MẶT PHẲNG và mặt cầu

CHỦ ĐỀ 32: BÍ QUYẾT GIẢI CÁC DẠNG TỐN VỀ MẶT CẦU A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Sự hình thành mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu: Tập hợp tất điểm không gian cách I khoảng R ( I; R) cho trước mặt cầu tâm I bán kính R Kí hiệu S = 4πR Diện tích mặt cầu: Khối cầu: Tập hợp tất điểm không gian cách I khoảng ≤R gọi khối cầu tâm I bán kính R Như khối cầu bao gồm mặt cầu phần không gian bên mặt cầu V= Thể tích khối cầu: πR Phương trình tắc mặt cầu I (a; b; c) Mặt cầu (S) có tâm ( x − a) bán kính R có phương trình tắc là: + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 Phương trình tổng quát mặt cầu x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + a + b + c − R = Khai triển phương trình (1) ta được: A = −2a, B = −2b, C = −2c, D = a + b + c − R Để dễ nhìn ta đặt: x + y + z + Ax + By + Cz + D = (2) Khi ta thu được: Phương trình (1) gọi phương trình tổng quát mặt cầu B VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Ví dụ (Chuyên Biên Hòa - 2017): ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 25 2 Cho mặt cầu (α ) m để (α) (α) : x + y − z + m = mặt phẳng Các giá trị (S ) khơng có điểm chung Trang m ≤ −9 A m ≥ 21 B m < −9 m > 21 C −9 ≤ m ≤ 21 D −9 < m < 21 Giải ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − ) = 25 ⇒ I ( −1; 2;3 ) 2 Xét bán kính Để ⇔ d ( I ; ( P) ) > R (α ) (S ) R = khơng có điểm chung −1.2 + − 2.3 + m 22 + 12 + ( −2) >5  m > 21 ⇔ m − > 15 ⇔   m < −9 ⇒ Chọn B Tổng quát d ( I ; ( P) ) > R Mặt phẳng (P) khơng cắt mặt cầu (S) Ví dụ (Chuyên Biên Hòa - 2017): ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu Mệnh đề đúng? A Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy) B Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz) C Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) D Mặt cầu (S) không tiếp xúc với mặt Giải I ( 2; −1;3 ) ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) = ⇒ Xét mặt cầu 2 tâm R = z = 0; x = 0; y = Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình là: d ( I ;(Oxy ) ) = 3, d ( I ;(Oyz ) ) = 2, d ( I ;(Oxz ) ) = Khi ⇒ nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy) Chọn A Tổng quát Trang d ( I ;( P) ) = R Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Ví dụ (THPT Lê Lợi - 2017): Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình ( P) : x + y + z − m + 4m − = 0, ( S ) : x + y + z − x + y − z − = ( P) Tất giá trị m để (S ) tiếp xúc A m = −1 m=5 B m = −1 m = −5 C m = −1 D m=5 Giải I ( 1; −1;1) (S ) Mặt cầu có tâm ( P) Để bán kính d ( I ; ( P) ) = R ⇔ (S ) tiếp xúc với R = + + + = − m + 4m − m = ⇔ m − 4m + = ⇔ ( m + ) = ⇔   m = −1 ⇒ + +1 =3 Chọn A Mở rộng d ( I ; (P) ) > R Nếu đề hỏi tìm m để (P) ngồi (S) Ví dụ (THPT Lê Lợi - 2017): d: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x +1 y − z + = = −1 I ( 1; −2;3) điểm Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với d ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 A ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 50 2 2 B Trang ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 50 2 ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 50 2 C 2 D Giải uuur uu r  IM ; ud    R = d ( I ;( P ) ) uu r ud Ngoài phương pháp tìm ta dùng phương pháp tham số hóa tọa độ H ( −1 + 2t ; + t ; −3 − t ) Gọi chân đường cao hạ từ I xuống d uuu r IH ( −2 + 2t; + t ; −6 − t ) Khi uuu r uu r IH ud = ( 2t − ) + t + + t + = ⇔ t = −1 Suy Suy IH = 16 + + 25 = ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 50 2 Do ⇒ Chọn B Tổng kết R = IH = d ( I ; d ) Mặt cầu (S) tiếp xúc với d Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu với yếu tố cho trước Ví dụ (THPT Hai Bà Trưng - 2017): O, A ( 1;0; ) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A ( 0; −2;0 ) , C ( 0; 0; ) (S ) : x + y + z + x − y + z = A (S ) : x + y + z − x + y − z = B (S ) : x + y + z − x + y − z = C (S ) : x + y + z + x − y + 8z = D Giải Cách 1: Đi từ phương trình tổng quát Phương trình mặt cầu có dạng Trang ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (a + b + c − d > 0) O, A ( 1;0;0 ) Vì mặt cầu (S) qua A ( 0; −2; ) , C ( 0; 0; ) nên ta có: d =0 d =  12 + + − 2.1.a + d =  a =  ⇔   + (−2) + − ( −2).b + d = b = −1  + + 42 − 2.4.c + d =   c = ⇒ (S ) : x2 + y2 + z2 − x + y − 4z = ⇒ Chọn C Cách 2: Đi từ tâm I mặt cầu I (a; b; c ) Gọi tâm mặt cầu Ta có: IO = IA = IB = IC = R  IO = IA2  a + b + c = (a − 1) + b + c   2 2 2  IO = IB ⇔ a + b + c = a + (b + 2) + c  IO = IC  a + b2 + c = a + b + (c − 4)   Rút gọn giải hệ bậc phương trình ẩn ta ⇒ R = OI = I ( ; −1; 2) 21 +1+ = 2 1 21 2  ⇒ ( S ) :  x − ÷ + ( y + 1) + ( z − ) = 2  Bình luận Có cách để giải này, cách Đi từ phương trình tổng qt buộc phải có máy tính Vinacal 570 VN Plus giải hệ bậc phương trình ẩn Ví dụ (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2017): M ( 1; −1; ) , N ( 3;1; ) Trong không gian Oxyz, cho điểm Tìm phương trình mặt cầu có đường kính MN ( S ) : ( x − ) + y + ( z − 3) = A ( S ) : ( x − ) + y + ( z − 3) = 2 B Trang ( S ) : ( x + ) + y + ( z + 3) = ( S ) : ( x + ) + y + ( z − 3) = 2 C D Giải I ( a; b; c ) Gọi tâm mặt cầu Ta có: 1+  a= =2  −1 +  = ⇒ I (2;0;3) b =  2+4  c= =3  Bán kính mặt cầu là: ( − 1) R = MI = ⇒ + ( + 1) + ( − ) = 2 Chọn B Tổng quát R= Mặt cầu (S) nhận AB làm đường kính có tâm I trung điểm AB có bán kính AB Ví dụ (Sở GD-ĐT Phú Thọ - 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; 2; −4 ) thể tích khối cầu tương ứng 36π ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + ) = ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − ) = A 2 B ( S ) : ( x + 1) + ( y + 2) + ( z − ) = ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + ) = C 2 D Giải Gọi R bán kính khối cầu Ta có: πR = 36π ⇔ R = 3 I ( 1; 2; −4 ) Mặt cầu lại có tâm nên có phương trình: Trang ( x − 1) ⇒ + ( y − 2) + ( z + ) = Chọn A Ghi nhớ V= Thể tích khối cầu πR , diện tích mặt cầu S = 4πR ta có mối quan hệ V'=S ∫ S dx = V Ví dụ (Sở GD-ĐT Phú Thọ - 2017): I ( −2; −4;5 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Phương trình phương trình mặt cầu có tâm A cắt trục Oz hai điểm B,C cho tam giác ABC vuông ( S ) : ( x + ) + ( y + 4) + ( z − ) = 40 ( S ) : ( x + ) + ( y + 4) + ( z − ) = 82 A B ( S ) : ( x + ) + ( y + 4) + ( z − ) = 58 ( S ) : ( x + ) + ( y + 4) + ( z − ) = 90 C ⇒ 2 D Chọn A Ví dụ (THPT Hoằng Hóa - 2017): I ( a; b; c ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm tâm I thuộc mặt phẳng ⇒ ( a + 2b + 3c ) R x+ y+ z−2 =0 A(2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) A 12 ; bán kính R, qua điểm B Tính C D Chọn D Ví dụ 10 (Sở GD-ĐT Điện Biên Phủ - 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x =t  x = + 2t   d :  y = −6 + t , ∆:  y = + t  z = 2−t  z = −1 − t   ( P ) : x + y − z − = Mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với ∆ mặt phẳng ( P) Biết hoành độ điểm I số Trang nguyên Tung độ điểm I A ⇒ B C -4 D -2 Chọn C Dạng 3: Khoảng cách toán mặt cầu Ví dụ 11 (THPT Lê Q Đơn - 2017): ( S ) : x + y + z − x − y + 10 z + 14 = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( P) : x + y + z − = (S ) cắt mặt cầu A Mặt phẳng 2π B theo đường trịn có chu vi bao nhiêu? 6π C 4π D 8π Giải I ( 2;1; −5 ) ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z + ) = 16 ⇒ ( S ) 2 Ta có có tâm d ( I ( P) ) = +1− − 12 + 12 + 12 ( ⇒ R = = r = R − d = 16 − Chu vi đường trịn bán kính Bán kính đường tròn giao tuyến là: ) =2 : 2πr = 2π.2 = 4π Chọn C Tổng quát (S ) Mặt cầu thức IJ ⊥ ( P) ( P) cắt cắt theo giao tuyến đường tròn tâm J bán kính r Lại có có hệ R = IJ + r Ví dụ 12 (THPT Chuyên Hà Giang - 2017): ( x − 1) A ( 1; 2; −1) + ( y − 2) + ( z + ) = 16 ⇒ ( S ) Cho mặt cầu điểm Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu cho độ dài đoạn AM lớn Trang M ( 3; 6;9 ) M ( 1; 2; −9 ) A M ( 1; 2;9 ) B M ( −1; −2;1) C D Giải I ( 1; 2; −5 ) Tâm mặt cầu Ta nhận thấy A∈ mặt cầu Để AM lớn AM đường kính hình cầu  x M = x1 − x A = 2.1 − =  ⇒  y M = y1 − y A = 2.2 − = ⇒ M ( 1; 2; −9 )   z M = z1 − z A = 2.