Đề cương toán 10 học kỳ 1 trường THPT marie curie

PHẦN I ĐẠI SỐ. CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP. 1 MỆNH ĐỀ. A Tóm tắt lý thuyết. B Các dạng toán và ví dụ. Dạng 1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề. Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề. Dạng 3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ. C Bài tập tự luận. D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. 2 TẬP HỢP. A Tóm tắt lý thuyết. B Các dạng toán và ví dụ. Dạng 1. Cách biểu diễn tập hợp. Dạng 2. Tập con – hai tập bằng nhau. C Bài tập tự luận. Dạng 1. Các phép toán trên tập hợp. Dạng 2. Tập con của tập số thực. D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI. 1 HÀM SỐ. A Tóm tắt lý thuyết. B Các dạng toán và ví dụ. Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm. Dạng 2. Đồ thị hàm số. Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số. Dạng 4. Sự biến thiên của hàm số. Dạng 5. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ. C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT. A Tóm tắt lý thuyết. B Các dạng toán và ví dụ. Dạng 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến. Dạng 2. Đồ thị hàm số y = ax + b. Dạng 3. Đồ thị hàm số y = |ax + b|. C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. 3 HÀM SỐ BẬC HAI. A Tóm tắt lý thuyết. B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH. A Tóm tắt lý thuyết. B Phương pháp giải. C Bài tập tự luyện. D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. 2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. A Các dạng toán thường gặp – Ví dụ – Bài tập rèn luyện. Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn. Dạng 3. Định lí Viét. Dạng 4. Phương trình vô tỷ. B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH. A Các dạng toán và ví dụ. Dạng 1. Phương pháp thế. Dạng 2. Hệ phương trình đối xứng loại 1. B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH. 1 BẤT ĐẲNG THỨC. A Tóm tắt lý thuyết. B Bài tập tự luyện. C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. PHẦN II HÌNH HỌC. CHƯƠNG I VECTƠ. 1 VECTƠ. A Bài tập tự luận. B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ. A Tóm tắt lý thuyết. B Các dạng toán và ví dụ. Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ. Dạng 2. Tính độ dài của vectơ tổng. C Bài tập tự luận. D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan. 3 TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ. A Tóm tắt lý thuyết. B Các dạng toán và ví dụ. Dạng 1. Chứng minh đẳng thức véctơ. Dạng 2. Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước. Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. C Bài tập tự luận. D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng toán ví dụ Dạng Xác định mệnh đề Tính sai mệnh đề Dạng Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề Dạng Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ C Bài tập tự luận D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 5 7 9 18 TẬP HỢP A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng tốn ví dụ Dạng Cách biểu diễn tập hợp Dạng Tập - hai tập C Bài tập tự luận Dạng Các phép toán tập hợp Dạng Tập tập số thực D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 23 23 23 23 25 26 27 32 37 CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 49 HÀM SỐ A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng tốn ví dụ Dạng Tính giá trị hàm số điểm Dạng Đồ thị hàm số Dạng Tìm tập xác định hàm số Dạng Sự biến thiên hàm số Dạng Hàm số chẵn - Hàm số lẻ C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 49 49 50 50 50 52 57 60 64 HÀM SỐ BẬC NHẤT A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng tốn ví dụ Dạng Xét tính đồng biến, nghịch biến Dạng Đồ thị hàm số y = ax + b Dạng Đồ thị hàm số y = |ax + b| C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 84 84 85 85 86 87 88 HÀM SỐ BẬC HAI 97 A Tóm tắt lý thuyết 97 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 100 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 115 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie HỆ PHƯƠNG TRÌNH 181 A Các dạng tốn ví dụ .181 Dạng Phương pháp 181 Dạng Hệ phương trình đối xứng loại 183 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 193 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỆNH A B C 207 ĐỀ 207 Tóm tắt lý thuyết 207 Bài tập tự luyện 207 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 210 PHẦN II CHƯƠNG I VEC-TƠ HÌNH HỌC 219 