PHẦN ĐẠI SỐ§1. NHÂN ĐA THỨCNhân đơn thức với đa thức1.Thưc hiện phép tínha) 3xn(6xn3 + 1) 2xn(9xn3 – 1) ; b) 5n+1 – 4.5n ;c) 62.64 – 43(36 – 1).2. Tìm x, biết:a) 4(18 – 5x) – 12(3x – 7) = 15(2x – 16) – 6(x +14)b) 5(3x + 5) 4(2x – 3) = 5x + 3(2x + 12) + 1c) 2(5x – 8) – 3(4x – 5) = 4(3x – 4) + 11d) 5x 3x 24x – 3(5x – 2)} = 1823. Tính giá trị của các biểu thứca) A = x3 – 30x2 – 31x + 1 tại x = 31b) B = x5 – 15x14 + 16x3 – 29x2 + 13x tại x = 14c) C = X14 – 10x13 + 10x12 – 10x11 +… + 10x2 – 10x + 10 tại x = 94. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thay số bởi chữ một cách hợp lí : A= .
PHẦN ĐẠI SỐ §1 NHÂN ĐA THỨC Nhân đơn thức với đa thức 1.Thưc phép tính a) 3xn(6xn-3 + 1) - 2xn(9xn-3 – 1) ; b) n+1 – 4.5n ; c) 62.64 – 43(36 – 1) Tìm x, biết: a) 4(18 – 5x) – 12(3x – 7) = 15(2x – 16) – 6(x +14) b) 5(3x + 5) - 4(2x – 3) = 5x + 3(2x + 12) + c) 2(5x – 8) – 3(4x – 5) = 4(3x – 4) + 11 d) 5x - 3x - 2[4x – 3(5x – 2)]} = 182 Tính giá trị biểu thức a) A = x3 – 30x2 – 31x + x = 31 b) B = x5 – 15x14 + 16x3 – 29x2 + 13x x = 14 c) C = X14 – 10x13 + 10x12 – 10x11 +… + 10x2 – 10x + 10 x = Tính giá trị biểu thức sau cách thay số ch ữ m ột cách h ợp lí : A= NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Thực phép tính a) (x – 1)(x5 + x4 +x3 + x2 + x + 1) b) (x + 1)(x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x +1) Tìm x, biết : a) (x + 2)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) = b) (3x + 2)(2x + 9) – (x + 2)(6x + 1) = (x + 1) – (x – 6) c) 3(2x – 1)(3x – 1) – (2x – 3)(9x – 1) = Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P v ới : M = a(a + b)(a + c) ; N = b(b + c)(b + a) ; P = c(c + a)(c + b) Chứng minh đẳng thức : a) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab b) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc Cho a + b + c = 2p Chứng minh đ ẳng th ức : 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) 10 Xét ví dụ : 53 57 = 3021, 72 78 = 5616 Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩn hai số có hai ch ữ số , ch ữ s ố hàng chục nhau, chữ số hàng đơn vị có tổng 10 11 Cho biểu thức M = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) + x Tính M theo a, b, c biết x = a + b + c 12 Cho dãy số 1, 3, 6, 10, 15,…, Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp cúa dãy bao gi số phương 13 Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 ch ữ số Ch ứng minh r ằng ab – chia h ết cho 14* Số 350 + có tích hai số tự nhiên liên tiếp không ? 15* a) Thực phép tính : A = (29 + 27 + 1)(223 – 221 + 219 – 217 + 214 – 210 + 29 – 27 + 1) b) Số 232 + có số ngun tố khơng ? Bài tập : 225, 227, 228, 230 đến 233 §2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 16 Tính giá trị biểu thức: a) b) 2 17 So sánh A = 26 – 24 B = 272 - 252 18 Tìm x, biết : 4(x + 1)2 + (2x – 1)2 – 8(x + 1)(x – 1) = 11 19 Rút gọn biểu thức : a) 2x(2x – 1)2 – 3x(x – 3)(x + 3) – 4x(x + 1)2 ; b) (a – b + c)2 – (b – c)2 + 2ab – 2ac ; c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 ; d) (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) ; e) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 ; g) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 +(b – c – a)2 + (c – a – b)2 ; h) (a + b + c +d)2 + (a + b – c – d)2 + (a +c – b – d)2 + (a + d – b – c)2 20 Cho x + y = Tính giá trị biểu thức : A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 21 Cho a2 + b2 + c2 = m Tính giá trị biểu thức sau theo m : A = (2a + 2b – c)2 + (2b + 2c – a)2 + (2c + 2a – b)2 22 Hãy viết