Bai giang XSTK chuong 2

Biến ngẫu nhiên có thể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kết quả của phép thử ngẫu nhiên.. • Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω.. • Xét phép thử ngẫ[r]

(1)

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

(2)

Chương Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng

Bài 1: Biến ngẫu nhiên

1) Định nghĩa

• Tung đồng xu cân đối đồng chất hai lần gọi X số lần xuất mặt sấp

Khi

Ω = {SS, SN, N S, N N }

Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X Do

(3)

1) Định nghĩa

Khi

Ω = {SS, SN, N S, N N }

(4)

1) Định nghĩa

Khi

Ω = {SS, SN, N S, N N }

(5)

1) Định nghĩa

Khi

Ω = {SS, SN, N S, N N }

(6)

1) Định nghĩa

Khi

Ω = {SS, SN, N S, N N }

Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X

Do

(7)

1) Định nghĩa

Khi

Ω = {SS, SN, N S, N N }

(8)

• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω

Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R

• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},

(9)

• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên

Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},

(10)

• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},

(11)

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},

(12)

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},

(13)

2) Phân loại biến ngẫu nhiên

• Người ta phân biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên rời rạc

• Ta dùng chữ hoa X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên

3) Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục

1) Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân bố xác suất F (x) X có đạo hàm x ∈ R

(19)

1) Định nghĩa

(20)

1) Định nghĩa

(21)

1) Định nghĩa

(22)

2) Một số tính chất

• f (x) ≥ với x ∈ R

+∞

Z

−∞

f (x)dx =

• Với t ∈ R

F (t) =

t

Z

−∞

(23)

• f (x) ≥ với x ∈ R

+∞

Z

−∞

f (x)dx =

• Với t ∈ R

F (t) =

t

Z

−∞

(24)

• f (x) ≥ với x ∈ R

+∞

Z

−∞

f (x)dx =

• Với t ∈ R

F (t) =

t

Z

−∞

(25)

• Với a, b ∈ R, a < b

P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b)

=

b

Z

a

f (x)dx

(26)

• Với a, b ∈ R, a < b

P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b)

=

b

Z

a

f (x)dx

(27)

• Với a ∈ R

P(X < a) = P(X ≤ a)

=

a

Z

−∞

f (x)dx,

P(X > a) = P(X ≥ a)

=

+∞

Z

a

(28)

• Với a ∈ R

P(X < a) = P(X ≤ a)

=

a

Z

−∞

f (x)dx,

P(X > a) = P(X ≥ a)

=

+∞

Z

a

(29)

• Kỳ vọng X (còn gọi giá trị trung bình X), ký hiệu E(X) xác định

E(X) =

+∞

Z

−∞

xf (x)dx

• Kỳ vọng X2

E(X2) =

+∞

Z

−∞

(30)

• Kỳ vọng X (cịn gọi giá trị trung bình X), ký hiệu E(X) xác định

E(X) =

+∞

Z

−∞

xf (x)dx

• Kỳ vọng X2

E(X2) =

+∞

Z

−∞

(31)

• Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

• Ta chứng minh phương sai biến ngẫu nhiên X ln khơng âm, độ lệch tiêu chuẩn X σ(X) xác định

(32)

• Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

• Ta chứng minh phương sai biến ngẫu nhiên X ln khơng âm, độ lệch tiêu chuẩn X σ(X) xác định

(33)

Ví dụ

Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

f (x) = (

Cx − x2 ≤ x ≤ 1,

0 ngược lại

a) Xác định số C

(34)

Lời giải

a) Ta có

+∞

Z

−∞

f (x)dx =

0

Z

−∞

f (x)dx +

1

Z

0

f (x)dx +

+∞ Z f (x)dx = Z −∞ 0dx + Z

(Cx − x2)dx +

+∞

Z

1

0dx

= +

Cx2

2 − x3

+ = C

(35)

Lời giải

a) Ta có

+∞

Z

−∞

f (x)dx =

0

Z

−∞

f (x)dx +

1

Z

0

f (x)dx +

+∞ Z f (x)dx = Z −∞ 0dx + Z

(Cx − x2)dx +

+∞

Z

1

0dx

= +

Cx2

2 − x3

+ = C

(36)

Lời giải

a) Ta có

+∞

Z

−∞

f (x)dx =

0

Z

−∞

f (x)dx +

1

Z

0

f (x)dx +

+∞ Z f (x)dx = Z −∞ 0dx + Z

(Cx − x2)dx +

+∞

Z

1

0dx

= +

Cx2

2 − x3 ... class='page_container' data-page=46>

= +

Cx2

2 −

x3

t

0

= Ct

2

2 −

t3

= 4t

2

3 −

= +

Cx2

2 −

x3

t

0

= Ct

2

2 −

t3

= 4t

2

3 −

= +

Cx2

2 −

x3

t

0

= Ct

2

2 −

t3

= 4t

2

3 −