( −5) + = −9 ⇒ Chọn B Phương pháp Cho điểm A cố định , điểm M điểm thuộc mặt cầu AM lớn nhỏ đường thẳng AM qua tâm I mặt cầu Ví dụ 13 (Sở GD-ĐT Thanh Hóa - 2017): d: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x − y −1 z +1 = = 2 −1 I ( 2; −1;1) điểm Viết phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A,B cho tam giác IAB vuông I ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = ( S ) : ( x + ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 A B ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = 2 C D 80 Giải ⇒ H (2t + 2; 2t + 1; −t − 1) Gọi H hình chiếu I lên đường thẳng d uu r ud = ( 2; 2; −1) Đường thẳng d có vecto pháp tuyến Sử dụng uuu r uur 2 1 IH ud = ⇔ t = − ⇔ H  ; − ; − ÷⇒ IH = 3 3 Trang Tam giác IAB tam giác vuông cân I nên ⇒ IA = IH = 2 bán kính mặt cầu cần tìm Chọn C Tổng kết ∆IAB R = 2d ( I , d ) vng cân cịn ∆IAB R= d (I , d ) vng Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Ví dụ 14 (Chun Sư phạm - 2018): A ( −1;0;0 ) , B ( 0;0; ) , C ( 0; −3;0 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Bán kính mặt cầu ngồi tiếp tứ diện OABC A 14 B 14 C 14 D 14 Giải I ( a; b; c ) Ngoài cách giải đặt thiết lập hệ bậc phương trình ẩn ta sử dụng cơng thức giải nhanh ⇒ OA = 1, OB = 2, OC = Vì ⇒R= ⇒ đơi vng góc ⇒ Tứ diện OABC tứ diện vuông OA2 + OB + OC 14 = 2 Chọn C Công thức giải nhanh OA = a, OB = b, OC = c Bán kính mặt cầu tứ diện vuông OABC đỉnh O với cạnh bên a + b2 + c2 ⇒R= Ví dụ 15 (Chuyên Sư phạm - 2018): Trang 10 điểm thuộc (P) cách điểm A, B Ví dụ 7: (Đề minh họa BGD - Năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0), N(0;-1;0) P(0;0;2) Mặt phẳng (MNP) có phương trình A x y z + + =0 −1 B x y z + + =0 −1 C x y z + + =1 2 D x y z + + =1 −1 Giải ( MNP ) : ⇒ Phương trình mặt phẳng x y z + + =1 −1 => Chọn D Bí Ta thấy điểm M, N, p thuộc trục hệ trục tọa độ Oxyz, rõ ràng ta sử dụng phương trình mặt chắn Ví dụ 8: (THPT Chun Thái Bình -Năm 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho H(2;1;1) Gọi (P) mặt phẳng qua H cắt trục tọa độ A,B,C cho H trục tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng (P) là? A 2x + y + z – = B x + 2y + z – = C x + 2y + 2z – = D 2x + y + z + = Giải Mặt phẳng (P) cắt trục A, B, C lập thành hình tứ diện vng OABC Theo tính chất tứ diện vng đỉnh O từ O hạ đường vng góc đến mặt đáy (ABC) chân đường vng góc H trực tâm tam giác ABC uuur OH ( 2;1;1) Khi (P) qua H(2;1;1) nhận vecto pháp tuyến ⇒ ( P ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = ⇔ 2x + y + z − = => Chọn A Chú ý: Đối với đỉnh khác khơng nữa, ta hạ chân đường cao từ đỉnh A,B,C đến mặt đổi diện chân đường vng góc khơng trực tâm tam giác đối diện Ví dụ 9: (THPT Lê Quý Đôn - Năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phưong trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (3; -4; 7) chứa trục Oz ( P ) : 3x + 4z = A ( P ) : 4x + 3y = B ( P ) : 3x + 4y = C Giải Chọn điểm A(0;0;1) ∈ Oz Mặt phẳng (P) qua điểm M, A nhận phương ( P ) : y+ 3z = D uur Oz ( 0;0;1) làm vecto Trang 26 uuuu r MA ( −3; 4; −6 ) Ta có: vecto pháp tuyến (P) r uuuu r uur n =  MA, Oz  = ( 4;3;0 ) ( P ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = hay ( P ) : 4x + 3y = Phương trình mặt phẳng (P) là: => Chọn B Kiến thức uur uuuu r uur np MA,Oz vecto gọi cặp vecto phương (P) vecto pháp tuyến tích có hướng cặp vecto phương Ví dụ 10: (Chuyên Thái Bình - Năm 2017) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng (Q):2x - y + 3z = 0; (R):x + 2y + z = Phương trình mặt phẳng (P) A.7x + y – 5z = B 7x – y – 5z = C 7x + y + 5z = D 7x – y + 5z = => Chọn B Ví dụ 11: (Chuyên Quốc Học Huế - Năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = 0; ( Q ) : x + 3y − 12 = d: x −1 y + z + = = −1 