DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN ĐÌNH TƯỚNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH QUẦN THỂ TRONG HỆ SINH THÁI VỚI MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN Mã số: 9460101.03 Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2019 Cơng trình hồn thành tại: Bộ mơn Phương trình Vi phân Hệ động lực, Khoa Tốn Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Hữu Dư : TS Nguyễn Thanh Diệu Phản biện 1: Phản biện 2: Luận án bảo vệ Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Vào hồi , ngày tháng năm 2019 Luận án công khai tại: - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc Gia Hà Nội - Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên Mở đầu Toán sinh học ngành khoa học thuộc nhánh sinh học nhằm mơ hình hóa trình sinh học, kiểm tra giả thiết, trừu tượng hóa q trình sinh học để nghiên cứu nguyên tắc chi phối cấu trúc, phát triển hành vi hệ thống Ngành khoa học nhấn mạnh đến yếu tố toán học Lý thuyết sinh học lại nhấn mạnh đến yếu tố sinh học nhiều Với phức tạp hệ sinh học, toán sinh học trở thành công cụ hữu dụng để nghiên cứu lý thuyết cịn đóng góp có ý nghĩa thực nghiệm Việc nghiên cứu hệ động lực quần thể có lịch sử đồ sộ Ngay từ năm 1798 sách với tiêu đề "Bài luận nguyên lý quần thể", Malthus quan sát gia tăng sản xuất lương thực quốc gia dẫn đến thịnh vượng người dân Nhưng cải thiện mang tính tạm thời dẫn đến tăng dân số, từ khơi phục lại mức sản xuất bình quân đầu người ban đầu Từ ơng đề xuất quần mơ hình dân số đơn giản khơng có di cư Sau vào năm 1838, 1845 Verhulst đề xuất mơ hình logistic Năm 1910, Lotka nghiên cứu lý thuyết tự động lý thuyết cạnh tranh loài mà sau tiếp tục phát triển Volterra (1928) giới thiệu mơ hình Lotka-Volterra đơn giản mà ngày người ta thường gọi mơ hình thú mồi Tiếp tục hướng nghiên cứu này, mô hình tăng trưởng tổng quát với dạng Kolmogorov giới thiệu nhà toán học người Nga Kolmogorov vào năm 1936 từ cịn nhiều học giả khác tập trung hoàn thiện lý thuyết Mặt khác, mơ hình dạng Kolmogorov áp dụng cho mơ hình phát triển quần thể dịch tễ học Ngày nay, mơ hình nghiên cứu lan truyền dịch bệnh quần thể người ta gọi mơ hình phân lớp đề xuất Kermack Mckendrick (1927) tiếp tục nghiên cứu học giả khác Mơ hình thường gọi mơ hình SIR Theo cá thể quần thể chia làm lớp Lớp (S) lớp cá thể mẫn cảm với dịch bệnh; Lớp (I) lớp cá thể bị nhiễm bệnh lớp (R) lớp cá thể phục hồi, miễn nhiễm hay chết Ta thấy rắng, số trường hợp cá thể sau miễn nhiễm lại rơi trở lại lớp (S) Mô hình để mơ tả tượng thường gọi mơ hình tái nhiễm SIRS Người ta nhận thấy rằng, theo thời gian quần thể sinh học thường bị chịu tác động yếu tố ngẫu nhiên Với tham gia yếu tố này, mô hình gần với thực tế Chẳng hạn, trình khuếch tán với bước chuyển trạng thái (còn gọi bước chuyển Markov) thu hút được quan tâm nghiên cứu nhiều ứng dụng toán mơ hình hóa, phân tích tối ưu hóa tốn thực tế Những q trình xem số trình khuếch tán có bước nhảy điều chỉnh thơng qua thiết bị chuyển đổi ngẫu nhiên Quá trình gồm có hai phần: thành phần liên tục X(t) thành phần rời rạc ξt mơ tả cho q trình chuyển đổi trạng thái với thời điểm ngẫu nhiên Ngồi hệ sinh thái cịn chịu tác động tượng xảy đột ngột động đất, sóng thần di cư ạt loài quần thể Dưới tác động này, hệ tất yếu dẫn đến ổn định hệ sinh thái trở nên khó dự đốn, quỹ đạo lồi khơng liên tục mơ hình trước khơng thể minh họa tượng Từ mơ hình hỗn hợp q trình bước nhảy trình khuyếch tán điều khiển nhiễu trắng xem xét Mơ hình xem tham gia hỗn hợp hai thành thành phần: Thành phần tất định thành phần ngẫu nhiên có tham gia bước nhảy Mơ hình này, từ đồi có ứng dụng phong phú: sinh học, lý thuyết điều khiển, tự động hóa, tốn tài chính, vv Khi nghiên cứu hệ sinh thái, lớp câu hỏi đến tự nhiên là: loài quần thể phát triển mãi hay diệt vong? Xa dáng điệu tiệm cận nghiệm quẩn thể nào? Lớp câu hỏi thu hút nhiều nhà nghiên cứu lĩnh vực tập trung giải đáp Kỹ thuật thường dược sử dụng để giải quết toán lý thuyết giới hạn trình martingale bất đẳng thức