Trên các cạnh AC và AB lần lượt lấy các điểm P và Q.. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ cắt PQ tại R.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011–2012
MƠN THI: TỐN
Ngày thi thứ nhì: 20 – 10 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (4 điểm)
Tìm tất hàm f :R→R thỏa mãn:
( )
( ) ( ) ( )
f f x +y =f x −y +4yf x với ∀x, y R∈
Bài 2: (4 điểm)
Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng:
2 2
2 2 2 2 2
ab bc ca a b c
a 2b c b 2c a c 2a b
+ +
+ + ≤
+ + + + + +
Bài 3: (4 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh AC AB lấy điểm P Q Gọi M, N, J trung điểm BP, CQ PQ Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ cắt PQ R Chứng minh OR vng góc với PQ
Bài 4: (4 điểm)
Cho dãy số (un) định
1
4 n
n
n n
4 u
5 u u
u 8u
+ ⎧ = ⎪⎪ ⎨
⎪ = ∀
⎪ − +
⎩ n N*∈
Hãy lập cơng thức tính số hạng tổng qt un theo n
Bài 5: (4 điểm)
Tìm tất số nguyên dương a, b cho:
(ab)2 – 4(a + b) bình phương số nguyên
HẾT
(2)ĐÁP ÁN Bài
( )
( ) ( ) ( )
f f x +y =f x −y +4yf x (1)
Thay x f (x y
2 −
= ) vào (1) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
x f x x f x
f f x f x
2
⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞
⎡ ⎤
= + −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f x
=
( ) ( )
f x f x⎡ x ⎤
⇔ ⎣ − ⎦
Suy f 0( )=0 Ta chứng minh
Nếu tồn a≠0 mà f a( )=0 f x( )=0 ∀x
Thật
Thay x 0= vào ( )1 ta f y( ) ( )= −f y
Thay x a= vào (1) ta f y( )=f a( 2−y)
Vậy f y( ) ( )= − =f y f a( 2−y) ∀ ∈y R⇒f f x( ( ))= −f( f x( ))=f a( 2+f x( ))
Thay y 0= vào (1) ta f f x( ( ))=f x( )2 x R∀ ∈ (2)
Thay y a= vào (1) ta f f x( ( ))=f f x( ( )+a2) ( )=f x2 +4a f x2 ( ) x R∀ ∈ (3)
Từ (2) (3) suy f x( )=0 ∀ ∈ (vì x R a 0≠ )
Vậy f x( )≡0 f x( )=x2 Bài 2:
Theo bdt Cauchy–Schwarz , ta có: 2 92 2 12 2 162 a +b +c +b ≥ a +2b +c2
⇒ 2 ab22 2 a 2 9ab22 2
a 2b c 16 a b c
⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟
+ + ⎝ + + ⎠
⇒ 2 ab22 2 a b c 9(ab22 bc2 ca )2
a 2b c 16 16(a b c )
+ + + +
≤ +
+ + + +
∑ 2
Để có bdt cho, ta cần chứng minh: 3(ab2 + bc2 + ca2 ) ≤ (a + b + c)(a2 + b2 + c2) (*)
(*) ⇔ b(a – b)2 + c(b – c)2 + a(c – a)2 ≥ (Đúng)
Bài 3:
¾ Ta có JM//AB JN//AC nên
n n
MJN =BAC ⇒ n nMRN =BAC
n n n
RMN =RJN =APQ
