Ánh Xạ Và Số Nguyên Tố doc

www.themegall ery.com LOGO Nội dung Ánh xạ 1 Số nguyên – đồng dư thức 2 Số nguyên tố 3 Hệ g- phân 4 Nhóm I www.themegall ery.com LOGO Số nguyên tố Định lý Bezout 1 Các định lý cơ bản 2 Định lý Fermat nhỏ 3 Định lý Euler 4 Nhóm I Ứng dụng vào bảo mật 5 www.themegall ery.com LOGO Định lý Bezout Phát biểu : Với a,b N, a>b >=1; ta có : a) Tồn tại x,y Z : ax+by = (a,b). b) Nếu (a,b) = 1, tồn tại x,y Z sao cho ax + by = 1. c) (a,b) =1 nếu và chỉ nếu tồn tại x,y Z : ax + by = 1. ∈ Nhóm I ∈ ∈ ∈ www.themegall ery.com LOGO Định lý Bezout Chứng minh : a) Theo thuật toán Euclide : r n-2 = r n-1 q n-1 + r n hay r n = r n-2 - r n-1 q n-1 (r n là ước chung lớn nhất của a và b) Suy ra : r n là một tồ hợp tuyến tính của r n-1 , r n-2 Tạm viết là : r n  th( r n-1 , r n-2 ) và : r n-1  th( r n-2 , r n-3 ) Tiếp tục quy nạp ta có được : r n  th( r n-k , r n-k-1 ) và r n  th( a, b ) Hay tồn tại x,y Z / ax + by = r n = (a,b) (đpcm) Nhóm I Suy ra : r n  th(r n-2 , r n-3 ) ∈ www.themegall ery.com LOGO Định lý Bezout Chứng minh : b) (a,b) = 1 suy ra tồn tại x,y Z / ax + by = (a,b) = 1 (đpcm). c) Gọi c là một ước chung của a và b Giả sử ax + by = 1 ax + by chia het cho c c là ước của 1 c =1. Vậy (a,b) =1 nếu và chỉ nếu tồn tại x,y Z : ax + by = 1. ∈ Nhóm I ∈ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ www.themegall ery.com LOGO Định lý Bezout Chứng minh : b) (a,b) = 1 suy ra tồn tại x,y Z / ax + by = (a,b) = 1 (đpcm). c) Gọi c là một ước chung của a và b Giả sử ax + by = 1 ax + by chia het cho c c là ước của 1 c =1. Vậy (a,b) =1 nếu và chỉ nếu tồn tại x,y Z : ax + by = 1. ∈ Nhóm I ∈ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ www.themegall ery.com LOGO Các định lý cơ bản Phát biểu định lý 1 : Ước số nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên là một số nguyên tố. Chứng minh định lý 1 : Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1, p là ước số nhỏ nhất khác 1 của a ( a=p.k.l). Nếu p là số nguyên tố, bài toán coi như đã xong. Nếu p không là số nguyên tố p = m.n(hay a= m.n.k.l). a có 2 ước số m,n <p (vô lý vì p là ước nhỏ nhất). Vậy ta có đpcm. ∈ Nhóm I ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ www.themegall ery.com LOGO Các định lý cơ bản Phát biểu định lý 2 : Có vô số số nguyên tố. Chứng minh định lý 2: Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng : Giả sử số các số nguyên tố là hữu hạn. Không mất tính tổng quát ta giả sử chỉ có n số nguyên tố p 1 , p 2 ,…,p n . Đặt T = p 1 p 2 …p n + 1 suy ra T > 1. Theo tính chất 1 thì q > 1 là ước nguyên tố của T. q S = {p 1 p 2 …p n } q | p 1 p 2 …p n Và q | T = (p 1 p 2 …p n + 1) nên q | 1 suy ra q = 1 ( vô lý vì q > 1) Vậy có vô số số nguyên tố. Nhóm I ∈ www.themegall ery.com LOGO Các định lý cơ bản Phát biểu định lý 3 : Định lý cơ bản của số học Mọi số nguyên n>=2 đều có thể biểu diễn duy nhất thành tích của một số số nguyên tố theo dạng : n = Nhóm I k n k nn ppp 21 21 www.themegall ery.com LOGO Các định lý cơ bản Chứng minh định lý 3 : Nhóm I [...]... quả : www.themegall ery.com Ứng dụng vào bảo mật Nhóm I LOGO Ứng dụng : ∈⇔ ⇒ www.themegall ery.com Ứng dụng vào bảo mật Nhóm I LOGO Ví dụ : ∈⇔ ⇒ www.themegall ery.com Ứng dụng vào bảo mật Nhóm I LOGO Ví dụ : ∈⇔ ⇒ www.themegall ery.com Ứng dụng vào bảo mật Nhóm I LOGO Hệ quả : ∈⇔ ⇒ www.themegall ery.com Ứng dụng vào bảo mật ≡ Nhóm I LOGO www.themegall ery.com Ứng dụng vào bảo mật Ứng dụng : ≡ ∈⇔ ⇒ Tiếp . : Có vô số số nguyên tố. Chứng minh định lý 2: Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng : Giả sử số các số nguyên tố là hữu hạn. Không mất tính tổng quát ta giả sử chỉ có n số nguyên tố p 1 ,. www.themegall ery.com LOGO Nội dung Ánh xạ 1 Số nguyên – đồng dư thức 2 Số nguyên tố 3 Hệ g- phân 4 Nhóm I www.themegall ery.com LOGO Số nguyên tố Định lý Bezout 1 Các định lý cơ bản 2 Định. : Ước số nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên là một số nguyên tố. Chứng minh định lý 1 : Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1, p là ước số nhỏ nhất khác 1 của a ( a=p.k.l). Nếu p là số nguyên