LÝ THUYẾT HH 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP • Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt • Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm ngồi khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện • Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện • Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện • Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình khơng gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' xác định gọi phép biến hình khơng gian Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian: 3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ r v Nội dung Là phép biến hình biến điểm Hình vẽ thành M M' cho uuuuur r MM ' = v 3.1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) Nội dung (P ) Là phép biến hình biến điểm thuộc nó, biến điểm M khơng thuộc M ' cho (P ) thành thành điểm mặt phẳng trung trực MM ' (P ) Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng thành (P ) Hình vẽ (P ) biến hình (H) gọi mặt phẳng đối xứng (H) 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Là phép biến hình biến điểm thành nó, biến O điểm điểm M khác O thành điểm cho O trung MM ' Nếu phép đối xứng tâm M' Hình vẽ O O biến hình gọi tâm đối xứng ( ) (H) 3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng Nội dung thành H ∆ (phép đối xứng trục ∆ ) Hình vẽ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng ∆ thành nó, biến điểm thành điểm M' cho đường trung trực ∆ Nếu phép đối xứng trục ∆ khơng thuộc M biến hình ∆ ( ) ∆ MM ' thành H gọi trục đối xứng (H) * Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện thành đa diện , biến đỉnh, cạnh, mặt H H' ( ) ( ) ( ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng H ( ) H' 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ Nếu khối đa diện (H ) , (H ) (H) hợp hai khối đa diện ( ) ( ) H1 H2 cho khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện thể lắp ghép hai khối đa diện để khối đa diện (H ) (H ) và ( H ) , hay có (H ) với (H) KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm AB điểm đoạn thuộc khối A Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page B TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 5.2 Khối đa diện 5.2.1 Định nghĩa • Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: n  Các mặt đa giác cạnh p  Mỗi đỉnh đỉnh chung cạnh • Khối đa diện gọi khối đa diện loại 5.2.2 Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại { n, p} { 3;3} , loại { 4;3} , loại { 3;4} , loại { 5;3} , { } 3;5 loại Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 5.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số Loại Số MPĐX Số Số cạn đỉnh mặt h Tứ diện { 3;3} Khối lập phương 12 { 4;3} Bát diện 12 { 3;4} Mười hai mặt 20 30 12 { 5;3} 15 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Hai mươi mặt 12 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại Khi đó: 30 { n, p} { 3;5} 20 có Đ đỉnh, C 15 cạnh M mặt pĐ = 2C = nM 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 5.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó: • Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều; • Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 5.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện 5.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 5.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng khơng thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: • Ba đường chéo cắt trung điểm đường • Ba đường chéo đơi vng góc với nhau; • Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp Nội dung V = Hình vẽ S h đáy Sđáy : Diện tích mặt đáy h • : Độ dài chiều cao khối chóp • VS.ABCD = d S ( S,( ABCD ) ) ABCD 6.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 V = Sđáy.h S đáy • : Diện tích mặt đáy h • : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V = abc 6.