Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành một tích đôi một các số nguyên t ố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì.. Trường [r]
(1)Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN LỚP TẬP
(2)
PHẦN ĐẠI SỐ
Chương I
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC §1 NHÂN ĐA THỨC
Ví dụ Tính giá trị biểu thức
4
17 17 17 20
A=x − x + x − x+ x=16
Giải: Cách Chú ý x=16nên x−16=0, ta biến đổi để biểu thức A chứa
nhiều biểu thức dạng x−16
4 3 2
16 16 16 16
A=x − x −x + x +x − x− +x +
=x3(x−16)−x2(x−16) (+x x−16) (− −x 16)+ =4
Cách Trong biểu tức A, ta thay số 17 x+1, 20 thay x+4,
( ) ( ) ( )
4
1 1
A=x −x x+ +x x+ −x x+ + +x
4 3 2
4
x x x x x x x x
= − − + + − − + + =
Ví dụ Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết cộng ba tích hai ba số
ấy, ta 242
Giải: Gọi x−1, ,x x+1là ba số tự nhiên liên tiếp, ta có:
( 1) ( 1) ( 1)( 1) 242
x x− +x x+ + x− x+ =
Sau rút gọn ta
3x − =1 242nên
81 x =
Do x số tự nhiên nên x=9 Ba số tự nhiên phải tìm 8;9;10
Bài tập
Nhân đơn thức với đa thức 1 Thực phép tính:
a) ( ) ( )
3xn 6xn− + −1 2xn 9xn− −1
b)
5n+ −4.5n
c) 3( )
6 −4 −1
2 Tìm x, biết:
a) 18 5( − x)−12 3( x−7)=15 2( x−16) (−6 x+14)
b) 3( x+ −5) (4 2x− =3) 5x+3 2( x+12)+1
c) 5( x− −8) (3 4x− =5) (4 3x− +4) 11
(3)d) 5x−3 4{ x−2 4 x−3 5( x−2)}=182
3 Tính giá trị biểu thức:
a)
30 31
A=x − x − x+ x=31
b)
15 16 29 13
B=x − x + x − x + x 14x=
c) 14 13 12 11
10 10 10 10 10 10
C=x − x + x − x + + x − x+ x=9
4 Tính giá trị biểu thức sau cách thay số cách hợp lí:
1 1 650 4
2
315 651 105 651 315.651 105
A= − − +
Nhân đa thức với đa thức 5 Thực phép tính:
a) ( )( )
1
x− x +x +x +x + +x
b) ( )( )
1
x+ x −x +x −x +x − +x
6 Tìm x, biết:
a) ( )( )
1
x+ x −x +x −x +x − +x
b) ( )( )
1
x+ x −x +x −x +x − +x
c) 2( x−1 3)( x− −1) (2x−3 9)( x− =1)
7 Cho a b c+ + =0 Chứng minh M = +N Pvới: a) M =a a b( + )(a+c)
b) N =b b c b( + )( +a) c) P=c c( +a)(c b+ )
8 Chứng minh đẳng thức:
a) ( )( ) ( ) x+a x b+ =x + a b x+ +ab
b) ( )( )( ) ( ) ( )
x+a x b+ x c+ =x + a b c x+ + + ab bc ca x+ + +abc
9 Cho a+ + =b c 2p Chứng minh đẳng thức:
( )
2 2
2bc b+ + −c a =4p p a−
10 Xét ví dụ: 53.57=3021 71.78=5616
Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số có hai chữ số, chữ số hàng chục nhau, cịn chữ số hàng đơn vị có tổng 10
11 Cho biểu thức
( )( ) ( )( ) ( )( )
M = x a− x b− + x b− x c− + x c− x a− +x
Tính M theo a b c, , biết 1
2 2
(4)12 Cho dãy số 1, 3, 6,10,15, , ( 1), n n+
Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số phương
13 Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh (ab− 2 3)
14* Số 50
3 +1có tích hai số tự nhiên liên tiếp khơng?
15* a) Thực phép tính:
( )( 23 21 19 17 14 10 )
2 2 2 2 2
A= + + x − + − + − + − +
b) Số 32
2 +1có số ngun tố khơng?
Ví dụ: 42
Bài tập: 225,227,228,230 đến 233
§2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Thực phép nhân đa thức, ta cá đẳng thức sau:
1 ( )2 2
2 a b+ =a + ab b+
2 ( )2 2
2 a b− =a − ab b+
3 ( )( ) 2
a b+ a b− =a −b
4 ( )3 2
3
a b+ =a + a b+ ab +b
( )3 3 3 ( )
3
a b+ =a + +b ab a b+
5 ( )3 2
3
a b− =a − a b+ ab −b
( )3 3 3 ( )
3
a b− =a − −b ab a b−
6 ( )( 2) 3
a b+ a −ab b+ =a +b
7 ( )( 2) 3
a b− a +ab b+ =a −b
Ta có:
( )2 2 2 2
2 2
a b c+ + =a +b +c + ab+ ac+ bc
Tổng quát đẳng thức , ta có đẳng thức:
8 ( )( 2 1)
n n n n n n n
a −b = a b− a − +a − b+a −b + +ab − +b − với số nguyên dương n Tổng quát đẳng thức 6, ta có đẳng thức:
9 ( )( 2 1)
n n n n n n n
a +b = a b+ a − −a − b+a −b − −ab − +b − với số lẻ n
(5)Tổng quát đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta có cơng thức Niu-tơn (xem chun đề Tính chia hết số nguyên)
Ví dụ Chứng minh số 3599 viết dạng tích hai số tự nhiên khác
Giải: ( )( )
3599=3600 60− = − =1 60 60 1− + =61.59
Ví dụ Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng bình phương
của hai biểu thức:
( )2 ( )2 ( )2
2
2
x + x+ + x+ + x+
Giải: ( )2 ( )2 ( )2
2
x + x+ + x+ + x+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2
2 4
2 12 12 24 36
10 40 50
10 25 30 25
5
x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x
x x
= + + + + + + + + +
= + + + + + + + + +
= + +
= + + + + +
= + + +
Ví dụ Cho x+ + =y z
xy+yz+zx=0
Chứng minh x= =y z
Giải: Ta có ( )2 2 ( )
2
x+ +y z =x +y +z + xy+yz+zx
Suy 2
0=x +y +z +2.0
Hay 2
0=x +y +z
Vậy x= = =y z
Ví dụ
a) 2 2 2
1 99 100
A= − + − + − − +
b) 2 2 ( )
1 n
A= − + − + − − n
Giải:
a) ( 2) ( 2) ( 2)
2 100 99
(6)
(2 1)( ) (4 3 4)( ) (100 99 99 100)( )
1 99 100 100.101
5050
= − + + − + + + − +
= + + + + + +
= =
b) Xét hai trường hợp:
Nếu n chẳn ( 2) ( 2) ( )2
2
A= − + − + +n − −n
( )
( )
1
1
n n
n n
= + + + + + − +
+ =
Nếu n lẻ A=(22−12) (+ 42−32)+ + (n−1) (2− −n 2)2−n2
( )
( ) ( )
2
1
1
2
n n
n n n n
n
= + + + + + − −
− +
= − = −
Chú ý: Hai kết viết chung cơng thức
( ) (1 1)
n n n+
−
Ví dụ Cho x+ = +y a b ( )1
2 2
x +y =a +b ( )2
Chứng minh 3 3
x +y =a +b
Giải: Ta có: 3 ( )( 2)
x +y = x+y x −xy+y
Ví dụ Cho a+ =b m a b, − =n Tính ab 3
a −b theo m n Giải:
Cách Từ a+ =b m a b, − =n, ta tính ,
2
m n m n
b= − a= +
Do 2
2
m n m n m n
ab= − + = −
( ) (3 )3
3
3
2
m n m n
m n m n
a −b = + − − = + − −
(7)Rút gọn biểu thức trên, ta
2
3 m n+n
Cách Ta có
( ) (2 )2 2
4ab= a b+ − a b− =m −n nên
2
4
m n
ab= −
Ta có a3−b3 =(a b a− )( 2+ab b+ 2)=(a b− ) ( a b+ )2−ab
( )
2
2 2
2 3
4 4
n m n
m n m n n
n m − + +
= − = =
Bài tập
16 Tính giá trị biểu thức:
a)
2
2
63 47 215 105
− −
b)
2
2
437 363 537 463
− −
17 So sánh 2
26 24
A= −
27 25 B= −
18 Tìm x, biết: 4(x+1) (2+ 2x 1− )2−8(x−1)(x+ =1) 11
19 Rút gọn biểu thức
a) 2x 2x-1( )2−3x(x+3)(x− −3) 4x(x+1 ;)2 b) (a b c− + ) (2− −b c)2+2ab−2a ;c
c) (3x 1+ )2−2 3x 3x( + )( + +5) (3x+5 ;)2 d) ( )( )( )( )( 16 )( 32 )
3 3+ +1 +1 +1 +1 +1 ;
e) (a b c+ − ) (2+ a b c− + )2−2(b c− )2;
g) (a b c+ + ) (2+ a b c− − ) (2+ − −b c a) (2+ − −c a b)2;
h) (a b c+ + +d) (2+ a b c+ − −d) (2+ a+ − −c b d) (2+ a+ − −d b c)2
20 Cho x+ =y Tính giá trị biểu thức:
2
(8)21 Cho 2
a +b +c =m Tính giá trị biểu thức sau theo m:
( ) (2 ) (2 )2
2a 2 2 2a
A= + b c− + b+ c−a + c+ −b
22 Hãy viết số sau dạng tích hai số tự nhiên khác :
a) 899; b) 9991;
23 Chứng minh hiệu sau số gồm toàn chữ số nhau:
2
7778 −2223
24 Chứng minh đẳng thức:
a) ( )2 2 ( ) (2 ) (2 )2
; a b c+ + +a +b +c = a b+ + +b c + +c a b) 4 ( )4 ( 2)2
2
x +y + x+y = x +xy+y
25 Cho 2
4
a −b = c Chứng minh đẳng thức:
( )( ) ( )2
5a−3b+8c 5a−3b−8c = 3a−5b
26 Chứng minh ( 2)( 2) ( )2 ax
a +b x +y = +by với x y, khác a b x = y
27 Chứng minh ( 2 2)( 2 2) ( )2
ax z
a +b +c x +y +z = +by+c với x y z, , khác
a b c x = =y z
28 Cho ( )2 ( 2)
2
a b+ = a +b Chứng minh rằng: a=b
29 Chứng minh a= =b c.Nếu có điều sau: a) 2
a +b +c =ab bc+ +ca b) ( )2 ( 2 2)
3 ;
a b c+ + = a +b +c c) (a b c+ + )2=3(ab bc ca+ + );
30 Hãy viết biểu thức sau dạng tổng ba bình phương:
a) ( )2 2
; a b c+ + +a +b +c
b) 2(a b c b− )( − +) (2 b a− )(c a− ) (+2 b c− )(a c− )
31 Tính giá trị biểu thức 4
a +b +c , biết a b c+ + =0 và: a) 2
a +b +c =2; b) 2
a +b +c =1
(9)32 Cho a b c+ + =0 Chứng minh 4
a +b +c biểu thức: a) ( 2 2 2)
2 a b +b c +c a ; b) 2(ab bc+ +ca)2;
c) ( )
2 2
2 a +b +c
33 Chứng minh biểu thức sau ln ln có giá trị dương với giá trị biến:
a)
9x −6x+2; b)
1;
x + +x c)
2x +2x 1.+
34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a)
3x 5;
A=x − + b) B=(2x 1− ) (2+ x+2 )2
35 Tìm giá trị lớn biểu thức:
a)
4 2x;
A= −x + b)
4x
B= −x
36 Chứng minh rằng:
a) Nếu p
8
p + số nguyên tố
2
p + số nguyên tố
b) Nếu p
8p +1 số nguyên tố 2p+1 số nguyên tố
37 Chứng minh số sau hợp số:
a) 999 991; b) 000 027
38 Thực phép tính:
a) (x−2)3−x x( −1)(x+ +1) 6x(x−3 ;) b) ( )( )( )( )
2 2x 2x
x− x − + x+ x + +
39 Tìm x, biết:
a) ( )( ) ( )( )
3 3x 2 1;
x− x + + +x x+ −x = b) (x+1) (3− x−1)3−6(x−1)2 = −10
40 Rút gọn biểu thức:
a) (a b c+ + ) (3− + −b c a) (3− a+ −c b) (3− a b c+ − )3; b) (a b+ ) (3+ +b c) (3+ +c a)3−3(a b b c+ )( + )(c+a)
(10)a) ( )3 3 ( )( )( )
3
a b c+ + −a − −b c = a b b c+ + c+a
b) 3 ( )( 2 )
3a
a + + −b c bc= a b c+ + a +b +c −ab bc ca− −
42 Cho a b c+ + =0 Chứng minh 3
3a a +b +c = bc
43 Cho x+ =y a xy=b Tính giá trị biểu thức sau theo a b: a) 2
x +y ; b) 3
x +y ; c) 4
x +y ; d) 5
x +y ;
44 a) Cho x+ =y Tính giá trị biểu thức 3
x +y +3x y b) Cho x− =y Tính giá trị biểu thức 3
x −y −3x y
45 Cho a b+ =1 Tính giá trị biểu thức:
( ) ( )
3 2 2
3a 6a
M =a + +b b a +b + b a b+
46 a) Cho x+ =y 2và 2
10
x +y = Tính giá trị biểu thức 3
x +y b) Cho x+ =y avà 2
x +y =b Tính giá trị biểu thức 3
x +y theo a b
47 Chứng minh rằng:
a) Nếu số n tổng hai số phương 2n tổng hai số phương b) Nếu số 2n tổng hai số phương n tổng hai số phương
c) Nếu số n tổng hai số phương
n tổng hai số phương
d) Nếu số m nđều tổng hai số phương tích mn tổng hai
số phương
48 Mỗi số sau bình phương số tự nhiên nào?
a) 99 00 25;
n n
A= b) 99 98 00 01;
n n
B=
c) 44 488 89;
n n
C= d) 11 122 5.
n n
D=
49 Chứng minh biểu thức sau số phương:
a)
2
11 22
n n
A= − ; b)
2
11 44
n n
B= + +
50 a) Cho
1 11 1; 100 05
n n
a b
−
= = Chứng minh ab+1 số phương
b) Cho dãy số có số hạng đầu 16, số hạng sau số tạo thành cách viết chèn số 15 vào số hạng liền trước:
(11)16; 1156; 111556;
Chứng minh số hạng dãy số phương
51 Chứng minh ab+1 số phương với 11 12; 11 14.
n n
a= b=
52 Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab+4 số phương
53 Cho alà số gồm 2n chữ số , b số gồm n+1 chữ số 1, c số gồm n chữ số Chứng minh a+ + +b c số phương
54 Chứng minh biểu thức sau không lập phương số tự nhiên:
150 50
10 +5.10 +1
55 Chứng minh tích ba số nguyên dương liên tiếp không lập phương số tự
nhiên
56 Chứng minh số
2
11 33 300
3 n n n
A= −
là số lập phương số tự nhiên
57 Chia 27 quả cân có khối lượng 10, 20, 30, , 270 gam thành ba nhóm có khối lượng
58* Chia 18 quả cân có khối lượng 2 2
1 ; ; ; ;18 gam thành ba nhóm có khối lượng
59* Chia 27quả cân có khối lượng 2 2
1 ; ; ; ; 27 gam thành ba nhóm có khối lượng
Ví dụ: 40; 41; 43 đến 45; 47; đến 49
Bài tập: 192 đến 194; 196; 202; 205; 208 đến 214; 216; 218 đến 221; 229; 234 đến 258
3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thường dùng phương pháp: - Đặt nhân tử chung;
- Dùng đẳng thức đáng nhớ;
- Nhóm hạng tử cách thích hợp nhằm làm xuất dạng đẳng thức xuất nhân tử chung
Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta dùng phương phác khác Xem chuyên đề Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
(12)4
x +x +2x + +x
Giải: ( ) ( )
x +x +2x + + =x x +2x + +1 x +x
( 2 ) (2 2 ) ( 2 )( 2 )
1 1
x x x x x x
= + + + = + + +
Ví dụ 10: Cho a b c+ + =0 Rút gọn biểu thức:
( )
3 2
M =a + +b c a +b −abc
Giải: 3 ( 2) ( ) ( 2)
M =a + +b c a +b −abc= a +a c + b +cb −abc
( ) ( ) ( )
2 2
( )
a a c b b c abc a b b a abc
= + + + − = − + − −
( )
ab a b c
= − + + =
Ví dụ 11:
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3
3 .
a +b +c − abc
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử cách áp dụng câu a): (x - y) (3+ y - z) (3+ z - x)3
Giải:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
3
3 3 2
3 3
2 2
2 2
2 2
) 3 3 3 3
3
3
2 3
a a b c abc a b a b ab c abc
a b c ab a b c
a b c a b c a b c ab a b c
a b c a ab b ac bc c ab
a b c a b c ab bc ac
+ + − = + − − + −
= + + − + +
= + + + − + + − + +
= + + + + − − + −
= + + + + − − −
b) Đặt x− =y a y, − =z b z, − =x c a+ + =b c 0
Do theo câu a) ta có 3 3 3
3 0 3
a +b + −c abc= ⇒a +b +c = abc
( ) (3 ) (3 )3 ( )( )( )
3
x y y z z x x y y z z x
⇒ − + − + − = − − −
Cần nhớ kết câu a) để vận dụng vào giải toán
Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(13)( )3 3 3 3
) ;
a a+ +b c −a − −b c
( ) (3 ) (3 ) (3 )3
)8 .
b x+ +y z − x+y − y+z − z+x
Giải: a) Áp dụng nhiều lần công thức (x+ y)3 =x3+ y3 +3xy x( + y), ta có:
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
3
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3
2 3
3 3
3 3 3
a b c a b c a b c a b c
a b c c a b a b c a b c
a b ab a b c c a b a b c a b c
a b ab ac bc c
a b a b c c b c
a b b c a c
+ + − − − = + + − − −
= + + + + + + − − −
= + + + + + + + + − − −
= + + + +
= + + + +
= + + +
b) Đặt x+ =y a y, + =z b z, + =x c a+ + =b c 2(x+ +y z). Đa thức cho có dạng
( )3 3 3 3
.
a+ +b c −a − −b c
Áp dụng kết câu a) đa thức cho bằng:
( )( )( ) ( )( )( )
3 a+b b+c c+a =3 x+2y+z y+2z+x z+2x+ y
Chú ý: Cần nhớ kết câu a) để vận dụng giải tốn
Ví dụ 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P=x2(y−z)+ y2(z−x)+z2(x−y).
Giải: Cách Khai triển hai hạng tử cuối nhóm hạng tử làm xuất nhân tử chung
y−z
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
2 2
2
P x y z y z xy xz yz
x y z yz y z x y z
y z x yz xy xz
y z x x y z x y
y z x y x z
= − + − + −
= − + − − −
= − + − −
= − − − −
= − − −
(14)( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
2 2
2 2
P x y z y y z x y z x y
y z x y x y y z
y z x y x y x y y z y z
x y y z x y y z
x y y z x z
= − − − + − + −
= − − − − −
= − − + − − − +
= − − + − −
= − − −
Cách 3: xem ví dụ 37
Ví dụ 14: xét đẳng thức (x+1)3 =x3+3x2 +3x+1
Lần lượt cho xbằng 1, 2,3, , n cộng vế n đẳng thức để tính giá trị biểu thức:
S = +12 22 +32 + +n2.
Giải: Từ đẳng thức cho ta có:
( )
3
3
3 3 2
2 1 3.1 3.1 1 3 2 3.2 3.2 1
1 3. 3 1
n n n n
= + + +
= + + +
+ = + + +
Cộng vế nđẳng thức rút gọn, ta
( )3 3 ( 2 2 2) ( )
1 1 3 1 2 3
n+ = + + + +n + + + +n +n
Do đó:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
3
2 2
2 2
3 1
3 1 2 1 1
2
3 1
1 1 1 1 1 2 1
2 2 2
n n
n n n
n n
n n n n n n n
+
+ + + = + − − +
= + + − − = + + = + +
Vậy 1 ( 1 2)( 1) 6
S = n n+ n+
Bài tập
60 Phân tích thành nhân tử:
( ) (2 )2
) 1 ;
a ab− + a+b b x) +2x2 +2x+1
(15)3
) 4 12 27
c x − x + x− d x) −2x3 +2x−1
4
) 2 2 2 1
e x + x + x + x+
61 Phân tích thành nhân tử:
2
) 2 4 4
a x − x− y − y b x) +2x3−4x−4
( )
2 2
) 1 4 4
c x −x − − x d) 2( + x)(1 2− x) (−x x+2)(x−2 ;)
2 2
) .
e x + y −x y +xy− −x y
62 Chứng minh 1993−199chia hết cho 200
63 Tính giá trị biểu thức sau, biết x3 − =x 6 :
A=x6 −2x4 +x3 +x2 −x.
64 Phân tích thành nhân tử:
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
) ;
a a b +c +bc +b c +a +ca +c a +b +ab
( )( )
) ;
b a+ +b c ab+bc+ca −abc
( )3 ( )3
) 2 2 .
c a a+ b −b a+b
65 Phân tích thành nhân tử:
( ) ( ) ( )
) ;
a ab a+b −bc b+c +ac a−c
( 2) ( 2) ( 2)
) 2 ;
b a b +c +b c +a +c a +b + abc
( )( 2) ( )( 2) ( )( 2)
) ;
c a+b a −b + b+c b −c + c+a c −a
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
) 1
d a c−b +b a−c +c b−a +abc abc−
66* Phân tích thành nhân tử:
( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 )
) ;
a a b+c b− +c b c+a c−a +c a+b a−b
( )3 ( )3 ( )3
) ;
b a b−c +b c−a +c a−b
( ) ( ) ( )
2 2 2
) ;
(16)( 2) ( 2) ( 2) 3
) ;
d a b +c +b c +a +c a +b − abc−a − −b c
( ) ( ) ( )
4 4
)
e a b c− +b c a− +c a b−
67 Phân tích nhân tử:
( ) (3 ) (3 ) (3 )3
)
a a b c+ + − a b c+ − − + −b c a − + −c a b
( ) ( )
)
b abc− ab bc ca+ + + a b c+ + −
68 Chứng minh ba số a b c, , tồn hai số nhau, nếu: 2( ) 2( ) 2( )
0 a b c− +b c a− +c a b− =
69 Chứng minh 2
2
a +b = ab a=b
70* Chứng minh 3
3
a +b +c = abc a b c, , số dương a= =b c
71* Chứng minh 4 4
4
a +b +c +d = abcd a b c d, , , số dương
a= = =b c d
72 Chứng minh m= + +a b cthì
( )( )( ) ( ) (2 ) (2 )2
am bc bm+ +ac cm+ab = a b+ b c+ c+a
73 Cho
2 2
1, 1,
a +b = c +d = ac bd+ =
Chứng minh ab cd+ =0
74 Xét hằng đẳng thức ( )
2 2
1
x+ =x + x+
Lần lượt cho x 1, 2, 3, , n cộng vế n đẳng thức để tính giá trị biểu thức 1
S = + + + +n
75*.Bằng phương pháp tương tự ví dụ 14 tập 74, tính giá trị biểu thức
3 3
3
S = + + + +n
ví dụ 26 đến 39
Bài tập: 166 đến 191, 195, 197 đến 201, 2013, 204, 206, 207, 215, 217, 222, đến 224, 226
(17)⸹ CHIA ĐA THỨC
Đa thức A x( )gọi chia hết cho B x( ) khác tồn đa thức Q x( ) cho
( ) ( ) ( )
A x =B x Q x
Người ta chứng minh rằng: Với cặp đa thức A x( ) B x( )
( )
B x ≠ , tồn cặp đa thức Q x( ) R x( ) cho A x( )=Q x B x( ) ( ) +R x( )
Trong R x( )=0 bậc R x( ) nhỏ bậc B x( )
Nếu R x( )=0 A x( ) chia hết cho B x( ) Nếu R x( )≠0 A x( ) khơng chia hết cho B x( ), Q x( ) thương R x( ) dư phép chia A x( ) cho B x( )
Ví dụ 15: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:
3 n n : n
A= x − y − x + y B= x y
Tìm thương A B: trường hợp
Giải: Điều kiện để A chia hết cho Blà:
1
1
4
6
4 n
n n
n
n n
n − ≥
+ ≥ ≥
⇔ ⇔ =
≥ ≤
≥
Vậy với n=4 đa thức A chia hết cho đơn thức B Khi đó:
( ) ( 4)
: :
2
A B= x y − x y x y = y − x
Ví dụ 16 Xác định số hữu tỉ avà b để đa thức 𝑥3+ 𝑎𝑥 + 𝑏 chia hết cho đa thức 𝑥2+ 𝑥 −
Giải: Cách Đặt tính chia:
Để chia hết đa thức dư phải với giá trị x nên
3
2
a a
b b
+ = = −
⇔
− = =
Vậy với a= −3;b=2
x −ax+b chia hết cho
2 x + −x
Cách (Phương pháp hệ số bất định)
Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc
:
(18)( )( )
3
2 x +ax b+ = x + −x x+c
nên
( ) ( )
3
1 2
x +ax b+ =x + +c x + −c x− c Hai đa thức nên
1
2
2
c c
c a a
c b b
+ = = − − = ⇔ = − − = =
Vậy với a= −3;b=2
x −ax+b chia hết cho
2
x + −x , thương x−1
Cách (Phương pháp xét giá trị riêng)
Gọi thương chia
x −ax+b cho
2
x + −x Q x( ), ta có
( )( ) ( )
3
1
x +ax b+ = x− x+ Q x Vì đẳng thức với x nên cho x=1,x= −2, ta
1
8 2
a b a b a
a b a b b
+ + = + = − = −
⇔ ⇔
− − + = − + = =
Vậy với a= −3;b=2
x −ax+b chia hết cho
2 x + −x
Bài tập Chia đơn thức cho đơn thức
76 Thực phép tính
a) 12
8 : ; b)
27 : ; c)
15 3 10
9 25 50
⋅ ⋅
⋅
77 Chứng minh biểu thức sau không âm với giá trị biến
( 6) ( 2)
15 :
A= − x y − xy
78 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến y
(x≠0;y≠0)
( )( )
2
2
: 1
3
B= x y − xy+ x y− y+
79 Tìm số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B
1
4 n ; n
A= x + y B= x y −
Chia đa thức cho đơn thức 80 Thực phép tính
a) 4 2 2 :
2a x 3ax 3ax 3ax
+ − −
;
b) ( ) ( ) ( )
4 12 :
4x x x x x
− + − − − +
81 Thực phép tính tìm giá trị nhỏ biểu thức
(19)( 2 ) ( ) ( 4) ( )2
9 : :
A= xy − x y − xy + x y+ x x
82 Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B
1
7 n
A= x − y − x y ;
5 n
B= x y
Chia đa thức cho đa thức 83 Rút gọn biểu thức
( 3 3) ( 2 2) ( ) (2 )
2 :
x y x y x y x y
+ − − + + +
84 Chia đa thức:
a) ( ) ( )
3x −2x −2x +4x−8 : x −2 ;
b) ( ) ( )
2x −26x−24 : x +4x+3
c) ( ) ( )
7 :
x − x+ x+
85 Xác định số a cho a)
4x −6x+a chia hết cho x−3; b)
2x + +x a chia hết cho x+3; c)
4
x +ax − chia hết cho
4
x + x+
86 Xác định số a cho a)
10x −7x+a chia hết cho 2x−3; b)
2x +ax+1 chia cho x−3 dư 4; c)
5
ax + x − chia hết cho x−1
87 Xác định số a b cho a)
x +ax+b chia hết cho
4 x − ; b)
1
x +ax +bx− chia hết cho
1 x − ; c)
x +ax+b chia hết cho
2
x + x−
88 Xác định số a b cho a)
x +ax +b chia hết cho
1 x − +x ; b)
5 50
ax +bx + x− chia hết cho
3 10 x − x+ ; c)
1
ax +bx + chia hết cho (x−1)2; d)
4
x + chia hết cho
x +ax+b
89 Tìm hằng số a b cho
x +ax+b chia cho x+1 dư 7, chia cho x−3 dư
−
90 Tìm hằng số a b c, , cho
ax +bx +c chia hết cho x+2, chia cho
1
x − dư
5 x+
(20)Chương II
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§5 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC RÚT GỌN PHÂN THỨC
Phân thức đại số biểu thức có dạng A
B , A B đa thức, B≠
Phân thức đại số có tính chất sau:
− Nếu nhân tử thức mẫu thức phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho
− Nếu chia tử thức mẫu thức phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho
Muốn rút gọn phân thức đại số, ta có thể: − Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử; − Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung
Ví dụ 17 Cho phân thức
( )( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
a b c a b c ab bc ca M
a b c ab bc ca
+ + + + + + +
=
+ + − + +
a) Tìm giá trị a , b , c để phân thức xác định (tức để mẫu khác ) b) Rút gọn phân thức M
Giải
a) Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
0
2 2 2
0
0
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b b c c a
a b b c c a
a b c
+ + − + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + = + = + = ⇔ = = =
Vậy điều kiện để phân thức M được xác định a , b , c không đồng thời
b) Chú ý (a b c+ + )2 =a2+b2+c2+2(ab bc+ +ca) Do đó, ta đặt 2
a +b +c =x,
ab bc+ +ca= y Khi (a+ +b c)2 = +x 2y Ta có
( ) 2 2 2 ( )2
2 2
2
2
x x y y x xy y x y
M x y
x y y x y x y
a b c ab bc ca
+ + + + +
= = = = +
+ − + +
= + + + + +
Ví dụ 18 Rút gọn phân thức
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
b c c a a b
A
a b c b c a c a b
− + − + −
=
− + − + −
(21)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 2 2 2
2 2
a b c b c a c a b a b c b c ab ac bc
a b c bc b c a b c b c a bc ab ac
b c a a b c a b b c a b a c
− + − + − = − + − + − = − + − − − = − + − − = − − − − = − − − Do ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3 3
b c c a a b
A
a b b c c a
− + − + −
=
− − − −
Ta có nhận xét: Nếu x+ + =y z x3+y3+z3 =3xyz (chứng minh xem tập 42) Đặt b c− = , x c− =a y, a b− = z x+ + =y z Theo nhận xét
3 3
3
x y z xyz
A
xyz xyz
+ +
= = = −
− −
Ví dụ 19 Chứng minh với số nguyên n phân số
3 2 n n n n +
+ + phân số tối giản
Giải Để chứng minh phân số cho tối giản, ta chứng tỏ tử mẫu có ước
chung ±1
Gọi d ước chung n3+2n n4+3n2+1 Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
4 2
2 2 ,
3 1
n n d n n n d n n d
n n n n n d n n n d
+ ⇒ + ⇒ +
+ + − + = + ⇒ + = + +
Từ (1) (2) suy (n4+2n2+ −1) (n4 +2n2)d ⇒1d⇒ =d Vậy phân số
3 2 n n n n +
+ + phân số tối giản
Ví dụ 20 Chứng minh
( )( )( )( )( ) ( )
2 30 31 16
1+ +x x + + x +x = +1 x 1+x 1+x 1+x 1+x
Giải
Gọi vế trái đẳng thức (1) ,A vế phải B
( ) 32
1−x A= −1 x theo đẳng thức (8),
( ) 32 ( )( )( 2)( 4)( 8)( 16) 32
1−x A= −1 x = −1 x 1+x 1+x 1+x 1+x 1+x = −1 x
Nếu 32 1 x
x A B
x − ≠ ⇒ = =
− Do A= B
Nếu x= hai vế (1) 32 Do A= B Trong tất trường hợp đẳng thức (1)
Bài tập
91 Tìm giá trị x để phân thức sau 0:
a)
4
4
1 ;
2
x x x
x x x x
+ + +
− + − + b)
4 10 x x x x − + − +
92 Rút gọn phân thức:
a) 1235.2469 1234; 1234.2469 1235
A= −
+ b)
4002
1000.1002 999.1001 B=
−
93 Rút gọn phân thức:
a)
3
3
;
2
x x x
x x x
− + −
− − + b)
( )3 ( )
3
;
x y xy x y y
x y
− − + +
(22)c)
2 2
2 2
2 2
x y z xy xz yz x
x xy y z
+ + − + − + −
− + −
94 Rút gọn phân thức với n số tự nhiên: a) ( )
( ) ! ; ! n n n +
+ b) ( )
! ; ! ! n
n+ −n c)
( ) ( )
( ) ( )
1 ! !
1 ! !
