Một số câu hỏi ôn tập thi giữa kì GT2

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính CÂU HỎI ƠN TẬP GIỮA KỲ GIẢI TÍCH II 20192 PHẦN TÍCH PHÂN KÉP I Bài tập đề thi kì trước Bài 1(Câu - Đề - 20183): Đổi thứ tự lấy tích phân x2 I= dx f (x, y)dy −x Giải Ta có D : ≤ x ≤ 1, −x ≤ y ≤ x2 Sử dụng hình vẽ (bạn đọc tự vẽ hình), ta cóD = D1 ∪ D2 với −1 ≤ y ≤ 0≤y≤1 D1 : , D2 : √ y≤x≤1 −y ≤ x ≤ Vậy I= dy −1 f (x, y)dy + −y dy Bài 2(Câu - Đề - 20183): Tính I = π miền x2 + 2y ≤ , y ≥ D √ f (x, y)dy y sin x2 + 2y dx dy, với D Giải Đổi  sang tọa độ cực: x = r cos φ ⇒ |J| = √ y = √ r sin φ 2r π π x2 + 2y ≤ r2 ≤ 2 Ta có ⇒ y≥0 sin φ ≥ Do  0 ≤ r ≤ π ⇒D :  0≤φ≤π Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính √π π dφ I= π = √ 2 √π π sin r2 rdr = √ 2 π sin r2 dr2 = √ 2 Bài 3(Câu - Đề - 20182): Tính tích phân kép D miền giới hạn parabol y = − x2 trục Ox D √π sin tdt (2y − x), Giải Ta có miền D: −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ − x2 Do 1−x2 I= (2y − x)dy dx −1 1−x2 y − xy = dx −1 x2 − = + x x2 − dx −1 x4 + x3 − 2x2 − x + dx = −1 16 = 15 Bài 4(Câu - Đề - 20182): Tính diện tích phần hình trịn x2 + y = 2x nằm ngồi đường trịn x2 + y = Giải Theo cơng thức tính diện tích, ta có: S= dxdy D với miền D : x2 + y ≥ 1, x2 + y ≤ 2x Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính Đổi sang tọa độ cực: x = r cos φ ⇒ |J| = r y = r sin φ Ta có ⇒D : x2 + y ≥ x2 + y ≤ 2x ⇒  1 ≤ r ≤ cos φ ⇒ cos φ ≥ r≥1 r2 ≤ 2r cos φ ≤ r ≤ cos φ π π − ≤φ≤ 3 Do S= = π −π π −π π cos φ dφ rdr = cos φ2 − = (sin 2φ + φ) 2 π −π −π dφ = r2 dr 12 cos φ π cos 2φ + −π dφ √ π = + Bài 5(Câu - Đề - 20172): Tính tích phân kép sau I = D (x + 2y) dx dy, D giới hạn y = x, y = 1, x = I = D x2 + xy − y dx dy, với D miền giới hạn y = −2x + 1, y = −2x + 3, y = x − 2, y = x Giải Ta có miền D: [0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1] Do I= (2x2 + 3y )dy = dx x (2x2 − 2x3 + − x3 )dx =  2x2 y + y dx =  x 11 12 Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính 2 Đặt u = 2x + y, v = x − y ⇒ x2 + xy − y = u + 5uv − 5v −1 Ta có: ≤ u ≤ 3, ≤ v ≤ 2, J =   3 1 u2 v + uv − v du I= du u2 + 5uv − 5v dv = 27 27 = 27 2u2 + 10u − 40 du = 92 81 Bài 6(Câu - Đề - 20172): Tính tích phân sau I= dx √ x y4 dy +1 Giải 0≤x≤8 ⇔ √ x≤y≤2 Đổi thứ tự lấy tích phân ta có: 0≤y≤2 ≤ x ≤ y3 Ta có miền D y3 I= dy 0 dx = y +1 y3 dy = ln y + y +1 = Bài 7(Câu - Đề - 20172): Tính tích phân kép sau I = D x dx dy, D giới hạn y = x2 , y = x + 2 I = D x x2 + y dx dy, với D : x2 + y ≤ x Giải Tìm hồnh độ giao điểm đường y = x2 , y = x + ta có x1 = −1, x2 = ln 17 Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính Ta có miền D: −1 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ x + 2 I= x+2 dx xdy = x2 −1 x+2 xy −1 x x + − x2 dx = dx = −1 x2 Đổi sang tọa độ cực: x = r cos φ ⇒ |J| = r y = r sin φ Ta có x2 + y ≤ x x≥0 π I=2 ⇒ r2 ≤ r cos φ cos φ ≥ cos φ r3 cos φdr = dφ 0 ≤ r ≤ cos φ π π − ≤φ≤ 2 4!! cos5 φdφ = = 2.5!! 