CAU VDC TRONG DE THI THU

Chủ đề CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH Câu 1: (Chun Thái Bình) Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án A 2 V B V C 3 6V D 3 2 V Hướng dẫn giải Chọn D Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ V 2V , Stp  2 R  2 Rh  2 R  R R V V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2 R , , R R V V V V Ta có Stp  2 R   �3 2 R  3 2 V (* ) R R R R Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích không đổi V V V � V V� V  abh � h  ; Stp  2ab   a  b  h  2ab  2a  2b  � ab   � ab ab ab b a� � V V Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương ab; ; a b V V Ta có Stp �2.3 ab  V (**) a b Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ Thể tích khơng đổi V   R h � h  Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé Stp  3 2 V (đvdt) Câu 2: (CHUN BIÊN HỊA) Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao 15cm , đường kính đáy 6cm , lượng nước ban đầu cốc cao 10cm Thả vào cốc nước viên bi hình cầu có đường kính 2cm Hỏi sau thả viên bi, mực nước cốc cách miệng cốc cm ? (Kết làm tròn sau dấu phẩy chữ số) A 4,81cm B 4, 25cm C 4, 26cm D 3,52cm Hướng dẫn giải Chọn C r 3 Vcoc nuoc   r h   15.32  135 Thể tích V1 cốc nước sau thả viên bi : 290 V1   10.32   13  3 TRANG|1 290 115  3 Gọi h1 khoảng cách từ mực nước cốc đến miệng cốc 115 115  32.h1  � h1  �4, 26cm 27 Thể tích phần cịn trống : V2  V  V1  135  Câu 3: (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một bồn hình trụ chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại bồn (theo đơn vị m3 ) 0,5m 0,5m A 12, 637m3 B 114,923m3 C 11, 781m3 D 8, 307m3 Hướng dẫn giải Chọn A R OB  suy OHB là tam giác nửa đều 22 �  60�� � � HOB AOB  120� 1 Suy diện tích hình quạt OAB là: S   R   3 OB 3 Mặt khác: S AOB  2SHOB  S BOC  ( BOC đều)  4 Vậy diện tích hình viên phân cung AB là   �1 3�   Suy thể tích dầu được rút ra: V1  � � �3 � � � Thể tích dầu ban đầu: V  5.  5 Vậy thể tích còn lại: V2  V  V1 ; 12, 637 m3 Nhận xét OH  CH  0,5  Câu 4: (CHUYÊN LÊ THÁNH TƠNG) Từ miếng tơn hình vng cạnh dm , người ta cắt hình quạt tâm O bán kính OA  dm (xem hình) để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) Chiều cao phễu có số đo gần (làm tròn đến chữ số thập phân) O dm ADMIN ABC dm h A �B I TRANG|2 A 3,872 dm B 3,874 dm C 3,871 dm D 3,873 dm Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có cung AB có độ dài   2 Dựa vào đề ta thấy tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh OA Để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) chu vi C đường 2  tròn đáy độ dài cung AB 2 Khi bán kính đáy C  2 R � R  2 Xét tam giác OIA vuông I có OA  dm , IA  R  dm h  OI OI  OA2  IA2  42  12  15 � OI  15 �3,873 Vậy h �3,873 S Câu 5: (QUỐC HỌC HUẾ) Người ta dựng lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy  H  hình lục giác cạnh m Chiều cao SO  m ( SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên  H  sợi dây c1 , c2 , c6 c5 1m c1 c2 c3 c4 O c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường parabol có trục đối 3m xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)  H  với mặt phẳng  P  vng góc với SO lục giác  P  qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều  H  A 135 ( m3 ) B 96 ( m3 ) C 135 ( m3 ) D Hướng dẫn giải Chọn D Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A  0;  , B  1;3 , C  3;0  nên có phương trình y  x  x  2 135 ( m3 ) A  0;  B  1;  C  3;  TRANG|3 Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” BM Nếu ta đặt t  OM BM   2t  (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “  ” trước dấu cho B chạy từ C đến A ) BM 3 �7 1�   2t  � Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác” S  t   với � � �2 4� � t � 0;6 3 �7 1� 135 S  t  dt  � �  t  dt   Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: V  � � � � �2 4� 0 6 Cho khối chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc với Biết OA  , Câu 6: (SỞ QUẢNG