CAU VDC TRONG DE THI THU THPT CHU DE BAI TOAN THUC TIEN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 BÀI TOÁN THỰC TIỄN Chủ đề CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH Câu 1: (Chun Thái Bình) Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án A 2 V B V C 3 6V D 3 2 V Hướng dẫn giải Chọn D Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ V 2V , Stp  2 R  2 Rh  2 R  R R V V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2 R , , R R V V V V Ta có Stp  2 R   �3 2 R  3 2 V (*) R R R R Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích khơng đổi V V V � V V� V  abh � h  ; Stp  2ab   a  b  h  2ab  2a  2b  � ab   � ab ab ab b a� � V V Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương ab; ; a b V V Ta có Stp �2.3 ab  V (**) a b Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ Thể tích khơng đổi V   R h � h  Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé Stp  3 2 V (đvdt) Nguyễn Trần Đức TRANG|1 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 Câu 2: (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao 15cm , đường kính đáy 6cm , lượng nước ban đầu cốc cao 10cm Thả vào cốc nước viên bi hình cầu có đường kính 2cm Hỏi sau thả viên bi, mực nước cốc cách miệng cốc cm ? (Kết làm tròn sau dấu phẩy chữ số) A 4,81cm B 4, 25cm C 4, 26cm D 3,52cm Hướng dẫn giải Chọn C r 3 Vcoc nuoc   r h   15.32  135 Thể tích V1 cốc nước sau thả viên bi : 290 V1   10.32   13  3 290 115  3 Gọi h1 khoảng cách từ mực nước cốc đến miệng cốc 115 115  32.h1  � h1  �4, 26cm 27 Thể tích phần cịn trống : V2  V  V1  135  Câu 3: (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một bồn hình trụ chứa dầu, được đặt nằm ngang, co chiều dài bồn là 5m , co bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy Tính thê tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại bồn (theo đơn vị m3 ) 0, m 0, m A 12,637m3 B 114,923m3 C 11, 781m3 D 8,307m3 Hướng dẫn giải Chọn A R OB  suy OHB là tam giác nửa đều 22 �  60�� � � HOB AOB  120� Nhận xét OH  CH  0,5  Nguyễn Trần Đức TRANG|2 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 1 Suy diện tích hình quạt OAB là: S   R   3 OB 3 Mặt khác: SAOB  2S HOB  S BOC  ( BOC đều)  4 Vậy diện tích hình viên phân cung AB là   �1 3�   Suy thể tích dầu được rút ra: V1  � � �3 � � � Thể tích dầu ban đầu: V  5.  5 Vậy thể tích còn lại: V2  V  V1 ; 12, 637 m Câu 4: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG) Từ miếng tơn hình vng cạnh dm , người ta cắt hình quạt tâm O bán kính OA  dm (xem hình) để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) Chiều cao phễu có số đo gần (làm tròn đến chữ số thập phân) A 3,872 dm B 3,874 dm C 3,871 dm D 3,873 dm Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có cung AB có độ dài O   2 dm Dựa vào đề ta thấy tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh OA dm h A �B Để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) chu vi C đường tròn đáy độ dài cung AB 2 Khi bán kính đáy 2 C  2 R � R   2 I Xét tam giác OIA vng I có OA  dm , IA  R  dm h  OI OI  OA2  IA2  42  12  15 � OI  15 �3,873 S Vậy h �3,873 Câu 5: (QUỐC HỌC HUẾ) Người ta dựng lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy  H  hình lục giác cạnh m Chiều cao SO  m ( SO vuông góc với mặt Nguyễn Trần Đức c6 1m c1 c2 c3 c5 c4 O TRANG|3 3m TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 phẳng đáy) Các cạnh bên  H  sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)  H  với mặt phẳng  P  vng góc với SO lục giác  P  qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần không gian nằm bên lều  H  135 ( m3 ) A 96 ( m3 ) B 135 ( m3 ) C D Hướng dẫn giải Chọn D Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A  0;  , B  1;3 , C  3;0  nên có phương trình y  x  x  2 Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” BM Nếu ta