đãi số để tìm lời giản cho tuyệt chủng lồi Hơn nữa, để tìm điều kiện cho hệ phát triển bền vững, kỹ thuật thường dùng sử dụng hàm Lyapunov số mũ Lyapunov, vv Tuy nhiên kết họ thu thường điều kiện chặc điều kiện đủ Vấn đề nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư cộng giải cho mơ hình thú mồi ngẫu nhiên có đáp ứng chức dạng Beddington-DeAngelis vào năm 2016 Họ khơng thu điều kiện cần mà cịn gần với điều kiện đủ cho phát triển bền vững tính ergodic lồi quần thể thông qua ngưỡng tham số Tiếp tục với ý tưởng trên, luận án này, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận số mô hình quần thể hệ sinh thái với mơi trường ngẫu nhiên góc nhìn khác Sử dụng kỹ thuật từ báo Nguyễn Hữu Dư cộng (2016) chúng tơi mong muốn tìm điều kiện đủ gần với điều kiện cần cho phát triển bền vững tính ergodic hệ thơng qua dấu giá trị ngưỡng Ngồi chúng tơi cịn chứng minh hội tụ xác suất chuyển đến độ đo xác suất bất biến hệ không suy biến Cụ thể, xét hai chủ đề tương ứng với chương kết luận án Dáng điệu tiệm cận số hệ thú mồi ngẫu nhiên Trong chương xét mơ hình thú mồi Trong mơ hình thứ chúng tơi xét hệ thú mồi có bước chuyển trạng thái bị nhiễu nhiễu trắng Xuất phát từ toán Nguyễn Hải Đăng cộng giải năm 2011 dx(t) = x(t) a1 − b1 y(t) − c1 x(t) dt + σx2 (t)dB1 (t), dy(t) = y(t) − a2 + b2 x(t) − c2 y(t) dt + ρy (t)dB2 (t), (0.1) x(t), y(t) mật độ mồi thú, tham số dương a1 , b1 , c1 , σ, a2 , b2 , c2 , ρ, B1 (.), B2 (.) trình Brownian chiều Trong báo này, họ phát triển kết từ báo Rudnicki (20013) trở thành hệ thú mồi có hệ số nhiễu chuyển động Brownian phi tuyến Họ chứng minh nghiệm mơ hình có hàm mật độ dương từ họ nghiên cứu sâu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ việc xét hội tụ hàm mật độ Trong luận án tiếp tục mở rộng kết kết cho hệ lai ngẫu nhiên có bước chuyển trạng thái dx(t) = x(t) a1 (ξt ) − b1 (ξt )y(t) − c1 (ξt )x(t) dt + σ(ξt )x2 (t)dB1 (t), dy(t) = y(t) − a2 (ξt ) + b2 (ξt )x(t) − c2 (ξt )y(t) dt + ρ(ξt )y (t)dB2 (t), (0.2) {ξt , t 0} xích Markov liên tục phải nhận giá trị không gian trạng thái hữu hạn S = {1, 2, , N } Ngoài giả sử hệ số phương trình (0.2) dương với i ∈ S Bài tốn cịn lại chương luận án đến từ mơ hình thú mồi tất định giới thiệu Kooij cộng (1996) dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t)] − c1 y(t)[1 − e−γx(t) ] dt dy(t) = y(t) − a2 + c2 [1 − e−γx(t) ] dt, x(t), y(t) mật độ mồi thú tương ứng Các tham số dương a1 , b1 , a2 , c1 , c2 , − e−γx(t) đại lượng thể đáp ứng chức dạng Ivlev Trong báo này, Kooij cộng chứng minh tồn chu trình giới hạn hệ Ngồi họ cịn chứng minh điều kiện lý thuyết Zhang giảm nhẹ Sử dụng ý tưởng từ báo năm 2016 Nguyễn Hữu Dư cộng sự, muốn thiết lập điều kiện đủ gần với điều kiện cần cho phát triển bền vững hệ có đáp ứng chức dạng Ivlev điều kiện hệ bị chịu dồng thời nhiễu trắng nhiễu Lévy Cụ thể:    dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t)] − c1 y(t)[1 − e−γx(t) ] dt + αx(t)dB1 (t)     + U x(t− )f1 (u)N (dt, du) (0.3) −γx(t)  dy(t) = y(t) − a − b y(t) + c [1 − e ] dt + βy(t)dB (t)  2 2     + U y(t− )f2 (u)N (dt, du), α, β số dương; B1 (·), B2 (·) q trình Brownian chiều Ngồi đại lượng lại sẹ giời thiệu Chương luận án Trong chương này, luận án tập trung giải cho vấn đề sau: • Tìm điểu kiện để nghiệm hệ tồn Liệu tập R2,0 + có tập bất biến? • Tìm ngưỡng tham số để phân loại dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Từ tìm điều kiện đủ gần với điều kiện cho phát triển bền vững tính ergodic hệ • Đánh giá (cải tiến) tốc độ hội tụ loài thú x(t) đến nghiệm hệ biên • Tìm điều kiện để hệ tồn phân phối dừng điều kiện để luật số lớn có hiệu lực Sự tuyệt chủng bền vững mơ hình tái nhiễm SIRS ngẫu nhiên với tốc độ truyền bệnh tổng quát có bước chuyển trạng thái Chương luận án đề cập đến mơ hình tái nhiễm SIRS ngẫu nhiên với tốc độ truyền bệnh tổng quát có bước chuyển trạng thái Ta thấy rằng, nhiều nghiên cứu mơ hình sử dụng hàm mô tả truyền bệnh khác với tham gia và/hoặc nhiễu trắng bước chuyển trạng thái Tuy nhiên, việc