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V = a3 6.5 Tỉ số thể tích Nội dung VS A′B ′C ′ VS ABC = Hình vẽ SA′ SB ′ SC ′ SA SB SC S V = ( h B + B ′ + BB ′ B’ A’ Thể tích hình chóp cụt ABC A′B ′C ′ C’ ) A B C Với B, B ′, h diện tích hai đáy chiều cao 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt • Đường chéo hình vng cạnh a a • Đường chéo hình lập phương cạnh a : a • Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : a2 + b2 + c2 a • Đường cao tam giác cạnh a là: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác D ABC A AH 7.1.1 Cho vuông , đường cao 2 • AB + AC = BC • AB = BH BC • AC = CH BC • AH BC = AB AC • AH = BH HC 1 = + 2 AB AC • AH • AB = BC sinC = BC cosB = AC tanC = AC cot B 7.1.2 Cho D ABC có độ dài ba cạnh là: a , b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc R bán kính đường trịn ngoại tiếp ; bán kính đường trịn nội tiếp p r nửa chu vi • Định lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 − 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 − 2ab.cosC • Định lí hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sinC • Độ dài trung tuyến: b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 2 ma = − ; mb = − ; mc = − 4 7.2 Các công thức tính diện tích 7.2.1 Tam giác 1 S = a.ha = bh b = ch 2 c • 1 S = bc sin A = ca.sin B = absinC 2 • abc 4R • • S = pr S= • ( )( )( S = p p−a p−b p−c • ∆ABC vuông A: S = • ∆ABC đều, cạnh ) AB AC BC AH = 2 a : AH = a a2 S= , Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 7.2.2 Hình vng • S =a ( a: cạnh hình vng) 7.2.3 Hình chữ nhật a, b • S = ab ( : hai kích thước) 7.2.4 Hình bình hành · = AB AD.sin BAD • S = đáy × cao 7.2.5 Hình thoi · S = AB AD.sin BAD = AC.BD • 7.2.6 Hình thang • S= a+b h ( ) ( a, b : h hai đáy, : chiều cao) 7.2.7 Tứ giác có hai đường chéo vng góc • S= AC & BD AC BD MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ A SABC Cho hình chóp với mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SAC ) vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1,S2,S3 Khi đó: C B 2S1.S2 S3 VS.ABC = Cho hình chóp S ABC , hai mặt phẳng nhau, S có SA vng góc với ( SAB ) · · BSC = a , ASB =b ( SBC ) vng ( ABC ) S góc với C A SB 3.sin2α tan β 12 Khi đó: S ABC ABC Cho hình chóp có đáy tam a, giác cạnh cạnh bên b B VS ABC = Khi đó: VS ABC a2 3b2 − a2 = 12 S C A G M B Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 S ABC Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α Khi đó: VS ABC = a3 tanα 24 S C A G M B S ABC Cho hình chóp tam giác có cạnh b bên cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β Khi đó: VS ABC = VS ABC G hình vng SA = SB = SC = SD = b VS ABC = S C A G cạnh S ABCD có đáy a, ABCD S D B C a tanα Khi đó: VS.ABCD S A D Cho hình chóp tứ giác · a, SAB =a A M O C B S ABCD S có cạnh đáy π π  α ∈ ; ÷  2 với a3 tan2 α − = M O S ABCD Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy α Khi đó: M B a2 4b2 − 2a2 VS.ABCD = M B a3.tan β = 12 Cho hình chóp tứ giác Khi đó: C A 3b3.sin β cos2 β S ABC Cho hình chóp tam giác có cạnh a, đáy cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β Khi đó: S D A M O C B Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 10 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 • • • ( P) Û pt ( *) d song song với vơ nghiệm nằm có vơ số nghiệm t d P ⇔ Pt * ( ) d vng góc ( ) r u r phương P ⇔a n ( ) 3.2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng M ' ∆1  a M0  b  u  u' ∆2 ∆1 ∆2 M0 ' ∆1 M M  u  u' M 0' M0 3.2.2.1 Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: •  u ∆2 M ' ∆1  u' ∆2 r ∆ qua M có vectơ phương u1 r ∆ qua N có vectơ phương u2 r r r r uuuur ⇔ u1 ,u2  = u1 , MN  =   ∆1 ≡ ∆ r r r  u , u  =   r ⇔  r uuuur u , MN  ≠  ∆ 1  //   ∆   • r r r  u , u  ≠  2 ⇔  r r uuuur  u , u  MN =  ∆ ∆   cắt • r r uuuur ⇔  u ∆ ∆  ,u2  MN ≠ chéo • 3.2.2.2 Phương pháp đại số M Muốn tìm giao điểm ta giải hệ phương trình : tìm x, y, z (∆1) va ( ∆2 )  pt ( ∆ )   pt(∆2)   Suy ra: ( ) M x,y, z   3.