221 VEC-TƠ 221 A Bài tập tự luận 221 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 224 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 232 A Tóm tắt lý thuyết 232 B Các dạng toán ví dụ .232 Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ 232 Dạng Tính độ dài vectơ tổng .234 C Bài tập tự luận 234 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 240 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 248 A Tóm tắt lý thuyết 248 B Các dạng tốn ví dụ .248 Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ 248 Dạng Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước 249 Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng 249 C Bài tập tự luận 251 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 264 | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 115 A Tóm tắt lý thuyết 115 B Phương pháp giải 116 C Bài Tập Tự Luyện 117 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 125 Phương trình quy phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai 139 A Các dạng toán thường gặp - Ví dụ - Bài tập rèn luyện 139 Dạng Giải biện luận phương trình bậc ẩn 139 Dạng Giải biện luận phương trình bậc hai ẩn 143 Dạng Định lí Vi-ét 146 Dạng Phương trình vô tỷ 150 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 161 PHẦN I ĐẠI SỐ Ƅ CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 A MỆNH ĐỀ TÓM TẮT LÝ THUYẾT MỆNH ĐỀ Mệnh đề khẳng định là sai khơng thể vừa vừa sai Ƙ Ví dụ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề chứa biến câu chứa biến, với giá trị biến ta mệnh đề Ƙ Ví dụ PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phủ định mệnh đề P ký hiệu P mệnh đề thỏa mãn tính chất P Đúng Sai P Sai Đúng Ƙ Ví dụ Để phủ định mệnh đề P , thông thường ta thêm “khơng phải” “khơng” vào vị trí phù hợp mệnh đề P để có câu trịn ý Ƙ Ví dụ Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie MỆNH ĐỀ KÉO THEO P Đúng Sai Sai Đúng Q Sai Đúng Sai Đúng P ⇒Q Sai Đúng Đúng Đúng Ƙ Ví dụ ○ Mệnh đề “−10 < −1 ⇒ (−10)2 < (−1)2 ” mệnh đề sai √ ○ Mệnh đề “ < ⇒ < 4” mệnh đề Định lý toán học mệnh đề có dạng P ⇒ Q ! ○ P : gọi giả thiết (hay P điều kiện đủ để có Q) ○ Q: gọi kết luận (hay Q điều kiện cần để có P ) Ƙ Ví dụ MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Q ⇒ P ! Mệnh đề đảo mệnh đề chưa mệnh đề Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Ký hiệu P ⇔ Q Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Cách phát biểu khác: Q Đúng Sai Đúng Sai P ⇒Q Đúng Đúng Sai Sai + P Q + P điều kiện cần đủ để có Q + Q điều kiện cần đủ để có P Ƙ Ví dụ Tam giác ABC cân có góc 60◦ điều kiện cần đủ để tam giác ABC Ƙ Ví dụ Tam giác ABC tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại Ƙ Ví dụ | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Mệnh đề “Nếu P Q ”gọi mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P đồng thời Q sai Tóm tắt: | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam KÝ HIỆU ∀, ∃, ∃! Ký hiệu ∀: đọc với mọi; ký hiệu ∃: đọc tồn tại; ký hiệu ∃!: đọc tồn Xét câu “Bình phương số thực lớn 0” mệnh đề Ta viết: ∀x ∈ R : x2 ≥ hay x2 ≥ 0, ∀x ∈ R Ƙ Ví dụ Câu Mệnh đề ∀n ∈ N : n2 > Đọc ∃x ∈ Z : x2 = x Có số tự nhiên n mà 2n + = Mệnh đề sai Có số nguyên nhỏ Mệnh đề ∃!x ∈ Z : |x| < PHỦ ĐỊNH CỦA MỆNH ĐỀ VỚI MỌI, TỒN TẠI Mệnh đề P : ∀x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định ∃x ∈ X, T (x) Mệnh đề P : ∃x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định ∀x ∈ X, T (x) ○ Phủ định “a < b” “a ≥ b” ! ○ Phủ định “a = b” “a = b” ○ Phủ định “a > b” “a ≤ b” ○ Phủ định “a chia hết cho b” “a không chỉa hết cho b” Ƙ Ví dụ P : ∃n ∈ Z, n < phủ định P P : ∀n ∈ Z, n ≥ Ƙ Ví dụ B CÁC DẠNG TỐN VÀ VÍ DỤ ǥ Dạng Xác định mệnh đề Tính sai mệnh đề Căn định nghĩa mệnh đề tính sai chúng Lưu ý rằng: ○ P, P không tính sai ○ P ⇒ Q sai P đúng, Q sai ○ P ⇔ Q hai mệnh đề P Q hay sai ○ ∀x ∈ X, P (x) P (x0 ) với x0 ∈ X ○ ∃x ∈ X, P (x) có x0 ∈ X cho P (x0 ) Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Số số nguyên tố Hà Nội thủ nước nào? Phương trình x2 + = vơ nghiệm Hình học mơn học khó thật! x + số âm Nếu n số chẵn n chia hết cho Nếu n chia hết cho n số chẵn n số chẵn n2 chia hết cho ∃n ∈ N, n3 − n không bội 10 ∀x ∈ R, x2 − x + > Lời giải a) “Số số nguyên tố” mệnh đề sai số nguyên tố số lớn b) “Hà Nội thủ đô nước nào?” mệnh đề câu hỏi c) “Phương trình x2 + = vơ nghiệm.” mệnh đề d) “Hình học mơn học khó thật!” khơng phải mệnh đề câu cảm thán e) “x + số âm.” mệnh đề chứa biến f) “Nếu n