xi dịng x + 48

2 x

48

Ngược dòng x – 60

2

x 60

Gọi vận tốc tàu nước yên lặng x ( km/h) Điều kiện: x > Vận tốc lúc xi dịng ngược dịng x + 2; x – (km/h)

Thời gian xi dịng ngược dịng 48 x

60

x (giờ)

Vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng nên ta có phương trình 60

2 x

-48

x =1 

60( 2) 48( 2) ( 2)( 2)

x x

x x

  



  

12 216 x x

 



12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x– =16 x = 22 ( thỏa mãn), x = - 10 (loại)

Vậy vận tốc tàu thủy nước yên lặng 22 ( km/h)

Dạng 2: Tốn Năng Suất

Ví dụ : Trong tháng đầu hai tổ cơng nhân xí nghiệp dệt 800 thảm len Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ vượt mức 20% nên hai tổ dệt 945 thảm len Tính xem tháng thứ hai tổ dệt thảm len

Hướng dẫn : Trong toán số thảm len hai tổ dệt trang tháng đầu tháng thứ hai biết Số thảm len tổ dệt tháng đầu, tháng thứ hai chưa biết Ta chọn x số thảm len mà tổ I dệt tháng đầu Theo mối quan hệ đại lượng đề ta có bảng sau :

Số thảm len Tổ I Tổ II Cả hai tổ Tháng đầu x 800 - x 800

Tháng thứ hai

100

115x  

100 800 120 x

945

Cơ sở để lập phương trình tổng số thảm len hai tổ dệt tháng thứ hai 945

Lời giải :

Gọi số thảm len tổ I dệt tháng đầu x (x  Z+, x < 800)

Trong tháng đầu hai tổ dệt 800 thảm len nên số thảm len tổ II dệt tháng đầu (800 - x)

Tháng thứ hai tổ I dệt

100 115 100

15 x

x

x  (tấm thảm)

Tháng thứ hai tổ II dệt

100 ) 800 ( 120 ) 800 ( 100

20 ) 800

( x  x  x (tấm thảm)

Theo đề tháng hai hai tổ dệt 945 thảm nên ta có phương trình :

945 100

) 800 ( 120 100

115x  x 

13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Vậy : Trong tháng thứ hai tổ I dệt 345 100

300

115  (tấm thảm len), tổ II dệt

600 100

) 300 800 (

120   (tấm thảm len)

Ví dụ Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất Sau làm 400 sản phẩm, tổ tăng suất thêm ngày 10 sản phẩm, hồn thành cơng việc sớm ngày Tính số sản phẩm làm ngày theo quy định

Lời giải

Số sản phẩm/ngày Số ngày Tổng số sản phẩm

Dự kiến x 600

x 600

Thực tế

x 400

x 400

10

x 200

10

x 200

Gọi số sản phẩm dự kiến làm ngày x (sản phẩm) Điều kiện: x0

Thời gian dự kiến 600

x (ngày)

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu 400

x (ngày)

Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau 200

10

x (ngày)

14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

600 400 200 200 200 200( 10) 200

1 1 1

10 10 ( 10)

x x

x x x x x x x

 

 

       

  

 

2 10 2000 0 10 25 2025 0 ( 5)2 2025.

x x x x x

           

5 45 40

x x

      ( thỏa mãn), x 50(loại)

Vậy số sản phẩm dự kiến làm ngày 40 (sản phẩm)

Ví dụ Một người thợ làm 120 sản phẩm thời gian suất dự định Khi làm 50 sản phẩm, người thợ nhận thấy làm với suất thấp suất dự định sản phẩm ngày Do đó, để hồn thành thời gian định, người thợ tăng suất thêm sản phẩm ngày so với dự định Tính suất dự định người thợ

Lời giải

Số sản phầm/ngày Số ngày Tổng số sản phẩm

Dự định x 120

x 120

Thực tế

2

x 50

2

x 50

2

x 70

2

x 70

Gọi số sản phẩm ngày người thợ cần làm theo dự định x (sản phẩm) Điều kiện: x2

Số ngày theo dự định 120

x (ngày)

Trong 50 sản phẩm đầu, ngày người thợ làm x2 (sản phẩm) nên số ngày

làm 50 sản phẩm đầu 50

2

15 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Trong 120-50=70 sản phẩm sau, ngày người thợ làm x2 (sản phẩm) nên số

ngày làm 70 sản phẩm đầu 70

2

x (ngày)

Do thực tế người hồn thành dự định nên ta có phương trình:

2

50 70 120 120 40 120

2 2 4

x

x x x x x



   

  

2

120x 40x 120x 480 x 12

      ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sản phẩm ngày người thợ dó cần làm theo dự định 12 (sản phẩm)

Dạng 3: Tốn Làm Chung Cơng Việc

Ví dụ Hai đội công nhân sửa mương hết 24 ngày Mỗi ngày phần việc

làm đội phần việc đội làm Nếu làm mình, đội

sẽ sửa xong mương ngày? Lời giải:

