HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN MỨC ĐỘ CƠ BẢN CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG MỤC LỤC VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN I) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: • AB = BH.BC • • hay c = ac ' AC = CH.BC hay b = ab ' AB.AC = BC.AH hay cb = ah • HA = HB.HC 2 hay h = c ' b ' 1 1 1 = + = 2+ 2 2 AB AC hay h c b • AH 2 • BC = AB + AC (Định lí Pytago) B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Nếu biết độ dài hai sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC ta tính ln bốn đoạn cịn lại  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Tính x, y trường hợp sau: Hình Hình Hình Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) b) Cho biết AB = 3cm, AC = cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, BC Cho biết BH = cm, CH = 16 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, AH Bài Cho tam giác ABC vuông A, AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Cho biết AB : AC = : BC = 15cm Tính độ dài đoạn thẳng BH HC Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB : AC = : AH = cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài Tính x, y trường hợp sau: Hình Hình Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Hình a) b) c) Cho biết AB = 3cm, AC = 5cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, A C Cho biết AH = 60 cm, CH = 144 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, BH Cho biết AC = 12 cm, AH = 60 cm 13 Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC, BH, CH AB = A, Bài Cho tam giác ABC vuông đường cao AH Cho biết AC BC = 122 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB : AC = : AH = 12 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB = 4cm, AC = 7,5cm Tính độ dài đoạn thẳng BH HC Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) b) Cho biết AH = cm, BH = 4,5cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, HC Cho biết AB = cm, BH = 3cm Tính độ dài đoạn thẳng AH, AC, CH Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12 cm, BH = cm Bài 12 Cho tam giác ABC , biết BC = 7,5cm, CA = 4,5cm, AB = cm a) b) Tính đường cao AH tam giác ABC Tính độ dài BH, CH Bài 13 Cho tam giác vng với cạnh góc vng 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao đoạn thẳng mà đường cao chia cạnh huyền AB = Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AC AH = 15cm Tính độ dài đoạn thẳng HB HC Bài 15 Cho ABCD hình thang vng A D Đường chéo BD ⊥ BC Biết AD = 12 cm, DC = 25cm Tính độ dài AB, BC BD VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN II) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Nhắc lại lí thuyết Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: • AB = BH.BC • • hay c = ac ' AC2 = CH.BC hay b = ab ' AB.AC = BC.AH hay cb = ah • HA = HB.HC 2 hay h = c ' b ' 1 1 1 = + = 2+ 2 2 AB AC hay h c b • AH 2 • BC = AB + AC (Định lí