dụng hàm khác mơ hình có nhiểu điểm hạn chế hàm khác dẫn đến kết đánh giá khác Hơn để tìm điều kiện cần tuyệt chủng, xấp xỉ thường dùng dùng lý thuyêt giới hạn trình martingale bất đẳng thức đại số Các công cụ thỏa mãn cho số lớp hàm riêng biệt Bên cạnh đó, việc sử dụng hàm Lyapunov để đạt điều kiện đủ cho tính bền vững thường gặp khó khăn điều kiện thường chặt khó kiểm chứng Việc sử dụng hàm Lyapunov mơ hình với hàm truyền bệnh khác dẫn đến việc áp đặt điều kiện khác hàm Lyapunov Trong luận án chúng tơi mong muốn giải toán cho hàm truyền bệnh tổng quát kỹ thuật Cụ thể, xét   dS(t) = − S(t)I(t)F1 (S(t), I(t), ξt ) + µ(ξt )(K − S(t)) + γ1 (ξt )R(t) dt      −S(t)I(t)F2 (S(t), I(t), ξt )dB(t)   dI(t) = S(t)I(t)F1 (S(t), I(t), ξt ) − (µ(ξt ) + ρ(ξt ) + γ2 (ξt ))I(t))dt     +S(t)I(t)F2 (S(t), I(t), ξt )dB(t)     dR(t) = (γ2 (ξt )I(t) − (µ(ξt ) + γ1 (ξt ))R(t))dt, S(t), I(t), R(t) lớp cá thể mẫn cảm với dịch bệnh, nhiễm bệnh khỏi bệnh Quá trình ξt , t xích Markov liên tục phải nhận giá trị không gian hữu hạn trạng thái S = {1, 2, , N }, Các hàm dương F1 (·), F2 (·) Lipchitz địa phương [0, ∞)2 × S, B(t) trình Brownian chiều, tham số dương K, µ(i), ρ(i), γ1 (i), γ2 (i) ứng với i ∈ S Trọng tâm chương luận án giải vấn đề sau • Tìm điều kiện để hệ tồn nghiệm • Xây dựng ngưỡng tham số để phân loại trạng thái hệ Điều kiện không điều kiện cần mà gần với điều kiện đủ cho tính bền vững hệ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Q trình Martingale Q trình khả tích {Ft }-phù hợp Rn -giá trị {Mt }t gọi martingale {Ft } (martingale) E(Mt |Fs ) = Ms hầu chắn với s < t < ∞ Q trình khả tích {Ft }-phù hợp nhận giá trị thực {Mt }t gọi martingale với {Ft } (martingale dưới) E(Mt |Fs ) Ms hầu chắn với s < t < ∞ Quá trình liên tục phải phù hợp M = {Mt }t gọi martingale địa phương tồn dãy hàm không giảm {τk }k thời điểm dứng với τk ↑ ∞ cho {Mτk ∧t − M0 } martingale Chú ý 1.1.1 Theo khai triển Doob-Meyer, Y martingale tồn q trình tăng khả đốn (A(t), t 0) với A(0) = hầu chắn cho Y (t) − Y (0) − A(t) với t martingale khả tích Hơn nữa, với Y (t) = M (t) M martingale bình phương khả tích, ta nói M, M (t) = A(t) với t Trong trường hợp M, M (t) gọi đặc trưng M Trong số trường hợp, đặc trưng xác định sau M = B(·), B(·) q trình Brownian chiều M, M (t) = t; Nếu M = N (·, ·), với N (·, ·) trình Poisson bù với cường độ λ M, M (t) = λt với t Từ ta có, Định lý 1.1.1 Cho M = {Mt }t thực triệt tiêu t = Khi lim M, M t→∞ t martingale địa phương nhận giá trị = ∞ hầu chắn =⇒ lim t→∞ Mt M, M = 0, a.s., t ta thu lim sup t→∞ M, M t t Mt = a.s t→∞ t < ∞ hầu chắn =⇒ lim 1.1.2 Quá trình Markov Quá trình Ft -phù hợp n chiều X = {X(t)}t gọi trình Markov tính chất Markov thỏa mãn: với s t < ∞ A ∈ B(Rn ) P(X(t) ∈ A|Fs ) = P(X(t) ∈ A|X(s)) Định nghĩa 1.1.2 Quá trình Markov X gọi ergodic tồn độ đo xác suất bất biến π cho lim P (t, x, ·) − π = 0, (1.1) t→∞ chuẩn (1.1) chuẩn biến phân tồn phần, nghĩa là, với độ đo µ hàm đo f từ (X, B(X)) đến (Rn , B(Rn )), ta có µ := sup |f (x)| f (x)µ(dx) Định nghĩa 1.1.3 Q trình Markov X gọi ergodic mũ q trình f -ergodic mũ với f cho P (t, x, ·) − π 1.1.3 M (x)ρt , ∀t 0, Quá trình Lévy Cho ν(·) độ đo Borel xác định Rd \{0}, độ đo ν(·) gọi độ đo Lévy Rd \{0} |y|2 ∧ ν(dy) < ∞ Quá trình bước nhảy tương ứng với trình Lévy X = {Xt }t xác định sau ∆X = (∆X(t), t 0) ∆X(t) = X(t) − X(t− ), với t Để đếm số bước nhảy trình Lévy X = {Xt }t , với A ∈ B(Rd \{0})), ta xác định N (t, A) = #{0 s t; ∆X(s) ∈ A} = s t 1A (∆X(s)) Theo khai triển Doob-Meyer, ta xây dựng độ đo ngẫu nhiên Poisson bù xác định N (t, A) = N (t, A) − ν(A)t 1.2 1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDEs) SDEs với bước chuyển Markov Cho ξt , t t0 (t0 0) xích Markov liên tục phải không gian xác suất nhận giá trị tập hữu hạn trạng thái S = {1, 2, 3, , N } với ma trận chuyển Γ = (qij )N ×N P{ξt+δ = j|ξt = i} = qij δ + o(δ) if i = j, + qii δ + o(δ) if i = j, δ → qij cường độ chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j qij i = j, qii = − i=j qij Xuyên