đặt t  OM BM   2t  (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “  ” trước dấu cho B chạy từ C đến A ) Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác” 135 ( m3 ) A 0;6 B  1;3 C  3;0 BM 3 �7 1� S  t     t  � � với t � 0;6 � 4� �2 � 3 �7 1� 135 S  t  dt  � �  t  dt   Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: V  � � � � �2 4� 0 6 Cho khối chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc với Biết OA  , Câu 6: (SỞ QUẢNG NAM) Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón Miệng thùng đường trịn có bán kính hai lần bán kính mặt đáy thùng Bên thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng có chiều cao bằng 20 cm (xem hình minh họa) Biết đổ 4.000 cm3 nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên phễu), tính bán kính đáy r của phễu (giá trị gần r làm tròn đến hàng phần trăm) A r  9, 77 cm B r  7,98 cm C r  5, 64 cm D r  5, 22 cm Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: 1 Vthung  h Smieng  Sday  Smieng Sday = h �  R   r   R  r � � � 3 � � 1 = h  R   r   Rr = h   2r    r   2r.r = h 7 r  h. r 3 3 1 V pheu  h.Sday  h. r 3         Theo giả thuyết Nguyễn Trần Đức TRANG|4 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 h. r  h. r  4000 3 4000  2h� .r� 4000 r2 2.h. Vthung  V pheu  4000 � 4000 2.20. 100  r 5, 64 cm Câu 7: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Có cốc có dạng hình vẽ, biết chiều cao cốc 8cm , bán kính đáy cốc 3cm , bán kính miệng cốc 6cm Tính thể tích V cốc   A 72 cm   C 48 cm Chọn C V   D 36  cm  B 48 cm Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón cụt h 2 8 2 R  r  R.r     18   168  cm3    3 3  168 (cm3 ) Cách : Vnon lon  Bh   62.16 ; Vnon cut  Vnon lon  Vnon nho 1 Vnon nho  Bn hn   32.8 ; 3 Câu 8: (VÕ NGUN GIÁP) Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r  2m , chiều cao h  6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trụ sau chế tác Tính V A V  32 m  B V  32 m  C V  32 m  D V  32 m  Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử khối trụ có bán kính đáy đường cao x , h '   x  2;  h�  6 h�  x  � h�   3x Ta có: 2   x   x   6 x  3 x Thể tích khối trụ: V   x h� ( x)  � x  �x  V� ( x )  12 x  9 x , V � Khi ta suy với x  32 m V đạt giá trị lớn V    Câu 9: (CHUYÊN SƠN LA) Từ nguyên liệu cho trước, công ti muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 100ml Bao bì thiết kế Nguyễn Trần Đức TRANG|5 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 hai mơ hình là: hình hộp chữ nhật có đáy hình vng hình trụ Hỏi thiết kế theo mơ hình tiết kiệm nguyên vật liệu ? A Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy B Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy C Hình trụ có chiều cao bán kính đáy D Hình hộp chữ nhật có cạnh bên cạnh đáy Hướng dẫn giải Chọn B Gọi: R bán kính đáy hình trụ l chiều cao hình trụ Khi hình trụ tích là: V   R 2l  100ml 2 Diện tích tồn phần hình trụ : Stp  2 Rl  2 R   Rl   Rl  2 R Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm : 2 R ,  Rl ,  Rl ta có: Stp   Rl   Rl  2 R �3  Rl  Rl 2 R  3 2  R 2l. R 2l  3 2 100.100 ; 119.27  1 Dấu "  " xảy �  Rl   Rl  2 R � l  R Gọi a độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật Gọi h chiều cao hình hộp chữ nhật Khi thể tích hình hộp chữ nhật là: V  a h  100ml 2 Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là: Stp  2a  4a.h  2a  2a.h  2a.h Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm là: 2a , 2a.h , 2a.h Ta có: Stp  2a  2a.h  2a.h �3 2a 2a.h.2a.h �3 8a h.a h  3.2 1002 ; 129.27  2 Dấu "  " xảy � 2ah  2ah  2a � h  a Từ  1 ,   � Thiết kế hộp sữa hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kình đáy tốn ngun vật liệu Câu 10: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R 32 R A  R3 B  R C D  R3 3 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón Giả sử khối nón