Gọi số ngày đội phải làm để sửa xong mương x ( ngày) Điều kiện x >

Trong ngày đội làm công việc

Trong ngày đội làm (công việc )

Trong ngày hai đội làm công việc

Theo ta có phương trình:

24 + 36 = x

x = 60 thoả mãn điều kiện

Vậy, thời gian đội làm sửa xong mương 60 ngày

2

1

1

2 x 2x

1 24

1

2 24 x x 

16 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Mỗi ngày đội làm công việc

Để sửa xong mương đội làm 40 ngày

Chú ý: Ở loại toán , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ước Từ lập phương trình giải phương trình

Ví dụ 2.Khối trường THCS có số lớp nhiều 2, tổ chức trồng cây:

Lớp thứ trồng

5 số lại

Lớp thứ hai trồng tiếp 10

5 số lại

Lớp thứ ba trồng tiếp 15

5 số lại

Cử trồng đến lớp cuối vừa hết số số lớp trồng Tính số mà khối trồng số lớp khối tham gia trồng

Tìm cách giải Đây tốn hay khó Cách phân bổ trồng:

Lớpthứ trồng

5 số lại Lóp thứ hai trồng tiếp 5.2

5cây

lại Lớp thứ ba trồng tiếp 5.3

5 số số lại Ta lưu ý lớp cuối vừa hết số đặc biệt số lóp trồng Vì ta chọn ẩn x toàn số mà khối trồng cần tìm số lóp thứ trồng, số lớp thứ hai trồng có phương trình

Giải

Gọi tổng số khối trồng là: x cây; x *

Số lớp thứ trồng là: 1 5

5

 x  x (cây)

Số lại sau lớp thứ trồng : 4

5

 



   

x x x (cây)

Lớp thứ hai trồng là: 10 4 10 36

5 5x 25x

 



     

3

17 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Do số lóp trồng nên ta có phương trình:

1 36

4

5x 25x (1)

Giải phương trình  1 16 80

25

 x  x

Giá trị thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy so khối trồng 80

Mỗi lớp trồng: 1.80 20

5   (cây)

Số lớp tham gia trồng cây: 80: 20 = (lớp)

Ví dụ Trong tháng giêng hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%, hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Giải Gọi x số chi tiết máy tổ I làm tháng giêng (xnguyên dương ) số chi tiết máy mà tổ II làm tháng giêng ( 800 – x) Sang tháng hai, tổ I, tổ II làm

115

100x 120 800100 x chi tiết máy

Theo đề ta có phương trình: 115 120 800  945 100x100  x Giải ra, ta x 300 thỏa mãn điều kiện đề

Vậy tháng giêng tổ I làm 300 chi tiết máy tổ II làm 500 chi tiết máy

Dạng 4: Tốn Có Nội Dung Hình Học

Ví dụ Lan có miếng bìa hình tam giác ABC vng A, cạnh AB = 3cm Lan tính cắt từ miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 2cm hình bên hình chữ nhật có diện tích nửa diện tích miếng bìa ban đầu Tính độ dài cạnh AC tam giác ABC

18 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Gọi x độ dài cạnh AC (x  Z+, cm)

Diện tích tam giác ABC

13x (cm2)

Diện tích hình chữ nhật ADEG

3x cm2 chiều

rộng hình chữ nhật 3x:2 =

8 3x cm

Diện tích hình chữ nhật tổng diện tích hai tam giác BDE CEG ta có phương trình : SADGE = SBDE + SCEG

  2 3 x x x

x  

      



2 16    x x

        x

 x =

Vậy : Cạnh AC tam giác ABC có độ dài 4cm

Ví dụ Một hình chữ nhật có chu vi 320m tăng chiều dài thêm 10m tăng chiều rộng thêm 20m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 2700m2 Tính kích thước hình chữ nhật

Lời giải

Gọi chiều dài hình chữ nhật x (đơn vị : m) Điều kiện ẩn 0 x 160

Khi chiều rộng hình chữ nhật 160 x (m) Diện tích hình chữ nhật ban đầu x160x( m2)

Sau tăng chiều dài thêm 10m, chiều rộng thêm 20m chiều dài là:

10

x  chiều rộng là: 160 x 20 180 x Khi diện tích hình chữ nhật x10 180 x

2 cm

3

cm

A C

B

D E

19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Theo ra, diện tích hình chữ nhật tăng 2700 m2, nên ta có phương trình: x10 180  x x 160 x 2700

Hay  x2 170x1800 x2 160x 2700

Tức 10x 900 x 90(m)

Ta thấy giá trị x 90 thỏa mãn điều kiện đặt

Vậy chiều dài hình chữ 90m, chiều rộng 70m (Có thể thử lại thấy (90+10)(180-90)-90.17=2700 đúng)

Dạng Dạng tốn có chứa tham số

Ví dụ : Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất tháng a% (a số cho trước) lãi tháng tính gộp vào vống cho tháng sau

a Hãy viết biểu thức biểu thị : + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;

+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất; + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai

b Nếu lãi suất 1,2% (tức a = 1,2) sau tháng tổng số tiền lãi 48,288 nghìn đồng, lúc đầu bà An gửi tiền tiết kiệm?