NAM) Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón Miệng thùng đường trịn có bán kính hai lần bán kính mặt đáy thùng Bên thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng có chiều cao bằng 20 cm (xem hình minh họa) Biết đổ 4.000 cm3 nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên phễu), tính bán kính đáy r của phễu (giá trị gần r làm tròn đến hàng phần trăm) A r  9, 77 cm B r  7,98 cm C r  5, 64 cm D r  5, 22 cm Chọn C Cách 1: Vthung  h Smieng  Sday  Smieng S day = h �  R   r   R  r � � � � � = h  R   r   Rr = h   2r    r   2r.r = h 7 r  h. r 3         Vthung  V pheu  4000 � 1 V pheu  h.Sday  h. r 3 h. r  h. r  4000 3 � 2h. r  4000 4000 4000 100 � r2    2.h. 2.20.  r 5, 64 cm Câu 7: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Có cốc có dạng hình vẽ, biết chiều cao cốc 8cm , bán kính đáy cốc 3cm , bán kính miệng cốc 6cm Tính thể tích V cốc ADMIN ABC TRANG|4   A 72 cm   B 48 cm   C 48 cm   D 36 cm Chọn C Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cụt V h 2 8 2 R  r  R.r       18  168  cm3  3 Câu 8: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r  2m , chiều cao h  6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trụ sau chế tác Tính V A V  32 m  B V  32 m  C V  32 m  D V  32 m  Chọn D  6 Giả sử khối trụ có bán kính đáy đường cao r , h '   x  2;0  h� h�  x  � h�   3x 2   x   x   6 x  3 x Thể tích khối trụ: V   x h� ( x)  � x  �x  V� ( x)  12 x  9 x , V � 32 m Khi ta suy với x  V đạt giá trị lớn V  Ta có:   Câu 9: (CHUYÊN SƠN LA) Từ nguyên liệu cho trước, công ti muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 100ml Bao bì thiết kế hai mơ hình là: hình hộp chữ nhật có đáy hình vng hình trụ Hỏi thiết kế theo mơ hình tiết kiệm nguyên vật liệu ? A Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy B Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy C Hình trụ có chiều cao bán kính đáy D Hình hộp chữ nhật có cạnh bên cạnh đáy Chọn B Gọi: R bán kính đáy hình trụ l chiều cao hình trụ Khi hình trụ tích là: V   R 2l  100ml TRANG|5 2 Diện tích tồn phần hình trụ : Stp  2 Rl  2 R   Rl   Rl  2 R Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm : 2 R ,  Rl ,  Rl ta có: Stp   Rl   Rl  2 R �3  Rl. Rl 2 R  3 2  R 2l. R 2l  3 2 100.100 ; 119.27  1 Dấu "  " xảy �  Rl   Rl  2 R � l  R Gọi a độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật Gọi h chiều cao hình hộp chữ nhật Khi thể tích hình hộp chữ nhật là: V  a h  100ml 2 Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là: Stp  2a  4a.h  2a  2a.h  2a.h Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm là: 2a , 2a.h , 2a.h  2 Ta có: Stp  2a  2a.h  2a.h �3 2a 2a.h.2 a.h �3 8a h.a h  3.2 1002 ; 129.27 Dấu "  " xảy � 2ah  2ah  2a � h  a Từ  1 ,   � Thiết kế hộp sữa hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kình đáy tốn nguyên vật liệu Câu 10: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R 32 R A  R B  R C D  R3 3 81 Chọn D Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón Giả sử khối nón có đáy hình trịn  C  bán kính r Gọi x với �x  R khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình trịn  C  h  R  x Khi bán R O x R r kính đáy nón r  R  x , suy thể tích khối nón 1 1 V   r h    R  x   R  x     R  x   R  x   R  x     R  x   R  x   2R  x  3 R  x  R  x  2R  x  32 R3 Áp dụng BĐT Cô-si ta có V �1    27 81 Câu 11: (Lương Thế Vinh) Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phịng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2, 5.103 kg / m3 Số lần vận chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là: A 740600 B 76040 C 7406 D 74060 ADMIN ABC TRANG|6 Chọn D Gọi cạnh hình chóp a  230 ,chiều cao h  144 Thể tích kim tự tháp : V   2539 200m3 Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V  1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp Câu 12: (Lương Thế Vinh) Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật Mỗi bóng tiếp xúc với hai tường nhà Trên bề