n n
n n
+ − +
+ + +
95 Rút gọn phân thức:
a) ( ) ( ) ( )
2 2
2 ;
a b c b c a c a b ab ac b bc
− + − + −
− − + b)
3
3
2 12 45
;
3 19 33
x x x
x x x
− − +
− + −
c)
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
3
;
x y z xyz
x y y z z x
− + +
+ + + + − d) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
3
x y z xyz
x y y z z x
+ + −
− + − + −
96 Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiên n: a) 1;
5
n n
+
+ b)
12 ; 30 n n +
+ c*)
3 2 ; n n n n +
+ + d)
2 n n + −
97 Chứng minh phân số
7 1 n n n n + +
+ + không tối giản với số nguyên dương n
98 Viết gọn biểu thức sau dạng phân thức:
( )( )( )( 16 )( 32 16 )
1 1 1
x − +x x −x + x −x + x −x + x −x +
99 Cho biết , ,x y z≠ ( )
2 2
2 2
ax by cz
a b c
x y z
+ +
= + +
+ +
Chứng minh a b c x = =y z
100* Cho biết ax by+ +cz=
Rút gọn ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
bc y z ca z x ab x y
A
ax by cz
− + − + −
=
+ +
101 Rút gọn
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
x y z
y z z x x y
+ +
− + − + − Biết x+ + = y z
102 Tính giá trị biểu thức A x y x y
− =
+ Biết ( )
2
2 0;
x − y =xy y≠ x+ ≠y
103 Tính giá trị phân thức
3 x y A x y − =
+ Biết
2
9x +4y =20xy 2y<3x<
104 Cho 3x− =y 3zvà 2x+ =y z Tính giá trị biểu thức
( )
2 2
2
0;
x xy
M x y
x y
−
= ≠ ≠
+
105 Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị số nguyên:
a) ;
2x−1 b)
5 ;
x + c)
7 ; x − +x d) 59 ; x x −
+ e)
2 x x + +
106 Tìm số hữu tỉ x để phân thức 210
1
(23)107* Chứng minh chữ số , ,a b c≠ thỏa mãn điều kiện :0 ab bc=a c:
: :
abbb bbbc=a c
108 Điểm trung bình mơn Tốn học sinh nam nữ hai lớp 8A 8B thống kê
bảng sau:
Lớp 8A Lớp 8B Cả hai lớp 8A 8B
Nam 7,1 8,1 7,9
Nữ 7,6 9,0
Cả hai lớp 7,4 8,4
Tính điểm trung bình mơn Toán học sinh hai lớp 8A 8B
§6 CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC
Muốn cộng phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức chung, rút gọn phân thức vừa tìm
Muốn trừ phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối phân thức trừ Muốn nhân phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau, rút gọn phân thức vừ tìm
Muốn chia cho phân thức khác 0, ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo phân thức chia
Ví dụ 21
Cho a+ + =b c a b c, , ≠ Rút gọn biểu thức 2 2 2 2
ab bc ca
A
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
Giải: Từ a+ + =b c suy a+ = −b c
Bình phương hai vế, ta 2 2
a + ab b+ = nên c a2+b2−c2 = −2ab
Tương tự 2 2 2
2 ;
b +c −a = − ca c +a −b = − ca
Do 1
2 2 2 2
ab bc ca
A
ab bc ca
= + + = − − − = −
− − −
Ví dụ 22 Rút gọn biểu thức
2
1
1 1 1
A
x x x x x
= + + + +
− + + + +
Giải: Do đặc điểm tốn, ta khơng quy đồng mẫu tất phân thức mà cộng
phân thức
2
4 8 16
2
1 1
4 8 16
1 1 1
A
x x x x
x x x x x x
= + + +
− + + +
= + + = + =
− + + − + −
Ví dụ 23 Rút gọn biểu thức
( ) ( )2 ( )
3
1.2 2.3
n B
n n +
= + + +
+
(24)Giải: Đương nhiên quy đồng mẫu tất phân thức Ta tìm cách tách phân thức
thành hiệu hai phân thức dùng phương pháp khử liên tiếp Ta có:
( ) ( ( ) ) ( )
2 2
2 2
2
1
2 1
1 1
k k
k
k
k k k k k
+ −
+
= = −
+ + +
Do đó: ( )
( ) (( ))
2
2 2 2
2
1 1 1
1 2
2 1 1 B n n n n n n = − + − + + − + + = − = + +
Ví dụ 24 Xác định số , ,a b c cho:
( )( ) ( )
1
1
1
ax b c
x x x x + = + + − + −
Giải: Thực phép cộng vế phải (1):
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 2
2
2
1
1 1
1
ax b x c x ax ax bx b cx c
x x x x
a c x b a x c b
x x + − + + − + − + + = + − + − + + − + − = + −
Đồng phân thức với phân thức ( )
( )
2
1
,
1
x + x− ta được:
0 1
0 ;
1 2
1 a c
c b
b a c b
c b c a + = + = − = ⇒ ⇒ = = − − = − =
Do đó,
a= Như vậy:
( )( )
1 1
1 2 2 2
1 1 x x x x x − − = + + − + −
Ví dụ 25 Cho
( )3 4
1 1
, A x y x y = −
+ ( )3 3 ( )5 2
2 1 1
,
B C
x y x y
x y x y
= − = −
+ +
Thực phép tính A+ +B C
Giải: Ta có
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
2 2 2
4
3
4 4 4
y x y x y x y x
y x
A
x y x y x y x y x y x y
− + − + − = = = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2
4 3 2
3
4 3 2 3
2 1
2 1
y x
B C
x y x y x y
x y
y x xy y x y x
x y x y x y x y
x y x y
− + = − + + + − + − − = − + = + + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
4 3 3
2 2
2
y x y xy x y x
x y
x y x y x y
− + + −
= =
(25)Do ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
4 3
2
y x y x y x
A B C
x y x y x y x y
− + − + + = + + + ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 4
4 4
2
y x y x xy y x y x y x xy y x
x y
x y x y x y x y
− + + − − + + −
= = =
+ +
Bài tập
109 Thực phép tính:
a) 2 3;
1 1
x x x
x x x
+ − − − −
+ − −
b)
( ) ( ) ( ) ( )
x x+y + y x+y + x x−y + y y−x
110 Thực phép tính:
a)
( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 );
A
a b a c b a b c c a c b
= + +
− − − − − −
b)
( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( );
B
a a b a c b b a b c c c a c b
= + +
− − − − − −
c)
( bc)( ) ( ac)( ) ( ab)( );
C
a b a c b a b c c a c b
= + +
− − − − − −
d)
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
a b c
A
a b a c b a b c c a c b
= + +
− − − − − −
111 Cho a,b,c số nguyên khác đôi Chứng minh biểu thức sau có giá trị
một số nguyên:
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3
a b c
P
a b a c b a b c c a c b
= + +
− − − − − −
112 Cho 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức
2
2
x x y
A
y x
−
= +
− −
Ví dụ: Xác định số a, b, c cho
( )( )
1
1
1
ax b c
x x
x x
+
= +
+ −
+ − (1)
Giải: Thực phép cộng vế phải (1):
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ( )( ) () )
2 2
2 2
1
1 1 1
ax b x c x ax ax bx b cx c a c x b a x c b
x x x x x x
+ − + + = − + − + + = + + − + −
+ − + − + −
Đồng phân thức với phân thức ( )
( )
2
1
(26)1
0
0
1
1
2
a c c
c b
b a a
c b b c b + = + = = − = ⇒ ⇒ ⇒ = − − = − = = −
Như ( )
( )
2
1 1
1 2 2 2
1 1 x x x x x − − = + + − + −
Ví dụ 25 Cho
( )3 4
1 1
; A x y x y = −
+ ( )4 3
2 1
; B x y x y = −
+ ( )5 2
2 1
C x y x y = − +
Thực phép tính + +A B C
Giải: Ta có
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
2 2 2
4
3
4 4 4
y x y x y x y x
y x A
x y x y x y x y x y x y
+ − + − − = = = + + + ( ) ( ) 2
4 3 2 3 2
2 1 1
.y x y x
B C
x y x y x y x y x y x y
x y x y
− − + = − + = − + + + + + ( ) ( ) ( )
( )( 2)
3
4 3 3
2
2
.y x xy y x y x y xy x
x y x y
x y x y
− + +
− + −
= =
+ +
( )
( )2 3 3
2
y x
x y x y − =
+
Do ( )( )
( ) (( )) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 3 4
2
y x y x y x y x y x xy y x
A B C
x y x y x y x y x y x y
+ − − + − + − + + = + = + + + ( )( ) ( ) 2
2 4
4
2
y x y x xy y x
x y x y x y
− + + −
= =
+
Bài tập
109 Thực phép tính:
a) 2 3;
1 1
x x x
x x x
+ − − − −
+ − −
b)
( ) ( ) ( ) ( )
x x+y + y x+y +x x−y + y y−x
110 Thực phép tính:
a)
( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 );
A
a b a c b a b c c a c b
= + +
(27)b)
( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( );
B
a a b a c b b a b c c c a c b
= + +
− − − − − −
c)
( bc)( ) ( ac)( ) ( ab)( );
C
a b a c b a b c c a c b
= + +
− − − − − −
d)
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
a b c
D
a b a c b a b c c a c b
= + +
− − − − − −
111 Cho a, b, c số nguyên khác đôi Chứng minh biểu thức sau có giá trị
một số nguyên :
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3
a b c
P
a b a c b a b c c a c b
= + +
− − − − − −
112 Cho 3y− =x Tính giá trị biểu thức
2
x x y
A
y x
−
= +
− −
113 Tìm x, y, z, biết
2 2 2
2
x + y + z = x +y +z
114 Tìm x, y, biết x2 y2 12 12 x y
+ + + =
115 Cho biết: 1
a+ + =b c (1)
2 2
1 1
2 a +b +c = (2)
Chứng minh a b c+ + =abc
116 Cho x y z
a+ + =b c (1) a b c
x+ + =y z (2)
Tính giá trị biểu thức:
2 2
2 2
a b c
x + y + z
117 Cho (a b c+ + )2 =a2+b2+c2 a, b, c khác Chứng minh 13 13 13 a +b +c =abc
118 Cho a b c b a c
b+ + = + +c a a c b
Chứng minh ba số a, b, c tồn hai số
119 Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị số nguyên:
a)
3
2
;
x x x
A
x
− + −
=
(28)b)
4
2
2
;
2
x x x x
B x x − − + − = − + c)
4
2
3
x x x x
C
x
+ + + −
=
+
120 Rút gọn biểu thức sau với
3 a x a = + :
3
2
x a x a a
A a
x x x
+ −
= + − +
− + −
121 Rút gọn biểu thức:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2
2 2
a b b c c a
A
a b b c c a a b b c c a
− + − + −
= + + +
− − − − − −
122 Cho biết a b c b c a a c b
ab bc ac
+ − − + − − + − =
Chứng minh ba phân thức vế trái, có phân thức
123 Xác định số a, b, c cho:
a)
( )
1
; 1
a bx c x x x x + = + + +
b) 21 ;
4 2
a b
x − = x− + x+
c)
( ) (2 ) ( )2
1
1
1
a b c
x x
x x x
= + +
+ +
+ + +
124 Rút gọn biểu thức B (ab bc ca) 1 abc 12 12 12
a b c a b c
= + + + + − + +
125 Cho a, b, c khác đôi 1
a+ + =b c Rút gọn biểu thức:
a) 2 2 2 ;
2 2
M
a bc b ac c ab
= + +
+ + +
b) 2 2 2 ;
2 2
bc ca ab
N
a bc b ac c ab
= + +
+ + +
c)
2 2
2 2
2 2
a b c
P
a bc b ac c ab
= + +
+ + +
126 Cho số a, b, c khác đôi a b b c c a
c a b
+ = + = +
Tính giá trị biểu thức
1 a b c M
b c a
= + + +
(29)127* Cho a3+b3+c3 =3abc a b c+ + ≠ Tính giá trị biểu thức:
( )
2 2
a b c
N
a b c
+ +
=
+ +
128 Rút gọn biểu thức:
a) 12 12 12 12 ;
2
A
n
= − − − −
b) ( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
1
2 2 2 1
n B n + = − − − + −
129 Rút gọn biểu thức:
a)
( )
1 1
;
1.2+2.3+3.4+ + n−1 n
b)
( )( )
1 1
;
2.5+5.8+8.11+ + 3n+2 3n+5
c)
( ) ( )
1 1
1.2.3+2.3.4+3.4.5+ + n−1 n n+1
130 Chứng minh với số tự nhiên n≥ :
a)
( )2 2
1 1 1
;
2 +4 +6 + + 2n <
b)
( )2
2 2
1 1 1
3 +5 +7 + + 2n+1 <
131 Chứng minh với số tự nhiên n≥ :
2 2
1 1
2
A
n
= + + + + <
132 Chứng minh với số tự nhiên n≥ :
3 3
1 1 1
3 12
B
n
= + + + + <
133 Chứng minh với số tự nhiên n≥ :
( )
1 1
1 1
1.3 2.4 3.5
A
n n
= + + + + < +
134 Chứng minh với số tự nhiên n≥ :
( )
2 2
1 1
6 12 20
B
n n
= − − − − < +
(30)135 Rút gọn biểu thức
2 2
2 2
3 11 43
5 13 45
A= − − − −
− − − −
136* Chứng minh rằng:
a)
3 3
3 3
2
;
2
A= + + + + <
− − − −
b)
3 3
3 3
2 1
2 1
n B n − − − = > + + +
137* Rút gọn biểu thức
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
4 4
4 4
1 21 11 23
P= + + + +
+ + + +
138 Rút gọn biểu thức
2 2
1 1
5 12 20 11 30
M
a a a a a a a a
= + + +
− + − + − + − +
139 Rút gọn biểu thức
1 1 1
:
1 2
n n n
n n n
− − −
+ + + + + + + + +
− −
140 Rút gọn biểu thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 3 1
1 1
1
3
n n n n n
A B n + + + + + − − − − − = + + + + −
141 Cho abc= (1) a b c 1 a b c
+ + = + + (2)
Chứng minh ba số a, b, c tồn số
142 Chứng ming x y z a+ + = 1 1
x+ + =y z a tồn ba số x, y, z a
143 Các biểu thức x y z+ + 1
x+ +y z có giá trị hay khơng?
144 Tính giá trị biểu thức M = 1
2 2
x+ + y+ +z+ , biết
2a=by+cz, 2b=ax+cz, 2c=ax+by a b c+ + ≠
(31)M =
2 2
a b c
ab+ +a +bc b+ + +ac+ c+
b) Cho abc= Rút gọn biểu thức
N =
1 1
a b c
ab+ +a +bc b+ + +ac+ +c
146 Cho a a b
c b c − =
− , a ≠0, c ≠ 0, a - b ≠ 0, b – c ≠ 0.CMR
1 1
a+a b− =b c− −c
147 Cho a b c+ + = 0(a≠0, b≠0, c≠0 ) Rút gọn biểu thức:
a) A =
2 2
a b c
bc+ca+ab
b) B =
2 2
2 2 2 2 2
a b c
a −b −c +b − −c a +c −a −b
148* Tính giá trị biểu thức sau, biết a+ b + c =
A = a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
+ + + +
− − −
149 Chứng minh (a2 – bc b)( – abc) = (b2 – ac)(a – abc) số a, b, c, a – b khác 1 a b c
a+ + = + +b c
36
150* Cho a+ b + c = 0, x + y + z = 0, a b c
x+ + =y z CMR
2 2
ax + by + cz =
151 Cho xy yz xz
y z x
+ = + = +
CMR x = y = z 2
x y z =
152 Cho a b c
b+c+c+a+a+b = CMR
2 2
0
a b c
b c+ +c+a+a b+ =
153* Cho a b c
b c− +c−a+a b− = CMR ( ) (2 ) (2 )2
a b c
b c− + c−a + a b− =
154 Cho x a x
+ = Tính biểu thức sau theo a:
a) 2
1 x
x
+ b) 3
1 x
x
+ c) 4
1 x
x
+ d) 5
1 x
x +
155 Cho 2
2
1
:
x x a
x x
− + =
Tính biểu thức
M = 4
4 1 : x x x x − +
(32)156 Cho
–
x x + = Tính giá trị biểu thức A =
4 2 x x x + +
157 Cho 2
1 x
a
x − +x = Tính M =
4 2 x x x + +
158 Cho x = ( )
( )
2
2 2
2 2 ,
2
a b c
b c a
y
bc b c a
− − + −
=
+ −
Tính giá trị biểu thức x + y + xy
159 Tìm hai số tự nhiên a b cho:
a) a – b = a
b b) a – b = a
b
160 Cho hai số nguyên a b a > b Tìm hai số nguyên dương c khác b cho
3 3
a b a b
a c a c
+ = +
+ +
161 Cho dãy a a a1, 2, 3, sao cho:
2
1
1
1
; ; ;
1 1
n n
n
a
a a
a a a
a a a
− − − − − = = = + + +
a) Chứng minh a1 =a5
b) Xác định năm số đầu dãy, biết a101=3
162 Tìm phân số m
n khác số tự nhiện k, biết
m m k n nk
+ =
163* Cho hai số tự nhiên a b (a <b) Tìm tổng phân số tối giản có mẫu 7, phân số lớn a nhỏ b
164 a) Mức sản xuất xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so
với năm 2001 Mức sản xuất xí nghiệp năm 2002 tăng so với năm 2000 là:
A) (a = b)% B) ab% C)
100 a b
a b +
+ + % D) 100 ab a b + +
% E) 100 10000 a b+ ab
+
%
Hãy chọn câu trả lời
165* Chứng minh tổng sau không số nguyên:
a) A = 1 1( , 2) 2+ + + +3 n n∈N n≥
b) B = 1 ( , 1) 3+ + + +5 2n+1 n∈N n≥
~ Bài tập: 463 đến 465
a)
(33)CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Trong chuyên đề này, ta phân tích đa thức thành nhân tử với hệ số nguyên PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Ví dụ 26(3): Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
3x – x +
Giải: Đa thức không chứa nhân tử chung, không hạng tử chung, khơng có dạng đẳng
thức đáng nhớ nào, cung khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử
Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai)
( ) ( ) ( )( )
2
3x – x + = 3x – – x x + =4 3x x – −2 x – = x – – 2x
Cách 2: ( Tách hạng tử thứ nhất)
( )2 ( )( ) ( )( )
2 2
3 – x x + = – x − x + x = – – x x = – – x x – x + x = – 2x x – Nhận xét: Trong cách tách 1: hạng tử -8x tách thành hai hạng tử -6x -2x Trong đa thức
2
3x – x + 4, hệ số hạng tử 3; -6; -2; Các hệ số thứu hai thứ tư gấp -2 lần hệ số liền trước, nhờ mà xuất nhân tử chung x –
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai
ax +bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b x b x1 + 2 cho
2
b c
a =b , tức b b1 2=ac Trong thực hành ta làm sau:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: Phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b
Trong ví dụ trên, đa thức 3x2 - 8x + có a= 3, b=-8, c = Tích ac= 12 Phân tích 12 tích hai thừa số, hai thừa sơ dấu (vì tích chúng 12), âm ( để tổng chúng -8): (-1)(-12), (-2)(-6), (-3)(-4) Chọn hai thừa số mà tổng -8, -2 -6
Ví dụ 27(3): Phân tích đa thức thành nhân tử
2
4x – – 3x
Giải: Cách 1: ( Tách hạng tử thứ 2)
( ) ( ) ( )( )
2
4x – – 3x = 4x +2 – – x x = 2x x + − 2x+ = x + – 3x
Chú ý hệ số -4 tách thành -6 có tích -12, tích 4.(-3) Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)
( )2 ( )( ) ( )( )
2 2
4x – – 3x = 4x – x +1 – = – 1x – = – 2 – x − x + = x +1 – 3x
Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích:
(34)Với đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hệ số tỉ lệ, người ta thường dung cách tìm nghiệm đa thức
Ta nhắc lại khái niệm nghiệm đa thức: số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = Như vậy, đa thức f(a) có nghiệm x = a chứa nhân tử x – a
Ta chứng minh nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự Thật vậy, giả sử đa thức a x0 n+a x1 n−1+ + an−1x+an với hệ số a0, a , , a1 n nguyên, có nghiệm x = a ( a∈Z) Thế
1
0
n n
n n
a x +a x − + +a −x+a = ( x –a )( b x0 n−1+b x1 n−2+ + bn−1)
Trong b b0, , ,1 bn−1 nguyên Hạng tử có bậc thấp tích vế phải −abn−1, hạng tử có bậc thấp vế trái an Do −abn−1=an, tức a ước an
Ví dụ 28(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
( )
4
f x =x −x − Giải
Lần lượt kiểm tra với x= ± ± ± ta thấy 1, 2, 4, f ( )2 =23−22− =4 0. Đa thức có nghiệmx= chứa nhân tử 2, x− 2
Ta tách hạng tử sau:
Cách x3 −x2 − =4 x3−2x2 +x2 −2x+2x−4
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
= − + − + − = − + +
Cách x3 −x2− =4 x3− −8 x2 +4
( )( ) ( )( )
2 2 4 2 2
x x x x x
= − + + − + −
( )( ) ( )( )
2 2 4 2 2 2
x x x x x x x
= − + + − − = − + +
Chú ý Khi xét nghiệm nguyên đa thức, nên nhớ hai định lí sau:
a) Nếu đa thức f x( )có tổng cáchệ thức bằng0thì1là nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tửx−1.
Chẳng hạn, đa thức x3 −5x2 +8x−4 có 1 8− + − =4 0 nên 1là nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tửx−1.
b) Nếu đa thức f x( )có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số của hạng tử bậc lẻ 1− nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tử x+1. Chẳng hạn, đa thức x3 −5x2 +3x+9 có9 5− = +3 1nên− nghiệm đa 1 thức, đa thức chứa nhân tửx+1.
Chứng minh hai định lí trên, xem ví dụ51 và52.
(35)Nếu a nghiệm nguyên đa thức f x( ) và f ( )1 , f ( )−1 khác thì ( )1 1
f
a− và
( )1 1
f a
−
+ đều số nguyên
Chứng minh Sốa nghiệm của f x( )nên
( ) ( ) ( ).
f x = x−a Q x (1)
Thayx= vào1 ( )1 , ta có f ( ) (1 = −1 a Q) ( ). 1 Do f ( )1 ≠0nêna≠ 1, ( ) ( )1 ,
1
f Q x
a
=
− tức là ( )1
1
f
a− số nguyên
Thayx= − vào1 ( )1 Chứng minh tương tự, ta có ( )1 1
f a
−
+ số nguyên Lấy ví dụ: f x( )=4x3 −13x2 +9x−18.
Các ước của18là 1, 2, 3, 6, 9, 18.± ± ± ± ± ±
( )1 4 13 18 18, ( )1 4 13 18 44.
f = − + − = − f − = − − − − = −
Hiển nhiên 1± không nghiệm của f x( ). Ta thấy 18 , 18 , 18 , 18
3 1 6 1 9 1 18 1
− − − −
− − ± − ± − ± − không nguyên nên ± ± ± ±3, 6, 9, 18.không nghiệm của f x( ).
Ta thấy 44 2 1
−
+ không nguyên nên2 khơng nghiệm của f x( ).Chỉ cịn 2− và3. Kiểm tra ta thấy3là nghiệm của f x( ).Do đó, ta tách hạng tử sau:
3 2
4x −13x +9x−18=4x −12x −x +3x+6x−18
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
4x x 3 x x 3 6 x 3 x 3 4x x 6
= − − − + − = − − +
Ví dụ 29(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
3
3x −7x +17x−5. Giải
Các số 1, 5± ± không nghiệm đa thức Như vậy, đa thức khơng có nghiệm ngun Tuy vậy, đa thức có nghiệm hữu tỉ khác Ta chứng minh rằng đa thức có hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ
( nếu có) phải có dạng p
q trong đóplà ước hệ số tự do,qlà ước dương
hệ số cao nhất( )∗
Thật vậy, giả sử đa thứca xo n +a x1 n−1+ + an−1x+anvới hệ sốa ao, 1 an
nguyên, có nghiệm hữu tỉx p,
q
= trong đóp q, ∈,q>0,(p q, )=1.Thế
( )( )
1
1 1 .
n n n n
o n n o n
a x +a x − + +a − x+a = qx− p b x − +b x − + +b −
(36)Xét số 1, 5,
3 3
± ± ta thấy1
3là nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số 3x− Ta tách h1. ạng tử sau:
3 2
3x −7x +17x− =5 3x −x −6x +2x+15x−5
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
3 1 2 3 1 5 3 1 3 1 2 5
x x x x x x x x
= − − − + − = − − +
II PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1.Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương
Ví dụ 30(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
4x +81.
Giải: Thêm bớt 36x2:
4 2
4x +81 4= x +36x +81 36− x
( 2 )2 ( )2 ( 2 )( 2 )
2x 9 6x 2x 9 6x 2x 9 6x .
= + − = + + + −
Ví dụ 31(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
4
64x + y .
Giải: Thêm bớt 2 16x y :
( )2 ( )2
4 4 2 2 2
64x + y =64x +16x y + y −16x y = 8x + y − 4xy
( 2 )( 2 )
8x y 4xy 8x y 4xy
= + + + −
2.Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung
Ví dụ 32(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
1
x + −x Giải: Cách
5 4 2
1 1
x + − =x x −x +x +x −x +x −x + −x
( ) ( ) ( )
3 2 2
1 1 1
x x x x x x x x
= − + + − + − − +
( )( )
1 1
x x x x
= − + + −
Cách Thêm bớtx2:
( ) ( )
5 2
1 1 1 1
x + − =x x +x −x + − =x x x + − x − +x =(x2 − +x 1)x2(x+ − =1) 1 (x2 − +x 1)(x3 +x2 −1 )
Ví dụ 33(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
7
1.
x +x +
Giải: Thêm bớt :x
7
1 1
x +x + = x − +x x + +x
( )( ) ( )
1 1 1
x x x x x
= + − + + +
( )( )( ) ( )
1 1 1 1
x x x x x x x
(37)( )( )
1 1 1
x x x x x
= + + − + − +
Chú ý: Các đa thức dạng 3
1
m n
x + +x + + như
7 5
1, 1, 1, 1,
x +x + x +x + x+x + x+x + đều chứa nhân tử x2 + +x 1.(xem ví dụ 57)
III PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Ví dụ 34(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
( 4)( 6)( 10) 128.
x x+ x+ x+ +
Giải
( )( )( ) ( )( )
4 6 10 128 10 10 24 128.
x x+ x+ x+ + = x + x x + x+ +
Đặt
10 12 ,
x + x+ = y đa thức cho có dạng:
( )( ) ( )( )
12 12 128 16 4 4
y− y+ + = y − = y+ y−
( )( ) ( )( )( )
10 16 10 8 2 8 10 8
x x x x x x x x
= + + + + = + + + +
Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đưa đa thức bậc bốn x thành đa thức bậc hai y
Ví dụ 35(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
4
6 7 6 1
A=x + x + x − x+ Giải:
Giải sửx≠ Ta vi0 ết đa thức dạng:
2 2
2
6 1 1 1
6 7 6 7
A x x x x x x
x x x x
= + + − + = + + − +
Đặtx 1 y
x
− = thì 2
2 1
2.
x y
x
+ = + Do
( ) ( ) (2 )2
2 2
2 6 7 3 3
A=x y + + y+ =x y+ = xy+ x
( )
2
2
1
3 3 1
x x x x x
x
= − + = + −
Dạng phân tích với x=0.
Chú ý: Có thể trình bày lời giải ví dụ sau:
4 2
6 2 9 6 1
A=x + x − x + x − x+
( ) ( )2 ( )2
4 2
2 3 1 3 1 3 1
x x x x x x
= + − + − = + −
IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Ví dụ 36(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
4
6 12 14 3.
x − x + x − x+
Giải: Các số 1, 3± ± không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích được thành nhân tử phải có dạng ( )( )
+ax+b
(38)cho kết quảx4 +(a+c x) 3+(ac+ +b d x) +(ad +bc x) +bd. ĐỒng đa
thức với đa thức cho, ta đươc hệ điều kiện:
6 12 14 3.
a c
ac b d
ad bc
bd
+ = −
+ + =
+ = −
=
Xét bd = v3 ớib d, ∈,b∈ ± ±{ 1, } Với b= thì3 d = hệ điều kiện 1, trở thành:
6 8
3 14
a c
ac
a c
+ = −
=
+ = −
Suy 2c=14 ( 6)− − = − Do c= −4, 2a= −
Vậy đa thức cho phân tích thành (x2−2x+3)(x2−4x+ 1)
Chú ý: Ta trình bày lời giải ví dụ sau: x4−6x3+12x2−14x+ =3
=x4−4x3+x2−2x3+8x2−2x+3x2−12x+3
=x2(x2−4x+ −1) (2x x2−4x+ +1) (3 x2−4x+ 1)
=(x2−4x+1)(x2−2x+3)
V – PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Trong phương pháp này, trước hết ta xá định nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biếm giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại
Ví dụ 37(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2 2
( ) ( ) ( )
P=x y− +z y z− +x z x−y ( ví dụ 13)
Giải: Thử thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi (ta nói đa thức P có hốn vị vịng
quanh x→ → → ) Do , P chia hết cho x – y, chia hêt cho y z x y – z, z – x Vậy P có dạng (k x−y y)( −z z)( − x)
Ta thấy k phải số ( khơng chứa biến) P có bậc ba tập hợp biến , ,x y z , cịn tích (x−y y)( −z z)( − có bậc ba tập hợp ấc biến , ,x) x y z
Vì đẳng thức 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
x y− +z y z− +x z x−y =k x−y y−z z− với , ,x x y z nên ta gán cho biến , ,x y z giá trị riêng, chẳng hạn x=2,y=1,z=0, ta được:
4.1 1.( 2) 0+ − + =k.1.1 ( 2)⋅ − ⇔ = −2 2k ⇔ = − k Vậy P= − −(x y y)( −z z)( −x)=(x−y y)( −z x)( − z)
(39)Phân tích đa thức sau thành nhân tử (từ 166 đến 179)
166(3). a) 6x2−11x+3 : b) 2x2+3x−27 c) 2x2−5xy−3y2
167(3) a) 2x3+ x−3; b) 7x3− x+6
3
c) 5x + x +8x+4; d) 9x3− x2+6x+16
3
e) 2x −x − −x ; g) 2x3+x2− +x ; h) 6x3− x2− +x 30
168(3) x3−7x−6 ( giải nhiều cách)
169(3) a) 27x3−27x2+18x−4; b) 2x3−x2+5x+3; c) (x2−3)2+16
170(3) a) 2(x2+x) (2− x2+x)−15; b) 2x2+ xy+y2− − −x y 12;
( )( )
c) 1x + +x x + + −x 12; d) (x+2)(x+3)(x+4)(x+ −5) 24
171(3) a) (x+a x)( +2 )(a x+3 )(a x+4 )a +a4; b) ((x2+y2+z2) x+ +y z)2+(xy+yz+zx)2
) ( ) ( ) (2 )
* 4 2 2 2
4
2 ( )
( )
c x y z x y z x y z x y z
x y z
+ + − + + − + + + + +
+ + +
172(3) (a b c+ + )3−4(a3+b3+c3)−12abc cách đổi biến : đặt a b+ =m a b, − = n
173(3) a) 4x4−32x2+1; b) 27x6+ ;
( ) ( )2
4 2
c) x +x + −1 x + +x ; d) 2( x2−4)2+9
174(3) a) 4x4+1; b) 4x4+y4; c)x4+324
175(3) a) 1;x5+x4+ b) 1;x5+ +x c) 1x8+x7+ d) x5−x4−1; e) 1;x7+x5+ g) 1xk +x4+
176(3) a a) 6+a4+a b2 2+b4−b6; b*)x3+3xy+y3−
177(3) Dùng phương pháp hệ số bất định:
`
( )
4
2
4
a) 4 1; b) 14
c) 63; d) ( 1)
x x x x x x x x
x x x x x
+ + + + − + − +
− + + + + +
178(3) a) xk +14x4+1: b) xx+98x4+
179(3) Dùng phương pháp xét giá trị riêng:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
M =a b c a+ − +b c+ −a b +c a b c+ − + + −a b c b c a c+ − + − a b
(40)181(3) Chứng minh sốA=(n+1)4+n4+ chia hết cho ssos phương khác với số n nguyên dương
182(3) Tìm số nguyên dương , , a b csao cho phân tích đa thức (x+a x)( − − thành 4) nhân tử ta (x+b)(x+c)
183(3) Tìm số hưu tỉ , , a b c phân tích đa thức x3+ax2+bx+c thành nhân tử ta (x+a)(x+b)(x+c)
184(3) Số tự nhiên n nhận giá trị, biết phân tích đa thức x2+ =x n
thành nhân tử ta (x a− )(x b+ với ,) a b số tự nhiên 1< <n 100
185(3) Cho A=a2+b2+c2, trong a, b hai số tự nhiên liên tiếp, c ab= Chứng minh A một số tự nhiên lẻ
TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI SỐ NGUYÊN
Tính chia hết số nguyên trình bày Nâng cao phát triễn toán 6, Nâng cao phát triễn toán Nhờ sử dụng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành nhân tử, lớp ta có khả giải nhiều toán chia hết phức tạp lớp
I - CHỨNG MINH QUAN HỆ CHIA HẾT
Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n n N∈ n Z∈
Chú ý 1: để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta thường phân tích biểu thức A(n) thành thừa số, thừa số m Nếu m hợp số, ta phân tích thành tích đơi số ngun tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho tất số Nên lưu ý đến nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp, cúng tồn bội k
Ví dụ 38(3) Chứng minh rằng:
( )2
3
7 36
A=n n − − n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n
Giải: phân tích thừa số 5040=2 5.74
Phân tích A =n n 2(n2−7)2−36=n(n3−7n)2−62 =n n( 3−7n−6)(n3−7n+6)
Ta lại có n3−7n− = +6 (n 1)(n+2)(n−3)n3−7n+ = −6 (n 1)(n−2)(n+3) A=(n−3)(n−2)(n−1) (n n+1)(n+2)(n+ 3)
đây tích bảy số nguyên liên tiếp Trong bảy số nguyên liên tiếp: - Tồn bội ( nên A chia hết cho 5)
- Tồn bội ( nên A chia hết cho 7) - Tồn hai bội ( nên A chia hết cho 9)
- Tồn ba bội 2, có bội ( nên A chia hết cho 16)
A chia hết cho số 5, 7, 9, 16 đôi nguyên tố cúng nên A chia hết cho 5040=2 5.74 Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta xét trường hợp số dư chia n cho m
(41)2
)
a a − chia hết cho 2; a b) a3− chia hết cho a
5
c) a − chia hết cho 5; a d) a7− chia hết cho 7; a
Giải:
( )
2
)
a a − =a a a a− chia hết cho
( )( )
3
) a 1
b − =a a a− a+ chia hết cho
c) Cách 1: a5− =a a a( 2+1)(a2− 1)
Nếu a=5 k (k∈Z) a chia hết cho
Nếu a=5k±1 (k∈Z) a2−1 chia hết cho Nếu a=5k±2 (k∈Z) a2+1 chia hết cho
Trường hợp có thừa số A chia hết cho
Cách 2: Phân tích a5−a thành tổng hai số hạng chia hết cho
Một số hạng tích cuae năm số nguyên liên tiếp, số hạng chứa thừa số
( )( )
5 2
1
a −a =a a − a +
( )( )
1
a a a
= − − +
( )( ) ( )
1
a a a a a
= − − + −
( )
(a 2)(a 1) (a a 1)(a 2) 5a a
= − − + + + −
Số hạng thứ tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5, số hạng thứ hai cúng chia hết cho Do a5−a chia hết cho 5;
Cách 3: Giải tương tự cách 2: xét hiệu a5−a tích năm số nguyên liên tiếp
(a−2)(a−1) (a a+1)(a+ , 2) 5a a( 2− Do 1) a5−a chia hết cho 5; d)Bạn đọc tự chứng minh
Chú ý: Bài toán trường hợp riêng toán Phéc ma Định lú thường biểu diễn hai dạng:
- Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap−a chia hết cho p
- Dạng 2: a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p ap−1−1 chia hết cho p Hai dạng tương đương Chính Phéc ma phát biểu định lý dạng
Ví dụ 40(2)
a) Chứng minh số phương chia cho có số dư
(42)c) Các số sau có số phương khơng?
2 2
1992 1993 1994
M = + +
2 2
1992 1993 1994 1995
N = + + +
100 100 100
94 1994
P= + + +
d) Trong dãy sau có tồn số số phương khơng? 11.111.1111.11111……
Giải: Gọi A số phương A = n2 (n∈ N)
a)Xét trường hợp:
( ) A
n= k k∈N ⇒ = k
2
( )
n= k k∈N ⇒A= k Chia hết cho
( )
n= k± k∈N ⇒A = k ± k+ , chia cho dư
Vậy số phương chia cho có số dư a) Xét trường hợp:
2
( )
n= k k∈N ⇒ A= k Chia hết cho
( )
2
2 ( ) 4 1
n= k+ k∈N ⇒A= k + k+ = k k+ + Chia cho dư 1.( Chia cho dư 1)
Vậy số phương chia cho có số dư
Chú ý: Từ toán ta thấy:
- Số phương chẵn chia hết cho
- Số phương lẻ chia cho dư 1( nữa, chia cho dư 1)
c) Các số 19932, 19942 số phương không chia hết chia cho dư 1, 19922 chia chết cho Số M số chia cho dư 2, khơng số phương
Các số 19922, 19942 số phương chẵn nên chia hết cho Các số 19932, 19952 số phương lẻ nên chia cho dư Số N số chia cho dư 2, khơng số
phương
Các số 94100, 1994100 lầ số phương chẵn nên chia hết cho Cịn 9100 số phương lẻ nên chia cho dư Số P số chia cho dư 2, khơng số phương
d) Mọi số dãy tận 11 nên số chia cho dư mặt khác, số phương lẻ chia cho dư
Vậy khơng có số dãy số phương
Chú ý 3: Khi chứng minh tính chia hết cho lũy thừa , ta cịn sử dụng
đẳng thức 8,9 công thức Niu-tơn sau đây:
( ) 2
1
n n n n n n
n
(43)Trong công thức trên, vế phải đa thức có n+1 hạng tử, bậc hạng tử tập hợp biến a,b n ( Phần biến số hạng tử có dạng aibk, s=đó i+k=n với 0≤ i≤ n; 0≤ k≤ n hệ số c1,c2 ….cn-1được xác định bảng tam giác Pa-xcan (H1)
Trong hình 1, số dọc theo cạnh góc vng 1, số dọc theo cạnh huyền Cộng số với số liền sau bên phải số đứng số liền sau ấy, Chẳng hạn hình
Áp dụng đẳng thức vào tính chia hết, ta có với số nguyên a,b
số tự nhiên n:
an −bn chia hết cho a-b (a≠ b) 2
n n
a + + b + Chia hết cho a+b ( a≠ -b)
(a b+ )n = BSa +bn ( BS a bội a) Đặc biệt
nên lưu ý đến:
( )
( )
( )
2
1
1
n n
n
a BS a
a BS a
a + BS a
+ = +
− = +
− = −
Ví dụ
41(2) Chứng minh với số tự nhiên n, biểu thức 16n -1 chia hết cho 17 n số chẵn
Giải: Cách1 : Nếu n chẵn ( n= 2k, k∈ N) A = 162k -1 = (162)k-1 chia hết cho 162- theo đẳng thức 8, mà 162- = 225, chia hết cho 17 Vậy A chia hết cho 17
n=0
n=1 1
n=2
n=3 3
n=4 4
n=5 10 10 10
… ……
(44)Nếu n lẻ 16n –
A= + , mà 16n + chia hết cho 17 theo đẳng thức , nên A không chia hết cho 17
Vậy A chia hết 17 ⇔ n chẵn
Cách 2: A= 16n− = 17 ( − 1)n − = BS17 + −( )1n – 1( Theo công thức Niu tơn) Nếu n chẵn A= BS 17 + - = BS 17
Nếu n lẻ A= BS 17 – - 1, không chia hết cho 17
Chú ý 4: Người ta dùng phương pháp phản chứng, nguyên lí Đi- rích- lê để
chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ 42(1) Chứng minh tồn bội 2003 có dạng:
2004 2004…….2004
Giải: Xét 2004 số
a1=2004
a2 = 2004 2004
………
a2004 = 2004 2004 … 2004 ( Nhóm 2004 phải có mặt 2004 lần)
Theo nguyên lí Đi- rích- lê, tồn hai số có số dư phép chia cho 2003 Gọi hai số am an ( 1≤ n≤ m ≤ 2004) am – an 2003 Ta có
am – an = 2004….2004 0000…….0000 = 2004 2004 104n
Do 104n 2003 nguyên tố nên 2004 2004 chia hết cho 2003 II) TÌM SỐ DƯ
Ví du 43(2) Tìm sơ dư chia 2100
a) Cho b) Cho 25 c) Cho 125
Giải: a) Lũy thừa sát với bội số 23 = = – Ta có 100 ( )3 33 ( )33 ( )
2 = 2 = − = BS – = BS − = BS 7+ Số dư chia 2100 cho
b) Lũy thừa sát với bội 25 10
2 = 1024 = BS 25 1−
Ta có 100 ( )10 10 ( )10
2 = = BS 25 – = BS 25 1+
c) Dùng công thức Niu tơn
( )50
100 50 49 50.49
5 50.5
2 50.5
2
= − = − − +
(45)Chú ý: Tổng quát hơn, ta chứng minh số tự nhiên n không chia hết cho chia n100cho 125 ta số dư
Thật n có dạng 5k+ 5k+2 Ta có:
( )100 ( )100 100.99
5 (5 ) 100.5 k
k± = k ± + k ± +
( )100 ( )100 100.99 98 99 100 100
5 (5 ) 100.5 k 2
2
k± = k ± + k ± + = BS +
Ta lại có 2100 = BS125+1 ( Câu c) Do 100
5
( k± ) = BS 125 1+
Ví dụ 44(2) Tìm ba chữ số tận 2100 viết hệ thập phân
Giải: Tìm ba chữ số tận 2100 tìm số dư chia 2100 cho 1000 Trước hết tìm số dư chia 2100 cho 125 Theo ví dụ 43 ta có 2100 = BS 125+ 1, mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận 126, 376, 626 876
Hiển nhiên 2100 chia hết ba chữ số tận phải chia hết cho Trong bốn số có số 376 thỏa mãn điều kiện
Vậy ba chữ số tận 2100 376
Chú ý: Bạn đọc tự chứng minh n số chẵn không chia hết cho ba chữ
số tận n100 376
Ví dụ 45(2) Tìm bốn chữ số tận 51994 viết hệ thập phân
Giải:
Cách 54 = 625 ta thấy số tận 0625 nâng lũy thừa nguyên dương tận 0625 ( Chỉ cần kiểm tra : ….0625 × … 0625 = … 0625)
Do :
( ) ( ) ( )
1994 4
5 = k+ = 25 k = 25 0625 25 k= …0625 = ….5625
Cách Tìm số dư chia 51994 cho 10 000 = 24.54 Nhận xét: 54k – chia hết cho ( )( )
5 – = +1 – nên chia hết cho 16 Ta có: 1994 6( 1988 )
5 5= – +
Do 56 chia hết cho 54, 51988 – chi hết cho 16 ( Theo nhận xét trên)
Nên 56 (51988 – 1) chia hết cho 10 000 Tính 56, ta 15625 bốn sô tận 51994 5625
Chú ý: Nếu viết 1994 2( 1992 )
5 = 5 – + ta có 51992– chia hết cho 16, 52 khơng chia hết cho 54
Như toán này, ta cần viết 51994dưới dạng ( 1994 )
5 5n −−n – + 5n cho n ≥ 1994 – n chia hết cho
(46)Ví dụ 46(4) Tìm số ngun n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B
3 2
– , – A= n + n n + B= n n
Giải : Đặt tính chia
n3 + 2n2 – 3n + n2 – n n3 – n2 n +
3n2 – 3n + 3n2 – 3n
Muốn chia hết, ta phải có chia hết cho ( 1)n n− chia hết cho n Ta có:
n -1 -2
1
n− -2 -3
n(n−1) 2
Loại Loại
Đáp số: n = -1; n= Chú ý:
a) Khơng thể nói đa thức A chia hết cho đa thức B Ở tồn giá trị nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B
b) Có thể thay việc đặt phép chia cách biến đổi : n3+2n2−3n+ =2 n(n2− +n) 3(n2− +n)
Ví dụ 47(2): Tìm số nguyên dương n để n5+ chia hết cho n3+
Giải: Biến đổi: n5+1n3+1
2 3
2
( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)(n 1) n n 1(v n 0)
n n n n
n n n n
n ì
⇔ + − − +
⇔ + − + − +
⇔ − − + + ≠
Nếu n=1 ta chia hết cho
(47)Ví dụ 48(2): Tìm số nguyên n để n5+ chia hết cho n3+
Giải: Cũng biến đổi ví dụ 47, ta có n−1 n2− + n n−1 n2− +n 1⇒n n( − 1) n2− +n 1⇒n2− n n2− + n
(n n 1)
⇒ − + −
1
n − +n ⇒ n2− + n Có trường hợp:
2
n − + = ⇔ (n n n− = ⇔ n = 0; n = Các giá trị thỏa mãn đề 1)
1
n − + = -1 ⇔ n n2− + = , vô nghiệm n Vậy n = 0, n = hai số phải tìm
Chú ý: Từ n−1 n2 − + suy (n n n− 1) n2 − + phép kéo theo n phép biến đổi tương đương Do sau tìm n = 0, n = ta phải thử lại
Ví dụ 49(2) Tìm số tự nhiên n cho 1n − chia hết cho
Giải: Nếu n = 3k ( k ∈ N) 1n− =
2 k− = 8k − chia hết cho Nếu n = 3k + ( k ∈ N) 1n− = 23k+1− = 2(23k− +1) = BS + Nếu n = 3k + ( k ∈ N) 1n− = 23k+2− =1 4(23k− +1) = BS + Vậy 1n− chia hết cho ⇔ n = 3k ( k ∈ N)
Bài tập
186 (3): Chứng minh với số nguyên n, ta có:
a) n3+n2+2n chia hết cho 6; b) (n2+ −n 1)2−1 chia hết cho 24
187(3): Chứng minh :
a) n3+6n2 +8n chia hết cho 48 với số chẵn n; b) n4−10n2+ chia hết cho 384 với số lẻ n
188(3) Chứng minh n6+n4−2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n
189(3) Chứng minh 32n− chia hết cho 72 với số nguyên dương n
190 (3) Chứng minh với số tự nhiên a n :
a) 7n 7n+4 có hai chữ số tận nhau; b) a a có ch5 ữ số tận nhau;
c) a n an+4 có chữ số tận ( n≥1 )
Bài 191(3) Tìm điều kiện số tự nhiên a để a2+3a+ chia hết cho
192(2) a) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a2− chia hết cho 24
b) Chứng minh a b số nguyên tố lớn a2− chia hết cho 24 b2 c) Tìm điểu kiện số tự nhiên a để
1
(48)193 (2) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c cho a2+b2+ số nguyên tố c2
194 (2) Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2+b2 =c2+d2 Chứng minh
a+ + +b c d hợp số
195 (3) Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd Chứng minh a5+ + +b5 c5 d5 hợp số
196 (2) Cho số tự nhiên a b Chứng minh rằng:
a) Nếu a2+ b2 chia hết cho a b chia hết cho b) Nếu a2+b2 chia hết cho a b chia hết cho
197 (3) Cho số nguyên a, b, c Chứng minh rằng:
a) Nếu a + b + c chia hết cho a3+ + chia hết cho b3 c3 b) Nếu a + b + c chia hết cho 30 a5+ + chia hết cho 30 b5 c5
198 (3) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:
a) a3+ + chia hết cho 3abc b3 c3 b) a5+ + chia hết cho 5abc b5 c5
199 (3) a) Viết số 1998 thành tổng ba số tự nhiên tùy ý Chứng minh tổng lập phương
3 số tự nhiên chia hết cho
b)* Viết số 19951995 thành tổng nhiều số tự nhiên Tổng lập phương số tự nhiên chia cho dư bao nhiêu?