số sau dạng tích hai số t ự nhiên khác : a) 899 ; b) 9991 23 Chứng minh hiệu sau số gồm toang ch ữ số gi ống : 77782 – 22232 24 Chứng minh đẳng thức : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a +b)2 + (b +c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 25 Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh đẳng thức (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a - 5b) 26 Chứng minh (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x, y khác 27 Chứng minh (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by +cz)2 với x, y, z khác 28 Cho (a +b)2 = 2(a2 + b2) Chứng minh a = b 29 Chứng minh a = b = c có điều kiện sau : a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ; b) (a + b + c) = 3(a2 + b2 + c2) c) (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) 30 Hãy viết biểu thức sau dạng tổng ba bình ph ương : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 ; b) 2(a – b)(c – b) + 2(b – a)(c – a) + 2(c – a)(c – b) 31 Tính giá trị biểu thức a4 + b4 + c4 , biết a + b + c = a) a2 + b2 + c2 = b) a + b2 + c2 = 32 Cho a + b + c = Chứng minh a4 + b4 + c4 biểu thức a) 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ; b) 2(ab + bc + ca) c) 33 Chứng minh biểu thức sau dương với giá trị biến a) 9x2 – 6x + ; b) x + x + ; c) 2x2 + 2x + 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x2 – 3x + ; b) B = (2x – 1) + (x + 2)2 35 Tìm giá trị lớn biểu thức a) A = – x2 + ; b) B = 4x – x 36 Chứng minh : a) Nếu p p2 + số nguyên tố p2 + số nguyên tố b) Nếu p 8p2 + số nguyên tố 2p + số nguyên tố 37 Chứng minh số sau hợp số : a) 999 991 ; b) 000 027 38 Thực phép tính : a) (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3) ; b) (x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 – 2x + 4) ; 39 Tìm x, biết : a) (x – 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = b) (x + 1)3 – (x – 1)3 - 6(x – 1)2 = -10 40 Rút gọn biểu thức : a) (a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (a + c – b)3 – (a + b – c)3 ; b) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b)(b + c)(c + a) 41 Chứng minh đẳng thức : a) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) ; b) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) 42 Cho a + b + c = Chứng minh rẳng a3 + b3 + c3 = 3abc 43 Cho x + y = a ; xy = b Tính giá trị bi ểu th ức sau theo a b : a) x2 + y2 ; b) x + y3 ; c) x + y4 ; d) x5 + y5 44 a) Cho x + y = Tính giá trị biểu th ức x3 + y3 + 3xy b) Cho x – y = Tính giá trị biểu thức x – y3 – 3xy 45 Cho a + b = Tính giá trị biểu thức M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b) 46 a) Cho x + y = x2 + y2 = 10 Tính giá trị biểu thức x3 + y3 b) Cho x + y = a x2 + y2 = b Tính x3 + y3 theo a b 47 Chứng minh : a) Nếu số n tổng hai số phương 2n t c hai s ố phương b) Nếu số 2n tổng hai số phương n t c hai s ố phương c) Nếu số n tổng hai số phương n tổng hai số phương d) Nếu số m n tổng hai số phương tích mn t hai số phương 48 Mỗi số sau bình phương số tự nhiên nào: a) A = 99…9 00…0 25 ; n n b) B = 99…9 00 ; n n c) C = 44…4 88…8 ; d) D = 11…1 22…2 n n–1 n n+1 49 Chứng minh biểu thức sau số ph ương : a) A = 11…1 – 22…2 ; b) B = 11 + 44…4 + 2n n 2n n 50 a) Cho a = 11…1 , b = 00…0 Ch ứng minh r ằng ab + s ố ph ương n n–1 b) Cho dãy số có số hạng đầu 16 , số h ạng sau tạo thành b ằng cách viết chèn thêm số 15 vào số hạng liền trước : 16, 1156, 111556, … Chứng minh số hạng dãy số ph ương 51 Chứng minh ab + số phương v ới a = 11…1 , b = 11 n n 52 Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab + số phương 53 Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + ch ữ số 1, claf s ố g ồm n ch ữ s ố Chứng minh a + b + c + số ph ương 54 Chứng minh biểu thức sau không lập phương m ột số t ự nhiên : 10150 + 1050 + 55 Chứng minh tích ba số dương liên tiếp không l ập ph ương c m ột số tự nhiên 56 Chứng minh số A = lập phương n n n số tự nhiên 57 Chia 27 cân có khối lượng 10, 20, 30, …, 270 gam thành ba nhóm có kh ối lượng 58* Chia 18 cân có khối lượng 12, 22, 32, …, 182 gam thành ba nhóm có khối lượng 59* Chia 27 cân có khối lượng 12, 22, 32,…, 272 gam thành ba nhóm có khối lượng Bài tập : 192 đến 194, 196, 202, 205, 208 đến 214, 216, 218 đ ến 221, 229, 234 đến 258 §3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 60 Phân tích thành nhân tử : a) (ab – 1)2 + (a + b)2 ; b) x + 2x2 + 2x +1 ; c) x3 – 4x2 + 12x – 27 ; d) x – 2x3 + 2x - ; e) x4 + 2x3 +2x2 + 2x +1 61 Phân tích thành nhân tử : a) x2 – 2x – 4y2 – 4y ; b) x + 2x3 – 4x – ; c) x2(1 – x2) – – 4x2 ; d) (1 + 2x)(1 – 2x) – x(x – 2)(x + 2) ; e) x2 + y2 – x2y2 + xy – x – y 62 Chứng minh 1993 – 199 chia hết cho 200 63 Tính giá trị biểu thức sau, biết x3 – x = : A = x6 – 2x4 + x3 + x2 – x 64 Phân tích thành nhân tử : a) a(b2 + c2 + bc) + b(a2 + c2 + ac) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b+ c)(ab + bc + ac) – abc ; c*) a(a + 2b)3 – b(2a + b)3 65 Phân tích thành nhân tử : a) ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c) ; b) a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2) + 2abc ; c) (a + b)(a2 – b2) + (b + c)(b2 – c2) + (a + c)(c2 – a2) ; d) a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) ; e) a3(b – c2) + b(a – c2) + c3(b – a2) + abc(abc – 1) 66* Phân tích thành nhân tử : a) a(b + c)2(b – c) + b(c + a)2(c – a) + c(a + b)2(a – b) ; b) a(b – c)3 + b(c – a)3 + c(a – b)3 ; c) a2b2(a – b) + b2c2(b – c) + c2a2(c – a) ; d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c( a2 + b2) – 2abc – a3 – b3 – c3 ; e) a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) ; 67 Phân tích thành nhân tử : a) (a + b + c)3 – (a + b – c)3 – (b + c – a)3 – (c + a – b)3 ; b) abc – (ab + bc + ca) + (a +b +c) – 68 Chứng minh ba số a, b, c, tồn hai số , n ếu : a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) = 69 Chứng minh a2 + b2 = 2ab a = b 70* Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc với a, b, c số dương a = b = c 71* Chứng minh a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd với a, b, c, d số dương a = b = c = d 72 Chứng minh m = a + b + c : (am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2 73 Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = ac + bd = Chứng minh ab + cd = 74 Xét đẳng thức (x + 1)2 = x2 + 2x + Lần lượt cho x 1, 2, 3,…, n cộng vế n v ới đ ẳng th ức đ ể tính giá trị biểu thức S = + + + … + n 75* Bằng phương pháp tương tự ví dụ 14 tập 74, tính giá tr ị c bi ểu thức S3 = 13 + 23 + 33 + … + n3 Bài tập : 166 đến 191, 195, 197 đến 201, 203, 206, 207, 215, 217, 222 đến 224, 226 §4 CHIA ĐA THỨC CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC 76 Thực phép tính : a) 812 : 46 ; b) 27 : 92 ; c) 77 Chứng minh biểu thức sau không âm với giá tr ị c bi ến : A = (-15x3y6) : (-5 xy2) 78 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến y (x ≠ ; y ≠ 0): B = x2y3 : + 2x(y – 1)(y + 1) 79 Tìm số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đ ơn th ức B : A = 4xn + 1y2 ; B = 3x3yn – CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC 80 Thực phép