mặt bóng, tồn điểm có khoảng cách đến hai tường bóng tiếp xúc đến nhà 9, 10, 13 Tổng độ dài đường kính hai bóng là: A 64 B 34 C 32 D 16 Chọn A Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường trục cạnh góc nhà Do hai cầu tiếp xúc với tường nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, tâm cầu có toạ độ I  a; a; a  với a  có bán kính R  a Do tồn điểm bóng có khoảng cách đến tường nhà 9, 10, 11 nên nói cách khác điểm A  9;10;13 thuộc mặt cầu Từ ta có phương trình: 2   a    10  a    13  a   a Giải phương trình ta nghiệm a  a  25 Vậy có mặt cầu thoả mãn tốn tổng độ dài đường kính   25   64 x.10.6000  1777440 � x  74060 2,5.103 Câu 13: (QUẢNG XƯƠNG 1) Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12  cm  Giá trị lớn thể tích khối trụ là: A 32  cm  B 8  cm  C 16  cm  D 64  cm  Chọn B Gọi r bán kính hình trụ, chiều cao h Ta có: 2r  h  � h   2r ,   r  3 r  r   2r � � Khi đó: V   r h   r   2r  ��  8 � � � Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 8  cm  Câu 14: (QUẢNG XƯƠNG 1) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi cạnh a , SA  SB  SC  a Thể tích lớn khối chóp S ABCD 3a a3 a3 a3 A B C D 8 S Chọn D Kẻ SH   ABCD  H � H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC cân B AC  BD � H �BD Gọi O giao điểm AC BD a a a B A a H O aTRANG|7 C D 2 2 2 Ta có: OB  AB  OA  a   SA  SO   SO � SO  OB  OD � SBD vuông S 1 1 � SH BD  SB.SD � V  SH S ABCD  SH AC.BD  SB.SD AC  a AC.SD 3 6 Lại có SD  BD  SB  BD  a BD  4a  BD 2 2 a  4a  BD    BD  a  a 2 2 � V  a 4a  BD BD  a �  6 Mà AC  2OA  AB  OB  a  Câu 15: (CHUYÊN KHTN) Trong hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính R , hình hộp tích lớn 8 R A R B C R D 8R 3 3 Chọn B Gọi a , b , c ba kích thước hình hộp chữ nhật Thể tích khối hộp V  abc �a  b  c � Ta có abc �� � � � Mà (a  b  c )2 �3(a  b  c )   R  (đường chéo hình hộp đường kính mặt cầu) � a  b  c �2 3R �2 3R � 8R Do abc �� � � � 3 � � Câu 16: (CHUN KHTN) Xét hình chóp S ABC có cạnh SA  SB  SC  AB  BC  a Giá trị lớn thể tích hình chóp S ABC ? a3 a3 a3 3a 3 A B C D 12 4 Chọn B �HA2  SA2  SH � 2 Kẻ SH   ABC  H � �HB  SB  SH �HC  SC  SH � Mà SA  SB  SC  a � HA  HB  HC � H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Tam giác ABC cân B, gọi P  BH �AC � BP  AC AC PA  PC  AB a  Kẻ HK  AB  K �AB  � KA  KB  2 BK BA a Ta có BKH : BPA � BH   BP BP Đặt BP  x  � BH  a2 a4 a 4x2  a2 � SH  SB  BH  a   2x 4x 2x Cạnh AC  AP  AB  BP  a  x ADMIN ABC TRANG|8 1 1 a 4x2  a2 Do VS ABC  SH S ABC  SH BP AC  x.2 a  x 3 2x 2 2 1  x  a    a  x  a3 2 2 � VS ABC  a x  a a  x � a  12 12 Dấu "  " xảy � x  a   a  x  � x  5a � x  a  x  0 Câu 17: (HÀ HUY TẬP) Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội V1 tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số V2 A B C D V1   r h Ta có: Thể tích khối nón � , cắt SO I Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác góc SBO IO OB r r  h2   � IS  IO � IS SB r r  h2 Mặt khác: IO  IS  h Ta có: Do ta có bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp R  IO  rh r  h2  r 3 Thể tích khối cầu 4 rh V2   R   3 r  h2  r    t    t  1 V h2 Đặt t   ( t �1 ) �  V2  t  1  t  1 r f�  t  t  2t   t  1 f  t BBT � � V1  V2 Đặt f  t  r r  h2 4rh  t  1  t 1  � h2 �   � � � r2 � � �  h r , Điều kiện: t �1 , f�  t   � t  , f  3  8 t   3 V1 V2 Câu 18: (HÀ HUY TẬP) Một công ty dự kiến làm đường ống nước thải hình trụ dài 1km , đường kính ống (khơng kể lớp bê tơng) 1m ; độ dày lớp bê tông 10cm Biết khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước gần với số nhất? A 3456 bao B 3450 bao C 4000 bao D 3000 bao TRANG|9 Chọn A Thể tích khối bê tơng cần làm đường ống là: V   1000  0, 62  0,52   110 m Số bao xi măng phải dùng là: 110 10 �3456 bao Câu 19: (HÀ HUY TẬP) Một khối đá có hình khối cầu có bán kính R , người thợ thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt gọt viên đá thành viên đá cảnh có hình dạng khối trụ Tính thể tích lớn viên đá cảnh sau