Theo tích chất phép nghịch đảo ta có M, I, O thẳng hàng.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012
MƠN THI: TỐN
Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình sau :
y x
2
2
x (y 1)
2x 9x
4x 18x 20 y
2x 9x
+
⎧ = +
⎪
⎨ − +
− + − + = +
⎪ − +
⎩
Bài 2: (4 điểm)
Cho hai đường tròn cắt A B Trên tia đối tia AB lấy điểm M Cát tuyến qua B cắt ( ( C D (B nằm C D) Đường thẳng MC cắt ( P khác C Đường thẳng MD cắt
(O1
1
O
) )
) )
)
(O2
2
O
1
O ( )O Q khác D Gọi O tâm 2
đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E giao điểm PB AC, F giao điểm QB AD Chứng minh MO vng góc với EF
Bài 3: (4 điểm)
Cho a, b, c số thực dương, chứng minh rằng:
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
a b+ +b c+ +c a+ ≥ +abc
Bài 4: (4 điểm)
Cho đa thức Giả sử P( có đủ 2012 nghiệm
thực Chứng minh nghiệm P( có nghiệm thoả
mãn
2012 2010
P(x) x= −mx +m (m 0)≠ x)
x) x0
0
x ≤
Bài 5: (4 điểm)
Cho số nguyên x, y Biết rằng: x2 – 2xy + y2 – 5x + 7y
x2 – 3xy + y2 + x – y chia hết cho 17 Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17 HẾT
(2)ĐÁP ÁN Bài
y x
x + (y 1) (1)
⎧ = +
2
2
2x 9x
4x 18x 20 y (2)
2x 9x
⎪
⎨ − + − + − + = +
⎪ − +
⎩ TXĐ : x 2;5 , y
2
⎡ ⎤
∈⎢ ⎥ ≥
⎣ ⎦ −1
Từ (2) , đặt
t 4x 18x 20 (x 2)(10 4x), t
= − + − = − − ≤ ≤ xét hàm số
f t( ) t 24 t 0;1
t
⎡ ⎤ = + + ∀ ∈ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( () ) 4 /
2 2
2 2
t 7t t
8t t 8t 16 8t
f t
t t t
+ + −
+ + −
= − = = >
+ + +
Suy f t( ) ( )≥f =2 Suy y 2+ ≥ ⇔ ≥ y
Ta có (1) ln(x) ln(y 1)
x y
+
⇔ =
+
Xét hàm số g t( ) ln(t) t
= với t 0>
( )
/
2
1 ln t g t
t −
= ; g t/( )= ⇔ = 0 t e
Suy g t( )đồng biến ( )0;e , g t nghịch biến ( ) (e;+∞ )
Do x 2;5 (0;e
⎡ ⎤
∈⎢ ⎥⊂
⎣ ⎦ ) suy
ln x ln
x ≥ (3)
Do y 3≥ suy ln(y 1) ln ln
y
+
≤ =
+ (4)
Từ (3) (4) ta suy hệ có nghiệm x 2; y 3= =
Thử lại thấy thỏa mãn
Bài
Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ, có EF trục đẳng phương đường tròn (I) (O)
⇒ EF ⊥ OI
Để chứng minh MO vng góc với EF ta chứng minh M, I, O thẳng hàng Có MP.MC MA.MB MQ.MD k= = =
Phép nghịch đảo cực M, phương tích k biến : C P
A B
(3)D Q
Đường trịn (ACD) khơng qua M Theo tích chất phép nghịch đảo ta có M, I, O thẳng hàng
O E
F P
Q
D A
B
O1 O2
M
C
Bài
1 1 a ab abc 1 a b(1 c)
a(b 1) abc abc a(b 1) abc a(b 1) b
⎛ + + + ⎞ ⎛ + + ⎞
∗ + = ⎜ ⎟= ⎜ + ⎟
+ + + ⎝ + ⎠ + ⎝ + + ⎠
1 1 b bc abc 1 b c(1 a)
b(c 1) abc abc b(c 1) abc b(c 1) c
⎛ + + + ⎞ ⎛ + +
∗ + = ⎜ ⎟= ⎜ +
+ + + ⎝ + ⎠ + ⎝ + +
⎞ ⎟ ⎠
1 1 c a(1
c(a 1) abc abc c(a 1) a
⎛ + + ⎞
∗ + = ⎜ + ⎟
+ + + ⎝ + + ⎠
b)
Cộng theo vế:
1 1
a(b 1) b(c 1) c(a 1) abc
1 b c(1 a) a b(1 c) c a(1 b)
1 abc b(c 1) c a(b 1) b c(a 1) a
1 abc
+ + +
+ + + +
⎛ + + + + + + ⎞
= ⎜ + + + + + ⎟
+ ⎝ + + + + + + ⎠
≥
+ i
⇒ đpcm Bài
Gọi x1, x2, , x2012 nghiệm P(x) ⇒ P(x) (x x )(x x ) (x x= − 1 − 2 − 2012)
(4)Ta có 2012
1 2012
(1 x )(1 x ) (1 x ) P(1) P( 1)
(1 x )(1 x ) (1 x )
− − − =
⎧
= − = ⇒ ⎨ + + + =
⎩
Suy 2 , từ ta có đpcm
1 2012
(x −1)(x −1) (x − =1)
Bài 5:
Ta có x2 – 3xy + 2y2 + x – y
= (x-y)(x-2y+1) chia hết cho 17 ⇒ x – y chia hết cho 17
Hoặc x – 2y + chia hết cho 17
x = y (mod 17) ⇒ x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y
≡ y2 –2y2 + y2 –5y +7y ≡ 2y (mod 17)
Nên x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y chia hết cho 17 ⇒ 2y y : chia hết cho 17
Mà x ≡ y (mod 17) ⇒ x chia hết cho 17 ⇒ xy - 12x +15y chia hết cho 17 x ≡ 2y - (mod 17)
⇒ x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y
≡ y2 –5y +6 (mod 17)
Và xy - 12x +15y ≡ 2(y2 –5y +6) (mod 17)
Nếu x2 – 2xy + y2 - 5x +7 chia hết cho 17 xy - 12x +15y