Pytago) B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng hệ thức cạnh đường cao cách hợp lí theo hướng: Bước 1: Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Bước 2: Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao Bước 3: Liên kết giá trị để rút hệ thức cần chứng minh  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu H lên CD, CE Chứng minh: a) CD.CM = CE.CN b) ∆CMN : ∆CED Bài Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D , vng góc với DI , cắt đường thẳng BC L Chứng minh: a) Tam giác DIL tam giác cân; 1 + DK không đổi I thay đổi cạnh AB b) Tổng DI  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AH đường cao a) b) Chứng minh AB + CH = AC + BH ; Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu H lên AB, AC Chứng minh: AM.AB = AN.AC 2 2 Bài Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt O Cho biết khoảng cách từ O tới cạnh 1 + = 2 hình thoi h, AC = m, BD = n Chứng minh: m n 4h C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm b) Tính độ dài đoạn thẳng BD ; Vẽ AH ⊥ BD = H Tính độ dài đoạn thẳng AH ; c) Đường thẳng AH cắt BC DC I K Chứng minh: AH = HI.HK a) Bài Cho hình thang ABCD vng A D Cho biết AB = 15cm, AD = 20 cm, đường chéo AC BD vng góc với O Tính: a) b) c) Độ dài đoạn thẳng OB, O D Độ dài đoạn thẳng AC ; Diện tích hình thang ABCD Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH , kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC Chứng minh: EB  AB  = ÷ FC  AC  a) b) BC.BE.CF = AH Bài Cho tam giác ABC cân A có AH BK hai đường cao Kẻ đường thẳng vng góc với BC B cắt tia CA D Chứng minh: a) BD = 2AH 1 = + 2 BK BC 4HA b) VẤN ĐỀ LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Nhắc lại lí thuyết Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: • AB = BH.BC • • hay c = ac ' AC2 = CH.BC hay b = ab ' AB.AC = BC.AH hay cb = ah • HA = HB.HC 2 hay h = c ' b ' 1 1 1 = + = 2+ 2 2 AB AC hay h c b • AH 2 • BC = AB + AC (Định lí Pytago) B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết BH = cm, CH = cm Gọi D, E hình chiếu H lên cạnh AB, AC a) Tính độ dài đoạn thẳng DE b) Các đường thẳng vng góc với DE D, E cắt BC M, N Chứng minh c) Tính diện tích tứ giác DENM MN = BC Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H lên cạnh AB, AC Chứng minh: AC2 HB = ; a) AC HC  AC3 BD = ; b) AC EC c) DE = BD.CE.BC; 3 2 d) BC = BD + CE Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) b) Cho biết AB = cm, AC = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, BC Cho biết AB = cm, BC = 10 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, AC Bài Tìm độ dài cạnh tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài 48cm hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền theo tỉ lệ :16 Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Cho biết BD = 15 cm, CD = 20 cm Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC Bài Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy AB = 26 cm cạnh