đường thẳng phẳng (R) chứa đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) Viết phương trình mặt A (R): 5x + y -7z -1 = B (R): x + 2y – z + = C (R): x + 2y – z = D (R): 15x + 11y - 17z - 10 = => Chọn D Ví dụ 12: (THPT Lương Thế Vinh - Năm 2017) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z − 4x − 8y − 12z + = Mặt phẳng tiếp xúc với (S) điểm P(-4;1;4) có phương trình A 2x – 5y – 10z + 53 = B 8x + 7y + 8z – = C 9x + 16z – 73 = D 6x + 3y + 2z + 13 = => Chọn D Dạng 3: Khoảng cách M ( x ; y0 ; z0 ) Công thức: Cho điểm d ( M;(P) ) = tính cơng thức (P): Ax + By + Cz + D = khoảng cách từ M đến (P) Ax + By + Cz + D A + B2 + C Ví dụ 13: (THPT Hồng Văn Thụ - Năm 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Trang 27 ( P) : x + y + z − = hai điểm A(3;3;l), B(0;2;1) Tọa độ điểm I (khác B) thuộc đường thẳng AB cho khoảng cách từ điểm I đến (P) khoảng cách từ điểm B đến (P) A   I  2; ;1÷   B 3  I  ; ;1÷ 2  I ( −3;1;1) C D I ≡ A Giải uuur AB = ( −3, −1, ) Ta có: ⇒ Phương trình đường thẳng  x = 3t ( AB ) :  y = + t z =  Điểm I ∈ (AB) ⇒ I(3t;2+t;1) Ta có t = d ( I, (P) ) = d ( B, (P) ) ⇔ 4t − = ⇔  t =  ⇒ Vì điểm I ≠ B ⇒ Vậy tọa độ điểm 3  I  ; ;1 ÷ 2  => Chọn B Phương pháp Khi đề yêu cầu tìm thuộc I đường thẳng d ta ln chuyển d dạng tham số sau gọi I(x + at; y + bt; z + ct) Ví dụ 14: (Sở GD&ĐT Hải Phịng – năm 2017) Trong khơng gian với tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng d: ( P ) : x + 2y + 2z + = x −1 y −1 z = = 2 đường thẳng Gọi I giao điểm d (P), M điểm đường thẳng d cho IM = Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) d [ M, (P) ] = d [ M, (P) ] = A B d [ M, (P) ] = C d [ M, (P) ] = 2 D Giải ⇒ sin ( d; (P) ) = cos ( d; (P) ) = 2+4+2 = 9 · d ( M.(P) ) = IM.sin d;(P) =8 Suy => Chọn C Bình luận Trang 28 Nếu gọi H chân đường cao từ M ∆MIH vng H, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông sin (·d;(P) ) = MH IM Ví dụ 15: (Chun KHTN- Hà Nội - Năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) :x + 2y-2z - = (Q) :x + 2y - 2z + = Khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) A B C D Giải M ( x ; y0 ; z0 ) Gọi x + 2y − 2z − = điểm thuộc (P) z = −3 ⇒ M ( 0; 0; −3) x = y0 = Chọn Ta có khoảng cách từ (P) đến (Q) khoảng cách từ điểm M thuộc (P) đến (Q) ⇒ d ( M;(Q) ) = 0+0+6+3 1+ + = ⇒ d ( (P);(Q) ) = => Chọn B Nhận xét Hai mặt phẳng có khoảng cách khỉ chúng song song với Ví dụ 16: (THPT Nguyễn Huệ - Năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x − y −1 z = = −1 A x + 3y + z – = Giải x = − t  d2 : y = z = t  Tìm phương trình mặt phẳng cách hai đường thẳng d1, d2 B x + 5y -2z + 12 = C x – 5y +2z – 12 = D x + 5y + 2z + 12 = uu r uu r u1 ( 1; −1; ) , u ( −1; 0;1) Các vtcp d1 d2 uu r uur r  u1 , u  = ( −1; −3; −1) ≠ ⇒ d1 ;d   Ta có: cắt chéo Giải hệ phương trình d1 d2 ⇒ vô nghiệm ⇒ d1 d2 chéo r uu r uur n =  u1 , u  = ( −1; −3; −1) Khi (P) nhận làm vecto pháp tuyến ⇒ (P): x + 3y + z + m = Trang 29 A ( 2;1;0 ) ∈ d1 ; B ( 2;3;0 ) ∈ d ⇒ d ( A;(P) ) = d ( B;(P) ) ⇔ + 3.1 + + m = + 3.3 + + m 12 + 32 + 12 12 + 32 + 12 ⇔ m = −8 ⇒ ( P ) : x + 3y + z − = => Chọn A Phân tích Khoảng cách từ đường thẳng d đến (P) khoảng cách từ điểm A thuộc d đến M' Khoảng cách xảy d // (P) Dạng : Hình chiếu vng góc Phương pháp : Để tìm hình chiếu vng góc điểm M lên (P) ta thực theo bước Bước : Viết phương trình đường thẳng d qua M ⊥ (P) Bước : Gọi H hình chiếu vng góc, tham số hóa tọa độ điểm M theo d Bước : Cho H ∈ (P) ta tìm t từ tìm H Ví dụ 17: (THPT Lê Quý Đôn - Năm 2017) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M(7;-9;5) mặt phẳng (P): x - 2y + z - = Toạ độ hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng (P) A (8;-11;6) B (2;1;0) C (-1;2;-3) D (3;-1;1) Giải Phương trình đường thẳng qua M vng góc với (P) x = + t   y = −9 − 2t z = + t  H = d ∩ (P) ⇒ + t + 18 + 4t + + t − = ⇒ t = −4 ⇒ H ( 3; −1;1) Khi => Chọn D Phân tích H = d ∩ (P) Vì nên H vừa thuộc d vừa