Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm đƣợc 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10). Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá [r]
(1)
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN LỚP TẬP
(2)Phần đại số
Chương III THỐNG KÊ
§11 BẢNG “TẦN SỐ” VÀ BIỂU ĐỒ
Khi nghiên cứu tƣợng tự nhiên hay xã hội, ngƣời ta thƣờng tiến hành thống kê Các số liệu thống kê thƣờng đƣợc thể giá trị số, chúng thƣờng đƣợc viết thành bảng (gọi tắt bảng “tần số”)
Số lần xuất giá trị bảng gọi tần số giá trị Tỉ số tần số giá trị số tất giá trị đƣợc thống kê tần suất giá trị
Ví dụ 47
Hai đội tuyển trƣờng A trƣờng B thi học sinh giỏi Toán Quận đạt điểm (chấm điểm 20) nhƣ sau:
Trƣờng A: 7, 12, 17, 8, 12, 19, 8, 18, 8, 18 Trƣờng B: 10, 7, 12, 9, 10, 9, 17, 18, 12, 16
Lập bảng “tần số” thống kê điểm đội tuyển gồm cột: điểm, tần số, tần suất (tính theo phần trăm)
Giải:
Điểm Trƣờng A Trƣờng B
Tần số n Tần suất f Tần suất n Tần suất f
7 10% 10%
8 30%
9 20%
10 20%
12 20% 20%
16 10%
17 10% 10%
18 20% 10%
19 10%
(3)Bài tập
167 Bạn Tâm đếm chữ dòng chữ “NGÀN HOA VIỆC TỐT DÂNG LÊN CÔ THẦY” để cắt
khẩu hiệu Lập bảng thống kê chữ (không kể dấu) với tần số xuất chúng Tìm chữ xuất từ ba lần trở kên tính tần suất chữ
168 Năng suất lúa năm 1999 tính theo tạ/ha nhƣ sau (theo Niên giám 2000): Đồng sông Hồng: 54,
Đông Bắc: 37,3 Tây Bắc: 28, Bắc Trung Bộ: 38,9
Duyên hải Nam Trung Bộ: 39, Tây Nguyên: 30,8 Đông Nam Bộ: 30,5 Đồng Bằng sông Cửu Long: 40, Lập biểu đồ cột
169 Cơ cấu kinh tế nƣớc ta (theo Niên giám 2000):
Năm Nông, lâm, thủy sản Công nghiệp xây
dựng Dịch vụ
1988 46% 24% 30%
1993 30% 29% 41%
1999 25% 35% 40%
Lập biểu đồ hình quạt cấu kinh tế năm
170 Nhiệt độ khơng khí trung bình (tính theo độ C) tháng năm 1999 số địa phƣơng nhƣ sau (theo Niên giám 2000):
Tháng
Địa phƣơng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Hà Nội 17,9 19,8 19,8 25, 26, 29, 30,1 28, 28,5 25, 22, 16, Huế 19, 21,5 21,5 25,5 26, 28, 29, 28, 27,3 25, 23, 17,8 Đà Lạt 16.5 16, 16, 18, 18,8 18, 18, 18, 18, 18, 17, 15, Trong địa phƣơng trên:
a) Tháng nóng nhất? Tháng lạnh nhất?
(4)§12 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
Để địa diện cho dấu hiệu, ngƣời ta thƣờng dùng số trung bình cộng, trung bình cộng tất giá trị đƣợc thống kê
Có trƣờng hợp ngƣời ta quan tâm đến giá trị có số lần xuất nhiều (tức giá trị có tần số lớn nhất), giá trị gọi mốt (xem tập 175)
Ví dụ 48
Tính trung bình cộng điểm Toán độ tuyển trƣớng A trƣờng B ví dụ 47 Giải:
Trung bình cộng điểm Tốn đội tuyển trƣờng A: (7 8.3 12.2 17 18.2 19) :10 12, 7 Trung bình cộng điểm Tốn đội tuyển trƣờng B:
(7 9.3 10.2 12.2 16 17 18) :10 12, 0 Ví dụ 49
Trung bình cộng tám số 12 Do thêm số thứ chín nên trung bình cộng chín số 13 Tìm số thứ chín
Giải:
Tổng tám số lúc đầu là: 12.8 96 Tổng chín số là: 13.9 117 Số thứ chín: 117 96 21
Bài tập
171 Điểm trung bình 10 mơn hai học sinh An Bách nhƣ sau: An: 6, 2; 6,3; 7, 2; 7,5; 7,5;
8, 4; 8, 6; 8,8; 8,8; 9, Bách: 6,8; 6,8; 7, 0; 7, 0; 7, 2; 7, 2; 7, 2; 7,5; 7,5; 7,5
Tính điểm trung bình mơn học sinh trƣờng hợp sau: a) Các mơn khơng tính hệ số
(5)172 Điểm Ban giám khảo cho thí sinh A B nhƣ sau: Thí sinh A: 8; 8,5; 9; 9;
Thí sinh B: 8; 8; 8,5; 8,5; Tính điểm trung bình thí sinh
173 Số làm thêm công nhân hai tổ tháng nhƣ sau (mỗi tổ có cơng nhân): Tổ 1: 6, 6, 15, 18, 20, 20, 25, 30
Tổ 2: 3, 6, 6, 10, 10, 15, 20, 30
Tính số làm thêm trung bình cơng nhân tổ
174 Hai xạ thủ A B thi bắn súng, ngƣời bắn 10 phát súng, kết điểm nhƣ sau: A: 5, 7, 8, 10, 9, 7, 8, 10, 5,
B: 7, 8, 6, 6, 7, 5, 6, 7, 6,
Tính điểm trung bình xạ thủ
175 Các ngành kinh tế có dự án đầu tƣ trực tiếp nƣớc đƣợc cấp giấy phép năm 1999 nhƣ sau:
Ngành Số dự án đƣợc cấp giấy phép
Nông lâm nghiệp 23
Thủy sản
Công nghiệp 218
Xây dựng 12
Khách san, du lịch
Giao thông vận tải, bƣu điện Tài chính, ngân hàng Văn hóa, y tế, giáo dục Các ngành dịch vụ khác 35
Cộng 312
(6)176 Trung bình cộng giá trị thay đổi nếu: a) Mỗi giá trị tăng a đơn vị
b) Mỗi giá trị tăng 10%
177 Một bảng thống kê cho biết tỉ số số nữ số nam 11 : 10 Tuổi trung bình nữ 34 , tuổi trung bình nam 32 Tính tuổi trung bình ngƣời đƣợc thống kê
178 Trung bình cộng sáu số Do thêm số thứ bảy nên trung bình cộng bảy số Tìm số thứ bảy
179 Một học sinh viết 27 tính trung bình cộng chúng, nhƣng sau lại viết tiếp số trung bình cộng bên cạnh tính ln số trung bình cộng lúc đầu (trung bình cộng 27 số)
180 Để tính trung bình cộng ba số , ,a b c bạn Tâm lấy trung bình cộng a b, lấy trung bình cộng kết c Cho biết a b c. Chứng minh cách tính Tâm cho kết nhỏ kết
Chương IV BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
§13 GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Để tính giá trị biểu thức dại số tƣơng ứng với giá trị biến số, ta thƣờng thay giá trị biến vào biểu thức làm phép tính theo thứ tự thực đƣợc quy ƣớc Tuy nhiên số bài, cần quan sát biểu thức để tính tốn cách hợp lí
Ví dụ 50
Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
A(1 2 3 19 20 )(ab)(a2b)(a 3b) với a 3, b 0,
5
Giải: Chú ý a 3b 3( 0, 2) 0, 0,
(7)Ví dụ 51
Cho đa thức
f (x)ax bx c với a, b, c số thực Biết f (0), f (1), f (2)có giá trị nguyên Chứng mỉnh rằng:
a) 2a 2b có giá trị nguyên;
b) f (3), f (4), f (5) có giá trị nguyên
Giải: a) Ta có f (0)c, f(1) a b c, f(2)4a b c Theo đè ta có c, a b c, 4a2b c số nguyên Suy ra:
(a b c) c a b, (4a2b c) c 4a2b cácsố nguyên Do 2a 2b , suy (4a2b) (2a 2b)2a , 2b
b) Do 2a, 2b, c, a b c nên dễ dàng suy ra: f (3)9a3b c 8a2b (a b c) ; f (4) 16a 4b c ;
f (5)25a5b c 24a4b a b c
Chú ý: Ta chứng minh đƣợc với n f (n) Thật vậy: Nếu n số chẵn (n2k, k ) thì:
2
f (n)a(2k) b.2k c 4ak 2b.k c (vì 2a, 2b, c ) Nếu n số lẻ (n2k 1, k ) thì:
2
f (n)a(2k 1) b(2k 1) c 4ak 4ak a 2bk b c (vì 2a, 2b, a b c ) Vídụ 52
Hai đa thức ax b a ' xb ' có giá trị với giá trị x Chứng minh aa ', bb '
Giải: ax b a ' x b ' với x (1) Thay x0 vào (1) ta đƣợc: a.0 b a '.0 b ' , suy bb ' Do đó:
(8)Bài tập 181 Tính giá trị biểu thức:
a)
x 6x 9x 3 với x
; b) 2a 5b
a 3b
với
a b 4; c) 3a b 3b a
2a 2b
với a b 7; a 3,5; b3,5
182 Cho
f (x)3x 4x 1 Tính f (0), f (1), f (2), f ( 3).
183 Tìm hệ sốa b đa thức f (x)axb biết f (1)1, f(2)4
184 Cho đa thức f (x)ax2bx c bàng với giá trị x Chứng minh a b c
185 Cho đa thức P(x)ax2bxc hệ số a, b, c số nguyên Biết giá trị đa thức chia hết cho với giá trị nguyên x Chứng minh a, b, c chia hết cho
186. Cho P(x)ax3bx2cx d với a, b, c, d số nguyên Biết giá trị đa thức chia hết cho với giá trị nguyên x Chứng minh a, b, c, d chia hết cho
187. Hai đa thức ax2bxc a ' x2b ' xc ' có giá trị với giá trị x Chứng minh aa ', bb ', cc '
188 Cho đa thức f (x)ax2bx c thỏa mãn f (1) f ( 1) Chứng minh f (x) f( x) 189 Cho đa thức f (x) thỏa mãn f (x)x.f ( x) x với giá trị x Tính f (1)
§14 TÍCH CÁC ĐƠN THỨC
Đơn thức biểu thức đại số phép tốn biến phép nhân lũy thừa không âm
Muốn tìm tích hai đơn thức, ta nhân phần hệ số với nhau, nhân phần biến với lấy tích chúng
Ví dụ 53
Xác định dấu c, biết
2a bc trái dấu với
3a b c
(9)3
2a bc 3a b c5 trái dấu nên (2a bc)( 3a b c )3 0 Do
6a b c
Do a b8 0 a, b, c khác nên
6a b
, suy c3 0 Vậy c0 Bài tập
190 Hai đơn thức
3x y
5x y có giá trị dƣơng đƣợc không?
191 Chứng minh ba đơn thức 4
x y , x y , xy
4
khơng thể có giá trị âm 192 Hai đơn thức
2a b
3a b dấu Tìm dấu a
193 Các dơn thức ad, bc,ac,bd có giá trị âm đƣợc khơng?
§15 CỘNG VÀ TRỪ ĐƠN THỨC, ĐA THỨC
Đa thức tổng đơn thức
Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến
Để cộng hay trừ đơn thức, đa thức, ta áp dụng quy tắc “dấu ngoặc” thu gọn số hạng đồng dạng (nếu có)
Ví dụ 54
Chứng minh rằng:
a) Tổng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tổng năm số nguyên liên tiếp chia hết cho
c) Tổng quát, tổng 2k 1 số nguyên liên tiếp (kN) chia hết cho 2k 1 Giải: a) Gọi ba số nguyên liên tiếp n 1, n, n (n Z) Ta có
(n 1) n (n 1) 3n
a) Gọi năm số nguyên liên tiếp n2,n1, ,n n1,n2nZ Tổng năm số 5n b) Gọi 2k1 số nguyên liên tiếp nk n, k 1, ,n1, ,n n1, ,n k 1,n k n Z Tổng
của chúng 2k1n 2k1
Ví dụ 55.Tìm số có ba chữ số, cho hiệu số số gồm ba chữ số viết theo thứ tự ngƣợc lại số phƣơng
(10)Gọi số có ba chữ số phải tìm abc1 a 9;0b c, 9, số viết ngƣợc lại cba Ta có: 2 2
100 10 100 10 99 99
3 11
abc cba n n
a b c c b a n
a c n
a c n
Để 11a c số phƣơng, ta phải có a c 11.k2 nên a c 11 Do ac Các số thoả mãn tốn có dạng aba
BÀI TẬP 194. Rút gọn biểu thức:
a) 10n16.10 ;n
b) 2n32n22n12 ;n c) 90.10k10k210k1;
d)
2,5.5n.10 5 n 6.5 n
195. Hãy viết tích 7.32 thành tổng ba luỹ thừa số với số mũ ba số tự nhiên liên tiếp 196. Rút gọn biểu thức:
a) M N P với M 2a23a1,N5a2a P, a24;
b) 2y x 2x y y3x5yx với xa22ab b y 2, a22ab b 2; c) 5x 3 2x1
197. Tìm x biết rằng:
a) 0, 4x 2 1,5x 1 4x 0,83, 6;
b) 1 4x 3x 6x 3x 3x
198. Xác định đa thức M biết rằng: M(6x24xy)7x28xyy2 199. Chứng minh rằng:
a) Tổng số tự nhiên có hai chữ số với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngƣợc lại số chia hết cho 11
b) Hiệu số tự nhiên có hai chữ số với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngƣợc lại số chia hết cho
200. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho tống số số viết theo thứ tự ngƣợc lại số phƣờng
201. Tìm số tự nhiên abc a b c 0 cho
666 abc bca cab
(11)204. a) Tìm số tự nhiên abc có ba chữ số khác cho 3a5b8 c
b) Tìm số tự nhiên abc có ba chữ số khác khác cho abc trung bình cộng bca cab
205. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho số bằng: a) sáu lần tích chữ số số đó;
b) hai lần tích chữ số số
206. Tìm số tự nhiên abcd cho số chia hết cho tích ab cd
§16 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Nghiệm đa thức f x giá trị x để f x 0
Tìm nghiệm đa thức f x tìm giá trị x để f x 0 Ví dụ 56.Chứng minh đa thức x2 x khơng có nghiệm
Lời giải Cách 2 1
1
2 4 f x x x x x x
2
1 1 2
1 3
2 4
x x x
x x x
Với x ta có f x 0 Vậy f x khơng có nghiệm Cách 2. Xét khoảng giá trị
- Xét x0 x 1 Do
1 1
x x x x x x
- Xét 1 x x 1 Ta lại có x2 0 nên x2 x - Xét x 1 x0 x 1 Do
1 1
x x x x x x Trong ba khoảng trên, ta có x2 x Vậy đa thức x2 x khơng có nghiệm
Ví dụ 57.Cho đa thức f x thoả mãn điều kiện:
x f x x f x
(12)Ta có x f x 1 x2 f x với x (1)
Thay x0 vào (1) ta đƣợc: 0.f 1 2.f 0 Do 02.f 0 nên f 0 0 Vậy nghiệm f x( )
Thay x 1 vào (1) ta đƣợc: 1.f 0 1.f 1 nên -f 0 f 1 Do f 0 0 nên
1
f Vậy -1 nghiệm f x Đa thức f(x) có hai nghiệm -1 207. Tìm nghiệm đa thức:
2 2
)3 1; ) 4; ) ; )
a x b x c x x d x
208. a) Chứng tỏ đa thức f x 5x37x24x2 có nghiệm
b) Chứng tỏ đa thức f x ax3bx2 cx d có nghiệm
a b c d
209. a) Chứng tỏ đa thức f x 3x34x22x1 có nghiệm -1 b) Chứng tỏ đa thức f x ax3bx2 cx d có nghiệm -1
a c b d
210. Chứng minh đa thức x22x2 khơng có nghiệm 211. Cho đa thức f(x) thoả mãn điều kiện:
x f x x f x Chứng minh đa thức f(x) có hai nghiệm
CHUYÊN ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Phản chứng phƣơng pháp chứng minh gián tiếp: để chứng tỏ kết luận toán đúng, ta chứng minh điều trái lại với sai
Nhƣ sơ đồ chứng minh phản chứng gồm ba bƣớc:
Bước (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận toán
Bước (đi đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử từ giả thiết toán, ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết hay với kiến thức học
Bước (khẳng định kết luận): Vậy kết luận tốn đúng. Ví dụ 58(1). Chứng minh a b, 1 a a b2, 1
(13)Giả sử a2 a b khơng ngun tố a2 a b chia hết cho số nguyên tố d Suy a d, b d
Nhƣ a b chia hết cho số nguyên tố d, điều trái với giá thiết a b, 1 Do
,
a a b
Ví dụ 59(1). Chứng minh số phƣơng có chữ số tận chữ Số hàng chục chữ số lẻ
Lời giải
Giả sử có số phƣơng tận mà có chữ số hàng chục chữ số chẵn số phƣơng tận 06, 26, 46, 66 86 Các số phƣơng khơng chia hết cho (1)
Mặt khác số phƣơng tận chia hết cho Số phƣơng phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẳn, số phƣơng tận phải chia hết cho 4, trái với (1)
Vậy số phƣơng có chữ số tận chữ số hàng chục phải chữ số lẻ Có số phƣơng nhƣ vậy, chẳng hạn: 164 ,362 62
Ví dụ 60(1). Có tồn số tự nhiên có ba chữ số cho cộng với số gồm ba chữ số nhƣng viết theo thứ tự khác để đƣợc tổng 999 hay khơng?
Lời giải Giả sử ta có phép cộng:
' ' ' 9
a b c a b c
trong , ,a b c chữ số số cho abc.Gọi a b c m a b c m
Chú ý phép cộng khơng có nhớ tất cột, c c 9,b b 9,a a Suy ra:
' ' ' 27
27 27 a b c a b c
m n m
m13,5; vơ lí
Vậy khơng tồn số tự nhiên có ba chữ số cho cộng với số gồm ba chữ số nhƣng viết theo thứ tự khác để đƣợc tổng 999
Ví dụ 61(1). Trong vịng thi đấu cờ tƣớng có đấu thủ tham gia
a) Có thời điểm mà đấu thủ đấu ván hay không? b) Chứng minh số ván đấu ngƣời số lẻ
(14)a) Giả sử ngƣời đấu ván số ván cờ đấu giải 5.9
2 , vơ lí số ván cờ lại khơng số tự nhiên Vậy khơng có thời điểm mà đấu thủ đấu ván b) Giả sử chín đấu thủ đấu lần lƣợt a a a1, 2, 3, ,a9, ván (ai lẻ, 1 i 9) Khi số ván
đấu giải
2
a a a
Phân Số có tử số lẻ (là tổng số hạng, số hạng lẻ), mẫu 2, nên khơng số tự nhiên, vơ lí
Vậy số ván đấu ngƣời số lẻ BÀI TẬP
212(1). Cho a b, 1 Chứng minh 2
,
a b
213(1). Chứng minh khơng tồn số phƣơng có dạng:
) ; )
a abab b abcabc
214(1). Chứng minh số phƣơng có chữ số tận chữ số hàng chục phải chữ số chẵn
215(1). Nhốt 45 thỏ vào lồng Chứng minh tồn lơng có số thỏ số lẻ
216(1). Trên mặt phẳng có 13 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Có tồn hình vẽ mà điểm hình đƣợc nối (thành đoạn thẳng với ba điểm khác hay khơng?