có đáy hình trịn  C  bán kính r Gọi x với �x  R khoảng cách tâm khối cầu đến Nguyễn Trần Đức R O x R r TRANG|6 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình trịn  C  h  R  x Khi bán kính đáy nón r  R  x , suy thể tích khối nón 1 1 V   r h    R  x   R  x     R  x   R  x   R  x     R  x   R  x   2R  x  3 R  x  R  x  2R  x  32 R3 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có V �1    27 81 Câu 11: (Lương Thế Vinh) Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phịng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2, 5.103 kg / m3 Số lần vận chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là: 7406 A 740600 B 76040 C D 74060 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi cạnh hình chóp a  230 ,chiều cao h  144 Thể tích kim tự tháp : V   2539 200m3 Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V  1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp Câu 12: (Lương Thế Vinh) Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật Mỗi bóng tiếp xúc với hai tường nhà Trên bề mặt bóng, tồn điểm có khoảng cách đến hai tường bóng tiếp xúc đến nhà 9, 10, 13 Tổng độ dài đường kính hai bóng là: A 64 B 34 C 32 D 16 Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường trục cạnh góc nhà Do hai cầu tiếp xúc với tường nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, tâm cầu có toạ độ I  a; a; a  với a  có bán kính R a Do tồn điểm bóng có khoảng cách đến tường nhà 9, 10, 11 nên nói cách khác điểm A  9;10;13 thuộc mặt cầu Từ ta có phương trình: 2   a    10  a    13  a   a Giải phương trình ta nghiệm a  a  25 Vậy có mặt cầu thoả mãn tốn tổng độ dài đường kính   25   64 Nguyễn Trần Đức TRANG|7 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 x.10.6000  1777440 � x  74060 2,5.103 Câu 13: (QUẢNG XƯƠNG 1) Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12  cm  Giá trị lớn thể tích khối trụ là: A 32  cm  B 8  cm  C 16  cm  D 64  cm  Hướng dẫn giải Chọn B Gọi r bán kính hình trụ, chiều cao h Ta có: 2r  h  � h   2r ,   r  3 r  r   2r � � Khi đó: V   r h   r   2r  ��  8 � � � Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 8  cm  2 Câu 14: (QUẢNG XƯƠNG 1) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi cạnh a , SA  SB  SC  a Thể tích lớn khối chóp S ABCD 3a a3 a3 a3 A B C D 8 Hướng dẫn giải S Chọn D Kẻ SH   ABCD  H � H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC cân B AC  BD � H �BD Gọi O giao điểm AC a a BD A a H Ta có: OB  AB  OA2  a   SA2  SO   SO � SO  OB  OD � SBD a B vuông S 1 1 � SH BD  SB.SD � V  SH S ABCD  SH AC.BD  SB.SD AC  a AC.SD 3 6 2 2 Lại có SD  BD  SB  BD  a a D O C BD  4a  BD 2 2 a  4a  BD    BD  a  a3 2 2 � V  a 4a  BD BD  a �  6 Mà AC  2OA  AB  OB  a  Câu 15: (CHUYÊN KHTN) Trong hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính R , hình hộp tích lớn 8 R A R B C R D 8R 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi a , b , c ba kích thước hình hộp chữ nhật Thể tích khối hộp V  abc �a  b  c � Ta có abc �� � � � Nguyễn Trần Đức TRANG|8 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 Mà (a  b  c) �3(a  b  c )   R  (đường chéo hình hộp đường kính mặt cầu) �2 3R � R Do abc �� � � � 3 � � � a  b  c �2 3R Câu 16: S ABC (CHUN KHTN) Xét hình chóp có cạnh SA  SB  SC  AB  BC  a Giá trị lớn thể tích hình chóp S ABC ? a3 a3 a3 3a 3 A B C D 12 4 Hướng dẫn giải Chọn B �HA2  SA2  SH � 2 Kẻ SH   ABC  H � �HB  SB  SH �HC  SC  SH � Mà SA  SB  SC  a � HA  HB  HC � H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Tam giác ABC cân B, gọi P  BH �AC � BP  AC AC PA  PC  AB a  Kẻ HK  AB  K �AB  � KA  KB  2 BK BA a Ta có BKH : BPA � BH   BP BP Đặt BP  x  � BH  a2 a4 a x2  a2 � SH  SB  BH  a   2x 4x 2x Cạnh AC  AP  AB  BP  a  x 1 1 a 4x2  a2 Do VS ABC  SH S ABC  SH BP AC  x.2 a  x 3 2x 2 2 1  x  a    a  x  a3 2 2 � VS ABC  a x  a a  x � a  12 