3 câu phân loại trong đề thi thử 2015

3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015 3 câu phân loại trong đề thi thử 2015

Tuyển tập Bộ ba câu phân loại Trong đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 MÔN TOáN * PT, HPT, BPT * PP ta MP * BT, Tỡm GTLN, GTNN DIN N TON HC TUYN TP B BA CU PHN LOI TRONG THI TH TRUNG HC PH THễNG QUC GIA 2015 Din n toỏn hc VMF Ngy thỏng nm 2015 Kớ hiu dựng sỏch BT BPT CMR H GDT GTLN GTNN PT THPT THTT TP HCM VMF VP VT VTCP VTPT Trang : : : : : : : : : : : : : : : : Bt ng thc Bt phng trỡnh Chng minh rng i hc Giỏo dc v o to Giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht Phng trỡnh Trung hc ph thụng Tp Toỏn hc Tui tr Thnh ph H Chớ Minh Vietnam Mathematics Forum V phi V trỏi Vect ch phng Vect phỏp tuyn http://diendantoanhoc.net LI NểI U Xut phỏt t thc t kỡ thi THPT Quc gia 2015, vi cỏc bn s dng kt qu mụn Toỏn xột tuyn i hc, thỡ s cnh tranh ch yu din b ba cõu phõn loi B ba cõu ny thng ri vo cỏc ch Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh, Hỡnh hc ta phng, Bt ng thc - Tỡm GTLN, GTNN Nhm mc ớch cung cp thờm cho cỏc bn chun b tham gia kỡ thi THPT Quc gia 2016 mt ti liu tham kho hu ớch, cỏc thnh viờn ca Din n toỏn hc VMF ó cựng biờn son ti liu ny Ti liu b cc gm ba phn chớnh Phn u, chỳng tụi túm tt mt vi lý thuyt c bn tng ng vi ch ó núi trờn bn c cú th tra cu d dng cn thit Phn hai, cng l ni dung chớnh ca ti liu, chỳng tụi tng hp li b ba cõu phõn loi cỏc thi th nm hc 2014 - 2015 Phn hng dn, ỏp s chỳng tụi ch yu da trờn ỏp ỏn ca n v , nhiờn mt s bi toỏn chỳng tụi cú a cỏch tip cn khỏc hoc ch hng dn s lc cú ỏp s nhm giỳp bn c ch ng hn quỏ trỡnh c ti liu Chỳng tụi nhn mnh rng, cỏch lm ti liu ny cha hn l tt nht, bn c cng khụng nờn quỏ coi trng cỏc li gii mang m cht k thut, khú nh hng t nhiờn Nhúm biờn son ti liu ny gm cú Bn Trn Tun Anh, Nguyn Nguyờn Trang - Sinh viờn khoa Toỏn H S phm TP HCM (Katyusha); Bn Trng Vit Hong - THPT Nguyn Du, Thỏi Bỡnh (Viet Hoang 99); Thy Chõu Ngc Hựng - Ninh Thun (hungchng); Thy Nguyn Cụng nh - C Mau (CD13); Thy Hong Ngc Th - H Ni (E.Galois); Thy Lờ Minh An - Nam nh (leminhansp); Bn Trn Trung Kiờn - TP HCM (Ispectorgadget) Mc dự chỳng tụi ó cựng biờn son ti liu ny vi tt c s tn tõm, tinh thn vỡ cng ng vụ t Nhng s t m v c gng ca chỳng tụi chc chn cha th kim soỏt c ht cỏc sai sút Vỡ vy s nhit tõm t phớa bn c cng s giỳp ti liu hon thin hn Mi trao i hóy chia s vi chỳng tụi ti Din n