217(1). Một nhóm học sinh gồm 35 ngƣời chơi cơng viên có ngƣời quen có ngƣời khơng quen Chứng minh có ngƣời có số ngƣời quen nhóm số chẵn
218(1). Ngƣời ta xếp chín số tự nhiên từ đến vào bảng vuông x cho tổng số hàng, cột, đƣờng chéo
a) Hãy cách xếp thoả mãn điều kiện
b*) Chứng tỏ khơng có cách xếp mà số đứng bảng góc bảng 219(1). Có chín viên bi có màu xanh đỏ xếp cách thành hàng ngang Chứng minh
rằng tồn viên bị cách hai viên bi màu với
(15)NGUYÊN LÍ ĐI-RICH-LÊ
Nếu chim đậu cành tìm đƣợc cành có con; nhốt gà vào chuồng có ngăn phải có ngăn có từ trở lên; xếp ngƣời ngồi ghế băng mà khơng ghế có q ngƣời Tất điều đơn giản nội dung ngun lí tốn học, "ngun lí nhốt thỏ" mang tên nhà toán học Đi-rich-lê (Peter Lejeune Dirichlet, 1805 – 1859):
- Nếu ta nhốt n thỏ vào n– lồng tồn lơng có từ thỏ trở lên
Ta chứng minh tốn sau: Khơng thể nhốt thỏ vào lồng mà lồng chứa không
Thật vậy, lồng chứa không thỏ lồng chứa khơng q: 2.3 = thỏ, vơ lí Vậy khơng thể nhốt đƣợc thỏ vào lông mà lồng chứa không Tổng quát, nhốt n thỏ vào k lồng mà phép chia n
k đƣợc m cịn dƣ tồn lơng chứa m1 thỏ trở lên
Nguyên lí Đi-rich-lê dạng phƣơng pháp phản chứng, khẳng định tồn không tồn kiện đó, Ta xét vận dụng đa dạng nguyên lí ví dụ dƣới
I- SỰ TRÙNG LẶP
Ví dụ 62(1). Trong 45 học sinh làm kiểm tra, bị điểm dƣới 2, có học sinh đƣợc điểm 10 Chứng minh tìm đƣợc học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10)
Lời giải
Có 45 – = 43 học sinh phân chia vào loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại loại điểm điểm không học sinh lớp học có khơng q: 5,8 = 40 học sinh, 43 học sinh Vậy tồn học sinh có điểm kiểm tra
Trong toán này, "thỏ" 43 điểm kiểm tra từ đến 9, "lồng" loại điểm nói Phép chia 43 cho đƣợc dƣ, Tồn + = học sinh có điểm kiểm tra
II- SỰ CHIA HẾT
Ví dụ 63(1). Cho 12 số tự nhiên khác có hai chữ số Chứng minh tồn hai số có hiệu số có hai chữ số nhƣ
Lời giải
Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà có 11 Số dƣ phép chia cho 11, tồn hai số có số dƣ phép chia cho 11 Hiệu chúng số chia hết cho 11, số có hai chữ số nhƣ
Ví dụ 64(1). Chứng minh tồn bội số 17: a) gồm toàn chữ số 0;
b) gồm toàn chữ số
(16)a) Xét 18 số:
18
1,11,111, ,11
Có 18 số, mà phép chia cho 17 gồm 17 số dƣ (0, 1, 2, , 16) nên tồn hai số có số dƣ Gọi hai số 11
m
11 (1 18)
n
n m
Hiệu chúng 11 100
m n n
chia hết cho 17, hiệu số gồm toàn chữ số
b) Theo câu a, tồn bội 17 có dạng A=11 100 0=11 1.10n mà 10 ,17 =1n nên 11 chia hết cho 17, tức tồn bội 17 gồm toàn chữ số
Chú ý : Tổng quát, câu a thay số 17 số tự nhiên n bất kì, câu b thay số 17 số tự nhiên n nguyên tố với (tức số có chữ số tận 1, 2, 3, 7, 9)
Ví dụ 65(10)
Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 3k tận 001
Giải : Trƣớc hết ta chứng tỏ tồn hai lũy thừa có số sƣ chia cho 1000 Thật phép chia cho 1000 có 1000 số dƣ 0, 1, 2, …, 999 Ta xét 1001 số 3, 32, 33, …, 31001thì tồn hai số có số dƣ phép chia cho 1000
Gọi hai số 3m 3n (1 n m 1001) Nhƣ m n
3 - 1000, n m-n
3 -1 1000 Ta lại có n
3 ,1000 =1 suy 3m-n-1 1000, tức 3m-n tận 001 Ví dụ 66(1)
a) Viết 20 số tự nhiên vào 20 bìa Chứng minh ta chọn hay nhiều bìa để tổng số chia hết cho 20
b*) Anh Nam vận động viên chơi cờ Để luyện tập, ngày anh chơi ván Để khỏi mệt, tuần anh chơi không 12 ván Chứng minh tồn số ngày liên tiếp anh chơi 20 ván
Giải : a) Gọi số 20 bìa a ,a , ,a1 2 20 Xét 20 tổng sau :
1
1
2
3
20 20
s = a s = a s = a + a s = a + a + a
s = a + a + + a
(17)Nếu không tồn tổng chia hết cho 20 tồn hai tổng có số dƣ chia cho 20 (vì có 20 tổng, có 19 số dƣ khác 1, 2, … 19) Hiệu hai tổng chia hết cho 20 Chẳng hạn hai tổng sm s 1n n < m20
m n m n n+1 n+2 m
s -s = a +a + +a -(a +a + +a ) = a +a + +a chia hết cho 20
Gọi số ván cờ mà anh Nam chơi ngày thứ nhất, thứ hai, …, thứ hai mƣơi a1, a2, … a20
Xét 20 tổng : s = a1 1, s = a2 1a2, …, s = a + a + +a20 1 2 20 Ta có s <s < s < < s <361 2 3 20 (vì 20 ngày anh Nam chơi 12.3 36 ván cờ)
Theo câu a, tồn s 20 k s - s 20m n (1 k 20 ) Giá trị 20 Nhƣ s = 20k a + a + +a = 201 2 k ;
nếu s - s = 20m n an+1+ an+2+ +a = 20m Ví dụ 67*(1)
Cho 51 số nguyên dƣơng không vƣợt 100 Chứng minh :
a) Mỗi số viết đƣợc dƣới dạng a = bk (k, b , b lẻ, ý k 20 1) Xác định khoảng giá trị k b
b) Tồn hai số 51 số nói mà số chia hết cho số cịn lại Giải : a) Mỗi số nguyên dƣơng cho viết đƣợc lại dƣới dạng
k
a = b với k0;1;2;3;4;5;6, b1;3;5; ;99 Chẳng hạn : 9 , 24 3
b) Có 51 số, có 50 giá trị b (là 1, 3, 5, …99) nên tồn hai số có giá trị bbằng Chẳng hạn a =2 bi m , a =2 bj n (mn), a :a = 2i j m-n
Ví dụ 68*(1)
Cho 51 số nguyên dƣơng khác nhau, nhỏ 100 (a1a2 a51) Chứng minh 51 số :
a) Tồn hai số ak, am mà a = a - ak m 1
b) Tồn ba số mà số tổng hai số lại
Giải : a) Ta có < a < a < < a < 1001 2 51 Xét 100 số sau chia thành hai nhóm : - Nhóm thứ gồm 50 số : a < a < < a2 3 51
- Nhóm thứ hai gồm 20 hiệu : a - a < a - a < < a - a2 1 3 1 51 1
Có 100 số nhỏ 100 nên tồn hai số nhau, hai số khơng thuộc nhóm, nên phải thuộc hai nhóm, chẳng hạn ak a - am 1 Vậy tồn hai số ak, ammà a = a - ak m 1
(18)III – SỰ TƢƠNG HỖ
Trong tập loại này, A có quan hệ với B B có quan hệ với A (ví dụ A quên B A thi đấu với B,…)
Ví dụ 69(1)
Chứng minh 10 ngƣời bất kì, tồn hai ngƣời có số ngƣời quen nhƣ (kể trƣờng hợp quen ngƣời)
Giải : Xét 10 lồng : lồng chứa ngƣời có ngƣời quen, lồng chứa ngƣời có ngƣời quen, …, lồng chứa ngƣời có ngƣời quen Chú ý lồng lồng đồng thời chứa ngƣời lồng có ngƣời (tức có ngƣời khơng quen ngƣời khác) lồng khơng thể có ngƣời (khơng thể có quen ngƣời cịn lại) Nhƣ thực có nhiều lồng có ngƣời, mà có 10 ngƣời Do tồn lồng chứa hai ngƣời trở lên, hai ngƣời có số ngƣời quen nhƣ
Chú ý : Bài toán thay số 10 số tự nhiên n lớn Ví dụ 70(1)
Có đấu thủ thi đấu cờ, ngƣời đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, tồn hai đấu thủ có số trận đấu
Giải : Gọi lồng 1, 2, 3, thứ tự chứa đối thủ đấu 0,1, 2, 3, trận Cũng ý lồng chứa ngƣời Nhƣ có lồng, mà có ngƣời, tồn hai ngƣời lồng tức tồn hai đấu thủ có số trận đấu
Chú ý : Bài toán thay số số tự nhiên n lớn IV- SỰ SẮP XẾP
Ví dụ 71(1)
Cho bảng vng 4 Trên 16 ô bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ đến 16 Chứng minh tồn hai ô kề (tức hai ô có cạnh chung) cho hiệu số hai lớn
Giải (h1) : Chuyển từ ô sang kề gọi bƣớc Xét hai ô ghi số số 16 Chuyển từ ô ghi số đến ô ghi số 16 cần không
quá bƣớc chuyển (nhiều bƣớc theo hàng ngang, bƣớc theo hàng dọc) Tồn bƣớc chuyển có hiệu lớn
Thật vậy, giả sử tất bƣớc chuyển có hiệu nhỏ từ số 1, qua khơng q bƣớc chuyển tăng thêm không 12, không đạt đƣợc đến số 16
Vậy tồn hai ô kề có hiệu số hai lớn Ví dụ 71(1)
(19)Viết 16 số, số có giá trị 1, 2, 3, Ghép thành cặp hai số đƣợc cặp số Chứng minh tồn hai cặp số mà tổng số hai cặp
Giải : Tổng hai số cặp cặp số có giá trị nhỏ : 1 2 , có giá trị lớn 2 4 Nhƣ tổng nhận giá trị 2,3, 4,5, 6, 7,8 Theo nguyên lý Đi-rich-lê, tồn hai tổng nhau, tức tồn hai cặp có tổng
BÀI TẬP Sự trùng lặp
221(1) Một trƣờng học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên
222(1). Một lớp có 50 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống 223(1). Một lớp học có 50 học sinh, có học sinh thiếu nhiều tập thiếu tập
Chứng minh tồn 17 học sinh thiếu số tập nhƣ (trƣờng hợp không thiếu tập coi nhƣ thiếu bài)
224(1). Một lớp học có 34 học sinh, tổng số tuổi học sinh 460 Có tồn 20 mà tổng số tuổi họ lớn 260 hay không ?
225(1). Bốn lớp 6A, 6B, 6C, 6D có tất 44 học sinh giỏi, số học sinh giỏi lớp 6D không 10 ngƣời Chứng minh có ba lớp 6A, 6B, 6C có số học sinh giỏi từ 12 trở lên 226(1). Kết thúc năm học, học sinh lớp tặng ảnh cho hay nhiều bạn lớp
cũng nhận đƣợc ảnh Chứng minh có hai học sinh nhận đƣợc số ảnh nhƣ
227(1). Chia 50 kẹo cho 10 em bé (em đƣợc chia kẹo) Chứng minh dù chia cách tồn hai em bé có số kẹo nhƣ
228(1). Có 33 chim đậu sân hình vng cạnh 4m Chứng minh có đậu hình trịn có bán kính 1m
229*(4). Cho 50 số tự nhiên, có số khác chúng phải lập thành tỉ lệ thức Chứng minh 50 số :
a) Có nhiều số khác b) Có 13 số Sự chia hết
(20)231(1). a) Chứng minh tồn bội 23 gồm toàn chữ số b) Chứng minh tồn 17 tận 219
232(1). Cho ba số tự nhiên Chứng minh ba số : a) Tồn hai số có hiệu chia hết cho
b) Tồn hai số có tổng chia hết cho
233(1). Cho năm số tự nhiên Chứng minh năm số : a) Tồn hai số có hiệu chia hết cho
b) Tồn ba số có tổng chia hết cho
234(1). Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh ba số đó, tồn hai số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 12
235(1). Cho 51 số nguyên dƣơng khác không 100 Chứng minh tồn hai số 51 số ấy:
a) Hơn 50 đơn vị ; b*) Có tổng 101 236*(1). Cho dãy số : 1, 2, 3, …, 2018
Có thể chọn đƣợc dãy nhiều số để tổng hai số số chọn chia hết cho 26 ?
Sự tƣơng hỗ
237(1). Đố vui Toán học bóng đá
Trong vịng thi đấu loại bóng đá, vịng có đội thi đấu vòng tròn (mỗi đội gặp đội khác lần) Ba bạn A, B, C yêu bóng đá u tốn có nhận xét sau :
A : Bất đội sân phải có hai cầu thủ mang áo có hiệu chia hết cho 10
B : Trong suốt thời gian thi đấu loại, tìm đƣợc hai đội có số trận đấu nhƣ
C (sau xem xong trận đấu sôi với tỉ số – 3) : Nếu trận có số lần bóng vào lƣới nhiều (7 lần) vịng đấu loại kết thúc, phải có ba trận có số lần bóng vào lƣới Những nhận xét hay sai ?
Sự xếp
(21)239(1). Cho 64 ô vuông xếp thành hàng ngang Viết vào ô số tự nhiên từ đến 16 Ghép thành cặp hai ô đầu cuối ô
cách hai ô đầu cuối Chứng minh tồn hai cặp có tổng số hai ô cặp
240*(1). Một hội nghị học sinh giỏi có 100 học sinh tham dự, ngƣời quen
ít 50 ngƣời khác Chứng minh chọn đƣợc bốn học sinh xếp ngồi quanh bàn tròn cho hai
CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN
Các tốn suy luận thƣờng khơng địi hỏi nhiều kĩ tính tốn, để giải chúng khơng cần trang bị nhiều kiến thức tốn học Điều cần thiết phải có phƣơng pháp suy luận đăn, chặt chẽ, hợp lí, đơi cần thông minh sáng tạo
Ta gặp nhiều toán suy luận đƣợc giải phƣơng pháp tính ngƣợc từ cuối, sơ đồ Ven (xem Nâng cao phát triển toán 6), phƣơng pháp phản chứng nguyên lí Đi-rích-lê Ngƣời ta cịn dùng nhiều phƣơng pháp khác để giải tốn suy luận
I - PHƢƠNG PHÁP LẬP BẢNG Ví dụ 73 (1)
Trong bảng đấu loại bóng đá có năm đội bóng A, B, C, D, E Khi thăm dò ý kiến thứ tự xếp loại bảng, Ban tổ chức nhận đƣợc năm ý kiến sau :
a) Đội E thứ nhất, đội D thứ tƣ b) Đội B thứ nhất, đội C thứ ba c) Đội C thứ nhì, đội D thứ tƣ d) Đội B thứ nhì, đội E thứ tƣ e) Đội E thứ nhất, đội A thứ năm
Kết ý trên, ý có điều Biết thứ tự xếp loại đội khác nhau, xác định thứ tự đội
Giải : Trƣớc hết ta ghi dự đoán vào bảng :
1
a E D
b B C
c C D
(22)d B E
e E A
Vì có nhiều dự đoán đề cập đến đội thứ tƣ nên ta xét đội xếp thứ tƣ
Giả sử đội E xếp thứ tƣ đội D xếp thứ tƣ sai, theo a đội E xếp thứ nhất, mâu thuẫn Vậy đội E không xếp thứ tƣ, theo d đội B xếp thứ nhì Đội B không xếp thứ nên theo b đội C xếp thứ ba Đội C khơng xếp thứ nhì nên theo c đội D xếp thứ tƣ
Còn lại vị trí thứ thứ năm thuộc hai đội A E Nếu đội A xếp thứ nhất, đội E xếp thứ năm dự đốn cuối sai hai điều đội E xếp thứ nhất, đội A xếp thứ năm
Thứ tự đội nhƣ sau : E, B, C, D, A II - PHƢƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Ví dụ 74 (1)
Ba chị Bích, Cầm, Dung học lớp chuyên Nga, Anh, Pháp thi vào trƣờng Sƣ phạm, Ngoại ngữ, Tổng hợp Biết :
a) Cầm khơng thi Sƣ phạm, Bích khơng thi Ngoại ngữ b) Chị thi Sƣ phạm không học chuyên Pháp
c) Chị thi Tổng hợp học chuyên Nga d) Bích không học chuyên Anh
Hỏi ngƣời học lớp thi vào trƣờng ? Giải : Biểu thị tên chị Bích, Cầm, Dung ba điểm B, C, D, lớp chuyên Nga, Anh, Pháp điểm N, A, P, trƣờng Sƣ Phạm, Ngoại ngữ, Tổng hợp SP, NN, TH Các điểm thuộc ba nhóm
tên ngƣời, mơn học trƣờng thi đƣợc nối với đƣờng nét liền chúng có tƣơng ứng, đƣờng nét đứt khơng có tƣơng ứng
Theo đề ta có hình Từ hình vẽ ta thấy : N – TH liên nét nên N – SP đứt nét Mà SP – P đứt nét nên SP – A liền nét
SP – B liền nét vơ lí nên SP – B đứt nét, mà SP – C
đứt nét nên SP – D liền nét Suy D – A liền nét Ta có hình
Hình
A
TH C
B D
SP NN N
(23)NN TH
SP
P A N
D C B B – SP đứt nét, B – NN đứt nét nên B – TH liền nét,
B – N liền nét Cịn lại C – P – NN liền nét
Vậy : Dung học chuyên Anh thi Sƣ phạm, Bích học chuyên Nga thi Tổng hợp, Cầm học chuyên Pháp thi Ngoại ngữ
Chú ý : Trong toán có chín đối tƣợng đƣợc chia thành ba nhóm (tên ngƣời,
tên mơn học, tên trƣờng), chúng có mối quan hệ Trên hình vẽ đối tƣợng đƣợc biểu diễn điểm, mối quan hệ đƣợc biểu diễn đoan thẳng (hay mũi tên) Hình biểu diễn nhƣ gọi graph)
Phƣơng pháp graph thuận lợi để tìm lời giải tốn tìm tƣơng ứng nhƣ tốn Khi trình bày lời giải, ta dùng lời mà khơng cần minh họa hình vẽ Chẳng hạn với tốn :
Chị học chuyên Nga thi Tổng hợp nên không thi Sƣ phạm (câu c), chị học chuyên Pháp không thi Sƣ phạm (câu b), chị học chuyên Anh thi Sƣ phạm
Bích khơng thi Sƣ phạm (vì theo d Bích khơng học chun Anh mà chị học chuyên anh Anh thi Sƣ phạm) Cầm không thi Sƣ phạm (câu a) nên Dung thi Sƣ phạm, Dung học chun Anh
Bích khơng thi Sƣ phạm mà Bích khơng thi Ngoại ngữ (câu a) nên Bích thi Tổng hợp, theo c Bích học chuyên Nga
Còn lại Cầm học chuyên Pháp, thi Ngoại ngữ Ví dụ 75 (1)
Chứng minh sáu ngƣời bất kì, tồn ba ngƣời đôi quen không quen Giải : Gọi A sáu ngƣời tùy ý Còn lại năm ngƣời mà có hai quan hệ : quen A không quen A nên tồn ba ngƣời có quan hệ A, gọi ba ngƣời B, C, D
1 Xét trƣờng hợp B, C, D quen A :
Ta biểu thị quan hệ quen đƣờng nét liền, không quen đƣờng nét đứt
Nếu ba ngƣời B, C, D tồn cặp quen hai ngƣời A ba ngƣời quen đơi (chẳng hạn hai ngƣời B D hình 5)
(24)a) Nếu ba ngƣời B, C, D không tồn cặp quen B, C, D ba ngƣời đôi không quen (h 6)
2 Xét trƣờng hợp B, C, D không quen A : Giải tƣơng tự nhƣ III - PHƢƠNG PHÁP TƠ MÀU BÀN CỜ
Ví dụ 76(1)
Trên bàn cờ hình vng có 64 ô, bỏ hai ô hai góc đối diện, cịn lại 62 Có thể dùng 31 qn cờ có kích thƣớc x để lấp kín bàn cờ đƣợc khơng ?