suốt luận án, ta giả sử ξt , t t0 bất khả qui Ngoài ta cịn giả sử xích Markov ξt , t t0 Ft -phù hợp độc lặp vối trình Brown B(t) = (B1 (t), B2 (t), , Bm (t))T , t Xét hệ lai ngẫu nhiên có bước chuyển Markov dx(t) = f (x(t), t, ξt )dt + g(x(t), t, ξt )dB(t), t0 t T (1.2) Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm tầm thường (1.2), x(t) ≡ gọi • Ổn định theo xác suất, Nếu với ε ∈ (0, 1), ρ > 0, t0 δ = δ(ε, ρ, t0 ) > cho P {|x(t; t0 , x0 , i| < ρ for all t t0 } điều kiện ban đầu (x0 , i) ∈ Bδ × S 0, tồn − ε, với • Ổn định tiệm cận theo xác suất, ổn định theo xác suất, nữa, với cặp ε ∈ (0, 1) t0 0, tồn δ0 = δ0 (ε, t0 ) cho P {limt→∞ x(t; t0 , x0 , ξ0 ) = 0} − ε, với (x0 , i) ∈ Bδ0 × S Định lý 1.2.1 Nếu V ∈ C 2,1 (Rn × R+ × S) với t ta có t LV (x(s), s, ξs )ds V (x(t), t, ξt ) = V (x(t), t, ξt )) + t Vx (x(s), s, ξs )g(x(s), s, ξs )dB(s) + t [V (x(s), s, i0 + (h(ξs ), l)) − V (x(s), s, ξs )] µ(ds, dl) + 1.2.2 R Phương trình vi phân có bước nhảy Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên dạng Lévy-Itô dX(t) = F (t)dt + G(t)dBj (t) + H(t, u)N (dt, du) |u| 0, provided x(0) = x(0) > 0, y(0) (2.5) Tương tự, ta xét phương trình biên thú vắng mồi dy(t) = y(t) − a2 (ξt ) − c2 (ξt )y(t) dt + ρ(ξt )y (t)dB2 (t), y(0) = y0 0, t (2.6) Định lý so sánh nghiệm cho ta y(t) y(t) a.s miễn y(0) = y(0) 0, x(0) Từ hệ phương trình (2.6), ta thấy limt→∞ y(t) = Gọi A1 = t t N a (ξ )ds = a (i)π ; A = lim a2 (ξs )ds = N lim i s i=1 i=1 a2 (i)πi Để 0 t→∞ t t→∞ t phân loại trạng thái hệ, xây dựng ngưỡng N N b2 (i)xµ∗ (dx, i) − λ= i=1 R+ a2 (i)πi = m1 − A2 (2.7) i=1 Định lý 2.1.2 Với λ xác định (3.2), ta có (i) Nếu λ < thú đến lúc diệt vong Trong trường hợp này, ln y(t) lim = λ hầu chắn Hơn nữa, với số thực thỏa mãn t→∞ t λ < λ: 1 = 0, provided x(0) = x(0) > lim e−λt x(t)−x(t) = lim e−λt − t→∞ t→∞ x(t) x(t) (ii) Nếu λ > 0, trình Markov {(x(t), y(t), ξt ), t 0} có độ đo xác suất bất biến ψ ∗ tập trung R2,◦ + ×S Hơn nữa, B1 (t), B2 (t), ξt độc lập, giá ψ ∗ toàn khơng gian R2,◦ + × S 11 Để chứng minh Định lý 2.1.2, ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1.3 khẳng định sau với xác suất t a) lim sup t→∞ t b) lim inf t→∞ t c) lim inf t→∞ t d) lim t→∞ t t 0 t t ρ2 (ξs ) y (s) ds b2 (ξs )x(s) − c2 (ξs )y(s) − A2 , ρ2 (ξs ) y (s) ds b2 (ξs )x(s) − c2 (ξs )y(s) − 0, σ (ξs ) x (s) ds b1 (ξs )y(s) + c1 (ξs )x(s) + A1 , σ (ξs ) x (s) ds = A1 c1 (ξs )x(s) + Chứng minh Định lý 2.1.2 Trước hết ta chứng minh khẳng định (i) Gọi λ < λ, cơng thức L’ Hospital, ta chứng minh limt→∞ e−λt (z(t) − z(t)) = Chú ý x(t) x(t) ∀t theo công thức công thức Itơ ta có ln y(t) t ln y(0) + t t t ρ2 (ξs ) − a2 (ξs ) + b2 (ξs )x(s) − c2 (ξs )y(s) − y (s) ds t + ρ(ξs )y(s)dB2 (s) t Từ điều định nghĩa λ, ta dẫn đến lim supt→∞ ln y(t) t λ < Từ ta có lim sup t→∞ ln y(t) − ln x(t) t λ < (2.8) Từ (2.8) ta limt→∞ e−λt (z(t) − z(t)) = Mặt khác, gọi λ số thực thỏa ln x(t) mãn λ < λ < λ Từ limt→∞ = 0, limt→∞ e(λ−λ)t x2 (t) = Khẳng định t cuối i) suy từ Định lý 1.2.1 ii) Với hàm f xác định S, gọi fˇ := maxi∈S f (i) f := mini∈S f (i) Ta chứng minh lim inf t→∞ t t y(s) + y (s) ds 12 λc1 , ˇb2 ∆ (2.9) 8m1 4m2 với ∆ = max ˇb1 + cˇ1 cˇ2 , cˇ1 ρˇ Gọi H > max , , m2 := b2 2b2 ∇ρ2 ∇c1 t ∗ lim c1 (ξs )x(s)ds = N i=1 R+ c1 (i)xµ (dx, i) < ∞, ta có t→∞ t lim inf t→∞ t với A = {(x, y) : đề Fatou, ta có t 1{(x(s),y(s),ξs )∈A} ds x < H, (2.10) y < H} × S Hơn nữa, từ (2.10), theo bổ t lim inf t→∞ t ∇ a.s., ∇ 2,◦ ∀(x, y, i) ∈ R+ × S P (s, (x, y, i), A)ds (2.11) Từ M = {(x, y) : x 0, y > 0} bất biến Phương trình (2.1), từ ta xét q trình Markov {(x(t), y(t), ξt ), t 0} không gian trạng thái M × S Từ bất đẳng thức (2.11) tính compact A M × S dẫn đến tồn độ đo xác suất bất biến ψ ∗ M × S Từ bất biến ∗ R2,◦ 0} + × S cho ta ψ độ đo xác suất bất biến {(x(t), y(t), ξt ), t 2,◦ khơng gian R+ × S Định lý 2.1.4 Nếu λ > 0, (2.1) có độ đo xác suất bất biến ψ ∗ với 2,◦ × S Hơn nữa, giá R+ (i) Luật mạnh số lớn có hiệu lực, có nghĩa với ψ ∗ -khả tích f : R2,◦ + × 2,◦ × S, ta có S → R, với (x(0), y(0), i) ∈ R+ lim t→∞ t N t f (x, y, i)ψ ∗ (dx, dy, i) a.s f (x(s), y(s), ξs )ds = i=1 2,◦ R+ 2,◦ (ii) Với (x, y, i) ∈ R+ × S, lim P (t, (x, y, i), ·) − ψ ∗ (·) = 0, t→∞ P (t, (x, y, i), ·) xác suất chuyển (x(t), y(t), ξt ), phân toàn phần 13 · chuẩn biến 2.1.2 Ví dụ Để khẳng định kết trên, xét hai ví dụ để minh họa tính chất hệ thay đổi hoàn toàn phụ thuộc vào dấu ngưỡng tham số hệ sinh từ bước chuyển Markov Giả sử S = {1, 2} Ví dụ 2.1.1 Trong ví dụ chúng tơi quần thể bền vững trạng thái Tuy nhiên có bước chuyển Markov hệ tuyệt chủng Thật vậy, xét Phương trình (2.1) trạng thái, giá trị hệ số cho bảng 2.1 Tại trạng thái 1, ta tính λ1 = 0.4763 > 0; trạng Hệ số a1 a2 b1 b2 c1 c2 σ ρ 0.9 2.5 2.8 0.6 0.6 0.2 0.1 0.5 1.5 Trạng thái Bảng 2.1: Tham số mơ hình Ví dụ 2.1.1 thái 2, λ2 = 0.1602 > Điều có nghĩa trạng thái, hệ bền vững Tuy nhiên có bước chuyển trạng thái với cường độ chuyển q12 = 0.2, q21 = 0.6, phân phối dừng ξt trường hợp π = (0.75, 0.25), ta tính λ = −0.1555 < Điều thể mồi hệ tuyệt chủng Ví dụ 2.1.2 Ví dụ thứ minh họa trường hợp ngược lại có bước chuyển trạng thái tác động vào hệ Xét hệ (2.1), giá trị hệ số trạng thái cho Bảng 2.2 sau Thực tính tốn trên, trạng thái 1, Hệ số a1 a2 b1 b2 c1 c2 σ ρ 0.2 0.45 9.5 0.85 0.5 3.6 4.2 1.5 Trạng thái Bảng 2.2: Tham số mơ hình Ví dụ 2.1.2 λ1 = −0.0760 < 0, λ2 = −0.0442 < cho trạng thái Điều dẫn đến thú trạng thái đến lúc diệt vong Tuy nhiên xảy nhiễu với cường độ chuyển q12 = 0.2 q21 = 0.6, ta ước lượng λ = 0.0637 > luật số lớn Điều chứng tỏ rằng, trường hợp này, hệ (2.1) bền vững tồn phân phối dừng 14 2.2 Dáng điệu tiệm cận mô hình thú mồi ngẫu nhiên với đáp ứng chức Ivlev có bước nhảy Xét mơ hình có đáp ừng chức dạng Ivlev bị chịu đồng thời nhiễu trắng nhiễu Lévy    dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t)] − c1 y(t)[1 − e−γx(t) ] dt + αx(t)dB1 (t)     + x(t )f (u)N (dt, du) U −  dy(t) = y(t) − a2 − b2 y(t) + c2 [1 − e−γx(t) ] dt + βy(t)dB2 (t)      + U y(t− )f2 (u)N (dt, du), (2.12) x(t), y(t) mật độ mồi thú Các tham số dương: a1 cường độ phát triển nội mồi; b1 tỷ lệ cạnh tranh nội mồi; c1 lượng mồi cực đại tiêu thụ thú đơn vị thời gian; a2 tỷ lệ tử vong thú; c2 hiệu chuyển đổi; γ biểu thị giảm động lực săn bắt; Các số dương α, β; U = R\{0} B1 (·), B2 (·) trình Brown chiều, Ft -phù hợp ; N (·, ·) độ đo ngẫu nhiên Poisson, f1 (·), f2 (·) hàm liên tục thỏa mãn Giả thiết 2.2.1 sau Giả thiết 2.2.1 ∀u ∈ U i = 1, 2, giả sử • Các hàm fi (u) : U → R liên tục, fi (u) + > • sup U ln2 (fi (u) + 1)ν(du), U fi2 (u)ν(du) = C < ∞ Điều kiện nhằm đảm bảo cường độ nhiễu Poisson lên hệ không lớn Gọi t t M1 (t) = ln(f1 (u)+1)N (ds, du); M2 (t) = U ln(f2 (u)+1)N (ds, du); U α2 ρ := a1 − + [ln(f1 (u) + 1) − f1 (u)]ν(du) U Theo Giả thiết 2.2.1 and Định lý 1.1.1 ta có Mi (t) Bi (t) lim = 0; lim = 0, ∀i = 1, (2.13) t→∞ t→∞ t t Trong mục ta giả sử Giả thiết 2.2.1 thỏa mãn Hơn nữa, trình Brown Bi (·) độ đo Poisson ngẫu nhiên N (·, ·) độc lập với 15 Định lý 2.2.1 Với điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ R2,o + , (2.12) có nghiệm dương 2,o toàn cụ x(t), y(t), t Hơn nữa, R+ tập bất biến dương với phương trình (2.12) theo nghĩa với điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ R2,o + , (x(t), y(t)) ∈ R2,o + , hầu chắn, với t Với điều kiện ban đầu ϕ(0) = x(0) = x0 , xét phương trình biên dϕ(t) = ϕ(t)[a1 − b1 ϕ(t)]dt + αϕ(t)dB1 (t) + ϕ(t− )f1 (u)N (dt, du) U (2.14) Mệnh đề 2.2.2 Nếu ρ < x(t) dần đến limt→∞ y(t) = với tốc độ mũ Từ bổ đề này, từ sau ta giả sử ρ > Bổ đề 2.2.3 Với số dương p đủ nhỏ, ta có lim sup E ϕ−p (t) + ϕ2 (t) < ∞ t→∞ Từ đó, q trình ϕ(t), t ergodic Hơn nữa, ln ϕ(t) = 0, a.s (2.15) t→∞ t Chú ý 2.2.2 Từ chứng minh Bổ đề 2.1.3 tính ergodic ϕ(t), với < p < 2, lim lim sup t→∞ t 2.2.1 t ϕp (s)ds = xp π ϕ (dx) =: Kp < ∞ (2.16) R+ Điều kiện đủ gần với điều kiện cần cho bền vững Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm Phương trình (2.12), ta xây dựng ngưỡng β2 λ := −a2 − + ∞ c2 (1 − e−γx )π ϕ (dx) + [ln(f2 (u) + 1) − f2 (u)]ν(du) U (2.17) Định lý 2.2.4 Từ đ1o ta có kết sau: (i) Nếu λ < thú đến lúc diệt vong Ngồi với số thực λ > max{−ρ, λ} ta có 1 lim e−λt ϕ(t)−x(t) = lim e−λt − = 0, miễn ϕ(0) = x0 > t→∞ t→∞ x(t) ϕ(t) 16 (ii) Nếu λ > trình (x(t), y(t)) tồn độ đo xác suất bất biến tập trung R2,o + Chứng minh (i) Ta chứng minh được, lim sup ln y(t) λ < 0, a.s t→∞ t (2.18) Ngoài ra, λ < 0, nghiệm y(t) với điều kiện ban đầu y(0) = y0 , hội tụ đến t → ∞ với tốc độ mũ Từ đánh giá này, định lý so sánh nghiệm Định lý 1.2.1 cho ta ln y(t) − ln x(t) λ < (2.19) lim sup t t→∞ Gọi λ > max{−ρ, λ} tùy ý, theo công thức biên thiên số, ta 1 lim e−λt − = (2.20) t→∞ x(t) ϕ(t) Phần lại khẳng định i) chứng minh tương tự Định lý (2.1.2) Để chứng minh ii), ta xét phương trình biên dψ(t) = ψ(t) − a2 − b2 ψ(t) + c2 dt + βψ(t)dB2 (t) + ψ(t− )f2 (u)N (dt, du) U (2.21) ψ(t) hầu chắn ψ(0) = y0 > Ngoài từ giả thiết Đễ thấy y(t) λ > ta β2 −a2 − + c2 + [ln(f2 (u) + 1) − f2 (u)]ν(du) > U Tương tự Equation (2.14), ta thu t lim sup t→∞ t xp π ψ (dx) =: Kp < ∞, for any < p < ψ p (s)ds = R+ (2.22) Từ ta có, lim inf t→∞ t Gọi G := {(x, y) : < x lim inf t→∞ t t H, t P (s, (x, y), G)ds b1 λ := κ > b1 b2 + c2 c1 γ y(s)ds y (2.23) H}, theo bổ đề Fatou (κ − )q (Kp ) 17 q p − K1 + K1 > 0, ∀(x, y) ∈ R2,o + H (2.24) Phần lại phân chứng minh tương tự 2.1.2, phần ii) Định lý 2.2.5 Nếu λ > 0, nghiệm Phương trình Equation(2.12) có độ đo xác suất bất biến µ∗ với giá R2,◦ + Hơn nữa, (i) Với µ∗ -khả tích f (x, y) : R2,◦ + → R, ta có lim t→∞ t t f (x(s), y(s))ds = f (x, y)µ∗ (dx, dy) a.s ∀(x0 , y0 ) ∈ R2,◦ + 2,◦ (ii) Với (x, y) ∈ R+ , lim P (t, (x, y, i), ·) − µ∗ (·) = t→∞ 2.2.2 Ví dụ Mục trình bước nhảy dường góp phần cho hệ cho hệ tuyệt chủng Thật vậy, cường độ bước nhảy nhỏ, hệ giữ tính phát triển bền vững Tuy nhiên, cường độ bước nhảy đủ lớn, hệ trở nên tuyệt chủng Hiện tượng thể qua ví dụ sau Ví dụ 2.2.3 Giả sử a1 = 12; a2 = 2; b1 = 1; b2 = 2.8; c1 = 1; c2 = 12.5; γ = 1; α = 1; β = Tính tốn trực tiếp hệ khơng có bước nhảy ta thu Λ = 9.9988 > 0, điều có nghĩa hệ (2.12) khơng có bước nhảy bên vững Tuy nhiên ta thấy sau đây, dấu λ phụ thuộc vào cường độ u −0.3 sin u+3 , f (u) = 1+sin u+cos ,U = bước nhảy Thật vậy, gọi f1 (u) = 0.1 sin 2 u−0.1 sin u+1 (0, ∞) N (t, ·) = τn t 1{·} (ηn ) độ đo Poisson ngẫu nhiên, với σn = τn+1 − τn , n = 0, 1, dãy độc lập biến ngẫu nhiên phân phối mũ với tham số λ1 (Kỳ vọng nghịch đảo λ1 ) (ηn ) để minh họa, chọn dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối mũ với tham số Khi ν(du) = λ1 1{u 0} e−u du Với λ1 = 1, ta có λ ≈ 9.6667 Điều chứng tỏ y(t) tồn bền vững Hơn nữa, q trình (x(t), y(t)) có độ đo xác suất bất biến không gian R2,o + Với λ1 = 6.667 ta có λ ≈ −0.55 < 0, ρ = 1.339 > Theo Định lý 2.2.4 thú dần đến t → ∞, thú mơ hình khơng bị nhiễu bước nhảy tồn bên vững (Λ = 9.9988 > 0.) Hơn nữa, λ1 = 7.6923, ta có ρ = −0.2234 Theo Mệnh đề 2.2.2, mổi lẫn thú đến lúc diệt vong 18 Chương Sự tuyệt chủng bền vững mơ hình tái nhiễm SIRS ngẫu nhiên với tốc độ truyền bệnh tổng quát có bước chuyển trạng thái Trong Chương 2, luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận mơ hình thú mồi ngẫu nhiên thông qua ngưỡng tham số Trong chương này, tiếp tục xây dựng ngưỡng tham số cho mơ hình tái nhiễm ngẫu nhiên SIRS với tốc độ truyền bệnh tổng quát có bước chuyển trạng thái Kết xem tổng quát hóa mơ hình cải tiến số kết gần như: Cai cộng năm 2015, Han cộng (2013), Lahrouz cộng (2011), Settati cộng (2016) and Zhao cộng (2014) 3.1 Mở đầu Xét mơ hình sau   dS(t) = − S(t)I(t)F1 (S(t), I(t), ξt ) + µ(ξt )(K − S(t)) + γ1 (ξt )R(t) dt      −S(t)I(t)F2 (S(t), I(t), ξt )dB(t)   dI(t) = S(t)I(t)F1 (S(t), I(t), ξt ) − (µ(ξt ) + ρ(ξt ) + γ2 (ξt ))I(t))dt     +S(t)I(t)F2 (S(t), I(t), ξt )dB(t)     dR(t) = (γ2 (ξt )I(t) − (µ(ξt ) + γ1 (ξt ))R(t))dt, (3.1) S(t), I(t), R(t) tương ứng lớp cá thể mẫn cảm với dịch bệnh, nhiễm bệnh rời khỏi lớp nhiễm bệnh, ξt , t xích Markov liên tục phải nhận giá trị khơng gian hữu hạn trạng thái S = {1, 2, , N }, F1 (·), F2 (·) hàm