200 (3) Chứng minh với số nguyên a b :
a) a b ab3 − chia hết cho ; b) a b ab5 − chia hết cho 30
201 (3) Chứng minh số tự nhiên viết dạng b3+6c b c số nguyên
202* (2) Chứng minh số tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện
2 2
a +b = abc chia hết cho 60 c
203(3).Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho
204(3) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên chia hết cho tồn
trong ba số bội số
205(2) Cho dãy số 7,13, 25, …,3n(n-1) + (n ∈ N) Chứng minh :
a) Trong năm số hạng liên tiếp dãy, tồn bội số 25 b) Khơng có số hạng dãy lập phương số nguyên
206(3) a) Chứng minh số tự nhiên a khơng chia hết cho a6− chia hết cho
b) Chứng minh n lập phương số tự nhiên ( 1) (n− n n+ chia hết cho 1) 504
207(3) Chứng minh A chia hết cho B với:
(49)B = + + 3+…+ 99 +100 b) A= 13+ + + +23 33 983+993
B = + + 3+…+ 98 + 99
208(2) Các số sau có số phương khơng ?
a) A = 22…24(có 50 chữ số 2); b) B = 44…4( có 100 chữ số 4); c) A = 1994 + 7; d) * B = 144…4( có 99 ch7 ữ số 4)
209(2) Có thể dung năm chữ số 2, 3, 4, 5, lập thành số phương có chữ số khơng
?
210(2) Chứng minh tổng hai số phương lẻ khơng số phương 211(2) Chứng minh số lẻ viết dạng hiệu hai số phương 212*(2) Chứng minh rằng:
a) A = 12+22+ +32 42+ + 1002 khơng số phương; b) B = 12 +22+ +32 42+ + 562 khơng số phương; c) C = + + + +…+ n số phương (n lẻ)
213(2) Chứng minh :
a) Một số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn b) Một số phương lẻ chữ số hàng chục chữ số chẵn
c) Một số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ
d) Một số phương tận chữ số hàng chục chữ số hàng trăm chữ số chẵn
214(2) a) Một số phương có chữ số hàng chục Tìm chữ số hàng đơn vị
b) Một số phương có chữ số hàng chục chữ số lẻ Tìm chữ số hàng đơn vị c) Có số tự nhiên n từ đến 100 mà chữ số hàng chục n ch2 ữ số lẻ ?
215(3) Chứng minh rằng:
a) Tích hai số ngun dương liên tiếp khơng số phương b)* Tích ba số ngun dương liên tiếp khơng số phương c)* Tích bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số phương
216(2) Cho hai số tự nhiên a b, a= −b
Chứng minh b3− viết dạng tổng ba số phương a3
217(3) Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương :
a) n2− + ; b) n n4− + ; n c)* n3− + ; d)* n n5− + ; n
(50)219*(2) Chứng minh n+1 2n+1 (n ∈ N) số phương n chia hết cho
24
220*(2) Chứng minh 2n+1 3n+1 (n ∈ N) số phương n chia hết cho
40
221(2) Tìm số nguyên tố p để :
a) 2p2+1 số nguyên tố;
b) 4p2+1 6p2+1 số nguyên tố
222 ( )3 Tìm số tự nhiên n để gía trị biểu thức số nguyên tố:
a) 12n2−5n−25 b) 8n2+10n+3 c)
3 n + n
223 ( )3 Chứng minh với số nguyên n: a)
7 22
n + n+ không chia hết cho ; b) n2−5n−49 không chia hết cho 169
224 ( )3 Các số tự nhiên n
n có tổng chữ số Tìm số dư n chia cho
225 *( )1 a) Cho chín số tự nhiên từ đến xếp theo thứ tự tùy ý Lấy số thứ trừ 1, lấy số thứ hai trừ 2, lấy số thứ ba trừ 3, …, lấy số thứ chín trừ Chứng minh tích chín số lập số chẵn
b) Cho hai dãy số a1, , , a2 a9 b b1, , , 2 b9 a1, , , a2 a9 số nguyên 1, , ,
b b b chín số nguyên lấy theo thứ tự khác Chứng minh
rằng tích (a1−b1)(a2−b2) ( a9−b9) số chẵn
226 ( )3 Tìm số nguyên n cho: a)
2
n + n− chia hết cho 11 ; b)
2n +n +7n+1 chia hết cho 2n−1; c)
2
n − chia hết cho n−2; d)
3
n − n − n− chia hết cho
1 n + +n ; e)
2 2
n − n + n − n+ chia hết cho n − ; g)* n3−n2+2n+7 chia hết cho n2+1
227 ( )1 Đố vui: Năm sinh hai bạn
Một ngày thập kỉ cuối kỉ XX, người khách đến thăm trường gặp hai học sinh Người khách hỏi:
- Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời:
(51)- Vậy em sinh năm 1979 1980 không?
Người khách suy luận nào?
228 ( )1 Tìm số nguyên dương n để 2n số nằm hai số nguyên tố sinh đôi (*) (hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng đơn vị)
229 ( )2 Cho số nguyên tố a b c d e g, , , , , thỏa mãn 2 2 2
a +b +c +d +e =g Chứng minh tích abcdeg số chẵn
230 ( )2 Chứng minh số nguyên a b c d, , , , tích (a b a c− )( − )(a d− )(b c b d− )( − )(c d− ) chia hết cho 12
231 *( )1 Chứng minh có đến 33 số nguyên dương khác nhau, không 50
, khơng tồn hai số mà số gấp đơi số cịn lại
232 ( )1 Chứng minh tồn vô số bội 2003 mà biểu diễn thập phân chúng khơng có chữ số 0, 1, 2,
233 ( )1 Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 2003k−1 chia hết cho 51 Các toán sau sử dụng đẳng thức 8, công thức Niu-tơn
234 ( )2 Chứng minh 51
2 −1 chia hết cho
235 ( )2 Chứng minh 70 70
2 +3 chia hết cho 13
236 ( )2 Chứng minh 19 17
17 +19 chia hết cho 18
237 ( )2 Chứng minh 63
36 −1 chia hết cho 7, không chia hết cho 37
238 ( )2 Chứng minh số sau hợp số: a) 20
4 −1; b) 000 001; c) 50
2 +1
239 ( )2 Chứng minh
1.4 2.4+ +3.4 +4.4 +5.4 +6.4 chia hết cho
240 ( )2 Chứng minh biểu thức A=31n−15n −24n+8n chia hết cho 112 với số tự nhiên n
241 ( )2 Tìm số tự nhiên n để 3n−1 chia hết cho
242 ( )2 Tìm số tự nhiên n để 32n+3+24n+1 chia hết cho 25
243 ( )2 Tìm số tự nhiên n để 5n−2n chia hết cho
244 ( )2 Tìm số tự nhiên n để 5n−2n chia hết cho 63
245 ( )2 Tìm số tự nhiên n để 1n+22+ +3n 4n
chia hết cho
246 ( )2 Tìm số dư chia 22 55
22 +55 cho
247 ( )2 Tìm số dư chia 1994
2 cho
248 ( )2 Tìm số dư chia 1993
3 cho
249 ( )2 Tìm số dư chia 1993 1995
1992 +1994 cho
250 ( )2 Tìm số dư chia 1998 1998
(52)251 *( )2 Tìm số dư chia 1011 910
9 −5 cho 13
252 *( )2 Chứng minh số 22
2 n
A= + + hợp số với số nguyên dương n
253 ( )2 Tìm số dư chia số sau cho 7: a) 91945
2 ; b) 21930
3
254 ( )2 Tìm số dư chia ( ) (111 )333
1
n − n − cho n n∈
255 ( )2 Cho 12
455
ab= Tìm số dư chia a+b cho
256 ( )2 Tìm hai chữ số tận :
a) 3999 ; b) 77
7
257 ( )2 Tìm ba chữ số tận 100
258 *( )2 Thay dấu * chữ số thích hợp:
89 =496 ** 290 961
TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
I – TÌM DƯ CỦA PHÉP CHIA MÀ KHÔNG THỰC HIỆN PHÉP CHIA
1 Đa thức chia có dạng x−a ( a số )
Ví dụ 50(4) Chứng minh số dư chia đa thức f x( ) cho nhị thức x−a giá trị đa thức f x( ) x−a
Định lí Bê-đu (Bézout,1730-1783, nhà toán học Pháp)
Giải: Do đa thức chia x−a có bậc nên số dư chia f x( ) chi x−a số r Ta có: f x( ) (= x a Q x− ) ( ) +r
Đẳng thức với x nên với x=a ta có:
( ) ( ) ( )
f a = Q a + ⇒r f a =r
Chú ý: Từ định lí Bê-đu, ta suy ra:
Đa thức f x( ) chia hết cho x−a f a( )=0 ( tức a nghiệm đa thức )
Ví dụ 51(4) Chứng minh đa thức f x( ) có tổng hệ số đa thức chia hết cho x−1
Giải: Gọi ( )
1
n n
o n n
f x =a x +a x − + +a− x+a
Theo giả thiết, ta có: ao+ + +a1 an−1+an =0 (1) Theo định lí Bê-du, số dư chia f x( ) cho x−1 là:
( )1 o n n
r= f =a + + +a a − +a (2)
Từ (1) (2) suy r=0 Vậy f x( ) chia hết cho x−1
(53)Giải: Gọi ( ) 2
1 2
n n
o n n
f x =a x +a x − + +a − x+a ao
Theo giả thiết, ta có: ao+a2+ + a2n−2+a2n = + + +a1 a3 a2n−1 nên (ao +a2+ + a2n−2+a2n) (− a1+ + +a3 a2n−1)=0 (1) Theo định lí Bê-du, số dư chia f x( ) cho x+1 là:
( )1 o 2n 2n
r= f − =a − +a a − +a − +a =(ao+a2+ + a2n−2+a2n) (− a1+ + +a3 a2n−1) (2) Từ (1) (2) suy r=0 Vậy f x( ) chia hết cho x+1
2 Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên Ví dụ 53(4) Tìm dư chia
7
x +x +x + cho x −
Giải: Để tìm dư trường hợp này, ta thường dùng cách sau:
Cách 1: (tách ở đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia )
Ta biết xn −1 chia hết cho x−1 với số tự nhiên n nên n
x − chia hết cho x − Do
1 x − ,
1
x − ,… chia hết cho x −
Ta có: 7
1
x +x +x + =x − +x x − +x x − +x x+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
x x x x x x x
= − + − + − + +
Dư chia
x +x +x + cho
x − 3x+1
Cách 2: (xét giá trị riêng)
Gọi thương Q x( ) , dư ax b+ Ta có:
( )( ) ( )
1 1
x +x +x + = x− x+ Q x +ax b+ với x
Đẳng thức với x nên
với x=1 ta 4= +a b (1), với x=0 ta 1 b= (2) Từ (1) (2), suy a=3,b=1
Dư phải tìm 3x+1
Chú ý:
Để tách đa thức chia hết cho
x −
x + , cần nhớ lại đẳng thức 9:
n n
a −b chia hết cho a b− (a≠b) ; n n
a +b chia hết cho a+b (a≠ −b) II- SƠ ĐỒ HC-NE(*) (horner (1786-1837):nhà tốn học Anh)
1 Ví dụ 54(4) Chia đa thức:
a) ( ) ( )
5 :
x − x + x− x− ; b) ( ) ( )
9 10 :
x − x + x+ x+ ; c) ( ) ( )
7 :
x − x+ x+
(54)a) Thương
3
x − x+ b) Thương
10 16,
x − x+ dư −6 c) Thương
3
x − x+
2 Sơ đồ Hooc – ne
Ta tìm kết chia đa thức f x( ) cho nhị thức x a− (a số) cách khác
Trở lại câu a) ví dụ :
( ) ( )
5 :
x − x + x− x− Các hệ số đa thức bị chia thứ tự 1, 5,8, 4− − ; số a ví dụ
a) Đặt hệ số đa thức bị chia theo thứ tự vào cột dòng
1 −5 −4
2 a=
b) Trong bốn cột để trống dùng dưới, bo cột đầu cho ta hệ số đa thức thương, cột cuối cho ta số dư
- Số cột thứ dòng số tưởng ứng dòng :
1 −5 −4
2
a=
- Kể từ cột thứ hai, số dòng xác định cách lấy a nhân với số dòng liền trước, cộng với số cột dịng trên(xem hình 3)
Sơ đồ:
Hình
Ta có thương
3
x − x+ , số dư
Sơ đồ thuật toán gọi sơ đồ Hooc- ne
Bạn đọc dùng sơ đồ kiểm tra lại kết câu b) c)
x a =
-4
-3 -5
+ 1
2
x a =
-4
-3 -5
+
1
+
x a
0
x a =
-4
-3 -5
+
(55)Như đa thức bị chia
0
a x +a x +a x+a , đa thức chia x−a, ta thương
2
0 2,
b x +b x b+ dư r Theo sơ đồ Hooc – ne ta có :
0
a a1 a2 a3
a b0 =a0 b1=ab0+a1 b2 =ab1+a2 r =ab2+a3
3 Chứng minh sơ đồ Hooc – ne
Tổng quát với đa thức bị chia
0
n n n x
n n
a x +a x − +a x − + +a− x +a đa thức chia
x a− , thương 1
n n
n n
b x − +b x − + +b− x b+ − , dư r Ta cần chứng minh :
0
b =a
1
b =ab +a
2
b =ab +a
……
1
n n n
b− =ab− +a −
1
n n
r=ab− +a
Thật vậy, thực phép tính
( )( )
0
n n
n n
x−a b x − +b x − + +b− x b+ − +r
Rồi rút gọn, ta
( ) ( )
0
n n
n n n
b x + b −ab x − + + b− −ab− x ab− − +r Đồng đa thức với đa thức bị chia, ta :
0
b =a
1
b −ab =a
…
1
n n n
b− −ab− =a −
1
n n
r−ab− =a
Từ suy điều phải chứng minh
4 Áp dụng sơ đồ Hooc – ne để tính giá trị đa thức f(x) x = a
Sơ đồ Hooc – ne cho ta dư chia đa thức f x cho nh( ) ị thức x −a Chú ý
rằng theo định lí Bê-du, số dư chia f x cho ( ) x−a bằng f a( ) Do dùng dơ đồ Hooc – ne ta tính giá trị đa thức f x t( ) ại x =a
(56)Giải : Theo định lí Bê – du, f 37( ) số dư chia f x( ) cho x−37. Ta lập sơ đồ Hooc – ne :
1 3 0 -4
a =37 1 37.1 3+ =40 37.40+ =0 1480 37.1480− =4 54756 Vậy f 37( )=54756
III – CHỨNG MINH MỘT ĐA THỨC CHIA HẾT CHO MỘT ĐA THỨC KHÁC
Ta chỉ sét đa thức biến Thường có cách sau :
1 Cách Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, có nhân tử đa thức chia
Ví dụ 56(4) Chứng minh x8n +x4n + chia hết cho 1 x2n +xn + với số tự 1 nhiên n
Giải:
( 4n 2n )( 4n 2n )
x x 1 x x 1
= + + − +
Tiếp tục phân tích :
4n 2n 4n 2n 2n
x +x + =1 x +2x + −1 x
( 2n ) ( ) (2 n 2n n )( 2n n )
x 1 x x x 1 x x 1
= + − = + + − +
Vậy x8n +x4n + chia h1 ết cho x2n +xn + 1.
2 Cách Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia
Ví dụ 57(4) Chứng minh x3m 1+ +x3n 2+ + chia h1 ết cho x2+ + vx 1 ới số tự nhiên m, n
Giải:x3m 1+ +x3n 2+ + =1 x3m 1+ − +x x3n 2+ −x2 +x2 + + x 1
( 3m ) 2( 3n ) ( )
x x 1 x x 1 x x
(57)Ta thấy 33m − 1 x3n − chia h1 ết cho x3−1, chia hết cho x2 + + Vx 1 ậy
3m 3m
x + +x + + chia h1 ết cho x2 + + x 1.
Ví dụ 58(4) Chứng minh với số tự nhiên m, n
6m 6n
x + +x + + chia hết cho 1 x2 − + x 1.
Giải: x6m 4+ +x6n 2+ + =1 x6m 4+ −x4 +x6n 2+ −x2 +x4 +x2 + 1
( ) ( ) ( )
4 6m 6n
x x 1 x x 1 x x 1
= − + − + + +
Do x6m −1 x −1, x6n −1 x 6n −1
( )( )
6 3 2
x − =1 x +1 x −1 x −x +1.
( )2
4 2 2
x +x + =1 x +1 −x x − +x 1
Nên suy điều phải chứng minh
3 Cách Sử dụng biến đổi tương đương, chẳng hạn để chứng minh f x g x( ) ( ) , có thể chứng minh f x( ) ( ) ( )+g x g x hoặc f x( ) ( ) ( )−g x g x
Xem tập 268
4 Cách Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia ( )* (ta công nhận điều dẫn đến đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia)
Ví dụ 59(4) Cho f x( )=(x2 + −x 1) (10 + x2 − +x 1)10 −2 Chứng minh f x( ) chia hết cho x2 − x
Giải: Đa thức chia có hai nghiệm x 0,x 1= = Ta chứng tỏ x 0,x 1= =
(58)Ta cóf 0( )= + − = nên 1 2 0 f x( ) chia hết cho x Ta lại có f 1( )= + − = nên 1 2 0 ( )
f x chia hết cho x 1− Các nhân tử x x 1− không chứa nhân tử chung
Do f x( ) chia hết cho x x 1( − )
Bài tập
259(4) Khơng đặt tính chia đa thức, xét xem đa thức x3 −9x2 +6x 16+ có hay không chia hết cho:
a)x 1+ ; b) x− 3.
260(4) Tìm dư chia đa thức sau:
a)x : x41 ( +1 ;) b)x : x43 ( +1)
261(4) Tìm dư chia x +x3 +x9 +x27 cho:
a) x 1;− b)x2 − 1.
262(4) Tìm dư chia x99 +x55+x11+ + cho: x 7
a) x 1;+ b)x2 + 1
263(4) Tìm dư chia đa thức f x( )=x50 +x49 + + x2 + +x 1 cho x2 − 1.
264(4) Tìm đa thứcf x , bi( ) ết f x chia cho ( ) x−3 thì dư 7, f x chia cho ( ) x −2
thì dư 5, f x chia cho ( ) (x−2 x)( − 3) thì thương 3x và dư
265(4) Tìm đa thức f x , bi( ) ết f x chia cho ( ) x−3 thì dư 2, f x chia cho ( ) x+4 dư 9, f x chia cho ( ) x2 + −x 12 thì thương x2 + 3 và cịn dư
266(4) Khi chia đơn thức x cho 8 x 1 2
+ , ta thương B x ( ) và dư số r1
Khi chia B x cho ( ) x 1 2
(59)267(4) Chứng minh :
a) x50 +x10 + chia h1 ết cho x20 +x10 + 1;
b) x2 −x9 −x1945 chia hết cho x2 − + x 1;
c) x10 −10x+ chia h9 ết cho (x ;− )2
d)*8x9 −9x8 + chia h1 ết cho (x ;− )2
268 (4) Chứng minh f(x) chia hết cho g(x) với:
99 98 97 11
9
f (x) x x x x 1
g(x) x x x x 1
= + + + + +
= + + + + +
269 (4) Chứng minh đa thức (x+y) (6 + x−y)6 chia hết cho x2 +y2
270 (4) Chứng minh với số tự nhiên n:
a) (x 1)+ 2n −x2n −2x 1− chia hết cho x(x 1)(2x 1)+ + b) x4n 2+ +2x2n 1+ + chia h1 ết cho (x 1)+ 2
c) (x 1)+ 4n 2+ +(x 1)− 4n 2+ chia hết cho x2+ 1
271 (4) Chứng minh với số tự nhiên n (xn −1 x)( n 1+ −1) chia hết cho
(x 1)(x 1)+ −
272 (4) Chứng minh với số tự nhiên m, n thì: x6m 4+ +x6n 2+ + chia hết cho 1
4
x +x + 1
273*(4) Tìm số tự nhiên n cho x2n +xn + chia hết cho 1 x2 + + x 1
274 (4) Xác định số k để đa thức:
3 3
A=x +y +z +kxyz chia hết cho x+ +y z
(60)Ble – dơ Pa – xcan J – xắc Niu – Tơn
Pa – xcan (Blaise Pascal) sinh ở Pháp năm 1623 Lúc nhỏ Pa – xcan yếu nên cha ông giấu sách liên quan đến Toán học, sợ suy nghĩ căng thẳng sẽ ảnh hưởng không tốt đến sức khỏe
Nhưng cậu bé Pa – xcan đến với Toán học: Cậu đã tự xây dựng mơn Hình học “của riêng mình”: cậu đặt tên cho đường thẳng gậy, đường tròn bánh xe, hình chữ
nhật mặt bàn… Cậu cơng nhận số tính chất (tiên đề) chứng minh nhiều tính chất khác, có định lý tổng ba góc tam giác Lúc cậu 12 tuổi.
Bốn năm sau, Pa – xcan lại hoàn thành luận văn khoa học, có định lý về “ hình lục giác thần kì”: Nếu lục giác nội tiếp đường tròn (hoặc elip, một parabol, tổng qt: nội tiếp thiết diện Cơnic) ba giao điểm đường thẳng chứa cặp cạnh đối nằm đường thẳng (h.4) Định lí tiếng
là một định lí sở của
(61)Năm 19 tuổi, để giúp cha đỡ vất vả tính tốn, Pa – xcan làm tặng cha chiếc máy tính Máy tính gồm nhiều bánh xe rang cưa liên kết với nhau, các bánh xe gắn với chữ số, chuyển dịch bánh xe làm chuyển dịch chữ số, cho phép thực đuợc phép tính cộng trừ Sáng chế đuợc giới khoa học đánh giá cao
Năm 1654, Pa – xcan công bố công trình tam giác số, đuợc gọi tam giác Pa – xcan, cho phép tính đuợc cách đơn giản hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn Pa – xcan người định nghĩa xác vận dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh
Pa-xcan cịn nghiên cứu biến cố ngẫu nhiên,đặt móng cho mơn xác suất Ơng nghiên cứu đại lượng vô bé đến gần phép tính vi phân tích phân mà Niu-tơn Lai-bơ-nit người sáng lập
Về vật lý học, Pa – xcan nhà thực hành tài giỏi Ơng tìm định luật mang tên ơng: chất lỏng chất khí truyền áp suất nguyên vẹn, không thay đổi và theo mọi phương Các máy ép dùng nuớc, phanh hãm dùng dầu… vận dụng định luật
Pa – xcan nhà văn với Tư tưởng mang tính ngụ ngơn luận lí Pa – xcan bị tai nạn xe ngựa vào năm 1654 năm 1662, lúc 39 tuổi
I-xắc Niu-tơn sinh Anh năm 1642 (*) mất bố cậu chưa chào đời
(*) I-sắc Newton (1642 – 1727), nhà toán học vật lí học Anh Theo bách khoa tồn
thư Anh Petit Larousse (Pháp), Niu-tơn sinh năm 1642 Theo Bách khoa Đức Đại bách khoa toàn thư Nga, ông sinh năm 1643
(62)Tài Niu-tơn sớm nảy nở từ hồi niên thiếu
Khoảng 12 tuổi, cậu bé Niu-tơn làm lấy đuợc đồng hồ nuớc đồng hồ theo bóng mặt trời Chiếc cối xay gió nhỏ cậu đặt cạnh nhà làm người ngạc nhiên quay đuợc lúc khơng có gió: Cậu nhốt chuột bên trong, chuột chạy làm chuyển động cánh quạt cối xay
Cậu bé tinh nghịch Niu-tơn làm dân làng khiếp sợ
cậu làm diều có buộc đèn lồng đỏ thả diều giật sợi dây diều để tạo ra “ngơi chổi” nhảy nhót bầu trời
Năm 1661, Niu-tơn học đại học đuợc bảo hết lòng giáo sư Ba-râu Thời sinh viên, Niu-tơn chứng minh đuợc định lí khai triển (a + b)n mà vế sau người ta gọi nhị thức Niu-tơn
Cơng lao lớn Niu-tơn Tốn học sáng tạo phép vi phân tích phân, đồng thời độc lập với Lai-bơ-nit Vi phân tích phân Niu-tơn đậm chất hình học, cịn vi phân tích phân Lai-bơ-nit lại giàu tính đại số Những khám phá của Niu-tơn vi phân tích phân thực trước Lai-bơ-nit 10 năm, lại công bố công khai sau Lai-bơ-nit năm Các thành kiệt xuất Niu-tơn Lai-bơ-nit đã tạo cách mạng lớn toán học
Niu-tơn nhà vật lí thiên tài Với ba định luật chuyển động định luật vạn vật hấp dẫn, Niu-tơn xây dựng môn học mà ngày người ta quen gọi Cơ học cổ điển Nhờ định luật đó, người ta phát hành tinh mới, tính tốn đuợc xác thời điểm nhật thực nguyệt thực
(63)với khối lượng chúng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách chúng”
Sở dĩ Niu-tơn công bố định luật vạn vật hấp dẫn chậm đến 10 năm ơng phải dành thời gian nghiên cứu phép tính tích phân để tìm lập luận cần thiết chứng minh xác định luật
Trong lĩnh vực quang học, Niu-tơn người chứng minh đuợc ánh sáng trắng hỗn hợp bảy màu: đỏ, da cam, vàng, lục, lam, chàm, tím Thiên văn học đại chịu ơn Niu-tơn với phát minh ơng kính thiên văn phản xạ bằng cách dung gưong cầu thay cho kính thiên văn khúc xạ dùng thấu kính, nhờ đó nhìn thấy đuợc vệ tinh Mộc
Niu-tơn cịn đuợc giao cơng việc đúc tiền, làm Giám đốc Viện đúc tiền Chỉ sau ba năm nghiên cứu, ơng thay đổi tồn dây chuyền sản xuất đạt mức hai giây cho một đồng tiền bạc tiêu chuẩn chất lượng Ơng cịn có nhiều cơng trình xuất sắc niên đại học lịch sử
Có tài xuất sắc nhiều lĩnh vực, Niu-tơn lại người khiêm tốn, giản dị, có lịng nhân từ độ lượng, hay giúp đỡ người khác Niu-tơn thẳng thắn đấu tranh bảo vệ lẽ phải đuợc người mến phục Cậu bé Niu-tơn đẻ non, ốm yếu, tưởng chừng không sống nổi, mà sống đến 85 tuổi, mắt chưa phải dung đến kính chưa rụng răng!
Mải làm việc nên Niu-tơn nhiều đãng trí Người ta kể lại nhiều chuyện vui về tính đãng trí ơng: bỏ đồng hồ vào nồi luộc cầm trứng tay “để tính giờ luộc trứng”; khoét hai lỗ nhỏ cửa để lỗ to cho chó lỗ nhỏ cho mèo chui chui vào; mời bạn đến ăn, chạy vào phòng giải toán, bạn ăn xong về không hay, thấy bát đĩa dang dở lại nghĩ ăn thấy đói…
(64)chiều, lúc ơng 74 tuổi Năm 80 tuổi, Niu-tơn lại bắt tay vào sửa chữa Những
ngun lí tốn học triết học tự nhiên xuất lần thứ ba Chính Lai-bơ-nit nói
về Niu-tơn sau: “Xét toán học từ buổi sơ khai đến xuất Niu-tơn Niu-tơn làm đuợc nửa, mà nửa tốt nhiều”
Tên của Niu-tơn đuợc đặt cho đơn vị lực, kí hiệu N Cịn tên Pa-xcan đuợc đặt cho ngơn ngữ lập trình tin học: Ngơn ngữ Pa-xcan
(65)PHẦN HÌNH HỌC
Chương 1:
TỨ GIÁC
§1: TỨ GIÁC
Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA bất kỳ hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng
Các tứ giác đuợc nghiên cứu chương tứ giác lồi, tứ giác nằm nửa mặt phẳng chứa cạnh tứ giác
Khi nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi
Tổng bốn góc tứ giác 3600
Ví dụ Tứ giác ABCD có B+ =D 1800, CB = CD Chứng minh AC là tia phân giác của góc A
Giải: (h5) Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Ta có
B+ADC 180= , EDC+ADC 180 = 0 nên
B=EDC
ABC EDC
∆ = ∆ (c.g.c) => A1 = (1) E
AC = EC
Tam giác CAE có AC = EC nên tam giác cân, đó:
2 A = (2) E
(66)Bài tập
1 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc, AB = 8cm, BC = 7cm, AD = 4cm Tính độ dài CD
2.Tứ giác ABCD có
A− =B 50 Các tia phân giác góc C D cắt nhau I
CID 115= Tính góc A B
3 Cho tứ giác ABCD, E giao điểm đường thẳng AB CD, F giao điểm đường thẳng BC AD Các tia phân giác góc E F cắt I Chứng minh rằng:
a)Nếu
BAD 130 , BCD= =50 thì IE vng góc với IF
b) Góc EIF nửa tổng hai cặp góc đối tứ giác ABCD 4 Chứng minh M giao điểm đường chéo tứ giác ABCD thì MA + MB + MC + MD nhỏ chu vi lớn nửa chu vi tứ giác
5 So sánh độ dài cạnh AB đường chéo AC tứ giác ABCD biết chu vi tam giác ABD nhỏ chu vi tam giác ACD
6 Tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo, AB = , OA = 8, OB = 4, OD = Tính độ dài AD
7* Cho năm điểm mặt phẳng khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh chọn bốn điểm đỉnh tứ giác lồi
§ 𝟐 HÌNH THANG Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song
Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Trong hình thang cân, hai cạnh bên nhau, hai đường chéo Để chứng minh một hình thang hình thang cân, ta chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy nhau, có hai đường chéo
(67)Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang đường trung bình của hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy thì qua trung điểm cạnh bên thứ hai đường trung bình hình thang
Ví dụ Cho tam giác ABC có BC =a, đường trung tuyến BD, CE Lấy các điểm M, N cạnh BC cho BM = MN =NC Gọi I giao điểm
AM và BD, K giao điểm AN và CE Tính độ dài IK
Giải : (h.6) DN đường trung
bình ACM∆ nên DN / /AM BND
∆ có BM = MN ,
MI / / ND nên I kà trung điểm BD Tương tự, K trung điểm CE
Hình thang BEDC có I K trung điểm hai đường chéo nên dễ dàng chứng minh
a a
IK (BC ED) : 2 (a ) : 2
2 4
= − = − =
(Bạn đọc tự chứng minh)
Ví dụ Một hình thang cân có đường cao nửa tổng hai đáy Tính góc tạo hai đường chéo hình thang
Giải: (h.7) Xét hình thang cân ABCD (
AB / /CD), đường cao BH
AB CD BH
2 +
= (1)
Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E
Ta có BE = AC, AC = BD nên BE = BD Tam giác BDE cân B, đường cao
BH nên DH HE DE
2
= = (2)
K I
C N
M B
D E
A
H E
D C
(68)Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE (3) Từ (1) ,(2), (3) suy BH = DH = HE
Các tam giác BHD , BHE vuông cân H nên DBE=90 Ta có DB⊥BE, AC / /BE nên DB⊥AC
Bài tập Hình thang
8 Cho hình thang có hai đáy không Chứng minh rằng: a) Tổng hai góc kề đáy nhỏ lớn tổng hai góc kề đáy lớn b) Tổng hai cạnh bên lớn hiệu hai đáy
9 Hình thang ABCD có A= =D 900, đáy nhỏ AB = 11 cm, AD = 12 cm, BC = 13 cm Tính độ dài AC
10 Hình thang ABCD ( AB / /CD) có E trung điểm BC, AED=900 Chứng minh DE tia phân giác góc D
Hình thang cân
11 Hình thang cân ABCD ( AB / /CD) có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam giác cân : tam giác ABD cân A tam giác BCD cân D Tính góc hình thang cân
12 Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M ( MA > MB) Trên nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ tam giác AMC, BMD Gọi E, F, I, K theo thứ tự trung điểm CM, CB, DM, DA Chứng minh EFIK hình thang cân
13 Cho điểm M nằm bên tam giác ABC Chứng minh ba đoạn thẳng MA< MB, MC, đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn
Đường trung bình hình thang, tam giác 14 Cho tam giác ABC, trọng tâm G
(69)a)Vẽ đường thẳng d qua G, cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’
15* Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M N ( M nằm A N) Vẽ về phía AB tam giác AMD, MNE, BNF Gọi G trọng tâm của tam giác DEF Chứng minh khoảng cách từ G đến AB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M, N đoạn thẳng AB
16 Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm AD, BC a)Chứng minh : EF AB CD
2 + ≤
b) Tứ giác ABCD có điều kiện EF AB CD 2 +
= ?
17 Tứ giác ABCD có AB = CD Chứng minh đường thẳng qua trung điểm hai đường chéo tạo với AB CD góc
18 Trong tứ giác ABCD, gọi A’, B’ ,C’, D’ theo thứ tự trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh bốn đường thẳng AA’ , BB’, CC’, DD’ đồng quy
19 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với HM, cắt AB, AC theo thứ tự E F
a) Trên tia đối tia HC, lấy điểm D cho HD = HC Chứng minh E trực tâm tam giác DBH
b) Chứng minh HE = HF
20 Tứ giác ABCD có B C nằm đường trịn có đường kính AD Tính độ dài CD biết AD = 8, AB = BC =
§3 DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA
Giải tốn dựng hình ( thước compa) số hữu hạn
lần phép dựng hình tốn dựng hình chứng tỏ hình dựng có đủ điều kiện mà tốn địi hỏi
(70)1 Phân tích Giả sử có hình thỏa mãn điều kiện tốn Có thể vẽ thêm hình làm xuất yếu tố nêu đề làm xuât hiện hình dựng Đưa việc dựng yếu tố cịn lại của phải dựng phép dựng hình tốn dựng hình bản biết
2 Cách dựng: Nêu thứ tự tùng bước dựng hình dựa vào phép dựng hình tốn dựng hình bản, đồng thời thể bước dựng đó hình vẽ
3 Chứng minh: Dùng lập luận chứng tỏ với cách dựng trên, hình thỏa mãn điều kiện toán
4 Biện luận: Chỉ rõ trường hợp toán dựng dựng được hình thỏa mãn đề ( hình thỏa mãn đề gọi nghiệm hình)
Ví dụ 4: Dựng tam giác ABC biết: AC=b, AB=c, B − = αC
Giải (h.8)
a) Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC có:
AC=b, AB=c, B− = αC
Kẻ Ax / /BC, kẻ tia Cy cho: BCy= (Cy A phía B BC
)
x
c
m
y
b
n
c b B
D A
C
(71)ABCD hình thang cân nên:
CD=AB=c, ACD=BCD−BCA= −B BCA= α ACD
∆ dựng (biết hai cạnh góc xen giữa)
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện: nằm đường thẳng qua C , song song
với AD DAB=ADC b) Cách dựng:
- Dựng ACD∆ có: AC=b,CD=c, ACD = α - Qua C dựng đường thẳng Cm / /AD
- Dựng tia An cho: DAn =ADC , cắt Cm B c) Chứng minh:
Tứ giác ABCD có: AD / /BC, DAB =ADC nên hình thang cân, đó AB=CD=c, ABC =DCB.
