Bản chất của phép thế lượng giác nằm ở chỗ các biến số có mặt trong bài toán được xét như giá trị của các hàm lượng giác nào đó.. Trong đó các hàm số lượng giác cần được chọn để biểu t[r]
(1)Phép lượng giác
R.Alekseev, L.Kurlianchik (Kvant 2/1995)
Ta xét toán sau: “Giữa số thực ln tìm số x y cho
3 1
0
xy y x
” Gọi số cho a1, a2, …, a7 Với số thực a, tồn số thuộc khoảng (-/2, /2) cho a = tg() Giả sử a1 = tg(1), a2 = tg(2), …, a7 = tg(7) Trong số 1, 2, …, 7 tồn hai số có hiệu khơng vượt /6 (bạn thử nghĩ xem sao?) Giả sử hai số , > Khi
) ( ) ( ) (
) ( ) (
0
tg tg
tg tg
tg tg
Như số x = tg() y = tg() số cần tìm
Lời giải toán trở nên hiển nhiên sau ta chọn phép lượng giác thích hợp Bản chất phép lượng giác nằm chỗ biến số có mặt tốn xét giá trị hàm lượng giác Trong hàm số lượng giác cần chọn để biểu thức thu gọn tốt Bài viết nói phép lượng giác
Nếu x2 + y2 =
Nếu tốn có điều kiện x2 + y2 = phép x = sin, y = cos nhiều trường hợp tỏ hiệu
Bài tốn Giải hệ phương trình
) (
1
2 2
y xy
y x
Ta đặt x = sin, y = cos với < ta sin4 = Nghĩa 4 = /2 + k2 với k = 0, 1, 2, Từ dễ dàng tìm đáp số cuối
2 ,
2 ,
2 ,
2 ,
2 ,
2 ,
2 ,
2
Các bạn thấy phép « giải » toán nhanh gọn nào, cách giải tốn khơng sử dụng phép lượng giác phức tạp nhiều
Bài tập
1 Các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = Hỏi ad + bc bao nhiêu?
2 Trong số tất nghiệm hệ x2 + y2 = 4, z2 + t2 = 9, xt + yz = tìm nghiệm cho tổng x + z đạt giá trị lớn
(2)Ta chứng minh x, y, z số thực thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = tồn góc , , cho x = tg(/2), y =
tg(/2), z = tg(/2) + + = Thật vậy, đặt x = tg(/2), y = tg(/2), (- < , <)
Vì
y x
xy z
1 (chú ý x + y 0) nên
2 2
cotg tg
z Bây cần đặt
= - ( + )
Bài tốn Giải hệ phương trình
1
1
zx yz xy
z z y
y x
x
Vì
) ( ) ( ) (
3 z2 z y
y x
x
nên x, y, z có dấu, ngồi ra, (x, y, z) nghiệm của hệ (-x, -y, -z) nghiệm Như ta cần tìm nghiệm dương Đặt x = tg(/2), y = tg(/2), z = tg(/2) ( < , , <, + + = ), ta
5 sin
sin
sin
Từ định lý hàm số sin suy , , góc tam giác có độ dài cạnh tương ứng 3, 4, Tam giác tam giác vng có = /2, sin = 3/5, sin = 4/5 Vì tg(/2) = 1/3, tg(/2) = 1/2, tg(/2) = Như đáp số toán
, , , , ,
Bài tập
3 Giải hệ phương trình
2
2
2
1 1
2
1
1
z z y
y x
x
zx yz xy
4 Các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh
1
1 ) (
) ( ) (
) ( ) (
) (
2
2
2
2
2
2
2
z z y
y x
x z
z z y
y y x
x x
Bất đẳng thức
Chúng ta xem xét ví dụ sử dụng phép lượng giác để chứng minh số dạng bất đẳng thức
Bài toán a, b, c, d số dương Chứng minh bất đẳng thức
) )(
(a d b c
cd
ab
Viết lại bất đẳng thức dạng
a d
d c b
c c
b b d a
(3)Đặt 2
sin ,
sin
b c
b d
a a
(0 < , </2) Khi bất đẳng thức đưa dạng sin sin + cos cos 1, cos( - )