bên AD = 10 cm Cho biết đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Tính diện tích hình thang ABCD C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) b) Nếu BH = cm, CH = 8cm Tính độ dài đoạn AB, AC, BC, AH Nếu AH = 5cm, CH = 16 cm Tính độ dài đoạn AB, AC, BC, BH Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB : AC = : AH = 12 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Cho biết BD = 15 cm, CD = 20 cm Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC Bài 10 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tính chu vi tam giác ABC biết HB = AH = 14 cm , HC Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12cm, BH = 9cm Bài 12 Cho tam giác ABC vuông C , đường cao CK a) b) Cho biết AB = 10 cm, A C = 8cm Tính BC, CK, BK, AK Gọi H I theo thứ tự hình chiếu K lên BC AC Chứng minh: CB.CH = CA.CI 1 = + 2 CH CI c) Gọi M chân đường vng góc kẻ từ K xuống IH Chứng minh KM AI AC = d) Chứng minh: BH BC VẤN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN I) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT • Cho góc nhọn α ( 00 < α < 900 ) · Dựng tam giác ABC vuông A cho α = ABC Từ ta có: AB AC AC AB ;sin α = ; tan α = ;cot α = BC BC AB AC Với góc nhọn α bất kì, ta ln có: < sin α < 1; < cosα < sin α cosα tan α = ;cot α = ; tan α.cot α = 1; cosα sin α 1 sin α + cos α = 1; + tan α = ; + cot α = cos α sin α cosα = • • • Nếu hai góc phụ sin góc cosin góc kia, tang góc cotang góc Bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt: 300 450 600 sin α 2 cosα 2 2 tan α 3 cot α 3 B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính tỉ số lượng giác góc nhọn, tính cạnh, tính góc Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức phần Tóm tắt lí thuyết  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Cho tam giác ABC vng C có BC = 1, 2cm, AC = 0,9cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc A Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Hãy tính sinB sinC trường hợp sau (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ 4): a) AB = 13cm; BH = 0,5dm b) BH = 3cm; CH = cm Bài Cho tam giác ABC có AB = a 5; BC = a 3; AC = a a) b) Chứng minh ABC tam giác vng Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc A Bài Cho tam giác ABC vng A, tính tỉ số lượng giác góc C biết cosB = 0, AB = 5cm, cot B = Tính độ dài đoạn thẳng AC BC Bài Cho tam giác ABC vuông A,  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài Cho tam giác ABC vng A có BA = 1, cm; CA = 1, cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C Bài Cho tam giác ABC có CB = a 5; BA = a 3; AC = a a) b) Chứng minh ABC tam giác vuông Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C Bài Cho tam giác ABC vuông A Cho biết cosB = 0,8 Hãy tính tỉ số lượng giác góc C Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, tanB = 12 Hãy tính độ dài đoạn thẳng AC BC C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 10 Cho tam giác ABC