số chẵn n chia hết cho 4.” mệnh đề sai n = số chẵn không chia hết cho g) “Nếu n chia hết cho n số chẵn.” mệnh đề h) “n số chẵn n2 chia hết cho 4.” mệnh đề i) “∃n ∈ N, n3 − n khơng bội 3.” mệnh đề sai ∀n ∈ N, n3 − n = (n − 1)n(n + 1) chia hết cho Å ã 2 j) “∀x ∈ R, x − x + > 0.” mệnh đề x − x + = x − + > ǥ Dạng Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề ○ Mệnh đề phủ định P “không phải P ” ○ Mệnh đề phủ định “∀x ∈ X, P (x)” “∃x ∈ X, P (x)” ○ Mệnh đề phủ định “∃x ∈ X, P (x)” “∀x ∈ X, P (x)” ○ Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Ƙ Ví dụ Tìm mệnh đề đảo mệnh đề sau cho biết mệnh đề đảo hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh chúng nhau” Lời giải Mệnh đề cho có dạng P ⇒ Q P “hai góc đối đỉnh”, Q “hai góc nhau” Vậy mệnh đề đảo “Nếu hai góc chúng đối đỉnh” Mệnh đề sai Ƙ Ví dụ Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau cho biết chúng hay sai? a) P : “∀x ∈ R, (x − 1)2 ≥ 0” b) Q: “Có tam giác khơng có góc lớn 60◦ ” Lời giải a) Mệnh đề phủ định P P : “∃x ∈ R, (x − 1)2 < 0” Đây mệnh đề sai b) Mệnh đề phủ định Q Q: “Mọi tam giác ln có góc lớn 60◦ ” Đây mệnh đề sai tam giác khơng có góc lớn 60◦ ” | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie Ƙ Ví dụ Xét xem phát biểu sau có phải mệnh đề khơng? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai? | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam Ƙ Ví dụ Phát biểu thành lời phủ định mệnh đề sau ∀x ∈ R, x2 > ∃!n ∈ N, n2 + n = Lời giải a) Bình phương số thực số dương Mệnh đề phủ định “Tồn bình phương số thực số khơng dương” b) Có số tự nhiên n mà tích với số liền sau Mệnh đề phủ định “Với số tự nhiên n mà tích với số liền sau khác 0” ǥ Dạng Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ ○ Một định lí thường có dạng “∀x ∈ X, P (x) ⇒ Q(x)” Xác định P (x), Q(x) ○ Lấy x ∈ X cho P (x) đúng, chứng minh Q(x) ○ P (x) điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) điều kiện cần để có P (x) Ƙ Ví dụ Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu định lí sau a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu a + b > có số a hay b dương Lời giải a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiền cần để chúng b) a + b > điều kiện đủ để có số a hay b dương Ít có số a hay b dương điều kiện cần để a + b > Ƙ Ví dụ Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu định lí sau a) Một số có tổng chia hết cho chia hết cho ngược lại b) Một hình bình hành có đường chéo vng góc hình thoi ngược lại c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt biệt thức dương Lời giải a) Một số có tổng chia hết cho điều kiện cần đủ để số chia hết cho b) Một hình bình hành có đường chéo vng góc điều kiện cần đủ để hình hình thoi c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt điều kiện cần đủ để biệt thức dương C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Trong phát biểu sau, phát biểu mệnh đề? Phát biểu mệnh đề chứa biến? a 2009 + > 2020 b 2x + = c x2 + > d Mọi tam giác đều tam giác cân Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 10 e Số π có lớn hay không? g số nguyên tố Lời giải ○ Trong phát biểu trên, phát biểu a., d., f., g mệnh đề ○ Phát biểu b., c mệnh đề chứa biến ○ Phát biểu e mệnh đề (câu hỏi) Bài Phát biểu thành lời, xét tính sai lập mệnh đề phủ định mệnh đề đây: a ∃x ∈ R : x2 = −10 c ∀x ∈ R : x2 ≤ e ∃x ∈ R : x2 + x + > b ∀x ∈ R : x2 + x + 12 = −10 d ∃x ∈ R : x2 ≤ f ∀x ∈ R : x2 + x + > Lời giải a Có số thực bình phương −10 Đây mệnh đề sai, bình phương số thực số không âm Mệnh đề phủ định là: Mọi số thực, bình phương khác −10 Å ã 47 47 b Đây mệnh đề đúng, x2 + x + 12 = x + + ≥ = −10 ∀x 4 Mệnh đề phủ định là: Có số thực mà tích số với số cộng −22 c Đây mệnh đề sai, x = x2 = > Mệnh đề chứa ký hiệu “với mọi” có phần tử làm cho sai mệnh đề sai Phủ định mệnh đề là: Tồn số thực mà bình phương số dương d Đây mệnh đề đúng, có phần tử x = làm cho mệnh đề Phủ định mệnh đề là: Mọi số thực, bình phương số dương e Đây mệnh đề Vì với x = 12 + + > mệnh đề Phủ định mệnh đề là: Mọi số thực, tích số với số cộng số bé âm năm ã Å 19 19 + ≥ > ∀x f Đây mệnh đề Vì x2 + x + = x + 4 Phủ định mệnh đề là: Tồn số thực, tích số với số cộng số bé âm năm Bài Trong câu sau, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến? a 10 < b + x > x + c x − y = d √ số vô tỉ Lời giải Câu a câu d mệnh đề Câu b câu c mệnh đề chứa biến Bài Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai a Khơng lối b Bây giờ? Lời giải a