Lời giải :

a Số tiền lãi sau tháng gửi với lãi suất a% với tiền gửi x nghìn đồng ax Số tiền có (cả gốc lẫn lãi) sau tháng thứ : x + ax = x (1 + a) nghìn đồng

Số tiền lại sau hai tháng : L = ax + ax(1+a) = x(a2 + 2a) b Thay a = 1,2% L = 48,288 ta :

288 , 48 1000

24 1000000

144 

   



 

x nghìn đồng

 x = 2000000 đồng

20 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ Hai đội cơng nhân tham gia lao động công trường xây dựng Số người đội I gấp hai lần số người đội II Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II

số người đội II

4 số người lại đội I Hỏi lúc đầu đội có người?

Lời giải :

Gọi số người đội II lúc đầu x ĐK : x nguyên dương Số người đội I lúc đầu 2x

Sau chuyển 10 người từ đội I sang đội II số người cịn lại đội I 2x - 10 (người), số người đội II x + 10 (người)

Theo đề số người đội II

4 số người đội I nên ta có phương trình :

x + 10 =

4(2x - 10)

Giải phương trình, tìm x = 30 (thỏa mãn điều kiện)

Ví dụ Học kì I số học sinh lớp 8A

8 số học sinh lớp Sang học kì II có ba

bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi Do số học sinh giỏi 20% số học sinh lớp Hỏi lớp 8A có học sinh giỏi

Lời giải

Ta lập phương trình sau:

Gọi số học sinh lớp x (điều kiện x nguyên dương), số học sinh giởi học kì I

so với số học sinh lớp

8x, số học sinh giỏi học kì II so với số học sinh

cả lớp 20% số học sinh lớp hay

5x số học sinh giỏi học kì II số

học sinh giỏi học kì I em nên ta có phương trình: 8x  5x

Giải phương trình ta tìm x 40 Giá trị thỏa mãn điều kiện đặt nên nghiệm phương trình

21 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Dạng 7.Dạng toán liên quan đến số học

Ví dụ “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho

Lời giải

Nếu gọi chữ số hàng chục x Điều kiện x ? (xN, < x < 10) Chữ số hàng đơn vị : 16 – x

Số cho viết 10x + 16 - x = 9x + 16

Đổi vị trí hai chữ số cho số viết : 10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x

Số lớn số cho 18 nên ta có phương trình : (160 – 9x) – (9x + 16) = 18

- Giải phương trình ta x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy chữ số hàng chục

Chữ số hàng đơn vị 16 – = Số cần tìm 79

Ví dụ 2.Tìm số tự nhiên có chữ số tận Biết xóa chữ tận số nhỏ số đầu 2003 đơn vị

Lời giải

Gọi số cần tìm x5 vớix N * Theo đề ta có:

5 2003

x  x

Do đó: 10x  5 x 2003 hay 9x 1998 suy x 222 Vậy số cần tìm 2225

Ví dụ 3.Cho phân số 37

53 Hãy tìm số tự nhiên m cho đem tử số mẫu số trừ

22 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Gọi m số phải tìm Theo đề ta có:

37 111 3 53

53

m m m

m

      

2m 111 53 58  , suy ram 29 Thử lại:37 29

53 29   24 Vậy số m phải tìm 29

Dạng Dạng tốn có nội dung vật lý, hóa học

Để lập phương trình, ta phải dựa vào công thức, định luật vật lý, hóa học liên quan đến đại lượng có đề tốn

Ví dụ : Biết 200g dung dịch chứa 50g muối Hỏi phải pha thêm gam nước vào dung dịch để dung dịch chứa 20% muối?

Lời giải :

Gọi x lượng nước cần pha thêm vào dung dịch cho (x > 0, g) Khi lượng dung dịch nước 200 + x

Nồng độ dung dịch

x  200

50

Theo đề ta có phương trình :

100 20 200

50   x  20(150 + x) = 5000

 x = 100

Vậy : Lượng nước cần pha thêm 100 g

Ví dụ Có hai loại thép vụn chứa 5% 40% nicken Cần lấy thép vụn loại để luyện 140 thép chứa 30% nicken?

Lời giải

Gọi khối lượng thép vụn loại 5% nicken cần lấy x (đơn vị tấn, điều kiện x > ) Khối lượng nicken có loại thép vụn là:

5

100 20 x x 

23 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Khối lượng thép vụn loại 40% nicken cần lấy là: 140 x (tấn)

Khối lượng nicken có loại thép vụn là:

  2 140 

40 140

100

x

x 

  (tấn)

Khối lượng nicken chức 140 thép là: 30 140 42

100  ( )

Theo ta có phương trình: 140  42 40

5 20

x x

x 

   