12 Dấu "  " xảy � x  a   a  x  � 8x  5a � x  a  x  0 Câu 17: (HÀ HUY TẬP) Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé V1 số V2 A B C D tỉ Hướng dẫn giải Chọn D Nguyễn Trần Đức TRANG|9 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 Ta có: Thể tích khối nón V1   r h � , cắt SO I Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác góc SBO IO OB r r  h2   � IS  IO � IS SB r r  h2 Mặt khác: IO  IS  h Ta có: Do ta có bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp R  IO  4 r 3h V2   R   Thể tích khối cầu 3 r  h2  r   rh r  h2  r � h2 �   � 2 � � � r  r  h r V � � �   2 h V2 4rh r 1 t  t  1   V1 h2  Đặt t   ( t �1 ) �  V2  t  1  t  1 r   Đặt f  t   t  1  t 1  t  , Điều kiện: t �1 , f � f�  t   � t  , f  3  f  t BBT � t  2t   t  1 t  V1 V2 Câu 18: (HÀ HUY TẬP) Một công ty dự kiến làm đường ống nước thải hình trụ dài 1km , đường kính ống (khơng kể lớp bê tông) 1m ; độ dày lớp bê tông 10cm Biết khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước gần với số nhất? A 3456 bao B 3450 bao C 4000 bao D 3000 bao Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích khối bê tông cần làm đường ống là: V   1000  0, 62  0,52   110 m Số bao xi măng phải dùng là: 110 10 �3456 bao Câu 19: (HÀ HUY TẬP) Một khối đá có hình khối cầu có bán kính R , người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt gọt viên đá thành viên đá cảnh có hình dạng khối trụ Tính thể tích lớn viên đá cảnh sau hoàn thiện Nguyễn Trần Đức TRANG|10 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 � � CSB �  300 Góc SC  SBC  CSB �  BC � SB  a 3; SA  SB  AB  a Ta có tan CSB SB Đặt CM  x,  �x �a  � DM  a  x, �BM  SH � BM   SAH  � BM  AH Ta có � �BM  SA 1 1 a2 Ta có S BMC  BC.CM  ax, S ADM  AD.DM  a  a  x  ; S ABM  S ABCD  S AMC  S ADM  2 2 2 ax a 2 Ta có S ABM  AH BM � AH  ; BH  AB  AH  2 2 a  x2 a x Thể tích khối chóp S ABH 1 1 a2 ax x V  SA.S ABH  SA BH AH  a  a (*) 2 2 3 6 a  x2 a x a x x , x � 0; a  Xét hàm số f  x   a  x2 a2  x2 � f x  ;f�    x  � x  a Ta có  a2  x2   x  �0, x � 0; a  Trên đoạn  0; a  ta có f � a 12 x 2a Cách 2: Từ (*) V  Dấu  : x  a a � a  a  x2 2a 12 Cách 3: Dễ thấy H nhìn AB góc vng nên VS ABH lớn S ABH lớn H �O (tâm hình vng ) � x  a Từ có kết Vậy giá trị lớn V x  a � Vmzx  Nguyễn Trần Đức TRANG|16 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 (TT DIỆU HIỀN) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác OAB vng A thuộc trục hồnh, điểm B nằm góc phần tư thứ � � AOB   , �   � Khi quay tam giác OAB quanh trục Ox ta OB  2017, � 2� � khối nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn khi: A sin   B cos   C co s   D sin   3 Câu 30: Hướng dẫn giải B Chọn A 201  O Khi xoay tam giác OAB quanh trục Ox tạo thành hình nón có đường cao OA  2017.cos  bán kính đáy AB  OB.sin   2017.sin  1 Thể tích khối nón bằng: V   AB OA    2017.sin   2017.cos  3   20173.sin  cos  �� 0; � Xét hàm số f (t )    t  t với t  cos x; t � 0;1  �� � 2�  t   3t  Ta có: f � A Ta co bảng biến thiên: t � f�  t  3 �  f  t Vậy thể tích khối nón lớn cos   sin    cos   hay 30 Câu 31: (SỞ QUẢNG NINH) Tính diện tích vải cần có để may mũ có hình dạng kích thước (cùng đơn vị đo) cho hình vẽ bên (không kể riềm, mép) A 350 B 400 C 450 10 10 30 D 500 Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào hình vẽ ta cần tính diện tích hai phần: Phần I: Diện tích phần giới hạn hai đường trịn có đường kính 30 10 S1  S d 30  S d 10   152   52  200 Phần II: Diện tích hình nón có đường kính hình trịn đáy 10 đường sinh 30 Nguyễn Trần Đức TRANG|17 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 S   5.30  150 Vậy diện tích vải cần S  S1  S2  350 Nguyễn Trần Đức TRANG|18 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 Câu 32: (SỞ VŨNG TÀU) Một người có dãi băng độ dài 180  cm  Người cần bọc dãi băng quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà người dùng 20  cm  để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dãi băng bọc hộp quà tích lớn bao nhiêu? 