vng A có AB = 60 mm; AC = 8cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C µ = α, cot α AB = 30 cm; B 12 Tính độ dài cạnh BC, AC Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A Biết Bài 12 Tìm sin α, cot α, tan α biết cosα = Bài 13 Cho tam giác ABC vng A Tính AC, BC biết: a) AB = 12 cm, tanB = ; b) AB = 15cm, cos B = µ Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A, C = 30 , BC = 10 cm 13 cot α • 3 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A có BC = a , AC = b , AB = c Ta có: b = a.sin B = a.cos C c = a.sin C = a.cos B b = c.tan B = c.cot C c = b.tan C = b.cot B Trong tam giác vuông Cạnh góc vng = (cạnh huyền) × ( sin góc đối) = (cạnh huyền) × (cosin góc kề) Cạnh góc vng = (cạnh góc vng) × (tang góc đối) = (cạnh góc vng) × (cotang góc kề) B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Trong đoạn thẳng AB , AC , BC , AH , HB , HC , tính độ dài đoạn thảng cịn lại biết: a) AB = cm AC = cm b) AB = 15 cm HB = cm c) AC = 44 cm BC = 55 cm Bài Cho tam giác ABC vuông A , ( AB < AC ) có đường cao AH AH = 12 cm ; BC = 25 cm a) Tìm độ dài đoạn thẳng BH , CH , AB AC · b) Vẽ trung tuyến AM Tìm số đo góc AMH c) Tính diện tích tam giác AHM • o o µ µ Bài Cho tam giác ABC có đường cao CH , BC = 12 cm , B = 60 C = 40 a) Tính độ dài đoạn thẳng CH AC b) Tính diện tích tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , AB = cm , AC = cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BC AH µ Tính số đo góc Bµ C µ c) Đường phân giác góc A cắt cạnh BC E Tính độ dài đoạn thẳng BE CE Bài Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Từ H kẻ HE vng góc với AB ( E thuộc AB ) kẻ HF vng góc với AC ( F thuộc AC ) a) Chứng minh AE AB = AF AC b) Cho biết AB = cm , AH = cm Tính độ dài đoạn thẳng AE BE b) · Cho biết HAC = 30 Tính độ dài đoạn thẳng FC Bài Tứ giác MNEF vuông M , F , có EF đáy lớn, hai đường chéo ME NF vng góc với O a) Cho biết MN = cm MF = 12 cm Hãy: i Giải tam giác MNF ii Tính độ dài đoạn thẳng MO FO iii Kẻ NH vng góc với EF H Tính diện tích tam giác FNE Từ tính diện tích tam giác FOH b) Chứng minh MF = MN FE Bài Cho tam giác DEF biết DE = cm , DF = cm , EF = 10 cm a) Chứng minh tam giác DEF tam giác vuông b) Vẽ đường cao DK Hãy tính DK , FK c) Giải tam giác vuông EDK d) Vẽ phân giác DM tam giác DEF Tính độ dài đoạn thẳng ME , MF e) Tính sin F tam giác vuông DFK DEF Từ suy ED.DF = DK EF c) o o µ Bài Cho tam giác ABC vuông A , B = 60 BC = cm a) Tính độ dài cạnh AB , AC AB AC = b) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh BD CD · c) Đường thẳng song song với phân giác góc CBD kẻ từ A cắt CD H Chứng minh 1 = + 2 AH AC AD Bài Cho hình vng ABCD điểm E tùy ý cạnh BC Tia Ax vng góc với AE A cắt CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K a) Chứng minh AE = AF b) Chứng minh tam giác AKF , CAF đồng dạng AF = KF CF BC c) Cho AB = cm , Tính diện tích tam giác AEF 1 + AJ không phụ thuộc vào vị trí điểm E d) AE