toỏn hc VMF (http://diendantoanhoc.net) Sau cựng, chỳng tụi hi vng cng ng chia s trc tuyn s dnh cho chỳng tụi s tụn trng ti thiu bng cỏch ghi rừ ngun ti liu chia s Khụng dựng ti liu ny trc li cỏ nhõn Chỳng tụi xin cm n! Nhúm biờn http://diendantoanhoc.net Trang Mc lc I PHNG PHP TA TRONG MT PHNG 14 Lý thuyt chung 1.1 H ta 1.2 Phng trỡnh ng thng 1.2.1 Vect ch phng v vect phỏp tuyn ca ng thng: 1.2.2 Phng trỡnh ng thng 1.2.3 V trớ tng i ca im v ng thng 1.3 Gúc v khong cỏch 1.4 Phng trỡnh ng trũn 1.5 Phng trỡnh Elip Mt s k thut c bn 2.1 K thut xỏc nh ta im 2.1.1 Da vo h im 2.1.2 Xỏc nh ta giao im ca hai ng 2.1.3 im thuc ng 2.2 Tỡm ta hỡnh chiu ca mt im lờn mt ng thng 2.3 Tỡm ta im i xng ca mt im qua mt ng thng 2.4 Vit phng trỡnh ng thng i qua im, cỏch im cho trc mt khong cho trc 2.5 Vit phng trỡnh ng thng i qua im, to vi ng thng khỏc mt gúc cho trc 2.6 Vit phng trỡnh ng phõn giỏc ca mt gúc 2.7 Vit phng trỡnh ng trũn i qua ba im 2.8 Vit phng trỡnh ng thng i qua hai tip im ca ng trũn 14 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 17 17 18 19 19 20 21 21 23 23 Phng phỏp gii toỏn 24 3.1 Phng phỏp chung 24 3.2 Mt s hng khai thỏc gi thit 24 3.3 Vớ d 25 II MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH 29 29 29 29 29 30 30 30 Trc cn thc 1.1 Trc cn thc xut hin nhõn t chung 1.1.1 Phng phỏp 1.1.2 Vớ d 1.2 a v h tm 1.2.1 Phng phỏp 1.2.2 Vớ d Bin i v phng trỡnh tớch 31 2.1 Cỏc bin i thng dựng 31 2.2 Vớ d 31 Trang http://diendantoanhoc.net Phng phỏp t n ph 3.1 Phng phỏp t n ph thụng thng 3.2 t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin 3.2.1 Phng trỡnh dng: a.A (x) + bB (x) = c A (x) B (x) 3.2.2 Phng trỡnh dng: u + v = mu + nv 3.3 Phng phỏp t n ph khụng hon ton 33 33 35 36 37 38 39 39 41 41 42 Phng phỏp lng giỏc húa 5.1 Mt s kin thc c bn 5.2 Xõy dng phng trỡnh vụ t bng phng phỏp lng giỏc húa 5.3 Mt s vớ d 44 44 44 45 Phng phỏp dựng Bt ng thc 46 Phng phỏp hm s 48 III MT S K THUT CHNG MINH BT 51 Phng phỏp a v h phng trỡnh 4.1 t n ph a v h thụng thng 4.2 t n ph a v h i xng loi II 4.2.1 H i xng 4.2.2 Dng h gn i xng Nhng BT c in thng dựng 51 1.1 BT hai bin 51 1.2 BT ba bin 51 Mt s k thut chng minh BT 2.1 K thut ghộp i xng 2.2 K thut tỏch ghộp 2.3 K thut dựng BT c bn 2.4 K thut dựng xỏc nh ca bin s 2.5 Mt s cỏch bin i iu kin thng gp 2.6 BT thun nht 2.7 K thut s dng hm s 51 51 53 55 58 60 62 65 IV B BA CU PHN LOI TRONG MT S THI TH THPT QUC GIA 2015 68 minh ho