Ta có: ABC−ACB =DCB ACB− =ACD= α
d) Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình b c> α <1800 Chú ý: Điểm B dựng ví dụ giao điểm hai tia Cm An
Điểm B dựng giao điểm hai đường, hay tổng quát giao điểm hai tập hợp ( quỹ tích)
Phương pháp lấy giao hai quỹ tích gọi phương pháp qũy tích
tương giao Nội dung phương pháp náy là: Để đựng điểm, ta phân tích
đó thỏa mãn hai điều kiện, điều kiện thức điểm thuộc quỹ tích, điều kiện thức hai điểm thuộc quỹ tích khác, giao hai quỹ tích cho ta điểm phải dựng
(72)- Điểm cách điểm O khoảng r nằm đường tròn ( )O;r
- Điểm nằm góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác của góc
Cũng cần ý đến số giao điểm hai đường Hai đường thẳng có thể có 0, vơ số giao điểm tùy theo chúng song song, cắt hay trùng nhau Đường thẳng đường trịn ( )O;r có thể có 0,1 giao điểm tùy
theo r < , r h h = ( h khoảng cách từ O đến đường thẳng) Hai đường tròn có thể có 0, 1, vơ số giao điểm
Dựa vào số giao điểm mà ta biện luận tốn
Ví dụ Chứng minh tồn hình thang có hình thang có độ dài bốn cạnh tứ giác cho trước
Giải: (h.9) Gọi a, b, c, d độ dài bốn cạnh tứ giác
(a ≥ ≥ ≥b c d).Cần chứng minh tồn hình thang có độ dài bốn cạnh trên: Chọn đáy lớn a, đáy nhỏ d Ta dựng ∆BEC rồi dựng D A (h.9)
Để chứng minh tồn hình thangABCD, ta sẽ chứng
tỏ tồn ∆BEC (tam giác có thể suy biến thành đoạn thẳng) Thật vật, ta có:
b+ > −c a d (vì d+ + >b c a aa, b, c, d bốn cạnh tứ giác ),
a− + ≥d b c (vì a c, b d≥ ≥ ), a − + ≥d c b (vì a b, c d≥ ≥ )
Bài tập
21 Dựng hình thang ABCD AB( // CD) , biết:
a) AB = cm, AD 2 1 = cm, BC = 3 cm, CD = 3 cm b) AB = a, CD = b, AC = c, BD = d
(73)22 Dựng hình thang cân ABCD AB / /CD , bi( ) ết
AB=a, CD=b, D = α
23 Dựng tứ giácABCD, biết ba góc và: a) Hai cạnh kề nhau; b) Hai cạnh đối
24 Dựng tam giác ABC biết B= β, C = α, BC−AB= d
25 Dựng tam giác ABC, biết:
a) A = α, BC=a, AC−AB=d;
b) B − = αC , BC=a, AC−AB=d 26 Dựng tam giácABC, biết:
a) A = α, BC=a, AC+AB=s;
b*) B − = αC , BC=a, AC+AB=s
27* Dựng tam giácABC, Biết A = α, AB+AC=s, đường trung tuyến
AM= m
28 Dựng tam giácABC, biết BC=a, đường cao AH h= , đường trung
tuyến BM m=
29 Dựng tam giácABC, Biết đường caoAH h= , đường trung tuyến AM= m
30 Dựng tam giác ABC có B=3C biết AB c, AC b= =
31 Dựng tam giác, biết độ dài ba đường trung tuyến
32 Cho góc xOy và điểm G ở góc Dựng tam giác OAB nhận
G làm trọng tâm, có A thuộcOx, B thuộc Oy
(74)34* Cho đường thẳng m hai điểm H, G thuộc nửa mặt phẳng bờ m Dựng tam giác ABC có B C thuộc m , nhận H làm trực tâm,
G làm trọng tâm
35* Dựng tam giác ABC vng A có AC 2AB= , biết BC 5= cm
36* Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng DE song song với BC ( D thuộc AB , E thuộcAC ) cho DE DB CE= +
37 Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng DE song song với BC ( D thuộc AB , E thuộc AC cho AE BD=
38* Cho hai đường thẳng song song a b , điểm C thuộc a , điểm O thuộc nửa mặt phẳng không chứa b có bờ a Qua O dựng đường thẳng m cắt a, b theo thứ tự A, B cho
CA = CB
39* a) Cho đường thẳng xy hai điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ xy Dựng điểm M thuộc xy cho AMx =2BMy
b) Giải toán trường hợp A B thuộc nửa mặt phẳng bờ xy
40* Cho tam giác ABC Dựng điểm M cho vẽ MA ' BC^ ,
MB' AC^ , MC' AB^ thìAB=BC=CA
§4 ĐỐI XỨNG TRỤC
Hai điểm gọi đối xứng với qua đường thẳng d nếu d là đường
trung trực đoạn thẳng nối hai điểm Khi điểm nằm đường thẳng
d thì điểm đối xứng với qua đường thẳng d là điểm
(75)Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua đường thẳng chúng
Hình thang cân nhận đường thẳng qua trung điểm hai đáy làm trục đối xứng
Ví dụ Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía
d Dựng điểm C thuộc d cho AC CB+ có độ dài ngắn
Hướng suy nghĩ Bài toán trở nên đơn giản để
bài cho A B nằm khác phía d Khi C giao điểm d với đoạn thẳng AB (h 10a) Trong trường hợp A, B nằm phía d , ta tạo điểm B' nằm khác phía với A d mà độ dài CB'
luôn bằng CB C thay đổi vị trí đường thẳng d Điểm B'
điểm đối xứng với B qua d
Giải: (h.10b)
Phân tích Vẽ B' đối xứng với B
qua d Gọi M điểm thuộc d Ta có
MB'=MB Do
AM+MB=AM+MB'≥AB' (hằng số) Vậy giá trị nhỏ AM+MB bằng AB' ⇔M thuộc đoạn thẳng AB'
Cách dựng Dựng B' đối xứng với B qua d Nối A với B, cắt d ở C
Chứng minh Gọi M điểm thuộc d Ta có
AM+MB=AM+MB'≥AB',AC+CB=AC+CB'=AB' Vậy AC+CB≤AM+MB.
Biện luận Bài tốn có nghiệm hình
Hình 10a
d
C A
B
Hình 10b
d C
A
B' B
(76)Ví dụ Cho hai đường thẳng x, y hai điểmA, B Dựng điểm C
thuộc x , điểm D thuộc y cho A, B, C, D đỉnh hình thang cân có AB một cạnh đáy
Giải: (h.11)
Phân tích Giả sử dựng hình thang
cân thoả mãn đề
Gọi d đường trung trực AB Dựng đường thẳng x' qua D qua giao điểm d x (nếu d / /x x đường thẳng qua D song song
với x ) Khi x' đối xứng với x qua d Điểm D thoả mãn hai điều kiện: thuộc x thuộc y Từ dựng điểm C
Cách dựng
- Dựng đường trung trực d AB
- Dựng đường thẳng x' đối xứng với x qua d
- Gọi D giao điểm x y Dựng C đối xứng với D qua d
Chứng minh Bạn đọc tự chứng minh
Biện luận
- Nếu x' trùng y tốn có vơ số nghiệm hình (h.12) Khi x và x ' đối xứng với qua d; nói cách khác trùng với phân giác góc tạo bởi x y (h12a) hoặc d là đường thẳng song song cách x y (h12b)
Hình 12
a)
d y
x'
x
A
B D
C
b)
d x' y
x
A
B D
C
Hình 11 y
d x'
x
A
B D
C
(77)- Nếu x'/ /y tốn khơng có nghiệm hình (h.13) Khi d song song với tia phân giác góc tạo x y (h.13a) d song song với đường thẳng song song cách x y (h.13b, c)
Hình 13
- Nếu x cắt y tốn có nghiệm hình (h 14) Khi d cắt hai đường thẳng chứa phân giác góc tạo x y (h.14a) d cắt đường thẳng song song cách đểu x y (h 14b)
Hình 14
Riêng x' cắt y tại điểm D thuộc d, tốn khơng có nghiệm hình
(hình thang cân suy biến thành tam giác cân, h.15 a, b); x' cắt y tại điểm
D thẳng hàng với AB , tốn khơng có nghiệm hình (hình thang cân suy biến thành đoạn thẳng)
a)
d
x x' y
A
B
b)
x d
x' y
A
B
c) x' x
d y
A
B
a) x'
d
y
x
D
A
B
C x
y
d x'
b)
B A
(78)Hình 15
Chú ý
1 Trong cách dựng trên, ý đến tính đối xứng trục, ta dựng d đường trung trực AB , đường thẳng d xác định, điểm C D đối xứng với qua d , Ta thấy: D đối xứng với C qua d , mà C thuộc
đường x Dthuộc đường thẳng x ' đối xứng với x qua d
2 Giao điểm x y ' cho ta điểm D Cũng phân tích: C đối xứng
với D qua d , mà D thuộc y nên C thuộc đường thẳng y’ đối xứng với y qua
d Giao điểm x y ' cho ta điểm C Bài tập
41 Cho tam giác ABC có
A=60 , đường phân giác BD CE
cắt I Qua E kẻ đường vuông góc với BD , cắt BCở F Chứng minh
rằng:
a) E, Fđối xứng với qua BD b) IF tia phân giác của góc BIC
c) D Fđối xứng với qua IC
42 Cho ba điểm O,D,E Dựng tam giác ABC cho O là giao điểm
của đường phân giác BD CE
43 Cho đường thẳng dvà hai điểm A,B nằm khác phía d Dựng điểm C thuộc d cho tia phân giác của góc ACBnằm d
a)
d
y x'
x
D
A
B
x' x b)
y
d
D
B A
(79)44 Dựng thang cân ABCD(AB / /CD) có D =2ACD, biếtCD a= , đường cao AH h=
45* Cho điểm M nằm bên tam giác ABC, A ' đối xứng với M qua đường phân giác góc A , '
B đối xứng với M qua đường phân giác góc B , C'đối xứng với M qua đường phân giác góc C Chứng minh
các đường thẳng ' ' '
AA , BB ,CC đồng quy song song đôi
46* Cho tam giác ABC Vẽ tia Ax,Ay góc A cho
BAx=CAy, vẽ tia Bz,Bt góc B cho ABz=CBt Gọi E giao điểm Ax Bz, gọi Flà giao điểm Ay Bt Chứng minh
ACE=BCF
Bài tập: 350,351
§5: HÌNH BÌNH HÀNH
Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song
Trong hình bình hành: cạnh đối nhau, góc đối nhau, đường chéo cắt trung điểm đường
Mỗi tứ giác hình bình hành có dấu hiệu sai: - Các cạnh đối song song
- Các cạnh đối
- Hai cạnh đối song song - Các góc đối
- Hai đường chéo cắt trung điểm đường
Ví dụ Cho hình thang vng ABCD(A = =D 900), có AB 1CD 2
=
(80)Giải: (1.16) Gọi N trung điểm HD Ta có MN đường trung bình HDC nên
MN / /DC ,MN 1DC 2
= Ta lại có
AB / /DC ,AB 1DC 2
= ,do
AB / /MN;AB=MN
Vậy ABCD hình bình hành, suy
AN / /BM (1) ADMcó
DH ⊥AM;MN⊥AD, suy AN⊥DM (2) Từ (1) va (2) suy BMD=900
Hình 16
Ví dụ 9: Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác ABC có
0
A 120 ;= AB=4cm;AC=6cm
Giải: Cách (h.17) Vẽ điểm E cho M trung điểm AE Tứ giác ABEC hình bình hành, ABE 180= −BAC 180 = −1200 =600
Kẻ AH⊥BE Tam giác vng ABH có B =600nên
AB 4
BH 2(cm)
2 2
= = = Suy HE=BE−BH= − =6 2 4(cm)
Trong ABHvuông: AH2 =AH2 −BH2 =16− =4 12
Trong AHEvuông: AE2 =AH2 +HE2 =12 16+ =28 Do AE=2 (cm) Suy AM = 7 (cm)
(81)Hình 17 Hình 18
Cách (h.18) Kẻ BH AC;MK AC⊥ ⊥ Lần lượt tính
AH=2cm;HB=2 3cm; MK = 3cm; HK HC 2 6 4(cm);AK 2cm
2 2
+
= = = =
Từ tính AM= 7cm
Bài tập
47 Cho điểm D nằm bên tam giác ABC Vẽ tam giác BDE,CDF( E, F, D nằm phía BC) Chứng minh AEDF hình bình hành
48 Cho tam giác ABCcân tại A Lấy điểm D cạnhAB , điểm E cạnh AC cho AD=CE Gọi I trung điểm DE , K giao điểm
AI BC Chứng minh ADKE hình bình hành
49 a) Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối tứ giác gặp điểm
Bài tốn của Giéc – gơn (Gergonne, nhà toán học Pháp, 1771 – 1859)
b) Dùng định lí chứng tỏ tứ giác có đường thẳng nối trung điểm cnahj đối qua giao điểm hai đường chéo tứ giác hình bình hành
(82)Gọi M,I,K,N theo thứ tự trung điểm AD;EG;FH;BC Chứng minh rằng bốn điểm M,I,K,N thẳng hàng MI IK KN= =
51 Hình bình hành ABCD có A =600 Lấy điểm E,Ftheo thứ tự thuộc cạnh AD,CD cho DE CF= Gọi K điểm đối xứng với Fqua
BC Chứng minh EK song song với AB
52 Cho tam giác ABC có A >900 Trong góc A vẽ đoạn thẳng AD, AE cho AD vng góc bằng AB , AE vng góc AC Gọi M trung điểm DE Chứng minh AM vuông góc với BC
53 Vẽ phía ngồi tam giác ABCcác tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân tại C Gọi M trung điểm DE Hãy xác định dạng tam giác BMC
54 Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BCcắt AB, ACở D,E Gọi G trọng tâm tam giác ADE,I trung điểm CD Tính số đo góc tam giác GIB
55 Cho điểm E thuộc cạnh AC tam giác ABC Đường vng góc với AB kẻ từ E cắt đường vng góc với BC kẻ từ C tại điểm D Gọi K trung điểm AE Tính KBD
56* Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC Gọi D điểm đối xứng với M qua AB,E điểm đối xứng với M qua AC Vẽ hình bình hành
MDNE Chứng minh AN song song với BC
57* Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối các tia BA,CA cho BD=CE=BC Gọi O là giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A , đường thẳng này cắt AC ở K Chứng minh AB=CK
(83)§6 ĐỐI XỨNG TÂM
Hai điểm gọi đối xứng với qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm Điểm đối xứng điểm O qua điểm O điểm O
Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua điểm chúng bằng
Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng
Ví dụ 10 Một hình bình
hành có bốn đỉnh nằm bốn cạnh hình bình hành khác Chứng minh các tâm của hai hình bình hành trùng
Hình 19
Giải: Gọi EFGHlà hình bình hành có bốn đỉnh nằm bốn cạnh hình
bình hành ABCD (h.19) Gọi O tâm hình bình hànhEFGH ta chứng minh O tâm hình bình hành ABCD
Gọi P,Q theo thứ tự trung điểm AD,BC Ta có OP đường trung
bình của hình thang AEGD nên OP//DG Tương tự, OQ//GC Suy P,O,Q
thẳng hàng
Chứng minh tương tự, O thuộc đường trung bình RS hình bình hành
ABCD Do AR//OQ AR = OQ nên ARQO hình bình hành Suy AO//RQ, AO = RQ Tương tự, OC//RQ, OC = RQ Từ suy O trung
điểm AC Do đó, O tâm hình bình hành ABCD
(84)Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD, điểm E thuộc AD, điểm G thuộc BC
Dựng điểm F thuộc AB, điểm H thuộc CD cho EFGH hình bình hành
Giải: (h.20) Phân tích:
Gọi O trung điểm EG thì O điểm xác định
F đối xứng với H qua O mà H thuộc CD nên F thuộc đường thẳng đối sứng với CD qua O Mặt khác F thuộc AB
Cách dựng:
Dựng trung điểm O EG
Hình 20
Dựng đường thẳng đối xứng với CD qua O, cắt AB F (để dựng đường thẳng d ta dựng OM vng góc CD, dựng N đối xứng M qua O, kẻ qua N đường thẳng song song vói CD), FO cắt CD H Nối EF, FG, GH, HE
Chứng minh:
OMH= ONF
(g.c.g) nên OH = OF
Tứ giác EFGH có OH = OF, OE = OG nên hình bình hành
Biện luận:
- Nếu d//AB (khi AB//CD, O cách AB CD) tốn có vơ số nghiệm hình
- Nếu d//AB (khi AB//CD, O khơng cách AB CD) tốn khơng có nghiệm hình
(85)- Nếu d cắt AB (khi AB khơng song song với CD) tốn có nghiệm hình
Bài tập
58 Cho tam giác ABC , gọi D,E,Ftheo thứ tự trung điểm BC, AC, AB Gọi điểm bất kì, A′ điểm đối xứng với qua D , B′ điểm đối xứng với qua E , C′là điểm đối xứng với qua F Chứng minh
rằng đường thẳng AA ,BB ,CC′ ′ ′ đồng quy
59 Cho góc xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc
a) Qua M dựng đường thẳng cắt tia Ox,Oy theo thứ tự ởA B choM là trung điểm AB
b) Chứng minh tám giácAOB nhận cách dựng có diện tích nhỏ tất tam giác tạo tia Ox,Oy đường thẳng quaM
60 Dựng tam giác biết đỉnh, trọng tâm hai đường thẳng qua hai đỉnh lại
61 Cho tứ giácABCD một điểm nằm bên tứ giác Dựng hình bình hành EFGH nhận làm tâm đối xứng, có bốn đỉnh nằm bốn đường thẳng chứa cạnh tứ giác
§7 HÌNH CHỮ NHẬT
Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng
Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân, trong ý đến tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường
O O
O O
O
(86)Để chứng minh tứ giác hình chữ nhật, ta chứng minh tứ giác cso ba góc vng, hoặc chứng minh tứ giác hình bình hành có tính chất sau:
- Có một góc vng;
- Có hai đường chéo
Áp dựng vào tam giác, ta có:
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền
- Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng
Ví dụ 12 Tính cạnh AB,ADcủa hình chữ nhật
ABCD , biết đường vng gócAH kẻ từ A đến
BD chia BD thành hai đoạn thẳng
HD=9cm, HB 16cm.=
Giải: (h.21) ĐặtAB a, AD b= =
Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABD∆ vng, ta có:
2 2
a +b =BD =25 =625(1)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AHB,AHD , ta có
2 2 2 2 2
a −b =(HB +AH )−(HD +AH )=HB −HD =16 −9 =175(2)
Từ (1) (2) suy a 2=400nên a=200cm Từ b 15cm=
Vậy AB 20cm, AD 15cm= =
Ví dụ 13 Cho tam giácABCcân tại A Từ điểmD đáy BC , vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AB, AC E,F Vẽ hình chữ nhật DBEH CDFK Chứng minh A trung điểm HK
(87)Giải: (h.22) Gọi IvàO tâm hình chữ nhật DBEH vàCDFK Ta có:
1 ˆ1
ˆ ˆ ˆ
B =D , C =D (tính chất hình chữ nhật) mà
1 ˆ1
ˆ
B =C nênBˆ1=Dˆ1=Cˆ1 =Dˆ2 Do BE //DK ,
DH // CA Suy AIDO hình bình hành
AIDO hình bình hành nên AO=IDmà HI=IDnên Ta lại cóAO //HI nên AOIHlà hình bình hành, đó:
AH // IO , AH=IO (1)
Chứng minh tương tự, AIOK hình bình hành nên:
AK // IO , AK=IO (2)
Từ (1) (2) suy H,A,K thẳng hàng AH AK=
Vậy A trung điểm HK
Ví dụ 14 Cho hình bình hành ABCD, đường cao AEvà AF Biết
AC=25cm, EF=24cm, tính khoảng cách từ A đến trực tâm H tam giác AEF
Hướng dẫn: Kẻ CN ⊥AB, tính độ dài NF
Giải: (h.23)
Kẻ CN⊥AB Tứ giác EHFCcó EH //CF,HF //EC
nên hình bình hành
Ta cóAN=HF(vì bằngEC)
Tứ giác ANFH có AN=HF, AN//HF nên hình bình hàng, suy AH=NF và AH//NF
Ta lại có AH EF⊥ nên NF⊥EF.
Hình 23
N
H F
E
D C
(88)Tam giác EFN vuông tại F có EF=24cm, NE=AC=25cm nên
2 2 2
NF =NE −EF =25 −24 =49. Suy NF= 7cm Do AH= 7cm
Bài tập
62 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự hình chiếu H AB, AC Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM vng góc với IK
63 Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo, H hình chiếu A OD Biết góc DAH, HAO, OAB Chứng minh rằng ABCD hình chữ nhật
64 Cho tam giác ABC, trực tâm H, I giao điểm đường trung trực Gọi E điểm đối xứng với A qua I Chứng minh BHCE hình bình hành
65 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M trung điểm BE Chứng minh rằng HM tia phân giác góc AHC
66 Cho hình thang cân ABCD có AB//CD, ACD =60 ,0 O giao điểm
hai đường chéo Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm OA, OD, C Tam giác EFG tam giác gì? Tại sao?
67 Gọi H hình chiếu đỉnh B đường chéo AC hình chữ nhật ABCD, M K theo thứ tự trung điểm AH CD
a) Gọi I O theo thứ tự trung điểm AB IC Chứng minh 1
MO IC.
2
=
b) Tính số đo góc BMK
68 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c chu vi 2p, chiều cao tương ứng h, m, n Chứng minh rằng:
(89)a) (b+c)2 ≥a2 +4h 2
b) h2 ≤p(p−a).
c) h2 +m2 +n2 ≤p 2
69 Cho hình thang vng ABCD có A= =D 900, AB AD CD. 2
= = Qua
điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đường vng góc với DE, cắt BC F Chứng minh rằng ED = EF
70 Cho hình chữ nhật ABCD cso BDC=30 0 Qua C kẻ đường vuong góc với BD, cắt BD E cắt tia phân giác góc ADB M
a) Chứng minh AMBD hình thang cân
b) Gọi N hình chiếu M DA, K hình chiếu M AB Chứng minh ba điểm N, K, E thẳng hàng
71 Cho hình chữ nhật ABCD
a) Chứng minh M điểm nằm hình chữ nhật
2
2 2
MA +MC =MB +MD
b) Kết có thay đổi khơng điểm M nằm ngồi hình chữ nhật?
72 Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình chữ nhật ABDE, ACFG, BCHK Chứng minh đường trung trực EG, FH, KD đồng quy
(90)§8 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI
MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Xem chuyên đề Tìm tập hợp điểm
Ví dụ: 23,24,26,27
Bài tập: 141, 142, 144 đến 146, 148 đến 154
§9 HÌNH THOI
Hình thoi tứ giác có bốn cạnh
Hình thoi có tất tính chất hình bình hành Trong hình thoi, hai đường chéo vng góc với đường phân giác góc hình thoi
Để chứng minh tứ giác hình thoi, ta chứng minh tứ giác có bốn cạnh nhau, chứng minh tứ giác hình bình hành có tính chất sau:
- Có hai cạnh kề
- Có hai đường chéo vng
- Có một đường chéo đường phân giác góc
Ví dụ 15 Tứ giác ABCD có C =40 , D0 =80 , AD0 =BC. Gọi E F trung điểm AB CD Tính EFD, EFC.
Giải: (h.24) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm
của BD, AC Ta có NF đường trung bình tam giác BDC nên MFD=BCD =40 0 Suy ra:
0 0
MFN 180= −(80 +40 )=60
Tứ giác EMFN có bốn cạnh nên
hình thoi Do 0
1
F =F =60 : 2=30
(91)Vậy EFD=300 +400 =70 , EFC0 =300 +800 =100 0 Bài tập
73 Xác định dạng tứ giác, biết rằng:
a) Tứ giác có hai trục đối xứng vng góc với khơng qua đỉnh của tứ giác
b) Tứ giác có hai trục đối xứng hai đường chéo
74 Cho tam giác ABC Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm BE, CD, BC, DE
a) Tứ giác MINK hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh IK vng góc với tia phân giác At góc A
75 Cho hình bình hành ABCD, AB = 2AB, D=70 0 Gọi H hình chiếu của AD, M trung điểm CD Tính số đo góc HMC
76 Gọi O giao điểm đường chéo hình thoi ABCD, E F theo thứ tự hình chiếu O BC CD Tính góc hình thoi biết EF bằng phần tư đường chéo hình thoi
77 Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình bình hành ABCD lấy theo thứ tự điểm E,M,N,F cho BM=DN, BE=DF Gọi I, O, K theo thứ tự trung điểm EF, BD, MN
a) Chứng minh ba điểm I, O, K thẳng hàng
(92)78 Tứ giác ABCD có đường chéo cắt O chu vi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA bằng Chứng minh ABCD hình thoi
79* Gọi H trực tâm tam giác ABC, đường cao AD Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC Gọi E F theo thứ tự hình chiếu M AB, AC Gọi I trung điểm AM
a) Xác định dạng tứ giác DEIF
b) Chứng minh đường thẳng MH, ID, EF đồng qu y § 10: HÌNH VNG
Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh
Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi
Để chứng minh tứ giác hình vng, ta chứng minh tứ giác hình chữ nhật có tính chất:
- Có hai cạnh kề nhau;
- Có hai đường chéo vng góc với nhau;
- Có một đường chéo phân giác góc
Hoặc chứng minh tứ giác hình thoi có tính chất:
- Có một góc vng;
- Có hai đường chéo
Ví dụ 16 Gọi M điểm đoạn AB Vẽ phía AB
hình vng AMCD, BMEF
a) Chứng minh AE⊥BC
b*) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng
(93)c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định
Giải:
a) Xét ∆CAB, ta có CM⊥AB, BE⊥AC (Vì BE⊥MF, MF//AC) Suy AE
⊥BC
b) Gọi O giao điểm AC DM Do 𝐴𝐻𝐶�=900 (câu a) nên OH=AC 2 , do OH=DM
2 Tam giác MHD có đường trung tuyến HO nửa DM nên 𝑀𝐻𝐷� =900
(1)
Chứng minh tương tự 𝑀𝐻𝐹� =900 (2)
Từ (1) (2) suy D, H, F thẳng hàng
c) Gọi I giao điểm DF AC; ∆DMF có DO=OM, OI//MF nên I trung điểm DF Kẻ II’⊥AB I’ trung điểm AB II’=
AD BF AM MB AB
2 2 2
+ = + =
Do I điểm cố định: I nằm đường trung trực AB cách AB
một khoảng AB 2
I' I
O
A B
D C
F
M E
(94)Bài tập
80 Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BD, DC, CA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để EFGH hình vng
81 Cho hình vng ABCD, điểm M nằm đường chéo AC Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng:
a) BM vng góc với EF
b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy
82 Cho hình vng ABCD Điểm E nằm hình vng cho tam giác ECD cân có góc đáy 150
Chứng minh tam giác ABE tam giác
83 Cho tam giác ABC cân tại A, góc đáy 750 hình vng BDEC (các điểm A, D, E nằm phía với BC) Hãy xác định dạng tam giác ADE
84 Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC Chứng minh chu vi tam giác CEF nửa chu vi hình vng khi 𝐸𝐴𝐹�=450
85 Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh AB Tia phân giác góc MCD cắt cạnh AD N Cho biết BM=m, DN=n Tính độ dài CM theo m n
86 Cho hình vng A’B’C’D’ nằm hình vng ABCD cho thứ tự các đỉnh theo chiều (tức vẽ hai đường tròn, đường tròn qua đỉnh hình vng, chiều đường tròn từ A lần lượt qua B, C, D từ A’ qua B’, C’, D’ nhau) Chứng minh rằng trung điểm đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đỉnh hình vng
87 Cho hình vng ABCD Lấy điểm E, F theo thứ tự thuộc cạnh AD, AB cho AE=AF Gọi H hình chiếu A BE Tính 𝐶𝐻𝐹�?
88 Cho điểm M thuộc cạnh CD hình vng ABCD Tia phân giác góc ABM cắt AD I Chứng minh BI≤2MI
(95)89 Vẽ tam giác hình vng có cạnh cạnh tam giác Chứng minh rằng:
a) Các đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam giác với tâm hình vng dựng hai cạnh vng góc với
b) Đoạn thẳng nối tâm hai hình vng vng góc với đoạn thẳng nối tâm hình vng thứ ba với đỉnh chung hai hình vng trước
90 Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự M, N Gọi I, K theo thứ tự trung điểm EG, BC
a) Chứng minh KMIN hình vng
b) Nếu tam giác ABC có BC cố định đường cao tương ứng h khơng đổi I chuyển động đường nào?
91 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự tâm hình vng có cạnh AB, BC, CD, DA dựng phía ngồi tứ giác Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EFGH có hai đường chéo vng góc với b) Trung điểm đường chéo tứ giác ABCD, EFGH đỉnh hình vng
92 Cho bốn điểm E, G, F, H Dựng hình vng ABCD có bốn đường thẳng chứa cạnh qua bốn điểm E, G, F, H
93 Cho ba điểm E, O, F Dựng hình vng ABCD nhận O làm giao điểm hai đường chéo, E F theo thứ tự thuộc:
a) Các đường thẳng AB CD;
b) Các đường thẳng AB BC
(96)Chương II
ĐA GIÁC DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC
§ 11: ĐA GIÁC
Đa giác A1A2A3… An hình gồm n đoạn thẳng (n≥3), hai đoạn
thẳng có điểm chung không nằm đường thẳng
Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác
Khi nói đến đa giác mà khơng thích thêm, ta hiểu đa giác lồi
Tổng số đo góc đa giác n cạnh (n-2).2v hay (n-2).1800
Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc
Ví dụ 17 Tổng góc đa giác n cạnh trừ góc A 5700
Tính n góc A?
Giải: Ta có (n-2).1800-𝐴̂=5700 nên 𝐴̂=(n-2).1800-5700 Do 00<𝐴̂<1800 nên
0<(n-2).180-570<180⇔0<n-2-570
180<1⇔ 0<n-1 5
6<1⇔ 1 5
6<n< 1 6
6
Do n số tự nhiên nên n=6 𝐴̂=(6-2).1800-5700=1500
Ví dụ 18 Ngũ giác ABCDE có đường chéo AC BE cắt K
Chứng minh CKED hình thoi
Giải:
Góc của ngũ giác
0
0 (5 2).180
108 5
− =
Tam giác ABC cân tại B có 𝐴𝐵𝐶�=1080 nên 𝐴̂1=𝐶̂1=36
0 Do
𝐴̂2=𝐶̂2=108
-360=720 Ta có 𝐶̂2+𝐷�=72
+1080=1800 nên AC//DE
Chứng minh tương tự, BE//CD Do CKED hình bình hành Ta lại có CD=DE nên CKED hình thoi
Bài tập
2
2
E
D C
B
(97)Đa giác
95 Tính số cạnh đa giác, biết đa giác có:
a) Tổng góc tổng góc ngồi (tại đỉnh đa giác kể một góc ngồi);
b) Số đường chéo gấp đơi số cạnh;
c) Tổng góc trừ góc đa giác 25700
96 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AB, BC, DE, AE; gọi I trung điểm NQ, K trung điểm MP Chứng minh
rằng IK//CD, IK=1 4CD
97 Chứng minh lục giác có góc hiêu cạnh đối diện
98* Lục giác ABCDEF có số đo góc ( tính theo độ) số nguyên
A - B= B-C = C- D = D - E = E - F.Giá trị lớn A có thể bao nhiêu? Đa giác
99 Gọi M điểm tam giác ABC Các điểm A A',B',C'
hình chiếu M cạnh BC,AC,AB Tính tỉ số MA ' MB' MC' AB' BC' CA '
+ +
+ +
100 Cho lục giác ABCDEF, M Ntheo thứu tự trung điểm CD, DE Gọi Ilà giao điểm AM BN
a) Tính AIB
b*) Tính OID ( Olà tâm của lục giác đều)
(98)101 Chứng minh ngũ giác có năm cạnh ba góc liên tiếp nhau ngũ giác
102 Chứng minh đa giác có cạnh, hiệu đường chéo lớn nhất đường chéo nhỏ cạnh
103 a) Tìm số n cho mặt pẳng phủ kín đa giác bằng có n cạnh
b) Có tồn ngũ giác ( Khơng yêu cầu ) để phủ kín mặt phẳng khơng?
c) Số đo góc đa giác n cạnh số tự nhiên Có giá trị n tỏa mãn toán?
A) 24; B) 22; C) 12; D) 10;
Hãy chọn câu trả lời Bài tập : 342
§12 DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC
Diện tích hình chữ nhật: S=a.b ( alà chiều dài, blà chiều rộng )
Diện tích hình vng: S= ( a2 a cạnh)
Diện tích tam giác: S 1ah 2
= ( a cạnh, h chiều cao tương ứng)
Diện tích tam giác đều:
2
a 3
S 4
= (a cạnh)
Diện tích hình thang: S 1(a b h) 2
= + ( a, b là hai đáy, h chiều cao)
(99)B
A M
C N
D H
a h
E
Hình 27
A
D E
E D
C
B I M
K
H
P I
Hình
Diện tích hình thoi, diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc: S 1d d1 2 2
= (
1
d ,d là hai đường chéo)
Ví dụ 19 Tính diện tích hình thang ABCD có cạnh bên AD a= , khoảng cách từ trung điểm E BCđến AD h
Giải: (h.27) Qua E , kẻ đường thẳng song song với AD , cắt AB CD theo thứ tự M N
ENC EMB
∆ = ∆ ( c.g.c, bạn đọc tự chứng minh), suy
ENC EMB
S =S Cộng SABEND vào hai vế, ta
ABCD AMND
S =S
AMND hình bình hành nên
AMND
S =AD.EH=a.h
Vậy: SABCD =a.h
Ví dụ 20 Tam giác ABCcó ba góc nhọn, vẽ đường cao BD,CE Gọi H,K
theo thứ tự hình chiếu B,C đường thẳng ED Chứng minh rằng:
a) EH=DK
b) SBEC +SBDC =SBHKC Giải:
a) (h.28) Gọi M,I theo thứ tự trung điểm BCvà ED
MED
∆ có MD=ME( bằng 1BC
2 ) nên tam giác cân, do MI ED⊥
(100)A B
G
D C
E
N M
H F
Hình 29
Ta có IH=IK, IE=IDNÊN EH=DK
b) Vẽ EE', II', DD' vng góc với Ta có II' đường trung bình hình
thang EE 'DD ' nên II ' 1(EE ' DD ') 2
= + Do đó:
( )
BEC BDC
1 1
S S BC.EE ' BC EE ' DD ' BC.II '
2 2
+ = + + = (1)Qua I , vẽ đường thẳng
song song với BC, cắt BH CK P Q Ta có:
BPQC
BC.II ' S= (2)
Ta lại có PIH∆ = ∆QIK (c.g.c) nên SPIH =SQIK, đó:
BPQC BHKC
S =S (3)
Từ (1), (2), (3) suy SBEC +SBCD =SBHKC
Ví dụ 21* Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm bốn cạnh tứ giác, trong hai đỉnh hình bình hành trung điểm hai cạnh đối tứ giác Chứng minh diện tích hình bình hành nửa diện tích tứ giác
Giải: (h.29) Xét tứ giác ABCD hình bình hành EFGH có
E,Glà trung điểm AB,CD Gọi O tâm của hình bình hành EFGH, M, Nlà trung điểm
BC, AD Do EMGN cũng hình bình hành
nên O cũng trung điểm MN Xét hai trường hợp:
a) Nếu F không trùng M FMHN hình
bình hành Khi FM / / NH nên BC / /AD suy ABCD hình thang Dễ thấy:
EFGH ABCD
1
S S
2
(101)A B
C D
E
K
F H
Hình 30
b) Nếu F trùng M H trùng N
Khi đó: SEFGH SEMGN 1SABCD. 2
= =
Ví dụ 22* Tính diện tích hình thang có hai đường chéo dài 6m 10m, đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy 4m
Giải: Gọi ABCD hình thang có AB / /CD,BD 6m,AC 10m= = ( h.30)
Gọi E,F,K theo thứ tự trung điểm của
AB,CD, BC Ta có EK là đường trung bình của ABC∆ nên EK=AC : 10 : 2= =5m, FK là đường trung bình BCD∆ nên:
FK=BD : 2=6 : 2=3m
EFK
∆ CÓ
2 2 2
EF +FK =4 +3 =25=5 =EK nên EFK= ° ( Định lí Pytago đảo) 90
Gọi H trung điểm AD Dễ dàng chứng minh EHFK hình bình hành nên
( )2
EHFK EFK
S =2.S =EF.FK=4.3 12 m=
Dễ dàng chứng minh SABCD =2.SEHFK ( bạn đọc tự chứng minh)
Vậy: SABCD =24 m( )2
Chú ý: Các đoạn thẳng EF,AC,BD đồng quy hình thang trung
điểm hai đáy giao điểm hai đường chéo ba điểm thẳng hàng, xem
Bổ đề hình thang Nâng cao phát triển Toán tập hai
BÀI TẬP
(102)104 Cho một hình chữ nhật có kích thước a b (a b đơn vị đo) Các tia phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành tứ giác Xác định dạng tứ giác tính diện tích
105 Tam giác ABC vng tại C có BC a,AC b= = Về phia tam giác ABC , vẽ tam giác DAB vuông cân D Gọi H,K theo thứ tự hình chiếu của D CB,CA Tính diện tích tứ giác DHCK
106 Tam giác ABC vng tại A có BC a,AC b,AB c= = = Diện tích S Chứng minh rằng: 4S=(a+ +b c b)( + − c a)
107 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác góc B,C cắt nhau ở I Biết hình chiếu IB,IC BClà m,n Tính diện tích tam giác ABC
108 Cho tam gác ABC , M là trung điểm BC Gọi O điểm Tìm liên hệ diện tích tam giác OAM,OAB,OAC
109 O một điểm nằm tam giác ABC Gọi D,E,F theo thứ tự hình chiếu O BC,AC,AB Trên tia OD,OE,OF lấy điểm A',B',C' cho OA' BC,OB' AC,OC' AB.= = =
a) Chứng minh diện tích tam giác A 'B'C' khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O tam giác
b) Điêm O có vị trí tam giác A 'B'C'
110 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi D điểm nằm B
và M Qua M kẻ đường thẳng song song với DA,, cắt ACở E Hãy chọn câu
trả lời câu sau:
A) Diện tích tam giác DECthay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm D
B) Diện tích tam giác DEC bằng 1
(103)C) Diện tích tam giác DEC 1
3 diện tích tam giác ABC
111* Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E,F theo thứ tụ thuộc cạnh
AB, BC,CA cho AD 1AB, BE 1BC,CF 1CA.