tính : a) ; b) + (12x2 – 3x) : (-3x) – (2x + 1) 81 Thực phép tính tìm giá trị nhỏ bi ểu th ức : A = (9xy2 – 6x2y) : (-3xy) + (6x2y + 2x4) : 2x2 82 Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn th ức B : A = 7xn – 1y5 – 5x3y4 ; B = 5x 2yn CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC 83 Rút gọn biểu thức : [(x3 + y3) – 2(x2 – y2) + 3(x + y)2] : (x + y) 84 Chia đa thức : a) (3x4 – 2x3 – 2x2 + 4x – 8) : (x2 – 2) ; b) (2x3 – 26x – 24) : (x2 + 4x + 3) ; c) (x3 – 7x + 6) : (x + 3) 85 Xác định số a cho : a) 4x2 – 6x + a chia hết cho x – ; b) 2x2 + x + a chia hết cho x + ; c) x3 + ax2 – chia hết cho x2 + 4x + 86 Xác định số a cho : a) 10x2 – 7x + a chia hết cho 2x – ; b) 2x2 + ax + chia hết cho x -3 dư ; c) ax5 + 5x4 – chia hết cho x – ; 87 Xác định số a b cho : a) x4 + ax + b chia hết cho x2 – ; b) x4 + ax3 + bx – chia hết cho x2 – ; c) x3 + ax + b chia hết cho x2 + 2x - ; 88 Xác định số a b cho : a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 – x + ; b) ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho x2 + 3x – 10 ; c) ax4 + bx3 + chia hết cho (x – 1)2 ; d) x4 + chia hết cho x2 + ax + b 89 Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x – dư -5 90 Tìm số a, b, c cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, chia cho x2 – dư x + Bài tập : 259 đến 275 Chương II Phân thức đại số TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC RÚT GỌN PHÂN THỨC 91 Tìm giá trị để phân thức sau : a) ; b) 92 Rút gọn phân thức : a) A = ; b) B = 93 Rút gọn phân thức : a) ; b) ; c) 94 Rút gọn phân thức với n số tự nhiên : a) ; b) ; c) 95 Rút gọn phân thức : a) ; b) ; c) ; d) 96 Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiên n : a) ; b) ; c*) ; d) 97 Chứng minh phân số không tối giản với số nguyên d ương n 98 Viết gọn biểu thức sau dạng phân th ức : (x2 – x + 1)(x4 – x2 + 1)(x8 – x4 + 1)(x16 – x8 + 1)(x32 - x16 + 1) 99 Cho x, y, z khác = a2 + b2 + c2 Chứng minh 100* Cho biết ax + by + cz = Rút gọn A = 101 Rút gọn , biết x + y + z = 102 Tính giá trị biểu thức A = , biết x2 – 2y2 = xy (x ≠ , x + y ≠ 0) 103 Tính giá trị phân thức A = , biết 9x + 4y2 = 20xy 2y< 3x< 104 Cho 3x – y = 3z 2x + y = 7z Tính giá tr ị c bi ểu th ức : M = (x ≠ , y ≠ 0) 105 Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị số nguyên : a) ; b) ; c) ; d) ; e) 106 Tìm số hữu tỉ x để phân thức có giá trị số nguyên 107* Chứng minh chữ số a, b, c khác tho ả mãn ều ki ện ab : bc = a : c abbb : bbbc = a : c 108 Điểm trung bình mơn Tốn cúa học sinh nam n ữ hai lớp 8A 8B đ ược thống kê bảng sau : Lớp 8A Lớp 8B Cả hai lớp 8A 8B Nam 7,1 8,1 7,9 Nữ 7,6 9,0 Cả lớp 7,4 8,4 Tính điểm trung bình mơn Tốn học sinh c ả hai l ớp 8A 8B §6 CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC 109 Thực phép tính : a) ; b) ; 110 Thực phép tính : a) A = ; b) B = ; c) C = ; d) D = ; 111 Cho a, b, c số nguyên khác đôi Ch ứng minh bi ểu th ức sau có giá trị số nguyên : P= 112 Cho 3y – x = Tính giá trị biểu th ức : A= 113 Tìm x, y, z biết : 114 Tìm x, y biết : x2 + y2 + 115 Cho biết : , (1) (2) Chứng minh a + b + c = abc 116 Cho (1) (2) Tính giá trị biểu thức : 117 Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a, b, c khác Chứng minh 118 Cho Chứng minh ba số a, b, c tồn hai số 119 Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị s ố nguyên : a) A = ; b) B = ; c) C = 120 Rút gọn biểu thức sau với x = ; A= 121 Rút gọn biểu thức : A= 122 Cho biết Chứng minh ba phân th ức vế trái, có nh ất m ột phân thức 123 Xác định số