THPT 2015 68 S GD-T Phỳ Yờn 68 THTT s 453 thỏng 04 nm 2015 68 THPT S Bo Thng (Lo Cai) 69 THPT B H (Bc Giang) 69 http://diendantoanhoc.net Trang THPT Chu Vn An (H Ni) 69 THPT chuyờn H Tnh 69 THPT ng Thỳc Ha (Ngh An) 70 THPT ụng u (Vnh Phỳc) 70 10 THPT chuyờn Hng Yờn 70 11 THPT chuyờn Lờ Hng Phong (H Chớ Minh) 71 12 THPT Lờ Xoay (Vnh Phỳc) 71 13 THPT Lc Ngn s (Bc Giang) 71 14 THPT Lng Ngc Quyn (Thỏi Nguyờn) 71 15 THPT Lng Th Vinh (H Ni) ln 72 16 THPT Lng Vn Chỏnh (Phỳ Yờn) 72 17 THPT Minh Chõu (Hng Yờn) 72 18 THPT Nguyn Trung Thiờn (H Tnh) ln 73 19 THPT Ph C (Hng Yờn) 73 20 THPT Qunh Lu (Ngh An) 73 21 THPT Thanh Chng III (Ngh An) 74 22 THPT Thiu Húa (Thanh Húa) 74 23 THPT Thun Chõu (Sn La) 75 24 THPT Tnh Gia I (Thanh Húa) 75 25 THPT Thanh Chng I (Ngh An) 75 26 THPT Cm Bỡnh (H Tnh) 76 27 THPT Lý Thỏi T (Bc Ninh) 76 28 THPT Nghốn (H Tnh) 76 29 THPT chuyờn Trn Quang Diu (ng Thỏp) 77 30 THPT Nguyn Th Minh Khai (TP HCM) 77 31 THPT Nh Thanh (Thanh Húa) 77 32 THPT Chuyờn H Long (Qung Ninh) 78 Trang http://diendantoanhoc.net 33 THPT chuyờn Vnh Phỳc - Khi AB 78 34 THPT chuyờn Vnh Phỳc - Khi D 78 35 THPT Hng Quang (Hi Dng) 79 36 THPT Lng Th Vinh (H Ni) ln 79 37 THPT Thng Xuõn (Thanh Húa) 79 38 THPT Tnh Gia II (Thanh Húa) 80 39 THPT Triu Sn (Thanh Húa) 80 40 Trung tõm dy thờm húa (THPT Chuyờn Lờ Hng Phong - TP HCM) 80 41 THPT chuyờn Vnh Phỳc ln 81 42 THPT ng Lc (H Tnh) 81 43 THPT Hu Lc (Thanh Húa) 81 44 44 82 45 S GDT Vnh Phỳc (ln 1) 82 46 S GDT Vnh Long 82 47 S GDT TP H Chớ Minh 83 48 S GDT Thanh húa 83 49 S GDT Qung Ngói 83 50 S GDT Qung Nam 84 51 S GDT Lo Cai 84 52 S GDT Lõm ng 84 53 S GDT Bỡnh Dng 85 54 THPT Nguyn Vn Tri 85 55 THPT Chuyờn H Vinh 85 56 THPT Th c (TP H Chớ Minh) 86 57 THPT Nụng Cng (Thanh Húa) ln 86 58 THPT Nguyn Trung Thiờn ln 86 59 THPT Lam Kinh 87 http://diendantoanhoc.net Trang 60 THPT Cự Huy Cn (H Tnh) 87 61 THPT a Phỳc (H Ni) 87 62 THPT Lng Giang I (Bc Giang) 88 63 THPT Lý T Trng (Khỏnh Hũa) 88 64 THPT Qung H 88 65 THPT Thng nht 89 66 THPT Hng Quang (Hi Dng) 89 67 THPT Sụng Lụ (Vnh Phỳc) 89 68 THPT chuyờn Nguyn Hu (Qung Nam) ln 90 69 THPT chuyờn Hựng Vng (Phỳ Th) 90 70 Chuyờn Nguyn Hu (Qung Nam) 90 71 Chuyờn Lờ Quý ụn (Bỡnh nh) 91 72 Chuyờn H Vinh ln 91 73 Chuyờn Hựng Vng (Gia Lai) 91 V HNG DN V LI GII 92 minh THPT Quc gia 2015 92 S GDT Phỳ Yờn 93 THTT S 453 95 THPT S Bo Thng (Lo Cai) 96 THPT B H (Bc Giang) 98 THPT Chu Vn An (H Ni) 99 THPT Chuyờn H Tnh 101 