Như bạn thấy phép lượng giác giúp phá dấu thức đưa dạng đơn giản Trong ví dụ sử dụng phép lượng giác để đưa bất đẳng thức dạng đơn giản
Bài toán Cho a, b, c số dương, c số nhỏ chúng Chứng minh bất đẳng thức
ab c
b c a c
b c a ab b c a c
2 ) )( ( ) )(
(
Viết lại bất đẳng thức dạng
2
1
1
b c a
c b
c a
c b
c a c
Đặt )
4 , ( , sin ,
2
sin
b c a
c
, bất đẳng thức trở thành
sin2 + sin2 (sin+cos)(sin+cos) + (cos-sin)(cos-sin) hay
2sin( + )cos( - ) 2cos( - )
Chúng ta lưu ý vế phải bất đẳng thức
ab c
b c a c
b c
a )( ) ( )( )
(
là hệ đơn giản toán
Bài tập Cho a, b, c số dương, c số nhỏ Chứng minh bất đẳng thức
ab c
b c c a c ab b c a c
( ) ( )
Phương trình
Phép lượng giác cịn dùng để giải phương trình Ta xem xét hai ví dụ Bài tốn Giải phương trình
x x
x
1
Đặt x = cos, Ta sin = cos3, hay cos3 - cos(/2-) = Từ 2sin(/4 - 2)sin(+/4) =
Từ = /8 5/8 3/4
Vì
2
3 cos ,
2 2
) / cos(
5 cos ,
2 2
) / cos(
cos nên
tập hợp
2 ,
2 ,
2
(4)12 35
2
x x x
Chú ý x > Đặt x = 1/sin, < < /2 Phương trình viết lại thành
12
35 cos
1 sin
1
Đặt sin + cos = t + 2sincos = t2, suy sincos = (t2-1)/2 Thay vào ta
7 / 5
/
35 24 35 12 35
2
2
t t t t
t t
Vì t = sin + cos > nên ta loại nghiệm thứ hai Xét t = 7/5 từ ta tính sin.cos = 12/25 Như sin, cos nghiệm phương trình
X2 – (7/5)X + 12/25 =
Từ ta tính sin = 3/5 sin = 4/5 Tương ứng ta nghiệm phương trình x = 5/3 x = 5/4
Bài tập Giải phương trình 2
| |
1
x x
Hệ phương trình
Phép lượng giác thường có ích phép giải hệ phương trình hốn vị vịng quanh Ta xem xét ví dụ
Bài tốn Hệ phương trình sau có nghiệm?
3 3
4
4
4
x x z
z z y
y y x
Ta viết lại hệ dạng
x x z
z z y
y y x
3
3
3
3 3
Ta chứng minh tất số x, y, z theo trị tuyệt đối không vượt Thật vậy, giả sử x số lớn số x > ta có z = 4x3 – 3x > x Ta đến mâu thuẫn Nếu giả sử x số nhỏ x < - ta có z = 4x3 – 3x < x, mâu thuẫn Như -1 x, y, z ta thực phép x = cos (0 ) Khi z = cos3, y = cos9, x = cos27 Bây rõ ràng số nghiệm hệ phương trình ban đầu số nghiệm phương trình cos = cos27 [0, ] Dễ dàng thấy số nghiệm 27 :
13 , , , , 14 ;
13 , , , , ,
13
k k k k
(5)
,
,
2 2
x x z z
z z y y
y y x x
Các dãy truy hồi
Cuối ta đến phần cuối phần có nội dung sâu sắc tham quan đến phép lượng giác Ta xem xét hai tốn khó mà đưa dãy truy hồi Lời giải hệ thức truy hồi thu nhờ vào phép lượng giác
Bài toán a1, a2, …, an số thực cho a1
+ a2
+ … + an
= Tìm giá trị lớn biểu thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an
Ta xét số C cho bất đẳng thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an C(a1
+ a2
+ … + an
) với số thực a1, a2, …, an Số C nhỏ số đáp số cần tìm Thứ nhất, số C cần tìm khơng vượt q 1,
a1
+ a2
+ … + an
– (a1a2 + a2a3 + … + an-1an) = (1/2)(a1
+ (a1-a2)
+ … + (an-1-an)
+ an
2 )
Ta biến đổi biểu thức C(a1