3 3 3
= = = Các đoạn thẳng
AE, BF,CD cắt tạo thành tam giác Chứng minh diện tích tam
giác bằng 1
7 diện tích tam giác ABC
112* Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D,E,F theo thứ tụ thuộc
cạnh AB,BC,CA cho AD DB, BE 1EC,CF 1FA
2 3
= = = Các đoạn thẳng
AE, BF,CD cắt tạo thành tam giác Tính diện tích tam giác
113 Tính diện tích tam giác ABC, biết AB 3cm,AC 5cm,= = đường trung tuyến AM 2cm=
114 Tính diện tích tam giác, biết độ dài ba trung tuyến 15cm,36cm,39cm
115 Cho tam giác ABC vuông tại A , AC 20cm, AB 15cm= =
a) Lấy điểm D cạnh BC cho AD=AB Tính độ dài BD
b) Lấy điểm D cạnh BC cho BD=4cm Tính độ dài AD
116 Có tam giác mà độ dài đường cao nhỏ cm diện tích bằng 2000cm khơng? 2
117 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c diện tích tam giác S Chứng minh rằng: 6S a≤ + + 2 b2 c2
(104)118 Tính diện tích hình thang cân có đường cao h , biết hai đường chéo của hình thang vng góc với
119 Tính diện tích hình thang cân có hai đường chéo dài 9m 12m , tổng hai đáy 15m
120 Qua giao điểm O đường chéo hình thang, vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên E G Chứng minh rằng: OE OG=
121 Hình thang ABCD có diện tích S, đáy DC gấp đôi đáy AB Gọi M trung điểm AD , K giao điểm BM AC Tính diện tích tam giác
ABK
122 Điểm O giao điểm đường chéo hình thang ABCD (AB// CD ) Biết diện tích tam giác AOB,COD theo thứ tự a , b Tính di2 ện tích hình thang (a, b 0> )
123 Cho hình thang ABCD có diện tích S Gọi M,N,I,K theo thứ tự trung điểm AB,BC,CD,DA Gọi E F theo thứ tự giao điểm KB với
AI MC Gọi H G theo thứ tự giao điểm DN với AI MC
a) Chứng minh EFGH hình bình hành
b) Tính diện tích hình bình hành EFGH theo S
124 Cho hình thoi ABCD có cạnh a Lấy điểm M cạnh AD , điểm
N cạnh CD cho DM CN= Tính diện tích hình thoi ABCD, biết tam giác BMN là tam giác
Diện tích tứ giác
125 Cho tứ giác ABCD có
B 90 , AB 4cm, BC 3cm, CD 12cm, AD 13cm= = = = = Tính diện tích tứ giác
(105)126 Tứ giác ABCD có O giao điểm hai đoạn thẳng nối trung điểm
cạnh đối Chứng minh rằng: SAOD SBOC 1SABCD 2
+ =
127 Các đường chéo tứ giác chia tứ giác thành bốn tam giác
đó ba tam giác có diện tích 2
30cm ,60cm ,90cm Tính diện tích tứ giác đó
128 Chứng minh rằng:
a)
2
a b
S
4 +
≤ với S diện tích tam giác có độ dài hai cạnh a,b
b)
2 2
a b c d
S
4
+ + +
≤ với S diện tích tứ giác có độ dài bốn cạnh
bằng a,b,c,d
129 Gọi a,b,c,d độ dài bốn cạnh liên tiếp tứ giác có diện tích S Chứng minh bất đẳng thức sau rõ xảy đẳng thức
a) 4S≤ +(a c b d)( + ; ) b) 16S≤(a + + +b c d)2
130 Gọi a,b,c,d độ dài bốn cạnh (không thiết liên tiếp) tứ giác có diện tích S Chứng minh 2S ab cd≤ + Khi xảy đẳng thức?
131* Cho tứ giác ABCD, E F theo thứ tự trung điểm AD CD
Biết BE BF a+ = , chứng minh rằng:
2
ABCD
a S
2 <
132 Cho hình bình hành ABCD Các điểm E,F,G,H theo thứ tự thuộc
(106)133 Cho tam giác ABC , E là trung điểm AC Lấy điểm D cạnh BC
sao cho BD 1BC 3
= , lấy điểm G cạnh AE cho AG 1AE 3
= Đoạn thẳng
AD cắt BG, BE theo thứ tự M, N Tính diện tích tứ giác MNEG theo diện tích tam giác ABC
134* Cho tam giác ABC diện tích S Lấy điểm E,G cạnh BC cho BE EG GC= = Gọi D,H theo thứ tự trung điểm AC,AB ; I giao điểm của GH BD ; K giao điểm AG BD Tính diện tích tứ giác EIKG
135* Chứng minh tam giác có đỉnh giao điểm hai cạnh đối tứ giác, hai đỉnh trung điểm hai đường chéo tứ giác có diện tích
bằng 1
(107)Dựng hình
136 Cho tam giác ABC Dựng điểm D F nằm cạnh AB , E nằm trên cạnh AC cho đường gấp khúc CDEF chia tam giác ABC bốn phần có diện tích
137 Một mảnh vườn hình tam giác có giếng D nằm cạnh BC Hãy chia mảnh vườn thành hai phần có diện tích đường thẳng qua D
138 Cho tứ giác ABCD Dựng đường thẳng qua A chia tứ giác hai phần có diện tích
139 Cho tam giác ABC Dựng điểm O nằm bên tam giác cho diện tích tam giác AOB, BOC,COA tỉ lệ với 1;2;3
140* Cho tứ giác ABCD Dựng điểm O nằm bên tứ giác cho nối O với trung điểm cạnh tứ giác tứ giác chia bốn phần có diện tích bằng
Ví dụ: 25, 28, 29, 30, 53 đến 55, 58, 61, 63 đến 65, 67, 68
Bài tập: 155, 156, 157 đến 170, 324 đến 331, 335, 336, 339 đến 341, 343 đến 349, 354, 355, 357 đến 359, 361, 363 đến 367, 369, 371, 372
CHUYÊN ĐỀ
TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Bài tốn tìm tập hợp điểm (cịn gọi quỹ tích) thức giới thiệu ở lớp Tuy nhiên, học sinh giỏi làm quen với dạng tốn từ lớp với kiến thức thuộc chương trình Hình Học lớp lớp
(108)Ta biết rằng: Tập hợp điểm cách đường thẳng xy cố định
khoảng h không đổi (gọi tập hợp A ) hai đường thẳng song song với
xy cách xy một khoảng h (gọi tập hợp B )
Hai tập hợp A B nói hai tập hợp Ta biết rằng:
x A x B
A B
x B x A.
∀ ∈ ⇒ ∈
= ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
Do muốn chứng tỏ hai tập hợp điểm A B nhau, ta phải chứng minh hai điều:
- Nếu M điểm thuốc A M thuộc B (1)
- Nếu M điểm thuốc B M thuộc A (2)
Điều (1) chứng tỏ tập hợp Bchứa tập hợp A , điều (2) chứng tỏ tập hợp A chứa tập hợp B Phải chứng minh hai điều kết luận
A B hai tập hợp
Do tốn “Tìm tập hợp điểm có chung tính chất α đó”
được trình bày theo ba phần:
Phần 1: Chứng minh điểm M có tính chất α thì điểm M thuộc một hình H
Phần 2: Chứng minh điểm M thuộc hình H điểm M có tính chất α
Phần 3: Kết luận tập hợp điểm M có tính chất α thì điểm M hình H
(109)1 Phần đảo phần 1, gọi phần phần thuận phần phần đảo
2 Theo phần thuận, hình H chứa điểm có tính chất α , khơng chứa thiếu điểm Theo phần đảo, hình H chứa điểm có tính chất α , khơng chứa thừa điểm khác Như vậy, hình
H gồm gồm tất điểm có tính chất α
II – CÁC TẬP HỢP ĐIỂM ĐÃ HỌC
Khi giải tốn tìm tập hợp điểm, cần nhớ lại ba tập hợp điểm học lớp 7 một tập hợp điểm học lớp
- Tập hợp điểm cách điểm O cố định khoảng R không đổi đường trịn tâm O , bán kính R
- Tập hợp điểm cách hai đầu đoạn thẳng cố định đường trung trực đoạn thẳng
- Tập hợp điểm thuộc miền góc cố định cách đều hai cạnh tia phân giác góc
- Tập hợp điểm cách đường thẳng xy cố định khoảng bằng h không đổi hai đường thẳng song song với xyvà cách xy
một khoảng h
III- VÍ DỤ
(110)Giải: Phần thuận (H.31 a) Gọi I trung điểm AO I điểm cố định
IM là đường trung bình tam giác AOB nên IM OB 2cm 2
= = Điểm M cách
điểm I cố định 2cm nên M thuộc đường tròn tâm
I bán kính 2cm
Phần đảo (H.31b) Lấy điểm M thuộc đường trịn (I;2cm , ) M khác A
Ta sẽ chứng minh M trung điểm đoạn thẳng có đầu là A một đầu thuộc đường tròn ( )O
Thật vậy, gọi B giao điểm AM ( )O , tam giác IAM cân nên
IAM IMA, OAB= ∆ cân nên OAB B= , IM // OB Tam giác OAB có OI IA, IM // OB= nên AM MB=
Kết luận: Khi điểm B chuyển động ( )O , tập hợp trung điểm M của AB đường tròn (I;2cm , tr) ừ điểm A
Ví dụ 24(8) Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định tia Oy , điểm
B chuyển động tia Ox Tìm tập hợp trung điểm M AB
(111)Phần thuận OM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông
OAB nên OM AB
2
= mà MA AB
2
= , suy MA MO= Điểm M cách hai
điểm O A cố định nên M thuộc đường trung trực OA
Giới hạn: Vì đoạn thẳng AB thuộc miền góc vng xOy nên điểm
M nằm tia Hm thuộc đường trung trực OA thuộc miền góc xOy
Phần đảo Lấy điểm M thuộc tia Hm
MO=MA, ( )1
suy MAO =MOA. ( )2
Gọi B giao điểm AM Ox Ta có
MBO+MAO=90 , MOB+MOA=90
( )3 nên từ ( )2 ( )3 suy
MBO=MOB. Do MO MB.= ( )4
Từ ( ) ( )1 , suy MA=MB, do M trung điểm AB.
Kết luận Khi điểm B chuyển động tia Ox tập hợp trung điểm M của AB tia Hm thuộc đường trung trực OA thuộc miền góc
xOy
Cách (h.33)
Phần thuận Đặt AO=h (không đổi) Vẽ MK⊥Ox. Tam giác AOB có
AM=MB, MK//AO nên MK AO h.
2 2
= = Điểm M
cách Ox cố định khoảng không đổi h
2 nên M thuộc đường thẳng song song với Ox, cách Ox một
Hình 33 y
x K
O
H M m
(112)khoảng h. 2
Giới hạn: Vì M thuộc miền góc vng xOy nên M nằm tia Hm
thuộc đường thẳng song song nói
Phần đảo Lấy điểm M thuộc tia Hm Gọi B giao điểm AM
Ox Tam giác AOB có AH HO h, HM OB 2
= = nên M trung điểm AB
Kết luận Khi điểm B chuyển động tia Ox tập hợp trung điểm M
AB tia Hm thuộc đường thẳng song song với Ox , cách Ox khoảng h 2 và thuộc miền góc xOy
IV – THỨ TỰ NGHIÊN CỨU VÀ TRÌNH BÀY LỜI GIẢI BÀI TỐN
TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
1 Tìm hiểu đề
Phân biệt yếu tố cố định yếu tố không đổi, quan hệ không đổi, yếu tố chuyển động (bao gồm điểm chuyển động biết vị trí điểm chuyển động phải xác định vị trí)
Chẳng hạn ví dụ 24 thì:
- Yếu tố cố định: góc vuông xOy, điểm A
- Yếu tố không đổi: độ dài AO=h. - Quan hệ không đổi: MA=MB.
- Yếu tố chuyển động: điểm B chuyển động tia Ox điểm M cần xác
định vị trí
2 Dự đốn tập hợp điểm
(113)Khi dự đoán tập hợp điểm, nên ý đến:
- Điểm đặc biệt: Trong ví dụ 23, B vị trí đối xứng với A qua O M
vị trí O, O điểm tập hợp phải tìm Trong ví dụ 24, B vị trí O thì M ở vị trí H, trung điểm AO, điểm H điểm tập hợp phải tìm
- Vị trí giới hạn: Trong ví dụ 23, B tiến đến A M tiến đến A, điểm A
là vị trí giới hạn tập hợp phải tìm
- Điểm vơ tận: Trong ví dụ 24, B chuyển động xa điểm O vơ tận tia
Ox M cũng chuyển động xa vô tận Như vậy, M chuyển động trên đường trịn
Tính đối xứng: Trong ví dụ 23, chuyển động điểm M có tính đối xứng qua
đường thẳng cố định AO nên tập hợp điểm phải tìm nhận OA làm trục đối xứng
3 Phần thuận
– Phát hiện quan hệ điểm M cần xác định vị trí với điểm cố định, đường thẳng cố định Nếu dự đoán điểm cần xác định vị trí thuộc đường trịn, ta chứng tỏ cách điểm cố định khoảng khơng đổi Nếu dự đốn điểm cần xác định vị trí thuộc đường thẳng, ta chứng tỏ cách hai điểm cố định, cách đường thẳng cố định khoảng không đổi
Để phát quan hệ ấy, phải vẽ thêm đường phụ (điểm I ví dụ 23, đoạn MK cách ví dụ 24)
– Dựa vào tập hợp điểm học, điểm M cần xác định vị trí thuộc hình đó, chẳng hạn hình H.
– Giới hạn hình H điểm M khơng thuộc tồn hình H mà thuộc hình H', phận hình H (tia Hm ví dụ 24)
(114)– Lấy điểm M hình H' Bằng vẽ hình, tạo điểm chuyển động khác nêu toán (điểm B ví dụ 23 ví dụ 24)
– Chứng tỏ điểm M có tính chất mà đề nêu lên (M trung điểm AB ví dụ 23 ví dụ 24)
5 Kết luận
Tập hợp điểm M phải tìm hình H'
Chú ý: Hầu hết toán sách hỏi dạng: Nếu điểm
M có tính chất α điểm M nằm đường nào? Do lời giải bài chỉ trình bày nội dung phần thuận Chi tiết phần đảo cách chứng minh phần đảo tốn tìm tập hợp điểm, xem Nâng cao phát
triển Toán tập hai
V – PHÂN CHIA CÁC TRƯỜNG HỢP TRONG BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP
ĐIỂM
Trong một số toán, ta cần phân chia trường hợp kết luận “tập hợp các điểm M có tính chất α hình H''
1 Xét điểm M thuộc miền
Nếu khẳng định điểm M vị trí lại khơng M ở vị trí khác ta cần xét điểm M thuộc miền lấy tập hợp điểm tìm
Ví dụ 25(12) Cho tam giác ABC cố định Các điểm M cho tam giác
MAB MAC có diện tích nằm đường nào?
Giải: SMAB =SMAC ⇒BB'=CC' ( BB',CC' là đường vng góc kẻ từ B và từ C đến MA ) Xét hai trường hợp:
a) Điểm M thuộc miền góc BAC hoặc góc đối đỉnh với (h.34), tức B C nằm khác phía AM Khi đường thẳng AM cắt đoạn thẳng
(115)b) Điểm M thuộc miền góc kề bù với góc BAC (h.35), tức B C nằm phía AM Do BB' CC'= , BB'//CC' nên BB'C'C hình bình hành, AM//BC Điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với
BC
Kết luận chung: Các điểm M phải tìm gồm đường thẳng chứa đường trung tuyến AI tam giác ABC đường thẳng qua A song song với BC, trừ điểm A
2 Xét từng vị trí hình cho
Nếu hình cho có vị trí khác làm cho hình dạng hình H thay đổi ta cần xét vị trí hình cho
Ví dụ 26(8) Các điểm M cách hai đường thẳng cố định xy,x'y' nằm đường nào?
Giải: Trường hợp xy cắt x'y' O, điểm M nằm bốn tia phân giác
bốn góc tạo hai đường thẳng (bốn tia làm thành hai đường thẳng vng góc với O, xem hình 36)
Trường hợp xy//x'y', điểm M nằm đường thẳng song song cách xy
và x ' y ' (h.37)
C' B'
B C
A M
Hình 35 I
C'
Hình 34 B'
M C B
A
Hình 37 Hình 36
x'
y x
x' y'
O
(116)1 Xét từng trường hợp tính chất α
Nếu tính chất α có trường hợp khác làm cho hình dạng hình H thay đổi ta cần xét riêng trường hợp tính chất α
Ví dụ 27 Cho góc vng xOy cố định, điểm A cố định tia Oy , điểm b
chuyển động tia Ox Đỉnh C tam giác ABC vuông cân B nằm đường nào?
Dự đoán tập hợp điểm (Khi C O nằm khác phía AB )
Khi B trùng O C trùng D ( D thuộc tia Ox cho OD OA= ), điểm cố định
Chú ý rằng k hi B chạy xa vô tận tia Ox C chạy vơ tận
Từ nhận xét trên, ta dự đoán đỉnh C nằm tia gốc D
Giải:
a) Trường hợp C O nằm khác phía AB (h.38):
Trên tia Ox lấy điểm D cho OD=OA, D điểm cố định Kẻ CH⊥Ox, ∆AOB= ∆BHC(cạnh huyền – góc nhọn) suy OB=CH
(1)
OA=BH (2)
Ta lại có OA=OD nên từ (2) suy BH=OD, OB=DH (3)
Từ (1) (3) suy CH =DH
Vậy CDH= ° thuộc miền góc xOy 45 H
D B
C m
O A
x y
(117)b) Trường hợp C O nằm phía AB (h.39):
Bạn đọc tự giải C chuyển động tia D'm', tia Dm quay quanh A góc 90° chiều quay kim đồng hồ
Bài tập
141(8) Tam giác ABC có BC cố định, I trung điểm đường cao BH Các điểm I nằm đường ?
142(8) Cho góc xOy cố định , đường thẳng d cố định vng góc với Ox A, điểm B chuyển động đoạn
thẳng OA Trên tia Oy lấy điểm C cho OC = OB Đường vng góc với BC C cắt đường thẳng d
ở D Các trung điểm M BD nằm đường ?
143(10) Cho hình vng ABCD cố định Điểm E chuyển động tia đối tia AD, điểm F chuyển động
trên tia đối tia BA cho BF= DE Các trung điểm M EF nằm trên đường nào?
Hình 39 C
m
x D
B O
D'
(118)144(8) Cho góc xOy cố định có số đo α <180° Một tam giác ABC cân tại A có cạnh bên a khơng
đổi , góc đáy 2 α
, tam giác thay đổi vị trí cho B thuộc tia Ox ,
C thuộc tia Oy , A O khác
phía BC Các điểm A nằm đường nào?
145(8) Cho tam giác vuông cân ABC cố định Điểm M chuyển động cạnh huyền BC Đường thẳng qua M
vng góc với BC cắt đường thẳng BC, CA theo thứ tự D , E Gọi I là trung điểm CE , K
trung điểm BD Các trung điểm O IK nằm đường ?
146(8) a) Cho đoạn thẳng AB cố định , điểm M chuyển động đường thẳng đó Vẽ nửa mặt
phẳng bờ AB tam giác AMC , BMD Các trung điểm I CD nằm đường nào?
b) Cũng câu hỏi câu a, tam giác đểu vẽ hai nửa mặt phẳng đối bờ AB
147(10) Cho đoạn thẳng AB cố định , điểm M chuyển động đoạn thẳng Các trung điểm đoạn nối tâm
các hình vng có cạnh theo thứ tự MA MB nằm đường nào?
148(8) Cho góc vng xOy cố định , điểm A cố định tia Oy , điểm B chuyển động tia Ox Vẽ tam giác
đều ABC ( C O khác phía AB )
a) Các điểm C nằm đường ?
(119)c) Các trung điểm K BC nằm đường ?
149(8) Cho góc vng xOy cố định , điểm A , B cố định thuộc tia Ox, điểm C chuyển động tia Oy
đường vng góc với CA A đường vng góc CB B cắt M Các điểm M nằm
đường nào?
150(8) Cho góc xOy cố định khác góc bẹt độ dài h
a) Các điểm M thuộc miền góc có tổng khoảng cách từ M đến Ox đến Oy h nằm đường nào?
b) Cũng hỏi câu a , thay tổng hiệu
151(8) Cho tam giác cân ABC cố định (AB = AC ) Hai điểm D, E theo thứ tự chuyển động cạnh bên
AB,AC cho AD = CE Các trung điểm M DE nằm đường nào?
152(8) Cho tam giác ABC cố định Gọi Bx , Cy theo thứ tự tia đối tia BA, CA Các điểm D , E theo
thứ tự chuyển động tia Bx , Cy cho BD = CE Các trung điểm M DE nằm đường
nào?
153(8) a) Cho góc xOy khác góc bẹt Điểm C chuyển động tia Ox, điểm D chuyển động tia Oy
cho OC + OD = a Các trung điểm M CD nằm đường nào?
b) Cũng hỏi câu a, thay OC + OD = a OC – OD = a
(120)CA cho BD + CE = a < AB Các trung điểm M DE nằm đường ?
155(12) Cho hai đoạn thẳng AB , CD cố định có độ dài Các điểm M cho tam giác MAB
MCD có diện tích nằm đường ?
156*(12) Cho tứ giác ABCD , E giao điểm AB CD , F giao điểm của AD BC, I , K theo thứ tự
là trung điểm BD AC
a) Các điểm M thuộc miền tứ giác có tính chất
MAB MCD ABCD
1
S S S
2
+ = nằm đường ?
b) Gọi N trung điểm EF Chứng minh điểm I,K,N thẳng hàng
157(8) Cho hình chữ nhật ABCD cố định Tập hợp điểm M cho :
a) MA2 +MC2 =MB2 +MD2 ; b) MA +MC = MB + MD
SỬ DỤNG CƠNG THỨC DIỆN TÍCH
ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ VỀ ĐỘ DÀI
CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG
Các công thức diện tích cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng, chúng rất có ích để giải nhiều tốn
Ví dụ 28(12) Cho tam giác ABC
a) Chứng minh điểm M thuộc miền tam giác ABC tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác chiểu cao tam giác
(121)Giải : Gọi a h cạnh chiều cao ABC∆ , MA’ , MB’ , MC’ khoảng cách từ M đến BC, CA , AB
a) Nếu M thuộc miền ABC
∆ (h.40) :
MBC MAC MAB ABC
S +S +S =S
1 1 1 1
BC.MA ' AC.MB' AB.MC' BC.AH
2 2 2 2
⇒ + + =
( )
a a
MA ' MB' MC' .h
2 2
⇒ + + =
MA ' MB' MC' h
⇒ + + =
b)Nếu M thuộc miền ngồi ABC∆ và thuộc miền góc A
( miền 2, h.41) :
MAC MAB MBC ABC
S +S −S =S
a a a a
.MB' .MC' .MA ' .h
2 2 2 2
⇒ + − =
MB' MC' MA ' h
⇒ + − =
Tương tự M thuộc miền ∆ABCvà thuộc miền góc B (miền 3) thì MA’ + MC’ – MB’ =h
Nếu M thuộc miền tam giác ABC thuộc miền góc C ( miền 4)
MA’+MB’ – MC’=h
Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc A ( miền ) :
MA’ – MB’ – MC’ = h
Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc B (miền 6) :
Hình 41
7
5
3
2
C'
B' A'
M
C B
(122)MB’ – MA’ – MC’ = h
Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc C (miền 7) :
MC’ – MA’ – MB’ = h
Ví dụ 29(12) Các điểm E , F nằm cạnh AB , BC hình bình
hành ABCD cho AF = CE
Gọi I giao điểm AF , CE Chứng minh ID tia phân giác góc AIC
Hướng dẫn suy luận (h.42)
Để chứng tỏ D thuộc tia phân giác góc AIC ,
ta vẽ DH⊥IA, DK ⊥IC rồi chứng minh DH =
DK Hai đoạn thẳng đường cao
AFD
∆ CED∆ có cạnh đáy tương ứng AF
và CE ( bằng theo giả thiết ) , cần
chứng minh SAFD =SCED, diện tích 1SABCD
2
Bạn đọc tự giải tốn
Ví dụ 30(12) Cho tam giác ABC có A 90≥ , D điểm nằm A C Chứng minh tổng khoảng cách từ A từ C đến BD lớn đường cao kẻ từ A nhỏ đường cao kẻ từ C tam giác ABC
Giải: (h.43) Gọi AH , CK đường cao ∆ABC
Kẻ AE CF vng góc với BD Đặt SABC =S Ta có
ABD CBD
2S 2S
AE ,CF
BD BD
= = nên
2S
AE CF
BD
+ =
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038
Hình 42 K H
I
F E
D C
(123)Ta lại có AH 2S ,CK 2S
BC BA
= =
Do A≥90 nên BA < BD < BC, AH < AE + CF < CK Bài tập
158(12).Có tam giác mà độ dài ba đường cao 3cm, 4cm ,7cm không?
159(12) Độ dài hai cạnh tam giác cm cm , nửa tổng chiều cao tương ứng với hai cạnh
ấy chiều cao ứng với cạnh thứ ba Tính độ dài cạnh thứ ba
160(12) Chứng minh tam giác tam giác vuông chiều cao
a b c
h , h , h của thỏa mãn điều
kiện
2
a a
b c
h h
1
h h
+ =
161(12) Tính cạnh tam giác có ba đường cao 12 cm , 15 cm , 20 cm
162(12) Gọi h , h , ha b c là ba đường cao tam giác ,chứng minh
a b c
1 1 1
h < h + h
163(12) Tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c chiều cao tương ứng
a b c
h , h , h Biết a+ha = +b hb = +c hc Chứng minh tam giác ABC tam giác
164(12) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO , BO , CO cắt cạnh tam giác ABC
(124)a) OA ' OB' OC' 1 AA '+ BB' +CC' =
b) OA OB OC 2
AA '+ BB'+CC'= ( tốn của Giec-gơn , nhà Tốn học Pháp )
c) M OA OB OC 6
OA ' OB' OC'
= + + ≥ Tìm vị trí O để tổng M có
giá trị nhỏ
d*)N OA OB OC. . 8 OA ' OB' OC'
= ≥ Tìm vị trí O để tích N có giá trị lớn
165(12) a) Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm đáy một tam giác cân đến hai cạnh bên
khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh đáy
b)Kết có thay đổi M thuộc đường thẳng chứa cạnh đáy nhưng không thuộc cạnh đáy?
Bài tập
158(12) Có tam giác mà độ dài ba đường cao cm, cm, cm không ?
159(12) Độ dài hai canh cùa tam giác cm cm, nửa tổng chiều cao ứng với hai cạnh chiều cao ứng với cạnh thứ ba Tính độ dài cạnh thứ ba
160 (12) Chứng minh tam giác tam giác vuông chiều cao
a
h ,hb,hc thỏa mãn điều kiện
2
a a
b c
h h
1
h h
+ =
161 (12) Tính cạnh tam giác có ba đường cao 12 cm, 15 cm, 20 cm
162 (12) Gọi ha,hb,hc chiều cao tam giác, chứng minh
a b c
1 1 1
(125)163 (12) Tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c, chiều cao tương ứng
a
h ,hb,hc Biết a+ha = +b hb = +c hc Chứng minh tam giác ABC tam giác
164 (12) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh :
a) OA ' OB' OC' 1 AA '+ BB'+ CC' =
b) OA OB OC 2
AA '+BB'+CC' = ( Bài tốn của Giéc – gơn, nhà toán học Pháp)
c) M OA OB OC 6
OA ' OB' OC'
= + + ≥ Tìm vị trí điểm O để tổng M có giá trị nhỏ
d) N OA OB OC. . 8 OA ' OB' OC'
= ≥ Tìm vị trí điểm O để tích N có giá trị nhỏ
165 (12) Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm đáy tam giác cân đến hai cạnh bên khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh đáy?
b) Kết có thay đổi điểm M thuộc đường thẳng chứa cạnh đáy nhưng không thuộc cạnh đáy?
166 (12) Cho tam giác ABC cân tại A Tìm tập hợp điểm M thuộc miền trong tam giác hoặc nằm cạnh tam giác, cho khoảng cách từ điểm M đến BC tổng khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh
167 (12) Cho tam giác ABC có chiều cao h cố định Tìm tập hợp điểm M có tổng khoảng cách đến ba cạnh tam giác độ dài m không đổi (m > h)
168 (12) C một điểm thuộc tia phân giác góc xOy có số đo 60, M là điểm nằm đường vng góc với OC C thuộc miền ngồi góc xOy Gọi MA, MB theo thứ tự khoảng cách từ M đến Ox, Oy
Tính độ dài QC theo MA, MB
169(12) Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF Gọi A, B, C hình chiếu điểm M (nằm bên tam giác ABC) AD, BE, CF Chứng minh điểm M thay đổi vị trí tam giác ABC thì: a) Tổng A D′ +BE+CF không đổi,
(126)170(12) Cho tam giác ABC, A,B,C theo thứ tự hình chiếu điểm M (nằm bên tam giác ABC) BC, AC, AB Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với BC C, vng góc với CA A cắt D, E, F Chứng minh :
a) Tam giác DEF tam giác
(127)Bài đọc thêm
TỪ MIỀN TRONG VÀ MIỀN NGOÀI CỦA ĐA GIÁC ĐẾN CÁC MÊ CUNG
1 Định lí Jor-đăng
Hình 58 biểu diễn đa giác đơn hai điểm A, B Liệu tìm một đường từ A đến B mà không cắt cạnh đa giác hay không ?
Câu trả lời : không tìm Điều
nhà tốn học Pháp Jor-đăng (Camille Jordan, 1838 -
1922) chứng minh định lý mang tên ông :
Mỗi đa giác đơn phân chia mặt phẳng thành hai tập hợp có tính chất :
- Hai điểm thuộc tập hợp có thể nối với đường gấp khúc không cắt cạnh đa giác
- Bất kì đường gấp khúc nối hai điểm thuộc hai tập hợp phải cắt cạnh đa giác
Mỗi tập hợp điểm gọi miền ; miền chưa hoàn tồn đường thẳng gọi miền ngồi, miền cịn lại gọi miền
(128)- Nếu số giao điểm số chẵn điểm thuộc miền ngồi đa giác - Nếu số giao điểm số lẻ điểm thuộc miền
Một cách trực quan, ta thấy từ miền đa giác muốn vào miền đa giác, phải "vượt biên giới" lần, sau muốn miền ngoài đa giác phải "vượt biên giới" lần
Trên hình 44, tia Ax có ba giao điểm với cạnh đa giác nên A thuộc miền đa giác, tia By có hai giao điểm với cạnh đa giác nên B thuộc miền đa giác Do A B thuộc hai miền khác nên đường gấp khúc nối từ A đến B phải cắt cạnh đa giác
2 Mê cung truyền thuyết
Hình 45 đa giác đơn, cũng mê cung I-ta-li-a kỉ XII Mê cung (hay mê lộ, mê đạo, tiếng Hy Lạp
labyrinth) thường hiểu hệ thống đường ngầm gồm nhiều nhánh ngang dọc nối chằng chịt với Mê cung dùng để cơng trình gồm rất nhiều hành lang, lối bao bọc xung quanh với ngã ba, ngā tử, ngõ cụt
Người bị dẫn vào mê cung nhìnthấy phần đường nên khó định hướng khơng tìm lối Các mê cung Kim tự tháp
(129)dẫn đến tường đá Phải khó khăn tìm đến gian buồng rộng rãi có quan tài ướp xác vua chúa, hồng hậu
Theo truyền thuyết Hy Lạp mê cung xây dựng đảo Cret, đảo lớn Địa Trung Hải Trên đảo có quỷ Mi-nơ-tap đầu bị mình người Nó bắt người thợ xây tài ba Đê-đan phải làm mê cung gồm vô số căn phòng với đường ngang, lối dọc ngoằn ngoèo ngõ cụt bất ngờ Chín năm lần, dân thành A-ten
phải cống nạp bảy cặp trai tài gái sắc vào mê cung cho quái vật ăn thịt Đã có nhiều tráng sĩ lần mị vào mê cung, khơng bị lạc lối kiệt sức thì khơng chống cự với sức mạnh hãn quái vật Cuối hoàng tử Tê-dê, trai vua Ê-ghê, vào mê cung nhở lần theo sợi của nàng công chúa xinh đẹp A-ri-at-na, Con vua Mi-nột trao cho Sau trận chiến đấu liệt, chàng giết chết quái vật khỏi mê cung bởi cuộn (h.46)
Mê cung đã trở thành từ để tình phức tạp, nan giải, cịn
cuộn A-ri-at-na dùng để giải pháp hợp lý, sáng suốt nhằm thốt khỏi tình trạng bế tắc
Mê cung phổ biến nhiều nước Châu Âu trước Vào kỉ XII, vua Anh Henry II xây mê cung để dấu tình nhân xinh đẹp, cuối bị hồng hậu LÊ-lê-ơ-na phát nhờ dùng "sợi A-ri-at-na"
(130)tìm đường ra, may nhờ cụ già Hồng Thừa Ngạn, bố vợ Khổng Minh, dắt cửa Sinh chết
3 Rất Cổ Loa thành mê cung?
Việc xây dựng thành Cổ Loa An Dương Vương kỉ III-II trước Công nguyên huyền thoại hoá với thần Kim Quy Nhưng thành Cổ Loa lại Cơng trình có thật
Theo sử cũ, thành xây dựng quanh co chín lớp theo hình ốc Di tích cịn lại đến thấy ba lớp gồm ba vòng thành đắp đất khép kín theo thứ tự từ thành Nội, thành Trung thành Ngoại
Thành Nội hình chữ nhật có chu vi 1650km, mặt thành cao 5m, rộng - 12 m Thành Trung có chu vi 6500m, mặt thành rộng 10m, chỗ cao 10 m Thành Ngoại có chu vi 8000m, đoạn cao cịn lại khoảng m (h.47)
Từ trước đến nay, có nhiều tác phẩm phân tích tài sáng tạo người Âu Lạc việc đắp thành giá trị quân thành Cổ Loa
(131)Chỉ bình đồ ba lớp thành lại đủ thấy phức tạp và đầy bí ẩn việc thiết kế mê cung Các lớp thành bao quanh có dạng đồng tâm lệch, phía nam sít gần nhau, tỏa rộng phía bắc Thành Nội có Cổng cửa Nam Các cổng thành Trung thành Ngoại không thẳng tuyến mà đặt lệch Các vách thành trùng điệp kết hợp với mạng lưới sông, hồ, ao, đầm chằng chịt tạo thành chỗ đón lơng, vật cản khó vượt qua Ở có cửa “Tử cửa Đông Muốn đột nhập thành cửa này phải vượt sơng Hồng Giang, rẽ sang trái vấp phải ngách cụt, rẽ sang phải sa lầy vào đầm Cả
Cửa Nam hướng tiếp cận với thành Nội gần nhất, thành cao, hào sâu xen kẽ ba bốn tầng với ụ canh nhơ cao, khơng dễ mà lọt qua
(132)LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ
PHẦN ĐẠI SỐ
Chương 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC §1 Nhân đa thức
1 a) 5 n
x ; b) 5.5n −4.5n =5n; c) 64
2 a) x=6; b)x=0; c) =
x ; d) x= −2
3 a) A=1 b) Tại x=14 thì:
5
5
5 4 3 2
15 16 29 13
( 1) ( 2) (2 1) ( 1)
2
14
= − + − +
= − + + + − + + −
= − − + + − − + −
= − = −
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x B
x x x
c) Thay 10 x+1 Đáp số:1
4 Đặt, ,
315=a 651=b
(2 ) (4 ) 12
2
2 12 12
651
A a b a b ab a
b ab a ab ab a b
= + − − − +
= + − + − + = =
5 a) x6−1; b) x7+1
6 a) x= −5; b)
2 = −
x ; c) x=0
7 Do a b c+ + =0 nên M =a a b a c( + )( + )=a( )( )−c − =b abc Tương tự: N =abc P, =abc Vậy M =N =P
8 Thực phép tính vế
9 Biến đổi vế phải: 4p p a( − )=2p(2p−2a) (= a b c b c a K+ + )( + − ) ết phép nhân cho ta 2
2bc b+ +c −a
10 Xét hai số ab ac có b c+ =10 Hãy chứng minh rằng:
(10a b+ )(10a+ =c) 100 (a a+ +1) bc
(133)Ví dụ: 34.36 1224 ; 81.89= =7209
11 M =(x2−ax bx− +ab) (+ x2−bx cx bc− + ) (+ x2−ax cx− +ac)+x 2
=4x2−2x a b c( + + +) ab bc ca + +
Thay a b c+ + =2x, ta M =ab bc ca + +
12 Xét 1 ( 1) ( 1)
2
−
− +
+ = + =
n n
n n n n
a a n
13 Số a chia cho dư 1, Số b chia cho dư Đặt a=3m+1,b=3n+2(m n nguyên) , ab−2 chia hết cho
14 Trước hết, ta chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp chia cho dư
Số 3950+1 chia cho dư nên khơng thể tích hai số tự nhiên liên tiếp
15 a) Thực phép nhân rút gọn, ta :
32 ( 23 23 24) ( 18 17 17) ( 9 10) 32
2 2 2 2 2 2
A= + + − + − − + + − + = +
(chú ý biểu thức ngoặc đểu 0) b) Theo câu a), ta có 32
2 + hợp số
§2 Các đẳng thức đáng nhớ
16 a)
20 b)
17 A<B
18
2 = −
x
19 a) x3−16x2+25x
2
2 2
2
b) [ ( )] ( ) 2
2 ( ) ( ) ( ) 2
2 2
a b c b c ab ac
a a b c b c b c ab ac
a ab ac ab ac a
− − − − + − =
= − − + − − − + −
= − + + − =
c) Đặt 3x+ =5 a x, + =1 b Biểu thức cho (a b− )2 =42 =16 d) Nhân biểu thức cho với3 1− , 64
3 −1 Đáp số: 1( 64 )
3
2
= −
B
e)
2a ; g) ( 2 2)
4 a +b +c ; h) ( 2 2)
4 a +b +c +d
20 ( )2 ( )
4 4.3
= + − + + = − + = −
(134)21 A=(2a+2b+2c−3 )c 2+(2b+2c+2a−3 )a 2+(2c+2a+2b−3 )b 2 Đặt + + =a b c x
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
(2 ) (2 ) (2 )
4 12 12 12
12 12 ( )
12 12 9
= − + − + −
= − + + − + + − +
= − + + + + +
= − + + + = + + =
A x c x a x b
x cx c x ax a x bx b
x x a b c a b c
x x a b c a b c m
22 a) 899=900 30− = 2− =1 (30 30 1+ )( − =) 31.29 b) 9991 10000 100= − = 2−32 =103.97
23 77782−22232 =(7778 2223)(7778 2223) 10001.5555+ − = =55555555
24 Thực phép tính vế
25 Biến đổi vế trái (5a−3 )b 2−64c Thay 2
4c a2−b2
26 Tính hiệu vế trái vế phải, ta (ay−bx)2 =0 nên ay=bx Do x y khác nên, a = b x y
27 Biến đổi đẳng thức cho thành (ay bx− ) (2+ bz−cy) (2+ az−cx)2 =0
28 (a+b)2 =2(a2+b2)⇒a2+2ab b+ =2a2+2b2
⇒a2−2ab b+ = ⇒0 (a b− )2 = ⇒= b
Chú ý: Bài trường hợp xảy dấu "=" bất đẳng thức (a b+ )2 ≤2(a2+b2), trường hợp đặc biệt bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
29 a) a2+b2+c2 =ab bc ca+ + ⇒2a2+2b2+2c2 =2ab+2bc+2ca ⇒(a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2 = ⇒ = =0 a b c
b) Biến đổi đẳng thức cho thành (a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2 =0
Chú ý: Câu trường hợp xảy dấu " = " bất đẳng thức (a b c+ + )2 <3(a2+b2 +c2), trường hợp đặc biệt bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
c) Biến đổi đẳng thức cho thành (a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2 =0 2 2
2 2 2
2 2
0 ) ( )
2 2
( ) ( ) ( )
a b c a b c
a b c ab bc ac a b c
a b b c c a
+ + + + + =
= + + + + + + + +
= + + + + +
(135)b) Đặt a b− =x b c, − =y c, − =4 z x+ + =y z 1( )
Ta chứng minh −2xy−2xz−2yz=x2+y2+z Ch2 ỉ cần bình phương hai vế (1) đẳng thức 31 a) 2; b)
2
32 a) Bình phương hai vế a b c+ + =0,
Nên a2+b2+c2 = −2(ab bc ca+ + ) ( )1 Bình phương hai (1),
( )
( )
4 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
4 ( )
+ + + + + =
= + + + + + = + +
a b c a b b c c a
a b b c c a abc a b c a b b c c a
Suy a4+b4+c4 =2(a b2 2+b c2 2+c a2 2) ( )2
b) c) Bạn đọc tự chứng minh
33 a) 9x2−6x+ =2 9x2−6x+ + =1 (3x−1)2+ ≥1
b)
2
2 3
4 4
+ + = + + + = + + ≥
x x x x x
c) 2x2+2x+ =1 x2+x2+2x+ =1 x2+ +(x 1)2 ≥0 Khơng xảy đẳng thức Do 2x2+2x+ >1
34
2
3 11 11 11
a) ; A
2 4
A=x− + ≥ =
với
3 x=
b) 5B= x2+ ≥5 : minB= với x=
35 a) (A= − −x 1)2 ≤5 : maxA= với 5 x= 1
b) (B= − −x 2)2 ≤4; maxB= với x=
36 a) Xét p=3k+1 (k nguyên) p2+ 8 3, hợp số Xét p=3k+2 p2+ 8 3, hợp số
Vậy p=3k, mà p số nguyên tố nên p=3 Khi p2+ =2 11, số nguyên tố
b) Tương tự câu a), tìm p=3
( )
2 2
2
(136)37 a) 999991 1000000 1000= − = −3 =1003.997 b) 1000027=1003+3 100 33 +
38 a) − −5x 8; b) x6−64
39 a) x=7; b)
2 = − x
40 a) a+ +(b c)3−(b c+ −) a3−a− −(b c)3−a+ −(b c)3.