THPT ng Thỳc Ha (Ngh An) 102 THPT ụng u (Vnh Phỳc) 104 10 THPT Chuyờn Hng Yờn 105 11 THPT Chuyờn Lờ Hng Phong (TP HCM) 107 12 THPT Lờ Xoay (Vnh Phỳc) 108 Trang 10 http://diendantoanhoc.net u=3 x2 y = x+y =9 v =9 x =5 y =4 (tha món) Vy h phng trỡnh ó cho cú hai nghim: (5; 3), (5; 4) Bi Cho cỏc s thc dng a, b, c tha iu kin: abc = Chng minh rng: a 2=b a + b 2+c b + c 2+a c Li gii Ta cú: a 2+b a Tng t: = a a + ba a + a + ba b 2+c b c 2+a c (do + a a) b + b + bc c + c + ac Cng theo v cỏc BT trờn, ta cú: a 2=b a + b 2+c b + c a b c + + + a c + a + ba + b + cb + c + ac abc b cb = + bc + bc a + babc + b + cb b + bc + abc b cb + =1 = bc + + b + b + cb b + bc + Ta cú iu phi chng minh Du ng thc xy v ch a = b = c = 68 THPT Chuyờn Nguyn Hu (Qung Nam) ln Bi Cho ng trũn (C ) cú phng trỡnh x + y 2x 4y + = v P (2; 1) Mt ng thng d i qua P ct ng trũn ti A v B Tip tuyn ti A v B ca ng trũn ct ti M Tỡm ta ca M bit M thuc ng trũn (C ) : x + y 6x 4y + 11 = Li gii ng trũn (C ) cú tõm I (1; 2), bỏn kớnh R = Gi M (a; b) Vỡ M (C ) nờn a + b 6a 4b + 11 = Gi K l trung im I M , suy K Trang 216 (a) a +1 b +2 ; 2 http://diendantoanhoc.net Phng trỡnh ng trũn ng kớnh I M : a +1 x 2 b +2 + y 2 = (a 1)2 (b 2)2 + 4 x + y (a + 1)x (b + 2)y a 2b = Vỡ A, B thuc (C ) v (I M ) nờn suy phng trỡnh ng thng AB : (a 1)x +(b 2)y +1a 2b = Do P AB = a b = T (a) v (b) suy (b) a =4 = M (4; 1) b=1 Bi Gii h phng trỡnh x + y + 2y + x y = (x, y R) y2 + = x y + y Li gii iu kin t a = 2y y x y2 xy 2y 1, b = a2 + x y (a, b 0) Khi ú x y = b2 Khi ú h ó cho tr thnh t y= = x + y = a + + b a2 + b2 + a + b = a2b2 + a2 + b2 = S + S 2P = S = a +b (S, P 0, S 4P ) ta c P + S 2P = P = ab (a) (b) Tr (a) cho (b) ta c S P = = S = P + Thay S = P + vo (b) ta c P + P + 2P + 2P = P + 3P 2P = (P 1)(P + P + 4P + 2) = P =1 P + P + 4P + = Vỡ P nờn () P = = S = T ú a = b = = x =2 y =1 Vy h ó cho cú nghim (x; y) = (2; 1) http://diendantoanhoc.net Trang 217 Bi Vi a, b, c l cỏc s thc tha a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = a + b + c + 3(ab + bc + c a) Hng dn Kớ hiu P = P (a, b, c) = a + b + c + 3(ab + bc + c a) D thy ch cn xột a, b, c Gi s a = max{a, b, c} v t s = b2 + c , p = bc Ta s chng minh: (81) P (a, b, c) P (a, s, s) Khi ú, ý rng a + s + s = 3, bi toỏn c a v trng hp cú hai s bng Vit li biu thc theo s v p , ta cú: P (a, b, c) = 4s 2p + 3p + 3a 2s + 2p = f (p) Xem f (p) l hm s bin p : 3a f (p) = 4p + + Vỡ p s a nờn: f (p) + + 