Giải : Tơ màu ô bàn cờ hai màu đen trắng xen kẽ nhau, hai bỏ hai đen nhƣ hình Nhƣ bàn cờ cịn lại 62 ơ, gồm 32 trắng, 30 ô đen
Mỗi quân cờ kích thƣớc ô x ô xếp bàn cờ lấp đen, trắng, 30 quân cờ lấp 30 ô đen, 30 ô trắng Cịn lại trắng khơng thể lấp đƣợc quân cờ lại
Vậy khơng thể dùng 21 qn cờ kích thƣớc x để lấp kín bàn cờ nói Bài tập
Sự lặp lại
241(1) Ngƣời ta cắt tờ giấy thành mảnh, lấy mảnh đem cắt làm 4, lại lấy mảnh cắt làm 4, … Cứ làm nhƣ nhiều lần, đƣợc tổng cộng 90 mảnh hay không?
242(1) a) Cho dãy số 1, 2, 3, 6, 1, 0, …viết theo quy luật: kể từ số hạng thứ tƣ (từ trái qua phải) số hạng dãy chữ số hàng đơn vị tổng ba số hạng liền trƣớc Hỏi số 3, 5, (viết theo thứ tự ấy) có mặt dãy hay không?
(25)243(1) Cho dãy số 2, 5, 7, 2, 9, … viết theo quy luật: kể từ số hạng thứ ba (từ trái sang phải) số hạng dãy chữ số hàng đơn vị tổng hai số hạng liền trƣớc Hỏi số 2, 4, (viết theo thứ tự ấy) có mặt dãy hay khơng?
Sự ngẫu nhiên
244(1) Có 20 viên bi gồm 10 đỏ, bi xanh, lại bi vàng bi trắng để hộp Khơng nhìn vào hộp, lấy viên bi chắn số bi lấy có:
a) viên bi màu? b) viên bi đỏ?
c) Cả bi đỏ lẫn bi xanh? Sự tƣơng ứng
245(1) Ba bạn Thu, Oanh, Hằng gặp hội nghị học sinh giỏi quận Họ ba bạn Lê, Nguyễn, Phạm Trƣờng bạn học trƣờng Trƣng Vƣơng, Quang Trung, Hoàn Kiếm Biết rằng:
a) Hằng không mang họ Lê b) Oanh khơng mang họ Phạm c) Oanh học trƣờng Hồn Kiếm
d) Hằng không học trƣờng Trƣng Vƣơng
e) Bạn họ Phạm không học trƣờng Quang Trung Hãy xác định họ tên bạn trƣờng học tƣơng ứng bạn
246(1) Bốn ngƣời A, B, C, D tham dự hội nghị Biết rằng:
a) Mỗi ngƣời biết hai bốn thứ tiếng Việt, Nga, Anh, Pháp b) A biết tiếng Việt, tiếng Pháp
c) B biết tiếng Anh, tiếng Pháp, nhƣng phiên dịch đƣợc cho A C d) D tiếng Việt, tiếng Nga nhƣng nói chuyện trực tiếp đƣợc với A Hỏi ngƣời biết thứ tiếng nào?
247(1) Một mạng lƣới thơng tin có 17 trạm, trạm liên lạc đƣợc trực tiếp với trạm khác ba phƣơng tiện liên lạc a, b, c Chứng minh tồn ba trạm liên lạc đƣợc với phƣơng tiện
Bảng
248(1) Trên bảng vuông x gồm 16 ô, ngƣời ta đặt quân cờ vào ô tùy ý Chứng minh tồn hàng cột chứa tất quân cờ
249(1) Cho bàn cờ x gồm 64 Có thể lấp kín bàn cờ đƣợc khơng hình chữ I 15 hình chữ T (xem hình 8)?
(26)250(1) Cho bảng vng x Chứng minh đặt số tự nhiên từ đến 16 vào ô bảng cho tổng số cột
Cân đong
251(1) Với cân có hai đĩa cân kg, lần cân, lấy 2,5 kg bột kg bột
252(1) Có chín nhẫn giống có nhẹ Với cân có hai đĩa khơng dung cân, tìm nhẫn nhẹ hai lần cân
253(1) Tại phòng kiểm tra sản phẩm, ngƣời ta nhận đƣợc 10 hộp mì 10 tổ sản xuất, hộp 10 gói, gói 100g Biết 10 hộp có hộp làm sai quy định, gói có 90g Dùng cân lần, phát hộp chứa sản phẩm làm sai quy định
254(1) Với bốn cân 1g, 3g, 9g, 27g cân đĩa có hai đĩa cân, chứng tỏ cân đƣợc:
a) Các vật có khối lƣợng 5g, 6g, 7g, 8g;
b) Mọi vật có khối lƣợng m gam (m N; 1m40)
255(1) Trên bảng có 50 dấu (+) 50 dấu (-) Cứ lần, ngƣời ta xóa hai dấu ghi lại dấu (+) hai dấu bị xóa giống nhau, ghi lại dấu (-) hai dấu bị xóa khác Cuối bảng dấu, dấu dấu gì?
256(1) Trên bảng có 2001 số: 1, 2, 3, …, 2001 Cứ lần, ngƣời ta xóa hai số thay tổng hai số Cuối bảng cịn số, số số chẵn hay lẻ?
257(1) Trên bảng có 15 hình trịn 20 hình vng Cứ lần, ngƣời ta xóa hai hình theo quy tắc sau: - Nếu xóa hai hình trịn vẽ thêm hai hình vng;
- Nếu xóa hai hình vng vẽ thêm hai hình trịn
- Nếu xóa hình trịn, hình vng vẽ thêm hình vng, hình trịn a) Có bảng gồm tồn hình trịn hay khơng?
b) Có bảng gồm tồn hình vng hay khơng? Sự xếp
258(1) a) Có 130 học sinh đứng thành vịng trịn
Chọn lấy bạn cách sau đây: Bắt đầu từ học sinh (ta gọi bạn thứ nhất), tính theo chiều kim đồng hồ, giữ lại bạn thứ nhất, loại bạn thứ hai, giữ lại bạn thứ ba, loại bạn thứ tƣ, … Cứ tiếp tục làm nhƣ lại bạn Hỏi bạn đƣợc giữ lại bạn số lần đánh số đầu tiên?
b) Cũng hỏi nhƣ số ngƣời 1991
259(1) Có hai viên xúc xắc hình lập phƣơng, viên có mặt Cần ghi số vào 12 mặt hai viên xúc xắc nhƣ để biểu thị đƣợc tất ngày tháng?
(27)Bƣớc Thay đổi trạng thái bật tắt bóng đèn dán số chia hết cho (tức bóng đèn số 2, 4, 6, 8, 10)
Bƣớc Thay đổi trạng thái bật tắt bóng đèn dán số chia hết cho (tức bóng đèn số 3, 6, 9)
Cứ nhƣ đến bƣớc 10: thay đổi trạng thái bật tắt bóng đèn dán số chia hết cho 10 (tức bóng đèn số 10)
Hỏi sau 10 bƣớc đó, bóng đèn bật? Sự thi đấu
261(1) Trong thi đấu bóng bàn, đấu thủ với ngƣời cịn lại trận, khơng có trận hịa Kết có hai đấu thủ A B có số trận thắng A thắng B Chứng minh tồn đấu thủ C mà B thắng C, C thắng A
262(1) Có sáu đội bóng tham gia giải, đội phải đấu trận với đội khác, đội thắng đƣợc điểm, thua điểm, khơng có hịa Kết có hai đội đạt giải đƣợc 10 điểm, bốn đội không đạt giải đƣợc 4; 4; 4; điểm Hỏi đội đạt giải thua trận đấu với đội khơng đạt giải?
Trị chơi
263(1) Dồn bị chuồng: Có 20 xếp thành hàng ngang đƣợc đánh số từ đến 20, ô số 10 chuồng bò Một bò ô số 1, ô số 20 Hai ngƣời lần lƣợt đi, ngƣời đến lƣợt phải đƣa hai bò (con đƣợc) hay nhiều ô tùy ý (không đƣợc lùi, không đƣợc vƣợt qua chuồng) Ai đƣa đƣợc bò cuối vào chuồng ngƣời thắng
Hãy nêu quy luật chơi để ngƣời trƣớc thắng
264*(1) Hai ngƣời chơi trò chơi nhƣ sau: Ngƣời thứ chọn số bảy số: 3, 2, 1, - 1, - 2, - 3, - Sau đó, ngƣời thứ thêm vào số bảy số Tiếp theo, ngƣời thứ hai thêm vào tổng thu đƣợc bảy số cho Biết lần đầu chọn số dƣơng lần sau phải chọn số dƣơng, lần đầu chọn số âm lần sau phải chọn số âm Ngƣời tạo đƣợc tổng 30 – 30 ngƣời thắng Hãy chứng tỏ ngƣời thứ hai ln có cách chơi để thắng Các toán vui
Trong tốn vui mục này, có số tốn Xem Lôi – ((Sam Loyd, Mĩ, 1841 – 1911): 262 đến 276) Ở toán có số đơn vị khơng quen thuộc:
1 acrơ 4047m2
1 galông Mĩ 3, 78 (chú ý: galơng Anh 4,55 lít) đôla = 100 xen (cent)
(28)Ba anh Hùng, Nam, Sơn góp ngƣời nghìn đồng ăn chung Họ ăn hết 11 nghìn đồng Bác chủ quán trả lại họ bốn tờ nghìn đồng Họ chia ngƣời tờ, tờ cho cậu bé bán báo
Bỗng Hùng nghĩ ra:
Chúng ta nghìn đồng Này nhé: Mỗi ngƣời thực chi nghìn đồng, tổng cộng 12 nghìn đồng, cộng nghìn đồng cho cậu 13 nghìn đồng Thế mà lúc đầu góp 15 nghìn đồng mà!
Nam Sơn ngẩn ngƣời Vậy nghìn đồng đâu? 266(1) Số bưu ảnh
An Bách có số bƣu ảnh ngƣời chƣa đến 100, số bƣu ảnh hoa An số bƣu ảnh thú rừng Bách Bách nói với An:
- Nếu cho bạn bƣu ảnh thú rừng tơi số bƣu ảnh bạn gấp bảy lần số bƣu ảnh
An trả lời:
- Cịn tơi cho bạn bƣu ảnh hoa tơi số bƣu ảnh tơi gấp bốn lần số bƣu ảnh bạn
Tính số bƣu ảnh ngƣời 267(1) Có tiền?
Một ơng già tích trữ đƣợc số đồng tiền vàng loại 5, 10, 20 đơla Ơng ta làm cơng việc, phân loại “kho vàng”: Ơng cất tiền vào năm túi, túi chứa số lƣợng nhƣ đồng tiền loại Rồi ông lại đổ tất tiền lên bàn, chia thành bốn đống, đống chứa số lƣợng nhƣ đồng tiền loại Sau ơng lấy hai đống bất kì, trộn lại, chia làm ba đống, đống chứa số lƣợng nhƣ đồng tiền loại Hỏi ơng già có đơla?
268*(1) Còn lại thùng nào?
Một cửa hàng có sáu thùng đựng dầu dấm, thùng có ghi lƣợng dầu dấm tính galơng: 8, 13, 15, 17, 19, 31 Giá galông dầu gấp đôi giá galông dấm Một khách hàng mua năm thùng, số tiền mua dầu số tiền mua dấm 14 đơla
Hỏi cịn lại thùng nào? Giá thùng dầu? Giá thùng dầu? 269(1) Tìm chữ số bị xóa
Một giáo sƣ đề nghị Xem Lôi – làm nhƣ sau:
Bƣớc 1: Dùng 10 chữ số từ đến 9, chữ số lần, để viết hai số (chẳng hạn: 342195 6078)
Bƣớc 2: Cộng hai số lại (đƣợc: 348273)
Bƣớc 3: Xóa chữ số (chẳng hạn xóa chữ số 2)
Giáo sƣ nhìn kết sau (số 348 *73, chữ số xóa đƣợc kí hiệu *) nói chữ số mà Xem Lơi – xóa
(29)Một chủ hiệu định giá mũ 20 đơla khơng bán đƣợc Ơng ta hạ giá mũ xuống cịn doodla, khơng có mua Ơng chủ lại hạ giá xuống 3,2 đơla, 1,28 đơla Thêm lần hạ giá bán đƣợc mũ
Chiếc mũ đƣợc bán với giá xen, biết ông chủ hạ giá mũ theo quy tắc định?
271(1) Cô gái từ thiện
Một cô gái hay làm việc thiện Gặp ngƣời nghèo, cho ngƣời số tiền nhiều xen so với nửa số tiền có ví Gặp ngƣời thứ hai, cho ngƣời số tiền nhiều xen so với nửa tiền cịn lại lúc Với ngƣời thứ ba, cô lại cho nhiều nửa số tiền có lúc xen
Cuối cịn xen Hỏi trƣớc chơi, gái có tiền? 272(5) Chia hạt dẻ
Ba cô bé nhặt đƣợc 770 hạt dẻ định chia theo tỉ lệ tuổi Cứ Me p ri đƣợc hạt Ne – li đƣợc hạt sau Me – ri đƣợc hạt Xu – di đƣợc hạt Vậy cô đƣợc chia hạt dẻ? 273(1) Chiếc đồng hồ
Đồng hồ vào khoảng 20 phút (h.9) Biết kim phút kim vị trí cách số (tức hai kim đồng hồ “đối xứng” qua trục thẳng đứng) Tính xác lúc giờ? 274(1) Hai ơng chủ trại lẩm cẩm bí?
Hai ơng chủ trại già có mảnh đất hình chữ nhật dài 150 gậy, rộng 140 gậy (h.10a) anh chàng Xây – tốt nghiệp trung học có mảnh đất hình chữ nhật dài 190 gậy, rộng 110 gậy (h.10b)
Hai ông chủ trại bàn đổi mảnh đất (có chu vi 580 gậy) lấy mảnh đất Xây – (có chu vi 600 gậy) Hai ơng nghĩ chu vi lớn diện tích lớn họ tƣởng lừa đƣợc anh chàng Xây-cơ trẻ tuổi Dĩ nhiên anh chàng Xây-cơ học trung học biết việc đổi chác này, có lợi
Giả thiết hai mảnh đất đó, acrơ cho 840 bí Nhƣ hai ơng chủ trại lẩm cẩm bí acrơ vụ đổi chác này?
275(1) Hai mươi kẹo
Bốn em bé mua 20 kẹo hết 20 xen Kẹo sôcôla giá xen chiếc, kẹo caramen giá xen bốn chiếc, kẹo bi giá xem hai Vậy em mua loại chiếc?
(30)Một ông già đƣợc làm bố di chúc trao
3 gia tài cho trai
3cho vợ vợ ông đẻ trai, trao
3 gia tài cho vợ
3 cho gái vợ ông đẻ gái Nhƣng vợ ông đẻ sinh đơi trai gái Ơng già làm để thực đƣợc lời hứa mình?
277(1) Du khách làng nào?
Tại vùng biên giới Pháp – Ý có hai làng ngƣời Pháp Ý cạnh Dân Ý sống làng có phong tục đặc biệt: thay cho câu trả lời “có” họ lắc đầu, cịn “khơng” họ gật đầu
Một khách du lịch tới vùng hỏi ngƣời dân mà ông ta gặp: - Anh có phải ngƣời làng khơng?
Ngƣời du khách xác định đƣợc làng ngƣời Pháp hay làng ngƣời Ý Hãy giải thích sao?