Đáp số: 24abc b) ( 3 )
2 a + + −b c 3abc
41 Thực phép tính vế
Chú ý: Cách biến đổi biểu thức vế trái để biểu thức vế phải: Xem ví dụ 11,12
42 Thay c= − +(a b l) ần lượt vào vế thực phép tính
Chú ý: Bài tốn suy trực tiếp từ đẳng thức 41b
43 a) x2+y2 =(x+y)2−2xy=a2−2 b b) 3 ( )3 ( )
3
+ = + − + = −
x y x y xy x y a ab
c) x4+y4 =(x2+y2)2−2x y2 =(a2−2b)2−2b2 =a4−4a b2 +2 b 2 d) x5+y5 =(x3+y3)(x2+y2)−x y2 2(x+y).
Đáp số: a5−5a b3 +5ab2.
44 a) 1; b)
45 M =1.
46 a) Ta tính xy= −3 x3+y3=26 Xem cách giải tổng quát câu b) b) 3 ( )( 2) ( )
(1)
x +y = x+y x −xy+y =a b−xy Tính xy theo a b , ta có
2
2 2
2
2 −
+ = ⇒ + + = ⇒ =a b
x y a x xy y a xy ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy ( )
3 3
−
+ = a b a
(137)47 a) Cho n=a +b (a b, ∈N) Khi
2n=2a2+2b2 =a2+2ab b+ 2+a2−2ab b+ =(a+b) (2+ a b− )2. b) Cho 2n=a2+b 2 Khi
2
2
2 2
+ + −
= = +
a b a b a b
n
Chú ý a2+b2 số chẵn nên a b chẵn lẻ,
2 + a b − a b
số nguyên
c) Cho n=a2+b2 Khi n2 =(a2+b2) (2 = a2−b2)2+(2ab)2. d) Giả sử m=a2+b2 n=c2+d2.Khi
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
mn a b c d a c a d b c b d
a c abcd b d a d abcd b c
ac bd ad bc
= + + = + + +
= + + + − +
= + + −
48 a) Đặt 99 9= n
a 10n = +1 a
( ) ( )
( )2
2
99 00 25 10 100 25 100 25
100 100 25 10 (99 5)
n
n n
n
A a a a
a a a
= = + = + +
= + + = + =
b) Đặt 99 9= n
a
Biến đổi ( )2
1 10 (99 9)
n
B a
+
= + =
c) Đặt 11 1= n
a 10n =9a+1
( ) 2 ( )2 2
44 488 10
4 36 12 (66 7)
n
n n
n
C a a
a a a a a a
= + = + +
= + + + = + + = + =
d) Đặt 11 1= n
a Biến đổi (30 5)2 (33 5) n
D= a+ =
49 Đặt 11 1= n
(138)a) A=( )3a 2. b) B=(3a+1 )2
50 a) Ta có 9a+ =1 10 nb=10n+ =5 9a+6.Do
ab+ =1 a(9a+6)+ =1 (3a+1 )2 b) Cần chứng minh
1 11 155
− =
n n
A số phương
Đặt 11 1= n
a 10n =9a+1 Ta có: A=(3a+1 )2
51 Cách 1: Giải câu a) 50
Cách 2: Chú ý b= +a 2 nên
( ) ( )2 2
1 1 (11 13)
n
ab+ =a a+ + = a+ =
52 Chọn b= +a 4.
53 Đặt 11 1= n
k Biểu thị a, b, c theo k, ta a=k(9k+2 ,) b=10k+1, c=6 k
Đáp số: a+ + + =b c (3k+3 )2
54 Ta thấy:
( )50 150 50 150 ( )50 50 ( 50 )3
10 <10 +5.10 + <1 10 +3 10 +3.10 + =1 10 +1
Vậy 10150+5.1050+1 không lập phương số tự nhiên
55 Chứng minh rằng:
(n−1) (3 < n−1) (n n+ =1) n n( 2− =1) n3− <n n 3
56 Đặt 11 1= n
k Đáp số: ( )3 (33 3) n
A= k =
57 Nhận xét:
n+(n+ +5) (n+7)=3n+12=A ,
(n+ +1) (n+ =3) 3n+12= A ,
(139)Chia chín cân 10, 20, 30, , 90 thành ba nhóm trên, khối lượng nhóm bàng hau Lần thứ hai lần thứ ba làm
58 Nhận xét:
( )2
2
5 10 25 12,
+ + = + + = +
n n n n A
( ) (2 )2
1 10 17
+ + + = + + = +
n n n n A
( ) (2 )2 2
2 10 13
+ + + = + + =
n n n n A
Lần thứ nhất, chia sáu cân , 2 , ,2
6 thành ba phần: A+12, A+4, A Lần thứ hai, chia sáu cân , , …, 2
12 thành ba phần: ,B B+12, B+4.
Lần thứ ba, chia sáu cân 13 , 14 , …, 182 thành ba phần C+4, C, C+12
Nhóm thứ gồm phần A+12, B,C+4.Nhóm thứ hai gồm phần: A+4, B+12,Nhóm thứ ba gồm phần A, B+4,C+12.Khối lượng nhóm bàng A B C+ + +16.
59 Nhận xét:
( ) (2 )2
2
5 24 74 18,
+ + + + = + + = +
n n n n n A
( ) (2 ) (2 )2
1 24 74 18,
+ + + + + = + + = +
n n n n n A
( ) (2 ) (2 )2 2
2 24 56
+ + + + + = + + =
n n n n n A
Nhóm thứ gồm phần : A, B+18, C+18 Nhóm thứ hai gồm phần: a+18, B, C+18 Nhóm thứ ba gồm phần A+18, B+18, C Kh ối lượng nhóm A B C+ + +36.
§ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
60 a) Đáp số: (b2+1)(a2+1 ) b) Đáp số: (x+1)(x2+ +x )
c) Gộp x3−27 Đáp số: ( )( )
3
− − +
x x x
d) Gộp x4−1 Đáp số: (x−1) (3 x+1 ) e) Gộp x4+2x2+1 Đáp số: (x2+1)(x+1 )2
(140)b) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
+ − + − = − + +
x x x x x x x
c) x2−x4− −4 4x2 =x2 −(x2+2) (2 = x+x2+2)(x−x2−2 ) d) 4− x2−x x( 2−4)= −1 x3+4x(1−x) (= −1 x)(1 5+ x+x2). e) ( ) ( 2 2) ( )
− + − + −
x x y x y xy y Đáp số: (x−1 1)( −y)(x+ +y xy )
62 ( )
199 −199=199 199 − =1 199.200.198 200.
63 A=(x6−2x4+x2) (+ x3−x) (= x3−x) (2+ x3−x)=62+ =6 42.
64 a) (a b c+ + )(ab bc ca + + )
b) (a b ab bc ca+ )( + + ) (+c ab bc ca+ + )−abc
( )( ) 2( )
= a b ab bc ca+ + + +abc c+ a b+ −abc
=( )( 2)
+ + + +
a b ab bc ca c Đáp số: (a b b c c+ )( + )( +a )
c) Viết đa thức dạng a(a b+ +) b3−b a +(a b+ )3 đặt +a b làm nhân tử chung Đáp số: ( )( )3
+ −
a b a b
65 a) (a b b c+ )( + )(a c − )
b) ab2+ac2+bc2+ba2+(ca2+cb2+2abc)
( ) 2( ) ( )2
=ab a+b +c a+b +c a+b
=( )( ) ( )( )( )
+ + + + = + + +
a b ab c ac bc a b b c c a c) Viết b2 −c2 dạng: −(a2−b2) (+ c2−a2).
Đáp số: (a b b c− )( − )(a c − )
d) Tách c a− thành −(b c− +) (a b− )
( ) ( ) ( ) ( )
3 − − 3 − + − + −
a b c b b c a b c a b
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
=a b c− −b b c− −b a b− +c a b −
( )( 3) ( )( 3)
(141)Đáp số: (a b a c b c− )( − )( − )(a b c + + )
e) ( )( )( )
− − −
a b b c c a
66 a) Viết c a− dạng −(b c− +) (a b− )
Đáp số: (a b b c c a− )( − )( − )(a b c+ + )
b) Cách ( ) ( ) ( )
3 3
A=a b c− +b c−a +c a b−
Giữ hạng tử thứ Khai triển hạng tử sau Cách 2: Viết c a− dạng −(b c− +) (a b− ), ta
( )3 ( ) ( )3 ( )3
A=a b c− −b b c− + a b− +c a b− Áp dụng công thức (x+y)3 =x3+3xy x( +y)+y3, ta
A=a b c( − )3−b(b c− )3+3(b c− )(a b− )(a c− +) (a b− )3+c a b( − )3 =(b c− ) (3 a b− −) 3b b c( − )(a b− )(a− −c) (a b− ) (3 b c− )
=(b c− )(a b− ) ( b c− )2−3b a c( − −) (a b− )2
Dễ dàng phân tích biểu thức dấu ngoặc vuông thành (c a− )(a b c+ + ) Đáp số: (a b b c c a− )( − )( − )(a b c+ + )
c) (a b− )(a c b c− )( − )(ab bc ca+ + )
d) a(b c− )2−a2+b(a+c)2−b2+c(a b− )2−c2
Phân tích mỗi biểu thức dấu ngoặc vuông thành nhân tử đặt a b c+ − làm thừa số chung Đáp số: (a b c b a c c b a+ − )( + − )( + − )
e) a4(b c− −) b4(b c− +) (a b− +) c a b4( − )
( )( 4) ( )( 4)
b c a b a b b c
= − − − − −
( )( )( )( 2) ( )( )( )( 2)
b c a b a b a b a b b c b c b c
= − − + + − − − + +
( )( )( 2 3 2 3)
b c a b a ab a b b b bc b c c
= − − + + + − − − −
Đáp số: ( )( )( )( 2 )
a b b c− − c−a a +b +c +ab bc+ +ca
(142)x+ + = + − + + − + + − = + +y z a b c b c a c a b a b c Áp dụng đẳng thức:
( ) ( )( )( )
3 3
3
x+ +y z −x −y −z = x+y y+z z+x
(ví dụ 12a) Ta có: (a+ +b c) (3− a+ −b c) (3− + −b c a) (3 c+ −a b)3
( )( )( )
3
3.2 2 24
a b c b c a b c a c a b c a b a b c
b c a abc
= + − + + − + − + + − + − + + −
= =
b) abc bc ab b ac c a− − + − + + −
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
bc a b a c a a
= − − − − − + −
=(a−1)(bc b c− − + =1) (a−1)(b−1)(c−1)
68 Biến đổi a2(b c− +) b2(c a− )+c2(a b− )= thành (a b b c− )( − )(a c− = (xem ví dụ 13) ) Ta suy a= , b cb = c=a Vậy ba số a,b,c tồn hai số
69 a2+b2 =2ab⇒a2−2ab b+ = ⇒0 (a b− )2 = ⇒ =0 a b
70 Theo ví dụ 11a, ta có:
( )( )
3 3 2
3abc=
a +b + −c a b c+ + a +b +c −ab bc ca− − Do 3
3
a + +b c = abc a b c, , >0 a2+b2+c2−ab bc ca− − =0 Áp dụng 29a để giải tiếp
71 a4+b4+ +c4 d4 =4abcd
4 2 4 2 2 2
2a 2a 4abcd+2c
a b b c c d d b d
⇒ − + + − + + − =
( 2 2) (2 2 2)2 ( )2
2 d
a b c d ab c
⇒ − + − + − =
Bạn đọc tự chứng minh a b c d= = =
72 am bc+ =a a b c( + + +) bc=a a b( + +) ac bc+ =(a b a c+ )( + ) Tương tự, bm ca+ =(b c b+ )( +a), cm ab+ = +(c a c b)( + ) Suy điều phải chứng minh
73 Do a2+b2 =1,c2+d2 =
Nên ab cd+ =ab.1+cd.1 =ab c( 2+d2)+cd(a2+b2)
Phân tích đa thức thành nhân tử (bc+ad)(ac b+ d)=
(143)( )2
2 1+ =2 +2.2 1+
( )2
1
n+ =n + n+
Cộng vế n đẳng thức rút gọn:
( )2 2 ( )
1 2
n+ = + + + +n +n Từ tính 1 ( 1)
2 n n S = +
75 Xét hằng đẳng thức (x 1+ )4 =x4+4x3+6x2+4x 1+ Lần lượt cho x 1, 2, 3, , ,n ta được:
( )4 4 3 2
1 1+ = +1 4.1 +6.1 +4.1 1+
( )4 4 3 2
2 1+ =2 +4.2 +6.2 +4.2 1+
( )4 4 3 2
1
n+ =n + n + n + n+
Cộng vế n đẳng thức rút gọn:
( )4 4 ( 3 3 3) ( 2 2 2) ( )
1
n+ = + + + +n + + + +n + + + + + n n
= +1 4S3+6S2+4S1+ n Ta biết ( )
1 n n
S = +
2 ( 2)( 1)
S = n n+ n+ (xem ví dụ 14) Từ tính ( )
2
3
1 n n
S = +
§4 Chia đa thức
76 a) 12 ( ) ( )3 12 36 12 24
8 : = : =2 : =2
b) 14
c) ( ) ( )
3 15
2
15 3 30 20
10 10 6 10
3 25
9 25 3
50 = 25 =3 25 = 25
(144)78 ( )
2 2
B= − xy + x y − = − x
79 n∈{ }2;3
80 ) 2
4
a − ax − x+ b) 3− x−4
81 A=x2+2x
A=1 với x= − y tùy ý
82 n∈{ }3;
83 x2+y2−xy+ +x 5y
84 a) 3x2−2x+ 4; b)2x−8 ; c x) 2−3 +2.x
85 a a) = −18 ; b a) = −15 ; c a) =3
86 a a) = −12 ; b a) = −5 ; c a) =4
87 a) Có thể giải ba cách: đặt tính chia, hệ số bất định, xét giá trị riêng
Đáp số: a=0;b= −16
b) Có thể giải ba cách câu a)
Đáp số: a b+ = (tức a tùy ý, b0 = − ) a c) Có thể giải hai cách: đặt tính chia, hệ số bất định
Đáp số: a= −6;b=4
88 a) Cách Đặt tính chia ta thương
x + +x a, dư (a−1) (x+ −b a) Muốn chia hết đa thức dư phải đồng , a=1;b= Va ậy a= = b
Cách 2: Thương có dạng x2+cx b+ Nhân với x2− +x đồng với x4+ax2+b, ta
1
c− = , c b− + = , a c b− = Suy a= = = b c b) Cách Đặt tính chia
Cách Đồng ( )
(x +3x−10) ax+ với đa thức bị chia, 3a+ =5 b,15 10a− =5 Suy a=1,b=8
Cách Xét ax3+bx2+5x−50=(x+5)(x−2 ) ( )Q x Lần lượt cho x= −5,x=2, ta
125a+25b=75 8a 4b 40 −
+ =
5
2a 10
b b b − + =
⇔ + =
1 a b
= ⇔ =
c) Giải hai cách câu a) Đáp số: a=3,b= −4
(145)Vậy a= ±2,b=
89 x3+ax b+ =(x+1 ( ) 7) P x + nên với x= − 11 − − + = , tức a b a b− = − (1)
( )
3
3 ( )
x +ax b+ = x− Q x − nên với x= 27 3a3 + + = − , tức 3ab + = − b 32 (2) Từ (1) (2) suy a= −10,b= −2
90 Trong hằng đẳng ax3+bx2+ =c (x+ , 2) P x( ), cho x= , ta 8a 42 − + b c+ =
Trong đẳng thức ax3+bx2+ =c (x+1)(x−1 ( ))Q x + + cho x 5, x= x= − ,
6,
a b c+ + = − − + + =a b c
(146)Chương II- PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§5 Tính chất phân thức Rút gọn phân thức
91 a) x= −1 )b x= ±2
92 a) Đặt 1234= x Ta có ( )( )
( )
1
1
2 1
+ + −
= =
+ + +
x x x
A
x x x
b) Đặt 1000= x Đáp số: B=2
93 ( )( )
( )( )
2
3 1
)
2
2
x x x
a x x x − − − = + + − ) b x ( ) ( )( )
c) x y z x y z
x y z x y z x y z
− + − +
=
− + − − − −
94 ( )
( )
! 1
) ;
! 2
n n n
a
n n n
+ = +
+ + ( )
!
b) ;
! 1
n
n n n+ − =
( ) ( )
( ) ( )
1 ! 1
c)
1 ! 3
n n n
n n n
+ − − =− −
+ + +
95 ( )( )( )
( )( )( )
) a b b c a c a c; a
a b b c b c b c
− − − = − − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2
3 5
) ;
3
3
x x x
b x x x − + = + − − −
)1( );
c x− +y z )1( )
d x+ +y z
96 a) Giả sử (3n+1, 5n+2)=d,
Ta có 5( n+2) (−5 3n+1)d ⇒1d⇒ = ±d b) Bạn đọc tự giải
c) Giả sử (n3+2 ,n n4+3n2+ =1) d
Ta có (n4+3n2+ −1) (n n3+2n)=n2+ 1 d Do ( 4 2 ) ( 2 )2 2
3 1
+ + − + =
n n n n d
Suy 1d ⇒ = ±d
d) Giả sử d∈ ƯC(2n+1, 2n2− ⇒1) n(2n+ −1) (2n2− = + 1) n d
( ) ( )
2 2 2 1
(147)97 Tử mẫu chứa thừa số n2 + +n lớn
98 Nhân biểu thức cho A với x2+ +x 1, ta (x2+ +x ) A=x64+x32+1
Do x2+ + ≠x 1 nên
64 32 + + = + + x x A x x
99 Hãy chứng minh (ay bx− ) (2+ az cx− ) (2+ bz cy− )2 =0
100 Ta có B=bc y( −z)2+ca z( −x)2+ab x( −y)2
( ) ( )
2 2 2
2
=bcy +bcz +cax +caz +abx +aby − bcyz+acxz+abxy
Từ giả thiết suy
( ) ( )
2 2 2
2
+ + + + + =
a x b y c z bcyz acxz abxy
Từ (1) (2) suy
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
= + + + + + + + +
B ax b c by a c cz b a a x b y c z
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
= + + + + + + + +
= + + + +
ax a b c by a b c cz a b c
a b c ax by cz
Do = 2+ 2+ = + + B
A a b c
ax by cz
101 Đáp số: 1
102 x2 −xy−2y2 = ⇔0 x2+xy−2xy−2y2 =0
( ) ( ) ( )( )
⇔x x+y − y x+y = ⇔ x+y x− y =
Do x+ ≠y nên x=2 y Do
2 − = = + y y A y y 103 2 2
9 12 20 12
9 12 20 12 32
+ − −
= = = =
+ + +
x y xy xy xy xy
A
x y xy xy xy xy
Do 2y<3x< ⇒0 3x−2y>0;3x+2y< ⇒ <0 A
Vậy
2 = −
A
104 Tính x y theo ,z được x=2 ,z y=3 z Thay giá trị x y vào biểu thức M rút gọn
13 − =
(148)105 a) x∈ −{ 1; 0;1; ;} b) x∈ −{ 2; 0; ;}
{ }
) ∈ −2; 0;1;3 ;
c x
2
) −59 + ⇔8 −64 5+ + ⇔8 5 +8
d x x x x x
Đáp số: x∈ −{ 13; 9; 7; − − − }
( )( )
2 2
) +2 + ⇒4 +2 −2 + ⇒4 + −4 8 +4
e x x x x x x x
⇒8x2+4
Xét x2+4 , thử lại, ta x= −2 thỏa mãn toán
106 Đặt 210 ,
1= ∈
+ k
x ta có
2
10 + =
kx k nên x2 =10−k k
Ta phải có 10−k ≥0
k nên 0< ≤k 10 Ta có bảng sau:
k 10 =10−k
x
k
9 4
3
1
3
3
1
1
0
∈
x ±3 ± ± 1
2
±
3
±
Đáp số: ±3;± ; 12 ± ; ± ;
3 ± ;0
107 abbb.c=(1000a+111b c) =1000ac+111bc=ac+111 9c( a b + )
( )
= 1110 + = +1110
a bbbc a b c ac ab
Cần chứng minh 111 9c( a+b)=1110ab, tức c(9a+b)=10ab
Theo giả thiết ab c =bc a ⇒(10a b c+ ) (= 10b c a+ ) ⇒10ac bc+ =10ab+ac
( )
9 10 10
⇒ ac+bc= ab⇒c a+b = ab
Chú ý: Có chữ số , ,a b c thỏa mãn đề bài, chẳng hạn 16 : 64 1: 4,=
1666 : 6664=1:
108 Gọi số học sinh nam nữ lớp 8A theo thứ tự ,a b , số học sinh nam nữ lớp 8B
theo thứ tự ,c d Ta cần tìm 7, +9 +
b d
b d Ta có:
( )
7,1 7,
7,
+ =
+
a b
(149)( )
8,1
8,
c d c d + = + ( ) 7,1 8,1
7,
+ =
+
a c
a c
Từ (1) suy b=1, a Từ (3) suy c=4 ,a Từ (2) suy d =0, ,c do d =2 a Ta
7, 7, 6.1, 9.2 29,
8,
1, 3,
+ = + = =
+ +
b d a a a
b d a a a
Điểm trung bình phải tìm 8,4
§6 Các phép tính phân thức
109 )a −1.
( ) ( ) 1
) + + − = − =0
+ −
y x y x
b
xy x y xy x y xy xy
110 )a A=0.
( ) ( ) ( )
( )( )( )
) = − − − + −
− − −
bc b c ac a c ab a b
b B
abc a b b c a c Rút gọn
abc
)c C=1.
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2
) = − + − + − =1
− − −
a b c b c a c a b
d D
a b b c a c
111 ( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 − + − + −
=
− − −
a b c b c a c a b P
a b a c b c
Phân tích tử thành nhân tử (a b b c− )( − )(a−c)(a+ +b c) Vậy P= + +a b c
112 ( 6)
2 − + − = + = + = − − x x y A y x
113 Từ
2 2 2 2 2 2
0
2 5 5
+ +
+ + = ⇒ − + − + − =
x y z x y z x x y y z z
Nên 2 2
10x +15y +20z = Do x= = =y z
114 2+ 12+ 2+ 12= ⇒4 2+ 12 −2+ 2+ 12 −2=0
(150)2 2 1 1 1. = = ⇒ − + − = ⇒ ⇒ = = x x x x y
x y y y
y
Có bốn đáp số (x y, ) ( ) (= 1;1 ; 1; ;− ) (−1;1 ;) (− −1; 1)
115 Từ (1) suy
2 2
1 1 1
2
+ + + + + =
a b c ab ac bc
Do (2) nên + + = ⇒1 a b c+ + =1
ab ac bc abc
Do a+ + =b c abc
116 Từ (1) suy bcx+acy+abz=0
Từ (2) suy
2 2
2 2
a b c ab ac bc
x y z xy xz yz
+ + + + + =
Do 22 22 22 4
a b c abz acy bcz
x y z xyz
+ +
+ + = − =
117 Từ giả thiết suy ab bc ca+ + =
Do ab bc ca abc
+ + =
, tức 1 a+ + =b c
Sau chứng minh x+ + =y z x3+y3+z3 =3xyz ( xem 42)
118 Từ giải thiết suy
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 2 2 2
2
( )
0
a c ab bc b c a b ac a c b a c b bc c b
c b a ac ab bc c b a b a c
+ + = + + ⇒ − − − + − =
⇒ − − − + = ⇒ − − − =
Tồn thừa số c b a b a− , − , −c Do ba số a,b,c tồn hai số
119 ) 2 ; { 2; 2; 4;8 }
a A x x
x
= + − ∈ −
−
{ }
) 0; ;
b x∈ c x) ∈{ }0
120 ) 2 a (3 22) a a
4
x a a
ax x a
(151)121 Đặt a b− =x b c, − = y c, − =a z x+ + =y z
Ta có ( )
2 2
2 2
0 x y z
x y z
A
x y z xyz xyz
+ +
+ +
= + + + = =
122 Thực phép tính vế trái, ta phân thức có tử a2+b2−2ab c− Do (a b c a b c− + )( − − = Vậy ) b c a+ − = a c b+ − =
123 a) Thực phép tính vế phải, ( )
( )
2 1 a b x cx a
x x
+ + +
+
Đồng với phân thức ( 12 )
1
x x + , ta a+ =b 0,c=0,a=1 Suy rab= −
Vậy
( )
1
1
x x x x x + = − +
1
) , ;
4
b a= b= − c a) = −1,b=1,c=
124 ( ) ( )
2 2 2 2 2
.ab bc ca abc a b b c c a B ab bc ca
abc a b c
+ + + + = + + − ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2
2
ab bc ca a b b c c a
abc abc
abc a b c
a b c abc
+ + + +
= −
+ +
= = + +
125 Từ giả thiết suy ab bc ac+ + = nên
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2
a + bc=a + + − −bc ab ac =a a b− −c a b− = a b a c− −
Tương tự: ( )( )
2
b + ac= −b a b c−
c2+2ab= −(c a c b)( − )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
1 1
)
0
)
)
a M
a b a c b a b c c a c b
b c c a a b a b b c c a
bc ca ab
b N
a b a c b a b c c a c b
a b c
c P
a b a c b a b c c a c b
(152)126 Ta có a b b c c a a b b c c a 2 a b c( )
c a b c a b a b c
+ +
+ = + = + = + + + + + =
+ + + +
Nếu a b c+ + ≠ tỉ số Suy a+ =b ,c b+ =c 2a, a c− =2(c a− ) nênc=a, trái với đề
Vậy a b c+ + = Ta có M a b b c c a c a b
b c a b c a
+ + + − − −
= = = −
127 Ta có a3+ + −b3 c3 3abc=(a b c a+ + )( 2+ + −b2 c2 ab bc ca− − ) (xem 41b) Do a3+b3+c3 =3abc a b c+ + ≠ nên
2 2
0 a +b +c −ab bc ca− − =
Dễ dàng suy a b c= = Vậy
( ) 2 3 a N a = =
128 ) 1.3 2.4 3.52 2 2 ( 1)(2 1)
2
n n a A n − + = ( ) ( )
1.2.3 3.4.5 1 1
2.3 2.3 2
n n n n
n n n n
− + + + = = = ( ) ( )( )( ) 2
1 )
1.3.3.5.5.7 2 n
b B
n n n
+ =
+ + + Đáp số:
1 2n+3
129 a) Viết
(n−11)nthành( )
1
1
n− −n dùng phương pháp khử liên tiếp
Đáp số: 1 n −
b) Viết
(3n+2 3)(1 n+5) thành
1 1
3n 3n
−
+ +
Đáp số:
( )
1 1
3 5
n n n + − = + +
( ) (1 ) ( ) ( )
)
1 1
c
n n n n n n n
= −
− + − + Đáp số:
( )( ) ( ) n n n n − + + 130
( )2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
)
2 2
a A n n = + + + + = + + + + ( )
1 1 1 1
1
4 1.2 2.3 n n n
< + + + + = + − <
−
(153)
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1 1
)
3 5 1
1 1
2.4 4.6 2
1 1 1 1 1 1
2 4 2 2 2
b B
n n
n n
n n n
= + + + < + + +
− −
+ + −
= + + +
+
= − + − + + − = − <
+ +
131 Nhận xét: 12 24 1
4 2
n n n n
< = −
− − +
Do
1 1 1 1
3 5 2 3
A
n n n
< − + − + + − = − <
− + +
132 Ta thấy:
( ) ( ) (( ) () ( ))
3
1
1 1
1 1
n n
n n n n n n n n n
+ − −
< = =
− − + − +
( ) ( )
1 1
2 n n n n
= − − + Do đó: ( ) ( )
1 1 1 1
2 2.3 3.4 3.4 4.5 1
1 1 12 B
n n n n
< − + − + + −
− +
< =
133 Nhận xét:
( ) (( )) 1 2 n
n n n n
+ + = + + Do ( ) ( ) ( ) (( ))
2 2 1 2.3 . 1 2.3 . 1
2
1.3 2.4 3.5 1.2 3.4
1
1
n n n
A
n n n n
n n + + + = = + + + = < +
134 Nhận xét:
( ) ( ) ( ()( ) )
2 1 2
2
1
1 1
n n
n n
n n n n n n
− +
+ −
− = =
+ + +
Do ( )( )
( )
1
1.4 2.5
2.3 3.4
n n B n n − + = +
Rút gọn
(154)135 2.4 6.8 10.12 .42.44 4.6 8.10 12.14 44.46 46 23
A= = =
136 Nhận xét:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
3 2
1 0, 0, 75
1
1 )
1 1 0, 0, 75
n n
n n n
n a
n n n n n n
+ − + + − + + = = − − + + − − + Do ( ) ( ) (( )) (( ))
2 2
2 2
2
3 1, 0, 75 2, 0, 75 10 8, 0, 75
1 2, 0, 75 3, 0, 75 9, 0, 75 3.4 .10 1, 0, 75 9.10 3
1.2 .8 9, 0, 75 1.2 91
A= + + +
+ + +
+
= = <
+
b) Giải tương tự
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 2 2 2 2 2
2, 0, 75 3, 0, 75 0, 0, 75 1.2.3
3.4.5 1, 5 0, 75 2, 5 0, 75 0, 5 0, 75
0, 0, 75 1.2
1 1, 0, 75
2
2
1 3
n n B n n n n n n n n n
n n n n
+ + + + − = + + + − + + + = + + + + + +
= = >
+ +
137 Xét n4+ =4 (n2+2)2−4n2 =(n2+ −2 2n n)( 2+2n+ 2)
=(n−1)2+1 (n+1)2+1 Do
( )( )
( )( ) (( )()( )) (( )()( ))
2 2 2
2 2 2
2
0 20 22
2 22 24
1
24 577
P= + + + + + +
+ + + + + +
= =
+
138 Viết phân thức thành hiệu hai phân thức, được:
( )( )
1
6 2
M
a a a a
= − =
− − − −
139 ( 2) ( 1)
1 2
n n n n
(155)( )
1 1
1 2
1
2
1 1
2 3
n n n n
n n
n n n
n n
n
n n n n
n n B
n n n
= + +…+ + − − −…−
− −
= + + +…+ − −
−
= + +…+ + = + +…+ =
−
Vậy A B: =n
140 Chú ý rằng
(21 ) 21
k n k k k n k
= +
− −
1 1 1 1 1
2 3 3 1
A
n n n n n
= + + + +…+ + + +
− − − −
Tổng phân thức thứ dấu ngoặc
1 1 1+ + +3 2n−3+2n−1
bằng B Tổng phân thức thứ dấu ngoặc B
Vậy 2
B
A B
n n
= = Do A B: n =
141 Từ ( )2 ta có a b c ab bc ca abc
+ +
+ + =
Do abc=1 nên a+ + =b c ab bc+ +ca ( )3
Để chứng minh ba số , ,a b c tồn số 1, ta chứng minh:
(a−1)(b−1)(c− =1)
Xét (a−1)(b−1)(c− =1) (ab− − +a b 1)(c−1)
( ) ( ) ( )
1
abc ab ac a bc b c
abc a b c ab bc ca
= − − + − + + −
= − + + + − + +
Từ ( )1 ( )3 suy biểu thức
Do đó, tồn ba thừa số a−1,b−1,c− Vậy tồn ba số , ,a b c
142 Ta có 1 1
x+ + =y z x+ +y z Hãy Chứng minh (x+y)(y+z)(z+x)=0
143 Hai biểu thức Chứng minh phản chứng
(156)a+ + =b c ax+by+cz=ax+2a=a x( +2)
Nên
a x+ =a b c+ +
Tương tự
b y+ =a b c+ + ,
1
c z+ =a b c+ +
Suy M a b c a b c
+ +
= =
+ +
145 a) Nhân tử mẫu phân thức thứ hai với a, thay mẫu phân thức thứ ba bới abc, ta được:
2
1
2 2
a ab a ab
M
ab a ab a a ab a ab
+ +
= + + = =
+ + + + + + + +
b) Nhân tử mẫu phân thức thứ hai với a, thay mẫu phân thức thứ ba abc Đáp số: N =1
146 Từ giả thiết suy a b c( − ) (=c a b− ) ( )1 Ta có
( ) ( )
1
2 a b c c a b c a b
− + + = − − ( ) ( ) 1 a b c b c a a b c
− + − =
− −
Từ ( ) ( ) ( )1 ; ; suy ta điều phải chứng minh
147 a)
3 3
a b c
A
abc + +
= Ta có a+ + =b c nên a3+ + =b3 c3 3abc (xem 42) Do A=3 b) b c+ = ⇒a b2+2bc c+ =a2 ⇒a2− −b2 c2 =2bc
Tương tự, b2− −c2 a2 =2ac c; 2−a2−b2 =2ab
2 2 2
2 2
a b c a b c
B
bc ac ab abc
+ +
= + + =
Ta có a+ + =b c nên a3+ + = (xem 42) b3 c3
Do 3
2
abc B
abc
= =
148 Gọi M a b b c c a
c a b
− − −
= + + , ta có
2
c c b c c a c b bc ca a
M
a b a b a b a b ab
− − − + −
= + + = +
(157)( )( )
2
2
1 c a b c a b c c
a b ab ab abc
− − −
= + = + = +
−
Tương tự M a 2a3;M b 2b3 b c− = +abc c a− = +abc
Vậy ( )
3 3
3 a b c
A
abc + +
= + = (vì 3
3 ,
a + +b c = abc xem 42)
149 Từ giả thiết suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2
a b a bc b c ab c ab ab c a c a bc ab a b c a b abc a b abc a b
a b ab ac bc abc a b a b c
− − + = − − +
⇒ − + − = − + −
⇒ − + + = − + +
Chia hai vế cho abc a( −b)≠0
150 Từ x+ + = suy y z x2 =(y+z)2,y2 =(x+z)2,z2 =(x+y)2 Do
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
ax by cz a y z b x z c x y
a y yz z b x xz z c x xy y
x b c y a c z a b ayz bxz cxy
+ + = + + + + + =
= + + + + + + + +
= + + + + + + + +
Thay b c+ = −a a c, + = −b a b, + = − thay c ayz bxz cxy+ + = a b c
x+ + = vào y z ( )1 , ta
ax2+by2+cz2 = −ax2−by2−cz2
nên 2ax2+2by2+2cz2 = ⇒0 ax2+by2+cz2 =
151 Từ giả thiết suy x y z
y z x
+ = + = + Do
1 1 1
, ,
y z z x x y
x y y z z x
z y yz x z xz y x xy
− − −
− = − = − = − = − = − =
Suy (x y)(y z)(z x) (x y)(y2 2z2)(z x) x y z
− − −
− − − =
Nên (x−y)(y−z)(z−x)(x y z2 2− = 1) Bạn đọc tự giải tiết toán
152 Nhân hai vế a b c
(158)( ) ( ) ( )
2 2
a a b c b b c a c c a b
a b c
b c c a a b
+ + + + + +
+ + = + +
+ + +
Nên
2 2
a b c
a b c a b c
b c+ + +c+a+ +a b+ + = + +
153 Từ a b c
b c− +c a− +a b− = suy
( )( )
2
a b c b ab ac c
b c a c b a a b c a
− + −
= + =
− − − − −
Nhân hai vế với
( ) ( )( )( )
2
2
1 a b ab ac c
b c b c a b b c c a
− + −
⇒ =
− − − − − , Tương tự
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )
2 2
2 ,
b c bc ba a c a ca cb b
b c c a a b c a a b b c
c a a b
− + − − + −
= =
− − − − − −
− −
Cộng vế ba đẳng thức trên:
154 a) a2− ; b) a a( 2− 3) c) a4−4a2+
d) ý rằng: x2 12 x3 13 x5 x 15
x x x x
+ + = + + +
Đáp số:
5
5
a − a + a
155 Trước hết, tính x theo 4 a, Ta có:
4
4 4
4
1
1 x
a x ax a x ax a
x − = ⇒ − = + ⇒ − = + + 1 a x a + ⇒ =
− (do a≠1) Thay vào M rút gọn 22
1 a M a = +
156 Cách Ta có
( )
2
2
4 1 x x
x x x x x
x − +
− + = ⇒ − + = ⇒ =
4 2 2
2
1 1
x x x x x x x x
A
x x x x
+ + − + + + + +
= = =
Ta thấy
2
1
3
x x x x x
x x x
+ + = − + + = + =
Vậy A=3.5=15
(159)( 2 )2 2 ( )2
2
2 2
1
1
15
x x x x
x x
A
x x x
+ − −
+ +
= = = =
157 Xét x=0 a=0, M =0, xét x≠0 a≠0
( )
2
4 2
1 1
x x x
M
x x x x x x
= =
+ + − + + +
Ta có
2
1 1
2
x x x x x a
x x x a a
+ + = − + + = + = +
(2)
Từ ( )1 ( )2 suy
2
1 2
a a
M a
a a
= =
+ +
Kết luận:
2 a M a =
+ đáp số chung cho hai trường hợp x=0 x≠0 (khi x=0
0 a= nên
2
a a =
+ , tức M =0 )
158 Ta xét biểu thức x+ +y xy+ , biểu thức x y( + +1) (y+1) hay (x+1)(y+1) Từ giả thiết suy ( )
( )
2
2
4
1 ,
2 .