Không lối Câu mệnh đề câu mệnh lệnh b Bây giờ? Câu khơng phải mệnh đề câu hỏi c không số nguyên tố d √ số vơ tỉ | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie f Hai tam giác chúng có diện tích Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 250 Lời giải Ta có C # » # » # » AM = AB + BM # » 3# » = AB + BC (vì M B = 3M C) # » Ä # » # »ä = AB + BA + AC # » 3# » 3# » = AB − AB + AC 4 1# » 3# » = AB + AC 4 M A B # » Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC Lấy điểm M cạnh BC cho BM = BC Phân tích AM theo # » # » véc-tơ AB, AC Lời giải Ta có C # » AM = = = = # » # » AB + BM # » 2# » AB + BC (vì BM = # » Ä # » # »ä AB + BA + AC # » 2# » 2# » AB + AC − AB = 3 BC) M 1# » 2# » AB + AC 3 A B #» # » # » #» Ƙ Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Đặt AB = #» a , AD = b Hãy tính véc-tơ sau theo #» a, b # » #» DI với I trung điểm BC AG với G trọng tâm tam giác CDI Lời giải D C G I A B 1# » 1# » #» #» # » #» a) Ta có DI = DC + CI = #» a + CB = #» a − BC = #» a − b 2 b) Gọi M trung điểm DC, ta có # » # » # » #» 3AG = AD + AC + AI # » # » # » # » #» = AD + AD + AB + AB + BI # » # » 1# » = 2AD + 2AB + BC # » # » 1# » = 2AD + 2AB + AD 5# » # » = AD + 2AB | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie # » Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC Lấy điểm M cạnh BC cho M B = 3M C Phân tích AM theo # » # » véc-tơ AB AC | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam 251 #» # » # » 5# » 2# » a + b Suy AG = AD + AB hay AG = #» 3 Ƙ Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AB, CD P 1# » # » điểm thỏa mãn hệ thức OP = − OA Chứng minh điểm B, P , N thẳng hàng Lời giải D N C P O A B 1# » 1# » # » # » Ta có CO đường trung tuyến tam giác BCD Hơn OP = − OA ⇔ OP = OC suy P trọng tâm 3 tam giác BCD Mặt khác BN đường trung tuyến tam giác BCD nên B, P , N thẳng hàng C BÀI TẬP TỰ LUẬN 1# » # » Bài Cho tam giác ABC có M , D trung điểm AB, BC N điểm thỏa AN = N C Gọi K # » # » # » # » trung điểm M N Hãy tính véc-tơ AK, KD theo AB , AC Lời giải # » # » # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » Ta có 2AK = AM + AN = AB + AC ⇒ AK = AB + AC C Ta có # » KD # » # » # » # » = KA + AD = −KA + AD ã Å Ä # » # »ä 1# » 1# » AB + AC + AB + AC = − 1# » 1# » = AB + AC D N K A M B # » # » # » # » Bài Cho ABC, hai cạnh AB, AC lấy hai điểm D E cho AD = 2DB; CE = 3EA Gọi M , I # » # » # » # » trung điểm DE BC Hãy tính vectơ AM , M I theo AB, AC Lời giải Ta có A Å ã Ä ä 2# » 1# » 1# » 1# » # » # » # » AM = AD + AE = AB + AC = AB + AC 2 E Ta có # » # » # » #» M M I = M E + EC + CI # » # » # » #» M I = M D + DB + BI D Suy # » # » # » # » 1# » 1# » 1# » 3# » 2M I = DB + EC ⇔ M I = DB + EC = AB + AC 2 C B # » # » # » Bài Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa: 2AB + 3AC = 5AD Chứng minh B, C, D thẳng hàng Lời giải Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie B Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 252 Ta có ⇔ ⇔ ⇔ Suy ba điểm B, C, D thẳng hàng # » # » # » # » #» # » # » #» ABC, lấy điểm M , N , P cho M B = 3M C, N A + 3N C = , P A + P B = Bài Cho # » # » # » # » Tính P M , P N theo AB, AC Chứng minh ba điểm: M , N , P thẳng hàng Lời giải A P N B C M Ta có: # » # » M B = 3M C ⇔ ⇔ ⇔ # » # » #» N A + 3N C = ⇔ ⇔ ⇔ # » # » #» PA + PB = ⇔ ⇔ ⇔ Ä # » # »ä # » # » AB − AM = AC − AM # » # » # » 2AM = −AB + 3AC 1# » 3# » # » AM = − AB + AC 2Ä # » # » # »ä #» −AN + AC − AN = # » # » −4AN = −3AC # » 3# » AN = AC # » # » # » #» −AP + AB − AP = # » # » −2AP = −AB # » 1# » AP = AB Suy # » PM = # » PN = ã Å 1# » 3# » 1# » # » # » # » 3# » AM − AP = − AB + AC − AB = −AB + AC ; 2 2 # » # » 3# » 1# » AN − AP = AC − AB  # » # » 3# »  P M = −AB + AC # » # » 2 Ta có ⇒ P M = 2P N # » # » # »  P N = − AB + AC #2 » # 4» Suy hai vectơ P M P N phương, nên ba điểm M , N , P thẳng hàng | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ⇔ ⇔ # » # » # » 2AB + 3AC = 5AD # » # » # » #» 2AB + 3AC − 5AD = # » # » # » # » #» 2AB − 2AD + 3AC − 3AD = Ä # » # »ä Ä # » # »ä #» AB − AD + AC − AD = # » # » #» 2DB + 3DC = 3# » # » DB = − DC | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam Bài Cho # » CP Lời giải Ta có 253 # » # » # » # » ABC có hai đường trung tuyến BN , CP Hãy biểu thị vector AB, BC, CA theo vector BN , A # » # » # » 1# » # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » # » AB = AN + N B = AC − BN = AP + P C − BN = AB − CP − BN 2 Suy P 2# » 4# » # » AB = − CP − BN 3 Ta lại