Biến ngẫu nhiên có thể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kết quả của phép thử ngẫu nhiên.. • Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω.. • Xét phép thử ngẫ[r]
(1)BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(2)Chương Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng
Bài 1: Biến ngẫu nhiên
1) Định nghĩa
• Tung đồng xu cân đối đồng chất hai lần gọi X số lần xuất mặt sấp
Khi
Ω = {SS, SN, N S, N N }
Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X Do
(3)Chương Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng
Bài 1: Biến ngẫu nhiên
1) Định nghĩa
• Tung đồng xu cân đối đồng chất hai lần gọi X số lần xuất mặt sấp
Khi
Ω = {SS, SN, N S, N N }
Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X Do
(4)Chương Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng
Bài 1: Biến ngẫu nhiên
1) Định nghĩa
• Tung đồng xu cân đối đồng chất hai lần gọi X số lần xuất mặt sấp
Khi
Ω = {SS, SN, N S, N N }
Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X Do
(5)Chương Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng
Bài 1: Biến ngẫu nhiên
1) Định nghĩa
• Tung đồng xu cân đối đồng chất hai lần gọi X số lần xuất mặt sấp
Khi
Ω = {SS, SN, N S, N N }
Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X Do
(6)Chương Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng
Bài 1: Biến ngẫu nhiên
1) Định nghĩa
• Tung đồng xu cân đối đồng chất hai lần gọi X số lần xuất mặt sấp
Khi
Ω = {SS, SN, N S, N N }
Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X
Do
(7)Chương Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng
Bài 1: Biến ngẫu nhiên
1) Định nghĩa
• Tung đồng xu cân đối đồng chất hai lần gọi X số lần xuất mặt sấp
Khi
Ω = {SS, SN, N S, N N }
Ta thấy X nhận giá trị 0; 1; ứng với kết ω ∈ Ω cho ta giá trị X(ω) X Do
(8)• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω
Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R
• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu
(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}
Ví dụ
(X = 1) = {SN, N S},
(9)• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên
Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R
• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu
(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}
Ví dụ
(X = 1) = {SN, N S},
(10)• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R
• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu
(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}
Ví dụ
(X = 1) = {SN, N S},
(11)• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R
• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu
(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}
Ví dụ
(X = 1) = {SN, N S},
(12)• Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên hiểu đại lượng biến đổi mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X hàm số X : Ω −→ R
• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu
(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}
Ví dụ
(X = 1) = {SN, N S},
(13)2) Phân loại biến ngẫu nhiên
• Người ta phân biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên rời rạc
• Ta dùng chữ hoa X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên
3) Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên
Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định
(14)2) Phân loại biến ngẫu nhiên
• Người ta phân biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên rời rạc
• Ta dùng chữ hoa X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên
3) Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên
Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định
(15)2) Phân loại biến ngẫu nhiên
• Người ta phân biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên rời rạc
• Ta dùng chữ hoa X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên
3) Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên
Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định
(16)2) Phân loại biến ngẫu nhiên
• Người ta phân biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên rời rạc
• Ta dùng chữ hoa X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên
3) Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên
Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định
(17)2) Phân loại biến ngẫu nhiên
• Người ta phân biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên rời rạc
• Ta dùng chữ hoa X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên
3) Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên
Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định
(18)Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục
1) Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân bố xác suất F (x) X có đạo hàm x ∈ R
(19)Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục
1) Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân bố xác suất F (x) X có đạo hàm x ∈ R
(20)Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục
1) Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân bố xác suất F (x) X có đạo hàm x ∈ R
(21)Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục
1) Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân bố xác suất F (x) X có đạo hàm x ∈ R
(22)2) Một số tính chất
• f (x) ≥ với x ∈ R
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
• Với t ∈ R
F (t) =
t
Z
−∞
(23)2) Một số tính chất
• f (x) ≥ với x ∈ R
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
• Với t ∈ R
F (t) =
t
Z
−∞
(24)2) Một số tính chất
• f (x) ≥ với x ∈ R
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
• Với t ∈ R
F (t) =
t
Z
−∞
(25)• Với a, b ∈ R, a < b
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b)
=
b
Z
a
f (x)dx
(26)• Với a, b ∈ R, a < b
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b)
=
b
Z
a
f (x)dx
(27)• Với a ∈ R
P(X < a) = P(X ≤ a)
=
a
Z
−∞
f (x)dx,
P(X > a) = P(X ≥ a)
=
+∞
Z
a
(28)• Với a ∈ R
P(X < a) = P(X ≤ a)
=
a
Z
−∞
f (x)dx,
P(X > a) = P(X ≥ a)
=
+∞
Z
a
(29)• Kỳ vọng X (còn gọi giá trị trung bình X), ký hiệu E(X) xác định
E(X) =
+∞
Z
−∞
xf (x)dx
• Kỳ vọng X2
E(X2) =
+∞
Z
−∞
(30)• Kỳ vọng X (cịn gọi giá trị trung bình X), ký hiệu E(X) xác định
E(X) =
+∞
Z
−∞
xf (x)dx
• Kỳ vọng X2
E(X2) =
+∞
Z
−∞
(31)• Phương sai X
D(X) = E(X2) − (E(X))2
• Ta chứng minh phương sai biến ngẫu nhiên X ln khơng âm, độ lệch tiêu chuẩn X σ(X) xác định
(32)• Phương sai X
D(X) = E(X2) − (E(X))2
• Ta chứng minh phương sai biến ngẫu nhiên X ln khơng âm, độ lệch tiêu chuẩn X σ(X) xác định
(33)Ví dụ
Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f (x) = (
Cx − x2 ≤ x ≤ 1,
0 ngược lại
a) Xác định số C
(34)Lời giải
a) Ta có
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
0
Z
−∞
f (x)dx +
1
Z
0
f (x)dx +
+∞ Z f (x)dx = Z −∞ 0dx + Z
(Cx − x2)dx +
+∞
Z
1
0dx
= +
Cx2
2 − x3
+ = C
(35)Lời giải
a) Ta có
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
0
Z
−∞
f (x)dx +
1
Z
0
f (x)dx +
+∞ Z f (x)dx = Z −∞ 0dx + Z
(Cx − x2)dx +
+∞
Z
1
0dx
= +
Cx2
2 − x3
+ = C
(36)Lời giải
a) Ta có
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
0
Z
−∞
f (x)dx +
1
Z
0
f (x)dx +
+∞ Z f (x)dx = Z −∞ 0dx + Z
(Cx − x2)dx +
+∞
Z
1
0dx
= +
Cx2
2 − x3 ... class='page_container' data-page=46>
= +
Cx2
2 −
x3
t
0
= Ct
2
2 −
t3
= 4t
2
3 −
= +
Cx2
2 −
x3
t
0
= Ct
2
2 −
t3
= 4t
2
3 −
= +
Cx2
2 −
x3
t
0
= Ct
2
2 −
t3
= 4t
2
3 −