ÔN tập tự LUẬN GIẢI TÍCH 12a

ÔN TẬP TỰ LUẬN GIẢI TÍCH 12 ⎯ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Đơn điệu (sự đồng biến nghịch biến) hàm số Ghi nhớ: Xét dấu y’ vận dụng quy tắc sau: * Nếu y’ nhị thức bậc (y’ = ax + b), Quy tắc: Phải Trái trái dấu với hệ số a * Nếu y’ tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có hai nghiệm phân biệt Quy tắc: Trong trái Ngoài dấu với hệ số a ’ * Nếu y tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có nghiệm vơ nghiệm Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a Đặc biệt: * Nếu y’ hàm bậc ba (y’ = ax3 + bx2 + cx + d) có nghiệm phân biệt Quy tắc: Đổi dấu từ Phải sang Trái theo dấu hệ số a Xét tính đơn điệu hàm số sau: a/ y = x3 – 6x2 + 9x (ĐB: (−∞;1),(3; +∞) ; NB: (1; 3)) b/ y = x4 – 2x2 (ĐB: (-1; 0), (1; +∞) ; NB: (−∞; −1),(0;1) ) − 2x x2 − 5x + x−2 c/ y = x + (NB: (−∞; −7),( −7; +∞) ) d/ y = (ĐB: (−∞;2),(2; +∞) )  π 5π   π 5π  ∈ ; ÷  ; ÷ e/ y = x + 2cosx, x  6  (NB:  6  ) f/ y = x − x (ĐB: (0; 1); NB: (1; 2)) Cực trị (cực đại, cực tiểu) Tìm cực trị hàm số sau: a/ y = x3 – 3x2 – 24 + (yCĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73) b/ y = x4 – 5x2 + (yCĐ = y(0) = 4; yCT = y( ± − )= 4) x − 3x + x−2 c/ y = (yCĐ = y(1) = -1; yCT = y(3) = 3) π 3π d/ y = sin2x (yCĐ = y( + k π ) = 1; yCT = y( + k π ) = -1, k ∈ Z hàm số có chu π kì T = ) e/ y = x − x + (yCT = y( ) = ) Giá trị lớn giá trị nhỏ Ghi nhớ: * GTLN – GTNN hàm số y = f(x) đoạn [a; b] Bước 1: Tính f ′ (x) Giải PT f ′ (x) = ⇒ nghiệm x ; i Bước 2: Tính f(a), f(b) Bước 3: Tính f(xi) với xi ∈ [a; b] ; Bước 4: So sánh f(a), f(b) f(xi) ⇒ GTLN – GTNN Tìm GTLN GTNN hàm số sau: x y = max y = y (0) = a/ y = x + x (x > 0)( (0; +∞ ) y(2) = 4) b/ y = + x ( ( −∞ ; +∞ ) ) π y = c/ y = sin x ( 0; π ) ( (0;π ) y( ) = 1) max y = y (−1) = 17 y = d/ y = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 [−3;3] ( [ −3;3] ; [ −3;3] y(-3) = -35) max y = y (5) = 552 y = e/ y = x4 – 3x2 + [2;5] ( [2;5] ; [2;5] y(2) = 6) 2− x max y = y (−2) = y = ; [ −3; −2] f/ y = − x [-3; -2]( [ −3; −2] y(-3) = ) max y = y (0) = y = g/ y = 25 − x [-4; 4] ( [ −4;4] ; [ −4;4] y( ±4 ) = 3) h/ y = 2sin x – cosx + 1 25 max y = y (− ) = y = ; [ −1;1] (Biến đổi dạng: f(t) = -2t2 – t + [-1; 1]) ( [ −1;1] y(1) = 0) i/ y = 2sinx – sin3x [0; π ] 2 max y = y ( ) = y = ; [0;1] (Biến đổi dạng: f(t) = 2t – t3 [0; 1]) ( [0;1] y(0) = 0) Đường tiệm cận Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang (nếu có) hàm số sau: 2x −1 x − 12 x + 27 a/ y = x + b/ y = − 3x c/ y = x − x + x2 + 3x 2− x 2 d/ y = x − e/ y = x − x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Ghi nhớ: a) PTTT hàm số (C): y = f(x) điểm M0(x0; y0) Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y = f ′ (x )(x – x ) Bước 2: Tính f ′ (x) Bước 3: Tính k = f ′ (x0) 0 Bước 4: Thay x0, y0 f ′ (x0) vào bước b) PTTT (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước Bước 1: Tính f ′ (x) Bước 2: Giải phương trình f ′ (x0) = k ⇒ nghiệm x0 Bước 3: Tính y0 = f(x0) Bước 4: Thay x0, y0 k = f ′ (x0) vào PT: y – y0 = f ′ (x0)(x – x0) Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a/ y = x3 – 3x2 b/ y = - x3 + 3x – c/ y = 3x – 4x3 d/ y = x3 – 3x2 + 3x – Bài 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: x4 − + x2 + c/ y = - x4 + 2x2 d/ y = x4 + x2 – a/ y = x4 – 2x2 – b/ y = Bài 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 2x − 1− 2x 2x − x a/ y = x − b/ y = x + c/ y = x + d/ y = Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x + 3x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 – 3x – + m = ĐS: * m > 4: n0; * m = 4: n0; * < m < 4: n0; * m = 0: n0; * m < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) x − xA y − yA = HD: PT đt qua điểm A(xA; yA) B(xB; yB) có dạng: xB − x A y B − y A ĐS: y = 2x + Bài 5: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 + 3x2 – k = ĐS: * k > 4: n0; * k = 4: n0; * < k < 4: n0; * k = 0: n0; * k < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ -1 HD: Thế x = -1 vào (C) ⇒ y = 3: M(-1; 3) ĐS: y = -3x d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) ĐS: y = -2x + Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: -x4 + 2x2 + – m = ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: n0; * < m < 2: n0; * m = 1: n0; * m < 