15 ⇒D : Bài 8(Câu - Đề - 20172): Tính I = 9, y ≤ x ≤ 4y π D (3x + 2xy), với D : ≤ xy ≤ Giải Từ giả thiết ta có: xy > y ≤ 4y ⇒ x > 0, y > x , Ta có ≤ u ≤ 9, ≤ v ≤ 4, |J| = y 2v √ 9 √ u u √ + I= du uv + 2u dv = du 2v v v 1 1 Đặt u = xy, v = √ uv + u ln v = du = dv √ u + u ln du = 52 + 40 ln II Một số tập ôn tập khác Bài Tính I = D |y − x2 |dxdy, với D : |x| ≤ 1, ≤ y ≤ Giải Ta có D = D1 ∪ D2 với D1 : −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ x2 , D2 : −1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính Do x2 − ydxdy + I= D1 y − x2 dxdy D2 x2 dx x2 − ydy + dx −1 −1 x2  y=x2 1 + y − x2 = − x2 − y −1 y − x2 dy  = y=0 = = Đặt x = √ y=2  dx y=x2 x2 |x| + (2 − x2 ) dx −1 + 3 (2 − x2 ) dx −1 sin t, ta có I= + 3 = + 3 = + 3 π − sin2 t √ cos tdt − π4 π 4 cos4 tdt − π4 π − π4 π + cos 2t + cos 4t dt = + 2 Bài Tính (x2 + y )dxdy I= x4 +y ≤1 Giải Đổi sang tọa độ cực x = r cos φ ⇒ |J| = r y = r sin φ Ta có x4 + y ≤ ⇒ r4 cos4 φ + sin4 φ ≤ ⇒ ≤ r ≤  0 ≤ r ≤ 4 Vậy ta có miền D : cos φ + sin4 φ  ≤ φ ≤ 2π cos4 φ + sin4 φ Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính Do 2π I= dφ 0 π = cos4 φ + sin4 φ r3 dr = 2π dφ sin φ + cos4 φ dφ sin4 φ + cos4 φ Đặt t = tan φ ⇒ dφ = (1 + t2 )dt Lúc +∞ I= = + t2 dt + t4   +∞   √ √ + √ t + 22 + + 22  √ √  2 +∞ t− t+   2   + arctan √ = √ arctan √ 2 2  2 π π π π π + + − =√ =√ 4 2 Bài Tính I = 1, x + y = t− D 2 √ 2  dt  xydxdy, D giới hạn đường xy = Giải Tìm hồnh độ giao điểm hai đường xy = 1, x + y = x1 = , x2 = 2 1 Ta có miền D ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ − x x ta có Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính Do −x 2 I= xdx = x 2 ydy = 2 x 25x − 5x2 + x3 − x −x = − dx x2 165 − ln 128 Bài 4.(Câu - Đề thi thử kì GT2 GK 20192 CLB HTHT) Tính tích phân sau: D giới hạn đường cong y = 2x2 , y = + x2  2  2x ≤ x + y√≤ 12 dx dy, D : x2 + y ≥ 3y   x ≥ 0, y ≥ I = D (x + 2y) dx dy, I = xy D x2 +y Giải (x + 2y)dxdy, D giới hạn y = 2x2 , y = + x2 I= D Ta có miền D : −1 ≤ x ≤ 1, 2x2 ≤ y ≤ + x2 1+x2 I= dx −1 (x + 2y)dy 2x2 1+x2 = dx (xy + y ) −1 2x2 (−3x4 − x3 + 2x2 + x + 1)dx = −1 − x5 − x4 + x3 + x2 + x = I= D = −1 32 15  2  2x ≤ x + y√≤ 12 xy dxdy, D : x2 + y ≥ 3y  x2 + y  x, y ≥ Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính x = r cos φ y = r sin φ Đặt (r ≥ 0) ⇒ |J| = r; x, y ≥ ⇒ ≤ φ ≤ 2x ≤ x2 + y ≤ 12 √ 3y ≤ x2 + y 2r cos φ ≤ r2 ≤ 12 √ 3r sin φ ≤ r2 ⇒ π √ cos φ ≤ r ≤ √ √ sin φ ≤ r ≤ ⇒ √ √ Ta có cos φ ≥ sin φ 0, π6 , cos φ ≤ sin φ Vậy ta có D = D1 ∪ D2 với π ≤ φ ≤ π2 ≤ φ ≤ π6 √ √ , D2 : 6√ D1 : cos φ ≤ r ≤ 3 sin φ ≤ r ≤ Do I= r sin φ cos φdrdφ + D1 π = dφ r sin φ cos φdr + r2 π = π √ dφ π cos φ π = r sin φ cos φdrdφ D2 √ π π 6, √ sin φ cos φ π dφ + π cos φ r sin φ cos φdr √ sin φ √ r sin φ cos φ π sin φ cos φ − sin φ cos φ dφ + √ sin φ dφ (sin φ cos φ − sin3 φ cos φ)dφ π π =6 sin φ cos φdφ + =3+ π −7 32 − 45 11 = 32 π cos φd(cos φ) − π sin3 φd(sin φ) ... dv = du 2v v v 1 1 Đặt u = xy, v = √ uv + u ln v = du = dv √ u + u ln du = 52 + 40 ln II Một số tập ôn tập khác Bài Tính I = D |y − x2 |dxdy, với D : |x| ≤ 1, ≤ y ≤ Giải Ta có D = D1 ∪ D2 với... Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích LAT EX Nguyễn Đức Chính Do −x 2 I= xdx = x 2 ydy = 2 x 25x − 5x2 + x3 − x −x = − dx x2 165 − ln 128 Bài 4. (Câu - Đề thi thử kì GT2 GK 20192 CLB HTHT)... cos φ π π − ≤φ≤ 2 4!! cos5 φdφ = = 2.5!! 15 ⇒D : Bài 8 (Câu - Đề - 20172): Tính I = 9, y ≤ x ≤ 4y π D (3x + 2xy), với D : ≤ xy ≤ Giải Từ giả thi? ??t ta có: xy > y ≤ 4y ⇒ x > 0, y > x , Ta có ≤ u ≤