có B C Å ã 2# » 4# » 2# » 4# » # » # » # » # » 1# » # » − CP − BN − CP = − BN − CP AC = AP + P C = AB− CP = 2 3 3 Khi Å ã 2# » 4# » 2# » 4# » 2# » 2# » # » # » # » BC = AC − AB = − BN − CP − − CP − BN = BN − CP 3 3 3 Bài (0H1B3-4) Cho tam giác ABC Gọi I, J nằm cạnh BC BC kéo dài cho 2CI = 3BI, 5JB = 2JC Gọi G trọng tâm tam giác ABC #» # » # » # » Tính AI, AJ theo AB, AC # » # » # » Tính AG theo AB, AC Lời giải #» # » # » # » Tính AI, AJ theo AB, AC A ○ Gọi E, D trung điểm BC AB ○ Ta có #» # » #» AI = AB + BI # » 2# » = AB + BC # » Ä # » # »ä = AB + AC − AB 3# » 2# » = AB + AC 5 D G J ○ Ta có # » AJ = = = = # » # » # » # » # » AB + BJ # » 2# » AB − BC # » Ä # » # »ä AB − AC − AB 5# » 2# » AB − AC 3 Tính AG theo AB, AC Ta có # » AG = = = Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 2# » AE Ä # » # »ä · AB + AC 1# » 1# » AB + AC 6 B I E C Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 254 Ta có A #» AI = #» # » # » ○ Tính CI theo AB, AC Ta có # » # » 2AG − AB 4# » # » AM − AB = Ä # » # »ä # » AB + AC − AB = · 1# » 2# » = − AB + AC 3 #» CI = = = # » # » # » ○ Tính M I theo AB, AC Ta có # » MI #» # » AI − AC 1# » − AB + 1# » − AB − I G B || || M C 2# » # » AC − AC 1# » AC #» # » = AI − AM # » # » Ä # » # »ä AB + AC = − AB + AC − 3 5# » 1# » = − AB + AC 6 Bài (0H1K3-4) Cho ABC có trọng tâm G đường trung tuyến AM , BP Gọi G điểm đối xứng với # » # » # » # » # » # » # » điểm G qua P Hãy biểu diễn véc-tơ AG , CG theo AB, AC Chứng minh hệ thức: 5AC − 6AB = 6M G Lời giải # » # » # » ○ Biểu diễn véc-tơ AG theo AB, AC Ta có A # » AG # » # » = 2AG − AB 4# » # » = AM − AB Ä # » # »ä # » = · AB + AC − AB 1# » 2# » = − AB + AC B 3 # » # » # » ○ Biểu diễn véc-tơ CG theo AB, AC Ta có # » # » # » CG = AG − AC 1# » 2# » # » = − AB + AC − AC 3 1# » 1# » = − AB − AC 3 # » # » # » ○ Chứng minh hệ thức: 5AC − 6AB = 6M G Ta có # » # » # » M G = AG − AM # » # » Ä # » # »ä = − AB + AC − AB + AC 3 5# » 1# » = − AB + AC 6 G P G || M || C | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Bài (0H1B3-4) Cho ABC có G trọng tâm tam giác I điểm đối xứng B qua G M trung điểm #» #» # » # » # » BC Hãy tính AI, CI, M I theo AB, AC Lời giải #» # » # » ○ Tính AI theo AB, AC | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam 255 # » # » # » Vậy 5AC − 6AB = 6M G Bài (0H1K3-4) Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N theo thứ tự trung điểm canh BC, CD Hãy biểu # » # » # » # » diễn véc-tơ BC, CD theo véc-tơ AM , AN Lời giải # » # » # » ○ biểu diễn véc-tơ BC theo véc-tơ AM , AN Gọi E trung điểm M N suy AC = AE Ta có N D C # » BC # » # » = AC − AB # » Ä # » # »ä = AC − 2AM − AC # » # » = 2AC − 2AM 4# » # » = · AE − 2AM Ä # » # »ä # » = AM + AN − 2AM 2# » 4# » = − AM + AN 3 # » # » # » ○ biểu diễn véc-tơ CD theo véc-tơ AM , AN Ta có # » CD E M A B # » = −AB Ä # » # »ä = − 2AM − AC # » 4# » = −2AM + AE # » Ä # » # »ä AM + AN = −2AM + 4# » 2# » = − AM + AN 3 Bài 10 (0H1K3-4) Cho tứ giác ABCD có M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Hãy biễu diễn # » # » # » # » # » véc-tơ M N theo AB, DC theo AC, DB Lời giải # » # » # » ○ Biễu diễn véc-tơ M N theo AB, DC # » # » # » # » Ta có M N = M D + DC + CN (1) D # » # » # » # » Mặt khác M N = M A + AB + BN (2) Từ (1) (2) ta có Ta có Ä # » # »ä # » # » Ä # » # »ä C # » 2M N = M D + M A + DC + AB + CN + BN M #» # » # » #» = + AB + DC + N # » 1# » 1# » Vậy M N = AB + DC 2 A B # » # » # » ○ Biễu diễn véc-tơ M N theo AC, DB # » # » # » # » Ta có AC = AM + M N + N C (3) # » # » # » # » Mặt khác DB = DM + M N + N B (4) Từ (3) (4) ta có Ta có Ä # » # »ä # » # » # » Ä # » # »ä AC + DB = AM + DM + 2M N + N B + N C # » #» #» = + 2M N + # » 1# » 1# » Vậy M N = AC + DB 2 Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 256 # » # » # » DEF Dựng điểm H cho EH = 4ED − 3EF chứng minh điểm H nằm DF E # » # » # » EH = 4ED − 3EF Ä # » # » # » # » # »ä ⇔ EF + F H = EF + F D − 3EF # » # » ⇔ F H = 4F D H Vậy điểm F , D, H thẳng hàng hay H nằm DF # » # » Từ F H®= 4F D F, D, H thẳng hàng Suy F H = 4F D D nằm H, F D F # » # » Bài 12 (0H1K3-5) Cho ABC có I trung điểm trung tuyến AM D điểm thỏa hệ thức 3AD = AC Biểu # » #» # » # » diễn véc-tơ BD, BI theo AB, AC chứmg minh ba điểm B, I, D thằng hàng Lời giải # » # » # » 1# » # » (1) Ta có BD = AD − AB = AC − AB A Lại có Å Å ã ã D # » # » 1# » # » # » 1# » 1# » BI = BA + BC BA + AC − AB ⇔ BI = 2 2 I # » 1# » 3# » (2) ⇔ BI = AC − AB 4 || || B M C # » 3# » Từ (1) (2) ta