278(1) Đường chạy quanh hồ
(31)HẦN HÌNH HỌC
CHƢƠNG III
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƢỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC §12 QUAN HỆ GIỮA GĨC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN
TRONG MỘT TAM GIÁC
Ở chƣơng II, ta biết: Trong tam giác, đối diện với hai cạnh hai góc Ở mục này, mối quan hệ góc cạnh tam giác đƣợc thể định lý: Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hoan góc lớn hơn; đảo lại, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Ví dụ 16
Cho tam giác ABC, M trung điểm BC a) Cho biết MABMAC , chứng minh ACAB b) Cho biết ACAB, chứng minh MABMAC Giải (h.11):
Trên tia đối tia AM, lấy điểm K cho MKMA (c.g.c)
AMB KMC suy
AB CK (1) A1K (2) a) Do A1 A2 nên K A2
AKC có K A2 nên ACCK (3) Từ (1) (3) suy AC AB
b) Do AC AB nên ACCK
AKC có ACCK nên K A2 (4) Từ (2) (4) suy A1 A2
Hình 11
2 1
K
C M
B
A
(32)BÀI TẬP
77. Cho tam giác ABC vng A Tia phân giác góc B cắt AC D a) So sánh AB AD
b) So sánh ADvà DC
78. Cho tam giác ABC có BC Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh BDDC 79. Cho tam giác ABC có ACAB Tia phân giác góc A cắt BC D Kẻ AH vng góc với
BC Gọi M trung điểm BC Chứng minh tia AD nằm hai tiaAH AM 80. Cho tam giác ABC cân A, điểm M nằm tam giác cho MBMC Chứng minh rằng:
AMB AMC
81*. Trong tam giác có góc tổng hai cạnh kề góc s, tam giác có chu vi nhỏ
82* Gọi C điểm nằm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tam giác ACD BCE, Tìm vị trí điểm C để DE có độ dài nhỏ
Bài tập: 121, 12
§13 QUAN HỆ GIỮA ĐƢỜNG VNG GĨC VÀ ĐƢỜNG XIÊN, ĐƢỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
Xét đƣờng vng góc đƣờng xiên kẻ từ điểm đƣờng thẳng đến đƣờng thẳng đó, ta có định lý:
- Đƣờng vng góc ngắn đƣờng xiên - Đƣờng xiên có hình chiếu lớn lớn - Đƣờng xiên lớn có hình chiếu lớn
- Nếu hai đƣờng xiên hai hình chiếu Đảo lại, hai hình chiếu hai đƣờng xiên
Ví dụ 17
Cho tam giác ABC có AC AB, M điểm thuộc cạnh BC Tìm vị trí điểm M để AM có đội dài nhỏ
Giải: Kẻ đƣờng vng góc AH đến BC Xét ba trƣờng hợp a) Trƣờng hợp B 90 (khi C 90 ) (h.12a)
Theo quan hệ đƣờng xiên đƣờng vng góc: AM AH Ta có AMnhỏ AH M trùng với H
b) Trƣờng hợp B 90 (h.12b):
(33)c) Trƣờng hợp B 90 (h.12c)
Ta có HM HB nên AM AB (hình chiếu lớn đƣờng xiên lớn) AM nhỏ AB M trùng với B
Kết luận:
Nếu B 90 vị trí phải tìm M H (chân đƣờng vng góc kẻ từ A tới BC) Nếu B 90 vị trí phải tìm M B
Chú ý: Trong trƣờng hợp B 90 (h.12c), ta có AM AH nhƣng khơng xảy AM AH(vì điểm M thuộc cạnh BC), khơng thể kết luận đƣợc AM nhỏ AH
BÀI TẬP
83. Cho tam giác ABC có BC Gọi AH đƣờng vng góc kẻ từ A đến đƣờng thẳng BC Gọi M điểm thuộc đoạn thẳng AH So sánh độ dài MB MC
84. Cho AB CD hai đoạn thẳng song song nhau, A B C D hình chiếu chúng đƣờng thẳng Chứng minh A B C D
85* Cho tam giác ABCvuông A, đƣờng cao AH Chứng minh
BC AH AB AC
Hình 12
c)
C M
B H
A
b)
C M
B A
a)
C M
H B
(34)§14 QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC
Giữa ba cạnh tam giác có quan hệ: cạnh nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng
Ba đoạn thẳng có độ dài a, b, c độ dài ba cạnh tam giác chúng thỏa mãn điều kiện sau:
- Hoặc a b c b, a c c, a b; - Hoặc |b c | a b c;
- Hoặc đoạn thẳng lớn nhỏ tổng hai đoạn thẳng Ví dụ 18
Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lấy điểm F cho AE AF Chứng minh BCEF2BF
Giải (h.13):
Trên tia đối tia CB lấy điểm K cho CKEF Khi
BC EF BC CK BK (1) Ta có 1 1 180
2
A
E C nên E2 C2 BEF FCK có:
2
EF CK E C BE CF
Do BEF FCK (c g c), suy BFFK (2) Xét BEF ta có BKBFFK (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: BCEFBKBFFK2BF
Vậy BCEF2BF
Hình 13 2 1 2
1 F
E
K C
B
(35)BÀI TẬP
86. Cho tam giác ABC M trung điểm BC Chứng minh
2 AB AC AM 87. Tính chu vi tam giác cân ABC biết rằng:
a) AB8 cm, AC5 cm b) AB25 cm,AC12 cm
88. Cho điểm M nằm tam giác ABC Chứng minh tổng MA MB MC lớn nửa chu vi nhƣng nhỏ nửa chu vi tam giác
89. Cho điểm D nằm cạnh BC tam giác ABC Chứng minh rằng:
2
AB AC BC AB AC BC AD
90. Cho tam giác ABCcó ACAB, tia phân giác góc A cắt BC D, điểm E nằm đoạn thẳng AD Chứng minh ACABECEB
91* Cho tam giác ABC điểm M Chứng minh ba đoạn thẳng , ,
MA MB MC, đoạn thẳng không lớn tổng hai đoạn thẳng (định lý Pom-piu) Bài tập: 122
§15 TÍNH CHẤT BA ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Đƣờng trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện Ta có định lí: Ba đƣờng trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng
3 độ dài đƣờng trung tuyến qua đỉnh
Giao điểm đƣờng trung tuyến gọi trọng tâm tam giác Ví dụ 19
Cho tam giác ABC, đƣờng trung tuyến BD CE Chứng minh rằng: BD CE BC Giải (h 14):
Gọi G giao điểm BD CE Trong GBC, ta có BG CG BC Ta lại có:
3
BG BD ,
CG CE (tính chất đƣờng trung tuyến ABC) nên:
Hình 14 G
D
C B
(36)2
3BD3CE BC
2
3 BD CE BC
3 BD CE BC
BÀI TẬP
92. Chứng minh tam giác có hai đƣờng trung tuyến tam giác tam giác cân
93. Cho tam giác ABCcó đƣờng trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài BC biết cm
BD , CE12 cm
94. Cho tam giác ABC có BC10cm, đƣờng trung tuyến BD CE có độ dài theo thứ tự cm 12 cm Chứng minh BD vng góc với CE
95. Cho tam giác ABC, đƣờng trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DEBD Gọi M , N theo thứ tự lần lƣợt trung điểm BC, CE Gọi I , K theo thứ tự giao điểm AM, AN vớiBE Chứng minh BI IKKE
96* Cho tam giác ABC có đƣờng trung tuyến AD12 cm, trung tuyến BE 9 cm, trung tuyến 15 cm
CF Tính độ dài cạnh BC (chính xác đến 0,1 cm )
97* Chứng minh tổng độ dài ba đƣờng trung tuyến tam giác lớn
4 chu vi nhỏ chu vi tam giác
Ví dụ: 37, 38
(37)§16 TÍNH CHẤT BA ĐƢỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc Đảo lại, điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc năm tia phân giác góc
Trong tam giác, ba đƣờng phân giác qua điểm, điểm cách ba cạnh tam giác Hai đƣờng phân giác hai góc ngồi tam giác tia phân giác góc khơng kề chúng gặp điểm
Đối với tam giác cân, đƣờng trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đƣờng phân giác tam giác
Ví dụ 20
Cho tam giác ABCcó A120, đƣờng phân giác AD BE Tính số đo góc BED Giải (h.15):
Gọi Ax tia đối tia AB Ta có BADDAC 60
Xét ABD có AE tia phân giác góc ngồi đỉnh A, BE tia phân giác góc B, chúng cắt E nên DE tia phân giác góc D
Do đó: 1 1 30
2
ADC ABC BAD
BEDD B
BÀI TẬP
98. Cho góc vng xOy tam giác vng cân ABC có A 90 , B thuộc Ox, C thuộc Oy, A O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ BC Chứng minh OA tia phân giác góc xOy 99. Cho tam giác ABC có AH vng góc với BC BAH 2C Tia phân giác B cắt AC E a) Tia phân giác góc BAH cắt BE I Chứng minh tam giácAIE vuông cân
b) Chứng minh HE tia phân giác góc AHC
100* Cho tam giác ABCcó A120, đƣờng phân giác AD Đƣờng phân giác góc ngồi C cắt đƣờng thẳng AB K Gọi E giao điểm DK AC Tính số đo góc góc BED
101*. Cho tam giác ABC có A120, đƣờng phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE tia phân giác góc ngồi tam giác ADB b) Tính số đo góc EDF
Hình 15
1 2
1 2
E
C D
B
(38)Hình 16
O A
B C
E
102* Cho tam giác ABC cân A M, trung điểm BC Kẻ MH vng góc với AB Gọi E điểm thuộc đoạn thẳng AH Trên cạnh AC lấy điểm F cho AEF2EMH Chứng minh
FM tia phân giác góc EFC
103*. Cho tam giác ABC có đƣờng phân giác BD CE, cắt I IDIE Chứng minh BC B C 120
Ví dụ: 25
~ Bài tập: 127, 130 đến 132, 135
§17 TÍNH CHẤT BA ĐƢỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC
Điểm nằm đƣờng trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Đảo lại, điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đƣờng trung trực đoạn thẳng
Ba đƣờng trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác tâm đƣờng tròn qua ba đỉnh tam giác (ta gọi đƣờng trịn đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác)
Đối với tam giác cân, đƣờng trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đƣờng trung trực tam giác
Ví dụ 21
Cho tam giác ABC có ACAB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CEAB Các đƣờng trung trực BE AC cắt O Chứng minh rằng:
a) AOB COE
b) AO tia phân giác góc A Giải (h.16)
a) AOB COE có
OAOC (O thuộc đƣờng trung trực AC) OBOE (O thuộc đƣờng trung trực BE)
ABCE (giả thiết)
Do đó: AOB COE(c.c.c)
b) AOB COEOABOCE (1) AOC
cân OOACOCE (2)
(39)Hình 17
O A
B C
D
E
Chú ý :
1 Tổng quát hơn, ta có tốn: Cho ABC, điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho ADCE Các đƣờng trung trực DE AC cắt O Chứng minh AO tia phân giác góc A (h.17)
Giải tƣơng tự nhƣ
2 Bài tốn tổng qt cịn diễn đạt dƣới dạng:
Cho ABC, điểm D E thay đổi vị trí cạnh AB, AC cho ADCE Chứng minh đƣờng trung trực DE luôn qua điểm cố định (đó giao điểm đƣờng trung trực AC tia phân giác góc A)
Bài tập
104 Cho ABC A110 Các đƣờng trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự E F Tính EAF
105. Cho ABC hai đỉnh A C thuộc nửa mặt phẳng có bờ đƣờng trung trực BA Chứng minh CA CB
106. Cho ABC Tìm điểm E thuộc đƣờng phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ
107. Cho ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D E, AB đƣờng trung trực MD AC, đƣờng trung trực ME DE có độ dài nhỏ
108. Cho điểm A nằm góc nhọn xOy Tìm điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ
109. Cho tam giác ABC vuông A, kẻ AH vng góc với BC Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh giao điểm đƣờng phân giác tam giác ABC giao điểm đƣờng trung trực tam giác ADE
110. Cho tam giác ABC cân A Các điểm D E theo thứ tự di chuyển hai cạnh AB AC cho ADCE Chứng minh đƣờng trung trực DE qua điểm cố định 111* a) Cho tam giác có ACAB Các điểm D E theo thứ tự di chuyển cạnh AB CA cho BDCE Chứng minh đƣờng trung trực DE qua điểm cố định b) Nhƣ câu a, nhƣng D thuộc cạnh AB, E thuộc tia đối tia CA
(40)Hình 18 1 I K D E H A B C §18 TÍNH CHẤT BA ĐƢỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
Đƣờng cao tam giác đƣờng thẳng kẻ từ đỉnh tam giác vng góc với đƣờng thẳng chứa cạnh đối diện
Ba đƣờng cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác
Vị trí trực tâm, trọng tâm tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác đƣợc nêu toán đƣờng thẳng Ơ-le (bài 182)
Đối với tam giác cân, đƣờng trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đƣờng cao (và đồng thời đƣờng phân giác)
Do tam giác cân có đƣờng trung tuyến, đƣờng cao, đƣờng phân giác ứng với cạnh đáy nên ta có:
- Đƣờng cao ứng với cạnh đáy tam giác cân đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác
- Đƣờng phân giác ứng với cạnh đáy tam giác cân đƣờng trung tuyến, đƣờng cao
Ta có thêm dấu hiệu nhận biết tam giác cân
- Nếu tam giác có đƣờng cao đƣờng trung tuyến tam giác tam giác cân
- Nếu tam giác có đƣờng cao đƣờng phân giác tam giác tam giác cân
Ví dụ 22:
Cho tam giác ABC vuông A, đƣờng cao AH Gọi E I K, , theo thứ tự giao điểm đƣờng phân giác tam giác ABC ABH ACH, , Chứng minh AE vng góc với IK
Giải (h.18)
Ta có BCAH (cùng phụ với BAH), 1 , 1
2
B B A CAH nên B1 A1
Ta có A1BAD90 nên B1BAD90 , BDAK Chứng minh tƣơng tự CKAI
Tam giác AIK có IDAK KE, AI nên E trực tâm tam giác Suy AEIK
Bài tập 113 Đƣờng cao tam giác cạnh a bằng:
A)
a
B) a C) a
D) a
(41)114 Gọi D điểm nằm cạnh AB tam giác vuông cân ABC A90 Trên tia đối tia AC, lấy điểm E cho AEAD Chứng minh CD vng góc với BE
115. Cho tam giác ABC, đƣờng cao AH Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân ABD,
ACE ABD ACE90
a)Qua điểm C vẽ đƣờng thẳng vng góc với BE, cắt đƣờng thẳng HA K Chứng minh CD vng góc với BK
b) Chứng minh ba đƣờng thẳng HA BE CD, , đồng quy
116 Tam giác ABC có BCa AC, b ha, hb độ dài đƣờng cao tƣơng ứng Xác định dạng tam giác biết rằng:
a) ha hb; b) ahb; c*) ah ba, hb 117* Gọi H trực tâm tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng:
a) HA HB HCABAC
b) 2
3
HA HB HC ABBCCA ~ Ví dụ: 28, 33
Bài tập: 123, 124, 136, 160, 171, 172, 174, 175, 178, 181, 182
CHUYÊN ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
I – THẾ NÀO LÀ PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG?
Trong nhiều toán, để thay cho chứng minh B ngƣời ta chứng minh không B sai (không B gọi phủ định B)
Chẳng hạn: Để chứng minh a song song với b, ta chứng minh a không song song với b sai; để chứng minh ABCD, ta chứng minh ABCD sai
Phƣơng pháp phản chứng phƣơng pháp chứng minh gián tiếp, để chứng tỏ kết luận toán đúng, ta chứng tỏ phủ định kết luận sai
II – CÁC BƢỚC CỦA PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
(42)Hình 19
H C
B
A
- Bước (đƣa đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử từ giả thiết toán, ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết hay với kiến thức học
- Bước (khẳng định kết luận): Vậy kết luận toán
Trong chứng minh phản chứng, cần biết cách lập câu phủ định kết luận Chẳng hạn: Kết luận Phủ định kết luận
ab ab
ABC
có A90 ABC có A90
Mọi cặp tam giác có cặp cạnh hai cặp góc nhau
Có cặp tam giác có cặp cạnh hai cặp góc mà khơng
III – VÍ DỤ Ví dụ 23 (10)
Chứng minh tam giác có góc 30 cạnh đối diện với góc nửa cạnh khác tam giác tam giác vng
Giải: Xét ABC có B30 ,
2 BC
AC Ta chứng minh rằng: A90
Thật giả sử BAC90
Qua C ta vẽ CHAB H khơng trùng A (h.19),
CH CA (1)
Tam giác vng HBC có B30 nên
2 BC CH , mà
2 BC
CA (gt), đó:
CHCA (2) mâu thuẫn với (1) Vậy BACphải 90
Bài tập Chứng minh phản chứng (bài 118 – 124):
118(1) Qua điểm O mặt phẳng, vẽ bốn đƣờng thẳng phân biệt Chứng minh trong góc đỉnh O, có góc có số đo khơng q 45
(43)Hình 20
D E
A
B C
M N
120(9). a) Chứng minh phản chứng: Tam giác BAC có B60 ,
BC BA Chứng minh 90
C
b) Áp dụng câu a để giải: Tam giác BAC có B60 , BC2dm, BA3dm Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh ADAC
121(12) Cho tam giác BAC, đƣờng cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HDHA Trên nửa mặt phẳng bờ DB không chứa A, vẽ tia Dx cho BDx15 Dx cắt tia AB E Chứng minh
HDHE
122*(14). Nếu a b c, , độ dài cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a2b2 5c2 c độ dài cạnh nhỏ
123*(18). Tam giác BAC có ba góc nhọn, đƣờng cao HA, đƣờng trung tuyến BI , đƣờng phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D E F, , Chứng minh tam giác DEF tam giác 124**(18). Tam giác có ba góc nhọn, đƣờng phân giác AD, đƣờng trung tuyến BM đƣờng cao
CH đồng quy Chứng minh A45
TƢƠNG TỰ I – TƢƠNG TỰ LÀ GÌ?