kéo dài cắt CD J Chứng minh AE BE = Bài 10 Khơng dùng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn: o o o o o a) sin 24 , cos 35 , sin 54 , co 70 , sin 78 o o o o o b) cot 24 , tan16 , cot 57 67 ' , cot 30 , tan 80 Bài 11 Khơng dùng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: o o o o o a) sin 40 , cos 28 , sin 65 , cos88 , cos 20 o o o o b) tan 32 48' , cot 28 36 ' , tan 56 32 ' , cot 67 18' Bài 12 Cho α góc nhọn a) Tính sin α , cot α , tan α biết = cot α tan α cos α = sin α Tính cos α , tan α , cot α biết c) Cho tan α = Tính sin α , cos α , d) Cho cot α = Tính sin α , cos α , Bài 13 Một cột cờ cao 7m có bóng mặt đất dài m Tính góc α mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (làm tròn đến phút) Bài 14 Một cột đèn có bóng mặt đất dài 6,5 m , tia sang mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 44o Tính chiều cao cột đèn o o o o Bài 15 a) Tính giá trị biểu thức A = cos 20 + cos 40 + cos 50 + cos 70 b) 6 2 b) Rút gọn biểu thức B = sin α + cos α + 3sin α − cos α o o Bài 16 Cho < x < 90 Hãy chứng minh đẳng thức sau: a) sin x + cos x = − 2sin x cos x 4 2 b) sin x + cos x = − 3sin x cos x 6 2 c) sin x − cos x = − cos x 4 o o Bài 17 Cho < x < 90 Hãy chứng minh đẳng thức sau: − cos x sin x = + cos x a) sin x sin x + cos x + = + cos x sin x sin x b) sin x + cos x − 2cos x = − cos x sin x − cos x + c) ĐÁP ÁN VẤN ĐỀ Bài Hình 1: x = 3, 6; y = 6, 4; Hình 2: x = 7, 2; y = 12,8 ; Hình 3: x= 35 74 ; y = 74 74 Bài a) BH = 1,8; CH = 3, 2; AH = 2, 4; BC = b) AB = 15; AC = 20; BC = 25; AH = 12 Bài BH = 5, 4; HC = 9, Bài BH = 4,5; CH = Bài x = 5; y = Bài a) BH = 1,8 cm; CH = 3, cm; AH = 2, cm; AC = cm b) AB = 65 cm; AC = 156 cm; BC = 169 cm; BH = 25 cm c ) AB = cm, BC = 13 cm, BH = 25 144 cm, CH = cm 13 13 Bài BH = 50 cm, CH = 72 cm Bài BH = cm, CH = 16 cm Bài BH = 32 225 cm, CH = cm 17 34 Bài 10 a) AB = 7, cm; AC = 10 cm; BC = 12,5 cm; HC = cm b) AH = 3 cm; AC = cm; CH = cm Bài 11 S = 150 cm Bài 12 a) AH = 3, cm; b) BH = 4,8 cm; CH = 2, cm Bài 13 Đường cao: 6, 72 ; Độ dài hai đoạn chia cạnh huyền: 1,96; 23, 04 Bài 14 HB = 75 cm; HC = 21 cm Bài 15 AB = cm; BC = 20 cm; BD = 15 cm VẤN ĐỀ CM CN = µC a ) CD CM = CE CN ( = CH ); b ) ∆ CMN ” ∆ CDE ( c g c ) Bài chung CE CD Bài a) ∆ADI = ∆CDL ( g c.g ) ⇒ DI = DL ⇒ ∆DIL tam giác cân b) 1 1 + = + = 2 2 DI DK DL DK DC 2 2 2 2 2 Bài a) AB + CH = ( BH + AH ) + CH = BH + ( AH + CH ) = BH + AC b) Làm tương tự câu a) 1, có AM AB = AN AC (= AH ) 1 4 + = + ⇒ 2 Bài OA OB AC BD đpcm Bài a ) BD = 17; b) AH = 120 17 · · c) ∆BHI ” ∆KCI ( g g ) ⇒ HBI = IKC ⇒ ∆HKD” ∆ HBI ( g g ) HK HD ⇒ = ⇔ HK HI = HD.HB = AH HB HI Bài a ) OB = cm, OD = 16 cm; b) OA = 12, AC = 100 1250 ; c ) S ABC = cm 3 EB HB HC  AB AC  AC  AB  AC  AB  a) = : = : = = ÷ ÷ ÷ FC AB AC  BC BC  AB  AC  AB  AC  Bài b) BC.BE.CF = BC HB HC BC = ( HB.HC ) = AH = AH AB AC AB AC AH Bài a) AH đường trung bình ∆BCD ⇒ BD = AH b) 1 1 = + = + 2 2 BK BC BD