có BI = BD, suy ba điểm B, I, D thằng hàng Bài 13 (0H1K3-5) Cho hình bình hành ABCD # » # » # » # » Dựng điểm E, F cho BE = 2AB, AF = 3AD Dựng điểm G cho tứ giác AEGF hình bình hành Chứng minh điểm A, C, G thằng hàng Lời giải A # » # » # » # » Ta có BE = 2AB ⇔ AE = 3AB # » # » Lại có AF = 3AD, ta dựng điểm E, F hình vẽ B D F C Điểm G xác định hình vẽ Do AEGF hình bình hành nên ta có E G # » # » # » # » # » AG = AE + AF = 3AB + 3AD Ä # » # »ä # » = AB + AD = 3AC (do ABCD hình bình hành) Suy điểm A, C, G thằng hàng #» #» Bài 14 (0H1K3-5) Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm AB E điềm thoả hệ thức 3IE = ID Chứmg minh ba điểm A, C, E thằng hàng Lời giải #» #» # » 3# » Ta có 3IE = ID ⇔ DI = DE I A B Do ABCD hình bình hành nên # » AC = = # » # » #» # » AB + AD = 2AI + AD # » #» # » # » # » # » 2AD + 2DI + AD = 3AD + 3DE = 3AE E Vậy ba điểm A, C, E thằng hàng D C | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Bài 11 (0H1K3-5) Cho Lời giải Ta có Bài 15 (0H1K3-5) Cho ABC # » # » 257 # » # » #» #» Dựng điểm K, L cho KA + 2KB + 3KC = , 2LB + 3LC = Chứng minh ba điểm A, K, L thẳng hàng Lời giải A Gọi H, I trung điểm BC, AC Khi # » # » # » #» KA + 2KB + 3KC = Ä # » # »ä #» # » # » ⇔ KA + KC + KB + KC = I # » # » #» # » 2# » ⇔ 2KI + 4KH = ⇔ IK = IH K B Từ dựng điểm K, L hình vẽ H L C Ta có # » AK #» # » 1# » 2# » = AI + IK = AC + IH 1# » 1# » = AC + AB (do IH đường trung bình ABC) Lại có # » # » # » # » 3# » AL = AB + BL = AB + BC Å5 ã 2# » 3# » 1# » 1# » 6# » = AB + AC = AB + AC = AK 5 5 Vậy ba điểm A, K, L thẳng hàng # » # » # » # » 1# » M P = M B + BP = AB + 2BC Ä # » # »ä 1# » 3# » # » = AB + AC − AB = − AB + 2AC 2Å ã 1# » 2# » # » = − AB + AC = 3M N || # » Bài 16 (0H1K3-5) Cho ABC Gọi M trung điểm cạnh AB, N P hai điểm thỏa mãn hệ thức N A + # » #» # » # » #» 2N C = , P B − 2P C = Chứng minh ba điểm M , N , P thằng hàng Lời giải 1# » 2# » # » # » # » Ta có M N = M A + AN = − AB + AC A Lại có M N || | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam B C P Vậy ba điểm M , N , P thằng hàng # » # » # » #» # » #» Bài 17 (0H1K3-5) Cho ABC Hai điểm M , N xác định 3M A + 4M B = , N B − 3N C = Chứng minh M N qua trọng tâm ABC Lời giải Gọi G trọng tâm ABC Ta có A # » MG 4# » 2# » # » # » = M A + AG = − AB + AH ã Å # » 1# » 4# » 1# » 1# » AB + AC = − AB + AC = − AB + 2 21 M G Lại có # » # » # » 3# » 3# » M N = M B + BN = AB + BC # » Ä # » # »ä 15 # » # » # » = AB + AC − AB = − AB + AC = M G 14 2 Vậy M , N , G thẳng hàng, hay M N qua trọng tâm G Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ABC B H C N Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 258 Bài 18 (0H1K3-5) Cho ABC 3# » # » 3# » AB, DE = BC 2 Chứng minh ba điểm A, C, E thằng hàng Lời giải A Ta dựng điểm D, E hình vẽ Ta có # » AE # » # » 3# » 3# » = AD + DE = AB + BC 2 Ä # » # »ä # » AB + BC = AC = 2 B C Vậy ba điểm A, C, E thằng hàng D E # » Bài 19 (0H1K3-5) Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm cạnh BC E điểm xác định AE = 2# » AC Chứng minh ba điểm D, E, I thằng hàng Lời giải Ta có I C B ä Ä 1 1 # » # » # » # » # » #» DA + DC + DC DB + DC = DI = 2 2 E 1# » # » 1# » # » # » = DA + DC = DA + DA + AC 2 3# » 3# » 3# » DA + AE = DE = 2 D A Vậy ba điểm D, E, I thằng hàng Bài 20 (0H1K3-5) Cho ABC có trung tuyến AD M trung điểm AD Điểm N lấy AC cho # » # » 3AN = AC Chứng minh ba điểm B, M , N thằng hàng Lời giải Ta có A 1# » 1# » 1# » 1# » # » BA + BD = BA + BC BM = 2 N 1# » 1# » 1# » 3# » 1# » = BA + AC − AB = BA + AC M 2Å 4 ã4 Ä ä # » 1# » # » # » 3# » = BA + AC = BA + AN = BN 4 || || B D C Vậy ba điểm B, M , N thằng hàng Bài 21 Cho ABC có M trung điểm BC O trung điểm AM Trên AB lấy điểm I, AC lấy điểm J #» 2# » # » 2# » cho AI = AB AJ = AC Chứng minh ba điểm I, J, O thẳng hàng Lời giải #» 2# » # » 1# » # » 3# » Do AI = AB nên IB = AB Tương tự JC = AC A 3 Ta có # » # » # » −2 # » # » # » −2 # » # » # » −1 # » # » 2IO = IA+IM = AB+IB+BM = AB+ AB+ BC = AB+ BC 3 3 J Tương tự, O I # » # » # » # » Ä # » # »ä # » # » 2JO = AC + CB = AB + BC − BC = AB − BC 5 10 #» # » # » −5 # » Suy 6IO = −10JO hay IO = JO Vậy ba điểm I, J, O thẳng hàng B M C | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # » Dựng điểm D, E thỏa hệ thức AD = | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam 259 Bài 22 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N hai điểm di động AB, CD cho lượt trung điểm AD, BC #» # » MA ND = hai điểm I, J lần MB NC # » Tính