thuộc (P) ⇒ tọa độ H thỏa mãn phương trình (P) Ví dụ 18: (Sở GD&ĐT Phú Thọ - Năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình hình chiếu đường thẳng A x = + t   y = − 3t z =  B x = + t   y = −2 + 3t z =  x −1 y + z − = = C  x = + 2t   y = −2 + 3t z =  mặt phẳng (Oxy)? D x = + t   y = −2 − 3t z =  Trang 30 Giải Ta có: (Oxy):z = Các điểm A(1;-2;3), B(3;1;4) ∈ d Gọi A’ hình chiếu A lên (Oxy) ⇒ A’(1;-2;0) Gọi B’ hình chiếu B lên (Oxy) ⇒ B’(3;1;0) uuuuur ⇒ A ' B' ( 2;3;0 ) Phương trình đường thẳng hình chiếu là:  x = + 2t   y = −2 + 3t z =  => Chọn C Phương pháp Để tìm hình chiếu vng góc đường thẳng d lên (P) ta chọn điểm A,B thuộc d sau tìm hình chiếu vng góc A’, B' d' qua A',B' Ví dụ 19: (THPT BắcHà -Năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(l;2;3) Phương trình mặt phẳng (α) cho hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng (α) điểm A A 3x + 2y + z – 10 = B x + 2y + 3z = C x + 2y + 3z – 14 = D x + 2y + 3z + 14 = => Chọn C Ví dụ 20: (THPT Quảng Xương - Năm 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(3;2;- 1) Điểm đối xứng M qua mặt phẳng (Oxy) A M’(3;2;0) B M’(3;2;-1) C M’(3;-2;1) D M’(3;2;1) => Chọn D Dạng : Góc Phương pháp : Gọi góc mặt phẳng (P) (Q) α Để tính góc α ta tính thơng qua góc uur uur nP ; nQ uur uur cos α = cos n P , n Q = uur uur nP nQ ( uur uur nP , nQ vecto pháp tuyến ) theo công thức: Phương pháp : Góc đường thẳng d (P) α Để tính góc α ta tính thơng qua vecto phương uur uur uur uur sin α = cos u d , nP ud nP vecto pháp tuyến theo cơng thức: ( ) Ví dụ 21: (THPT Nho Quan A - Năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(3;0;1), B(6;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B (P) tạo với mặt phẳng (Oyz) góc α thỏa mãn cos α = ? Trang 31 A C  2x − 3y + 6z − 12 =  2x − 3y − 6z =   2x + 3y + 6z + 12 =  2x + 3y − 6z − =  B  2x + 3y + 6z − 12 =  2x + 3y − 6z =  D Giải Ta có A(3;0;1), B(6;-2;1) ⇒ uuur AB = (3; −2;0)  2x − 3y + 6z − 12 =  2x − 3y − 6z + =  uuur n (P) = (−2m; −3m; −2n) suy uuur uuuuur n (P) n (Oyz) uuur uuuuur 2m n (P) n (Oyz) = −2m ⇒ cos α = uuur uuuuur = = n (P) n (Oyz) 13m + 4n Khi đó: ⇔ m = 13m + 4n ⇔ n = 9m ⇒ Chọn m = ⇒ n2 = ⇒ n = ± suy phương trình mặt phẳng (P)  2x + 3y + 6z − 12 =  2x + 3y − 6z =  => Chọn C Bình luận mặt phẳng cắt tạo thành góc ta quy ước góc α ≤ 90° uur uur cos α = cos n P , n Q ( ) neen Ví dụ 22: (THPT Bắc Hà - Năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  x = + mt   y = (m − 1)t z = + t  t∈¡ (α): 6x + 4y + 2z - = đường thẳng d: ( , m tham số) Với giá trị m d hợp với (α) góc 90° ? A m = B m = Giải r n(3; 2;1) ⇒ Vecto pháp tuyến (α) là: Để d hợp với (α) góc 90° C m = D m = r u(m; m − 1;1) , vtcp d là: r r r r  n, u  = ⇔ (3 − m; m − 3; m − 3) = ⇔ m =   => Chọn D Tổng quát Góc đường thẳng mặt phẳng nhỏ α = 0, đường thẳng // ≡ mặt phẳng Trang 32 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu (Sở GD&ĐT Tp HCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A(-2;0;0), B(0;1;0), C(0;0;-3) ( P ) : 3x − 6y + 2z − = ( P ) : 3x + 6y + 2z − = A B ( P ) : 3x − 6y − 2z + = ( P ) : 3x − 6y + 2z + = C D Câu (Sở GD&ĐT Tp HCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + (m+ 1) y− z + m = ( Q ) : 2x − y + = giá trị m bao nhiêu? A m = -5 , với m tham số thực Để (P) (Q) vng góc B m = C m = D m = -1 Câu (Chuyên Lam Sơn - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;4;1) mặt ( P ) : x − 3y + 2z − = phẳng A x − y − z −1 = = −1 Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với (P) B x + y + z +1 = = −1 C x − y − z −1 = = −1 −2 D x + y + z +1 = = −3 Câu (Chuyên ĐHSP-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 2y − 2z + = 0; ( Q ) : x + 2y − 2z − = Khoảng cách hai mặt phẳng cho là: A B C D Câu (Chuyên Phan Bội Châu - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;2;1) mặt phẳng (P): x + 2y - 2z - = Gọi B điểm đối xứng với A qua (P) Độ dài đoạn thẳng AB A B C D Câu (Đề