b c a bc
x y
bc b c a
+ −
+ = + =
+ −
Do (x+1)(y+ = ⇒1) xy+ + + = ⇒x y xy+ + =x y
159 a)Đặt a− =b n ( )1
( )2 a
n
b =
Trong , ,a b n∈N b; ≠ Ta có bn b− =n nên b n( − =1) n Nếu n=1 a=b theo ( )1 n=0 , loại
Xét n≠1 ta có 1 ( )3
1 n b n n = = + − −
Vì n−1 ước nên n− ∈ −1 { 1;1}
Với n− = −1 n=0 từ ( )3 suy b=0 , loại Với n− =1 n=2 từ ( )3 suy b=2, a=4 Vậy a=4,b= thử lại 4
2 − =
(160)160. Do a b+ ≠0;a c+ ≠ nên
3 3 3
2 2
3
a b a b a b a c
a ab b a ac c
a c a c a b a c
+ + + +
= ⇔ = ⇔ − + = − +
+ + + +
( )( ) ( )
2
b c ab ac b c b c a b c
⇔ − = − ⇔ + − = −
Do b− ≠c nên b+ =c a Vậy c= −a b
161 a) Lần lượt tính
3
1 1 ; ; a
a a a a
a a
+
= = =
−
b) Từ câu )a suy a1 =a5 =a9 = = a101=
Từ tính 1 3; 2 1; 3 1; 4 2; 5
2
a = a = a = − a = − a =
162. Ta có mnk=mn+kn chia hai vế cho n ta mk = +m k Do m=k m( −1)
Như m m( −1) suy m=0 (loại) m=2 Khi k =2 Phân số phải tìm có dạng
n k=2
163. Tổng phải tìm A B− , đó:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
( )( )
1 2
7 7
1
7 7
7
7 7 1
14
7
2
A a a b b
a a b b
a b b a
a b a b
= + + + + + − + − = + + + + + − + − = + + − − − + + = + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1
1 1 1
2
1
B a a b b
a b b a
a b b a
= + + + + + − + −
= + + − − − + +
= + − −
Tính hiệu A B− ta 3 b( −a2)
164 a) Giả sử mức sản xuất xí nghiệp năm 2000 mức sản xuất năm 2001 100
a + ;
mức sản xuất năm 2002 1
100 100 100 100 10 000
a b b a ab
+ + = + + +
tăng so với năm 2000
là
100 10000 a b+ + ab
hay %
(161)Vậy, câu trả lời D)
b) Ta có 1
100 100
m n
b=a + −
nên 1
100 100
m n
b a− =a + − −
Điều kiện để b>a 1
100 100
m n
+ − >
Rút gọn điều kiện ta 100 m( −n)>mn
165 a) Gọi k số nguyên lớn cho 2k ≤ Chọn mẫu chung 2n k
P P tích số lẻ khơng vượt q n Chỉ có thừa số phụ (của phân số
2k ) số lẻ, thừa số khác chẵn Như quy đồng mẫu, mẫu số chẵn, tử số lẻ Do A khơng số nguyên
b) Gọi k số nguyên lớn cho 3k ≤2n+ Chọn mẫu chung 31 kP P tích thừa số nguyên tố lẻ không vượt 2n+1 Chỉ có thừa số phụ (của phân số
3k ) khơng chia hết cho 3, cịn thừa số phụ khác chia hết cho Như sau quy đồng mẫu, mẫu chia hết cho 3, khơng chia hết cho Do B không số nguyên
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
166 a) (3x−1 2)( x−3) b) (2x+9)(x−3) ; c) (x−3y)(2x+y)
167 a) (x−1)(x2+ + x 3) b) (x−1)(x−2)(x+3)
c) (x+1)(x+2)2 d) (x+1)(x−2)(x−8)
e) Viết đa thức dạng x3− −1 (x2+ + x 1)
Đáp số (x−2)(x2+ + x 1)
g) − nghiệm Đáp số (x+2)(x2− + x 1)
h) nghiệm Đáp số (x+2)(x−3)(x−5)
168.Đáp số: (x+1)(x+2)(x−3)
(162)Cách 2: x3−7x− =6 x3− −x 6x−
Cách 3: x3−7x− =6 x3+x2−x2− −x 6x−6 Cách 4: x3−7x− =6 7x3−7x−6x3−
Chú ý 2− nghiệm, ta có cách biến đổi: Cách 5: x3−7x− =6 x3−4x−3x−
Cách 6: x3−7x− =6 x3+ −8 7x− 14
Chú ý nghiệm, ta có cách biến đổi: Cách 7: x3−7x− =6 x3−9x+2x−
Cách 8: x3−7x− =6 x3−27 7− x+21
169 a)
3 nghiệm, biến đổi
3
27x − −1 27x +18x−
Đáp số: ( )( )
3x−1 9x −6x+
b)
2
− nghiệm Đáp số: ( )( )
2x+1 x − + x
c) (x2−3)2+16=x4−6x2+ + 16
( ) ( )
( )( )
4 2
2 2
2
2
10 25 16
5
5
x x x
x x
x x x x
= + + −
= + −
= + + + −
170 a)Đặt
x + = x y Đáp số :(x2+ −x 5)(x2+ + x 3)
b)Đặt x+ =y a Đáp số : (x+ +y 3)(x+ −y 4)
c)Đặt x2+ + = x y Đáp số: (x2+ +x 5)(x+2)(x− 1)
d) Biến đổi: (x2+7x+10)(x2+7x+12)−24 Đặt
7 11
x + x+ = y Đáp số :(x2+7x+16)(x+1)(x+ 6)
171 a) Đặt x2+5ax+5a2 = y Đáp số: (x2+5ax+5a2)2
b) ( 2 2)( ) (2 )
A= x +y +z x+ +y z + xy+yz+zx
Đặt 2 ;
x +y +z =a xy+yz+zx= b
(163)c) ( 4 4) ( 2 2) (2 2 2)( ) (2 )4
2
M = x +y +z − x +y +z − x +y +z x+ +y z + x+ +y z
Để ý biểu thức x+ +y z, x2+y2+ xuz2 ất nhiều lần biểu thức M Ta đặt 4
x +y +z = , a x2+y2+z2 = , b x+ + =y z c
Ta có M =2a b− −2 2bc2+c4 =2a−2b2+ −b2 2bc2+ c4 ( 2) ( 2)2
2 a b b c
= − + −
Ta có a b− = −2(x y2 2+x z2 2+y z2 2)., ( )
2
b c− = − xy+yz+zx
Do ( 2 2 2) ( )2
4
M = − x y +y z +z x + xy+yz+zx
( )
2 2
8x yz 8xy z 8xyz 8xyz x y z
= + + = + +
172 ( )3 ( 3 3)
4 12
A= a+ +B c − a +b +c − abc Đặt a b+ =m a b, − = n 4ab=m2 − n2
Suy ( ) ( )
2 2
3
4
m n
a +b = a+b a b− +ab=m n + −
Ta có ( ) ( )
3
3 3 2 2
4
4
m mn
A= m c+ − + − c − c m −n = − +3( c3 mc2−mn2+cn2)
Biến đổi dấu ngoặc thành (m c− )(c+n)(c−n) Vậy A=( )(3 a+ −b c)(c+ −a b)(c− +a b)
173 a) Tách −32x2 thành 4x2−36x2
Đáp số : (2x2+6x+1 2)( x2−6x+ 1)
b) x6+27=(x2+3)(x4−3x2+9) =(x2+3)(x4+6x2+ −9 9x2)
=(x2+3)(x2+ +3 3x)(x2+ −3 3x)
c) Chú ý x4+x2+ =1 (x2+ +x 1)(x2− + x 1)
Đáp số : ( )2( )
2 x−1 x + +x
d) (2x2−4)2 + =9 4x4−16x2+25=4x4+20x2+25 36− x2
=(2x2+6x+5 2)( x2−6x+ 5)
174 a) Thêm bớt 4x 2 Đáp số: (2x2+2x+1 2)( x2−2x+ 1)
b) Thêm bớt 4x y 2 Đáp số: (2x2+2xy+y2)(2x2−2xy+y2)
(164)175 a) Thêm bớt x 3
( )( )
5 3
3 2
2
1
( 1) ( 1)( 1)
1
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
+ + = + + − +
= + + − − + +
= + + − +
b) Thêm bớt x Đáp số: 2 (x2+ +x 1)(x3−x2+1 ) c) Thêm bớt x2+ x
( ) ( ) ( )
8
1
x +x + = x −x + x − +x x + +x
Đáp số: (x2+ +x 1)(x6−x4+ − +x3 x )
d) Thêm bớt x2+ Đáp số: x (x2− +x 1)(x3− −x )
e) Thêm bớt x2+ Đáp số: x (x2+ +x 1)(x5−x4+ − +x3 x )
g) Thêm bớt x 4 Đáp số: (x4−x2+1)(x2+ +x 1)(x2− +x )
176 a) a6− +b6 a4+a b2 2+b4 =(a4+a b2 2+b4)(a2− +b2 1)
=(a2+ab b+ 2)(a2−ab b+ 2)(a2− + b2 1)
b) x3+3xy+y3− =1 (x3+3x y2 +3xy2+y3− −1) 3x y2 −3xy2+3xy
( ) ( )
( )( )
( )( )
3
2
2
1
1
1
x y xy x y
x y x xy y x y xy
x y x xy y x y
= + − − + −
= + − + + + + + −
= + − − + + + +
177 a) ( )2
2x + +x Có thể tách 5x thành 2 4x2+ x2
b) (x2−3x+1)(x2 −4x+1 )
c) (x2−4x+7)(x2+4x+9 )
d)(x2+2x+2 2)( x2 +2x+1 )
Cách giải không dùng phương pháp hệ số bất định:
( )4 ( 2 )2 ( )4 2( )2 ( )
1 1 1
x+ + x + +x = x+ +x x+ + x x+ +
(165)=(2x2+2x+1)(x2+2x+ 2)
178 a) ( )2
14 1 12
A=x + x + = x + + x
Thêm bớt 4x2(x4+ được; 1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
4 4 4
2
4 2
2
4 2
2
4
4
1 4
1
2
2 2
2 2 2
A x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
= + + + + − + +
= + + − + −
= + + − −
= + + − −
= + + − + − + + +
b) ( )2
98 1 96
x + x + = x + + x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
4 4 4
2
4 2
2
4 2
2
4
4
1 16 64 16 32
1 16
8 16
8 4
4 4
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
= + + + + − + +
= + + − + −
= + + − −
= + + − −
= + + − + − + + +
Chú ý: Các đa thức câu a), b) trường hợp đặc biệt đa thức
x8+(4a4+8a2+2)x4+ (1) 1 a=1 a=2
Đa thức (1) lại trường hợp đặc biệt đa thức
( )
8 2 4
4
x + a + a b+ b x + với b b=1
Các kết tổng quát Trần Thanh Sơn Đinh Nho Tam, học sinh 8H trường Trưng Vương Hà Nội năm học 1999 -2000 đề xuất
179 Kiểm tra với a=0thì M =0 Do vai trị bình đẳng a,b,c nên M có nhân tử abc, nhân tử
cịn lại số k
Cho a= = =b c 1được k =4 Vậy M =4abc
180 Biến đổi n n( +1)(n+2)(n+ +3) 1thành (n2+3n+1 )2
(166)( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2
2
2 2
3 1 1
1 2 2
n n n n n n n n
n n n n n n
= + + + + + + + − +
= + + + + = + +
182 Với x ta có (x+a)(x−4)− =7 (x+b)(x+c) nên với x=4thì − =7 (x+b)(x+c)
Xét hai trường hợp: 4+ =b 1, 4+ = − 4c + =b 7, 4+ = − c Trường hợp thứ cho b= −3,c= −11,a= − , ta có 10
(x−10)(x−4)− =7 (x−3)(x−11 )
Trường hợp thứ hai cho b=3,c= −5,a= , ta có
(x+2)(x−4)− =7 (x+3)(x−5 )
183 Nhân (x+a)(x+b)(x+c)được
( ) ( )
3
x + a+ +b c x + ab bc+ +ca x+abc
Do b+ =c 0(1), ab+bc+ca=b (2), abc=c(3) Từ (1) có c= −b.Thay vào (2),
( )
2
0 0;
ab b− −ab= ⇔b b + = ⇔b b b+ = ⇔ =b b= −
Nếu b=0 từ (1) có c=0, cịn (2) (3) nên a tùy ý
Nếu b= −1 từ (1) có c=1, từ (3) có a= −1 Tóm lại, ta có 2( )
ax
x + =x x+a , x3−x2− + =x (x−1) (2 x+1 )
184 Đồng x2 + − với x n 2( )
x b−a x−ab , ta b− =a ab=n
Do (a a+ = Do 1) n 1< <n 100 nên tich hai số tự nhiên liên tiếp (a a+ 1) 1.2, 2.3, 3.4, ,8.9, 9.10 , gồm chín cặp số
Vậy có chín giá trị n thỏa mãn toán
185 A=a2+b2+c2 =a2+ +(a 1)2+a a2( +1)2 =2a2+2a+ +1 a a2( +1)2 =a a2( +1)2+2 (a a+ + =1) [a a( + +1) ]2
Ta có A=a a( + + , số lẻ 1)
TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI SỐ NGUYÊN
186 a) Biến đổi :
3 ( 1)( 2)
(167)187 a) Biến đổi : (n n+2)(n+ thay 4) n=2k, (k k+1)(k+ 2) b) Phân tích : n4−10n2 + thành nhân tử thay n=2k+1
188 Biến đổi : A=n6+n4−2n2 =n n2( 2−1)(n2 + 2)
Xét trường hợp n=2a, n=2a+1 để chứng minh A8
Xét trường hợp n=3b, n=3b±1 để chứng minh A9 Suy A72
189 Biến đổi : B=32n− =9 9n− , nên
9 B
Để chứng minh 8B , viết B dạng B=(3 )n 2− − =1 (3n−1)(3n+ − 1)
ý 1n− 1n+ hai số chẵn liên tiếp
190 a) Hiệu 7n+4−7n =7 (7n − =1) 2400.7n b) 2
( 1)( 1)
a − =a a a + a − chia hết cho
c) Giải tương tự câu b)
191 a2+3a+ =2 (a+1)(a+ , chia h2) ết cho
a2+3a+2 3 ⇔a2+2 3 ⇔a2chia cho dư ⇔ không chia ha ết cho Điều kiện phải tìm a khơng chia hết cho
192 a) Ta có a s2 ố phương lẻ nên chia cho dư 1, a s2 ố phương khơng chia hết chia cho dư Suy
1
a − chia hết cho 8, chia hết cho 3, chia hết cho 24
b) Áp dụng kết câu a)
c) 240=2 3.54 ; 2
1 ( 1)( 1) ( 1)(a 1)(a 1) A=a − = a − a + = a+ − +
Nếu a lẻ (a+1)(a− tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8, 1) a2+ chia hết cho 2, A chia hết cho 16 Cịn a chẵn A khơng chia hết cho
Nếu a=3k±1 (k∈ ) a2− chia hết cho 3, A chia hết cho Còn 1
3 ( )
a= k k∈ A chia cho dư
Nếu a=5k±1 (k∈ ) a2− chia hết cho 5, a=5k±2(k∈ ) a2+ chia hết cho 5, do A chia hết cho Còn a=5 (k k∈ A chia cho dư )
Vậy điều kiện để a4− chia hết cho 240 a lẻ, không chia hết cho 3, không chia hết cho Chú ý: Từ kết trên, ta có tốn : Nếu a số nguyên tố lớn a4− chia hết cho
(168)193 Xét hai trường hợp:
a) Trong a, b, c có số Khi 22+ +32 52 =38, hợp số, loại; 2
2 + +5 =83, số nguyên tố
b) Cả a, b, c lớn Khi a b c 2 .2 chia cho dư nên a2+ + chia hết b2 c2 cho 3, hợp số, loại Đáp số: 3; 5;
194 Xét biểu thức A=(a2− +a) (b2− +b) (c2− +c) (d2−d)
Dễ thấy A số chẵn (vì biểu thức dấu ngoặc tích hai số nguyên liên tiếp)
nên 2 2
(a +b + +c d ) (− + + +a b c d)là số chẵn
Từ đề a2+b2 =c2+ nên d2 a2+ + +b2 c2 d2 số chẵn Vậy a+ + +b c d số chẵn, tổng lại lớn nên hợp số
195 Gọi ƯCLN( )a c, =k ta có a=k , a1 c=kc 1 (a c1, 1)=1 Thay vào ab=cd k ba1 =kc d nên 1 a1b=c d (1) 1
Ta có a1b c mà 1 (a c1, 1)=1 nên b c 1 Đặt b=c m1 (m∈N*), thay vào (1) a1 1c m=c d 1 nên a1m=d
Do : 5 5 5 5 5 5
1 1
= + + + = + + +
A a b c d k a c m k c a m
=k5(a15+c15)+m a5( 15+c15) (= a15+c15)(k5+m5) Do a c k m s1, , ,1 ố nguyên dương nên A hợp số
196 a) Nhận xét: Một số phương chia cho 3 dư hoặc
Ta có a2+b chia h2 ết cho Xét trường hợp tổng hai số dư : 0+ , 1+ , 1+ , có 0+ chia hết cho Vậy a ,2 b chia h2 ết cho 3, a b chia hết cho
b) Nhận xét: Một số phương chia cho dư 0,1, , (thật vậy, xét a 7k,7k±1,7k±2,7k±3 a chia cho 2 7thứ tự dư 0,1 , , )
Ta có a2+b chia h2 ết cho Xét trường hợp tổng hai số dư : 0+ , 1+ , 0+2,
0+4, 1+ , 2+ , 2+ , 4+ , 4+ , 4+ có 0+ chia hết cho Vậy a ,2 b chia h2 ết cho 7, a b chia hết cho
197 a) Xét hiệu
( 3+ +3 3)− + + =( ) ( 3− +) ( 3− +) ( 3− )
a b c a b c a a b b c c
(169)198 a) a+ + =b c ⇒ = −c (a+b) Do
a3+ + =b3 c3 a3+ − +b3 (a b)3 = −3ab a b( + )=3abc b) a+ + =b c 0⇒ = −c (a+b) Do
( )5 5+ +5 = 5+ − +5
a b c a b a b = −5a4b−10a3b2−10a2b3−5ab 4 = −5ab(a3+2a2b+2ab2+b 3)
Biểu thức dấu ngoặc
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2
2
2a 2a
a b b a b a b a ab b b a b
a b a ab b
+ + + = + − + + +
= + + +
Vậy a5+ + =b5 c5 5abc a( 2+ab b+ 2)
199 a) Áp dụng câu a) 197 (chú ý 1998 chia hết cho 6)
b) Đặt 19951995 = = + + +a a1 a2 a Gn ọi
S =a13+a23+ + an3=(a13−a1) (+ a23−a2)+ + (an3−an)+a
Mỗi dấu ngoặc chia hết cho Chỉ cần tìm số dư chia a cho Chú ý 1995 số lẻ chia hết a số lẻ chia hết cho 3, chia cho dư Vậy S chia cho
6 dư
200 a) a b ab3 − =a b ab ab3 − − 3+ab=b a( 3− −a) (a b3−b ; bi) ểu thức dấu ngoặc chia hết cho
b) Viết a b ab thành 5 − b a( 5− −a) (a b5−b )
201 Gọi a số tự nhiên tùy ý Chứng minh a3−a chia hết cho Suy a=a3−6k
202 60=2 3.52 , a2+b2 =c 2
Nhận xét : n=BS3 1± ⇒n2 =BS3 1+ , n=BS5 1± ⇒n2 =BS5 1+ , n=BS5 2± ⇒n2 =BS5 4+ , n=BS4 1± ⇒n2 =BS8 1+ ,
n=BS4 2± ⇒n2 =BS8 4+
Nếu , ,a b cđều khơng chia hết cho a b c 2, 2, chia cho dư Khi a2+b2
S3
(170)Nếu , ,a b c đều không chia hết cho a b c chia cho 2, 2, dư
Khi 2+
a b chia cho 5 dư 0,2,3 c chia cho 2 dư 1,4 , trái với (1)
Vậy tồn ba số , ,a b c chia hết cho
Nếu , ,a b c đều khơng chia hết cho 2 , ,
a b c chia cho 8 dư Khi a2+b 2 chia cho dư 0,2,5 , c chia cho 2 dư 1,4 , trái với (1) Vậy tồn số
, ,
a b c chia hết cho
Kết luận: abc chia hết cho 3, ,5 tức chia hết cho 60
203 Cách 1: Gọi ba số nguyên liên tiếp n−1, ,n n+1 Biến đổi (n−1)3+ + +n3 (n 1)3 thành
( )
3 n − +n 9n , chia hết cho
Cách 2: Trong ba số nguyên liên tiếp, có số chia hết cho 3, số chia cho dư 1,
số chia cho dư Chứng minh tổng số ( ) (3a , 33 b+1 , 3) (3 c−1)3 chia hết cho
9
204 Giả sử a3+ +b3 c chia h3 ết cho (1) Giả sử , ,a b c đều không chia hết cho (có dạng BS
3 1± ) lập phương số có dạng BS9 1± , a3+ + =b3 c3 BS9+ + +r1 r2 r , 3 đó, r r r1, ,2 3∈{1; 1− } Khơng có cách chọn ba số r r r 1, ,2 để tổng chia hết cho 9, trái với (1)
Vậy tồn ba số , ,a b c bội
205 a) Ta có a chia h3 ết cho 25 Cần chứng minh a5k+3 chia hết cho 25 Thật vậy:
( )( )
5k+3 =3 +3 +2 +7
a k k =3 25( k2+25k+ +6) = BS25
b) n n( −1) chia cho 3 dư ⇒3n n( −1) chia cho dư ⇒3n n( − +1)
chia cho dư Trong đó, lập phương số nguyên chia cho dư 0,1,8
206 a) Bài toán trường hợp đặc biệt định lí nhỏ Phéc-ma: ap−1−1 chia hết cho p với
=
p Chứng minh trực tiếp :
( )( )
6 3
1 1
− = + −
a a a
Nếu a=7k±1(k∈N) a3 =BS7 1± , a=7k±2 a3 =BS7 8± , a=7k±3
S7 27
= ±
a B Ta ln ln có a3+1 a3−1 chia hết cho b) 540=3 7.82 Đặt n=a , c3 ần chứng minh
( ) (3 )
1
= − +
(171)Nếu a chẵn a chia h3 ết cho 8; a lẻ a3−1 a3+1là hai số chẵn liên tiếp nên
( )( )
1
− +
a a chia hết cho 8 Do A chia hết cho 8
Nếu a chia hết cho A chia hết cho Nếu a khơng chia hết cho a6−1 chia hết cho 7(câu a)
Nếu a chia hết cho a chia h3 ết cho Nếu a=3k±1 a3 =BS9 1± , nên a3−1 a3+1 chia hết cho 9 Do A chia hết cho 9
207 a) B=100.101: 2=50.101
Để chứng minh A chia hết cho 101, ghép cặp: 3 3
1 +100 , +99 , Để chứng minh A chia hết cho 50, ghép cặp 13+99 , 23 3+98 ,
b) Giải tương tự câu a)
Chú ý: Tổng qt, ta có với k lẻ k+ k+ + +k n chia hk ết cho + + + + n Cách giải toán tổng quát tương tự cách giải sau với n=99 Gọi C =1k+2k + + +3k 99k, 99 99.100
2
= + + + + =
D Ta chứng minh 99.100
2
C
Ta có:
( ) ( ) ( )
2C= 1k+99k + 2k +98k + + 99k+1k
Do k số lẻ nên biểu thức dấu ngoặc chia hết cho 100, đó:
2C100 (1)
Mặc khác, ta viết C =1k+2k + + +3k 98k+99k
=
C 98k+97k+ + + 1k 99k
Nên 2C=(1k+98k) (+ 2k +97k)+ + (98k +1k)+2.99k Do k số lẻ nên biểu thức dấu ngoặc chia hết cho 99, đó:
2C99 (2)
Do 99 100 hai số nguyên tố nên từ (1) (2) suy 99.100C , 99.100
2
C , tức C D
208 a) A chia cho 3 dư nên A khơng số phương
b) Biến đổi: 100
4.11 =
B Để B số phương
100
11 phải số phương Số
100
11 tận 11 nên chia cho dư 3, khơng số phương Do B khơng số phương
(172)d) 97
4.3611 =
B
Số
97
3611 chia cho dư 3nên không số phương
Do B khơng số phương
209 Số có năm chữ số tạo chữ số 2,3,4,5,6 số chia cho dư nên khơng số
phương
210 Mỗi số phương lẻ chia cho dư nên tổng chúng chia cho dư , khơng số
chính phương
211 Mọi số lẻ có dạng 2k+1(k∈N)
Ta có: 2k+ =1 (k+ −1 k)(k+ +1 k) (= k+1)2−k 2
212 a) A gồm 50 số phương chẵn, 50 số phương lẻ Mỗi số phương chẵn chia hết tổng 50 số chia hết cho Mỗi số phương lẻ chia cho dư nên tổng 50 số chia cho dư
A số chia cho dư , không số phương
b) Ta viết B dạng tổng 57 số phương liên tiếp:
2 2
0 56
= + + + +
S
Ta thấy tổng ba số phương liên tiếp chia cho dư Thật vậy:
( )2 2 ( )2 2
1
− + + + = +
n n n n Viết B dạng tổng 19 nhóm:
B =(02+ +12 22) (+ 32+42+52)+ + (542+552+562) =19(BS3 2+ ) =BS3 38+ =BS3 2+
Số chia cho dư 2 khơng số phương Vậy B khơng số phương c) Đặt n=2k− (k∈N k, > Ta có 1)
( ) (2 1)
1
2 k
C= + + + + k− = + − k=k
Vậy C số phương
213 a)
n tận 9⇒n2 =(10a±3)2 =100a2±60a+ =9 10 10( a2±6a)+ Số chục
n 10a2±6a, số chẵn Vậy chữ số hàng chục n2 chữ số chẵn b) Gọi
n số phương lẻ
(173)Vì b2 có chữ số hàng chục chẵn 10a2+2ab số chẵn nên chữ số hàng chục n2 chữ số chẵn
c) Cách Xét n2 =(10a±4)2 =100a2±80a+16 10 10= ( a2±8a+ + 1)
Cách Chứng minh phản chứng Giả sử n2 tận 06, 26, 46,86 vơ lí (vì số phương chẵn phải chia hết cho )
d) Xét n2 =(10a+5)2 =100a a( + +1) 25
214 a) Số phương khơng có tận 2, 3, 7,8 Xét số có tận cùng:
50, 51, 54, 55, 56, 59: số có tận 50, 54 có dạng BS4+2 số có tận
51, 55, 59 có dạng BS4 3+ , chúng khơng số phương
Vậy số phương cho có tận 56, chữ số hàng đơn vị Ví dụ:
2
16 =256.34 =1156
b) Gọi n2 =(10a b+ )2 =10 10( a2+2ab)+ Chữ số hàng đơn vị phải tìm chữ số tận b2 b2
Theo đề bài, chữ số hàng chục
n chữ số lẻ nên chữ số hàng chục
b phải lẻ Xét giá trị b từ đến 9, có b2 =16 b2 =36 có chữ số hàng chục lẻ, chúng tận Vậy n2 có chữ số tận
c) Giải tương tự câu b),
n có chữ số hàng chục lẻ n phải có tận hoặc Ngược lại, n có tận chữ số hàng chục
n chữ số lẻ
Từ đến 100, có 20 số có tận (đó số 4, 6,14,16, , 94, 96) Vậy có 20 số n phải tìm
215 a) Xét hai số nguyên dương liên tiếp n n+ (n≥ Với 1) n≥
( ) ( )2
2
1
n <n n+ < n+
Vậy n n( + khơng số phương 1)
b) Xét ba số nguyên dương liên tiếp n−1, ,n n+1 (n≥2) Ta có
( ) ( ) ( )
1 1
n− n n+ =n n −
Ta thấy n
1
n − hai số nguyên tố (thật n d
1
n − dthì d nên
d = ± ) Do n n( 2− số phương hai thừa số n 1)
1
n − số
chính phương
(174)Vậy tích ba số nguyên dương liên tiếp khơng số phương
c) Xét bốn số nguyên dương liên tiếp n n, +1,n+2,n+3 Ta thấy (n2+3n+1)2− khơng số phương (dùng nhận xét câu b)
216 b3−a3 =(a+2)3−a3 Biến đổi thành a2+ +(a 2) (2+ 2a+2)2
217 a) Với n=
2
n − + =n , khơng số phương Với n= 2
2
n − + =n , số phương Với n> n2− +n khơng số phương
( )2 2 ( ) 2
1
n− <n − − <n n
b) Với n> ( )2 ( ) ( )2
1
n − <n − −n < n nên
2
n − +n khơng số phương Xét n= n= Đáp số: 2 n=
c)
2
n − +n chia cho dư nên khơng số phương d) Trước hết chứng minh
5
n − (xem ví dụ 39) n Suy
2
n − +n chia cho dư Số chia cho dư tận , khơng số phương
218 4p+1 số lẻ số phương nên
( )2 2
4p+ =1 2k+1 =4k +4k+ ( k nguyên) 1
( ) ( )
4p 4k k p k k
⇒ = + ⇒ = +
Do p số nguyên tố nên k= Khi p=2 4p+ = =1
219 Chứng minh n chia hết cho 3: Nếu n=3k+ n+ =1 3k+ , khơng số phương, loại Nếu n=3k+ 2n+ =1 2( k+ + , khơng số phương, loại Vậy n chia hết 1) cho
Chứng minh n chia hết cho : Ta có 2n+ số phương lẻ nên chia cho dư (1), do 2n chia hết cho , n chia hết cho , n+ số phương lẻ nên chia cho dư 1, do n chia hết cho
220 2n+ số phương lẻ nên chia cho dư 11 ⇒ chẵn n ⇒3n+ số phương lẻ, số chia cho dư nên 3n chia hết cho , n chia hết cho (1)
Cách 3n+ tận 1, 5, 9⇒3n tận 0, 4,8⇒n tận 0,8,
Loại trường hợp n tận (vì 2n+ tận , khơng số phương) Loại trường hợp n tận (vì 2n+ tận 3, khơng số phương) Vậy n 1 tận (2)
(175)Cách 2n+1, 3n+1 số phương lẻ nên tận 1, 5, chia cho dư 1, 0, Tổng chúng 5n+ nên số 12 n+ 3n+ chia cho dư 1, 2n 1 3n chia hết cho 5, n chia hết cho (3)
Từ (1) (3) suy n chia hết cho 40
221 a) Xét p=3k+ p=3k+ khơng xảy Xét p=3k, tìm p=
b) Xét p=5k± 4p2 + hợp số Xét p=5k± 6p2+ hợp số
Do p= Khi 4p2+ =1 101; 6p2+ =1 151 số nguyên tố
222 a) Phân tích thành nhân tử:
2
12n −5n−25 12= n +15n−20n−25
( ) ( ) ( )( )
3n 4n 5 4n 4n 3n
= + − + = + −
Do 12n2−5n−25 số nguyên tố 4n+ > nên 35 n− > Ta lại có 35 n− <5 4n+ (vì
n≥ ) nên để 12n2−5n−25 số nguyên tố thừa số nhỏ phải Giải điều kiện 3n− = , n=
Khi đó,
12n −5n−25 13.1 13= = , số nguyên tố
Vậy với n= giá trị biểu thức 12n2−5n−25 số nguyên tố 13 b) Biển đổi: 8n2+10n+ =3 (2n+1 4)( n+3)
Đáp số: n= , 8n2 +10n+ = 3
c) ( 3)
4 n n
A= + Do A số tự nhiên nên n n( + 3 4) Hai số n n+ chẵn Vậy n n+ chia hết cho
Nếu n= A= , không số nguyên tố Nếu n= A= , số nguyên tố
Nếu n=4k với k ∈ , k> A=k(4k+3) tích của hai thừa số lớn nên A hợp số
Nếu n+ = A= , không số nguyên tố
Nếu n+ = với k ∈ , 3 k > A=k(4k−3) tích của hai thừa số lớn nên A hợp số
Vậy n= , A=
223 a) Cách ( )( )
7 22 12
(176)Các số n+ n+ có hiệu nên chúng chia hết không chia hết cho Nếu chúng chia hết cho (n+5)(n+2) chia hết cho 9, suy A không chia hết cho Nếu chúng không chia hết cho (3 số nguyên tố) (n+2)(n+5) khơng chia hết cho 3, suy A khơng chia hết cho 3, khơng chia hết cho
Chú ý Trong cách giải này, ta biến đổi n2+7n+22 dạng (n+a)(n b+ )+c cho
(n+a) (− n+b)=3 (tức a b− = ) a b+ = , chọn a= , b=
Cách Giả sử A=n2+7n+22 chia hết cho biểu thức sau chia hết cho 3: 7 22 9 21
n + n+ − n− , n2−2n+ , 1 (n−1)2
, n− Thay n=3k+ vào A ta lại biểu 1 thức không chia hết cho Vậy với số nguyên n n2+7n+22 khơng chia hết cho b) Giải tương tự câu a)
224 Số n n có t2 chữ số nên n2− chia hết cho Ta lại có n (n n, − =1)
nên n=BS n=BS 1+
225 a) Gọi chín số ban đầu a a1, 2, ,a chín s9 ố a1− , a2− , a9− Để chứng minh tích chín số số chẵn, ta chứng tỏ tồn số số chẵn Thật vậy, giả sử chín số số lẻ tổng chúng số lẻ
Do (a1− +1) (a2−2)+ + (a9−9) số lẻ nên (a1+a2+ + a9) (− + + +1 9) số lẻ, suy số lẻ, vơ lí
b) Chú ý (a1−b1) (+ a2−b2)+ + (a9−b9)=0 Giải tương tự câu a)
226 a) ( )( )
2 11
n + n− = n+ n+ + chia hết cho 11 Vậy n=BS11 3+ n=BS11 5− b) Đáp số: 1; ; 3; 2−
c) n3− + chia hết cho n− nên chia hết cho n−
Đáp số: 3; 1; ; ; 5; 1− ; ; 4−
d) Phải có n2+ + ước Chú ý n n2+ + > nên xét n n2+ + = n
1 n + + = n
Đáp số: 1; 2;0; 1− −
e) A=n4−2n3+2n2−2n+ =1 (n−1) (2 n2+ 1) B=n4− =1 (n2+1)(n+1)(n 1).−
Do n≠ ±1 nên n−1 chia hết cho n+ ⇒1 chia hết cho n+1
(177)g) Chia n3−n2+2n+ cho n2+ , 1
1
n− , dư n+8
2 2
2 2
8 ( 8)( 8) 64
1 65 65
n n n n n n
n n n
+ + ⇒ + − = − +
⇒ + − + ⇒ +
Lần lượt cho n2+ ; 5; 13; 65, n 0; 2; 8.± ± Thử lại, giá trị
0, 2,
n= n= n= − thỏa mãn
227 Chữ số tận năm sinh hai bạn phải trường hợp ngược lại tổng
các chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn
Gọi năm sinh Mai 19 9a 9+ + + =a 19+a Muốn tổng số chẵn
{ }
a∈1;3;5; 7;9 Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980
228 Xét ba số tự nhiên liên tiếp 1,2 ,2 1n− n n+ , tồn bội 3, 1n− 1n+ Nếu n>2 2n+1, 2n − > nên b1 ội nói hợp số
Xét n=1,n= n=2 thỏa mãn toán: 2n− =1 3, 2n+ =
229 Giả sử số a, b, c, d, e, g lẻ bình phương số chia cho dư Do vế
trái chia cho dư 5, cịn vế phải chia cho dư 1, vơ lí Vậy tồn số số chẵn
230 P=(a b a c a d b c b d c d− )( − )( − )( − )( − )( − )
Xét bốn số a, b, c, d chia cho 3, tồn hai số có số dư chia cho 3, hiệu chúng chia hết cho 3, nên P chia hết cho
Xét bốn số a, b, c, d chia cho 4:
- Nếu tồn hai số số dư chia cho hiệu chúng chia hết cho 4, P chia hết cho
- Nếu bốn số có số dư khác chia cho ( 0, 1, 2, 3) hai số có số dư có hiệu chia hết cho 2, hai số có số dư có hiệu chia hết cho Do P chia hết cho
231 Mỗi số nguyên dương không 50 viết dạng a=2 kb với
{0;1; 2;3; 4;5 ,} {1;3;5; ; 49}
k∈ b∈
Chọn số có k =0, b∈{1;3;5; ; 49} , số 1,3,5, ,49, gồm 25 số