IJ theo AB DC Chứng minh trung điểm P M N nằm IJ Lời giải #» # » # » # » # » # » # » # » # » a) 2IJ = IB + IC = IA + AB + ID + DC = AB + DC #» # » # » Suy IJ = AB + DC 2 # » # » NC # » # » MB b) Từ giải thiết ta có BM = −AM · CN = −DN · ND MA Mặt khác B M A #» # » # » #» # » # » # » #» #» # » # » 2IP = IM + IN = IA + AM + ID + DN = IB + IC = AM + DN D Mà J P I C N MB # » # » 2M B # » # » # » # » # » NC # » MB −DN · =− (AM +DN ) = − ·IP 2JP = BM +CN = −AM · ND MA MA MA Suy I, P , J thẳng hàng hay P M N nằm IJ #» # » # » # » Bài 23 Cho ABC Lấy điểm I thỏa 3AI = AB, 4AJ = 3AC M giao điểm đường thẳng IJ BC Đặt # » # » BM = mM C #» # » # » Chứng minh 12IJ = 9BC − 5BA # » # » # » Tính IM theo BA, BC Tìm giá trị m Lời giải a) Ta có #» #» # » # » # » # » # » # » # » # » 12IJ = 12IA + 12AJ = 4BA + 9AC = 4BA + 9(BC − BA) = 9BC − 5BA m # » # » # » # » b) Do BM = mM C nên m = −1 BM = BC m+1 m # » # » # » # » −2 # » Suy IM = IB + BM = BA + BC 3# » m # »+ c) Do I, J, M thẳng hàng nên IM Å= k IJ, k = ã −2 # » m # » 3# » # » Suy BA + BC = k · BC − BA m + 12 2  k  = 12 Do Suy m = −6   m = 3k m+1 Bài 24 Cho A I J B ABC Gọi P , Q, R điểm thỏa đẳng thức : # » # » #» # » # » # » # » 3P B + 4P C = , AQ = 2QC, k RA = RB, k = # » # » # » Chứng minh rằng: 21P Q = 2BC + 7BA # » Chứng minh rằng: RP = k # » 4# » BA + BC 1−k Tìm k cho P , Q, R thẳng hàng Lời giải Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie C M Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 260 A # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » 21P Q = 21P C + 21CQ = 9BC + 7CA = 9BC + 7(CB + BA) = 2BC + 7BA R # » # » # » b) Từ k RA = RB suy RB = k # » BA 1−k k # » 4# » # » # » # » Do RP = RB + BP = BA + BC 1− # k» #7 » c) Để P , Q, R thẳng hàng RP = a · P Q, a = ã0 Å k # » 4# » # » 1# » Suy BA + BC = a · BC + BA 1−k 21 Suy k = Bài 25 Cho hình bình hành ABCD #» # » # » Q B # » # » P C # » Gọi I, F , K điểm thỏa mãn AI = αAB, AF = β AC, AK = γ AD Chứng minh điều kiện cần đủ đề I, F , K thẳng hàng 1 = + (α, β, γ = 0) β α γ AM CN = , = Gọi G trọng tâm M N B AB # » # » # » # » # » # » CD # » # » # » Tính AN , AG theo AB AC Gọi H điểm xác định BH = k · BC Tính AH theo AB, AC k Tìm k để đường thẳng AH qua điểm G Gọi M , N hai điểm đoạn AB, CD cho Lời giải # » #» # » # » # » a) Do KI = AI − AK = αAB − γ AD # » # » # » # » # » # » # » # » KF = AF − AK = β AC − γ AD = β(AB + AD) − γ AD # » # » # » Suy KF = β AB + (β − γ)AD # » # » Mặt khác, I, F, K thẳng hàng KI = k KF , k = ® α = kβ 1 αγ =α+γ ⇔ = + Hay ⇔ β β α γ γ = −k(β − γ) A B I F K D # » 1# » # » # » −1 # » b) Từ giả thiết suy AM = AB CN = CD = AB 2 Ta có # » 1# » # » # » # » • AN = (AD + AC) = AC − AB 2 # » 1# » 2# » 2# » # » # » # » # » # » • AG = AN + N G = AN + (N M + N B) = AN + AB + AB = 3 9 1# » # » AC + AB # » 18 # » # » # » # » # » # » • AH = AB + BH = AB + k BC = (1 − k)AB + k AC # » # » Để AH qua điểm G AH = t AG t = hay    Å ã  k = − k = t 1# » # » # » # » 11 18 (1 − k)AB + k AC = t AC + AB ⇔ ⇔   18 k = t t = 18 11 Vậy k = 11 C A B M H G D N C # » # » # » # » Bài 26 Cho tứ giác ABCD Lấy điểm M, N theo thứ tự thuộc AB CD cho AM = k AB DN = k DC # » # » # » Chứng minh M N = (1 − k)AD + k BC Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có M N = M A + AD + DN = −k AB + AD + k DC = −k(AD + DB) + B # » # » # » AD + k(DB + BC) # » # » # » M Suy M N = (1 − k)AD + k BC A D N C | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # » 1# » # » # » #» # » # » # » 3# » a) Từ 3P B + 4P C = , AQ = 2QC suy P C = BC CQ = CA Do | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam 261 Bài 27 Cho ABC Gọi O, H, G theo thứ tự tâm đường tròng ngoại tiếp, tâm, trực tâm Chứng minh O, G, H thẳng hàng Lời giải Gọi P điểm đối xứng A qua O M trung điểm BC Khi M trung điểm HP (BHCP hình bình hành) # » # » Mà OM AH nên AH = 2OM Suy AH = 2OM # » # » # » # » # » A Ta lại có AH = AG + GH = 2GM + GH # » # » # » # » Mà AH = 2OM = 2OG + 2GM # » # » Suy GH = 2OG Suy H, G, O thẳng hàng ABC O H G B M C P Bài 28 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AD BC # » Chứng minh M N = Chứng minh M N # » # » (AB + DC) DC Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » a) Ta có 2M N = M B + M C = M A + AB + M D + DC = AB + DC # » Ä # » # »ä Suy M N = AB + DC # » # » b) Do AB DC nên AB = k DC, k > # » # » # » # » # » # » Suy 2M N = AB + DC = k DC + DC = (k + 1)DC, k + > Suy M N DC D M A C N B # » # » #» Bài 29 Cho ABC có trọng tâm G Gọi