Minh họa - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-2;3;1) B(5;6;2) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) điểm M Tính tỉ số A AM = BM B AM =2 BM C AM BM AM = BM D AM =3 BM Câu (Chuyên Phan Bội Châu - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + y - z - = (Q): x - 2y + z - = Khi đó, giao tuyến (P) (Q) có vectơ phương r r r r u = (1;3;5) u = ( −1;3; −5) u = (2;1; −1) u = (1; −2;1) A B C D Trang 33 Câu (THPT Đồn Thượng - 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (2; -3; 0), mặt phẳng (α):x + 2y - z + = Tìm mặt phẳng (P) qua A, vng góc (α) song song với Oz y + 2z + = A x + 2y − z + = B 2x + y − = C 2x − y − = D Câu (THPT Lý Thái Tố-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm điểm trục Oy cách hai mặt phẳng có phương trình x + 2y - 2z + l = 2x + y + 2z - l = A M(0;1;0) B M(0;-1;0) C   M  0; ; ÷   D M(0;0;0) N(0;-2;0) Câu 10 (THPT Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M( 1;2;3) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M cách gốc tọa độ O khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt trục tọa độ điểm A,B,C Tính thể tích khối chóp O.ABC A 1372 B 686 C 524 D 343 Câu 11 (THPT Lê Quý Đôn-2018) Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M (1; -3; 5) Gọi I;J;K hình chiếu vng góc M lên trục Ox; Oy; Oz Phương trình mặt phẳng (IJK) x− A y z + =0 x+ B y z + =1 x− C y z + =1 x+ D y z − =1 Câu 12 (Chuyên Hà Giang - 2018) Cho hai mặt phẳng (α): 2x + y + 2z – = 0; (β): 2x + y + 2z + 10=0 Tính khoảng cách mặt phẳng (α) (β) là: A 14 B C D 14 13 Câu 13 (THPT Hoàng Văn Thụ-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y +1 z + = = mặt phẳng có phương trình (P):x + 2y - 2z + = Tọa độ điểm M có tọa độ âm thuộc d cho khoảng cách từ M đến (P) A M(-2,-3,-1) B M(-1;-3;-5) C M(11;21;31) D M(-1;-5;-7) Câu 14 (THPT Nho Quan A-2018) Trong không gian Oxyz, cho A (0; 1; 0), B (2; 2; 2), C(-2;3;1) đường thẳng (d) có phương trình A B x −1 y + z − = = −1 Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện M.ABC  3   15 −11  M  − ; − ; ÷;M  − ; ; ÷  2    3   15 11  M  − ; − ; ÷; M  − ; ; ÷  2   Trang 34 C D  3   15 11  M  ; − ; ÷; M  ; ; ÷ 2 2    3   15 11  M  ; − ; ÷; M  ; ; ÷ 5 2   Câu 15 (THPT Võ Nguyên Giáp - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;-2;3), N(0;1;2), P(1;5;-1), Q(3;-1;1) Hỏi có mặt phẳng qua hai điểm M, N cách hai điểm P, Q? A mặt phẳng B mặt phẳng C Có vơ số mặt phẳng D mặt phẳng Câu 16 (Chun Thái Bình - 2018) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng ( p) chứa đường x −1 y z +1 = = thẳng d: vng góc với mặt phẳng (Q):2x + y - z = có phương trình A x – 2y – = B x – 2y + z = C x + 2y – = D x + 2y + z = Câu 17 (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A(0;1;2) mặt phẳng (P): x + y + z = A (-1;0;1) B (-2;0;2) C (-1;1;0) D (-2;2;0) Câu 18 (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng chứa điểm A(1;0;1) B(-1;2;2) song song với trục Ox có phương trình A x + y – z = B 2y – z + = C y – 2z + = D x + 2z – = Câu 19 (Chun Thái Bình - 2018) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng qua điểm A(1;3;-2) mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + = A 2x – y + 3z + = B 2x + y – 3z + = C 2x + y + 3z + = D 2x – y + 3z – = ∆1 : Câu 20 (THPT Hàm Rồng - 2018) Mặt phẳng song song với hai đường thẳng ∆2 : x − y − z −1 = = −1 r n = (5; −6;7) A có vecto pháp tuyến r n = (−5;6; −7) B r n = (−5;6;7) C x − y +1 z = = −3 r n = (−5; −6;7) D Câu 21 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ( x − 2) + ( y + 1) + ( z − ) = 10 2 −2x + y + 5z + = mặt phẳng (P): M(5;0;4) Tính góc (P) (Q) A 60° B 120° Gọi (Q) tiết diện (S) C 30° D 45° Trang 35 Câu 22 (THPT Hậu Lộc - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d) có  x = + 2t   y = + 2t z = + t  x + y − m2z − m = phương trình mặt phẳng (P): trị m để đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) A m =  m = −2  (m tham số thực) Tìm tất giá B m = -2 C m = D Khơng có giá trị m Câu 23 (THPT Quảng Xương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-2;-3); B(1;1;1) Gọi (P) mặt phẳng cho khoảng cách từ A đến (P) 15 Khoảng cách từ B đến (P) 10 Khi mặt phẳng (P) qua điểm H có tọa độ A H(1;-1;15) B H(1;1;15) C H(1;-7;9) D H(1;7;-9) Câu 24 (THPT Quảng Xương - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −1 y + z − = = 1 A Hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng tọa độ (Oxy)  x = −1 + 2t   y = −1 + t z =  B  x = + 2t   y = −1 + t z =  C  x = −1 + 2t  y = + t z =  D x =   y = −1 − t z =  Câu 25 (Sở GD&ĐT Thanh Hóa - 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng d: (P) : 2x − 3y + z − = đường thẳng x −1 y z +1 = = −1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với (P) B d song song với (P) C d vng góc với (P) D d nằm (P) Câu 26 (THPT Lê Quý Đôn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;1), B(2;1;3), C(2;-1;1) D(0;3;1) Mặt phẳng (P) qua A, B khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P) C D nằm phía mặt phẳng (P) có phương trình A 2x + 3z – = B 2y + 3z – = C 2x – y + 3z – = D 2x + 3y – = Câu 27 (THPT Hai Bà Trưng - 2018) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;-2;0), B(1;0;-1) C(0;-1;2), D(0;m;k) Hệ thức m k để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng A m + k = B m + 2k = C 2m – 3k = D 2m + k = Câu 28 (Chuyên Lê Thánh Tông - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : ( m − 1) x + 2y − mz + m + = Xác định m biết (α) // (Ox) Trang 36 A m = C m = ± B m = D m = -1 Câu 29 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm A(4;1;-2) Tọa độ điểm đối xứng với A qua mp (Oxz) là: A (4;-1;2) B (-4;-1;2) C (4;-1;-2) D (4;1;2) Câu 30 (THPT Quang Trung - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −1 y + z − = = 1 A Hình chiếu d lên mặt phẳng (Oxy) x =   y = −1 − t z =  B  x = + 2t   y = −1 + t z =  C  x = −1 + 2t  y = + t z =  D  x = − 2t   y = −1 + t z =  Câu 31 (THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y + = điểm I(4;-1;2) Mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P) (Oxy), đồng thời (Q) cách điểm I khoảng A  x − 2y − =  2x − y − =  B Mặt phẳng (Q) có phương trình  x + 2y − =  x + 2y + =  C  y − 2z + 10 =  y − 2z =  D  2x + y − =  2x + y − 12 =  Câu 32 (THPT Hai Bà Trưng - 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;0;-2), B(3;-1;-4), C(2;2;0) Điểm D nằm mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn toán là: A D(0;3;-1) B D(0;-3;-1) C D(0;1;-1) D D(0;2;-1) Câu 33 (Sở GD&ĐT HCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình hình d: chiếu vng góc đường thẳng A  x = − 6t   y = 11 − 9t z =  B x +1 y − z + = =  x = + 6t   y = 11 − 9t z =  C mặt phẳng tọa độ Oxy  x = − 6t   y = 11 + 9t z =  D  x = − 6t   y = 11 − 9t z =  Câu 34 (Sở GD&ĐT HCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( α ) : 2x + y − z − = 0; ( β ) : 2x − y + = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với trục Oz chứa giao tuyến (α) (β) A (P): x – 2y + = B (P): 2x – y + = C (P): 2x – y - = D (P): 2x + y + = Câu 35 (Chun Biên Hịa - 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) cắt trục tọa độ A, B, C Biết trọng tâm tam giác ABC G(-1;-3;2) Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng sau đây? A 6x + 2y – 3z – = B 6x + 2y – 3z + 18 = C 6x + 2y + 3z – 18 = D 6x - 2y + 3z – = Trang 37 Câu 36 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ∆: ( α ) : x + ay + bz − = đường thẳng góc giống Tìm giá trị a A a = -1 a = x y z −1 = = −1 −1 B a = a = Biết (α) // ∆ tạo với trục Ox, Oz C a = D a = Câu 37 (Sở GD-ĐT Bình Phước - 2018) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;1;2) Tọa độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxz) là: A A’(4;-1;2) B A’(-4;-1;2) C A’(4;-1;-2) D A’(4;1;2) Câu 38 (Chuyên Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x =  d :  