54000 64000 cm3  cm3  A B   27 27 C 54000 cm3   81 D 64000 cm3   81 Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi r , h   h  40,  r  20  bán kính đường cao hình trụ Ta có 8r  4h  180  20  160  cm  � h  40  2r 40 �r  r  40  2r � 64000  cm  V   r h   r  40  2r  � � cm3  r   � 3 27 � � 2 Câu 33: (HÀ HUY TẬP – KHÁNH HỊA) Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m3 ) A.14,923 m3 B 12, 637m3 C.14,173m3 D 8,307m3 Hướng dẫn giải Chọn B Tính diện tích S phần hình trịn chứa cung trịn � ACB Ta có : S IAB  IH AB  IH HB  IH IB  IH  Mặc khác : 2S S IAB  IA.IB.sin  � sin   IAB  �   120� IA.IB 360� 120� 2 S  R  S IAB   360� Thể tích phần khối dầu lại bồn dầu : �2 3� V  �  ��12,637  m  � � Nguyễn Trần Đức TRANG|19 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 Câu 34: (NGUYỄN VĂN TRỖI – KHÁNH HỊA) Một khúc gỗ dạng hình hộp chữ nhật có kích thước hình vẽ Người ta cắt phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh cm Tính thể tích phần gỗ cịn lại A 206 cm3 B 145 cm3 C 54 cm3 D 262 cm3 Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích khúc gỗ lúc ban đâu V1  5.6.9  270 cm3 Thể tích phần gỗ bị cắt V2  43  64 cm3 Vậy thể tích phần gỗ cịn lại V  V1  V2  206 cm3 Câu 35: (LẠC LONG QUÂN – KHÁNH HÒA) Cho hình phẳng  H  mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng  H  quanh cạnh AB A cm F E cm D cm cm C cm B A V  772 cm3 B V  799 cm3 C V  254 cm3 D V  826 cm3 Hướng dẫn giải: Chọn A Vật thể tròn xoay tạo gồm hai phần: Nguyễn Trần Đức TRANG|20 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 V1 phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc ODCB quanh trục AB tạo hình trụ có chiều cao h   cm  ; bán kính đáy R1   cm  V2 phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc AFEO quanh trục AB tạo  1 cm  ; bán kính đáy lớn R   cm  ; bán kính đáy bé hình nón cụt có chiều cao h� r   cm  Khi thể tích khối trịn xoay là:  h� 2  2 772 V  V1  V2   R12 h  R  r  R.r    49.5    4.3  cm   3 Câu 36: (TRẦN HƯNG ĐẠO – KHÁNH HỊA) Ơng An muốn làm cổng sắt có hình dạng kích thước giống hình vẽ kế bên, biết đường cong phía parabol Giá 1m cổng sắt có giá 700.000 đồng Vậy ông An phải trả tiền để làm cổng sắt (làm tròn đến hàng nghìn) A 6.423.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.523.000 đồng D 6.417.000 đồng Hướng dẫn giải:Chọn D Ta có mơ hình cổng sắt mặt phẳng tọa độ hình Diện tích cổng gồm diện tích hình chữ nhật diện tích phần giới hạn parabol  P  trục hoành Từ tọa độ điểm thuộc parabol  P  ta tìm phương trình parabol  P  là:  P  : y   x2  25 2,5 15 55 � 2 1� �S  �  x  � dx  5.1,5       m  � 25 2� 2,5 � Vậy cần 55 700000  6417000  Câu 37: (LÊ HỒNG PHONG – KHÁNH HÒA) Một bể nước có hình dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài a , chiều rộng b chiều cao c lập thành cấp số cộng với công sai 0,5 Thể tích bể nước m3 Khi kích thước bể nước (đơn vị m ) a2 � � A � b  1,5 � c 1 � a2 � � B � b  1,5 � c3 � a  1,5 � � C � b2 � c  2,5 � a 1 � � D � b2 � c= � Hướng dẫn giải Nguyễn Trần Đức TRANG|21 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 Chọn A Gọi kích thước hình hộp bể nước a, b, c Vì chúng lập thành cấp số cộng với công sai 0,5 nên a  b  0,5 ; c  b  0,5 Thể tích bể nước V  abc   b  0,5  b  b  0,   � b3  0, 25b   � b  1,5 Vậy a  2; b  1,5; c  Câu 38: (LÊ HỒNG PHONG – KHÁNH HỊA) Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng diện tích bóng bàn, S diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số A S1 S2 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Gọi bán kính bóng bàn R Tổng diện tích bóng bàn : S1  3.4 R  12 R Hình trụ có chiều cao h  R , bán kính đáy R nên diện tích xung quanh hình trụ S1 1 S  2 