hoàn thiện A 3 R 3 B 3 R C 3 R D 3 R 12 Chọn B Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0  x  R) (xem hình vẽ) Bán kính khối trụ r  R  x Thể tích khối trụ là: V   ( R  x )2 x Xét hàm số V ( x )   ( R  x )2 x,  x  R , có V � ( x)  2 ( R  x )  � x  Bảng biến thiên: R Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ Vmax  2R ; 4 R 3 Câu 20: (PHÚ XUN ) Cho hình trụ có diện tích tồn phần 6 Kích thước khối trụ để thể tích đạt giá trị lớn nhất? A r  1, h  B r  2, h  C r  1, h  D r  2, h  ADMIN ABC TRANG|10 Chọn A  r2 với r � 0;3 Stp  2 rh  2 r  6 � h  r V   r h   (3r  r ) (r )   3r  � r  Đặt f (r )  3r  r ; f � Suy ra: max f (r )  r  � h  2 Quay (SỞ HẢI PHÒNG) Cho tam giác ABC có � ABC  45� , � ACB  30� , AB  tam giác quanh cạnh BC , ta khối trịn xoay tích Câu 21: A V    1 24  B V    1 72  C V      D V    1  CHỌN A �  105� Theo định lý sin tam giác Ta có BAC BC AB AB sin105�   nên BC   � � sin BAC sin ACB 30� Ta có AO  BO  1    V2   R BO   R 2CO Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: V V 3  1 �1 � � 1 �  1   R BC   � � � � � 3 �2 � � � � 24  Câu 22: (SỞ HẢI PHỊNG) Trong tất hình nón nội tiếp hình cầu tích 36 , tìm bán kính r hình nón có diện tích xung quanh lớn 3 A r  B r  C r  2 D r  2 CHỌN C Gọi bán kính thể tích hình cầu R VC Theo giả thiết VC  36 �  R  36 � R  3 Diện tích xung quanh hình nón S xq   r.SA   r SH  r (1) S � �SH  SI  IH  R  IH   IH Mà � 2 2 �IH  IA  HA  R  r   r � SH    r (2)  Từ (1) (2) � S xq   r   r  � S xq   r   r  2  N D r A I R M C r H B  r4 TRANG|11 Đặt t   r � r   t Với  t �3 (3) � S xq    9t  3 9  9 t    9t   6t  18t  54t  162  t   18t  36t  54 Xét hàm số f  t   6t  18t  54t  162 � f � � f�  t   � t  3 �t  Bảng biến thiên t � f�  t 3 + 0 - f  t � 108 Vậy Max f  t   t  � Max S xq   t  Kết hợp (3) � r  2  Chú ý: Để tìm GTLN S xq   r   r   r với  r �3 ta dùng Table Câu 23: (SỞ HẢI PHÒNG) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước cốc cao 8cm Thả vào cốc nước viên bi có đường kính 2cm Hỏi nước dâng cao cách miệng cốc xăng-ti-mét? A 4cm B 2cm C 3cm D 1cm Chọn C 4 Thể tích viên bi có đường kính 2cm Vb  . 13    4 (cm3 ) 3 Sau bỏ viên bi vào nước thể tích viên bi chiếm chỗ nước tích Vb  4 (cm3 ) nên nước dâng chiếm thể tích Vb V 4  (cm) Do mực nước dâng cao thêm đoạn ht  b   4 Vậy mực nước cách miệng cốc 12    3(cm) Câu 24: (CHUYÊN LÀO CAI) Hình bên cho ta hình ảnh đồng hồ cát với kích thước kèm theo OA  OB Khi tỉ số tổng thể tích hai hình nón  Vn  thể tích hình trụ  Vt  bằng: A B C Chọn D h R h Thể tích khối nón V1   R   R h  R 2h Tổng thể tích hai khối nón Vn   Vn  Thể tích khối trụ Vt   R 2h Vậy Vt D A R O h B Câu 25: (CHUYÊN LÀO CAI) Một hình chóp tứ giác có tổng độ dài đường cao bốn cạnh đáy 33 Hỏi độ dài cạnh bên ngắn bao nhiêu? 33 33 A B 33 C 11 D 17 ADMIN ABC TRANG|12 Chọn B Gọi độ dài cạnh đáy x , đường cao h , cạnh bên y 33 Ta có x  h  33 � h  33  x (0  x  ) x x2 2 Độ dài cạnh bên y  h � y   33  x  2 Độ dài cạnh bên nhỏ hàm số: x2 33 f ( x)    33  x  (0  x  ) đạt giá trị nhỏ Khảo sát hàm số f ( x ) ta có: Giá trị nhỏ hàm số đạt x  Vậy cạnh bên nhỏ 33 cạnh đáy x  B C D cạnh a Gọi O giao điểm AC BD Cho hình lập phương ABCD A���� Thể Câu 26: (CHUYÊN LÀO CAI) Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60�như hình bên Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Hỏi cho lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía ? 