Bai giang XSTK chuong 4

• Từ tổng thể lấy ra n phần tử, khi đó n phần tử này lập nên một mẫu. Mẫu này có kích thước là n... Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên.. Bài 1: Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của biến n[r]

(1)

Chương Ước lượng tham số biến ngẫu nhiên

Bài 1: Ước lượng khoảng cho kỳ vọng biến ngẫu nhiên

1) Tổng thể mẫu

• Tổng thể tập hợp phần tử mang dấu hiệu đó, dấu hiệu phụ thuộc vào mục đích nghiên cứu

(2)

(3)

(4)

(5)

Cách tính đặc trưng mẫu số liệu

Giả sử mẫu số liệu có kích thước n nhận giá trị

x1, x2, , xk với số lần lặp lại (tần số) r1, r2, , rk cho dạng bảng sau

(6)

Cách tính đặc trưng mẫu số liệu

Giả sử mẫu số liệu có kích thước n nhận giá trị

x1, x2, , xk với số lần lặp lại (tần số) r1, r2, , rk cho dạng bảng sau

(7)

Ta lập bảng tính sau

xi ri rixi rix2i

x1 r1 r1x1 r1x21

x2 r2 r2x2 r2x22

xk rk rkxk rkx2k

P

(8)

Ta lập bảng tính sau

xi ri rixi rix2i

x1 r1 r1x1 r1x21

x2 r2 r2x2 r2x22

xk rk rkxk rkx2k

P

(9)

Trung bình mẫu số liệu

x = r1x1 + r2x2 + · · · + rkxk

n ,

Phương sai mẫu số liệu

s2 = n −

"

r1x21 + r2x22 + · · · + rkx2k −

r1x1 + r2x2 + · · · + rkxk 2

n

#

(10)

Trung bình mẫu số liệu

x = r1x1 + r2x2 + · · · + rkxk

n ,

Phương sai mẫu số liệu

s2 = n −

"

r1x21 + r2x22 + · · · + rkx2k −

r1x1 + r2x2 + · · · + rkxk 2

n

#

(11)

Mẹo nhớ:

x = Cột Cột

s2 =

Cột − "

Cột − (Cột 3)

Cột

#

(12)

Trường hợp mẫu số liệu cho dạng bảng

Khoảng xi − xi+1 x1 − x2 x2 − x3 xk − xk+1

Tần số ri r1 r2 rk

Các khoảng xi − xi+1 thường có độ dài Ta tính theo phương pháp đổi biến sau:

Đặt ui = x

i − x0

h , x

i giá trị trung tâm khoảng

(13)

Trường hợp mẫu số liệu cho dạng bảng

Khoảng xi − xi+1 x1 − x2 x2 − x3 xk − xk+1

Tần số ri r1 r2 rk

Các khoảng xi − xi+1 thường có độ dài Ta tính theo phương pháp đổi biến sau:

Đặt ui = x

i − x0

h , x

i giá trị trung tâm khoảng

(14)

Ta có

u = r1u1 + r2u2 + · · · + rkuk

n ,

x = x0 + hu,

s2u = n −

"

r1u21 + r2u22 + · · · + rku2k −

r1u1 + r2u2 + · · · + rkuk 2

n

#

(15)

Ta có

u = r1u1 + r2u2 + · · · + rkuk

n ,

x = x0 + hu,

s2u = n −

"

r1u21 + r2u22 + · · · + rku2k −

r1u1 + r2u2 + · · · + rkuk 2

n

#

(16)

Mẹo nhớ:

u = Cột Cột

s2u =

Cột − "

Cột − (Cột 5)

Cột

#

(17)

Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn ta chưa biết kỳ vọng E(X) = µ X Ta tìm khoảng tin cậy µ

Trường hợp 1: Biết phương sai σ2 hay biết độ lệch tiêu chuẩn σ

Khoảng tin cậy µ với độ tin cậy β = − α

(x − ε, x + ε),

trong uα

2 giá trị tới hạn chuẩn mức α

2 phân bố chuẩn tắc, ε = uα

2

σ √

(18)

Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn ta chưa biết kỳ vọng E(X) = µ X Ta tìm khoảng tin cậy µ

Trường hợp 1: Biết phương sai σ2 hay biết độ lệch tiêu chuẩn σ

(x − ε, x + ε),

trong uα

2 giá trị tới hạn chuẩn mức α

2 phân bố chuẩn tắc, ε = uα

2

σ √

(19)

Ví dụ

Khối lượng sản phẩm biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn σ = Cân thử 25 sản phẩm ta thu kết sau

Khối lượng 18 19 20 21 Số sản phẩm 15

(20)

Ví dụ

(21)

Ví dụ

(22)

Lời giải

Ta lập bảng

xi ri rixi 18 54 19 95 20 15 300 21 42 P 25 491

(23)