Vậy loại thép vụn 5% nicken cần lấy 40 tấn, loại 40% cần lấy 100

B.DẠNG BÀI NÂNG CAO

Ví dụ Quãng đường AD gồm ba đoạn AB; BC CD Lúc sáng người ô tô từ A với vận tốc 60km/h đến B lúc 7giờ 30phút, sau tiếp đoạn đường BC vận tốc 50km/h Cùng lúc sáng người xe máy từ C với vận tốc 35km/h để đến D Biết thời gian người xe máy đến D nhiều thời gian người ô tô từ B đến c 24 phút quãng đường BC ngắn quãng đường CD 40km Tính quãng đường AD Ví dụ Trên qng sơng AB dài 48km, ca nô xuôi từ A đến B quay trở lại đỗ địa điểm C giũa A B Thời gian ca nơ xi ngược dịng hết tất 30 phút Tính vận tốc riơng ca nơ biết bè nứa thả trơi sơng 15 phút trơi km

Ví dụ Hai xưởng sản xuất làm sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ làm ngày nhiều số sản phẩm xưởng thứ hai làm ngày 140 sản phẩm Biết suất lao động xưởng thứ xưởng thứ hai 65 sản phẩm/ngày Tính suất lao động xưởng

Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn thời gian 48 phút bể đầy Nếu vịi thử chảy giờ, vòi thứ hai chảy tiếp

4 đầy 17

24 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ Năm ngối sơ kg thóc thu hoạch ruộng thứ

4 số kg thóc thu hoạch thứ hai Năm nhờ cải tiến kỹ thuật thứ thu hoạch tăng 20%; thứ hai thu hoạch tăng 30% hai thu hoạch 1320kg Tìm số tạ thóc thu hoạch năm

Ví dụ Người ta dự định tổ chức hội nghị gồm 300 đại biểu, số chỗ ngồi xếp thành hàng có số ghế hàng Do hội nghị có thêm 23 đại biểu nên phải xếp lại, hàng thêm ghe, lại bớt hàng Tính số hàng số ghế hàng theo dự định xếp ban đầu

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI NÂNG CAO

Ví dụ Quãng đường AD gồm ba đoạn AB; BC CD Lúc sáng người ô tô từ A với vận tốc 60km/h đến B lúc 7giờ 30phút, sau tiếp đoạn đường BC vận tốc 50km/h Cùng lúc sáng người xe máy từ C với vận tốc 35km/h để đến D Biết thời gian người xe máy đến D nhiều thời gian người ô tô từ B đến c 24 phút quãng đường BC ngắn quãng đường CD 40km Tính qng đường AD * Tìm cách giải: Đây tốn chuyển động Có ba đại lượng: Quảng đường (s), vận tốc (v) thời gian (t) Quan hệ đại lượng sau: sv t v ; s t t: ; s v:

Đoạn đường AD gồm ba đoạn Đoạn AB biết độ dài (do biết vận tốc 60km/h thời gian 0,5 giờ) nên cần tính đoạn BD Do ta chọn ẩn sổ x (km) độ dài đoạn BD Do quãng đường BC ngắn quãng đường CD 40km mà tổng hai đoạn đường x km

nên độ dài đoạn CD 40 

x km BC x40 x km

Ta phải tìm thời gian xe máy đoạn đường CD thời gian ô tô đoạn đường BC để lập phương trình

Giải

25 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Gọi quãng đường BD x(km); x > 40 Do đoạn CD dài BC 40km; tổng hai đoạn đường x (km) nên:

 Đoạn đường BC dài x40

x (km); đoạn đường CD dài 40 

x (km)

 Thời gian ô tô đoạn BC x40: 50 x (h)

 Thời gian ô tô đoạn CD 40: 35 

x (h)

1 24 phút = 1,4

Theo ta có phương trình: 40 40 1, 1  70 100

   

x x

 Giải phương trình:

 1 10x400 7 x 280980 3x 300 100

 x

Giá trị phù hợp với điều kiện ấn vậy:

Quãng đường BD dài 100 km quãng đường AD dài 100 + 30 = 130 (km)

Chú ý: Cách khác: Gọi thời gian xe máy từ C đến D x (giờ) thời gian tô từ B đến C x1, 4(giờ) Quãng đường CD dài 35x (km), quãng đường BC dài x1, 50 Ta

có phương trình x1,4 50 35  x40

Giải phương trình x = (bạn đọc tính tiếp)

Ví dụ Trên quãng sông AB dài 48km, ca nô xuôi từ A đến B quay trở lại đỗ địa điểm C giũa A B Thời gian ca nơ xi ngược dịng hết tất 30 phút Tính vận tốc riơng ca nô biết bè nứa thả trôi sơng 15 phút trơi km

* Tìm cách giải: - Đây tốn chuyển động liên quan đến chuyến động xi, ngược dịng nước (hoặc xi gió, ngược gió) Nếu gọi vận tốc xuôi vx; vận tốc ngược ; vận tốc riêng động vr vận tốc dịng nước (hoặc giỏ)

;

   

x r dn n r dn

26 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

 Quãng sông ca nô xuôi 48km ngược 48: = 24km Vận tốc bè nứa trơi vận tốc dòng nước