+ a2
+ … + an
) – (a1a2 + a2a3 + … + an-1an) cách liên tiếp tách bình phương Ta thu biểu thức có dạng
2
1
1
3 2 2
2 1
2
2
1
n n n
n n
n a p a
p a
p a
p a p a
p a
p
Dễ thấy p1 = C
k k
p C p
4
1
với k = 1, 2, …, n-1 Biểu thức thu không âm
với a1, a2, …, an tất số p1, p2, …, pn không âm Như tốn đưa việc tìm số C cho tất số hạng dãy số p1, p2, …, pn khơng âm Vì < C nên ta đặt C = cos, < /2 Khi
2 sin
3 sin
sin
sin sin cos cos
4
1 cos cos
1 cos
2
2
p Tiếp theo
3 sin
4 sin
sin
2 sin sin cos sin
2 sin cos
3
p
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh
k k pk
sin
) sin(
k = 1, 2, …, n
Như p1, p2, …, pn không âm sin, sin2, …, sin(n+1) không âm Như
1
n
giá trị C cần tìm
1 cos
n
(6), , , ,
1 , ,
1
3
n n n
x x x x x x x x
B số lớn số Chứng minh giá trị lớn A giá trị nhỏ B tìm giá trị
Đầu tiên ta xét tình
1
1
1
3
n n n
x x x x
x x x
x
Khi số x1, x2, …, xn thoả mãn hệ thức truy hồi
k k
x x
x 1 1 , k = 1, 2, …, n-1 Hệ
thức tương tự ta gặp ví dụ trước Hệ thức giải phép lượng giác Đầu tiên ta chứng minh x1 < Thật vậy, x1 ≥ ta có x2 ≥ 1, x3 ≥ 1, …, xn ≥ lúc đẳng thức x1 = 1/xn khơng thể xảy
Bây ta đặt x1 = 2cos ( < < /2) Tương tự toán trước, quy nạp dễ dàng chứng minh
k k xk
sin ) sin(
(1 ≤ k ≤ n)
Vì x1 = 1/xn nên từ ta có
) sin(
sin cos
2
n n
Từ sin(n+2) = 0, tức
n
Bây ta chứng minh giá trị lớn A giá trị nhỏ B
2 cos
n
Ta cần chứng minh bất đẳng thức
2 cos
2 B
n
A
Giả sử tất số
n n n
x x x x x x x
x , , , , ,
1
3
lớn
2 cos
n
Trong trường hợp ta có bất đẳng thức sau
2 sin
2 ) ( sin , ,
2 sin
2 sin ,
2 sin
2 sin
3
n n n n
x
n n x
n n
x n
Nhưng
2 cos
n xn
Mâu thuẫn
Như ta chứng minh bất đẳng thức
2 cos
n
A Bất đẳng thức B
n cos
2
chứng minh hoàn toàn tương tự
Bài tập Giả sử a1, a2, …, an số thực cho a1 = 0, a1
+ a2
+ … + an
= Tìm giá trị nhỏ biểu thức (a1-a2)
2
+ (a2-a3)
+ … + (an-1-an)
(7)
trường câu hỏi kinh nghiệm cá nhân bạn, làm giàu cách giải toán Để kết thúc viết đề xuất số tập, coi “vốn ban đầu” bạn
Bài tập
9 Cho a > b > Chứng minh bất đẳng thức
a b ab b
a2
10 Cho a, b, c, d số thực dương, d số lớn Chứng minh
) )( ( ) )( ( ) )(
(d b d c b d a d c c d a d b d3 abc
a
11 Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh
) )( )( (
4
1
1 2 2 2
z y
x
xyz z
z y
y x
x
12 Phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn [0 ; 1] 8x(1-x2)(1-y2)(1-z2) = ?
13 Giải phương trình
2
1 2
1x x x x
14 Dãy số hn cho
2 1
h
2
1
1
n n
h
h với n Chứng minh h1 + h2 + … + hn < 1,03 với n
15 Tồn hay không tập hợp A gồm 100 số thực thỏa mãn điều kiện : Nếu x thuộc A 2x2 – thuộc A
16 Giả sử
| | )
, (
2
y x
y x y
x
Chứng minh với a, b, c thực ta có (a, c) ≤ (a, b) + (b, c)
17 Dãy số xn cho
2
2 ,
2 1
1 n
x x x
x
n n
n
Chứng minh
a) xn ≠ n ;