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 40 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho đường thẳng có tâm I (a;b;c) d: x = x + a t (1)  y = y + a t (2)  z = z + a t (3)  , bán kính mặt cầu ( S ) : (x − a) + (y − b)2 + (z − c)2 = R R 3.2.3.1 Phương pháp hình học • Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu ( S) đến đường thẳng d uuuur r IM a   h = d(I ,d) = r a • Bước 2: So sánh d(I ,d) với bán kính mặt cầu:  Nếu  S Nếu d(I ,d) = R d tiếp xúc d(I ,d) > R R d khơng cắt ( S) ( ) ( ) S Nếu d(I ,d) < R d cắt hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2 Phương pháp đại số Thế vào phương trình rút gọn đưa phương trình bậc hai 1, 2, S  () ( ) ( ) theo ( ) ( ) t * • Nếu phương trình • Nếu phương trình • Nếu phương trình ( *) ( S) vơ nghiệm ( *) ( ) * d khơng cắt có nghiệm có hai nghiệm d tiếp xúc d cắt ( ) ( S) hai điểm phân biệt S M, N Chú ý: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 41 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Ðể tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng 3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Định lý d Hình vẽ ( Oxyz ) Trong khơng gian cho hai mặt phẳng α, β xác định phương trình : (α ) : A1x + B1y + C 1z + D1 = (β ) : A2x + B2y + C 2z + D2 = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (α ) & (β ) ta có cơng thức: cosϕ = A1A2 + B1B2 + C 1C A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung x − x0 y − y0 z − z0 (∆) : = = a b c Cho đường thẳng Hình vẽ mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆) & (α ) ta có cơng thức: sinϕ = Aa + Bb + Cc A + B + C a2 + b2 + c2 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Cho hai đường thẳng : Hình vẽ x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c x − x0′ y − y0′ z − z0′ (∆2) : = = a' b' c' (∆ ) & (∆ 2) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ta có (∆1) : cosϕ = cơng thức: aa' + bb' + cc' a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 42 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M 0(x0;y0;z0) Khoảng cách từ điểm tính : d(M 0; ∆) = M0 đến mặt phẳng (α ) Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung M 0(x0;y0;z0) Cho đường thẳng (∆) qua điểm r có VTCP u = (a;b;c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) tính cơng thức: uuuuuur r M M ;u   d(M 1, ∆) = r u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Định lý: ( Oxyz ) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo : r (∆ 1) co VTCP u = (a;b;c) va qua M 0(x0;y0;z0) ur (∆ 2) co VTCP u' = (a';b';c') va qua M 0' (x0' ;y0' ;z0' ) Hình vẽ Hình vẽ (∆ ) va ( ∆2 ) Khi khoảng cách tính r uu r uuuuuur u, u ' M M '   0 d(∆1, ∆ 2) = r uu r u;u '   công thức 3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP 3.5.1 Dạng d 3.5.2 d 3.5.3 x = x + a t o  (d) : y = yo + a2t r z = z + a t M (x ;y ;z ) a = (a1;a2;a3) o  qua điểm 0 0 có VTCP Dạng uuur A , B : qua hai điểm Một VTCP d AB Dạng ( t ∈ R) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 43 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 d qua điểm M 0(x0;y0;z0) song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d / / ∆ nên VTCP ∆ VTCP d 3.5.4 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng ( ) d⊥ P nên VTPT 3.5.5 Dạng (P ) (P ) cho trước: Vì VTCP d d giao tuyến hai mặt phẳng • Cách 1: Tìm điểm VTCP ( P) , ( Q) :  (P )  (Q )  A ∈ d :  Tìm toạ độ điểm cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị cho ẩn) r r r d : a = nP , nQ   Tìm VTCP • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 3.5.6 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với hai đường thẳng d1,d2 : r r r a = ad ,ad  d ⊥ d1, d ⊥ d2  2 d Vì nên VTCP là: 3.5.7 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) , vng góc cắt đường thẳng ∆ • Cách 1: H ∈ ∆  uuuuur r M H ⊥ u∆ M Gọi H hình chiếu vng góc đường thẳng ∆ Thì  M , H Khi đường thẳng d đường thẳng qua • Cách 2: Gọi (P ) mặt phẳng qua A vng góc với