1 1 A B C D 60� 3 64 27 đầy Chọn B 30 �  15 � chiều cao, bán kính hình nón phía phía � h h h� 30  h  ; h�  30  h; r �   đồng hồ Ta có: r  Khi đó: thể tích tan 60� 3 � � h� , r, r� Gọi h, h� � đồng hồ: 2 � 1 � �h � �30  h � V   r h   r� h�  � h  30  h �   � � � � � 3 � 3 � � � � � � �h3  27000  2700h  90h  h3 �  � �  90h  2700h  27000  1000 � �   h  20 � � h  30h  200  � � � h  20 � h�  10 h  10  15   � V1 �h� �  � � Do hình nón đồng dạng nên V2 �h � Câu 27: (CHUYÊN ĐHSP) Cần xẻ khúc gỗ hình trụ có đường kính d  40 cm chiều dài h  m thành xà hình hộp chữ nhật có chiều dài Lượng gỗ bỏ tối thiểu xấp xỉ A 1, m3 B 0, 014 m3 C 0,14 m3 D 0, m3 Chọn.C Lượng gỗ bỏ tối thiểu � thể tích xà lớn � diện tích đáy xà lớn TRANG|13 � đáy hình vng nội tiếp đường trịn đáy Hình vng có đường chéo đường kính đường trịn đáy 2 �0, � Vtru   R h   � �.3 ; S hh   0,  �2 � Vhh  S hh h   0,  ; Vgo bo di  Vtru  Vhh �0,14m3 Câu 28: (CHUN ĐHSP) Một đống cát hình nón cụt có chiều cao h  60 cm , bán kính đáy lớn R1  m , bán kính đáy nhỏ R2  50 cm Thể tích đống cát xấp xỉ A 0,11 m3 B 0,1 m3 C 1,1 m3 D 11 m3 Chọn C h  0, m ; R1  1m ; R2  0, m B   R12    m  , B�   R22  0, 25  m2  V     h 0, B  B ' BB '    0, 25   0, 25  1.099557429 3 Câu 29: (TT DIỆU HIỀN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy góc SC với mặt phẳng  SAB  300 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp S ABH đạt giá trị lớn bằng: a3 a3 a3 a3 A B C D 12 SC  SBC  � � CSB �  300 CSB Góc �  BC � SB  a 3; SA  SB  AB  a Ta có tan CSB SB Đặt CM  x,  �x �a  � DM  a  x, �BM  SH � BM   SAH  � BM  AH Ta có � �BM  SA 1 1 a2 BC.CM  ax, S ADM  AD.DM  a  a  x  ; S ABM  S ABCD  S AMC  S ADM  2 2 2 ax a 2 Ta có S ABM  AH BM � AH  ; BH  AB  AH  2 a2  x2 a x Thể tích khối chóp S ABH 1 1 a2 ax x V  SA.S ABH  SA BH AH  a  a (*) 2 2 3 6 a  x2 a x a x Ta có S BMC  Xét hàm số f  x   ADMIN ABC x , x � 0; a  a  x2 TRANG|14  x  Ta có f � a2  x2  a2  x2  ;f�  x  � x  a  x  �0, x � 0; a  Trên đoạn  0; a  ta có f � a 12 x 2a Cách 2: Từ (*) V  Dấu  : x  a a � a  a  x2 2a 12 Cách 3: Dễ thấy H nhìn AB góc vng nên VS ABH lớn S ABH lớn H �O (tâm hình vng ) � x  a Từ có kết Vậy giá trị lớn V x  a � Vmzx  Câu 30: (TT DIỆU HIỀN) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác OAB vuông A thuộc trục hồnh, điểm B nằm góc phần tư thứ � � OB  2017, � AOB   , � 0  � Khi quay tam giác OAB quanh trục Ox ta khối 2� � nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn khi: A sin   B cos   C co s   D sin   3 Chọn A B Khi xoay tam giác OAB quanh trục Ox tạo thành hình nón có đường 201 OA  2017.cos  bán kính đáy AB  OB.sin   2017.sin  1  2 Thể tích khối nón bằng: V   AB OA    2017.sin   2017.cos  O 3   20173.sin  cos  �� 0; � Xét hàm số f (t )    t  t với t  cos x; t � 0;1  �� � 2�  t   3t  Ta có: f � cao A Ta có bảng biến thiên: t � f�  t  3 �  f  t Vậy thể tích khối nón lớn cos   hay sin    cos   3 Câu 31: (SỞ QUẢNG NINH) Tính diện tích vải cần có để may mũ có hình dạng kích thước (cùng đơn vị đo) cho hình vẽ bên (khơng kể riềm, mép) A 350 B 400 C 450 D 500 Chọn A Dựa vào hình vẽ ta cần tính diện tích hai phần: 30 10 10 TRANG|15 30 Phần I: Diện tích phần giới hạn hai đường trịn có đường kính 30 10 S1  Sd 30  Sd 10   152   52  200 Phần II: Diện tích hình nón có đường kính hình trịn đáy 10 đường sinh 30 S   5.30  150 Vậy diện tích vải cần S  S1  S2  350 Câu 32: (SỞ VŨNG TÀU) Một người có dãi băng độ dài 180  cm  Người cần bọc dãi băng quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà người dùng 20  cm  để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dãi băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu? 54000 64000 54000 64000 cm3  cm3  cm3  A B C D     cm3  27 27 81 81 Chọn B Gọi r , h   h  40,  r  20  bán kính đường cao hình trụ Ta có 8r  4h  180  20  160  cm  � h  40  2r 40 �r  r  40  2r � 64000  cm  V   r h   r  40  2r  � � cm3  r   � 3 27 � � Câu 33: (HÀ HUY TẬP – KHÁNH HỊA) Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m3 ) A 14,923 m3 B 12, 637m3 C 14,173m3 D 8,307m3 Chọn B Tính diện tích S phần hình trịn chứa cung trịn � ACB Ta có : S IAB  IH AB  IH HB  IH IB  IH  2S Mặc khác : S IAB  IA.IB.sin  � sin   IAB  �   120� IA.IB 360� 120� 2 S  R  S IAB   360� Thể tích phần khối dầu cịn lại bồn dầu : �2 3� V  �  ��12,637  m  � �3 Câu 34: (NGUYỄN VĂN TRỖI – KHÁNH HÒA) Một khúc gỗ dạng hình hộp chữ nhật có kích thước hình vẽ Người ta cắt phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh cm Tính thể tích phần