 Chọn ẩn số x vận tốc riêng ca nơ, ta tìm thời gian xi ngược để lập phương trình

Giải

15 phút = 0,25 giờ; 30 phút = 3,5

Vận tốc bè nứa trôi 1: 0,25 = (km/h) vận tốc dịng nước

Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h); x > Thì vận tốc ca nơ xi dịng x + (km/h), vận tốc ca nơ ngược dòng x - (km/h)

Thời gian ca nơ xi dịng 48

4 

x (h) ngược dòng

24 

x (h)

Theo ta có phương trình: 48 24 3,5 1  4 4

  x x

 Giải phương trình (1): biến đổi thành 48x192 24 x 96 3,5x256

2

3,5 72 40 144 80

 x  x   x  x 

  

2

20

7 14 80 4

7 x

x x x x x

x   

           



Trong hai giá trị x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu Vậy vận tốc riêng ca nơ 20km/h

Ví dụ Hai xưởng sản xuất làm sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ làm ngày nhiều số sản phẩm xưởng thứ hai làm ngày 140 sản phẩm Biết suất lao động xưởng thứ xưởng thứ hai 65 sản phẩm/ngày Tính suất lao động xưởng

 Tìm cách giải: Bài tốn thuộc loại tốn Năng suất lao động Có ba đại lượng:

 Khối lượng cơng việc: (K)

 Thời gian hồn thành cơng việc (t)

27 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Quan hệ dại lượng sau:

K = Nt; t = K : N N = K: t

Trong suất lao động xưởng số sản phẩm xưởng làm ngày, ta chọn ẩn X từ hai suất lao động Khối lượng cơng việc xưởng số sản phẩm xưởng thứ làm ngày, xưởng thứ hai làm ngày Lập phương trình từ việc so sánh hai khối lượng công việc

Giải

Gọi suất lao động xưởng thứ x (sản phẩm /ngày); (x ; x > 65)

suất lao động xưởng thứ hai x65 (sản phẩm/ngày) Trong năm ngày xưởng thứ làm 5x (sản phẩm), sáu ngày xưởng thứ hai làm 6x65 (sản

phẩm)

Theo ta có phương trình: x6x65140 (1) Giải phương trình: (1)   5x 6x 390 140

250

 x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy: Năng suất lao động xưởng thứ 250 sản phẩm /ngày Năng suất lao động xưởng thứ hai 250 - 65 = 185 (sản phẩm /ngày)

Ví dụ Hai vòi nước chảy vào bể cạn thời gian 48 phút bể đầy Nếu vịi thử chảy giờ, vịi thứ hai chảy tiếp

4 đầy 17

28 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

- Ở tốn trên, cơng việc cụ thể bể nước (lượng nước làm đầy bể) Nếu vịi

chảy sau a đầy bể suất (lượng nước chảy giờ)

abể/giờ

Nếu vòi khác chảy sau b đầy bể suất

b bể/giờ Năng suất

chung   1 1 

a b (bể/giờ) Giải

Hai vòi chảy chung 48 phút = 24

5 đầy bể hai vòi chảy chung

24 bể nước Gọi thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể x

24 x

 

  

 

  , vịi

thứ hai chảy

x bể nước

Vòi thứ chảy 24

 

  

 

 xbể nước

Ta có phương trình 17 1 

24 24

 

   

 

 x x

Giải phương trình: (1) 15x  72 96 17x   2x 24 x 12

Giá trị phù họp với điều kiện ẩn

Vậy thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể 12

Thời gian vịi thứ chảy đầy bể 1: 1:1

24 12

 

   

 

  (giờ)

Ví dụ Năm ngối sơ kg thóc thu hoạch ruộng thứ

4 số kg thóc thu hoạch thứ hai Năm nhờ cải tiến kỹ thuật thứ thu hoạch tăng 20%; thứ hai thu hoạch tăng 30% hai thu hoạch 1320kg Tìm số tạ thóc thu hoạch năm

29 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

lượng quan hệ: tỷ số sổ thóc thu hoạch hai ruộng năm trước tỷ số % tăng so với năm trước

Giải

Gọi số thóc thu hoạch năm ngoái thứ hai x (kg) (x > 0)

Số thóc thu hoạch năm ngối thứ

4x (kg) Số thóc thu hoạch năm thứ hai 130% x (kg)

Số thóc thu hoạch năm thứ 120%.3

4x (kg)

Theo ta có phương trình: 120%.3 130% 1320 1  4x x

Giải phương trình:  1 120 130 1320 100 100

 x x

9 13 13200 22 13200 600  x x  x  x

Giá trị x thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số thóc thứ hai thu hoạch năm 130%.600 = 780 (kg) = 7,8 (tạ), số thóc thứ thu hoạch năm 1320 - 780 = 540 (kg) = 5,4(tạ)

Chú ý: Ta chọn x số thóc thu hoạch năm thứ Khi ta có phương trình:

1320 .100 100

120 130



 x

x

Giải x = 540 (bạn đọc tự giải)

Ví dụ Người ta dự định tổ chức hội nghị gồm 300 đại biểu, số chỗ ngồi xếp thành hàng có số ghế hàng Do hội nghị có thêm 23 đại biểu nên phải xếp lại, hàng thêm ghe, lại bớt hàng Tính số hàng số ghế hàng theo dự định xếp ban đầu