BC AH VẤN ĐỀ Bài a) DE = cm ; b) Chứng minh M trung điểm BH , N trung điểm CH c ) S = 19, cm Bài a) AB HB.BC HB = = AC HC.BC HC BD HB HC  AB AC  AC  AB  AC  AB  b) = : = : = = ÷ ÷ ÷ EC AB AC  BC BC  AB  AC  AB  AC  c) BD.CE.BC = HB HC BC BC = ( HB.HC ) = AH = AH = DE AB AC AB AC AH d ) BC = BD + CE ⇔ 3 2 BC = CE 2 BD +1⇔ CE 3 BC  AB  = ÷ +1 CE  AC  BC  BC  CE  BC   BC   AC  ⇔ = ÷ ⇔ ÷=  ÷ ⇔ ÷ = CE AC  AC   CE   AC   BC  CE AC HC ⇔ sin ·ABC = = = cos ·ACB ( dpcm) AC AC Bài a) BH = 3, cm; CH = cm; AH = 4,8 cm; BC = 10 cm b) BH = 3, cm; CH = 6, cm; AH = 4,8 cm; AC = cm Bài Cạnh huyền: 100 cm ; cạnh góc vng: 60 cm 80 cm Bài HB = 22 cm; HC = 12, cm Bài S= 34560 ≈ 204,5 cm 169 Bài a ) AB = cm, AB = cm, AC = cm, BC = 10 cm b) AB = 281 281 25 , AC = 281, BC = , BH = 16 16 16 Bài BH = cm, CH = 16 cm Bài Tương tự Bài 10 P = 35 + 21 ≈ 81,95 cm Bài 11 S = 150 cm Bài 12 a ) BC = cm; CK = 4,8 cm; BK = 3, cm; AK = 6, cm b) CB.CH = CK = CA.CI c) 1 1 = + = + 2 2 KM HK KI CH CI AI KA2 KB  AC BC  BC  AC  BC  AC  d) = : = : = = ÷ ÷ ÷ BH AC BC  AB AB  AC  BC  AC  BC  VẤN ĐỀ sin B = ; OK = 41; OH = BÀI Bài a ) sin B = b) sin B = 12 ≈ 0,9231; sin C = ≈ 0,3846 13 13 ≈ 0,7559; sin C = ≈ 0, 6547 7 Bài a) Vì OK = 2 10 15 ; cos B = sin A = ; tan B = cot A = ; cot B = tan A = 5 b) sin B = cosA = cos C = 0,8; sin C = 0, 6; cot C = ; tan C = Bài Bài AC = 8; BC = 89 4 sin B = cos C = ; cos B = sin C = ; tan B = cot C = ; cot B = tan C = 5 Bài Bài a) Vì HN = b) sin B = cos C = 18 13 13 10 15 ; cos B = sin C = ; tan B = cot C = ; cot B = tan C = 15 sin C = 0,8; cos C = 0, 6; cot C = ; tan C = Bài 13 AC = ; BC = Bài Bài 10 O ∈ Oy Bài 11 AC = 72; BC = 12 61 Bài 12 sin α = 6 ; tan α = 6; cot α = 12 Bài 13 a) AC = 9; BC = 15 b) AC = 17; AC = Bài 14 a) AB = 3; AC = b) ANBM hình chữ nhật AN / / BM ; AN = BM c) ∆MAB” ∆ACB ( g − g ) VẤN ĐỀ o o o o o o o o Bài a ) sin 20 < sin 70 ; b) cos 60 > cos 70 ; c) tan 73 20 ' > tan 45 ; d ) cot 20 > cot 37 40 ' Bài a ) cot 71o ( = tan19o ) < cot 69o15'( = tan 20o85') < tan 28o < tan 38o < tan 42o b) cos 79o13' = sin10o87 ' < sin 32o < sin 380 < cos 51o = sin 39o o o o o o o o o Bài a ) sin 40 < sin 70 ; b) cos80 < cos 50 ; c) tan 73 20 ' > tan 65 ; d ) cot 53 < cot 37 40 ' o o o o o o Bài a) cot 79 15' = tan10 85' < tan12 < tan 28 < cot 61 ( = tan 29 ) < tan 58 b) cos85o < cos 67 o ( = sin 23o ) < cos 63o 41' = (sin 26o59 ') < sin 56o < sin 74o Bài Dựng tam giác vng có a) Độ dài cạnh góc vng 3, cạnh uyền 5, góc đối diện với cạnh góc vng α b) độ dài cạnh góc vng 4, cạnh huyền 7, góc cạnh góc vng va cạnh huyền α c) Độ dài hai cạnh góc vng 2, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài α d) Độ dài hai cạnh góc vng 6, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α Bài Dựng tam giác vng có a) Độ dài cạnh góc vng 2, cạnh huyến 3, góc đối diện với cạnh góc vng góc α b) Độ dài cạnh góc vng 2, cạnh huyền góc cạnh góc vng với cạnh huyền góc α c) Độ dài