§Ị thi häc sinh giái 12 (Thêi gian lµm bµi 180) Câu 1: Chứng minh hàm số y = x 4- 6x2 + 4x + lu«n lu«n cã cực trị đồng thời gốc toạ độ O trọng tâm tam giác tạo đỉnh điểm cực trị đồ thị hàm số Câu 2: Giải hệ phơng trình x+y = 4z y+z= 4x − z+x= 4y −1 C©u 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vuông góc oxy cho parabôn (P): y = 4x M điểm di động (P) M 0, T điểm (P) cho T 0, OT vu«ng gãc víi OM a Chøng minh r»ng M di động (P) đờng thẳng MT ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh b Chøng minh r»ng M di động (P) thì trung điểm I MT chạy pa bol cố định Câu 4: Giải phơng trình sau: sinx + siny + sin (x+y) = nπ C©u 5: Cho d·y sè In = ∫π 2n 3 cos x dx , x n∈N* TÝnh nlim I → +∞ n C©u 6: Cho ≠ a > 0, chøng minh r»ng ln a 1+ a < a −1 a+3 a Ngời đề :Ngô Quốc Khánh Trờng PTTH Lam S¬n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liu file word mi nht Đáp án Câu 1: (3 điểm ) Tập xác định: D = R y = x4 - 6x + 4x + y’ = 4x3 - 12x + y’ = g(x) = x - 3x + = (1) Ta cã g(x), liªn tơc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = g(-2).g(-1)< 1)< g(-1).g( g(1).g(2)< g(x) liên tục nên phơng trình (1) có nghiƯm ph©n biƯt tháa m·n : - < x1 < -1 < x2 < < x3 < * Ta cã y = y’.x- 3.(x - x - 2) (1) Gọi điểm cực trị lµ A (x 1,y1), B(x2,y2), C (x 3,y3) vµ G (x 0,y0) trọng tâm tam giác ABC Theo ĐL Viet cã Tõ (2) suy x = x1 + x2 + x3 = (2) x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3) x1 + x2 + x3 =0 Tõ (1) (2) (3) suy ra: y0 = (y1+y2+y3) = -3 [( x12 + x22 + x32 )-(x1+x2+x3) - 6] = -3 [(x1 + x2 + x3)2 - (x 1x2 + x2x3 + x3x1) - 6] = -3 (0 - (-3) - 6) =0 Vậy G (0;0) 0(0;0) (ĐPCM) Câu 2: ( ®iÓm) x+y = (1) 4z −1 y+z= 4x − (2) z+x= 4y −1 (3) (I) ®k x,y,z > áp dụng bất đẳng thức cosi tacó: z − = (4 z − 1).1 < T¬ng tù x − < 2x (2’) (4 z − 1) + = 2z (1’) y − < 2y (3’) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tõ (1’) ;(2’) ; (3’) vµ (1) ; (2) ; (3) suy 2(x+y+z) = z − + x − + y − < 2z + 2x + 2y (4) Tõ (4) suy ra: 4z - = (I) 4x - = x = y = z = nghiƯm ®óng (I) 4y - = VËy hÖ (I) cã nghiƯm x = y = z = C©u 3: (P): y2 = 4x y12 y22 ; y1 ; T ; y2 víi y1,y2 ≠ 0; y1 ≠ y2 a (3®iĨm ) Gi¶ sư M OT⊥OM ⇔ OT.OM = ⇔ ⇔ y12 y12 + y1.y2 = 4 y1 y2 + 16 = Phơng trình đờng thẳng MT: y12 x4 y2 y12 4 (1) = y - y1 y2 - y1 ⇔ 4x - y12 = (y + y2) (y-y1) ⇔ 4x - (y + y2) y - 16 = ⇔ 4(x- 4)- (y + y2) y= Nên đờng thẳng MT ®i qua ®iĨm cè ®Þnh J (4;0) b (3®iĨm) Gäi I (x 0, y0) trung điểm MT ( x0 = y1 + y22 y0 = y1 + y2 Tõ (1) suy x = ) (1) (2) 1 [(y1+y2)2 - 2y1y2] = [(2y0)2 - (-16)] 8 = y0 + 2 ⇒ y = 2x0 - Từ I chạy parabôn (P) : y = 2x = cố định Câu 4: (3 điểm) http://dethithpt.com Website chuyờn thi – tài liệu file word 3 sin x + sin y + sinz (x+y) = (1) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki từ (1) ta cã 27 3 =( ) = [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y + sin2(x+y)) = [ − cos x − cos y + +sin2 (x+y)] 2 = 3.