2s + 2p 2+2 = >0 Do ú f (p) ng bin trờn [0, s] Suy ra: f (p) f (s) = P (a, s, s) (81) c chng minh xong Bõy gi ch cn xột bi toỏn cú hai s bng (c th hn na l trng hp a b = c ) Bi toỏn bõy gi tr thnh mt bin, tớnh o hm v lp bng bin thiờn ta d dng tỡm c max a = b = c = hoc a = 2b = 2c = 69 THPT Chuyờn Hựng Vng (Phỳ Th) Bi Trong mt phng h ta Ox y , cho tam giỏc ABC cú ng trung tuyn AM v ng cao AH ln lt cú phng trỡnh 13x 6y = 0, x 2y 14 = Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC bit tõm ng trũn ngoi tip ca tam giỏc ABC l I (6; 0) Li gii Ta A l nghim ca h: x 2y 14 = = 13x 6y = K ng kớnh A A ca ng trũn ngoi tip Trang 218 x = = A(4; 9) y = ABC http://diendantoanhoc.net A Khi ú A (8; 9) Gi K l trc tõm ABC D thy B K C A cú cp cnh i song song nờn B K C A l hỡnh bỡnh hnh Do ú M l trung im A K Vỡ K v M ln lt nm trờn ng thng AH v AM nờn ta K (2k + 14, k) v M m, M ltrung im A K , suy ra: 2k + 14 = 2m 13m = k + = I 13m K H k = = m=2 B K (12; 1) M (2; 4) C M A ng thng BC i qua M v nhn AK lm vtpt nờn BC : 2x + y = Gi s B (b; 2b) Vỡ I l tõm ng trũn ngoi tip ABC nờn I A = I B + 81 = (b + 6)2 + (2b 8)2 b=3 b=1 Vi b = ta cú B (3; 2) Do C i xng vi B qua M nờn C (1; 6) Vi b = ta cú B (1; 6) Do C i xng vi B qua M nờn C (3; 2) Bi Gii bt phng trỡnh 2x + x > 11 + x Li gii iu kin x 0, x = Bt phng trỡnh ó cho tng ng: 2(x 2) + x > + 7x 2(x 2) + x > x x D thy x = khụng lm nghim ca bt phng trỡnh Xột < x = 2, chia v ca BPT cho t t = x x x ta c 2(x 2) x +5 > x x , ú BPT tr thnh t >1 2t + 5t 2t + > > t (2t + 7)(t 1) > hay x ( x + 1)( x 2) > x > x 7 x Vi < t < ta cú < < hay 2 x 0 0, x, y R a b a +b p dng ỏnh giỏ trờn ta cú: (a + b)2 (a + b) (a + b)2 + = + P 2+a +b a +b a +b +2 a +b (a + b)2 t t = a + b , th thỡ = a + b + ab a + b + = a + b nờn t Kho sỏt hm s f (t ) = t2 3 + vi t ta thu c f (t ) f (2) = t +2 t Vy P ng thc xy a = b = Vy P = t2 3 Nhn xột tỡm GTNN ca biu thc + ta cú th s dng k thut thun tỳy BT nh t +2 t sau: t2 t +2 1 t2 t (t + 2).2 + = + + = t +2 t t +2 2t t (t + 2).2t t 2 ng thc xy t = hay a = b = 71 THPT Chuyờn Lờ Quý ụn (Bỡnh nh) Bi Trong mt phng h ta Ox y , cho hỡnh thang cõn ABC D ( AD BC ) cú phng trỡnh ng thng AB : x 2y +3 = v ng thng AC : y = Gi I l giao im ca AC v B D Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thang cõn ABC D , bit I B = I A 2, honh I ln hn v M (1; 3) nm trờn ng thng B D Trang 222 http://diendantoanhoc.net Li gii A A = AB AC = A(1; 2) D E Ly E (0; 2) AC Suy E A = Qua E k ng thng song song B D ct AB ti F Theo I M F EA IA = = E F = E A = EF IB B C Vỡ F AB = F (2t 3; t ) Do ú E F = (2t 3; t 2) t =1 11 Suy (2t 3)2 + (t 2)2 = t= Vi t = thỡ F (1; 1) = E F = (1; 1) Vỡ E F B D nờn E F l vtcp ca B D , v M B D nờn phng trỡnh B D : x y + = V I = B D AC = I (2; 2) nh lý Thales thỡ Vỡ B = B D AB = B (5; 1) Bi vỡ ABC D l hỡnh thang cõn nờn IB IB = = I B = I A ID 2.I D = I B = I D = D 2; +2 IA= IC = C (3 2; 2) Vi t = 11 thỡ E F = ; l vtcp ca B D , t ú phng trỡnh B D : x 7y + 22 = 5 I = B D AC = I (8; 2) (loi x I > 3) Bi (1 y)(x 3y + 3) x = (y 1)3 x (x, y R) Gii h phng trỡnh x y + x = 2(y 2) Li gii y iu kin x y x x2 y x 1, y ỏnh s phng trỡnh u l (a), phng trỡnh sau l (b) (a) 3(y 1)2 x(y 1) x = (y 1) y x Nhn xột y = khụng l nghim ca h Xột y > 1, chia v ca (a) cho (y 1)2 ta c: x x y y t t = = x y x (t > 0), ú ta cú: y t + t + t = http://diendantoanhoc.net t =1 t = t + t + 2t + = (do t > 0) Trang 223 Vi t = thỡ y = x + 1, thay vo phng trỡnh (b) ta c x2 x + x = 2(x 1) x2 x + x2 x + x2 x 1 + x (x 1)3 3 (x 4)2 + x 4.(x 1) + (x 1)2 6(x x 1) =0 (x 4)2 + x 4.(x 1) + (x 1)2 x2 x (x 4)2 + x 4.(x 1) + (x 1)2 =0 =0 x x = x = Vi x = 1+ (x 1) 1+ 3+ = y = 2 So iu kin h cú nghim (x, y) = 1+ 3+ , 2 Bi Cho x, y l hai s thc dng tha 2x + 3y Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 2x y + y + 5(x + y ) 24 8(x + y) (x + y + 3) Li gii Ta cú 5(x + y ) = (4 + 1)(x + y ) 2x + y V (x + y 3)2 = x + y + + 2x y 6(x + y) nờn 2(x y + x + y + 3) 8(x + y) (x + y + 3) T ú suy P 2(x y + x + y) 24 2(x y + x + y + 3) Mt khỏc t gi thit suy (2x + 3y + 5)2 x + y + x y = (x + 1)(y + 1) = (2x + 2)(3y + 3) 24 t t = 3 2(x + y + x y + 3) thỡ < t 2 3 Xột hm s f (t ) = t 24t vi < t 2 Ta cú f (t ) = 3t 24 < t (0; 2] 3 Vy f (t ) nghch bin trờn (0; 2] Do ú f (t ) f (2 2) = 10 48 3 Vy P 10 48 ng thc xy a = 2, b = Vy P = 10 48 Trang 224 http://diendantoanhoc.net 72 THPT Chuyờn H Vinh ln Bi ; v cú ng trũn ngoi tip l (C ) tõm I Bit rng cỏc im M (0; 1), N (4; 1) ln lt i xng I qua cỏc ng thng AB, AC , ng thng BC i qua im K (2; 1) Vit phng trỡnh ng trũn (C ) Trong mt phng vi h ta Ox y , cho tam giỏc ABC cú trng tõm G Li gii A Gi H , E l trung im ca M N , BC = H (2; 1) T gi thit ta suy I AM B, I ANC l cỏc hỡnh thoi Suy AM N , I BC l cỏc tam giỏc cõn bng = N Hc AH M N I E BC = AH E I l hỡnh bỡnh hnh = G cng l trng tõm ca tam giỏc H E I = HG ct I E ti F l trung im I E T