hai cạnh góc vng 2, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài α d) Độ dài hai cạnh góc vng 5, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α Bài BC = 32,5 cm; AC = 12,5 cm Bài a ) sin B = 12 ; sin C = 13 13 b) sin B = 21 ; sin C = 7 Bài Dựng tam giác vng có a) Độ dài cạnh góc vng 1, cạnh huyền 2, góc đối diện với cạnh góc vng α b) Độ dài cạnh góc vng 2, cạnh huyền 3, góc cạnh góc vng cạnh huyền α c) Độ dài hai cạnh góc vng 5, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài góc α d) Độ dài hai cạnh góc vng 5, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài góc α o o o o o o o Bài 10 a) cos 62 (= sin 28 ) < sin 34 < sin 35 < sin 45 < cos 28 ( = sin 62 ) b) cos 65o30 '( = sin 24o 74 ') < cos 59o ( = sin 31o ) < sin 47 o < cos 37o (= sin 53o ) < sin 72o Bài 11 Bài 12 a) A = 1 ; b) B = 2 cos α = ; tan α = ; cot α = 6 Bài 13 Tương tự Bài 14, Vấn đề Bài 14 a) A = 3; b) = 2,5 Bài 15 Góc 2α góc ·AMH a ) sin 2α = AH AH AB AC = =2 = 2sin α cos α AM BC BC b) + cos 2α = + HM HC HC AC = = = = cos α AM AM BC BC c ) − cos 2α = − HM HB HB AB = = = = 2sin α AM AM BC BC VẤN ĐỀ Bài a) a = 20 10 , c= ; 3 b) b = 20sin 35o ≈ 11, 48, c = 20cos35o ≈ 16,38 Bài a ) c = 115; sin B = b) a = 193; tan B = 10 µ = 41,8o ⇒ C µ = 48, 2o ⇒B 15 12 µ ≈ 59, o ⇒ C µ ≈ 30,3o ⇒B o µ o µ Bài a) a = 35; B ≈ 53,1 ; C ≈ 36,9 µ = 41,80 ; C µ = 48, 2o b) c = 8; B o µ Bài 14 a) b ≈ 2,95; a ≈ 4, 69; C ≈ 49 µ = 30o b) c ≈ 9,53o ; b = 5,5; B Bài AN ≈ 3, 65 cm; AC ≈ 7,3 cm o Bài a) CH = 3 cm; AC = 3 : sin 80 ≈ 5, 28 cm b) S = 3.6,92 ≈ 17,98 cm 2 Bài S ≈ 5, 09 cm Bài S = 7, 66 cm o µ Bài a) c ≈ 3,12 ; a ≈ 6, 24; B = 60 b) a = 10 µ = 10 ⇒ B µ ≈ 41,8o ⇒ C µ ≈ 48, 2o a ) c = 115; sin B 15 Bài 10 b) a = 193; tan B = 12 µ ≈ 59, o ⇒ C µ = 30,3o ⇒B o µ Bài 11 a) a ≈ 5,14 cm; b ≈ 6,13 cm; C = 50 b) µA = 62o ; a ≈ 9, cm; b ≈ 10, 65 cm µ ≈ 28, 07 o c ) b = 17 cm; µA ≈ 61,93 cm; C Bài 12 S ≈ 509, 08 cm Bài 13 S= 24 + cm2 Bài 14 a ) AB = 15 cm; AC = 20 cm; BC = 25 cm; AH = 12 cm b) ADHE hình chữ nhật c ) S = 69,12 cm ; P = 33, cm o µ o µ Bài 15 a) AC = cm; B = 53,13 ; C = 36,87 b) AD = 2, 25 cm; BD = 3, 75 cm c ) BF BD = BA2 = BE.BC VẤN ĐỀ Bài Chiều cao ≈ 6m75 m Bài Độ dài ≈ 2,1 ≈ 4,5 m sin 28o o Bài Chiều cao = tan 50 ≈ 5,96 m o · Bài BCA = 59 44 ' Bài a) AE.AC = AH = AD.AB ⇒ ∆ABC ” ∆AED (c.g c ) b) DE = cm 54 · c ) ABC = 56o ; d ) S ADE cm 13 Bài a) Vì EF = CG = AB; EF / /CG / / AB · b) CF ⊥ BE mà EG / /CF ⇒ EG ⊥ BE ⇒ BEG = 90o c ) S ABCD = d ) AC = h2 sin α cosα h sin α cosα Bài BD = 21 ≈ 22, 73 cm cos 22,5o Bài a) AB = cm; AC = cm · · b) AMBN hình chữ nhật ⇒ CBM = ·ABM = NMB ⇒ MN / / BC ( so le ) ⇒ AMBN hình chữ nhật ⇒ MN = AB = BC 1· AB · c ) CBM = ·ABM = ABC = 30o = ·ACB ⇒ ∆MAB” ∆ABC ( g g ) = Tỉ số đồng dạng BC Bài Tương tự o µ Bài 10 a) Giả sử tam giác ABC có A < 90 , kẻ đường cao BH ta có 1 BH = AB sin µA ⇒ S ABC = BH AC ⇒ S ABC = AB AC sin µA 2 o µ µ b) ABCD hình bình hành có