Chọn số có k 2= , b∈{1;3;5; 7;9;11}, số 4,12, 20, 28, 36, 44 gồm sáu số Chọn số có k =4, cịn b∈{ }1;3 , số 16, 48, gồm hai số
(178)Chú ý: Nếu có thêm số nữa, khác 33 số cho, nhỏ 50 34 số này, tồn hai số mà số gấp đôi số lại
Thật vậy, số thứ 34 có dạng 2.k ( ' 1, 3, 5, , 23' k = ) gấp đơi số có dạng 2 k , số thứ 34 có dạng 0 '3k ( ' 1, 3, 5k = ) gấp đơi số có dạng
2
2 k , nếu số thứ 34 có dạng
2 gấp đơi số có dạng 2 k 4
232 Gọi a số tự nhiên mà biểu diễn thập phân khơng có chữ số 0, 1, 2, Có vơ
số số a
Xét dãy số :
2004 sè a
a,aa, , aa a 4n = +(3 1)n =BS3 1+
Tồn hai số có số dư chia cho 2003
Giả sử hai số
=
m
m sè a
a aa a
=
n
n sè a
a aa a (m>n)
Hãy chứng minh số
− m n sè a
aa a chia hết cho 2003
233 Xét 52 số: 52
2003, 2003 , 2003 , , 2003
Tồn hai số có số dư chia cho 51 Giả sử hai số 2003m 2003 (1n ≤ < ≤n m 52) Khi
2003m−2003n 51 nên 2003 (2003n m n− − 1) 51
Do 2003nvà 51 nguyên tố nên 2003m n− − chia hết cho 51
Chú ý: Nếu số nguyên dương a m nguyên tố tơn số tự nhiên k cho
k
a − chia hết cho m Có định lí cho phép số k, định lí Ơ – le, k số lượng số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m Chú ý số k tìm theo cách khơng thiết số nhỏ để ak − m
Cách tìm số lượng số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m sau: - Nếu m số nguyên tố k = m –
- Nếu m hợp số dạng phân tích thừa số nguyên tố a b cx y z k m 1 1 1
a b c
= − − −
Trong toán m=51=3.17 nên
51 1 1 51 .2 16 32
3 17 17
k = − − = =
(179)Như với định lí Ơ –le, ta 32
2003 − 51
234 251− =1 ( )23 17 − chia h1 ết cho 23− =
235 270+370 =( ) ( )22 35+ 32 35 =435+935chia hết cho 9+ =13 (áp dụng a2k+1+b2k+1a b+ )
236 1719 +1917 =(1719+ +1) (1917− (áp dụng 1) 18 2k 2k
a + +b + a b+ ; n n
a −b a b− )
237 3663− chia hết cho 36 – = 35 nên chia hết cho 3663− =1 (3663+ − chia cho 37 dư 21) −
238 a) 420− chia h1 ết cho 1− tức 420 − chia h1 ết cho 3, mà 420− > nên 420− h1 ợp số b) 1000 001 100= 3+ chia h13 ết cho 100 1+ Vậy 000 001 hợp số
c) 250+ =1 425+ chia h1 ết cho 1+
239 Ta có 4n = +(3 1)n =BS3 1+ nên biểu thức cho BS3 6+ + + + + + =BS3 21+ , chia hết cho
240.A=(31n−15 )n −(24n−8n) chia hết cho 16; A=(31n−24 )n −(15n −8n)chia hết cho
241 Xét trường hợp n chẵn lẻ Đáp số: n chẵn
242 A=32n+3+24n+1=27.32n +2.24n =25.32n +2 3( 2n+24n)=BS 25 9+ ( n+16 n) Nếu n lẻ 16n + n chia hết cho 25, A chia hết cho 25
Nếu n chẵn 9n tận 1, 16n tận 6, suy 9( n +16n) tận 4, A không chia hết cho 25
Đáp số : n lẻ
243 Lần lượt xét n=3 ,k n=3k+1,n=3k+ , có n=3k 5n− chia hết cho 2n
244 5n− chia hết cho 2n ⇔n bội ( câu a)
5n− chia hết cho 2n ⇔n chẵn Đáp số: n=6k (k∈ )
245 Đặt A= +1n 2n+ + 3n 4n Nếu n số lẻ b1 5n+ n
5n+ n
nên A5 Nếu n=4k+2(k∈ )
(180)Nếu n=4k k( ∈ )
A= +1 24k +34k+44k = +1 16k +81k+162k, tận 4, không chia hết cho
Đáp số: n không chia hết cho
246 2222 +5555 =(BS7 1+ ) (22+ BS7 1− )55 =BS7 1+ +BS7 1− =BS7
247 Lũy thừa sát với bội 23 = = + Ta thấy 1994 chia cho dư Do
21994=23k+2 =4 2( )3 k =4 1( + )k =4(BS7 1+ =) BS7+
248 Lũy thừa sát với bội
3 =27=BS7 1− Ta thấy 1993 chia cho dư Do
31993 =36k+1 =3 3( )3 2k =3(BS7 1− )2k =3(BS7 1+ =) BS7 3+
249 Chú ý rằng 1995 bội 7,
A=19921993+19941995 =(BS7 3− )1993+(BS7 1− )1995 =BS7 3− 1993+BS7 1− Theo 248 31998 =BS7 3.+ Do A=BS7−(BS7 3+ − =) BS7−4 Vậy A chia cho dư
Chú ý : Để tìm số dư phép chia lũy thừa a cho m, ta có thb ể tìm lũy thừa a sát với bội m (chẳng hạn a n ), sau viết b dạng nk+r (bài 247) 2nk+r (bài 248)
250 Cách Chứng minh 31998=BS13 1, 5+ 1998 =BS13 1− Vậy 31998+51998 chia hết cho 13
Cách 1998 1998 ( ) ( )3 666 999 666 999 ( 666 ) ( 999 )
3 5 27 25 27 25
A= + = + = + = − + +
Ta có 27666− chia hết cho 26 ( đẳng thức 8), 25999+ chia hết cho 26 (hằng đẳng thức 9) Vậy A chia hết cho 13
251 Ta tìm một luỹ thừa sát với bội 13, 93 =729=BS 13 1.+ Do ta viết 10 dạng 11 (BS 1+ )11 =3k 1.+ Ta có
( )
11
10 3
9 =9 k+ =9(9 )k = BS 13 1+ =BS 13 9.+
Luỹ thừa sát với bội 13 =BS 13 1.2 − Viết 10 dạng 4n 1+
( ) ( ) ( )
10 2n 2n
9 4n +1
5 =5 = 5 = BS 13 l− =5 BS 13 BS 13 5+ = +
(181)chưa xác định số dư chưa biết m chẵn hay lẻ) Vậy 51011− 910chia cho 13 dư
252 Ta sẽ chứng minh A chia hối cho Luỹ thừa sát với bội là2 Ta có
( )2n + 3n
2 + = −3 = BS 3k− = + Do
( )k 3k +2
A=2 + =3 4.(2 )k +3=4 1+ + = BS 7 S 7.+ =B Ta lại cóA>7, A hợp số
253 a) dư ; b) dư
254 111 333
(n −1 ) =BSn 1.(n− −1) =BSn−l Vậy 111 333
(n −l) (n −l) = BSn 1.+
255 Cách Ta thấy455 = BS 112 ( − )12= B 1+ Do đó, a b chia cho dư dư Trong hai trường hợp trên, a + b chia cho dư
Cách Xét biểu thứcab+ + + =a b a b 1( + +) (b 1+ =) (a 1) b 1+ ( + ) Do a b lẻ nên
( )
(a+1) b 1+ chia hết cho 4, tức là(ab 1+ +) (a+b)chia hết cho (1) Ta thấy
( )12
12
ab=455 = BS 1− = BS 4+1 ⇒ab 1+ =BS 2.+ (2) Từ (1) (2) suy raa+ =b BS 4+2
256 a) 999 998 ( )499 ( 499 )
3 = 3.3 =3 10 -1 =3 10 − + 499.10 1− =
=3 BS 100( +4989 = 67 )
b) Xét mũ ( )7
7 = 1− =BS 4k 3.− = + Ta có
= 777 4k 3+ =7 73 ( )4 k = 343 .01( )k =( 43)( 01) = 43
257 3100 (10 -1)50 1050 50.49.102 50.10
= = − + − +
= BS 1000 500 500 1+ − +
= BS 1000 + Vậy 3100có tận 001
Chú ý : Tổng quát, ta chứng minh n số lẻ khơng chia hết cho ba chữ số tận n100 001
Trước hết, ta thấy số n không chia hết cho chia cho 125 có số dư Điều chứng minh ý ví dụ 45 Ở đây, có thêm điều kiện n số lẻ nên cịn chứng minh cách sau:
n tận 1, 3, 7, ⇒n4tận
( )25 ( )25 100
n n 10k
⇒ = = +
2 25.24
1000 (10 ) 25.10 125
2
=BS + k + k+ =BS + (1)
Ta có n100 = ( )n50 2là số phương lẻ (vì n lẻ) nên chia cho dư (2) Từ (1) (2) suy 100
n − chia h1 ết cho 1000, tức tận 001
(182)258 Ta có 896− chia hết cho 89 1− nên chia hết cho 11 896− chia hết cho 893+ nên chia hết cho 893+ , chia hết cho Đặt 896− =1 A
A= 496 9xy 290 960chia hết cho 11
Tông chữ số hàng lẻ từ phải sang trái A 36 y+ ,tổng chữ số hàng chẵn A bằng18+ x
A chia hết 54 y+ +x chia hết cho 9, từ x+ ∈y {0 ; 9; 18 ;}
A chia hết cho 11 nên
(36+y) (− 18+ x)chia hết cho 11, lừ x− ∈y {7 ; − }
Nếu x+ =y 0thì x= =y 0, loại Nếu x+ =y 18thìx= =y 9, loại
Nếux+ =y 9: ý x+y x−ycùng chẵn lẻ nên y
− =
x Ta x=8, y 1.= Vậy 896 = 496 98l 290 961
TÍNH CHI A HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
259 a) Có ; b) Khơng
260 a)x41 =x41− + =x x x x( 40− +1) x Ta thấy 40 ( )4 10
1 x
− = −
x nên chia hết cho x4−1, chia hết cho
1 + x Vậy x chia cho 41 x2+1dư x
b) Dư -x
2 a ) Dư ; b ) Dư x
262 a)r=f( )− = − − − − + =l 1 1 Dư
b) x99+x55+x11+ + =x x x( 98+ +1) x x( 54+ +1) x x( 10+ −1) 2x+7
Chú ý ( )x2 49 +1, ( )x2 27+1 x( )2 5+1chia hết cho x2+1 (theo đẳng thức 9) Vậy dư phải tìm −2x+7
263 Gọi thương chia f(x) cho x2−1là Q(x), dư làax+ b Ta có
( ) ( ) ( )
f x = x −l Q x +ax+b
Đẳng thức với x Lần lượt cho x=1vàx= −1 Đáp : Dư chia f(x) cho
1 −
x 25x+26
264 Trước hết ta tìm dư chia f(x) cho(x 2− )(x−3) Xét f x A( ) (= x− ) ( )x +7, (1)
( ) ( ) ( )
f x = x− B x +5, (2) Cách Xét f x 3( )= x x( −2)(x− +3) ax+b (3)
Từ ( ), (2), (3), cách cho x=2,x=3ta tìm a 2, b 1= = Dư phép chia f(x) cho (x−2)(x−3)là 2x 1.+
Do ( ) ( )
f x =Зх х( −2) x− +3 2x 1+ =3x −15x +20x 1.+
(183)(x−2 f) ( ) (x = x−2)(x−3 A) ( ) (x +7 x−2 ) (4) Từ (2) suy
(x−3 f) ( ) (x = x−2)(x−3 B) ( ) (x +5 x−3 ) (5) Lấy (4) trừ (5) f( ) (x = x−2)(x−3 A) ( ) ( ) x −B x +2x+1
Dư chia f(x) cho (x−2)(x−3) là2x+1 Giải tiếp cách
265 Đáp số: x4+ −x3 9x2+2x−31
266 Đặt
2
− = a , ta có: x8 =(x−a B) ( )x +r1 Cho x=athìr1=a ,8 đó:
x8− a8 =(x−a ) ( )B x
nên ( ) ( )( )( )
8
4 2
B = − = + a + a + a
−
x a
x x x x
x a
Ta có:(x4 a+ 4)(x2 a+ 2)( a)x+ =(x−a C) ( )x +r 2 Chox=a, ta được: 2a 2a 2a = r nên 2 r2 = a 8
Thay
2 = −
a , ta 2 16 = −
r
267 a) Thêm bớt x20vào đa thức bị chia
b) Biến đổi : 1945 1945
( 1) ( 1) ( )
− − = − + − + − −
x x x x x x x x
c) x10−10x+ =9 (x10− −1) 10(x− =1) (x−1)(x9+ +x8 x7+ + + −x 10 )
Biểu thức dấu ngoặc thứ hai (x9− +1) (x8−1 + ) + (x−1 ,) chia hết cho x d) 8x9−9x8+ =1 8(x9− −1) (9 x8−1)
( ) ( ) ( )
1 +
x x x x x x x
= − + + + + − + + +
Biểu thức dấu ngoặc vuông
8x −x −x −x −x −x −x − −x 1, chi a hết chox−1 tổng hệ số
268 Trước hết chứng minh f( ) ( )x −g x chia hết cho ( )g x Ta có ( ) ( ) 99 88 11
f x −g x =x −x +x −x + +x −x
=x x9( 90 − +1) x x8( 80− +1) +x x( 10 −1)
Các biếu thức dấu ngoặc chia hết chox10−1, mà x10−1chia hết cho g(x)
269 ( ) ( ) ( ) ( )
3
6 2
x+y + −x y = x + y + x − y chia hết cho (x+y) (2+ −x y)2, tức chi a hết cho2 x +y( 2), chi a hết cho
2 x +y
270 a) Chứng minh nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia
b) Đa thức bị chia bằng( 2n 1 )2 +1
x + , chia hết cho(x+1)2
c) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2n l x l
4n 4n+2 2
l l ( l) l
x x x x
+ −
+
(184)271 Vì n n 1+ hai số tự nhiên liên tiếp nên có số chẵn, số lẻ Đa thức bị chia có dạng
(x2k −l)(x2k+1− =l) (x2−l).A( ) (x x−l B) ( )x =(x 1+ )(x−1 A) ( ) ( )2 x B x
272 Trước hết, ta chứng minh x6m 4+ +x6n 2+ + chia hết cho1 x2+ + Giải tương tự ví x dụ 58
Đa thức 6m 6n
x + +x + + chia hết cho x2+ + chia hết cho 1x x2 − + (ví dụ 58), hai x đa thức khơng có nhân tử chung bậc Do 6m 6n
1
x + +x + + chia hết cho tích
( )( )
1
x + +x x − + , tức chia hết chox x4+x2+
273 Xét n=3 ;k n=3k+1;n=3k+ Trong trường hợp đầu, số dư phép chia Trong hai trường hợp sau, số dư Vậy số cần tìm n khơng chia hết cho
274 Gọi thương chia đa thứcA chox+ +y z Q, ta có : 3 ( )
.Q x +y +z +kxyz= x+ +y z
Đẳng thức với , ,x y z nên với x=1,y=1, z 2=− ta có:
( )3 ( ) ( )
1 1+ + −2 +k − = + −2 1 Q ⇒ − − 2k = ⇒ = −0 k
Với k = −3 ta có x3+y3+ −z3 3xyz chia hết cho x+ +y z (thương
2 2
x +y +z −xy−yz−zx) Vậy k = −3
275 Giả sử a nghiệm nguyên ( )f x Với x, ta có ( ) (f x = −x a Q x) ( ) ( )
Q x là đa thức có hệ số nguyên,
(0) (0), (1) (1 ) (1) f = −a Q f = −a Q
Do f(0) số lẻ nên a số lẻ, (1)f số lẻ nên 1 a− số lẻ, mâu thuẫn với
(185)(186)PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: TỨ GIÁC
§1 TỨ GIÁC
1 (h.49) Gọi O giao điểm AC BD Ta có
2 2 2 2
7 65
OC +OD +OB +OA =BC +AD = + = OA2+OB2 =AB2 =82 =64
Suy OC2+OD2 = hay CD2 = Vậy CD=1
2 (h.50) Ta tính 130C+ =D °, 230
A+ =B °
Ta lại có 50A B− = ° Từ 140A= ° , 90B= °
3 a) Xem lại cách giải tổng quát câu b
b) Giả sử E F có vị trí hình 51, tia phân giác các góc E F cắt I Trước hết ta chứng minh
2
BAD C+ = EIF
Thật vậy, gọi H K giao điểm FI với AB CD Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có BAD=H1+ , α
C=K − nên α
( ) ( )
1
2
BAD C H K
EIF β EIF β EIF
+ = + =
= + + − =
Do EIF =( BAD C+ ):
4 Bạn đọc tự chứng minh
5 (h.52) Cộng vế AB+CD< AC+BD AB+BD≤AC+CD suy 2AB<2AC hay
AB< AC
6 (h.53) Kẻ AH ⊥OB Đặt BH =x AH, = Ta có y
( ) 2 2 36 64 x y x y + = + + =
Từ ta tìm 135 ,
2
x= y =
Hình 52 B C A D Hình 53 x y H A B D O C Hình 49 O D B A C Hình 50 I C B D A 1 β α β α Hình 51 A H I K C E B D F
(187)Do 2 2 135
11, 166
4
AD =HD +AH = + =
Vậy AD= 166
7 Xét bốn điểm A, B, C, D Nếu bốn điểm đỉnh tứ giác lồi tốn chứng
minh xong Nếu bốn điểm khơng đỉnh tứ giác lồi tồn điểm (giả sử D) nằm tam giác có đỉnh ba điểm cịn lại (h.54) Chia mặt phẳng thành chín miền hình vẽ, điểm thứ năm E nằm bên miền (vì năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng)
Nếu E thuộc miền 1, 4, 8, ta chọn bốn điểm E A, D, C Nếu E thuộc miền 3, 6, 9, ta chọn E B, D, C
§2 HÌNH THANG
8 Qua đỉnh đáy nhỏ, kẻ đường thẳng song song với cạnh bên hình thang 9 (h.55) Kẻ BH ⊥CD Ta tính CH =5 cm, CD=16 cm Từ AC =20 cm
10 (h56) Cách Gọi K giao điểm AE DC Ta có ∆ABE= ∆KCE (g-c-g) nên AE =EK Vậy tam giác ADK cân D D1=D2
Cách Gọi F trung điểm AD Ta có EF/ /CD nên E1 =D1 Mặt khác tam giác AED vuông nên EF =FA=FD⇒E 1=D2 Vậy D1 =D2
11 (h.57) Đặt ADB=x Ta tìm x= °36 Các góc hình thang cân
72 , 72 , 108 , 108 ° ° ° °
Hình 54
7
6
1
B C
A
D
Hình 55
13 11
12
A
D
B
C H
Hình 56
1
K D
E
A B
(188)
12 (h.58) Chứng minh EF/ /KI EKI, =FIK = °60 Suy
2 CD KF =EI =
13 (h.59) Qua M vẽ MD/ /AB ME, / /BC MF, / /AC, ba hình thang cân,
, ,
MA=DE MB=EF MC=DF, các đoạn thẳng MA, MB, MC độ dài cạnh tam giác DEF nên đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn
Cách khác: AM cắt BC K Ta có MA<AK < AC=BC<MB+MC Tương tự, MB<MA MC MC+ , <MA MB+
14 a) (h.60a) Lấy điểm I đường trung tuyến AM cho I trung điểm AG Kẻ
, , , ',
AA BB CC II MM′ ′ ′ vng góc với d
Đáp số: AA′=BB′+CC′
b) (h.60b) Gọi BE đường trung tuyến tam giác ABC, M trung điểm BG Vẽ
, , , , ,
AA BB CC EE GG MM′ ′ ′ ′ ′ ′ vng góc với d Ta có:
2
2
MM EE GG
MM EE GG
′+ ′= ′
′ ′ ′
⇒ + =
4
3
BB GG AA CC GG
BB AA CC GG
′ ′ ′ ′ ′
⇒ + + + =
′ ′ ′ ′
⇒ + + =
15 (h.61) Gọi K giao điểm AD, BF tam giác ABK Trước hết chứng minh tổng
các khoảng cách từ D, E, F đến AB đường cao KH =h của tam giác KAB (h không đổi) Do
đó khoảng cách từ G đến AB h
(theo 14) Hình 57 2x 2x x x C B D A Hình 58 I E K F D C
A M B
Hình 60 b) d a) d C E' G' M' A' B' M G E A' I' C' M' B' I G M B C A B C A
(189)16 (h.62) a) Gọi K trung điểm AC
Ta có EF ≤KF+KE, từ 2EF ≤AB+CD nên
2 AB CD
EF ≤ +
b) , ,
2 AB CD
EF = + ⇔E K F thẳng hàng ⇔ AB/ /CD
17 (h.63) Gọi M trung điểm AD, I K trung điểm AC BD Đường thẳng IK cắt
AB, CD E, F Tam giác MIK cân nên K1 = Ta lại có I1 K1=E1 (so le trong, AB//CD), I1=F1 (so le trong, IM//CD) Vậy E1= F1
18 (h.64) Gọi E, F trung điểm AC BD; I trung điểm A’C Ta có EI//AA’,
dó AA’ qua trung điểm M EF Tương tự, BB CC DD′, ′, ′ qua M
19 (h.65) a) MH là đường trung bình ∆CBDnên MH BD// Do MH ⊥EFnên BD⊥EF Ta lại có BA HD⊥ , E trực tâm BDH∆
Hình 61
G K
F E
D
A M N D
Hình 62 F
K E
D C
A
B
Hình 63 1
1 1 1
E
F K I
D
C A
B
Hình 64
M I A' E
F
A B
D
(190)Hình 65
b) Gọi G là giao điểm DE BH , K giao điểm BH AC
DHG CHK
∆ = ∆ (cạnh huyền – góc nhọn)
HG HK
⇒ =
( )
HGE HKF g c g HE HF
∆ = ∆ ⇒ =
20 (h.66) Gọi O là tâm đường tròn, H giao điểm OB AC Ta có BA=BC OA, =OC nên OBlà đường trung trực AC, OB⊥AC AH =HC OH đường trung bình
ACD
∆
Đặt CD=x
2 x
OH = nên
2 x BH = − Ta có AB2−BH2 =OA2−OH2 (cùng
AH ) nên
2
4 16
2
x x
− − = −
Từ x=7 Vậy CD=7
Hình 66
3 Dựng hình thước compa
21 a) (h.67) a) Trước hết dựng ∆BEC biết ba cạnh BC=3cm BE, =CE=2cm Sau dựng điểm D điểm A
H
C G
M F K A
E
B D
x
O A
B
C
H
D
(191)a) b)
Hình 67
b) (h.67b) Trước hết dựng B , biết ba cạnh DE= +a b BE, =c BD, = Sau dựng điểm A d
22 (h.68) Trước hết dựng tam giác ADE∆ có DE= −b a D, =AED=a Sau dựng điểm C
và B
Hình 68
23 a) Cách dựng thể hình 69a
b) Cách dựng thể hình 69b
a) b)
Hình 69
24 (h.70)
1 Phân tích Gỉa sử dựng ∆ABCcó B=β,C=α,BC−AB=d Trên BC lấy điểm D
sao cho BD=AB DC=BC−BD=BC−AB=d
c
a d
c
b a
1 2
3
1 A B
C
D E
A B
C
D E
α
a
b-a A
D
B
C E
β γ
b α
D
D'
C' A
B C
y y
b
x x
γ β
a α
A
B C
(192)Hình 70
Ta có ABD∆ cân nên C =a 900 900
2
B
ADC= + = + β (góc dựng thước compa) - ∆ADCxác định biết cạnh hai góc kề với
- Điểm B thuộc tia đối tiaDC Mặt khác BA BD= nên B thuộc đường trung trực AD
2 Cách dựng
- Dựng ∆ADC có 900 , ,
D= +β DC=d C= a
- Dựng đường trung trực AD , cắt tia đối tia DCở B Nối AB
3 Chứng minh B thuộc đường trung trực AD nên BA BD= Do
BC−AB=BC−BD=DC=d ABD
∆ cân mà 900 1800 900
2
β α α β
+ + < ⇔ < − ,
90
ADC= + nên β 900
ADB= −β ,
B=β Còn C= a
4 Biện luận Bài tốn có nghiệm hình dựng ∆ADC, tức
0 0
90 180 90
2
β α α β
+ + < ⇔ < −
Hình 71
25 (h.71) a) Trên AC lấy điểm D cho AD AB=
, 90
2
DC=d BDC= +α Dựng ∆DBC, rồi dựng điểm A
b) Trên AC lấy điểm D cho AD AB= DC= AC−AB=d Tính
90 A DBC= ADB C− = − −C
2 2
B C B C
C − α
= + − = =
Dựng ∆BDC rồi dựng điểm A Chú ý dựng hai điểm chọn D cho d
A
B
C D
d α
A
B C
D
a
(193) 90 BDC>
26 (h.72)
a) Phân tích Trên AC lấy điểm D cho AD AB=
2 h
MK = cân nên
D= α Dựng ∆BDC
rồi dựng điểm A
Hình 72 Cách dựng
- Dựng a xDy=
- Trên tia Dx lấy DC =s
- Dựng đường tròn (C a; ) cắt tia Dy B
- Dựng đường trung trực BD cắt cạnh DCở A
Biện luận Gọi h khoảng cách từ C đến Dy Điều kiện để tốn có nghiệm hình h≤ ≤a s b) Trên tia đối AClấy điểm D sao cho AD= AB(h.72) Tính
90 90 90
2 2 2
A B C B C
DBC= +B = +B − − = + − = +α
Góc dựng thước compa Dựng ∆BDC rồi dựng điểm A
Hình 73
27 (h.73) Trên tia đối tia AB lấy điểm D , Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho
AD=AE=AB Ta có , , 900
EC=s DC= m DEC= −α Dựng ∆EDC rồi dựng điểm A , sau
dựng B
x y
B
A
C D
a b c
E
M m
2m A
B C
D
(194)28 Vẽ MK vng góc với BC
2 h
MK = Dựng BMK∆ , dựng điểm C, sau dựng A
29 (h.74) Tam giác vng AHM dựng Vẽ MK ⊥ AC
2
BI k
MK = = Dựng tiếp tam giác vuông AMK
Điều kiện để có nghiệm hình: , k
m h m < ≤
Hình 74 Hình 75
30 (h.75) Lấy E AC cho ABE=2 ,C AEB =2C Do ABE∆ cân Suy ,
EC= −b c BE= − b c
Dựng ABE∆ biết độ dài ba cạnh , ,c c b c− Sau dựng điểm C
31 (h.76) Gọi K trung điểm CG ∆GDKcó cạnh
3 độ dài đường trung tuyến ∆ABC Dựng ∆GDK, dựng ,F C Sau dựng ,B A
Hình 76
Điều kiện để có nghiệm hình |m n− < < + với , ,| p m n m n p là độ dài đường trung tuyến cho
32 (h.77) Trên tia OG lấy C cho OC=3OG Qua C vẽ đường thẳng song song với
cạnh góc
E c c
C B
A
k
m I
H
K A
B M C
F
G A
B C
E
D K
(195)Hình 77 Hình 78
33 (h.78) Vẽ đường vuông với BC tại B , cắt AD K , cắt AC ở H Ta có
2
, ,
ABH =C ADB= A +C BKD=A +ABH nên ADB=BKD Do ADB=450, 135 ADC= Dựng ∆ADC c g c( ) sau dựng điểm B
34 (h.79) Gọi O giao điểm đường trung tuyến∆ABC G nằm H O, đồng thời
HG= GO(bạn đọc tự chứng minh)
Do vị trí ,H Gthì dựng O Sau dựng OM ⊥m Trên tia MG lấy MA=3MG.Dựng
(O OA; )cắt m B vàC
Hình 79
Bài tốn ln có nghiệm hình đường trịn(O OA; ) ln cắt m
35 (h.80) Gọi M trung điểm AC Vẽ AH MK, ⊥BC.∆ABH = ∆CMK (cạnh huyền – góc nhọn) nênBH =MK AH, =CK Ta lại có
2 AH
MK= Suy
2 CK
BH = Mà CK =HK nên
1 ,
5
BH = BC= cm AH = cm Dựng ABH∆ sau dựng điểm C
Hình 80
36 (h 81) Dựng tia phân giác góc B C, chúng cắt I Qua I dựng
A
B D C
K H
x y
O A
B
C
G
m A
B C
G H
O
M
A
B H K C
(196)DE // BC
2 1
Hình 82 Hình 81
D E
F E
D I
B
A
C B
A
C
37 (h 82) Qua E vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC F Chứng minh AF tia phân
giác góc A
Trước hết dựng F, dựng E
38 (h 83)
Phân tích: Qua C vẽ CH ⊥ AB, cắt b D
ACB
∆ cân nên CAB=CBA , mà CAB=ABD Do CBA=ABD, suy : OD = OC Cách dựng : Dựng đường tròn (O ; OC) cắt b D Qua O dựng đường vng góc với CD cắt a,b A,B
Biện luận : Gọi h khoảng cách từ O đến b Tùy theo OC > h, OC = h, OC < h mà tốn có 2, 1, nghiệm hình
b a
H
B A
D
C O
Hình 83
39 (h 84)
a) Phân tích : Qua A vẽ đường vng góc với BM, cắt xy C Ta chứng minh BA = BC, xác định C, xác định M
b) Dựng B' cho xy đường trung trực BB' Đưa câu a)
40 (h 85) Để cho ba đoạn thẳng A'B, B'C, C'A
có liên hệ với nhau, ta " dịch " chúng đến M: Vẽ đường thẳng qua M song song với A'B đường thẳng qua B song song với A'M, chúng cắt H Vẽ đường thẳng qua M song song với B'C đường thẳng qua C song song với B'M, chúng cắt I.Vẽ đường thẳng qua M song song với C'A đường thẳng qua A song song với C'M, chúng cắt K
x C y
A
M
B
Hình 84
(197)Các đường thẳng Ak, BH, CI cắt D,E,F DEF∆ xác định có cạnh theo thứ tự vng góc với AB A, với BC B, với CA C Còn M điểm cách ba cạnh của DEF∆ nên giao điểm đường phân giác (trong ngoài) tam giác Bài tốn có nghiệm hình
Hình 85
E
F D
I K
H
C' B'
A' M B
A
C
§4 ĐỐI XỨNG TRỤC
41 (H.86)
a) EBF∆ cân B, BD tia phân giác góc B nên BD đường trung trực EF Vậy E F đối xứng với qua BD
b) ta tính 120BIC= ° nên I1 =60° suy
2 60 , 60
I = ° I = ° Vậy IF tia phân giác BIC c)∆IDC= ∆IFC g c g( )⇒IF=ID CF, =CD
4 3 2 1
60°
F I
D E
B A
C Hình 86 Do CI đường trung trực DF Vậy D F đối xứng với qua CI
42 (h 87) Dựng D' đối xứng với D qua OE, dựng E' đối xứng với E qua OD E'D' cắt đường thẳng
DO EO B C
Biện luận : Nếu 90DOE≤ ° D,O,E thẳng hàng : khơng có nghiệm hình; ∆DOE cân O
và O=120° E' trùng D' : vơ số nghiệm hình; cịn lại : nghiệm hình
d
Hình 88 Hình 87
B E' D'
D E
O
B
A
C C
A
B'
(198)Phân tích : Qua A kể đường thẳng m // CD Kẻ đường trung trực d CD, cắt m M Gọi G trọng tâm ∆ABC
Ta dựng đoạn thẳng CD, đường thẳng m, điểm M, điểm G
Chú ý ∆ABC cân (do
2
D= ACD)
nên GA = GC, dựng điểm A, điểm B
Bạn đọc tự nêu cách dựng
a m d h B H A G D C M Hình 89
Do GA = GC > GM nên đường tròn (G; GC) cắt m Bài tốn ln có nghiệm hình
45 (h 90) Ta chứng minh AA',
BB', CC' đường trung trực ba đoạn thẳng có đầu D,E,F thứ tự điểm đối xứng M qua AB, AC, BC Để chứng minh AA' đường trung trực DE, ta cần chứng minh AD = AE (cùng AM) A'AD= A AE' (Gọi O giao điểm đường phân giác tam giác ABC, đặt :
' ' OAM OAA MAB A AC
α β = = = =
' 2 ,
' 2
A AD A AE α β α β = + = + 2α+β β β β αα F E D B' C' A' O A B C M Hình 90
46 (h.91) Để chứng minh ,ACE=BCF ta gấp đơi góc cách vẽ H đối xứng với E qua AC, vẽ K đối xứng với F qua BC cần phải chứng minh :
HCE=FCK Muốn ta chứng minh
: HCF=ECK cách chứng minh :
HCF ECK
∆ = ∆
Hai tam giác có : HC = EC, CF = CK Cần chứng minh: FH = KE, Ta tạo đoạn thẳng trung gian : Vẽ I đối xứng với E qua AB Lần lượt chứng minh: 2 1 I K H F E B A C Hình 91
(199)( )
( )
,
:
FAH FAI c g c FH FI IBF EBK c g c Suy FI EK
∆ = ∆ ⇒ =
∆ = ∆ =
5
§ HÌNH BÌNH HÀNH
47 (h.92) ∆DBC= ∆EBA c g c( ) nên DC = EA, DF = EA Tương tự, DE = FA
hình 93 Hình 92
N M
K
I E
F
E
A
B C
D
B C
A
D
48 (h.93) Kẻ DM, IN song song với BC Hãy chứng minh AM = CE, MN = NE, từ N trung
điểm AC, I trung điểm AK
49 (h.94) a) Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA; I, K trung điểm BD, AC
Chứng minh EFGH, EIGK hình bình hành, FH IK di chuyển qua trung điểm EG
b) Gọi O giao điểm hai đường chéo M trung điểm IK Nếu EG, FH cắt O theo câu a), M trùng O, I K trùng O Tứ giác ABCD có O trung điểm hai đường chéo nên hình bình hành
Hình 95 Hình 94
N K
I M
H G
F E
M O
I K
G H
E
F
D C
A
B
D C
A
B
50 (h.95) IF HN song song song song nửa BG Do IFNH
là hình bình hành Ta lại có K trung điểm FH nên I, K, N thẳng hàng K trung điểm IN
Chứng minh tương tự M, I, K thẳng hàng I trung điểm MK Vậy M, I, K, N thẳng hàng MI = IK = KN
(200)Gọi N giao điểm ED KC, ∆NCDđều mà CK =
DE (cùng CF) nên
NKE
∆ Vậy EK // AB
60°
N K
F C
A D
B
E
Hình 96
52 (h.97) Vẽ hình bình hành ADKE, ∆ADK = ∆BAC c g c( ) (chú ý ADK =BAC bù với góc DAE nên A1= Gọi H giao điểm AM BC B
Ta có B+ BAH =A1+BAH = ° nên 90 AH ⊥BC
M'
N
M
E
D
K M
E
D B
A
C
B C
A
Hình 97 Hình 98
53 (h.98) Trên tia đối tia MB lấy MN = MB, BDNE hình bình hành nên
,
EN ⊥ AB EN= AB Ta lại có : EC⊥AC EC, = AC Từ dễ dàng có :
( )
ENC ABC c g c
∆ = ∆ ,NC=BC NC, ⊥BC Do ∆BCN vng cân, suy ∆BMC vng cân M
Cách khác, (dùng kiến thức §2 ) Vẽ DD', AA', EE', MM' vng góc với BC chứng minh : M'B = M'C, '
2 BC MM =
H
K I
G
E A
B C
D
Hình 99
54 (h.99) Cách Qua C, vẽ đường thẳng song
song với BD, cắt DE K Ta có BDKC hình bình hành nên B, I, K thẳng hàng Hãy chứng minh : ∆GDB= ∆GEK c g c( ) để suy tam
giác GBG cân có góc đình 120o Do góc tam giác GIB 90o