1: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ HD: Thế y = vào (C) ⇒ x = ± 1: M(-1; 2), N(1; 2) ĐS: y = Bài 7: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết hệ số góc tiếp tuyến 24 ĐS: y = 24 – 43 Bài 8: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) − x −1 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 83 115 − x+ − x+ 27 ; y = 27 ĐS: y = x +1 Bài 9: Cho hàm số (C): y = x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường phân giác phần tư thứ HD: Đường phân giác phần tư thứ là: y = x ĐS: y = -x y = -x + Bài 10: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm A(1; 4) ĐS: m = c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C) qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = − x −1 Bài 11: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Xác định m để đồ thị (Cm) qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị k phương trình: x4 – 8x2 – k = có nghiệm phân biệt ĐS: -14 < k < mx − Bài 12: Cho hàm số (Cm): y = x + m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C2) b) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số đồng biến khoảng xác định HD: Chứng minh tử thức y’ > suy y’ > 0(đpcm) c) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1; ) ĐS: m = x− d) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C2) điểm (1; ) ĐS: y = ( m + 1) x − 2m + x −1 Bài 13: Cho hàm số (Cm): y = a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm B(0; -1) ĐS: m = c) Định m để tiệm cận ngang đồ thị qua điểm C( ; -3) ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số giao điểm với trục tung HD: Giao điểm với trục tung ⇒ x = 0, thay x = vào (C) ⇒ y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x –1 Bài 14: Cho hàm số (Cm): y = x3 + (m + 3)x2 + – m − a) Định m để hàm số có điểm cực đại x = ⎯1 ĐS: m = b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2 − HD: (Cm) cắt trục hoành x = -2 ⇒ y = 0, thay vào (Cm) ĐS: m = Bài 15: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + a) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định HD: * Tìm y’ vận dụng cơng thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) tập xác định ⇔ y’ ≥ (hay y’ ≤ 0)   a < a >  hay  ÷   ∆ ≤ 0(∆′ ≤ 0)  ⇔  ∆ ≤ 0( ∆′ ≤ 0)  * m2 – 2m + ≤ ⇔ m = (vì m2 – 2m + = có nghiệm kép m = a = > 0) ĐS: m = b) Với giá trị tham số m, hàm số có cực đại cực tiểu HD: * Tìm y’ vận dụng cơng thức sau * Để hàm số có cực trị (hay có cực đại cực tiểu) ’ ⇔ y = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > (hay ∆′ > 0) * m2 – 2m + > ⇔ m ≠ (vì m2 – 2m + = có nghiệm kép m = a = > 0) ĐS: m ≠ c) Xác định m để y”(x) > 6x ĐS: m < mx + Bài 16: Cho hàm số (Cm): y = x + m + a) Định m để hàm số đồng biến khoảng xác định HD: * Tìm y’ vận dụng cơng thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) khoảng xác định ⇔ y’ > (hay y’ < 0) ⇔ tử thức > (hay tử thức < 0) ĐS: - < m < * Giải bất phương trình bậc hai (có nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu b) Tìm (C-1) điểm có tọa độ nguyên HD: * Chia tử cho mẫu ta phần (phần nguyên + phần phân) * Để x, y nguyên ⇔ phần phân nguyên ⇔ tử thức Mmẫu thức ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2) Bài 17: Xác định m để h/số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến R ĐS: − ≤ m ≤1 Bài 18: Định m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – có cực trị ĐS: m < Bài 19: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – 2mx + m + đạt cực tiểu x = ĐS: m = 27 − Bài 20: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – (m – 1)x + m – đạt cực trị x = HD: * Tìm y’ vận dụng cơng thức sau * Để hàm số đạt cực trị x = α ⇔ y’( α ) = (giải Pt suy giá trị m) ĐS: m = -4 − Bài 21: Định m để hàm số y = x3 + (m – 2)x2 – mx + 3m giảm R ĐS: ≤ m ≤ ... 3mx2 + 3(2m – 1)x + a) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định HD: * Tìm y’ vận dụng công thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) tập xác định ⇔ y’ ≥ (hay y’ ≤ 0)   a < a >  hay... xác định HD: * Tìm y’ vận dụng công thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) khoảng xác định ⇔ y’ > (hay y’ < 0) ⇔ tử thức > (hay tử thức < 0) ĐS: - < m < * Giải bất phương trình bậc hai... số (C): y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 + 3x2 – k = ĐS: * k > 4: n0; * k = 4: n0; * < k < 4: n0;