gỗ cịn lại ADMIN ABC TRANG|16 206 cm3 145 cm3 54 cm3 A B C Chọn A Thể tích khúc gỗ lúc ban đâu V1  5.6.9  270 cm3 262 cm3 D Thể tích phần gỗ bị cắt V2  43  64 cm3 Vậy thể tích phần gỗ lại V  V1  V2  206 cm3 Câu 35: (LẠC LONG QUÂN – KHÁNH HÒA) Cho hình phẳng  H  mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng  H  quanh cạnh AB A cm F E cm D cm V cm 772 cm3 V 799 cm3 V  254 cm3 C cm B V A B C D 826 cm3 Chọn A Vật thể tròn xoay tạo gồm hai phần: V1 phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc ODCB quanh trục AB tạo hình trụ có chiều cao h   cm  ; bán kính đáy R1   cm  V2 phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc AFEO quanh trục AB tạo hình  1 cm  ; bán kính đáy lớn R   cm  ; bán kính đáy bé r   cm  nón cụt có chiều cao h� Khi thể tích khối trịn xoay là:  h� 2  2 772 V  V1  V2   R12 h  R  r  R.r    49.5    4.3  cm   3 Câu 36: (TRẦN HƯNG ĐẠO – KHÁNH HỊA) Ơng An muốn làm cổng sắt có hình dạng kích thước giống hình vẽ kế bên, biết đường cong phía parabol Giá 1m cổng sắt có giá 700.000 đồng TRANG|17 Vậy ơng An phải trả tiền để làm cổng sắt (làm trịn đến hàng nghìn) A 6.423.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.523.000 đồng D 6.417.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có mơ hình cổng sắt mặt phẳng tọa độ hình Diện tích cổng gồm diện tích hình chữ nhật diện tích phần giới hạn parabol  P  trục hoành Từ tọa độ điểm thuộc parabol  P  ta tìm phương trình parabol  P  là:  P  : y   x2  25 2,5 15 55 � 2 1� �S  �  x  � dx  5.1,5       m  � 25 2� 2,5 � Vậy cần 55 700000  6417000 đn ng Câu 37: (LÊ HỒNG PHONG – KHÁNH HỊA) Một bể nước có hình dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài a , chiều rộng b chiều cao c lập thành cấp số cộng với cơng sai 0,5 Thể tích bể nước m3 Khi kích thước bể nước (đơn vị m ) a2 � � A � b  1,5 � c 1 � a2 � � B � b  1,5 � c3 � a  1,5 � � C � b2 � c  2,5 � a 1 � � D � b2 � c= � Chọn A Gọi kích thước hình hộp bể nước a, b, c Vì chúng lập thành cấp số cộng với công sai 0,5 nên a  b  0,5 ; c  b  0,5 Thể tích bể nước V  abc   b  0,5  b  b  0,5   � b3  0, 25b   � b  1,5 Vậy a  2; b  1,5; c  Câu 38: (LÊ HỒNG PHONG – KHÁNH HÒA) Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng diện tích bóng bàn, S diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số A B C S1 S2 D Chọn A ADMIN ABC TRANG|18 Gọi bán kính bóng bàn R Tổng diện tích bóng bàn : S1  3.4 R  12 R Hình trụ có chiều cao h  R , bán kính đáy R nên diện tích xung quanh hình trụ S1 1 S2  2 Rh  12 R Vậy S1  S hay S2 Chủ đề LÃI SUẤT Câu 39: (CHUN BIÊN HỊA) Đầu năm 2016, anh Hùng có xe công nông trị giá 100 triệu đồng Biết tháng xe cơng nơng hao mịn 0, 4% giá trị, đồng thời làm triệu đồng ( số tiền làm tháng không đổi ) Hỏi sau năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông tổng số tiền anh Hùng làm ) anh Hùng có bao nhiêu? A 172 triệu B 72 triệu C 167, 3042 triệu D 104, 907 triệu Chọn C Sau năm số tiền anh Hùng làm 6.12  72 triệu đồng Sau năm giá trị xe công nông 100(1  0,4%)12 �95,3042 triệu đồng Vậy sau năm số tiền anh Hùng có 167, 3042 triệu đồng Câu 40: (CHUYÊN LAM SƠN) Một tỉnh A đưa nghị giảm biên chế cán công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước giai đoạn 2015  2021 ( năm) 10,6% so với số lượng có năm 2015 theo phương thức “ra vào ” (tức giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước người tuyển người) Giả sử tỉ lệ giảm tuyển dụng hàng năm so với năm trước Tính tỉ lệ tuyển dụng hàng năm (làm tròn đến 0,01% ) A 1,13% B 1,72% C 2,02% D 1,85% Chọn D Gọi x  x �N  * số cán công chức tỉnh A năm 2015 Gọi r tỉ lệ giảm hàng năm r Số người việc năm thứ là: x � r  x  1 r  Số người lại sau năm thứ là: x  x � Tương tự, số người việc sau năm thứ hai là: x   r  r r  x 1 r  Số người lại sau năm thứ hai là: x   r   x   r  � � Số người việc sau năm thứ sáu là: x   r  � r r  x� r  x� r   x � r  10, 6% x Tổng số người việc là: x �  1 r  �  1 r  � 1 r  � � r    