BC M N v K (2; 1) BC Ta vit c: BC : y + = M G I F K C E B Mt khỏc: H F = HG = F 3; 2 E F BC = E F : x = = E (3; 1) Vỡ F l trung im ca I E nờn I (3; 0) v R = I A = H E = Suy phng trỡnh (C ) l (x 3)2 + y = Bi Gii bt phng trỡnh: 3(x 1) 2x + < 2(x x ) (82) Li gii iu kin: x Vi iu kin trờn, ta cú: (82) (x 1)[2x 3(x + 1) 2x + 1] > (x 1)[2(x + 1)2 3(x + 1) 2x + 2(2x + 1)] > (x 1)(x + 2x + 1)[2(x + 1) + 2x + 1] > (x 1)(x + 2x + 1) > http://diendantoanhoc.net (a) Trang 225 x , ta xột hai trng hp sau: Do 2(x + 1) + 2x + > 0, +) x < Khi ú: (a) (x + 2x + 1) < x 6x < < x < + i chiu iu kin, ta c nghim < x < +) x > Khi ú: (1 ) (x + 2x + 1) > x 6x > x > 3+2 x < 32 Kt hp iu kin, ta c nghim x > + Vy ta c nghim ca bt phng trỡnh l < x < v x > + Bi Gi s x, y, z l cỏc s thc dng tha x + z 2y v x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P= xy yz + y + + z2 + x2 x3 z3 Li gii T gi thit ta cú: xz y Chỳ ý rng, vi mi x, y v mi a, b ta cú: (x + y)2 x y + a +b a b (83) Tht vy, (83) tng ng vi (a y bx)2 Khi ú: (z + y)2 yz (x + y)2 xy + y3 + + y + 2 3 2 1+z 1+x x z 4(1 + z ) 4(1 + x ) x z 2 (z + y) (x + y) + y3 + = 2 2 2 4(x + y + 2z ) 4(2x + y + z ) x z P= x2 y2 z2 y2 y + + + + x2 + z2 z2 + y x2 + z2 x2 + y x3 z3 = 1 y2 y2 1 + + y3 + 2 2 4 z +y x +y x z 1 y2 y2 1 + + y3 + 4 2y z 2x y x z = 1 y y y3 y3 + + 3+ z x x z 1 + 1 + 1 = + Trang 226 y y y y y2 y y +3 + + + z x x z xz x z y y y y 3 y y y y + + + + + z x x z x z x z y y y y + + z x z x http://diendantoanhoc.net t t = y2 1 Khi ú P t + t + zx y y + , t z x Xột hm s f (t ) = t + t + Suy max f (t ) = f (2) = [2;+) vi t Ta cú f (t ) = t + < 0, t 4 3 Suy P , du ng thc xy x = y = z = 3 Vy giỏ tr ln nht ca P l , du" = "xy x = y = z = 73 THPT Chuyờn Hựng Vng (Gia Lai) Bi Trong mt phng ta Ox y , cho hỡnh ch nht ABC D cú din tớch bng 16, cỏc ng thng AB, BC ,C D, D A ln lt i qua cỏc im M (4; 5), N (6; 5), P (5; 2),Q(2; 1) Vit phng trỡnh ng thng AB Li gii AB i qua M (4; 5) nờn phng trỡnh AB cú dng: ax + b y 4a 5b = (a + b = 0) BC AB v BC i qua N (6; 5) = phng trỡnh BC cú dng bx a y 6b + 5a = Ta cú din tớch hỡnh ch nht: S = d (P,AB ) d (Q,BC ) = 16 |a 3b| |4a 4b| = 16 a2 + b2 a2 + b2 a 4ab + 3b = 4(a + b ) 3a + 4ab + b = 5a 4ab + 7b = a +b = 3a + b = (vụ nghim) +Vi a + b = 0, chn a = 1, b = ta c phng trỡnh AB l: x y + = +Vi 3a + b = 0, chn a = 1, b = ta c phng trỡnh AB : x 3y + 11 = Bi Gii h phng trỡnh: x x y y = 2x x + (1) (x, y R) 2 y + x + + 16 3y = 2x 4x + 12 (2) Li gii http://diendantoanhoc.net Trang 227 x 16 K: y Phng trỡnh (1) = (x y 2).