Rh  12 R Vậy S1  S2 hay S2 Câu 39 : Một bê nước lớn của khu công nghiệp co phần nước là một khối non đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA=27m Co một lần lúc bê chứa đầy nước, người ta phát hiệm nước bê không đạt yêu cầu nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước bê đê làm vệ sinh bê chứa Công nhân cho thoát ba lần qua một lỗ đỉnh S Lần thứ nhất mực nước tới điêm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai mực nước tới điêm N thuộc SA thì dừng, lần thứ thoát hết nước Biết rằng lượng nước lần thoát bằng Tính độ dài MN Nguyễn Trần Đức TRANG|22 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 Nguyễn Trần Đức TRANG|23 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 Câu 40 : Bên cạnh đường trước vào thành phố người ta xây một tháp đèn lộng lẫy Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600 mét, � ASB = 150 Do co cố đường dây điện tại điêm Q (là trung điêm của SA ) bị hỏng, người ta tạo một đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng : AM , MN , NP , PQ (hình vẽ) Đê tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và co được chiều dài đường từ A đến Q ngắn nhất Tính tỷ số k= AM + MN NP + PQ A 3/2 B 4/3 C 5/2 D HD : Giả sử trải các mặt hình chop đều đường tròn tâm S và bán kính R = SA Ta có D ASA ' có � ASA ' = 150.4 = 600 � D ASA ' Mà đoạn đường AQ ngắn nhất A , M , N , P , Q thẳng hàng.Khi đo N là trọng tâm ∆SAA′ Suy k= Nguyễn Trần Đức AM + MN AN = =2 NP + PQ NQ TRANG|24 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 Chủ đề LÃI SUẤT Câu 41: (CHUYÊN BIÊN HÒA) Đầu năm 2016, anh Hùng có xe cơng nơng trị giá 100 triệu đồng Biết tháng xe cơng nơng hao mịn 0, 4% giá trị, đồng thời làm triệu đồng ( số tiền làm tháng không đổi ) Hỏi sau năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông tổng số tiền anh Hùng làm ) anh Hùng có bao nhiêu? A 172 triệu B 72 triệu C 167, 3042 triệu D 104, 907 triệu Hướng dẫn giải Chọn C Sau năm số tiền anh Hùng làm 6.12  72 triệu đồng Sau năm giá trị xe cơng nơng cịn 100(1  0,4%)12 �95,3042 triệu đồng Vậy sau năm số tiền anh Hùng có 167, 3042 triệu đồng Câu 42: (CHUYÊN LAM SƠN) Một tỉnh A đưa nghị giảm biên chế cán công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước giai đoạn 2015  2021 ( năm) 10,6% so với số lượng có năm 2015 theo phương thức “ra vào ” (tức giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước người tuyển người) Giả sử tỉ lệ giảm tuyển dụng hàng năm so với năm trước Tính tỉ lệ tuyển dụng hàng năm (làm tròn đến 0,01% ) A 1,13% B 1,72% C 2,02% D 1,85% Hướng dẫn giải Chọn D Gọi x  x �N  * số cán công chức tỉnh A năm 2015 Gọi r tỉ lệ giảm hàng năm r Số người việc năm thứ là: x � r  x  1 r  Số người lại sau năm thứ là: x  x � Tương tự, số người việc sau năm thứ hai là: x   r  r r  x  1 r  Số người lại sau năm thứ hai là: x   r   x   r  � � Số người việc sau năm thứ sáu là: x   r  � r r  x� r  x� r   x � r  10, 6% x Tổng số người việc là: x �  1 r  � 1 r  � 1 r  � � r    r  r    r  r     r  r  0,106 Nguyễn Trần Đức TRANG|25 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 r� 1  1 r  � � 0,106  r � � 1  1 r  0, 0185 Vì tỉ lệ giảm hàng năm với tỉ lệ tuyển dụng nên tỉ lệ tuyển dụng hàng năm 1,85% Câu 43: (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Bác B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu là 50 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0, 72% tháng Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn lãi và gởi theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0, 78% tháng Sau gởi đúng một kỳ hạn tháng gia đình có việc bác gởi thêm tháng nữa thì phải rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 57.694.945,55 đồng (chưa làm tròn ) Biết rằng rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng Trong số tháng bác gởi thêm lãi