y = −m + 2t z = n + t  mặt phẳng (P): 2mx – y + mz – n = Biết đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) Khi tính m + n A B 12 C -12 D -8 Câu 39 (Chuyên Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x − y −1 z +1 = = −1 mặt phẳng (P): x – z – = Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt phẳng (P) A x = + t  t = + t  z = −1 + t  B x = + t  t =  z = −1 − t  C  x = + 3t  t = + t z = −1 − t  D x = − t   t = + 2t z = −1 + t  Câu 40 (Chuyên Bến Tre - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z +1 x −1 y − z = = ;d ' : = = −2 −1 −2 A Khơng tồn (Q) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng d d’ B (Q): y – 2z – = C (Q): x – y – = D (Q): -2y + 4z + = Câu 41 (Chuyên Phan Bội Châu - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(3;4;4) Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2x + y + mz -1 = độ dài đoạn thẳng AB A m = B m = -2 C m = -3 D m = ± Câu 42 (Chuyên Tuyên Quang - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1, d1 : x −2 y −2 z −3 x −1 y + z +1 = = ;d : = = −1 d2 có phương trình phẳng cách hai đường thẳng d1, d2 A 14x + 4y + 8z + 13 = B 14x - 4y - 8z - 17 = C 14x - 4y - 8z - 13 = D 14x - 4y + 8z - 17 = Viết phương trình mặt Trang 38 Câu 43 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ∆: ( α ) : x − y + 2z + = đường thẳng A 30° B x y z −1 = = −1 60° Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) C 150° D 120° Câu 44 (Chuyên Lê Khiết - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng có phương ( P ) : x − y + 4z − = 0; ( Q ) : 2x − 2z + = trình A Góc mặt phẳng (P) (Q) là: 90° B 45° C 60° D 30° Câu 45 (Chuyên Võ Nguyên Giáp - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;1), B(3;-1;-2), C(6;-2;3), D(0;1;6) Hỏi có mặt phẳng qua điểm C, D cách điểm A, B? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D có vơ số mặt phẳng Câu 46 (THPT Phan Đình Phùng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 2z − = 0; ( Q ) : x + y − z − = 0; ( R ) : x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến mặt phẳng (P) (Q), đồng thời vng góc với mặt phẳng (R) A (α): x + 2y – 3z + = B (α): 2x - 3y – z - = C (α): 2x + 3y – 5z - = D (α): 3x - 2y – 5z - = Câu 47 (Chuyên KHTN – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( d) : ( P ) : 2x + 2y − z + = x −1 y + z = = 2 đường thẳng Gọi A giao điểm (d) (P); gọi M điểm thuộc (d) thỏa mãn điều kiện MA = Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) A B C D Câu 48 (THPT Quốc Học Huế - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y− z − = 0; ( Q ) : x + 3y − 12 = x −1 y + z +1 = = −1 đường thẳng d: phẳng (R) chứa đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng (P), (Q) Viết phương trình mặt A (R): 5x + y – 7z – = B (R): x + 2y – z + = C (R): x + y – z = D (R): 15x + 11y – 17z – 10 = Câu 49 (THPT Lê Lợi - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) qua điểm M(5;4;3) chắn tia Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình A x – y + z – = B x + y + z – 12 = C 5x + 4y + 3z – 50 = D x – y – z + = D BẢNG ĐÁP ÁN Trang 39 1-D 2-B 3-C 4-B 5-B 6-A 7-A 8-D 9-D 10-B 11-C 12-B 13-B 14-A 15-C 16-A 17-A 18-C 19-A 20-C 21-A 22-B 23-A 24-B 25-D 26-A 27-B 28-A 29-C 30-B 31-B 32-A 33-D 34-B 35-A 36-D 35-C 38-D 39-A 40-B 41-A 42-C 43-A 44-C 45-B 46-C 47-C 48-D 49-B Trang 40 ... Hỏi có mặt phẳng qua hai điểm M, N cách hai điểm P, Q? A mặt phẳng B mặt phẳng C Có vơ số mặt phẳng D mặt phẳng Câu 16 (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng (... có mặt phẳng qua điểm C, D cách điểm A, B? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D có vơ số mặt phẳng Câu 46 (THPT Phan Đình Phùng - 2018) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. .. 1;3;0 ) A Mặt cầu (S) có tâm B Mặt cầu (S) có bán kính A ( 2;3;1) C Điểm A ( 1; 2;1) nằm mặt cầu (S) D Điểm nằm mặt cầu (S) I ( 1; 2;3) Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S)