d qua A chứa d Khi 3.5.8 Dạng ( ) ; Q mặt phẳng ( ) ( ) d =  P ∩ Q d qua điểm M 0(x0;y0;z0) cắt hai đường thẳng d1,d2 : • Cách 1: M ∈ d1, M ∈ d2 M , M 1, M Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 44 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Gọi ( P ) = (M ,d ) , ( Q ) = (M ,d ) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) Do đó, VTCP d r r r a = nP , nQ  chọn 3.5.9 Dạng ( P ) cắt hai đường thẳng d ,d A = d ∩(P ), B = d ∩(P ) Tìm giao điểm d nằm mặt phẳng 1 ( ) ( ) : Khi d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng (P ) ( ) Q d, d chứa ∆ mặt phẳng chứa ∆ d= P ∩ Q Khi 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: • Cách 1: MN ⊥ d1  MN ⊥ d2 M ∈ d1, M ∈ d2 Gọi Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: r r r a = ad ,ad  d ⊥ d1 d ⊥ d2   d  Vì nên VTCP là: ( P ) chứa d d1, cách:  Lập phương trình mặt phẳng d  Lấy điểm A r r r nP = a,ad  P) (  1  Một VTPT là: ( Q ) chứa d d2 Khi  Tương tự lập phương trình mặt phẳng ( ) ( ) d= P ∩ Q 3.5.12 Dạng 12 d hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (Q ) ( P) ta Lập phương trình ( ) P chứa ∆ vng góc với mặt phẳng cách: • Lấy M ∈ ∆ r r r Q) P) nQ = a∆ , nP  ( ( ∆ • Vì chứa vng góc với nên d = ( P ) ∩ (Q ) • Khi 3.5.13 Dạng 13 M d d : d qua điểm , vng góc với cắt • Cách 1: mặt phẳng Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 45 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 d MN ⊥ d1, Gọi N giao điểm d Từ điều kiện ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: (P ) (Q ) Viết phương trình mặt phẳng d = ( P ) ∩ (Q ) Khi  Viết phương trình mặt phẳng d qua M vng góc với  d chứa M  3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm • Cách 1: M đến đường thẳng d uuuuur M M ,ar    d(M ,d) = r r M a Cho đường thẳng d qua có VTCP a • Cách 2:  Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d d M ,d = MH  ( ) • Cách 3:  Gọi ( ) N x; y; z ∈ d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d)  Tìm t để MN nhỏ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 46 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Khi N ≡ H Do ( ) d M ,d = MH 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d2 qua điểm Chú ý: M2 có VTCP r a2 d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP r r uuuuuur a1,a2  M 1M d(d1,d2) = r r a1,a2  Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách r a1 , d1 ( α ) chứa d2 song song với d1 với mặt phẳng 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng 3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP r r a1,a2 song song với (α) r r a1.a2 r r cos( a1,a2 ) = r r a1 a2 r r d, d a ,a Góc bù với góc là: 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng r r α a = (a1;a2;a3) Cho đường thẳng d có VTCP mặt phẳng có VTPT n = (A;B ;C ) ( ) Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) hình chiếu d' ( (α) góc đường thẳng d với Aa1 + Ba2 + Ca3 ) sin d· , ( a ) = A2 + B + C a12 + a2 + a32 là: MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu tâm bán kính là: R S I a;b;c , ( ) ( ) () (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 47 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Phương trình Đặc biệt: ( 1) Khi gọi phương trình tắc mặt cầu I ≡O (C ) : x2 + y2 + z2 = R 4.1.2 Phương trình tổng quát Phương trình : với phương 2 2 2 x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = a +b +c −d > trình mặt cầu ( S) có tâm ( ) bán kính I a;b;c , R = a +b +c −d 2 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt phẳng mặt cầu có phương trình : (α ) S ( ) (α ) : Ax + By + Cz + D = (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Gọi d(I ;α ) khoảng cách từ tâm mặt cầu ( ) đến mặt phẳng S S( I ; R ) Cho mặt cầu mặt phẳng ( P) I ( P ) ⇒ d = IH hình chiếu vng góc lên d>R d=R Mặt cầu mặt Mặt phẳng tiếp xúc mặt phẳng khơng có điểm P cầu: mặt phẳng tiếp chung H diện mặt cầu : tiếp điểm Gọi H ( ) ( α ) = d I ,( P ) d