Do đó: ∆ APQ ~ ∆ RMN
K
T
H L
F
M
N J R E
O A
C Q
P
B
(3)¾ Vẽ BL//MR CL//NR H giao điểm CL PQ Ta có NR đường trung bình ∆QHC nên R trung điểm QH
Tachứng minh:
OQ = OH ⇔ PH/(O) = PQ/(O) ⇔ HL.HC = QA.QB (*)
¾ Vẽ hình bình hành BQPT KLHT Ta có: M trung điểm QT
nBQ=nAQP QJM=n=nRNM =nHCT
T
Do đó:
mà nABL ACL= n ⇒ n nKBT =PCT
Lại có: nBKT =BLC BAC TPCn =n=n Vậy ∆BKT ~ ∆CPT Do nAQP HCT=n QAP THCn=n nên ∆APQ ~ ∆HTC
Do ta có: HC HT TC
AQ = AP = PQ=
TC
TB;
TC PC PT BQ
TB = BK = KT = HL ⇒
HC BQ
AQ = HL
⇒ HC.HL = QA.QB ⇒ (*)
Vậy OH = OQ Suy OR vng góc với PQ
Bài : Ta có u1=4
5∈ (0; 1) Giả sử uk ∈ (0; 1) ,
4 k
k
k k
u u
u 8(1 u )
+ = + − ∈ (0; 1)
Vậy un ∈ (0; 1) ∀n ∈ N*
Đặt vn=
n
1
u ∀n∈N* Ta có
4 n
4
n n n
4 n n v v 1
v 8 8v 8v
v v + ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = = ∀ ⎪ − + − + ⎪⎩
n N*∈
⇒
4
n n n
5 v
4
v + 8v 8v ⎧ =
⎪ ⎨
⎪ = − + ∀ ∈
⎩ n N*
(I)
Ta chứng minh n ( 22 n 22 n 2)
1
v 2
2
− − −
= + (1) ∀n ∈N* quy nạp theo n
• Với n=1: (1) ⇔ ( 1)
1
v 2
2
−
= + = : Đúng
• Giả sử có k ( 22 k 22 k 2)
1
v 2
2
− − −
= + , ta chứng minh ( 22 k 22 k)
k
1
v 2
2
−
+ = +
Thật vậy, ta có ( k 2 k 2) ( k 2 k 2)
4
4 2 2
k k k
1
v 8v 8v 2 2
16
− − − − − −
+ = − + = + − + +1
( 22 k 22 k ) (2 22 k 22 k )
1
2 2 2 2
2
− − − − − −
= + + − + + + 1
( 22 k 22 k 1) (2 22 k 22 k 1) ( 22 k 22 k )
1
2 2 2 2 2
2
− − − − − − − − −
= + + + + − + + + 1
( 22 k 22 k ) ( 22 k 22 k 1) ( 22 k 22 k 1)
1
2 2 2 2 2 1+
2
− − − −
− − −
= + + + + + − + − 1( 22 k 22 k)
2
2
−
= +
Vậy (1) ∀n ∈N* ⇒ n 22 n 22 n
2 u
2 − 2−
=
+ − ∀n ∈N*
(4)Bài :
đặt (ab)2 – 4(a + b) = x2 (x ≥ 0) ⇒ x < ab a, b >
Nếu x = ab – : (ab)2 – 4(a + b) = (ab – 1)2 ⇒ –4 (a + b) = –2ab +
⇒ (a + b) = 2ab –
Vơ lý vế trái chẵn, vế phải lẻ
Nếu x ≤ ab – ⇒ (ab)2 – 4(a + b) = x2 ≤ (ab–2)2 ⇒ ab ≤ a + b +
Giả sử : a ≤ b
Nếu a ≥ : ab ≥ 3b ≥ a + b + b > a + b + : sai ⇒ a = a =
Nếu a =
b2 – 4(b + 1) = x2
⇔ (b – – x)(b – +x) =
Ta có b–2 –x , b– + x chẵn b – – x < b – +x Nên : b – – x = b – +x =
⇒ (a,b) = (1,5) Nếu a =
4b2 – 4(b + 2) = x2
⇔ (2b – – x)(2b – +x) =
Có khả : 2b – – x = 2b – + x = Hoặc 2b – – x = 2b – +x = ⇒ b = b = ⇒ (a,b) = (2,2) ; (a,b) = (2,3)
Kết luận :
(a,b) = (1,5) ; (5,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (3,2)
4