a, b, c cho : a) ; b) ; c) 124 Rút gọn biểu thức: B= 125 Cho a, b, c khác đôi Rút gọn bi ểu th ức : a) M = ; b) N = ; c) P = 126 Cho số a, b, c khác đôi Tính giá tr ị c bi ểu th ức : M= 3 127* Cho a + b + c3 = 3abc a + b + c ≠ Tính giá trị biểu th ức : N= 128 Rút gọn biểu thức : a) A = ; b) B = 129 Rút gọn biểu thức : a) ; b) 130 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ : a) < ; b) < 131 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ : A= 132 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ : B= < 133 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ : A= 134 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ : B= 135 Rút gọn biểu thức : A= 136* Chứng minh : a) A = < ; b) B = 137* Rút gọn biểu thức : P= 138 Rút gọn biểu thức : M= 139 Rút gọn biểu thức : 140 Rút gọn biểu thức : 141 Cho abc = ( 1) a+b+c= (2) Chưng minh ba số a, b, c tồn số 160 Cho hai số nguyên dương a b cho a > b Tìm s ố nguyên d ương c khác b cho : 161 Cho dãy số a1, a2, a3, … cho : a2 = ; a3 = ; … ; an = a) Chứng minh a1 = a5 b) Xác định năm số đầu dãy biết a101 = 162 Tìm phân số khác số tự nhiên k, biết = 163* Cho hai số tự nhiên a b (a < b) Tìm tổng phân s ố t ối gi ản có m ẫu b ằng , phân số lớn a nhỏ b 164 a) Mức sản xuất xí nghiệp năm 2001 tăng a% so v ới năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001 Mức sản xuất xí nghiệp năm 2002 tăng so với năm 2000 : A) (a + b)% ; B) ab% ; C) (a + b + )% ; D) (a + b + )% ; E) ( + )% Hãy chọn câu trả lời b) Một số a tăng m% , sau giảm n% (a, m, n số d ương) đ ược s ố b Tìm liên hệ m n để b > a 165* Chứng minh tổng số sau không số nguyên : a) A = (n N, n b) B = (nN , n 1) Bài tập : 436 đến 465 CHUYÊN ĐỀ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( từ 166 đến 179) 166(3) a) 6x2 – 11x + ; b) 2x + 3x – 27 ; c) 2x2 – 5xy – 3y2 167(3) a) x3 + 2x – ; b) x – 7x + ; c) x3 + 5x2 + 8x + ; d) x – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 – x2 – x – ; g) x + x2 - x + ; h) x3 – 6x2 – x + 30 168(3) x3 – 7x – ( giải nhiều cách) 169(3) a) 27x3 – 27x2 + 18x – ; b) 2x – x2 + 5x + ; b) (x2 – 3)2 + 16 170(3) a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 ; b) x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 ; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 ; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 171(3) a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a ; b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz +xz)2 ; c*) 2(x4 + y4 + z4 ) – (x2 + y2 + z2)2 – 2(x2 + y2 + z2)(x + y +z)2 + (x + y + z)4 ; 172*(3) (a + b + c)3 – 4(a3 + b3 + c3) – 12abc cáh đổi biến : đặt a + b = m, a – b = n 173(3) a) x4 – 32x2 + ; b) x + 27 ; c) 3(x4 + x2 + 1) – (x2 + x + 1)2 d) (2x2 – 4)2 + 174(3) a) 4x4 + ; b) 4x + y4 ; c) x4 + 324 175(3) a) x5 + x4 + ; b) x + x + ; c) x8 + x7 + ; d) x5 – x4 - ; e) x + x5 + ; g) x8 + x4 + 176(3) a) a6 + a4 + a2b2 + b4 – b6 ; b*) x + 3xy + y3 – 177(3) Dùng phương pháp hệ số bất định : a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + ; c) x4 – 8x + 63 ; d) (x + 1)4 +(x2 + x + 1)2 178**(3) a) x8 + 14x4 + ; b) x + 98x4 + 179(3) Dùng phương pháp xét giá trị riêng : M = a( b + c – a)2 + b(c + a – b)2 + c(a + b – c)2+ (b + c – a)(c + a – b)(a + b –c) 180(3) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm m ột s ố phương 181*(3) Chứng minh số A = (n +1)4 + n4 +1 chia hết cho số phương khác với số nguyên dương n 182(3) Tìm số nguyên a, b, c cho phân tích đa th ức (x + a)(x – 4) – thành nhân tử ta (x + b)(x + c) 183(3) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho phân tích đa th ức x + ax2 + bx +c thành nhân tử ta đươc (x +a)(x + b)(x + c) 184(3) Số tự nhiên n nhận giá trị , bi ết phân tích đa thức x2 + x – n thành nhân tử ta (x – a)(x + b) với a, b số t ự nhiên < n < 100 185(3) Cho A = a2 + b2 + c2, a b hai số tự nhiên liên tiếp, c = ab Chứng minh số tự nhiên lẻ Tính chia hết số nguyên 186(3) Chứng minh với số nguyên n, ta có : a) n3 + 3n2 + 2n chia hết cho ; b) (n2 + n – 1)2 – chia hết cho 24 187(3) Chứng minh : a) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với số chẵn n ; b) n4 – 10n2 + chia hết cho 384 với số lẻ n 188(3) Chứng minh n6 + n4 – 2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n 189(3) Chứng minh 32n – chia hết cho 72 với số nguyên n 190(3) Chứng minh với số tự nhiên a n : a) 7n 7n + có hai chữ số tận b) a a5 có chữ số tận c) an an + có chữ số tận (n1) 191(3) Tìm điều kiện số tự nhiên a để a2 + 3a + chia hết cho 192(2) a) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a2 – chia hết cho 24 b) Chứng minh a b số nguyên tố l ớn h ơn a – b2 chia hết cho 24 c) Tìm điều kiện số tự nhiên a để a – chia hết cho 240 193(2) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c cho a + b2 + c2 số nguyên tố 194(2) Cho bốn số nguyên tố a, b, c, d thoả mãn a + b2 = c2 + d2 Chứng minh a + b + c + d hợp số 195(3) Cho bốn số nguyên tố a, b, c, d thoả mãn ab = cd Ch ứng minh r ằng a5 + b5 + c5 + d5 hợp số 196(2) Cho số tự nhiên a b Chứng minh : a) Nếu a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho b) Nếu a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho 197(3) Cho số nguyên a, b, c Chứng minh : a) Nếu a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 chia hết cho b) Nếu a + b + c chia hết cho 30 a + b5 + c5 chia hết cho 30 198(3) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn a + b + c = Ch ứng minh r ằng : a) a3 + b3 + c3 chia hết cho 3abc b) a5 + b5 + c5 chia hết cho 5abc 199(3) a) Viết số 1998 thành tổng ba số tự nhiên tuỳ ý Ch ứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên chia hêt cho b*) Viết số 19951995 thành tổng nhiều số tự nhiên Tổng lập phương số tự nhiên chia cho dư ? 200(3) Chứng minh với số nguyên a b : a) a3b – ab3 chia hết cho ; b) a 5b – ab5 chia hết cho 30 201(3) Chứng minh số tự hiên viết dạng b + 6c b c số nguyên 202*(2) Chứng minh số tự nhiên a, b, c thoả mãn điều kiên a2 + b2 = c2 abc chia hết cho 60 203(3) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 204(3) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên chia h ết cho tồn ba số bội 205(2) Cho dãy số 7, 13, 25, … , 3n(n – 1) + (n N) Ch ứng minh r ằng : a) Trong năm số hạng liên tiếp dãy, tồn bội s ố 25 b) Khơng có số hạng dãy lập phương m ột số nguyên 206(3) a) Chứng minh số tự nhiên a không chia hết cho a – chia hết cho b) Chứng minh n lập phương số tự nhiên (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 504 207(3) Chứng minh A chia hết cho B với : a) A = 13 + 23 + 33 + … + 993 + 1003 , B = + + + … + 99 + 100 ; b) A = 13 + 23 + 33 + … + 993 , B = + + + … + 99 208(2) Các số sau có số chings phương không ? a) A = 22…24 ( 50 chữ số ) ; b) B = 44…4 ( 100 ch ữ s ố ) ; c) A = 1994 + ; d)* B = 144…4 ( 99 ch ữ s ố ) 209(2) Có thể dùng năm chữ số 2, 3, 4, 5, lập thành s ố ph ương có năm chữ số không ? 