 Tìm cách giải: Bài tốn có ba đại lượng: Tổng số chỗ ngồi (số ghế); số hàng ghế số ghế hàng Quan hệ chúng

30 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Số hàng ghế = Tổng số chỗ ngồi (số ghế): số ghế hàng Sổ ghế hàng = Tổng số chỗ ngồi (số ghế): số hàng ghế

Đã biết số đại biểu (tức số ghế cần xếp), ta chọn hai đại lượng số hàng ghế số ghế hàng làm ẩn dựa vào quan hệ ba đại lượng lúc đầu sau để lập phương trình

Giải

Gọi số hàng ghế dự định xếp ban đầu x x,x3, số dãy ghế sau xếp lại

3  x

Số ghế hàng ban đầu 300

x (chiếc)

Số ghế hàng sau xếp lại 300 23  

x (chiếc)

Theo ta có phương trình: 300 300 23 1 

  



x x

Giải phương trình: (1) 300x900 4 x212x323x0

  

2

4 35 900 20 45  x  x   x x 

20 20

45 45

4       

     

 

x x

x x

Ta thấy x = 20 thỏa mãn điều kiện ẩn, vậy:

Số hàng ghế ban đầu 20; số ghế hàng ban đầu 300: 20 = 15

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

1 Hai giá sách có 450 chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số

sách giá thứ hai

5 số sách giá thứ Tìm số sách giá

31 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

3 Trên cơng trình thủy lợi, đội dân cơng phải đào đắp 500 m3 đất vắng người người lại phải đào đắp m3 mới hồn thành kế hoạch Tính xem đội dân cơng có người? (Coi người đào đắp số đất nhau)

4 Một đội xe ôtô cần chở 30 hàng từ thành phố đến thành phố Khi chở có thêm ơtơ nên xe chở theo dự kiến Hỏi lúc đầu đoàn xe có ơtơ?

5 Lúc sáng người xe máy khởi hành từ A dể đến B Lúc 10 phút ô tô khởi hành từ A với vận tốc lớn vận tốc xe máy 10km/h Trên đường ô tô phải dừng đường 14 phút đến B lúc với xe máy Tính vận tốc xe biết quãng đường AB xe taxi với vận tốc 60km/h hết 20 phút Từ bến A dịng sơng, lúc thuyền xi dịng với vận tốc 10km/h Lúc ca nơ xi dịng với vận tốc 25 km/h Lúc 10 tàu thủy xi dịng với vận tốc 30km/h Hỏi lúc tàu thủy cách ca nơ thuyền?

7.Quãng đường AE gồm bốn đoạn, hai đoạn đường AB DE Nếu từ A BC

đoạn lên dốc, CD đoạn xuống dốc Biết ; ;

AB DE BC DE DE CD Vận tốc ô tô

trên đường 40km/h, lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Thời gian từ A đến E trở A 45 phút Tính qng đường AE

8 Một ca nơ xi dịng sơng từ A đến B hết Sau ca nơ quay trở lại ngược từ B

đến bến C nằm cách A khoảng

32 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

vượt mức 30% kế hoạch, tổ II sản xuất vượt mức 20% kế hoạch, tổ III sản xuất vượt mức 10% kế hoạch Do số sản phẩm vượt mức kế hoạch ba tổ 220 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ giao theo kế hoạch

10 Một xí nghiệp khí giao sản xuất 500 máy bơm nước thời gian định Do cải tiến kỹ thuật tăng suất lao động, ngày xí nghiệp sản xuất thêm máy bơm nên xí nghiệp hồn thành cơng việc sớm ngày mà sản xuất thêm 70 máy bơm Hỏi số máy bơm dự định sản xuất ngày số ngày dự định theo kế hoạch ban đầu

11.Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn chữ số hàngđơn vị đơn vị Nếu đổi

chỗ hai chữ số số lớn

3 số ban đầu 37 đơn vị.Tìm số cho

12 Một số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển lên đầu số có chữ số Tổng hai số có chữ số 8217 Tìm số cho

13 Một tơn hình chữ nhật có chu vi 114cm Người ta cắt bỏ bốn hình vng có cạnh 5cm bốn góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật (khơng có nắp).Tính kích thước tơn cho Biết thể tích hình hộp bàng 1500cm2

14 Cho quãng đường AB dài 120km Lúc sáng xe máy từ A đến B Đi quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút tiếp đến B với vận tốc nhỏ vận tốc lúc đầu 10km/h Biết xe máy đến B lúc 11giờ 40 phút trưa ngày Giả sử

vận tốc xe máy

4 quãng đường ban đầu không thay đổi vận tốc xe máy quãng đường lại không thay đổi Hỏi xe máy bị hỏng lúc giờ?