r  r    r  r     r  r  0,106 TRANG|19 r� 1  1 r  � � 0,106  r � � 1  1 r  0, 0185 Vì tỉ lệ giảm hàng năm với tỉ lệ tuyển dụng nên tỉ lệ tuyển dụng hàng năm 1,85% Câu 41: (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Bác B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu là 50 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0, 72% tháng Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn lãi và gởi theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0, 78% tháng Sau gởi đúng một kỳ hạn tháng gia đình có việc bác gởi thêm tháng nữa thì phải rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 57.694.945,55 đồng (chưa làm tròn ) Biết rằng rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng Trong số tháng bác gởi thêm lãi suất là A 0,55% B 0,3% C 0, 4% D 0,5% Chọn C Số tiền bác B rút sau năm đầu: T1  50.000.000 *   0,0072 *  Số tiền bác B rút sau sáu tháng tiếp theo: T2  T1 *   0, 0078 *  Số tiền �r  bác B rút sau ba tháng tiếp theo: T3  T2 *   r   57.694.945,55 57.694.945, 55  �0, 004  0, 4% T2 Câu 42: (CHUN NGOẠI NGỮ) Mợt người muốn có tỉ tiền tiết kiệm sau năm gửi ngân hàng cách mỗi năm gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất ngân hàng 8% một năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi số tiền mà người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền hàng năm là (với giả thiết lãi suất không thay đổi), số tiền được làm tròn đến đơn vị nghìn đồng? A 252.436.000 B 272.631.000 C 252.435.000 D 272.630.000 Chọn A Gọi Tn số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, a số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng r  %  lãi suất kép Ta có T1  a   r  , T2   a  T1    r    a  a  r  1    r   a   r   a   r  T3   a  T2    r   a   r   a   r   a   r  2 …  T6  a   r     r     r    a.S S6 tổng cấp số nhân lùi vô hạn với dãy  un    r  1, 08; q  1, 08 ADMIN ABC TRANG|20 S6  u1   q  1 q Theo đề  1, 08   1, 086  a  1, 08 T6 2.109   252435900, S6 1, 08   1, 086  Quy tròn đến phần nghìn ta chọn A  1, 08 Câu 43: (SỞ NAM ĐỊNH) Anh Nam vay tiền ngân hàng tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5 0 / tháng Nếu cuối tháng tháng thứ anh Nam trả 30 triệu đồng Hỏi sau tháng anh Nam trả hết nợ? A 35 tháng B 36 tháng C 37 tháng D 38 tháng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền vay, r lãi, m số tiền hàng tháng trả Số tiền nợ sau tháng thứ là: N1  a   r   m Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: N2  � a   r   m� a   r   m� � � � � �r  m  a 1 r   m �   r   1� � � …  r  1 Số tiền nợ sau n tháng là: N n  a   r  n  m  r n 1 r  1 Sau n tháng anh Nam trả hết nợ: N n  a   r  n  m   r n  0,005    n � 1000   0, 005   30 0 0, 0005 � t  36,55 Vậy 37 tháng anh Nam trả hết nợ n Câu 44: (QUỐC HỌC HUẾ) Bạn Nam sinh viên trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm Đầu năm học, bạn vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất 4% Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau năm, biết năm đó, ngân hàng khơng thay đổi lãi suất ( kết làm trịn đến nghìn đồng) A 46794000 đồng B 44163000 đồng C 42465000 đồng D 41600000 đồng Chọn B Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc lãi) sau năm là: A  106 (1  0,04)  106 (1  0,04)  106 (1  0,04)  106 (1  0,04)  106 (1  0, 04)[1  (1  0, 04)  (1  0, 04)  (1  0, 04) ]  (1  0, 04)  10 (1  0, 04)  44163256  (1  0, 04) Nên A  44163000 đồng Câu 45: (SỞ QUẢNG NAM) Một kỹ sư nhận lương khởi điểm 8.000.000 đồng/tháng Cứ sau hai năm lương tháng kỹ sư tăng thêm 10% so TRANG|21 với mức lương Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc A 633.600.000 B 635.520.000 C 696.960.000 D 766.656.000 Chọn B 6 Lương năm công nhân nhận T1  8.10 24  192.10 (đồng) Theo cơng thức tính lãi kép, lương năm cơng nhân nhận : T2  24.8.106   10%   212, 2.10 (đồng) Lương năm cuối cơng nhân nhận : T3  24.8.106   10%   232,32.106 (đồng) Tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc: T  T1  