dương Lipchitz địa phương [0, ∞)2 × S, B(t) trình Brown chiều, tham số dương K, µ(i), ρ(i), γ1 (i), γ2 (i) với trạng thái i ∈ S, sức chứa môi trường, tỷ lệ chết tự nhiên lớp S, tỷ lệ chết tự 19 nhiên lớp I, tỷ lệ khả miễn dịch quay lại lớp S, tỷ lệ phục hồi cá thể bị nhiễm bệnh 3.2 Điều kiện đủ gần với điều kiện cần cho bên vững Gọi B(t) q trình Brown chiều xác định khơng gian xác suất (Ω, F, P) Gọi R3+ := {(x, y, z) : x 0, y 0, z 0} ∆ := {(x, y, z) ∈ R3+ : x + y + z K} Phần {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0} R3+ ta ký hiệu R3,o + Xuyên suốt chương này, ta giả sử Fj (x, y, i) > với (x, y, z, i) ∈ ∆ × S, j = 1, Định lý 3.2.1 Với điều kiện ban đầu (S(0), I(0), R(0)) ∈ R3+ , tồn nghiệm dương toàn cục {(S(t), I(t), R(t)), t 0} Phương trình (3.1) nghiệm lại tập R3+ với xác suất Hơn nữa, I(0) > I(t) > với t hần chắn Ta chứng minh ∆ = {(x, y, z) ∈ R3+ : x + y + z K} tập bất biến Do vậy, ta xét trình (S(t), I(t), R(t)) tập bất biến ∆ Để thuận tiện, ta ký hiệu, Φ(t) = (S(t), I(t), R(t)) nghiệm hệ (3.1), φ = (x, y, z) ∈ ∆ Gọi F22 (x, y, i)x2 g(x, y, i) = F1 (x, y, i)x − µ(i) + ρ(i) + γ2 (i) + Ta xây dựng ngưỡng N λ= N g(K, 0, i)πi = i=1 i=1 F22 (K, 0, i)K F1 (K, 0, i)K− µ(i)+ρ(i)+γ2 (i)+ πi (3.2) Định lý 3.2.2 Nếu λ < Φ(t) → (K, 0, 0) hầu chắn t → ∞ với giá trị ban đầu (φ, i) ∈ ∆ × S, nghĩa là, dịch bệnh biến Hơn nữa, Pφ,i ln I(t) = λ < = với (φ, i) ∈ ∆ × S, y > t→∞ t lim (3.3) Chứng minh Từ giả thiết λ < 0, ta chọn số dương σ đủ nhỏ cho (g(K, 0, j) + σ)πj < j∈S Với số δ1 ∈ (0, K), ta ký hiệu Uδ1 = (K − δ1 , K] × [0, δ1 )2 Do vậy, Li V (x, y, z, i) p[g(K, 0, i) + σ]V (x, y, z, i) for (x, y, z, i) ∈ Uδ1 × S 20 Với ε > 0, tồn < δ < δ1 cho Pφ,i lim (S(t), I(t), R(t)) = K, 0, t→∞ − ε for (φ, i) ∈ Uδ × S (3.4) Theo tính Markov mạnh Pφ,i { lim Φ(t) = (K, 0, 0)} = for (φ, i) ∈ ∆ × S t→∞ (3.5) Theo Định lý 1.1.1 tính ergodic cúa q trình Markov, ta thu t lim t→∞ t g(Φ(u), ξs )du = λ Từ đánh giá công thức Itô dẫn đến (3.3) Định lý 3.2.3 Nếu λ > 0, dịch bệnh bền vững ngẫu nhiên mạnh theo nghĩa với ε > 0, tồn δ > cho lim inf Pφ,i {I(t) t→∞ δ} > − ε for any (φ, i) ∈ ∆ × S, y > (3.6) Để chứng minh định lý ny ta s dng k thut ca Benaăm v cng năm 2016 Trước hết ta cần số bổ đề Bổ đề 3.2.4 Gọi ∂∆2 := {φ = (x, y, z) ∈ ∆ : y = 0} Khi tồn số T > cho với (φ, i) ∈ ∂∆2 × S, T g(Φ(t), ξt )dt Eφ,i 3λ T (3.7) Bổ đề 3.2.5 Gọi Y biến ngẫu nhiên, giả sử E exp(Y )+E exp(−Y ) K1 Khi phép biến đổi log-Laplace u(θ) = ln E exp(θY ) khả vi cấp d2 u [0, 0.5] du (0) = EY, K2 , θ ∈ [0, 0.5] với số K2 > phụ dθ dθ2 (θ) thuộc vào K1 Từ đó, theo khai triển Taylor ta có u(θ) EY θ + K2 θ2 , θ ∈ [0, 0.5] Dựa vào bổ đề trên, ta chứng minh Định lý 3.2.3 trường hợp λ > Chứng minh Xét hàm Lyapunov Vθ (φ, i) = y θ , với θ số thực Ta có Li Vθ (φ, i) = θy θ [F1 (x, y, i)x − (µ(i) + ρ(i) + γ2 (i)) + Từ đo ta có LVθ θ−1 2 x F2 (x, y, i)] Hθ Vθ , với Hθ = sup{θ[F1 (x, y, i)x − (µ(i) + ρ(i) + γ2 (i)) + 21 θ−1 2 x F2 (x, y, i)], với (x, y, z, i) ∈ ∆ × S} Ta đánh giá Eφ,i I θ (t) y θ exp(Hθ t) với t 0, (φ, i) ∈ (∆ \ ∂∆2 ) × S (3.8) Dựa vào tính Feller (3.7), tồn δ2 > cho φ = (x, y, z) ∈ ∆ với y < δ2 ta có T λ Eφ,i G(T ) = −Eφ,i g(Φ(t), ξt )dt − T (3.9) Với G(t) = ln I(0) − ln I(t), từ đánh giá (3.8) ta suy Eφ,i (eG(t) + e−G(t) ) eH1 t + eH−1 t < ∞ Áp dụng Bổ đề Lemma 3.2.5, ta thu từ (3.9) ln Eφ,i eθG(T ) − λθ T + Hθ2 for θ ∈ [0, 0.5], H số phụ thuộc vào T , H−1 H1 Với số dương θ đủ nhỏ, tồn δ3 > cho yθ I θ (0) Eφ,i θ = Eφ,i θ = Eφ,i eθG(T ) I (T ) I (T ) exp(− λθ T ) với φ ∈ ∆, y < δ3 , i ∈ S Một cách tương đương, Eφ,i I −θ (T ) qy −θ với q = exp(− λθ T ) với φ ∈ ∆, y < δ3 , i ∈ S Đánh giá (3.8) dẫn đến Eφ,i I −θ (T ) qy −θ + C với C = δ3−θ exp(H−θ T ) với φ ∈ ∆, i ∈ S Điều suy lim sup Eφ,i I −θ (t) = t→∞ C exp(H−θ T ) 1−q (3.10) Điều dẫn đến khẳng định (3.6) bất đẳng thức Markov, δ thỏa δ θ K ε 22 3.3 Ví dụ Trong mục này, luận án so sánh với số kết điển hình năm gần đây, ta thấy kết mở rộng kết đề cập trước luận án Để minh họa kết lý thuyết, chúng tơi