Trong lời giải nhiều tốn, ta gặp từ chứng minh tương tự trên, giải tương tự bài…Tƣơng tự đƣợc hiểu giống nhau, nhƣng có nhiều mức độ giống nhau: hồn tồn giống nhau, gần hồn tồn giống nhau, có số nét giống Do đó, vận dụng tƣơng tự chứng minh hình học đa dạng
II – TÁC DỤNG CỦA TƢƠNG TỰ Ngƣời ta thƣờng dùng tƣơng tự để:
1. Thu gọn lời giải cách không lặp lại chứng minh nhƣ Một ví dụ
Cho tam giác ABC, D trung điểm AC,
E trung điểm AB Vẽ điểm M N, cho E trung điểm CM, D trung điểm BN
Chứng minh A trung điểm MN (h.20)
(44)Chứng minh ANBC hoàn toàn giống nhƣ chứng minh AMBC, chứng minh AN/ / BC hoàn toàn giống nhƣ chứng minh AM/ /BC Do gọn, ta dùng từ chứng minh tương tự mà không cần lặp lại chứng minh nhƣ Ở chứng minh tƣơng tự suy diễn xác Ví dụ 24*(9)
Tam giác ABC có A105 Một đƣờng thẳng qua A cắt BC D chia tam giác ABC thành hai tam giác cân Tính số đo góc B C tam giác ABC
Nhận xét: Bài tốn địi hỏi xét nhiều trƣờng hợp đề không xác định rõ đáy tam giác cân ,
ADB ADC Ta ý đến tƣơng tự hai góc ADB ADC, : thay B C, thay C B lời giải tốn khơng đổi Ta nói hai góc có vai trị nhƣ nhờ tương tự ta có thể xếp chúng theo thứ tự ADCADB mà khơng tính tổng qt tốn
Giải: Giả sử ADCADBthì ADC90 , dẫn đến tam giác cân ADC phải có đáy AC Ta phải xét ba trƣờng hợp: tam giác cân ADB có đáy AD (h.21a), BD (h.21b) AB (h.21c) mà xét đến trƣờng hợp
Đặt C, trƣờng hợp cho ta 3105 nên 35 , trƣờng hợp cho ta 180 4105 nên 25
, trƣờng hợp không xảy BAC90 Ví dụ 25 (16)
Tam giác ABC có A90 , B C góc nhọn, đƣờng trung trực AB AC cắt O cắt BC theo thứ tự E F Chứng minh AO tia phân giác góc EAF
Giải: Ta có EAEB nên EO tia phân giác góc AEB (h.22) Chứng minh tƣơng tự, FO tia phân giác góc AFC Vì EO FO tia phân giác góc đỉnh E Fcủa AEF nên AO tia phân giác góc EAF
Lời giải ứng với trƣờng hợp A90
Hình 21
c) b)
a)
B C
A A
C B
A
C B
(45)Nếu A90 (h.23), lời giải tƣơng tự nhƣ trên, khác chỗ EO FO tia phân giác góc ngồi đỉnh E F AEF Ta có AO tia phân giác góc EAF (đpcm)
Trong trƣờng hợp này, tƣơng tự không hồn tồn nhƣ Khơng cần lặp lại tồn chứng minh nhƣ trên, nhƣng cần nêu lên chỗ khác Ở đây, chứng minh tƣơng tự suy diễn xác
2 Phát tính chất mới, đề xuất toán
Tƣơng tự cịn có nghĩa có nét giống Từ số tính chất giống hai đối tƣợng, ta dự đốn tính chất giống khác chúng Chẳng hạn : Nếu đối tƣợng X có tính chất a, b, c, d, cịn đối tƣợng Y có tính chất a, b, c, Y có tính chất d
Một ví dụ. Các đƣờng trung tuyến, đƣờng cao, phân giác tam giác có số tính chất giống Chẳng hạn tam giác cân, đƣờng trung tuyến ứng với cạnh bên Các đƣờng phân giác, đƣờng cao có tính chất nhƣ Biết đƣờng trung tuyến tam giác gặp điểm, ta đoán đƣờng phân giác, đƣờng cao có tính chất Các giả thuyết đƣợc khẳng định
Ở tƣơng tự có vai trị nhƣ phƣơng pháp thực nghiệm Nhờ so sánh đối tƣợng có số thuộc tính giống mà ta đề giả thuyết tƣơng tự kiểm tra giả thuyết Đó tác dụng tƣơng tự trình sáng tạo tốn học, nhờ mà ta đề xuất toán
Chú ý cách nhìn hai đối tƣợng tƣơng tự khác tuỳ theo mục đích nghiên cứu Các đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác, đƣờng cao xem tƣơng có số tính chất giống tam giác Tam giác tứ giác xem tƣơng chúng trƣờng hợp riêng đa giác Chu vi diện tích xem tƣơng chúng đƣợc nghiên cứu phƣơng pháp giống Đƣờng thẳng có đƣợc xem tƣơng tự với đƣờng trịn, có đƣợc xem tƣơng tự với mặt phẳng Chính đa dạng làm cho khả sáng tạo toán tƣơng tự thêm phong phú,
Nhƣng suy luận tƣơng tự thuộc loại "suy luận nghe có lí", cho ta dự đốn, cịn để
Hình 23 Hình 22
E F
O E
F O
B C
A
A
(46)khẳng định hay bác bỏ dự đốn phải chứng minh Sẽ sai lầm tƣơng tự, ta cho giao điểm đƣờng phân giác tam giác cách đỉnh khoảng
3 độ dài đƣờng phân giác qua đỉnh (!) cho hai tam giác bất kì, đối diện với hai cạnh hai góc (!)
3 Tìm tịi cách giải tốn
a) Bằng cách nghĩ đến tốn có nét tương tự với tốn giải Ví dụ 26(11)
Vẽ phía ngồi tam giác ABC B 90 ,C 90 tam giác vuông cân ABD, ACE
ABD ACE 90 Gọi I K chân đƣờng vng góc kẻ từ D E đến BC Chứng minh BI CK (h.24)
Hình 24
Nhận xét: Rõ ràng BID có cạnh BI CKE có cạnh CK khơng phải hai tam giác
bằng Một câu hỏi đƣợc đặt : Có tốn tƣơng tự với toán này, phần toán này?
Các kiện tốn: ABD vng cân, đƣờng thẳng IK qua đỉnh góc vng, làm ta nhớ lại tốn giải có kiện tƣơng tự (bài 38) Do liên hệ đó, ta vẽ thêm AHIK, đƣợc BI AH, Tƣơng tự với ACE vng cân, đƣợc CKAH Do BI CK
Nhờ liên hệ đến toán tƣơng tự giải mà ta tạo đoạn thẳng AH làm trung gian để so sánh BI CK
Giải : Bạn đọc tự trình bày
b) Bằng cách dùng phương pháp tương tự với phương pháp sử dụng toán khác
I K
E
H D
B C
(47)Ví dụ 27*(9)
Tam giác ABC cân có góc đỉnh A 20 Trên cạnh AB lấy D cho ADBC Tính ACD (h.25)
Nhận xét:
Nhớ lại 51: ABC có B C 50 , K điểm nằm tam giác cho KBC 10 , 30
KCB Tính BAK
Ở 51 ta có ABCKBC 50 10 60 , ta vẽ EBC (E A phía BC), xuất ABEKBC
Cịn ví dụ 27 ta có BCA A 80 20 60 , góc tam giác Do đó, hai tốn hồn tồn khác nhau, nhƣng tƣơng tự gợi cách vẽ tam giác BEC
Giải: Vẽ BEC (E A phía BC) Cách vẽ làm xuất ECADAC, dẫn đến ECA DAC (c.g.c) suy CAEACD Ta dễ dàng tính đƣợc CAE 10 , ACD 10
Chú ý: Các cách giải khác, xem 138 Bài tập
125(9). Giải tốn sau có dùng chứng minh tƣơng tự:
Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ tam giác vng cân ABD, ACE có đáy BD, CE Kẻ AHBC Chứng minh điểm D E cách đƣờng thẳng AH
126(12). Giải tốn sau có xếp thứ tự độ dài cạnh tam giác: Cho tam giác ABC có BCa, ACb, ABc Chứng minh rằng:
a) a b A B b cB C a c A C 0 b) 2AaBb Cc AbAcBa Bc Ca Cb
127(16). Hãy xét xem kết luận ví dụ 25 có thay đổi B 90 Nêu giải toán tương tự với toán sau (bài 128, 129)
128(9). Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD, ACE Tính góc tạo đƣờng thẳng BE, CD
Hình 25 E D
B C
(48)129(9). Cho tam giác ABC vuông cân A, đƣờng trung tuyến AM Gọi H đƣờng thẳng qua A cho B C thuộc nửa mặt phẳng có bờ d Kẻ BH CK vng góc với d Chứng minh tam giác MHK tam giác vuông cân
TÍNH SỐ ĐO GĨC
Dễ dàng tính đƣợc số đo góc tam giác đều, tam giác vng cân, tính đƣợc góc tam giác cân biết góc nó, tính đƣợc góc tam giác vng có cạnh góc vuông nửa cạnh huyền Nhƣng gặp nhiều tốn tính số đo góc phức tạp nhiều, điều địi hỏi sáng tạo Khi giải tốn tính số đo góc, cần ý:
1. Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hướng chứng minh
2. Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân, hình vẽ
Ví dụ 28(18)
Tính góc tam giác ABC biết đƣờng cao AH đƣờng trung tuyến AM chia góc A thành ba góc
Giải (h 26):
Vẽ MKAC KAM HAM (cạnh huyền - góc nhọn) nên MKMH Do
2 MB MC MK MKC
vng có
2 MC
MK nên C 30 Suy HAC 60 , BAC 90 , B 60
3. Chú ý đến liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát các cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất góc đặc biệt, cặp góc nhau Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều,
Hình 26 K
H M
B C
(49)Ví dụ 29(8)
Tam giác ABC có A 60 Các tia phân giác góc B, C cắt cạnh đối diện theo thứ tự D, E cắt I Tính góc tam giác DIE
Giải :Vẽ tia phân giác góc I BIC cắt BC K, xuất hai cặp tam giác (xem ví dụ 8)
Ví dụ 30*(9)
Tam giác ABC có B45, C120 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD2CB Tính ADB
Giải (h.27):
Ta có ACD 60 , vẽ thêm DHAC CDH 30 , CH CD, suy CH CB Ở hình vẽ xuất tam giác cân CBH BHD CBH 30 , ABH 45 – 30 15 Ta có BAH 15 nên AHB cân Từ AHD tam giác vuông cân
Vậy ADB 45 30 75 Ví dụ 31(9) Lấy lại ví dụ 27
Hƣớng giải : Vẽ EBC làm xuất ECA DAC (c.g.c) 4. Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc
Xem ví dụ 24 Một ví dụ khác: Ví dụ 32 (9)
Tính góc tam giác ABC cân A biết cạnh AB có điểm D cho
Hình 27 H
B D
A
(50)Giải (h.28)
Đặt Ax ACDx, CDB2x, B2x
ABC có A B C 180 nên x2x2x180 tức 5x180 Vậy x 36 ABC có A 36 , B C 72
5. Xét trường hợp số đo góc: xảy (ví dụ góc nhọn, góc ) Ví dụ 33(18)
Cho tam giác ABC, trực tâm H, AH BC Tính BAC
Nhận xét : Bài tốn khó vẽ xác đƣợc góc A ABC có giá trị xác định mà ta lại chƣa biết Trong tốn có liên quan đến trực tâm tam giác, ta thƣờng xét trƣờng hợp trực tâm nằm trong, nằm ngoài, trùng với đỉnh tam giác Do ta phải xét trƣờng hợp A 90 A 90 (cịn trƣờng hợp A 90 khơng xảy H trùng A, khơng thoả mãn AH BC)
Giải:
Hình 28 x
D
B C
A
Hình 30 b)
Hình 29
a) D
H
H
E
H E
B C
A
D C
B C
A B
(51)a) Xét trƣờng hợp A 90 (h.29)
AHE BCE
(cạnh huyền - góc nhọn) suy AEBE Do BAE 45 b) Xét trƣờng hợp A 90
Đổi chỗ A H hình 29a cho nhau, ta đƣợc hình 30 Ta có BHC45 nên BAC135 c) Xét trƣờng hợp A 90 , Khi H trùng A, khơng thoả mãn AHBC, loại
Nhƣ góc BAC 45 135 Bài tập
130*(16). Tam giác ABC có B 60 , C 30 Lấy điểm D cạnh AC, điểm E cạnh AB cho ABD 20 , ACE 10 Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE 131*(16). Cho tam giác ABC (A 90 , B, C 90 ), kẻ AH vng góc với BC Vẽ điểm D E cho AB đƣờng trung trực HD, AC đƣờng trung trực HE Gọi I K thứ tự giao điểm DE với AB AC Tính AIC, AKB
132*(16). Tam giác ABC có AH vng góc với BC, đƣờng phân giác BD, AHD45 Tính ADB 133*(17). Tam giác ABC có K giao điểm đƣờng phân giác, O giao điểm đƣờng trung trực,
BC đƣờng trung trực OK Tính góc tam giác ABC
134(9). Cho tam giác ABC có B 60 , C45 Trong góc ABC vẽ tia Bx cho CBx 15 Đƣờng vng góc với AB A cắt Bx I Tính ICB
135(16). Cho tam giác ABC có B 75 , C45 Trên cạnh BC lấy điểm D cho BAD 45 Đƣờng vng góc với DC C cắt tia phân giác góc ADC E Tính CBE
136*(18) Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABE, ACF Gọi I trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABE Tính góc tam giác FIH
137 (9). Tam giác ABC cân A có A 20 Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC, vẽ tia Cx cho ACx 60 , tia lấy điểm D cho CDCB Tính ADC
138(9). Giải ví dụ 27 cách khác
139*(9). Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm E nằm tam giác cho EAC cân E có góc đáy 15 Tính AEB
(52)2
BH AC Tính BHC
141*(9) Cho tam giác ABC cân A có A100 Trên tia AC lấy điểm D cho ADBC Tính ABD
142*(9) Tam giác ABC cân có A100, điểm M nằm tam giác cho MBC 10 , MCB20 Tính AMB
143*(9) Tam giác ABC cân có A108, điểm M nằm tam giác cho MBC 12 , MCB 18 , Tính AMB
144*(9). Tam giác ABC cân có A100, điểm M nằm tam giác cho MBC 30 , MCB20 Tính MAC
Hƣớng dẫn: Vẽ điểm K cho BC đƣờng trung trực MK, sau chứng minh AK AB phản chứng
145*(9). Tam giác ABC cân có B C 50 Trên cạnh BC lấy điểm D cho CAD 30 Trên cạnh AC lấy điểm E cho ABE 30 Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh tam giác IDE tam giác cân, tính góc tam giác
146*(10). Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho MA MB MC: : 1: : Tính AMB
147*(10). Điểm M nằm bên tam giác ABC cho MA MB MC: : 3: : Tính AMB 148** (9). Cho tam giác ABC cân A có A 20 Các điểm M , N theo thứ tự thuộc cạnh bên
(53)MỘT SỐ ĐỊNH LÍ BỔ SUNG
Mục giới thiệu ba định lí bổ sung đƣờng trung bình tam giác tính chất đƣờng trung tuyến tam giác vng Chúng đƣợc giới thiệu chƣơng trình Hình học Tuy nhiên chứng minh đƣợc định lí kiến thức Hình học 7, nhƣ nhiều tốn hình học đƣợc giải với kiến thức lớp
I - ĐỊNH LÍ VỀ ĐƢỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Định lí bổ sung 1, Ví dụ 34(8)
Đƣờng thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba
Chứng minh:
Xét ABC có D trung điểm AB, DE//BC (h.31) Kẻ EF // AB
Ta có DE //BF , DB // EF nên dễ dàng chứng minh đƣợc EFDB, EF AD ADE
EFC có: AE (đồng vị, AB // EF) ADEF
1
D F (cùng B)
Do ADE EFC (g.c.g), suy AEEC
Ta gọi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đƣờng trung bình tam giác Định lí bổ sung Ví dụ 35(8)
Đƣờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Hình 31
1 1 1
F E D
B C
(54)Chứng minh :
Xét ABC, có D, E theo thứ tự trung điểm AB, AC (h.32) Vẽ điểm K cho E trung điểm DK
AED CEK
(c.g.c) suy ADCK AC1 Do DBCK (cùng AD) //
DB CK BDC
KCD có: CD: cạnh chung
BDCKCD (so le trong, DB // CK)
DBCK
Do BDC KCD (c.g.c), suy BCDK C2 D1
Từ DK // BC
2 DK BC DE
Ví dụ 36(9)
Cho tam giác ABC cân A,Dlà trung điểm AC Trên tia đối tia BC lấy điểm E cho
2
CE BC Chứng minh tam giác BDE tam giác cân Hình 32
2 1
1
K
F E D
B C
(55)Giải (h.33) : Gọi F trung điểm AB
FD đƣờng trung bình ABC nên FD // BC,
2 BC
FD Ta lại có
2 BC
CE nên FDCE
FDCECD(c.g.c) nên FCDE 1
ABD ACF(c.g.c) nên FDCE 2
Từ (1) (2) suy BDDE Vậy BDE cân D Hình 33 II – TÍNH CHẤT ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG
Định lí bổ sung Ví dụ 37(15)
Trong tam giác vuông , đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Chứng minh :
Giả sử AM BMthì AM MC Do BBAM C, MAC, suy B C BAC , vơ lí Giả sử AM BMthì AM MC.Do B BAM C, MAC, suy B C BAC, vơ lí
Vậy AM BM,
AM BC
Ví dụ 38 (15)
Gọi AM đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền ABC vuông, lấy điểm D cho M trung điểm AD (h.34) Cách (dùng đến kiến thức §7)
F
E D
C B
(56)Ta dễ dàng chứng minh đƣợc ABCD AB C, // D A, CD90 Do ACD =CAB(c.g.c), suy ADCB
Vậy AM BC
Cách (dùng đến kiến thức §12) Chứng minh phản chứng :
Giả sử AM BM AM MC Do ,
BBAM CMAC, suy B C BAC , vơ lí Giả sử AM BMthì AM MC Do
,
B BAM C MAC, suy B C BAC, vô lí
Vậy AM BM, AM BC
Hình 34
Ví dụ 38 (15). Cho tam giác ABC vuông A, đƣờng trung tuyến AM Kẻ AH vng góc với BC Qua H vẽ đƣờng vng góc với AC, cắt AM N Chứng minh BN vng góc với AM
Giải (h.35)
AMlà đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền ABC vuông nên MA MB Dễ thấy tam giác MAB MNH, cân M
BMN AMH
(c.g.c) nên BNM AHN 90 Hình 35
M
D
C B
A
E D
C
B A
(57)Bài tập Đƣờng trung bình tam giác
149(8) Cho hai điểm A B nằm phía đƣờng thẳng d Gọi Clà trung điểm AB Kẻ , ,
AD BE CHvng góc với d Cho biết AD = 4, BE = 6, tính CH
150(8).Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC I, trung điểm AM D, giao điểm CI AB Chứng minh
2 AD DB
Hình 36
151(8) Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC cho
2
BD DC Kẻ BH CK vng góc với AD Chứng minh