33 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 1.Ta lập phương trình sau:

Gọi số sách giá thứ trước chuyển x (cuốn) (x nguyên, x 50) Khi số sách giá thứ hai trước chuyển 450 x (cuốn)

So sánh giá thứ hai sau chuyển 50 từ giá thứ sang

450 x 50 500 x

Vì số sách sau chuyển

5 số sách lại giá thứ (đã chuyển) tức

 

4 50

5 x  , nên ta có phương trình:

 

4

500 50

5

x x

  

Giải phương trình ta x 300, giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy số sách giá thứ 300 giá thứ hai 150

2.Ta lập phương trình sau:

Gọi tuổi Phương x (x nguyên, x 0) Khi tuổi Phương sau 13 năm x 13

Tuổi mẹ 3x(vì tuổi mẹ gấp ba lần tuổi Phương nay), sau 13 năm tuổi mẹ 3x 13

Vì sau 13 năm tuổi mẹ gấp hai lần tuổi Phương, nên ta có phương trình:

 

3x 13 x13

Giải phương trình ta x 13, giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy năm Phương 13 tuổi

3.Cách

Ta lập phương trình sau:

Gọi số người đội dân công dự kiến x(x nguyên, x 5)

Khi số đất dự kiến người làm 500

34 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Số người thực làm đội x 5, số đất thực người làm 500

5 x 

Vì số đất thực làm người số đất dự kiến m3 nên ta có phương trình:

500 500 5

5 x  x 

Giải phương trình ta x  20 x 25 So với điều kiện có giá trị x 25 thỏa mãn

Vậy đội dân cơng có 25 ngưởi Cách

Ta lập phương trình sau:

Gọi số đất dự kiến người x(m3) (điều kiện: x 0)

Khi số người dự kiến 500

x

Số đất thực người làm x 5(m3);

Số người thực làm 500

5 x 

Vid số người thực làm số người dự kiến người, nên ta có phương trình:

500 500 5

5 x  x 

Giải phương trình ta x  25 x 20 So với điều kiện có giá trị x 20

thỏa mãn Vậy số đất dự kiến người làm 20 m3 Do đội dân cơng có 25 người

4.Cách

Ta lập phương trình sau:

Gọi số hàng dự kiến xe chở x(đơn vị: tấn), (điều kiện: x 1)

Khi số xe ơtơ dự kiến ban đầu 30

x ;

Số hàng thực tế xe chở x 1(do số hàng xe thực chở dự kiến tấn)

Số xe thực chở 30

1 x 

35 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

30 30 1

1 x x 

Giải phương trình ta x 6 x  5 Chỉ có giá trị x 6 thỏa mãn điều kiện Do xe dự kiến chwor hàng nên đội xe ban đầu có xe

Cách

Ta coi số xe đồn ban đầu aane, làm giống cách

5.Xe taxi 20 phút (bằng

3giờ) với vận tốc 60km/h Ta tính quãng đường AB Xe ô tô khỏi hành sau 10 phút, nghỉ đường 14 phút đến B lúc với xe máy

Như xe máy chậm ô tô 10 14 24  (phút) =

5 So sánh thời gian ô tô xe máy ta lập phương trình Ta có cách giải:

Quãng đường AB dài 60.4 80 3 (km)

Gọi vận tốc xe máy x km/h (x > 0), vận tốc tơ (x + 10) km/h

Thời gian xe máy hết quãng đường AB 80

x (h); thời gian ô tơ qng

đường AB (khơng tính thời gian nghỉ) 80

10 

x (h)

Ta có phương trình: 80 80

10

 



x x Giải phương trình x = 40

Vận tốc xe máy 40 km/h ô tô 50km/h

6.Lúc tàu thủy cách ca nô thuyền độ dài đoạn sơng tàu thủy trừ độ dài đoạn sông thuyền với độ dài sông ca nô trừ độ dài đoạn sơng mà tàu thủy Từ có cách giải sau:

Gọi thời gian tàu thủy từ A đến cách ca nô thuyền x (x > 0)

Đến 10 tàu thủy khỏi hành thuyền 20km ca nơ 25km Ta có phương trình: 30x20 10 x  25 25 x30x

Giải

x  thỏa mãn điều kiện ẩn (

36 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Trả lời: Lúc 11 48 phút tàu thủy cách ca nô thuyền

7.Nếu từ E trở DC đoạn lên dốc, CB đoạn xuống dốc Vận tốc lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Tổng thời gian lẫn 45 phút Từ có cách giải:

Gọi quãng đường DE dài x km (x > 0) đoạn đường AB 2x km; đoạn đường CB dài

8x km; đoạn CD = 0,5x

Thời gian 45 phút = 31

4 Ta có phương trình:

3 3 31

40240 120 40 60 480

x x x x x x

Giải phương trình tìm x = 40 thỏa mãn điều kiện ẩn Từ tìm quãng đường AE dài 155km

8.Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Nếu tính vận tốc riêng ca nơ ta tính

độ dài quãng sông AB, nên ta chọn ẩn cách gián tiếp Ca nô ngược

3 quãng sơng AB hết 24 phút, ta tính thời gian ca nô ngược hết quãng sông BA Quãng sơng AB BA, ta dựa vào để lập phương trình có cách giải sau:

Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Ta có 12 phút = 0,2 giờ; 400 m = 0,4km Vậy vận tốc dòng nước 0,4: 0,2 = 2(km/h) Gọi vận tốc riêng ca nô x km/h ( x > 2) Vận tốc ca nô xuôi

x 2 km/h ngược x 2 km/h

Ca nô ngược

3 quãng sông AB hết 24 phút = 2,4 vận tốc ngược ca nô hết quãng sông AB hết (2,4: 2) = 3,6 (giờ)

Theo ta có phương trình: 3x 2 3,6x2

37 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Vậy quãng sông AB dài 3.(22 + 2) = 72 (km)

* Chú ý: Cách khác: Ta biết vx vn 2vdn nên gọi qng sơng AB dài x km vận tốc ca nô

xuôi

x (km/h), vận tốc ca nô ngược 2 12 :

3 18 x

x ta có phương trình 18

x x

  Giải

được x = 72

9.Ta có: Số sản phẩm vượt mức = Số % vượt mức x số sản phẩm theo kế hoạch

Từ đó: Gọi số sản phẩm giao tổ I x sản phẩm (x > 0) số sản phẩm giao tổ II 2x sản phẩm, tổ III 4x sản phẩm

 Số sản phẩm vượt mức tổ I 30% x, tổ II 20% 2x, tổ III 10% 4x Theo ta có phương trình: 30%x + 40% x + 40% x = 220

Giải phương trình x = 200 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy: Số sản phẩm giao:

Tổ I: 200 sản phẩm; Tổ II: 400 sản phẩm; Tổ III: 800 sản phẩm

10.Số máy bơm sản xuất = Số máy bơm sản xuất ngày x Số ngày sản xuất

Từ đó: Gọi số máy bơm dự định sản xuất ngày x x N * số ngày dự

định làm 500

x (chiếc), số máy bơm thực làm 500 + 70 = 570 (chiếc) Số máy bơm

thực sản xuất ngày x + (chiếc), số ngày thực làm 570

x  (ngày) Ta có phương

trình: 500 570 x  x 

Giải phương trình: 75 2500 0  25 100 25

100   

       

 x

x x x x

x

Ta có x = 25 thỏa mãn điều kiện ẩn

Vậy Số máy bơm dự định sản xuất ngày 25

Số ngày dự định làm 500 20

25  (ngày)

38 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 10

ba b a với a b, ;0 a 9;0 b 9) Ta có cách giải:

Gọi chữ số hàng chục x x;3 x 9 chữ số hàng đơn vị  x 3

Số cho: x x  3 10x  x ; Đổi chỗ chữ số:  x3 x10 x 3 x

Ta có phương trình 10   3 10   3 37

x x

x x

Giải phương trình x = phù hợp điều kiện ẩn Số cần tìm 96

12.Bài tốn liên quan đến cấu tạo số Số có bốn chữ số mà chữ số hàng đơn vị là

6 10

abc  abc Chuyển lên đầu số 6abc6000abc với 

   

, , ;0< 9;0 ,

a b c a b c ) Từ có cách giải: Gọi số có ba chữ số đứng trước số x x;99 x 1000 số cho x6 10 x6

Chuyển lên đầu số 6x6000x Ta có phương trình 10x 6 6000 x 8217

Giải phương trình x = 201 phù hợp điều kiện ẩn Số cần tìm 2016

13.Nửa chu vi tơn 57cm Gọi kích thước thứ tơn x (cm); (10 < x < 57) Thì kích thước thứ hai 57x (cm)

Sau gấp thành hình hộp chữ nhật, ba kích thước

10 

x (cm); 47x(cm); 5cm

Ta có phương trình x10 47 x.5 1500  x2 57x7700

 35 22 35

 x x   x x22 Cả hai giá trị thỏa mãn Vậy kích thước tam tơn 35cm 22 cm

14.Nếu C vị trí xe máy bị hỏng AC = 90km; CB = 30km

Gọi vận tốc (km/h) xe máy từ A đến C x, x > 10 vận tốc xe máy

từ C đến B x10 (km/h) Xe máy quãng đường AC hết 90

x (h) CB hết 30

10 

x (h)

Thời gian sửa xe máy 10 phút =

39 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 40 phút =14

3 h Biến đổi thành

2

3x 110x6000

 30 3 20

 x x  Nghiệm x30 thỏa mãn điều kiện

Thời gian từ A đến C 90 : 30 3 h  Thời điểm bị hỏng xe lúc 10 sáng ngày

15.Gọi quãng đường AB dài x km, x > Thời gian xe tải hết quãng đường AB 40

x

(h) Thời gian dự kiên xe khách từ A đến B 50

x (h) Thời gian xuất phát sau xe

khách so với xe tải

4050

x x Thời gian xe khách thực tế

 

1

2 502 60

x x

h ; 16 phút =

4 15 h

Ta có phương trình 160

40 100 120 15 40 50

 



      

x x x x x

x thỏa mãn điều kiện Vậy

quãng đường AB dài 160 km