A < 90 , ∆ABD = ∆CBD ⇒ S ABCD = S ABO = AB sin A Bài a) BC = 13 cm; AH = 18 13 12 13 27 13 cm; BH = cm; CH = cm 13 13 13 b) BC = 25 cm; AC = 20 cm; HC = 16 cm; AH = 12 cm c ) AB = 33 cm; AH = 132 99 176 cm; BH = cm; CH = cm 5 Bài a) Đặt BH = cm; CH = 16 cm; AB = 15 cm; AC = 20 cm b) ·AMH ≈ 73, 4o ; c) S AHM = 84 cm Bài a ) CH = cm; AC = ≈ 10,55 cm sin 80o b) S∆ABC = 3(6 + 1,83) ≈ 40, 69 cm 2 Bài a ) BC = cm; AH = µ ≈ 53,13o ; C µ ≈ 36,87 o b) B 12 cm c ) BE = 15 20 cm; CE = cm 7 Bài a ) AE AB = AH = AE AC b) AE = ; BE = 4 cm c ) FC = Bài · · a ) i ) NF = 15 cm; MFN ≈ 48,590 ; MNF ≈ 41, 41o 36 48 ii ) OM = ; FO = 5 S FO FH iii ) S FNE = 96 cm ; ∆FOH = = ⇒ S∆FOH = 34,56 cm S ∆FNE FN FE 25 b) ∆MFN ” ∆FEM ( g − g ) ⇒ MF MN = ⇔ FM = MN FE FE FM 2 Bài a) Vì DE + DF = FE b) DK = 24 32 cm; FK = cm 5 c) EK = 18 · · · cm; DKE = 90o ; KDE ≈ 36o ,52 '; KED ≈ 53o8' d ) ME = 30 40 cm; MF = cm 7 DK DF DK DE · · e) sin DFK = , sin DFE = ⇒ = ⇔ DE.DF = DK EF DF EF DF EF Bài a) AB = cm; AC = cm b) AB AB AC = = cos ·ABC = cos 60o = cos ·ACD = BD BC CD c) 1 = + 2 AH AC AD Bài a) ∆ABE = ∆ADE ( g c.g ) ⇒ AE = AF AF CF µ chung , FAK · · b) F = FCA = 45o ⇒ ∆AKF ” ∆CAF ( g − g ) ⇒ = ⇔ AF = KF CF KF AF 93 cm c ) S AEF = d ) AE = AF ⇒ 1 1 + = + = = const 2 2 AE AJ AF AJ AD o o o o o o o Bài 10 a) cos70 (= sin 20 ) < sin 24 < sin 45 < cos35 ( = sin 55 ) < sin 78 b) tan16o ( = cot 74o ) < cot 57 o 76 ' < cot 30o < cot 24o < tan 80 o ( = cot10o ) o o o o o o Bài 11 a ) cos 20 < sin 65 (= cos 25 ) < cos 28 < sin 40 (= cos50 ) < cos88 b) cot 67 o18 '( = tan 22o 42 ') < cot 28o 36 '( = tan 61o 24 ') < tan 32o 48' < tan 56o 32 ' Bài 12 a ) cosα = b) cosα = 24 ; tan α = ; cot α = 24 24 5 ; tan α = ; cot α = 1 c ) cot α = ; cosα = ± ; sin α = ± 5 1 d )tan α = ; sin α = ± ; cosα = ± 10 10 Bài 13 tan α = ⇒ α ≈ 60o15' Bài 14 6, 28 cm Bài 15 a ) A = 2; b) B = 3sin α + sin α 4 2 2 2 Bài 16 a ) sin α + cos α = (sin α + cos α ) − 2sin α cos α = − 2sin α cos α b) sin α + cos 6α = (sin α + cos 2α )3 = −3sin α cos 2α (sin α + cos 2α ) c ) sin α − cos 4α = (sin α + cos 2α )(sin α − cos 2α ) = − 2cos 2α Bài 17 a) − cos x sin x = ⇔ (1 − cos x)(1 + cos x) = sin x ⇔ sin x + cos x = sin x + cos x b) VT = sin x + (1 + cos x) + cos x = = VP sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) c) Biến đổi tương tự câu a ... minh ABC tam giác vng Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C Bài Cho tam giác ABC vuông A Cho biết cosB = 0,8 Hãy tính tỉ số lượng giác góc C Bài Cho tam giác ABC vuông A,... Bài Cho tam giác ABC có AB = a 5; BC = a 3; AC = a a) b) Chứng minh ABC tam giác vng Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc A Bài Cho tam giác ABC vng A, tính tỉ số lượng giác. .. Bài Cho tam giác ABC vuông A,  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài Cho tam giác ABC vng A có BA = 1, cm; CA = 1, cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C Bài Cho tam giác ABC