Lời giải

Ta lập bảng

xi ri rixi 18 54 19 95 20 15 300 21 42 P 25 491

(24)

Ta có x = 491

25 = 19, 64

Độ tin cậy − α = 0, 95, suy α = 0, 05 Khi α

2 = 0, 025 Tra bảng ta uα

2 = 1, 96

Độ xác ước lượng

ε = uα

σ √

n = 1, 96 ·

1 √

25 =

1, 96

5 = 0, 392

Khoảng tin cậy cho khối lượng trung bình sản phẩm

(25)

Ta có x = 491

25 = 19, 64

2 = 1, 96

ε = uα

σ √

n = 1, 96 ·

1 √

25 =

1, 96

5 = 0, 392

(26)

Ta có x = 491

25 = 19, 64

2 = 1, 96

ε = uα

σ √

n = 1, 96 ·

1 √

25 =

1, 96

5 = 0, 392

(27)

Ta có x = 491

25 = 19, 64

2 = 1, 96

ε = uα

σ √

n = 1, 96 ·

1 √

25 =

1, 96

5 = 0, 392

(28)

Ta có x = 491

25 = 19, 64

2 = 1, 96

ε = uα

σ √

n = 1, 96 ·

1 √

25 =

1, 96

5 = 0, 392

(29)

Trường hợp 2: n ≥ 30, phương sai chưa biết

(x − ε, x + ε),

trong ε = uα

s √

(30)

Ví dụ

Trọng lượng loại sản phẩm biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Cân thử 100 sản phẩm loại ta thu kết

Trọng lượng (g) 40 − 42 42 − 44 44 − 46 46 − 48 48 − 50 50 − 52

Số sản phẩm 13 25 35 15

(31)

Chương Ước lượng tham số biến ngẫu nhiên Lời giải

Thực phép đổi biến ui = x

i − 47

2 với x0 = 47 h = Ta có bảng tính sau

xi − xi+1 x0i ri ui riui riu2i 40 − 42 41 −3 −21 63 42 − 44 43 13 −2 −26 52 44 − 46 45 25 −1 −25 25

46 − 48 47 35 0

48 − 50 49 15 15 15

50 − 52 51 10 20

P

100 −47 175

(32)

i − 47

2 với x0 = 47 h =

Ta có bảng tính sau

46 − 48 47 35 0

48 − 50 49 15 15 15

50 − 52 51 10 20

P

100 −47 175

(33)

i − 47

2 với x0 = 47 h = Ta có bảng tính sau

46 − 48 47 35 0

48 − 50 49 15 15 15

50 − 52 51 10 20

P

100 −47 175

(34)

Ta có

u = −47

100 = −0, 47,

x = x0 + hu = 47 + · (−0, 47) = 46, 06,

s2u = 99

175 − (−47)

100

= 15291 9900 ,

s2 = h2s2u = 22 · 15291 9900 = 15291 2475 , s = r 15291

(35)

Ta có

u = −47

100 = −0, 47,

x = x0 + hu = 47 + · (−0, 47) = 46, 06,

s2u = 99

175 − (−47)

100

= 15291 9900 ,

s2 = h2s2u = 22 · 15291 9900 = 15291 2475 , s = r 15291

(36)

Ta có

u = −47

100 = −0, 47,

x = x0 + hu = 47 + · (−0, 47) = 46, 06,

s2u = 99

175 − (−47)

100

= 15291 9900 ,

s2 = h2s2u = 22 · 15291 9900 = 15291 2475 , s = r 15291

(37)

Ta có

u = −47

100 = −0, 47,

x = x0 + hu = 47 + · (−0, 47) = 46, 06,

s2u = 99

175 − (−47)

100

= 15291 9900 ,

s2 = h2s2u = 22 · 15291 9900 = 15291 2475 , s = r 15291

(38)

Ta có

u = −47

100 = −0, 47,

x = x0 + hu = 47 + · (−0, 47) = 46, 06,

s2u = 99

175 − (−47)

100

= 15291 9900 ,

s2 = h2s2u = 22 · 15291 9900 = 15291 2475 , s = r 15291

(39)

Độ tin cậy 95%, suy − α = 0, 95 hay α = 0, 05 Khi α

2 = 0, 025, uα

2 = 1, 96

ε = uα

s √

n = 1, 96 ·

2, 49 √

100 ≈ 0, 49

Khoảng tin cậy trọng lượng trung bình loại sản phẩm (x − ε, x + ε) = (46, 06 − 0, 49; 46, 06 + 0, 49)

(40)

2 = 0, 025, uα

2 = 1, 96

ε = uα

s √

n = 1, 96 ·

2, 49 √

100 ≈ 0, 49

(41)

2 = 0, 025, uα

2 = 1, 96

ε = uα

s √

n = 1, 96 ·

2, 49 √

100 ≈ 0, 49

Khoảng tin cậy trọng lượng trung bình loại sản phẩm

(42)