2 BH CK
152(8) Cho hình 36 Tình độ dài DE biết AC = 4, AB = 6, CD = 153(8) Cho tam giác ABC Gọi I Ktheo thứ tự chân đƣờng vng góc B C
a Chứng minh IK song song với BC b Tính độ dài IK theo cạnh ABC
154(8) Gọi D E F, , theo thứ tự trung điểm cạnh BC AC AB, , tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác ấy, vẽ đoạn thẳng FK vng góc FA EG, vng góc EA Chứng minh
a) KFD DEG
b) DKG tam giác vuông cân
155(8). Cho tam giác ABC Các điểm ,D E theo thứ tự thuộc cạnh AC AB, cho AD AC,
3
AE AB Gọi M trung điểm BC Chứng minh đƣờng thẳng BD CE AM, , đồng quy
E
D
C B
A
x
2
(58)156(15) Cho tam giác ABC Gọi D E, theo thứ tự trung điểm AE BC Vẽ điểm M N, cho C trung điển EM, B trung điểm DN Gọi K giao điểm DM AC Chứng minh ba điểm N E K, , thẳng hàng
157(15) Cho tam giác ABC, đƣờng trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE IA Gọi Nlà trung điểm EC Chứng minh đƣờng thẳng AM qua điểm N
158(15) Chứng minh độ dài đƣờng trung tuyến tam giác nhỏ tổng độ dài hai đƣờng trung tuyến
159*(15). Cho tam giác ABC cân A, đƣờng trung tuyến CD Trên tia đối tia BA lấy điểm Ksao cho BK BA.Chứng minh
2 CD CK
160(18) Cho tam giác ABC vuông A, đƣờng cao AH Gọi D E, theo thứ tự lần lƣợt trung điểm BH AH, Chứng minh ABC vng góc với AD
161(17) Gọi O giao điểm đƣờng trung trực tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ điểm A',
'
B , C'sao cho BC CA AB, , theo thứ tự đƣờng trung trực OA', OB' OC' Chứng minh ' ' '
A B C ABC
162*(9) Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác B C M, trung điểm BC Biết BMI= 90 BI 2IM
a) Tính BAC
b) Vẽ IHAC Chứng minh rằngBA 3IH
163*(9) Cho tam giác ABC Lấy điểm D E, theo thứ tự cạnh AB AC, cho BD CE Gọi M N, theo thứ tự trung điểm BC DE, Chứng minh đƣờng thẳng MN tạo với đƣờng thẳng AB AC, góc
(59)165*(9). Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, tam giác ,
AMC BMD Gọi E F, theo thứ tự trung điểm AD BC, Chứng minh
2 CD EF
166*(9). Trên cạnh góc vng AB, AC tam giác vng cân ABC, lấy điểm D E cho AD AE Qua D, vẽ đƣờng thẳng vng góc với BE, cắt BCở K Qua A vẽ đƣờng thằng vuông góc với BE, cắt BC H Chứng minh KH HC
167*(9). Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho AD CE Gọi I trung điểm DE, K giao điểm AI BC Chứng minh AI IK 168*(9). Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm M thuộc cạnh AC Gọi I K, theo thứ tự trung điểm BM AC, Qua A vẽ đƣờng thẳng vng góc với IK, qua C vẽ đƣờng thẳng vng góc với
AC, chúng cắt H Chứng minh tam giácMCH tam giác vuông cân
169*(15). Cho tam giác ABC có A120 , AB = 4, AC = Tính độ dài đƣờng trung tuyến AM 170*(15). Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt Gọi A B’, ’, ’, ’C D theo thứ tự trọng tâm tam giác BCD ACD ABD ABC, , , Chứng minh đƣờng AA BB’, ’, CC’, DD’đồng quy
171*(18) Cho tam giác ABC cân A, đƣờng cao AD Kẻ DH vng góc với AC Gọi I trung điểm DH Chứng minh AI vuông góc với BH
172*(18). Tính góc tam giác cân biết đƣờng phân giác ứng với cạnh đáy nửa đƣờng phân giác ứng với cạnh bên
173*(9) Cho tam giác ABC vuông cân A M, trung điểm BC Trên tia đối tai MA lấy điểm D cho
2
MD MA Gọi E trung điểm AC Tính góc tam giác BDE
174*(18). Tìm liên hệ khoảng cách từ giao điểm đƣờng trung trực tam giác đến cạnh khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh đối diện với cạnh
175*(18). Chứng minh trực tâm, trọng tâm tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác nằm đƣờng thẳng ( đƣờng thẳng Ơ- le)
(60)Đƣờng trung tuyến tam giác vuông
176*(15). Cho tam giác ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC Gọi D E, theo thứ tự trung điểm AB AC, Tính DHE
177(15). Cho tam giác ABC vuông A, AC AB, đƣờng trung tuyến AM Kẻ AH vng góc với BC Chứng minh MAH B C
178(18) Cho tam giác ABC vuông A, đƣờng trung tuyến AM Qua A kẻ đƣờng thẳng d vng góc với AM Qua M kẻ đƣờng thẳng vng góc với AB với AC, chúng cắt d theo thứ tự D E Chứng minh
a) BD CE// b) DEBD CE
179(15) Gọi O điểm nằm tam giác ABC cho ABOACO Vẽ OH vuông góc với AB , vẽ OK vng góc với AC Gọi M trung điểm BC
a) Gọi E F theo thứ tự trung điểm OBvà OC Chứng minh OEH OFK b) MH MK
180*(15) Tam giác ABC cân A, đƣờng phân giác BD Qua D vẽ đƣờng thằng vng góc với BD cắt BC E Chứng minh BE 2CD
181*(18).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ,các đƣờng cao BD CE, Chứng minh ADE ABC 182*(18) Cho tam giác ABC Gọi M N P, , theo thứ tự trung điểm BC CA AB, , Các đƣờng trung trực tam giác gặp O Các đƣờng cao AD BE CF, , gặp H Gọi I K R, , theo thứ tự trung điểm HA HB HC, ,
a) Chứng minh HO IM cắt Q trung điểm đoạn
b) Chứng minh
2 QI QM QD OA
c) Hãy suy kết tƣơng tự nhƣ kết câu b
(61)Bài đọc thêm
Ơ-LE VÀ BÀI TOÁN BẢY CHIẾC CẦU
Đƣờng thẳng qua trực tâm, trọng tâm tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác đƣợc gọi đường thẳng Ơ-le Tên Ơ-le đƣợc đặt cho đƣờng trịn qua chín điểm : ba trung điểm cạnh , ba chân đƣờng cao , ba trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh tam giác
Lê-ô na Ơ-le (Léonard Euler) sinh Thụy Sĩ năm 1707 Năm 20 tuổi, ông đƣợc mời đến Pê- tec-bua (Nga) giảng dạy năm sau, ông trở thành Viện sĩ Vieenh hàn lâm khoa học Pê-tec-bua
Ơng làm việc khơng biết mệt mỏi với suất phi thƣờng Năm 28 tuổi, Ỏ-le nhận làm ba ngày tính tốn thiên văn để lập dồ, công việc mà viễn sĩ cho phải làm vài tháng Và ông làm xong có ngày đêm ! Vào cuối đời mình, Ơ-le thông báo cho Vieenh hàn lâm Pê-tec-bua ông để lại số báo đủ đăng tạp chí khoa học Viện tỏng 20 năm Sau ông mất, công trình chƣa công bố ông cịn nhiều đến mức tạp chí Viện đăng 47 năm hết (theo tạp chí Kvant số 11-1983)
Bằng khả lao đọng kì diệu mình, Ơ-le đẻ lại cho giới di sản đồ sộ : tên 800 cơng trình ơng đƣợc in thành bốn vạn trang sách, đề cập đến nhiều lĩnh vực khác nhƣ số học, đại số, giải tích, hình học, lƣợng giác, học, thiên văn, hàng hải, triến học, , cơng trình tác phẩm khoa học xuất sắc Một điều đáng ý thảo, Ơ-le không viết kết nghiên cứu mà cịn trình bày q trình suy nghĩ khó khăn ơng vƣợt qua để đến kết Chính mà Gau-xơ nói : “Việc học tập tác phẩm Ơ-le cách tốt để hiểu tốn học”
Ơ-le Pê-tec-bua năm 1973 ơng coi nƣớc Nga nhƣ Tổ quốc thứ hai mình, nơi ông làm việc tổng cộng 31 năm Các ơng lấy quốc tịch Nga, có ngƣời viện sĩ hàn lâm, có ngƣời tƣớng
(62)lần Khơng khó khăn để tìm đƣợc cách vẽ, nhƣng khơng phải đặt bút tù điểm hình vẽ đƣợc
Cịn hình 38 sao? Phải vẽ nét, tức đƣờng liền nét mà không nhấc bút khỏi tờ giấy không vẽ hai đoạn trùng nhau?
Dân chúng thành phố Kơ-nic-xbec (sau Đổi Ka-li-nin-grat) hồi kỉ XVIII sơi tốn nhƣ Hai đảo thành phố nối với nối với phần phố nằm hai bên bờ sông Prê-ghen bảy cầu (h.39) Các khách du lịch thăm bảy cầu thành phố nhận thấy họ phải qua cầu lần Có cách qua bảy lần không ? Chính Ơ-Le giải trọn vẹn tốn Trƣớc hết ta gọi đỉnh đỉnh lẻnếu từ xuất phát số lẻ đoạn (nhƣ đỉnh A, E hình 37), đỉnh chẵn từ đỉnh xuất phát số chẵn đoạn (nhƣ đỉnh B, C, D, G hình 37) Ơ-le chứng minh hình liên thơng (hình mà từ điểm hình tới tất điểm khác hình) có tính chất sau : Hình khơng có đỉnh lẽ vẽ đƣợc nét khép kín (điểm đầu vá điểm cuối nét vẽ trùng nhau)
G
E D C
B
A
I
H G E D
C
B
(63)2.Hình có hai đỉnh lẽ vẽ đƣợc nét khép kín (phải xuất phát từ đỉnh lẻ kết thúc đỉnh lẻ kia)
3 Hình có 2n đỉnh lẻ (hình có số chẵn đỉnh lẻ) khơng thể vẽ đƣợc với n nét
Trở lại tốn bảy cầu Vì ta quan tâm đến việc qua cầu nên ta kí hiệu khu vực A, B, C, Dcủa thành phố điểm A, B, C, D, Còn bảy cầu đƣợc biểu thị bảy đƣờng nối Hai điểm (h.40) Hình có bốn đỉnh lẻ, Nên khơng thể vẽ đƣợc nét Nhƣ vậy, Không thể qua bảy cầu mà qua Mỗi cầu lần (sau ngƣời dân Ka-li-nin-grat xây thêm cầu thứ tám) Nếu bảy cầu có vị trí nhƣ hình 41 qua cầu lần hình vẽ có hai đỉnh lẻ A B: hành trình xuất phát từ A kết thúc B, lần lƣợt qua cầu ghi số từ đến
Với nhận xét trên, ta thấy:
- Các hình 42, 43 khơng thể vẽ đƣợc nét có bốn đỉnh lẻ A, B, C, D
Hình 42
Hình 43 D
C B
A
D
C B
(64)Hình 44
Hình 45
- Hình 45 có hai đỉnh lẻ A C, vẽ đƣợc nét (vẽ xuất phát từ A C, chẳng hạn
AGBCDAEDGEC)
- Các hình 46, 47, 48 khơng có đỉnh lẻ, vẽ đƣợc nét khép kín, chẳng hạn theo hành trình
CABCDEACEBDA (h.46) ABCDAEGHIKA (h.47) ABCDEGHIKLGAMNOPA (h.48)
Những tốn khơng đơn có tính chất giải trí Các nhân viên đƣa thƣ, đƣa báo, đội tuần tra, xe tƣới đƣờng, xe chuyển hàng, xe đƣa đón khách tham quan, tất cần theo đƣờng hợp lí để tiết kiệm Tìm đƣợc hành trình ngắn nhất, điều có ý nghĩa kinh tế khơng nhỏ Giải toán bảy cầu, Ơ-le đặt sở lí thuyết cho ngành tốn học ứng dụng lí thuyết đồ thị
I
H G
E D
C
B A
G
E D
C
(65)LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ
PHẦN ĐẠI SỐ CHƢƠNG III- THỐNG KÊ §11 Bảng tần số biểu đồ
167
Chữ N G A H O V I E C T D L Y Tần số 4 1 2 1
Mỗi chữ A N xuất lần, tần suất: 27 Mỗi chữ O T xuất lần, tần suất:
27 9 168. Bạn đọc tự giải
169. Bạn đọc tự giải
170. Ở Hà Nội, tháng nóng tháng 7, tháng lạnh tháng 12, nhiệt độ chênh lệch :13,8 Ở Huế, tháng nóng tháng 7, tháng lạnh tháng 12, nhiệt độ chênh lệch :11, 4
Ở Đà Lạt, tháng nóng tháng 4, tháng lạnh tháng 12, nhiệt độ chênh lệch :3 §12 Số trung bình cộng
171. a) Điểm trung bình An : 78,3:107,8 Điểm trung bình Bách : 71, :107, b) Điểm trung bình An : 93:12 7,8
(66)Điểm trung bình xạ thủ B: 6,4
175. Ngành cơng nghiệp có số dự án đƣợc cấp giấy phép nhiều (là 218 dự án) 176. a) Với n giá trị cũ a ,a , ,a1 2 n trung bình cộng a + a + + a1 2 n
n Với n giá trị a + a,a + a, ,a + a1 2 n trung bình cộng là:
a + a + a + a + + a + a1 2 n = a + a + + a1 2 n + a
n n
Vậy trung bình cộng tăng a đơn vị b) Trung bình cộng tăng 10%
177. Tuổi trung bình ngƣời đƣợc thống kê là: 11.34 10.32 374 320 694 33
21 21 21 21
178. Đáp số: 11
179. Gọi số trung bình cộng lúc đầu (trung bình cộng 27 số) a Tổng 27 số 27a Số trung bình cộng lúc sau : 27
28 a + a
a
Vậy số trung bình cộng lúc sau số trung bình cộng lúc đầu 180. Kết :
3 a +b+ c A
Kết mà Tâm tính : 2
2
a +b + c
a +b+ c
B = =
Ta thấy :
2 4a 4 3a
0
3 12 12 12
a c b c
a b c a b c b c b c a b c
A B
(67)CHƢƠNG IV- BIỂU THỨC ĐẠI SỐ §13 Giá trị biểu thức đại số
181. a) 27
b)
3 2. 5
2a 4 14
3 3 a b b a a b b
c) Cách : Thay a b7ta đƣợc :
3 7
3a 21
1 2a 7 7 21
b b b b
b b a b b
b b b b b
(Chú ý 2b21 0, 2 b 7 0) Cách 2: Thay a b
182 1; 2; 3; 38
183. Ta có: f 1 a.1 b a b Do f 1 1 nên a b 1 (1) Ta có: f 2 a.2 b 2a b Do f 2 4 nên 2a b 4 (2) Từ (1) (2) suy a3,b 2
184. Vì f x( )0với x nên ta cho x nhận ba giá trị tùy ý, chẳng hạn x =0, x = , x =1 -1 Ta có f 0 c f; 1 a b c f; 1 a b cnên c0;a b c 0;a b c 0
Do đó: a b 0;a b 0 a 0;b0 Vậy a b c
185. Cho x0 P 0 c 3, cho x1 P(1) a b c 3, cho x 1 P( 1) a b c Từ a b 3,a b 3, suy 2a 3nên a 3,b Vậy a, b, c chia hết cho
186. Giải tƣơng tự nhƣ 185
(68)2
' '
ax bxa x b x với x (2)
Thay x1 vào (2) đƣợc a+b = a' +b', thay x 1 vào (2) đƣợc a b = a' b' Suy 2a = a'2 nên aa' Từ suy bb'
188 f x = xa 2bxc Từ f = f -1 suy b0 Do f x = ax +c 2 thỏa mãn f x = f -x 189 f x x f x x với x (1)
Thay x1 vào (1) đƣợc f 1 f 1 Thay x 1 vào (1) đƣợc f 1 f 1 Suy 2f 1 2nên f 1 1
§14 Tích đơn thức
190. Tích hai đơn thức bằng:
3x y 5x y 15x y
Hai đơn thức có giá trị dƣơng 191. Tích ba đơn thức 8
10x y , ba dơn thức khơng thể có giá trị âm 192. Hai đơn thức dấu nên tích chúng số dƣơng
Ta có : 6a7 8b 0 a7 8b 0 a7 0 a
193. Giả sử bốn đơn thức âm tích chúng số dƣơng, tức abcd2 0, vơ lí Vậy bốn đơn thức khơng thể có giá trị âm
§15 Cộng trừ đơn thức, đa thức
194. a) 10n16.10n10.10n6.10n 4.10n b) 11.2n
c) d)
195. 7.327.25252.254.2525 26 27 196. a) 6a22 + 5a
(69)c) Với
x biểu thức 3x2, với
x biểu thức 7x4 197. a) x2; b) x12
198. 2
4
M x xyy
199. Gọi số tự nhiên có hai chữ số ab10a b a) 10a b 10b a 11a b 11
c) 10a b 10b a 9 a b
200. Có số thỏa mãn tốn là: 29,38, 47,56, 65, 74,83,92 201 100a10b c 100b10c a 100c10a b 666
111 a b c 666 a b c Do a b c nên a3,b2,c1 Đáp số : 321
202. Ta có : nabc bca cab 111a b c 37.3a b c
Giả sử n số phƣơng phân tích n phải chứa thừa số nguyên tố 37 với mũ chẵn nên
3 a b c 37, từ a b c 37 Điều khơng xảy 1 a b c 27 Vậy không tồn số tự nhiên abc thỏa mãn toán
203 abc 7100a10b c 798a7b2a3b c 72a3b c (1) Theo đề : 2a2b2 7c (2) Từ (1) (2) : 2a3b c 2a2b2c 7 b c 7 b c 7; 0; 7
Trƣờng hợp b c 7có :
c
b
(70)Trƣờng hợp b c 7có :
b
c
a
Trƣờng hợp b c 0có :
c
b
a
Tất có 10 số thỏa mãn toán :
770,581,392, 707,518,329, 266, 455, 644,833 204. a) 3a5b8c3a3b8c8b3a b 8 c b Do : 3a b từ a b
Do abnên a b 8; 8
Trƣờng hợp a b 8cho c b 3 Ta có :
a
b
c
Trƣờng hợp a b 8cho c b 3 Chú ý a0, ta có :
b
a
c
Tất có số thỏa mãn toán : 803,914,196
b) Từ
2
bca cab
(71)Giải tƣơng tự nhƣ câu a Đáp số: 481,592, 629,518
205. a) Gọi số phải tìm ab, ta có :
6 10 10 10
ab ab a b ab ab ab b ab a
Do 10a 6a1 Dễ thấy avà 6a1 hai số nguyên tố nên 10 6a1 Ta có : 6a1 10
6a 11
a Loại Loại Loại
b
Số phải tìm 12 b) Giải tƣơng tự câu a Đáp số: 36
206. Ta có abcd ab cd (1) 100ab cd ab cd (2) cd ab
Đặt dc k ab với kN,1 k (3) Thay vào (2) :
100.ab k ab ab ab
100k k ab (4) 100 k (5) Từ (3) (5) suy k1; 2; 4;5
Với k1 thay vào (4) : 101 ab, loại
Với k2 thay vào (4) : 102 2.ab51 ab Khi : 17
(72)Với k4 thay vào (4) : 104 4.ab26 ab Khi : 13
ab cd 52, ab26 cd 104 (loại) Với k5 thay vào (4) : 105 5.ab21 ab Khi :
21
ab cd 105 (loại)
Kết luận : Có hai đáp số : 1734 1352 §16 Nghiệm đa thức
207. a)
3 ; b) 2 ; c) -5 ; d) Khơng có nghiệm 208. a) Với x1 f 1 5.137.124.1 2 5
Vậy nghiệm đa thức
b) Với x1 f 1 a.13b.12c.1 d a b c d Vậy nghiệm đa thức
209. Chứng tỏ f 1
210. x22 + = x x2 x x 1 x x 1 x 1 x1x 1 x12 1 Vậy đa thức x22x2 khơng có nghiệm
(73)Chuyên đề
PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
212. Giả sử a3 b2 không nguyên tố chứng chia hết cho số nguyên tố d Chứng tỏ điều vơ lí
213. a) Nếu n2 abab101.ab ab101.k2, vơ lí b) Giải tƣơng tự câu a