210(2) Chứng minh tổng hai số ph ương lẻ khơng s ố phương 211(2) Chứng minh số lẻ viết dạng hiệu hai s ố phương 212*(2) Chứng minh : a) A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 không số phương ; b) B = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 562 không số phương ; c) C = + + + + … + n số ph ương (n l ẻ) 213(2) Chứng minh : a) Một số phương tận chữ số hang ch ục ch ữ s ố chẵn b) Một số phương lẻ chữ số hàng chục chữ số chẵn c) Một số phương tận chữ số hàng chục ch ữ số lẻ d) Một số phương tận chữ số hàng chục chữ số hàng trăm chữ số chẵn 214(2) a) Một số phương có chữ số hang chục Tìm ch ữ s ố hàng đơn vị b) Một số phương có chữ số hàng chục chữ số lẻ Tìm ch ữ số hàng đơn vị c) Có số tự nhiên từ đến 100 mà chữ số hàng ch ục n số lẻ 215(3) Chứng minh : a) Tích hai số nguyên dương liên tiếp khơng số ph ương b)* Tích ba số ngun dương liên tiếp khơng số ph ương c)* Tích bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số ph ương 216(2) Cho hai số tự nhiên a b, a = b – Chứng minh b3 – a3 viết dạng tổng ba số phương 217(3) Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số ph ương : a) n2 – n + ; b) n – n + ; c) n3 – n + ; d)* n – n + 218(2) Tìm số nguyên tố p để 4p + số ph ương 219*(2) Chứng minh n + 3n + (n N) số ph ương n chia hết cho 24 220*(2) Chứng minh 2n + 3n + (n N) s ố ph ương n chia hết cho 40 221(2) Tìm số nguyên tố p để : a) 2p2 + số nguyên tố b) 4p2 + 6p2 + số nguyên tố 222(3) Tìm giá trị n để giá trị biểu th ức số nguyên t ố : a) 12n2 – 5n – 25 ; b) 8n + 10n + ; c) 223(3) Chứng minh với số nguyên n : a) n2 + 7n + 22 không chia hết cho ; b) n2 – 5n – 49 không chia hết cho 169 224(3) Ccá số tự nhiên n n2 có tổng chữ số Tìm số dư n chia cho 225*(1) a ) Cho chín số tự nhiên từ đến xếp theo th ứ tự tuỳ ý L s ố th ứ nh ất trừ , lấy số thứ hai trừ , lấy số thứ ba trừ , … , lấy s ố th ứ chín tr Chứng minh tích chin số lập số chẵn b) Cho dãy số a1, a2, a3, …, a9 b1,b2, b3, …, b9, a1, a2, a3, …, a9 số nguyên b1,b2, b3, …, b9 chin số nguyên lấy theo thứ tự khác Chứng minh tích (a1 – b1)(a2 – b2)…(a9 – b9) số chẵn 226(3) Tìm số nguyên n cho : a) n2 + 2n – chia hết cho 11 ; b) 2n3 + n2 + 7n + chia hết cho 2n – ; c) n3 – chia hết cho n – ; d) n3 – 3n2 – 3n – chia hết cho n2 + n + 1; e) n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + chia hết cho n4 – ; g)* n3 – n2 + 2n + chia hết cho n2 + 227(1) Đố vui : Năm sinh hai bạn Một ngày thập kỉ cuối kỉ XX, người khách đến thăm trường gặp hai học sinh Người khách hỏi : - Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời : - Không, em bạn em tuổi Nhưng tổng cấc chữ số năm sinh chúng em số chẵn - Vậy em sinh năm 1979 1980 không ? Người khách suy luận ? 228(1) Tìm số nguyên dương n để 2n số nằm hai số nguyên sinh đôi* (hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng đơn vị) 229*(2) Cho số nguyên a, b, c, d, e, g thoả mãn a + b2 + c2 + d2 + e2 = g2 Chứng minh tích abcdeg số chẵn 230(1) Chứng minh với số nguyên a, b, c, d, tích (a – b)(a – c)(a – d)(b – c)(b – d)(c – d) chia hết cho 12 231*(1) Chứng minh có đến 33 số ngun dương khác khơng q 50, khơng tồn hai số mà số gấp đơi số lại 232(1) Chứng minh tồn vô số bội số 2003 mà bi ểu diễn th ập phân chúng chữ số 0, 1, 2, 233(1) Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 2003 k – chia hết cho 51 Các tốn sử dụng hằn đẳng thức 8, cơng thức Niu – t ơn 234(2) Chứng minh 251 – chia hết cho 235(2) Chứng minh 270 + 370 chia hết cho 13 236(2) chứng minh 1719 + 1917 chia hêt cho 18 237(2) Chứng minh 3663 – chia hết cho không chia hết cho 37 238(2) Chứng minh số sau hợp số : a) 240 – ; b) 000 001 ; 50 c) + 239(2) Chứng minh + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 chia hết cho 240(2) Chứng minh biểu thức A = 31n – 15n – 24n + 8n chia hết cho 112 với số tự nhiên n 241(2) Tìm số tự nhiên n để 3n – chia hết cho 242(2) Tìm số tự nhiên n để 32n + + 24n + chia hết cho 25 243(2) Tìm số tự nhiên n để 5n – 2n chia hết cho 244(2) Tìm số tự nhiên n để 5n – 2n chia hết cho 63 245(2) Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 246(2) Tìm số dư chia 2222 + 5555 cho 247(2) Tìm số dư chia 21994 cho 248(2) Tìm số dư chia 31993 cho 249(2) Tìm số dư chia 19921993 + 19941995 cho 13 250(2) Tìm số dư chia 31998 + 51998 cho 13 251*(2) Tìm số dư chia cho 13 252*(2) Chứng minh A = hợp số với số nguyên d ương n 253*(2) Tìm số dư chia số sau cho : a) ; b) 11 254(2) Tìm số dư chia (n – 1) (n – 1)333 cho n (n N) 255(2) Cho ab = 45512 Tìm số dư phép chia a + b cho 256(2) Tìm hai chữ số tận : a) 3999 ; b) 100 257(2) Tìm ba chữ số tận 258*(2) Thay dấu * chữ số thích h ợp : 896 = 496 9** 290 261 Tính chia hết đa thức 259(4) Khơng đặt tính đa thức, xét xem đa thức x – 9x2 + 6x + 16 có hay khơng chia hết cho : a) x + ; b) x – 260(4) Tìm dư chia đa thức sau : a) x41 : (x2 + 1) ; b) x 43 : (x2 + 1) 261(4) Tìm dư chia x + x3 + x9 + x27 cho : a) x – ; b) x – 262(4) Tìm dư chia x99 + x55 + x11 + x + cho : a) x + ; b) x + 263(4) Tìm dư chia đa thức f(x) = x50 + x49 + … + x2 + x + cho x2 – 264(4) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x – d 7, f(x) chia cho x – dư 5, f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) th ương 3x d 265(4) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x – d 2, f(x) chia cho x + dư 9, f(x) chia cho x2 + x – 12 thương x2 + dư 266(4) Khi chia đơn thức x8 cho x + , ta thương B(x) dư số r1 Khi chia B(x) cho x + , ta thương C(x) dư số r Tìm r2 267(4) Chứng minh : a) x50 + x10 + chia hết cho x20 + x10 + ; b) x2 – x9 – x1945 chia hết cho x2 – x + ; c) x10 – 10x + chia hết cho (x – 1)2 ; d)* 8x9 – 9x8 + chia hết cho (x -1)2 268(4) Chứng minh f(x) chia hết cho g(x) với : f(x) = x99 + x88 + x77 + … + x11 + ; g(x) = x9 + x8 + x7 + … + x + 269(4) Chứng minh đa thức (x + y)6 + (x – y)6 chia hết cho đa thức x2 + y2 270(4) Chứng minh với số tự nhiên n : a) (x + 1)2n – x2n – 2x – chia hết cho x(x + 1)(2x + 1) ; b) x4n + + 2x2n + + chia hết cho (x + 1)2 ; c) (x + 1)4n + + (x – 1)4n + chia hết cho x2 + 271(4) Chứng minh với số tự nhiên n (x n – 1)(xn + – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 272(4) Chứng minh với số tự nhiên m , n : x6m + + x6n + + chia hết cho x4 + x2 + 2738*(4) Tìm số tự nhiên n cho x2n + xn + chia hết cho x2 + x + 274(4) Xác định số thực k để đa th ức A = x3 + y3 + z3 + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z 275*(4) Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(0), f(1) s ố l ẻ Chứng minh đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun ... cho 24 187 (3) Chứng minh : a) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với số chẵn n ; b) n4 – 10n2 + chia hết cho 384 với số lẻ n 188 (3) Chứng minh n6 + n4 – 2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n 189 (3) Chứng... chữ số hàng chục ch ữ số lẻ d) Một số phương tận chữ số hàng chục chữ số hàng trăm chữ số chẵn 214(2) a) Một số phương có chữ số hang chục Tìm ch ữ s ố hàng đơn vị b) Một số phương có chữ số. .. : bbbc = a : c 1 08 Điểm trung bình mơn Tốn cúa học sinh nam n ữ hai lớp 8A 8B đ ược thống kê bảng sau : Lớp 8A Lớp 8B Cả hai lớp 8A 8B Nam 7,1 8, 1 7,9 Nữ 7,6 9,0 Cả lớp 7,4 8, 4 Tính điểm trung