T2  T3  635,520, 000 (đồng) Câu 46: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Anh Hưng làm lĩnh lương khởi điểm 4.000.000 đồng/tháng Cứ năm, lương anh Hưng lại tăng thêm 7% /1 tháng Hỏi sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận tất tiền? (Kết làm tròn đến hàng nghìn đồng) A 1.287.968.000 đồng B 1.931.953.000 đồng C 2.575.937.000 đồng D 3.219.921.000 đồng Chọn C Gọi a là số tiền lương khởi điểm, r là lương được tăng thêm + Số tiền lương ba năm đầu tiên: 36a + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36  a  a.r   36a   r  + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36a   r  … + Số tiền lương ba năm cuối: 36a   r  11 Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được: 11 �    r     r     r      r  � a.36  2.575.936983 ; 2.575.937.000 đồng � � Câu 47: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng 48 tháng Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng Mỗi tháng người phải trả (lần phải trả tháng sau vay) số tiền gốc số tiền vay ban đầu chia cho 48 số tiền lãi sinh từ số tiền gốc nợ ngân hàng Tổng số tiền lãi người trả tồn q trình nợ bao nhiêu? 39.200.000 A 38.400.000 đồng B 10.451.777 đồng.C 76.800.000 đồng D đồng Chọn D ADMIN ABC TRANG|22 Để thuận tiện trình bày, tất số tiền tính theo đơn vị triệu Số tiền phải trả tháng thứ 1: 200  200.0,8% 48 Số tiền phải trả tháng thứ 2: 200 � 200 � 200 200 � 200  0,8%   47 .0,8% � 48 � 48 � 48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 3: 200 � 200 � 200 200 � 200  .0,8%   46 .0,8% � 48 � 48 � 48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 48 200 � 200 � 200 200 � 200  47 .0,8%   .0,8% � 48 � 48 � 48 48 Suy tổng số tiền lãi phải trả là: 200 200 200 0,8%  .0,8%   47 .0,8%  200.0,8% 48 48 48 48   48  200 200  0,8%     48   0,8%  39, 48 48 Câu 48: (PHÚ XUYÊN ) Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 1% tháng Biết sau quý ( tháng) lãi cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 D 11 Chọn C Gọi a số tiền người gửi ban đầu N Số tiền nhận gốc lẫn lãi sau N năm T  a(1 0,03) T ln3  � (1 0,03)4N  � 4N.ln1,03  ln3 � N  �9,29 a 4ln1,03 Câu 49: (SỞ HẢI PHÒNG) Một người vay ngân hàng tỷ đồng theo phương thức trả góp để mua nhà Nếu cuối tháng, tháng thứ người trả 40 triệu đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0, 65% tháng (biết lãi suất khơng thay đổi) sau người trả hết số tiền trên? A 29 tháng B 27 tháng C 26 tháng D 28 tháng Chọn D Gọi A số tiền vay, a số tiền gửi hàng tháng r lãi suất tháng Đến cuối tháng thứ n số tiền cịn nợ là: TRANG|23 T  A 1 r   a �  1 r  � n n 1   1 r  n   1� A   r  � n n a� �1  r   1� �  r n a�   r   1� � Hết nợ đồng nghĩa T  � A   r  n  � r � a  Ar a a n   r   � n  log1r r r a  Ar Áp dụng với A  (tỷ), a  0, 04 (tỷ), r  0, 0065 ta n �27,37 Vậy cần trả 28 tháng Câu 50: (TT DIỆU HIỀN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5% tháng Sau tháng, người có nhiều 125 triệu? A 46 tháng B 45 tháng C 44 tháng D 47 tháng Chọn B.Sau tháng, người nhận 100  100.0, 5% (triệu đồng)  100.1, 005 triệu đồng Sau tháng, người nhận được: 100.1, 005  100.1, 005.0, 005  100.1, 005   0, 005   100  1, 005  triệu đồng n Sau n tháng, người nhận được: 100  1, 005  triệu đồng Theo đề: 100  1, 005   125 � n  log1,005 1, 25  44, tháng n Vậy sau 45 tháng, người có nhiều 125 triệu đồng ADMIN ABC TRANG|24 ... Bên thu? ?ng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thu? ?ng, có đỉnh là tâm của miệng thu? ?ng có chiều cao bằng 20 cm (xem hình minh họa) Biết đổ 4.000 cm3 nước vào thu? ?ng... nguyên liệu cho trước, công ti muốn thi? ??t kế bao bì đựng sữa với thể tích 100ml Bao bì thi? ??t kế hai mơ hình là: hình hộp chữ nhật có đáy hình vng hình trụ Hỏi thi? ??t kế theo mơ hình tiết kiệm nguyên... thu? ?ng có chiều cao bằng 20 cm (xem hình minh họa) Biết đổ 4.000 cm3 nước vào thu? ?ng thi? ? đầy thu? ?ng (nước không chảy được vào bên phễu), tính bán kính đáy r của phễu (giá trị