M trung điểm BC I điểm thỏa mãn hệ thức 4CI + AC = Chứng minh M I BG Lời giải Gọi N trung điểm AC Ta có A # » # » Ä # » # »ä Ä # » # » ä BG = BN = · BA + BC = BA + BC 3 1# » 1# » 1# » Ä # » # »ä # » # » #» Có M I = M C + CI = BC + CA = BC + CB + BA = N 4 I Ä # » # »ä G BC + BA B C # » # » M Vậy 3BG = 4M I nên BG M I phương, suy BG M I Bài 30 Cho tứ giác ABCD Gọi E F trọng tâm ABD BCD Chứng minh EF AC Lời giải Gọi M trung điểm BD D Vì E trọng tâm tam giác ABD nên theo tính chất trọng tâm ta có A M E = M A E Vì F trọng tâm tam giác CBD nên theo tính chất trọng tâm ta có M M F = M C F ME MF Vậy = = nên theo định lý Ta-let đảo ta có EF AC B C MA MC # » # » # » Bài 31 Cho ABC có M trung điểm cạnh BC Các điểm D, E thỏa mãn đẳng thức BD = 4BA, AE = # » 3AC Chứng minh DE AM Lời giải Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 262 D A B C M E Bài 32 Cho # » 2# » # » 2# » ABC Dựng điểm M , N cho AM = AB, AN = AC Chứng minh M N 3 Lời giải Theo định lý Ta-let đảo ta có AN AM = = , suy M N AB AC BC A M Bài 33 Cho Theo định lý Ta-let đảo ta có Suy IC N B #» 1# » # » # » ABC Dựng điểm I, J cho AI = AB, AJ = 3AC Chứng minh IC Lời giải BJ BC AI AC = = AB AJ C BJ A I B C J Bài 34 Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J trung điểm AB, CD Dựng điểm E, F thỏa mãn # » 1# » # » 1# » DE = DI, BF = BJ Chứng minh AF CE 4 Lời giải Có BI song song DJ nên BIDJ hình bình hành, suy DI D A song song BJ # » # » # » # » 1# » E Ta có AF = AB + BF = AB + BJ Å ã # » 1# » # » 1# » # » # » # » J I CE = CD + DE = −AB − ID = − AB + ID 4 F # » # » Vậy AF = −CE nên AF song song với CE B C # » # » # » # » # » # » Bài 35 Cho ABC Các điểm D, E, G xác định hệ thức 2AD = AB, AE = 2CE, 2GD = GC Chứng minh BE CD Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh E, G, M thẳng hàng | NHÓM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie # » Ä # » # »ä AB + AC Theo quy tắc trung điểm ta có AM = # » # » # » # » # 2» # » # » Ta có: DE = DA + AE = 3AB + 3AC = 3(AB + AC) # » # » Vậy DE = 6AM Suy DE AM | NHÓM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam 263 Lời giải A AD AC 1 Ta có = = , theo định lý Ta-let đảo suy AB AE DC BE Ä # » # »ä 1# » # » # » Có GM = GB + GC = GB + DC = 2 # » Ä # » # »ä Ä # » # » # »ä CB + CA = GB − CB − CA GB − #2 » #2 » # » # »2 # » # » # » GE = GB + BE = GB + BC + CE = GB − # » # » CB − CA # » # » Vậy GE = 2GM , suy ba điểm E, G, M thẳng hàng G D B M C E # » Bài 36 Cho ABC, M trung điểm cạnh AB D, E, F theo thứ tự xác định hệ thức: 3DB − # » #» # » # » # » #» # » # » #» 2DC = , EA + 3EB − 2EC = , 5AF − 2AC = Chứng minh EM BC Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng Chứng minh ba đường thẳng AD, BC, M F đồng quy điểm Lời giải A E M D F B C Ta có # » # » # » #» EA + 3EB − 2EC = # » # » # » # » #» ⇔ EA + EB + 2EB − 2EC = # » # » ⇔ 2EM = 2BC # » # » ⇔ EM = BC Vậy EM//BC Ta có # » # » # » #» EA + 3EB − 2EC = # » # » # » ⇔ AE = 3EB − 2EC # » # » # » # » # » ⇔ AE = 3EA + 3AB − 2EA − 2AC # » # » # » ⇔ 2AE = 3AB − 2AC ⇔ ⇔ # » # » #» 3DB − 2DC = # » # » # » # » 3DA + 3AB − 2DA − 2AC # » # » # » AD = 3AB − 2AC # » # » Vậy 2AE = AD, suy ba điểm A, D, E thẳng hàng Ta có AD BC cắt D nên để chứng minh ba đường thẳng AD, BC, M F đồng quy điểm ta cần chứng minh M F qua D hay ba điểm M , F , D thẳng hàng Theo giả thiết ta có # » # » 5AF = 2AC Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 264 # » # » # » AD = AM + M D # » # » # » ⇔ M D = AD − AM # » # » # » 1# » ⇔ M D = 3AB − 2AC − AB # » 5# » # » ⇔ M D = AB − 2AC # » # » Vậy 5M F = M D, suy ba điểm M , F , D thẳng hàng D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # » # » # » ⇔ 5AM + 5M F = 2AC # » # » # » ⇔ 5M F = 2AC − 5AM # » # » 5# » ⇔ 5M F = 2AC − AB ... Toán 10 - Marie Curie Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 34 ○ A ∪ B = {−3; −2; ? ?1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} ○ B A = {4; 5; 6} Ta có ○ A ∩ B = (? ?1; 9] Biểu diễn ? ?1 −2 019 2 018 2 018 −2 019 ? ?1 2 018 ... TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 3 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 36 Ta có Å ò Vậy E = −∞; Biểu diễn 5 Ta có 2x − > ⇔ 2x > + ⇔ 2x > 11 ⇔ x > Å Vậy H = 11 ã 11 ; +∞ Biểu diễn 11 Bài Các... = {0; 1; 2; a; b} Số phần tử tập X A B C Lời giải Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie D Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 44 Câu 54 Lớp 10 A có 45 học sinh có 15 học sinh xếp loại học lực