214. Giải tƣơng tự ví dụ 59
215. Nếu lồng có số thỏ chẵn tổng số thỏ số chẵn 216. Giả sử điểm nối ba điểm khác số đoạn thẳng 3.13
2 , khơng có số tự nhiên, vơ lí
217. Gỉa sử ngƣời có số ngƣời quen số lẻ số cặp quen khơng số tự nhiên Giải tƣơng tự nhƣ ví dụ 61b
218. a) Xem hình 49 Dễ dàng tính đƣợc tổng số hàng , cột, đƣờng chéo 15
4 11 Hình 49
b) Cách (h.50) Giả sử số vị trí a b c d h e k 14 nên b c d h e k 42, 43
a b c d h e k Vậy i g 2, vơ lí
Giả sử có số vị trí ethì e k c h b i d g 14 nên a k c h b i d g 56, vơ lí Vậy số khơng thể góc bảng bảng
Cách 2: Xét ba số khác có tổng bẳng 15 số bang tổng hai số 14 Chúng 9+5 8+6 Nhƣ số có mặt hai tổng khác 5 6
1
Nếu số phải có mặt bốn tổng khác nhau, số góc phải có mặt ba tổng khác nhau, trái với 1
a b c
d e g
h i k
(74)219. Giả sử không tồn viên bị cách hai viên bi màu với 1
Đánh số viên bi theo thứ tự a a1, 2, ,a9 Xét viên bi (viên bi a5), giả sử có màu đỏ (nếu có màu xanh, chứng minh tƣơng tự ) Có hai trƣờng hợp:
a) Cả hai viên bị bên cạnh a5đều màu xanh (h.51)
Hình 51
Do a4 a6 màu xanh nên từ 1 suy a2 màu đỏ, a8 màu đỏ Như vậy, a2,a5,a8 màu đỏ, mâu thuẫn với 1
b) Tồn viên bi bên cạnh a5 có màu đỏ, chẳng hạn a4màu đỏ (h.52, a6 màu đỏ chứng minh tương tự)
Hình 52 Từ (1) suy ra:
3
a a6 màu xanh (do a4và a5màu đỏ),
9
a màu đỏ (do a3 a6 màu xanh ),
1
a màu xanh (do a5 a9 màu đỏ)
2
a màu đỏ (do a1 a3 màu xanh ),
8
a màu xanh (do a2và a5 màu đỏ)
7
a màu đỏ (do a6và a8màu xanh)
Nhƣ a5, a7, a9 màu đỏ, mâu thuẫn với 1
220. Giả sử không tồn hai bi xanh cạnh nhau 1 khơng có hai bi đỏ cạnh nhau, bi xanh phải xếp xen kẽ, có 10 bi xanh
Xét hai bi xanh đỏ đối diện tren vòng tròn: viên bi đỏ đƣợc đánh so 1, viên bi xanh đối diện đánh số 11 Do bi xanh đỏ đƣợc xếp xen kẽ nên bi xanh mang số 2, 4,6,8,10 Lại xảy hai bi xanh số 10 số 11 cạnh nhau, mâu thuẫn với 1
Đ X Đ X
9
Đ
X Đ X Đ Đ X Đ X
(75)Vậy phải tồn hai bi xanh cạnh
NGUYÊN LÍ ĐI-RICH-LÊ 221.1000 thỏ 1000 học sinh, 23 lồng 23lớp
222. Ta phân chia 50 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng có khơng q học sinh số học sinh khơng q: 4.1248 50, vơ lí
Ở này, 50 thỏ 50 học sinh, 12 lồng 12 tháng, 50 chia 12 đƣợc dƣ Tồn 5 học sinh có tháng sinh nhƣ
223 Có 49 học sinh thuộc ba loại: thiếu 0, 1, tập 49 chia đƣợc 16 dƣ Tồn 16 17 học sinh thuộc loại
224 Có Giả sử 20 học sinh lớn tuổi lớp có tổng số tuổi khơng q 260 tồn học sinh số có tuổi khơng q: 260 : 20 13
14 học sinh lại không 13 tuổi nên tổng số tuổi họ khơng q: 13.14 192 Do tổng số tuổi lớp không quá: 260 192 252460, trái với đề
225. Tổng số học sinh giỏi ba lớp ,A ,B 6C lớn bằng: 44 10 34
Giả sử số học sinh giỏi lớp ,A ,B 6C không 11 học sinh giỏi ba lớp không 33, nên mâu thuẫn với 1
226. Có n học sinh, học sinh nhận đƣợc từ đến n1 ảnh, tồn hai học sinh nhận số ảnh nhƣ
227. Giả sử khơng có số kẹo bang số kẹo 10 em 1, 2,3, ,10, tổng số kẹo lớn 10 5550, trái với đề
228. Chia sân hình vng 16 hình vng nhỏ cạnh mét Có 16 hình vng chứa 33 chim nên tồn hình vng có chim đậu bên cạnh Vẽ đƣờng trịn có tâm hình vng với bán kính met đƣờng trịn chứa hồn tồn hình vng nhỏ
229. a) Chứng minh phản chứng Giả sử 50 số dao tồn giá trị khác a b c d m, , , , giả sử: a d c d m 1
Vì , , ,a b c d lập thành tỉ lệ thức nên ad bc 2 (Chú ý khơng thể có abcd acbd)
(76)Vậy 50 số cho có nhiều số khác
b) Từ câu a suy từ 50 số cho nhận nhiều giá trị Phép chia 50 cho 12, cịn dư Vậy có nhất: 12 13 số
230. Nếu lấy năm số xảy trƣờng hợp số dƣ chia cho số 0,1, 2,3, 4, khơng có hai số có hiệu chia hết cho
Nếu lấy số tồn hai số có số dƣ chia cho 5, hiệu chúng chia hết cho Vậy phải chọn số
231. a) Xét 24 số 4, 44, 444, …,
24
44
b) Xét 18 số 219, 219219, … ,
nh óm 219
219 219
232 Có ba số tự nhiên, chia có hai số dƣ pháp chia tồn hai số có số dƣ Hiệu hai số chia hết cho 2, tổng chúng chia hết cho
233. a) Dễ chứng minh
b) Khi chia số cho 3, số dƣ 0, 1,
Nếu có ba số số dƣ (Tức lồng khơng q hia thỏ) tồn ba số có số dƣ khác (tức lồng phải có thỏ) tổng ba số chia hết cho 3(Vì 2 3 )
234. Một số nguyên tố lớn chia cho 13 có số dƣ là: 1, 5, 11
Xếp ba số nên tố cho vào hai nhóm: Nhóm thứ gồm số có số dƣ 11, Nhóm thứ hai gồm số có số dƣ Tồn hai số thuộc nhóm Nếu hai số có số dƣ hiệu chúng chia hết cho 12.; hai số có số dƣ khác tổng chúng chia hết cho 12 235. a) Tập hợp số dƣ chia số cho 50 là: 0;1; 2; ; 49 , gồm 50 phần tử.
Trong 51số cho, tồn hai số có số dƣ chia cho 50, chẳng hạn am an, giả sử
m n
a a , aman 50
Do 0aman 100 nên aman 50
b) Gọi 51 số cho a a1, 2, ,a51, giả sử a1a2 a3 a51 Xét 102 số sau chia thành hai nhóm:
- Nhóm thứ gồm 51 số cho xếp theo thứ tự tăng dần:
1 51
(77)- Nhóm thứ hai gồm 51 hiệu, xếp giảm dần: 100 a1 101a2 101a51.
Ta có 102 số nguyên dƣơng lấy từ tập hợp 1; 2;3; ;100 Vậy tồn hai số nhau, hai số thuộc hai nhóm khác nhau, chẳng hạn am thuộc nhóm 101an thuộc nhóm Khi
101
m n
a a nên aman 101
Hai số am an khơng thể tổng chúng số lẻ Đó hai số 51 số cho có tổng 101
236. Giả sử a, b, c ba số đƣợc chọn mà a b b c c a , , chia hết cho 26 Xét hai trƣờng hợp:
a) Trong ba số a b c, , có số chia hết cho 26 Khi hai số phải chia hết cho 26, ba số chia hết 26
Ta có: 2018 chia 26 đƣợc 77 16 Nhƣ ta chọn dãy 1 so: 21.1, 26.2, , 26.77 (có 77 số) số cho nhiều thỏa mãn toán
b) Trong ba số a b c, , khơng có số chia hết cho 26 Gọi số dƣ ba số chia cho 26 a b c', ', ' Do a b b c c a , , chia hết cho 26 nên a'b b', 'c c', ' a' 26.Suy a' b' c' 13 số
, ,
a b cchia 26 dƣ 13
Ta có: 2018 chia 13 đƣợc 155 dƣ 13 Nhƣ ta chọn dãy 1 số: 13.1,13.2, ,13.155 (có 78 số) số chọn nhiều 78 số thỏa mãn toán
Kết luận: So sánh hai trƣờng hợp trên, ta chọn nhiều 78 số thỏa mãn toán 237. Nhận xét A
Nhận xét B (Xem ví dụ 70)
Nhận xét C không Khi vịng đấu loại kết thúc có tất 10 trận đấu Ngồi trận có lần bóng vào lƣới, cịn lại trận số lần bóng vào lƣới Số lần bóng vào lƣời trận có khả năng: 6, 5, 4, 3, 2, 1, Nhốt thỏ vào lồng, ta khẳng định tồn hai thỏ lồng, tức chắn có hai trận có số lần bóng vào lƣới nhƣ chƣa có ba trận nhƣ C nói (Chẳng hạn số lần bóng vào lƣới trận 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, )
238. Giải tƣơng tự nhƣ ví dụ 71 Chú ý từ Ơ chuyển đến cần khơng q bƣớc chuyển, hiệu số nhỏ so lớn hình 18 17
(78)240. Nếu hai học sinh quen chọn bốn ngƣời ngồi quanh bàn tròn đƣợc Giả sử tồn hai HS không quen
(Gọi hai học sinh A B), ta xét hai học sinh ngồi đối diện (h.53), so 98 học sinh cịn lại, A quen 50 ngƣời, B quen
50 ngƣời, có ngƣời ( 50 50 98 2)
quen A B Gọi hai ngƣời C D Ta việc xét hai ngƣời ngồi hai chỗ cịn lại (h.53)
CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN
241. Lúc đầu có tờ giấy, sau lần cắt số mảnh tăng thêm 3, tổng số giấy có dạng
1 3 n nΝ , khơng thể 90
242 a) Xét tính chẵn lẻ dãy cho: 1, 2, 3, 6, 1, 0, ta thấy dãy cho có dạng Lẻ, chẵn, lẻ, chẵn, lẻ, chẵn, lặp lại nhƣ
Bộ ba số 3, 5, có dạng: lẻ, lẻ, chẵn, khơng có mặt dãy cho b) Bộ ba 6, 9, khơng có mặt dãy cho
243. Dãy cho có dạng:
Chẵn, lẻ, lẻ, chẵn, lẻ, lẻ, lặp lại nhƣ
Bộ ba 2, 4, 6, có dạng: chẵn, chẵn, chẵn Do khơng có mặt dãy cho
244. a) Trƣờng hợp xấu lấy 13 bi gồm bi vàng trắng, bi đỏ, bi xanh, không đạt yêu cầu Nếu lấy thêm bi viên bi phải bi đỏ bi xanh, chắn có bi màu Vậy số bi phải lấy để chắn có bi màu 14 bi
b) Đáp số 15 bi; c) Đáp số: 16 bi
245 Trƣớc hết tìm tƣơng ứng tên ngƣời tên trƣờng, sau tìm tƣơng ứng giữu tên ngƣời thọ
Hình 53 A
D
(79)Đáp: Phạm Thu học trƣờng Trƣng Vƣơng, Nguyễn Hằng học trƣờng Quang Trung, Lê Oanh học trƣờng Hoàn kiếm
246. A biết tiếng Việt Và Anh, B biết tiếng Nga Anh, C biết tiếng Nga Pháp, D biết tiếng Anh Pháp
247. Xét trạm A liên lạc với 16 trạm khác ba phƣơng tiện, tồn trạm liên lạc với A phƣơng tiện, chẳng hạn phƣơng tiện a
a) Nếu trạm có hai trạm liên lạc với phƣơng tiện a A hai trạm ba trạm phải tìm
b) Nếu trạm khơng có hai trạm liên lạc với phƣơng tiện a chúng liên lạc với hai phƣơng tiện b c Khi trạm tồn ba trạm liên lạc với phƣơng tiện (xem ví dụ 75)
248. Xét hai trƣờng hợp:
a) Có hàng chứa ba quan cờ trở lên: chọn hàng Còn ba quân cờ tiếp theo, chọn hàng chứa quân cờ thứ tƣ, chọn hai cột chứa quân cờ thứ năm, thứ sau
b) Khơng có hàng chứa ba quân cờ: tồn hai hàng, hàng chứa hai quân cờ (Nếu tồn hàng chứa hai quân cờ, ba hàng chứa quân cờ số quân cờ 1 6 ) Chọn hai hàng này, hai quân cờ thứ năm, thứ sáu, chọn cột cờ chứa hai quân cờ
249. Tơ màu bàn cờ ví dụ 76 Mỗi hình chữ I lấp ô đen, ô trắng nên hình chữ I lấp đen, trắng Cịn lại 30 đen, 30 trắng
Mỗi hình chữ T lấp số lẻ đen, số lẻ trắng nên 15 hình chữ T lấp số lẻ ô đen, số lẻ ô trắng, lấp đƣợc 30 ô đen, 30 ô trắng
Vậy khơng thể lấp kín bàn cờ hai hình chữ I 15 hình chữ T 250. Ở hai dòng đầu viết số:
1 Tổng số cột
Ở hai dòng cuối viết số:
(80)Chú ý: Ta xếp 16 số vào 16 ô bảng để tổng số dòng, cột, đƣờng chéo nhau:
Đặt 16 số nhƣ hình 54 chuyển số thuộc hai đƣờng chéo, đến vị trí đối xứng với qua tâm hình vng (h.55)
251. Đặt cân kg lên đĩa cân, san lƣợng bột kg vào hai đĩa cho thăng Lƣợng bột hai đĩa cần có tổng kg., hiệu kg nên 2,5kg 1, kg
252. Chia nhẫn thành ba nhóm A, B, C, nhóm
Lần (xác định nhẫn nhẹ thuộc vào nhóm nào): Đặt nhóm B nhóm A lên hai đĩa cân, cân thăng nhẫn nhẹ thuộc nhóm C cân khơng thăng nhẫn nhẹ thuộc đĩa cân nhẹ
Lần ( Xác định nhẫn nhẹ nhẫn nào): Đặt hai nhẫn nhóm chứa nhẫn nhẹ lên hai đĩa cân giải tƣơng tự nhƣ tìm đƣợc nhẫn nhẹ
253. Đánh số 10 hộp từ đến 10 Lấy hộp thứ nhât gói, hộp thứ hai gói,…, hộp thứ chín gói, hộp thứ mƣời khơng lấy gói Tất có 45 gói, khối lƣợng 4500g
Mỗi gói sai qui định hụt 10 g Nếu tổng số hụt 10dgam hộp thứ d hộp chứa sản phẩm sai qui cách Nếu cân đƣợc 4500 g hộp thứ mƣời chứa sản phẩm sai quy cách Nếu cân 4500g hộp thứ mƣời chứa sản phẩm sai qui cách
254. a) 5 9 3; 6 9 3; 7 9 1; 8 9
Chẳng hạn muốn cân vật có khối lƣợng g, đĩa ta đặt cân g với vật đó, đĩa đặt cân g g
b) Với cân g g, cân đƣợc vật có khối lƣợng nguyên từ g đến g 1; 1; 3; 1 Thêm cân g, cân đƣợc vật có khối lƣợng nguyên từ: 4 5 g đến: 13 g
Thêm cân 27 g, cân đƣợc vật có khối lƣơng nguyên tử: 27 13 14 g đến: 27 13 40 g 255. Xét trƣờng hợp xóa hai dấu
- Nếu xóa hai dấu cộng ghi dấu cộng : số dấu trừ không đổi - Nếu xóa hai dấu trừ ghi dấu cộng : số dấu trừ giảm
- Nếu xóa dấu cộng, dấu trừ ghi dấu trừ : số dấu trừ không đổi
Nhƣ vậy, số dấu trừ giữ nguyên, giảm bội 2, tức bị giảm số chẵn Do bảng cịn lại dấu dấu dấu cộng
(81)
(1+ 2001).2001
1+ + + + 2001 = = 1001.2001
2 , số lẻ
257. a) Có thể bảng gồm tồn hình trịn xóa 10 lần, lần xóa hình vng
b) Mỗi lần xóa, số hình trịn giảm 2, tăng 2, không đổi, tức thay đổi số chẵn Lúc đầu có 15 hình trịn nên số hình trịn bảng ln số lẻ, khơng thể Vậy khơng thể có trƣờng hợp bảng gồm tồn hình vng
258
(h.56) Nếu số ngƣời số chẵn vịng thứ hai, ngƣời số đƣợc giữ lại Nếu số ngƣời cịn lại chẵn vịng thứ ba, ngƣời số đƣợc giữ lại Nhƣ số ngƣời có dạng 2n
ngƣời đƣợc giữ lại cuối ngƣời số Do ngƣời đƣợc giữ lại cuối
ngƣời đƣợc giữ lại số ngƣời cịn lại có dạng 2n
Hình 56
Ta thấy: 130 – = Do ngƣời đƣợc chọn ngƣời mang số: 2.2 + = 5trong lần đánh số b) Ngƣời mang số 1935 đƣợc giữ lại
259. Ba mặt viên xắc xắc I ghi số: 0, 1, Ba mặt viên xúc xắc II ghi số 1, 2, Ba mặt lại hai viên xúc xắc ghi sáu số từ đến 9, chẳng hạn ba mặt viên I ghi 4, 5,6, ba mặt viên II ghi 7, 8,
Nhƣ vậy, sáu mặt viên I ghi số: 0, 1, 2, 4, 5, 6, sáu mặt viên II ghi: 1, 2, 3, 7, 8, Bạn đọc tự kiểm tra để thấy dùng hai viên xúc xắc đó, ta xếp đƣợc số tự nhiên từ đến 31 260. Ta thấy dán bóng đèn có ƣớc tự nhiên bóng đèn thay đổi trạng thái bật tắt nhiêu lần Ta cần tìm bóng đèn trạng thái bật sau bƣớc 10, tức bóng đèn đổi trạng thái bật tắt số lẻ lần Do cần tìm số có số lẻ ƣớc tự nhiên
Số có số lẻ ƣớc tự nhiên số phƣơng, số 1, 4, Vậy bóng đèn số 1, 4, sau bƣớc cuối trạng thái bật
261. Gọi n số đấu thủ mà B thắng Nếu A thắng n đấu thủ số trận thắng A nhiều n (vì A cịn thắng B nữa), trái đề Vậy số đấu thủ mà B thắng, tồn đấu thủ C mà A thua 262. Bốn đội không đạt giải đấu với trận, tổng số điểm bốn đội đạt đƣợc trận là: 2.6 = 12 (điểm)
Tổng số điểm bốn đội không đạt giải nhận đƣợc là:
(82)+ + + = 14( điểm)
Nhƣ đội đạt giải mất: 14 – 12 = 2điểm tức thua trận đấu với đội không đạt giải
263. (h57) Muốn thắng phải tạo tình hai bị cách chuồng nhƣ Nhƣ ngƣời trƣớc thắng theo quy luật sau: đƣa bị 20 đến ô 19, sau đối phƣơng đƣa bị đến số x đƣa bị đến ô số 20 - x
chuồng
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Hình 57
Ví dụ: Ngƣời sau đƣa bị đến số 7, ngƣời trƣớc đƣa bị đến số 13 Khi bị cách chuồng ô, ngƣời sau 1, hay ngƣời trƣớc nhiêu ô ngƣời thắng
264. Phân tích: Trong bảy số cho, số giá trị tuyệt đối lớn số âm ( số -4), ngƣời thắng ngƣời tạo đƣợc số -30 Ngƣời thứ hai muốn tạo đƣợc số -30, cần tạo đƣợc số -25, nhƣ cần tạo số - 20, -15, -10, -5
Giải: Nếu ngƣời thứ chọn số âm ngƣời thứ hai chọn số âm để có tổng –5 (chẳng hạn ngƣời thứ chọn – ngƣời thứ hai chọn – 3), nhƣ ngƣời thứ hai tạo đƣợc tổng – 10, - 15,- 20, -25, - 30 ngƣời thắng
Nếu ngƣời thứ chọn số dƣơng ngƣời thứ hai chọn số - 4, tổng số âm Ngƣời thứ hai luôn chọn số -4 để tổng số âm nhỏ dần Cứ nhƣ lúc đến lƣợt ngƣời thứ hai:
- Nếu tổng -26 ngƣời thứ hai chọn số - - Nếu tổng -27 ngƣời thứ hai chọn số - - Nếu tổng -28 ngƣời thứ hai chọn số - - Nếu tổng -29 ngƣời thứ hai chọn số - Nhƣ ngƣời thứ hai ln có cách chơi để thắng
265. Hùng sai lầm lấy tiền thực chi (12 nghìn) cộng với tiền cho cậu bé (1 nghìn) Trong tiền thực chi bao gồm tiền cho cậu bé
Số tiền góp (15 ngìn đồng) bao gồm:
- Tiền ăn: 11 nghìn đồng (tiền thực chi 12 nghìn đồng, trừ tiền cho cậu bé nghìn đồng) - Tiền cho cậu bé: nghìn đồng
(83)11 + + = 15 Khơng có nghìn đồng đâu cả!