2 = 0, 025, uα

2 = 1, 96

ε = uα

s √

n = 1, 96 ·

2, 49 √

100 ≈ 0, 49

(43)

Trường hợp 3: n < 30, phương sai chưa biết

Khoảng tin cậy với độ tin cậy β = − α

(x − ε, x + ε),

trong ε = tα

2(n − 1) s √

n, tα2(n − 1) giá trị tới hạn Student với n − bậc tự mức α

(44)

Ví dụ

Để ước lượng tuổi thọ trung bình loại sản phẩm, người ta chọn 26 sản phẩm thu kết sau:

Tuổi thọ (giờ) 190 195 198 200 204 205

Số sản phẩm

(45)

Ta lập bảng tính sau:

xi ri rixi rix2i

190 950 180500

195 780 152100

198 396 78408

200 1600 320000

204 1224 249696

205 205 42025

P

(46)

Ta có

x = 5155

26 ≈ 198, 27,

s2 = 25

1022729 − 5155

26

= 16929 650 ,

s =

r

(47)

Ta có

x = 5155

26 ≈ 198, 27,

s2 = 25

1022729 − 5155

26

= 16929 650 ,

s =

r

(48)

Ta có

x = 5155

26 ≈ 198, 27,

s2 = 25

1022729 − 5155

26

= 16929 650 ,

s =

r

16929 650

(49)

Ta có

x = 5155

26 ≈ 198, 27,

s2 = 25

1022729 − 5155

26

= 16929 650 ,

s =

r

(50)

Độ tin cậy − α = 0, 95, suy α = 0, 05 Tra bảng ta tα

2(n − 1) = t0,025(25) = 2, 060

ε = tα

2(n − 1) s √

n = 2, 060 ·

5, 103 √

26 ≈ 2, 06 Vậy khoảng tin cậy tuổi thọ trung bình sản phẩm

(51)

2(n − 1) = t0,025(25) = 2, 060 Độ xác ước lượng

ε = tα

2(n − 1) s √

n = 2, 060 ·

5, 103 √

(52)

2(n − 1) = t0,025(25) = 2, 060 Độ xác ước lượng

ε = tα

2(n − 1) s √

n = 2, 060 ·

5, 103 √

(53)

Bài 2: Ước lượng tỷ lệ

• Giả sử tổng thể ta nghiên cứu gồm N phần tử, có M

phần tử có tính chất A Khi p = M

(54)

Bài 2: Ước lượng tỷ lệ

• Giả sử tổng thể ta nghiên cứu gồm N phần tử, có M

phần tử có tính chất A Khi p = M

(55)

• Gọi f tỷ lệ phần tử mang tính chất A mẫu kích thước n chọn từ tổng thể

Đặt

ε = uα

r

f (1 − f )

n

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ phần tử mang tính chất A với độ tin cậy β = − α (f − ε, f + ε)

Điều kiện n f

(

nf > 10

(56)

Đặt

ε = uα

r

f (1 − f )

n

Điều kiện n f

(

nf > 10

(57)

Đặt

ε = uα

r

f (1 − f )

n

Điều kiện n f

(

nf > 10

(58)

Ví dụ

Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng 200 sản phẩm thấy có 182 sản phẩm đạt u cầu chất lượng

a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu chất lượng lô hàng

(59)

Lời giải

a) Ta có n = 200, f = 182

200 = 0, 91 Ta thấy

(

nf = 182 > 10

n(1 − f ) = 18 > 10

(60)

Lời giải

a) Ta có n = 200, f = 182

200 = 0, 91

Ta thấy

(

nf = 182 > 10

n(1 − f ) = 18 > 10

(61)

Lời giải

a) Ta có n = 200, f = 182

200 = 0, 91 Ta thấy

(

nf = 182 > 10

n(1 − f ) = 18 > 10

(62)

ε = uα

r

f (1 − f )

n = 1, 96 ·

r

0, 91(1 − 0, 91)

200 ≈ 0, 04

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu chất lượng lô hàng

(63)

ε = uα

r

f (1 − f )

n = 1, 96 ·

r

0, 91(1 − 0, 91)

200 ≈ 0, 04

(64)

ε = uα

r

f (1 − f )

n = 1, 96 ·

r

0, 91(1 − 0, 91)

200 ≈ 0, 04

(65)

b) Gọi M số sản phẩm đạt yêu cầu lơ hàng Khi tỷ lệ sản

phẩm đạt yêu cầu chất lượng lô hàng M 6000

Theo câu a) ta có

0, 87 < M

(66)

b) Gọi M số sản phẩm đạt yêu cầu lơ hàng Khi tỷ lệ sản

phẩm đạt yêu cầu chất lượng lô hàng M 6000 Theo câu a) ta có

0, 87 < M