suất là A 0,55% B 0,3% C 0, 4% D 0,5% Hướng dẫn giải: Chọn C Số tiền bác B rút sau năm đầu: T1  50.000.000 *   0,0072 *  Số tiền bác B rút sau sáu tháng tiếp theo: T2  T1 *   0, 0078 *  Số tiền bác B rút sau ba tháng tiếp theo: T3  T2 *   r   57.694.945,55 �r  57.694.945, 55  �0, 004  0, 4% T2 Câu 44: (CHUN NGOẠI NGỮ) Mợt người muốn có tỉ tiền tiết kiệm sau năm gửi ngân hàng cách mỗi năm gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất ngân hàng 8% một năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi số tiền mà người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền hàng năm là (với giả thiết lãi suất không thay đổi), số tiền được làm tròn đến đơn vị nghìn đồng? A 252.436.000 B 272.631.000 C 252.435.000 D 272.630.000 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi Tn số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, a số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng r  %  lãi suất kép Ta có T1  a   r  , T2   a  T1    r    a  a  r  1    r   a   r   a   r  T3   a  T2    r   a   r   a   r   a   r  2 … Nguyễn Trần Đức TRANG|26 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019  T6  a   r     r     r    a.S S6 tổng cấp số nhân lùi vô hạn với dãy  un    r  1, 08; q  1, 08 S6  u1   q  1 q Theo đề  1, 08   1, 086   1, 08 a T6 2.109   252435900, S6 1, 08   1, 086  Quy trịn đến phần nghìn ta  1, 08 chọn A Câu 45: (SỞ NAM ĐỊNH) Anh Nam vay tiền ngân hàng tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5 0 / tháng Nếu cuối tháng tháng thứ anh Nam trả 30 triệu đồng Hỏi sau tháng anh Nam trả hết nợ? A 35 tháng B 36 tháng C 37 tháng D 38 tháng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền vay, r lãi, m số tiền hàng tháng trả Số tiền nợ sau tháng thứ là: N1  a   r   m Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: N2  � a   r   m� a   r   m� � � � � �r  m  a 1 r   m �   r   1� � � …  r  1 Số tiền nợ sau n tháng là: N n  a   r  n  m  n r 1 r  1 Sau n tháng anh Nam trả hết nợ: N n  a   r  n  m   n � 1000   0, 005   30 n   0,005  r n 0, 0005 1 0 � t  36,55 Vậy 37 tháng anh Nam trả hết nợ Câu 46: (QUỐC HỌC HUẾ) Bạn Nam sinh viên trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm Đầu năm học, bạn vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất 4% Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau năm, biết năm đó, ngân hàng khơng thay đổi lãi suất ( kết làm tròn đến nghìn đồng) A 46794000 đồng B 44163000 đồng C 42465000 đồng D 41600000 đồng Hướng dẫn giải Chọn B Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc lãi) sau năm là: A  106 (1  0, 04)  106 (1  0, 04)3  106 (1  0, 04)2  106 (1  0,04)  106 (1  0, 04)[1  (1  0,04)  (1  0,04)  (1  0, 04)3 ] Nguyễn Trần Đức TRANG|27 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018  106 (1  0,04)  (1  0, 04)  44163256  (1  0, 04) Nên A  44163000 đồng Câu 47: (SỞ QUẢNG NAM) Một kỹ sư nhận lương khởi điểm 8.000.000 đồng/tháng Cứ sau hai năm lương tháng kỹ sư tăng thêm 10% so với mức lương Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc A 633.600.000 B 635.520.000 C 696.960.000 D 766.656.000 Hướng dẫn giải Chọn B Lương năm cơng nhân nhận T1  8.106.24  192.106 (đồng) Theo cơng thức tính lãi kép, lương năm cơng nhân nhận : T2  24.8.106   10%   212, 2.106 (đồng) Lương năm cuối cơng nhân nhận : T3  24.8.106   10%   232,32.106 (đồng) Tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc: T  T1  T2  T3  635,520, 000 (đồng) Câu 48: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Anh Hưng làm lĩnh lương khởi điểm 4.000.000 đồng/tháng Cứ năm, lương anh Hưng lại tăng thêm 7% /1 tháng Hỏi sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận tất tiền? (Kết làm trịn đến hàng nghìn đồng) 1.931.953.000 A 1.287.968.000 đồng B đồng C 2.575.937.000 đồng D 3.219.921.