xét số ví dụ sau Giả sử hàm truyền bệnh có dạng Beddington-DeAngelis: β2 (ξt )SI β1 (ξt )SI F1 (S, I, ξt ) = , F2 (S, I, ξt ) = , + a1 (ξt )S + b1 (ξt )I + a2 (ξt )S + b2 (ξt )I , bi , βi , i = (1, 2) số dương Giả sử S = {1, 2} Các cường độ chuyển xích q12 = 0.5, q21 = 0.8, phân phối dừng trường hợp π = (π1 , π2 ) = ( 13 , 13 ) Ví dụ 3.3.1 Giả sử sức chứa môi trường K = hệ số hệ (3.1) cho Bảng 3.1 Ta giả sử với ξt = 6, hệ trạng thái ξt = hệ trạng thái Hệ số a1 a2 b1 b2 β1 β2 γ1 γ2 µ ρ 1.5 0.1 1 0.5 2 0.3 1.2 2 0.2 1.5 0.2 Trạng thái Bảng 3.1: Tham số mơ hình Ví dụ 3.3.1 Theo cơng thức (3.2), ta có λ = −4.8819 < Theo Định lý 3.2.2, I(t) dần đến S(t) dần đến K t → ∞ Điều có nghĩa rằng, hệ đến lúc bệnh Ví dụ 3.3.2 Trong ví dụ này, ta giả sử sức chứa môi trường K = 30 Khi ξt = 1, hệ trạng thái 1, ξt = hệ trạng thái Bảng giá trị tham số hệ cho Bảng 3.2 Hệ số a1 a2 b1 b2 β1 β2 γ1 γ2 µ ρ 1.7 0.5 1.2 0.7 0.5 0.7 0.6 1.5 1.5 0.5 0.5 Trạng thái Bảng 3.2: Tham số mơ hình Ví dụ 3.3.2 Khi tá ước lượng λ = 2.3441 > Do vậy, theo Định lý 3.2.3, I(t) bền vững ngẫu nhiên mạnh 23 Kết luận Luận án đề cập đến toán phương pháp tiếp cận để phân loại số hệ sinh thái môi trường ngẫu nhiên thông qua việc nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên mơ tả mơ hình sinh thái tương ứng Bằng việc tập trung vào dáng điệu tiệm cận nghiệm, luận án không đưa điều kiện đủ mà gần với điều kiện cần cho bền vững tính ergodic hệ Những kết góp phần thúc đẩy nghiên cứu mơ hình sinh học Luận án gồm chương Trong Chương chúng tơi xét mơ hình thú mồi bị chịu nhiễu trắng có bước chuyển trạng thái mơ hình thú mồi bị ảnh hưởng đồng thời nhiễu trắng nhiễu Lévy Bằng việc xây dựng tham số λ dấu tham số làm thay đổi trạng thái hệ Cụ thể: λ < 0, thú đến lúc tuyệt chủng, đồng thời luận án mồi hội tụ biên với tốc độ mũ; Khi λ > hệ tồn phân phối dừng đồng thời điều kiện để luật số lớn có hiệu lực Trong Chương 3, luận án đề cập đến mơ hình dịch tễ có tái nhiễm SIRS bị chịu nhiễu trắng nhiễu màu với cường độ mắc bệnh mô tả hàm số tổng quát, mô hình hóa hệ phương trình vi phân ngẫu với bước chuyển Markov Thông qua ngưỡng tham số, luận án điều kiện đủ gần với điều kiện cần để quần thể tồn dịch bệnh bệnh Trong tương lai, mong muốn tập trung giải cho trường hợp tới hạn (λ = 0) cho số mơ hình cụ thể Ngồi chúng tơi cịn muốn mở rộng kết luận án xét hệ hỗn hợp nhiễu: nhiễu trắng, nhiễu Lévy, nhiễu bước chuyển Markov; Hoặc hệ có bước chuyển với cường độ chuyển phụ thuộc vào trạng thái, nghiên cứu dáng điệu số hệ có cấu trúc Đó tốn mở đặt sau hoàn thành luận án Đây toán thú vị, nhiên theo dự đốn cách giải vấn đề khó mong đợi kỹ thuật tốt 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N H Du, N T Dieu, T D Tuong (2017), "Dynamics behavior of a stochastic predator-prey sytem under regime switching", Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B, (22), pp 3483-3498 (SCI, sử dụng cho Chương luận án) T D Tuong, N H Dang, N T Dieu, T Q Ky (2019), "Extinction and permanence in a stochastic SIRS model in regime-switching with general incidence rate", Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 34, pp 121-130 (SCIE, sử dụng cho Chương luận án) T D Tuong, N T Dieu, N H Du, "On the asymptotic behavior of a stochastic model with Ivlev’s function response and jumps", gửi cho tạp chí Stochastic Models (được sử dụng cho Chương luận án) ... tồn cặp số dương δ = δ(ε) χ = χ(ε) cho lim inf Px {|X(t)| t→∞ χ} − ε lim inf Px {|X(t)| t→∞ x = X(0) ∈ Rn,◦ + δ} − ε, Chương Dáng điệu tiệm cận hệ thú mồi ngẫu nhiên 2.1 Dáng điện tiệm cận mơ... triển bền vững tính ergodic lồi quần thể thông qua ngưỡng tham số Tiếp tục với ý tưởng trên, luận án này, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận số mô hình quần thể hệ sinh thái với mơi trường ngẫu nhiên... thái Trong Chương 2, luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận mơ hình thú mồi ngẫu nhiên thơng qua ngưỡng tham số Trong chương này, tiếp tục xây dựng ngưỡng tham số cho mơ hình tái nhiễm ngẫu nhiên