[1- cos (x+y) cos (x-y) + - cos (x+y)] = [2-(cos (x+y)+ < (2- + 1 cos (x-y)2) + cos2 (x-y)] 27 ) = (2) (Do cos (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x4 y)2 > Tõ (2) suy ra: cos2 (x-y) = (1) ⇔ cos (x+y) + cos (x-y) = sinx = sin y = sin (x+y) = π x = + 2kπ y = π + 2nπ ⇔ víik , n ∈ Z In = Câu 5: (3 điểm) 4n 2n Ta chứng minh: nπ Ta cã: In = ∫π 2n nπ = ∫π 2n * Ta cã: < In < cos x dx = x nπ ∫π 4n cosx dx x 4nπ (1) d (sin x) sin x 4nπ = 2nπ x x nπ ∫π sin x.d ( x ) 2n sin x dx x2 sin x < ∀x ∈ [2nπ , 4nπ ] nªn x x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 4 nπ In < dx ∫π x =− 2n 4nπ 1 + = =x 2nπ 4nπ 2nπ 4nπ n −1 ( k +1)π ∫π * Ta cã: In = Σ k =n ( k +1)π => JK = ∫π 2k sin x dx ®Ỉt JK = x2 2k sin x + x2 ( k +1)π sin x ∫ dx > ( k +1)π x (2) ( k +1)π ∫π 2k ( k +1)π sin x dx x2 ∫πsin x ( x − 2k )dx >0 (x + π )2 n −1 Ta l¹i cã: In = Σ Jk (3) nªn In > (4) k =n Tõ (2) (4) suy < I n ≤ 4nπ Ta l¹i cã nLim = nên + 4n (3) (1) Lim I n = n→ + ∞ C©u 6: (3 ®iĨm) ln a 1+ a < a −1 a+3 a (1) víi ≠ a > Trong hỵp 1: a >1 (1) (a + a )lna < (1 + a ) (a-1) (2) Đặt f(x) = x4 + x3 - x - -3 (x + x)lnx a => x >1 ∀x > (2) 3(x +x) lnx < (1+x).(x 3-1) x4 + x3 - x - - (x 3+x)lnx > Đặt x = (3) x > x ∈[1;+ ∞ ) Ta cã f’(x) = x + 3x - - [(3x2 + 1) lnx + (x + x) ] x = 4x3 - - (3x + 1) lnx f”(x) = 3.(4x - 3x - 6xln x f(4)(x) = 3.(8- ) x f(3)(x) = ( 8x + -6ln x - 9) x2 6(4 x − x − 1) 6( x − 1)(4 x + x + − 3)= = > , ∀x > x x x3 x3 Suy f(3)(x) ®ång biÕn nªn [1;+ ∞ ) f(3)(x) > f(3)(1) = t¬ng tù f’(x)> víi ∀x > ⇒ f(x)> f (1) = víi ∀x >1 suy (3) Trờng hợp 2: < a < đặt a = , a1 > quay vÒ trêng hỵp a1 http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Tµi liƯu tham khảo Hàm số - Tác giả : Trần Phơng T¹p chÝ " Crux - Mathematicorum " T¹p chí toán học Ca na đa http://dethithpt.com Website chuyờn đề thi – tài liệu file word ... y12 y22 ; y1 ; T ; y2 víi y1,y2 ≠ 0; y1 y2 a (3điểm ) Giả sử M OT⊥OM ⇔ OT.OM = ⇔ ⇔ y12 y12 + y1.y2 = 4 y1 y2 + 16 = Phơng trình ®êng th¼ng MT: y12 x4 y2 y12 4 (1) ... Viet có Từ (2) suy x = x1 + x2 + x3 = (2) x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3) x1 + x2 + x3 =0 Tõ (1) (2) (3) suy ra: y0 = (y1+y2+y3) = -3 [( x12 + x22 + x32 )-(x1+x2+x3) - 6] = -3 [(x1 + x2 + x3)2 - (x 1x2... Câu 1: (3 điểm ) Tập xác định: D = R y = x4 - 6x + 4x + y’ = 4x3 - 12 x + y’ = g(x) = x - 3x + = (1) Ta cã g(x), liªn tơc g(-2) = -1, g( -1) = 3, g (1) = -1 , g(2) = g(-2).g( -1) < 1) < g( -1) .g(