Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần Chương 1: Logic - Tập hợp - Ánh xạ - Số phức Ánh xạ, Cấu trúc đại số, Số phức I Ánh xạ Ánh xạ Một ánh xạ f từ tập hợp X sang tập hợp Y quy tắc cho phần tử x ứng với phần tử xác định y ∈ Y f :X→Y x → y = f (x) Tập ảnh, tập nghịch ảnh f (A) = y ∈ Y | ∃x ∈ A : f (x) = y tập ảnh A f −1 (B) = x ∈ X | f (x) = B tập nghịch ảnh B Tích ánh xạ Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Tích f g h : X → Z mà h(x) = g f (x) Ký hiệu h = g ◦ f Đơn ánh, toàn ánh, song ánh f đơn ánh với x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) f tồn ánh với ∀y ∈ Y ∃x ∈ X để f (x) = y f song ánh f vừa đơn ánh, vừa toàn ánh VD1 Cho f (x) = x2 + A = (1; 2), B = [4; 5] Tìm f (−1), f (B), f −1 (A) Giải f (x) = x2 + nên f (−1) = (−1)2 + = Ta có f (x) = 2x = ⇔ x = 0, hàm số đồng biến (0, +∞), nghịch biến (−∞, 0) f (1) = 2, f (2) = f (A) = (2; 5) √ √ √ f (x) = x = ± 3, f (x) = x = ±2, f −1 (B) = −2, − ∪ 3, VD2 Cho f (x) = x3 + x2 − 2x Tìm a, b biết f −1 {a} = {0; 1; b} Giải Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Vì f −1 {a} = {0; 1; b} nên f (0) = f (1) = f (b) = a Mà f (0) = f (1) = nên a = Phương trình x3 + x2 − 2x = có nghiệm {−2; 0; 1}, b = −2 VD3 Cho f : R2 → R2 xác định f (x, y) = (x + y, x − y) a) Chứng minh f song ánh b) Xác định f (A) với A = (x, y) ∈ R2 x2 + y = Giải a) Xét (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 thỏa mãn f (x1 , x2 ) = f (y1 , y2 ) x + x = y + y 2 ⇔ ⇒ (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ) x1 − x2 = y1 − y2 Do f đơn ánh Xét (a, b) ∈ R2 tùy ý, dễ thấy f a+b a−b , 2 = (a, b) Do f tồn ánh Vậy f song ánh b) Ta có x2 + y = 1, (x + y)2 + (x − y)2 = x2 + y = ⇒ (x, y) ∈ A f (x, y) ∈ B = (x0 , y0 ) ∈ R2 x20 + y02 = 2 x0 + y0 x0 − y + = Do với 2 x0 + y x0 − y , ∈ A để f (u, v) = (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) ∈ B, tồn (u, v) = 2 Vậy f (A) = B = (x, y) ∈ R2 x2 + y = Mặt khác với (x0 , y0 ) ∈ B hay x20 + y02 = VD4 Xét xem ánh xạ sau có đơn ánh, tồn ánh, song ánh hay không a) f (x) = x3 + b) f (x, y) = (x + 2y, x + 3y) Giải a) Xét x1 , x2 ∈ R : f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ x31 + = x32 + ⇔ x1 = x2 Do f đơn ánh √ √ Xét a ∈ R tùy ý, f (x) = a ⇔ x3 + = a ⇔ x = a − hay f a − = a Do f toàn ánh Vậy f song ánh b) Xét (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 thỏa mãn f (x1 , x2 ) = f (y1 , y2 ) x + 2x = y + 2y x + 2x = y + 2y x = y 2 2 1 ⇒ ⇔ ⇔ x1 + 3x2 = y1 + 3y2 x2 = y2 x2 = y2 Do f đơn ánh Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập x + 2x = a 2 Chọn (a, b) ∈ R tùy ý: f (x1 , x2 ) = (a, b) ⇔ ⇔ (x1 , x2 ) = (3a − 2b, b − a) x1 + 3x2 = b Do f toàn ánh Vậy f song ánh II Các cấu trúc đại số Phép tốn hai ngơi Phép tốn hai ngơi ánh xạ ∗ G×G→G (x, y) → x ∗ y Cấu trúc nhóm (G, ∗) nhóm phép tốn ∗ có tính chất sau (1) Tính kết hợp: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (2) Tồn phần tử trung hòa e ∈ G: x ∗ e = e ∗ x = x, ∀x ∈ G (3) Tồn phần tử đối xứng: ∃x để x ∗ x = x ∗ x = e, ∀x ∈ G (G, ∗) nhóm giao hốn (Nhóm Abel) phép tốn ∗ có tính giao hốn: x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ G Cấu trúc vành (G, +, ) tạo thành vành thỏa mãn tính chất sau (1) (G, +) nhóm Abel (2) (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ G (x + y)z = xz + yz (3) (Tính chất phân phối) z(x + y) = zx + zy ∀x, y, z ∈ G Cấu trúc trường (G, +, ) tạo thành trường vành giao hốn có đơn vị = cho phần tử = có phần tử đối xứng VD1 Chứng minh R \ {0} với phép tốn nhân thơng thường lập thành nhóm Abel Giải Dễ thấy tính chất giao hốn kết hợp thỏa mãn Phần tử trung hòa x.1 = 1.x = x, ∀x ∈ R \ {0} Với x ∈ R \ {0} tồn x−1 = ∈ R \ {0} để xx−1 = x−1 x = x Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Vậy R \ {0}, nhóm Abel VD2 Xét xem tập sau với phép nhân thơng thường có lập thành nhóm hay khơng √ a) A = a + b | a, b ∈ Z \ {0} √ b) B = a + b | a, b ∈ Q \ {0} Giải a) Nhận thấy phần tử trung hòa (A, ) √ √ √ Xét a + b ∈ A Giả sử c, d ∈ Z : a + b c + d = Khi √ (1) (ac + 2bd) + (ad + bc) = √ Do a, b, c, d ∈ Z nên (ad + bc) ∈ / Z Do khơng tồn a, b, c, d ∈ Z thỏa mãn (1), hay không tồn phần tử nghịch đảo Vậy (A, ) khơng nhóm b) Nhận thấy phần tử trung hòa (B, ) √ Xét x = a + b ∈ B Khi √ a−b a −b √ −1 √ = = + 2 x = 2 a − 2b a − 2b a − 2b2 a+b a ∈Q √ b ∈Q Do với x = a + b ∈ B, tồn phần tử nghịch đảo x−1 = a + b √ 2∈B Dễ thấy phép tốn "." có tính chất kết hợp, giao hốn B Vậy (B, ) nhóm, cịn nhóm Abel III Số phức Định nghĩa Số phức số có dạng z = a + bi, với a, b ∈ R i2 = −1 Ký hiệu Re(z) = a phần thực số phức z, Im(z) = b phần ảo số phức z Phép toán Với số phức z = a + bi, ta có: (1) (Các phép tốn thơng thường) (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (2) (Số phức liên hợp) z = a − bi √ (3) (Phép lấy môđun) |z| = a2 + b2 Dạng lượng giác số phức Ngoài cách biểu diễn z = a + bi, ta cịn có cách biểu diễn khác số phức sau z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream r = |z| = √ Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập a2 + b ϕ = Arg(z) : Argument số phức z Ta có số phép toán số phức dạng lượng giác zk = rk (cos ϕk + i sin ϕk ) sau: (1) z1 z2 = r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) (2) (Công thức De Moivre) z1n = r1n (cos nϕ + i sin nϕ) (3) Nếu z = √ √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n + i sin z = n r cos n n k = 1, n Công thức Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ∀ϕ ∈ R Với ϕ = π, ta có eiπ = −1 VD1 Viết số phức sau dạng tắc √ 2020 1+i a) + i b) 1−i c) (a + bi)n a2 + b2 = 0, n ∈ N∗ Giải a) √ 1+i 2020 2020 =2 2020 =2 √ +i 2 2020 2020 =2 π π cos + i sin 3 2020π 2020π + i sin cos 3 2020 =2 2020 √ i − − 2 √ = −22019 − i22019 4 π i π √ +√ cos + i sin cos π + i sin π 1+i 4 2 =1 = b) = = 1−i cos(−π) + i sin(−π) −π i −π √ −√ + i sin cos 4 2 a a b c) Đặt ϕ = arccos √ Khi cos ϕ = √ sin ϕ = √ 2 2 a +b a +b a + b2 n √ a b (a + bi)n = a2 + b √ + i√ 2 a +b a + b2 = a2 + b n (cos ϕ + i sin ϕ)n = a2 + b2 n (cos nϕ + i sin nϕ) VD2 Tìm tất nghiệm phức phương trình sau a) z − 4iz + = b) z − 3iz + = Giải a) z − 4iz + = √ ⇔ (z − 2i)2 = −3 + (2i)2 = −7 = i Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream √ z − 2i = i ⇔ √ z − 2i = −i Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập √ i ⇔ √ z = 2− i z = 2+ b) z − 3iz + = 3i z − 2 ⇔ 3i = −4 + 5i 3i z − = ⇔ 3i 5i z − =− 2 25 =− = 5i 2 z = 8i = √1 + √i 2 ⇔ i 2i z =− = √ −√ 2 VD3 a) Giải phương trình x8 i + √ √ √ z = ± + i i z=± √ −√ 2 =2 b) Tính tổng bậc phức Giải √ i −π −π a) x8 = √ = − = cos + i sin 2 6 3+i π π − + 2kπ − + 2kπ Khi x = cos + i sin , k = 0, 8 b) Gọi ε0 = 1, ε1 , ε2 , , ε7 bậc phức Khi ε8i = Do εi nghiệm phương trình x8 − = Theo định lý Viete, ta có εi = k=0 Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream ... cịn nhóm Abel III Số phức Định nghĩa Số phức số có dạng z = a + bi, với a, b ∈ R i2 = −1 Ký hiệu Re(z) = a phần thực số phức z, Im(z) = b phần ảo số phức z Phép toán Với số phức z = a + bi, ta... Xét xem ánh xạ sau có đơn ánh, tồn ánh, song ánh hay khơng a) f (x) = x3 + b) f (x, y) = (x + 2y, x + 3y) Giải a) Xét x1 , x2 ∈ R : f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ x31 + = x32 + ⇔ x1 = x2 Do f đơn ánh √ √... + (ad + bc)i (2) (Số phức liên hợp) z = a − bi √ (3) (Phép lấy môđun) |z| = a2 + b2 Dạng lượng giác số phức Ngoài cách biểu diễn z = a + bi, ta cịn có cách biểu diễn khác số phức sau z = a + bi