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a là số tiền lương khởi điểm, r là lương được tăng thêm + Số tiền lương ba năm đầu tiên: 36a + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36  a  a.r   36a   r  + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36a   r  … + Số tiền lương ba năm cuối: 36a   r  11 Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được: 11 �    r     r     r      r  � a.36  2.575.936983 ; 2.575.937.000 đồng � � Nguyễn Trần Đức TRANG|28 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 Câu 49: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng 48 tháng Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng Mỗi tháng người phải trả (lần phải trả tháng sau vay) số tiền gốc số tiền vay ban đầu chia cho 48 số tiền lãi sinh từ số tiền gốc nợ ngân hàng Tổng số tiền lãi người trả tồn q trình nợ bao nhiêu? A 38.400.000 đồng B 10.451.777 đồng.C 76.800.000 đồng D 39.200.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Để thuận tiện trình bày, tất số tiền tính theo đơn vị triệu Số tiền phải trả tháng thứ 1: 200  200.0,8% 48 Số tiền phải trả tháng thứ 2: 200 � 200 � 200 200 � 200  0,8%   47 .0,8% � 48 � 48 � 48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 3: 200 � 200 � 200 200 � 200  .0,8%   46 .0,8% � 48 � 48 � 48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 48 200 � 200 � 200 200 � 200  47 .0,8%   .0,8% � 48 � 48 � 48 48 Suy tổng số tiền lãi phải trả là: 200 200 200 0,8%  .0,8%   47 .0,8%  200.0,8% 48 48 48 48   48  200 200  0,8%     48   0,8%  39, 48 48 Câu 50: (PHÚ XUYÊN ) Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 1% tháng Biết sau quý ( tháng) lãi cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 D 11 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền người gửi ban đầu N Số tiền nhận gốc lẫn lãi sau N năm T  a(1 0,03) Nguyễn Trần Đức TRANG|29 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018 T ln3  � (1 0,03)4N  � 4N.ln1,03  ln3 � N  �9,29 a 4ln1,03 Câu 51: (SỞ HẢI PHÒNG) Một người vay ngân hàng tỷ đồng theo phương thức trả góp để mua nhà Nếu cuối tháng, tháng thứ người trả 40 triệu đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0, 65% tháng (biết lãi suất không thay đổi) sau người trả hết số tiền trên? A 29 tháng B 27 tháng C 26 tháng D 28 tháng Hướng dẫn giải Chọn D Gọi A số tiền vay, a số tiền gửi hàng tháng r lãi suất tháng Đến cuối tháng thứ n số tiền cịn nợ là: T  A 1 r   a �  1 r  � n n 1   1 r  n2   1� A   r  � Hết nợ đồng nghĩa T  � A   r  � n n n a�   r   1� � �  r n a�   r   1� � �  r a  Ar a a n   r   � n  log1 r r r a  Ar Áp dụng với A  (tỷ), a  0, 04 (tỷ), r  0, 0065 ta n �27,37 Vậy cần trả 28 tháng Câu 52: (TT DIỆU HIỀN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5% tháng Sau tháng, người có nhiều 125 triệu? A 46 tháng B 45 tháng C 44 tháng D 47 tháng Hướng dẫn giải: Chọn B Sau tháng, người nhận 100  100.0,5% (triệu đồng)  100.1, 0051 triệu đồng Sau tháng, người nhận được: 100.1, 005  100.1, 005.0, 005  100.1, 005   0, 005   100  1, 005  triệu đồng n Sau n tháng, người nhận được: 100  1, 005  triệu đồng Theo đề: 100  1, 005   125 � n  log1,005 1, 25  44, tháng n Vậy sau 45 tháng, người có nhiều 125 triệu đồng Nguyễn Trần Đức TRANG|30 ... lớn V    Câu 9: (CHUYÊN SƠN LA) Từ nguyên liệu cho trước, công ti muốn thi? ??t kế bao bì đựng sữa với thể tích 100ml Bao bì thi? ??t kế Nguyễn Trần Đức TRANG|5 TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2018... h. r 3         Theo giả thuyết Nguyễn Trần Đức TRANG|4 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2019 h. r  h. r  4000 3 4000  2h� .r� 4000 r2 2.h. Vthung  V pheu  4000 � 4000 2.20.... Bên thu? ?ng có mợt cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thu? ?ng, có đỉnh là tâm của miệng thu? ?ng có chiều cao bằng 20 cm (xem hình minh họa) Biết đổ 4.000 cm3 nước vào thu? ?ng