(x + 1) = y = x Thay vo phng trỡnh (2) ta c: 16 3(x 2) = 2x 4x + 12 (x 2)2 + x + + x + + 22 3x = x + (x 4) + 4(2 x + 2) + (4 22 3x) = (x 2) (x + 2) 2+ x +2 + + 22 3x =0 x = = y = (x + 2) + =0 + x + + 22 3x Gii (*), ta xột hm s: f (x) = (x + 2) f (x) = + x + 2(2 + 2+ x +2 x + 2)2 + + + 22 3x 22 3x(4 + = f (x) liờn tc v ng bin trờn on 2; () trờn on 2; 22 3x)2 22 x 2; 22 22 22 , m 2; v f (1) = 3 T ú: () = f (x) = f (1) x = y = Vy h phng trỡnh cú hai nghim l (x; y) = (2; 0) v (x; y) = (1; 3) Bi Cho x; y; z l s thc thuc on [1; 2] Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= (x + y)2 2(x + y + z)2 2(x + y ) z Li gii Ta cú P= (x + y)2 (x + y)2 (x + y)2 = = 2(x + y + z)2 2(x + y ) z z + 4(x y + y z + zx) z + 4(x + y)z + 4x y Ta cú 4x y (x + y)2 nờn P t t = (x + y) x y + z z z + (x + y)z + (x + y)2 = 1+4 x y x y + + + z z z z x y + , vỡ x, y, z [1; 2] nờn t [1; 4] z z Trang 228 http://diendantoanhoc.net Ta cú f (t ) = t 4t + 2t , f (t ) = >0 + 4t + t (1 + 4t + t )2 t [1; 4] Hm s f (t ) ng bin trờn [1; 4] nờn f (t ) t GTNN bng x=y Du " = " xy z = x + y x, y, z [1; 2] Vy P = t = x =y =1 z =2 x = y = 1; z = http://diendantoanhoc.net Trang 229 Ti liu [1] Phm Kim Hựng, Sỏng to Bt ng thc [2] Vừ Quc Bỏ Cn, Mt s k thut nh s dng Cauchy - Schwarz [3] Nguyn Anh Vn, Lờ Hong Nam, Chinh phc Hỡnh hc Gii tớch mt phng [4] Lờ Minh An, Tuyn cỏc bi toỏn Elip ụn thi i hc [5] Hong Ngc Th, Khỏm phỏ cỏch gii mt s bi toỏn hỡnh hc gii tớch mt phng [6] Hong Ngc Th, Bi toỏn ph ca bi toỏn kho sỏt hm s [7] Cỏc topic tho lun trờn http://diendantoanhoc.net Trang 230 http://diendantoanhoc.net [...]... 5 + 3 − 3 < 0, ∀x > 5 3 Ví dụ 17 Giải phương trình: 3 x2 − 1 + x = x3 − 2 Hướng dẫn 3 Đk x ≥ 2 Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình 3 x2 − 1 − 2 + x − 3 =   ⇐⇒ (x − 3) 1 + x3 − 2 − 5  x +3 3 2 3 x2 − 1 + 2 x2 − 1 + 4 (x − 3) x 2 + 3x + 9  = x3 − 2 + 5 Ta chứng minh được: 1+ x +3 3 2 3 = 1+ x2 − 1 + 2 x2 − 1 + 4 x +3 3 2 x2 − 1 + 1 + 3 ... 51 51 53 55 58 60 62 65 IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 68 Đề minh hoạ THPT 2015 68 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 THTT số 4 53 tháng 04 năm 2015 68 THPT Số... − − + x − =   ⇐⇒ (x − 3) 1 + x3 − −  x +3 3 x2 − + x2 − + (x − 3) x + 3x +  = x3 − + Ta chứng minh được: 1+ x +3 3 = 1+ x2 − + x2 − + x +3 x2 − + +