266. Gọi số bƣu ảnh An a, số bƣu ảnh Bách b, số bƣu ảnh hoa An nhƣ số bƣu ảnh thú rừng Bách c Ta có:
a + c = b – c7 a – c = b + c 4 Từ (1) suy ra: a = b – c – c = b – c7 7 Từ (2) suy ra:a = b + c + c = b + c4 4 Do đó: 7b – c = b + c8 hay3b = c13 Suy c Đặt c = k (k3 N), b = k13 Ta có a = b + c = 4 52k + k = 15 67k
Do a 100 nênk Do đó: 67, 13a b An có 67 bƣu ảnh, Bách có 13 bƣu ảnh
267. Số đồng tiền loại mà ơng già có BCNN(5, 4, 6) 60 Số tiền mà ơng già có:
+ 10 + 20 60 = 2100 (đôla)
268. Lƣợng dấm bán gấp đôi lƣợng dầu bán, nên tổng số galông dấm dầu bán số chia hết cho Tổng số galông dấm dầu sáu thùng 103(ga lông), số chia dƣ Vậy số galơng thùng cịn lại số chia cho dƣ 1, là: 13, 19, 31
Nếu thùng cịn lại chứa 13 galơng số dầu bán là:
103 – 13 : 30 = 30 (galông)
Trong năm số 15, 8, 17, 19, 31, khơng chọn đƣợc số có tổng 30 Nếu thùng cịn lại chứa 31 galơng số dầu bán là:
103 – 31 : 30 = 24 (galông)
Trong năm số 15, 8, 17, 13, 19 không chọn đƣợc số có tổng 24 Vậy thùng cịn lại chứa 19 galông
(84)Trong năm số 15, 8, 17, 13, 31, chọn đƣợc hai số có tổng 28 (là15 + 13 = 28), ba số lại có tổng 56( là8 + 17 + 31 = 56)
Giá galông dầu là: 1400 : 28 = 50(xen) Giá galông dấm là: 50 : = 25(xen)
269. Gọi hai số viết bƣớc a b, tổng chúng( viết bƣớc 2) c Gọi tổng chữ số , ,
a b c theo thứ tự a’, ’, ’.b c
Ở bƣớc ta có:a’ + b’ + + + …+ = 45, chia hết cho Suy a + b c c’
Ta có 348 * 73 Dễ dàng tìm đƣợc * = 270. Nhận xét: = 0,
20 ; 3,
= 0, ;
1, 28 = 0, 3,
Giá 0,4 giá cũ Vậy mũ đƣợc bán với giá: 1, 28 0, = 0,512 (đơla) 51, 2(xen)
271. Số tiền có sau cho ngƣời thứ hai:3 (xen) Số tiền có sau cho ngƣời thứ :8 20 (xen) Số tiền gái có lúc đầu: 20 42 (xen)
272. Gọi số hạt dẻ mà Me – ri, Ne – li Xu – di đƣợc chia theo thứ tự m n x, ,
Ta có: m= n
4 3, m x
= ,m + n + x 770
Đáp số: Me – ri đƣợc 264 hạt dẻ, Ne – li đƣợc 198 hạt dẻ, Xu – di đƣợc 308 hạt dẻ 273.
Gọi vị trí số 12, 4, mặt đồng hồ A, E, C Kim vị trí D, kim phút vị trí B (h.58) Khi kim phút quay từ A đến B kim quay từ C đến D
Theo đề bài, cung CD cung BE nên hai kim quay tổng cộng đƣợc 20 vạch chia phút ( cung AE gồm 20 vạch chia phút)
Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim nên kim phút
E D C B A 12 11 10 9 8
7 6 5
4 3 2 1
(85)quay từ A đến B đƣợc: 20 12 = 18
12 +1 13(vạch chia phút)
Hình 58
Thời điểm phải tìm 18 13phút
274. Ta không tính đƣợc diện tích mảnh đất acrơ, nhƣng tính đƣợc tỉ số diện tích mảnh đtá chàng Xây – mảnh đất hai ông già
190.110 209 = 150.140 210 Hai ông già bị
210diện tích, nên acrơ bị đi:
840
210 ( bí)
275. Gọi số loại kẹo socôla, kẹo caramen, kẹo bi mua theo thứ tự a b c, ,
Ta có: 20
4 0, 25 0,5 20 a +b+ c =
a + b+ c =
Do đó: 20 16 80
a +b+ c = a +b+ c =
Suy :15 a c 60
Do c chia hết cho 15 Ta có 0< c <20 nên c 15 Ta có:
16 50 a +b a b
Từ đó:a = b = 3,
267. Nếu ta hiểu di chúc ơng bố theo khía cạnh phần vợ ông nửa phần trai gấp đơi phần gái ơng chia cho gái
7 gia tài, cho vợ
7 gia tài trai
7 gia tài
277. Nếu ngƣời đƣợc hỏi gật đầu du khách làng ngƣời Pháp (vì ngƣời Pháp trả lời “có”, cịn ngƣời Ý trả lời “khơng”)
Nếu ngƣời đƣợc hỏi lắc đầu du khách làng ngƣời Ý (vì ngƣời Pháp trả lời “khơng”, cịn ngƣời Ý trả lời “có”)
(86)Từ lúc khởi hành đến lần gặp thứ n, Khôi chạy đƣợc
n
vòng hồ
Để chỗ gặp lần thứ n địa điểm xuất phát 5n 9, n , Vậy đến lần gặp thứ hai ngƣời dừng chạy
PHẦN HÌNH HỌC
CHƢƠNG III – QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƢỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
§12 Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác
77. (h.59)
a) Góc ngồi D1 lớn B2 nên D1 > B1, AB AD
b) Kẻ DHBC Ta cóAD = DH < DC
Hình 59 78. (h.60)
Ta có B > C nênAC > AB
Trên cạnh AClấy điểm E cho AE ABthì Enằm A C Ta có ΔADB= ΔADE(c.g.c) nên
DB DE DEC = CBx Nhƣng DBx > Cnên DEC > C, DC DE
Vậy BD DC
Hình 60
1
H
D C
B
A
E
x
A
D C
(87)79. (h.61)
a)
b) Hình 61
Trƣớc hết ta thấy AC ABnên HC HB, H B thuộc tia gốc C Do tia , ,
AM AD AHthuộc nửa mặt phẳng bờ AC Để chứng tỏ tia AD nằm hai tia AH AM, , ta chứng tỏ CAM < CAD < CAH
Kí hiệu BAClà A, ta có
2 A
CAD = (1)
Dễ dàng chứng minh đƣợc CAM < BAM (ví dụ 16), nên CAM +CAM < BAM +CAM ,
2CAM BAC, hay
2 A
CAM < (2)
Xét CAHvng, ta có :
2 2 2 A B C A B - C A
CAH = 90 - C = + + - C = + > (3)
( B > C)
Từ (1), (2), (3) suy CAM < CAD < CAH Trên nửa mặt phẳng bờ AC, ta có CAM < CAD < CAHnên tia AD nằm hai tia AH AM,
Chú ý: Trong trƣờng hợp
90
B (xem h.61a), cịn giải tốn nhƣ sau: Ta có:
B C HAB HAC
HAB + HAB < HAC + HAB 2HAB < BAC
A HAB <
2
C M
D B H
A
C M
D B H
(88)Ta lại có
2 A
BAM > ( xem ví dụ 16) Do BAH < BAD < BAM nên ADnằm hai tia AH AM,
Chú ý cách giải không trƣờng hợp B900, khơng xảy đẳng thức HAC + HAB = BAC Đẳng thức xảy tia AH nằm hai tia AB AC Khi B900thì khơng có đẳng thức (xem h.61b)
80. (h.62)
Ta “chuyển” góc AMB đến vị trí thuận lợi : kẻ tia Ax ngồi ΔABCsao cho CAx = BAM
Trên tia Ax lấy AK AM ΔKAC = ΔMAB(c.g.c)KC = MB. Do MB < MCnên KC < MC
CKM
có KC < MCnên M < K1 1 (1)
AMK
cân nên M2 K2 (2)
Từ (1) (2) suy AMC < AKC
Hình 62
ΔKAC = ΔMAB(chứng minh trên) cịn suy AKC = AMB
Do AMC < AMB
81. (h.63) Gọi ABC tam giác cân có A,
S
AB = AC = Lấy D BA, lấy E tia đối tia CAsao cho CE BD ΔADEcũng có
A, AD+ AES Ta chứng minh chu vi ΔABCnhỏ chu vi ΔADEbằng cách chứng minh BC DE
Hình 63 Vẽ DH EK, BC
2
X
1
1
K
M
C B
A
K H
E D
C B
(89)DoABC ACB 90 nên Hnằm Bvà C C, nằm HvàK.Ta có BHD CKE(cạnh huyền-góc nhọn) nên BHCK,do BCHK.Ta lại có HKDE,do BCDE.Vậy ABCcó
, AB ,
K ACs tam giác cân đáy BCcó chu vi nhỏ
82 (h.64) Cách 1.DCE có C 60 ,CD CE AB không đổi nên DE nhỏ CDCE(bài 81) Khi C phải trung điểm AB
Cách Kẻ DIvà EKvng góc với AB, kẻ EHvng góc vớiDI. Ta có AB
DEHEIK Do DE nhỏ
2 AB
DI EK C
trung điểm AB §13 Quan hệ đƣờng vng góc đƣờng xiên, đƣờng xiên hình chiếu
83 (h.65) ABC có góc BC nên AC AB ACABHCHBMCMB(quan hệ đƣờng xiên hình chiếu)
(90)85.(h.67) Ta có nhận xét
BCAHABACBCABACAH
Trên BC lấy điểm E cho BEAB
CEBCBEBCAB
Trên AC lấy điểm K cho AKAH
CKCAAKACAH
Để giải thích tốn, cần chứng minh CECK.Ta có
1 90 , 90
BAEA E A mà BAEE1(vì ABEcân )B nên A1 A2 suy KAC HAE(c.g.c) K H90
EKC
vng tạiKnên CECK.Từ giải đƣợc tốn
§14 Quan hệ ba cạnh tam giác
86 (h.68)Trên tia đối tia MA lấyK cho
MKMA
Xét AKCcó AKKCAC (1) Do AK2AMvà KC AB nên từ (1) suy
2AM ABAC,do AB AC AM 87 a) Nếu ABlà cạnh bên chu vi tam giác cân 8 21( cm)
NếuABlà cạnh đáy chu vi tam giác cân 5 18( cm)
(91)88.(h.69)
a) Xét quan hệ cạnh ba tam giác , ,
MAB MBC MCA
b) Trƣớc hết chứng minh MBMC ABAC Tƣơng tự
,
MA MB ACBC MA+ MC < AB+ BC.
89 (h.70) Xét quan hệ AD cạnh lại ADB ADC
90.(h.71) Trên AClấy AKAB Knằm A C,do KCACAB (1) Ta có (c.g.c)
AEB AEK
Suy EBEK Xét EKC ta có KCECEKnên KCECEB (2) Từ (1) (2) suy ACABECEB
Chú ý: Sẽ sai lầm từ ECACAE EBABAE suy raECEBACAB, không đƣợc trừ vế hai bất dẳng thứ chiều
91 Ta chứng minh
MA MB MC(Chứng minh MB MC MA MA MC, MB tƣơng tự)
a) M thuộc nửa mặt phẳng khơng chứa Ccó bờ AB(h.72a) Trên nửa mặt phẳng chứa A có bờ BC , vẽ tia Bxsao cho CBx ABM,trên tia lấy BN BM Ta có CBN ABM c g c( ) nên
NCMA (1) MBN
cân có
60
(92)Xét MNC(có thể suy biến) ta có MNNCMC,do từ (1) (2) suy MBMAMC b) M thuộc nửa mặt phẳng chứaCcó bờ AB(h.72b)
Hình 72.b
Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ BC, vẽ tia Bx choCBxABM,trên tia lấy
BNBM.Sau chứng minh tƣơng tự nhƣ phần a
c)M thuộc dƣờng thẳng AB. Dễ dàng chứng minh đƣợc MA MB MC
§15.Tính chất ba đƣờng trung tuyến tam giác
92 Xét ABCcó trung tuyến BD CE, cắt Gvà BDCE(h.73) Ta có BGE CGD(c.g.c) nênBECD, AB AC
VậyABClà tam giác cân
93 (h.74) Gọi G giao điểm BD CE, Ta tính đƣợc BG6cm, GC8cm BC10cm 94 (h.74) Gọi Glà giao điểm BD CE, Ta tính đƣợc: GB2GC262 82 102BC2
nên
(93)95.(h.75)
I trọng tâm ABCnên
3
BI BD BE (1)
K trọng tâm ACE nên
3
EK ED BE (2)
Từ (1) (2) suy IK BE
96. (h.76)
Vẽ điểm Ksao cho Dlà trung điểm GK Ta tính đƣợc
10, 6, 4, BKCG BG GD GK
BGK
có ba cạnh 6,8,10 nên BGD90 (định lý Pytago đảo)
2 2 2
6 52 BD BG GD
52 52 14,
BD BC cm
97 (h.77) Xét ABCcó trung tuyến , ,
AM BD CE Đặt BCa AC, b AB, c Theo 86 ta có
2 b c AM
Tƣơng tự ,
2
a c a b
(94)Theo ví dụ 19 ta có BD CE a
Tƣơng tự
AM CE b, AM BD c
Suy 2( ) 3( )
AMBD CE a+b+c
Do 3( )
AM BD CE a b c
§16.Tính chất ba đƣờng phân giác tam giác 98 (h.78) VẽAHOx AK, Oy Ta có
HAK BACnên KACHAB Do
KAC HAB
(cạnh huyền-góc nhọn) suy
AK AH Vậy OA tia phân giác góc
xOy
99 (h.79)
a) Đặt C,B2 , ta có BAH 2 Xét AHB
vuông 22 90 nên 45 Dễ chứng minh AIE 45
45 AEB
Do đó, AIEvng cân tai A
b) Xét ABH AE, tia phân giác ngồi ,A BE tia phân giác góc nên HElà tia phân giác góc ngồi H VậyHElà tia phân giác góc
AHC
(95)100 (h.80) ADC
cóK giao điểm hai đƣờng phân giác nên DKlà phân giác trong: D1 D2
ABD
có E giao điểm hai đƣờng thẳng phân giác nên BE phân giác trong:
1
B B Do
1 30
2
ADC ABC BAD
BEDD B
101 (h.81) Chú ý đến điều kiện A120 nên 60
BADDACCAx (Axlà tia đối tia AB)
Xét ABDcó AE tia phân giác góc ngồi đỉnh A,BE tia phân giác góc đỉnh Bnên DE tia phân giác ngồi đỉnh D Chứng minh tƣơng tự,DF tia phân giác góc ngồi đỉnh D tam giác ACD.VậyEDF 90
102 (h.82) Đặt EMH AEF 2 Ta có E1 90 nên
2 180 180 (90 ) 90
E E AEF Do E1E2
( )
AMB AMC c c c AM
tia phân giác góc A AEF
cóEM tia phân giác góc ngồi đỉnh ,E AM tia phân giác góc A, chúng cắt M nên FMlà tia phân giác góc EFC
103.Cách 1.(h.83)
(96)a)H thuộc đoạn BE K, thuộc đoạn CD(h.83a)
Từ (1) suy ,
2
C B
A A BC
b)H thuộc đoạn AE K, thuộc đoạn AD Chứng minh tƣơng tự nhƣ phần a ta đƣợc CB c)H thuộc đoạn BE K, thuộc đoạn AD (h.83b)
Từ (1) suy
2 2
C B B C
A C A 2A B C 3A A B C 180 60 , 120
A B C
d)H thuộc đoạn AE K, thuộc đoạn CD Chứng minh tƣơng tự nhƣ phần a ta đƣợc B C 120 Cách 2: khơng tính tổng qt, ta giả sử ADAE Xét hai trƣờng hợp:
a) Trƣờng hợp ADAE(h.84a) ( )
ΑDI AEI c c c ADI AEI
ADB
(97)b) Trƣờng hợp ADAE LấyF AD cho AFAE(h.84b)
1
, ΑFI = ΔAEI (c.g.c) IF= IE F E
Do IEID nên IF ID,do F1 D1 Suy D1E1, tức
2
B C
A B
Biến đổi nhƣ cách 1, ta đƣợc B C 120
§17.Tính chất ba đƣờng trung trực tam giác 104 (h.85)
Ta có EA EB nên A1B,FAFCnên
3
A C
Do A1A3 B C 180 110 70
(98)105 (h.86) Gọi d đƣờng trung trực AB Do C B thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ d nên d cắt đoạn thẳng BC, gọi giao điểm I, ta có IA IB Xét CIA:
CA CI IA CI IBCB
Do đóa ha b hb a ,điều xảy khia ha b hb a Khi ABC vng cân C (h.97b)
117. (h.98)
a) kẻDH / / AB HE, / / AC
Ta cóHA AD DH AD AE (1) Do BH AC mà HE / / AC nên
BH HE , suy raBH EB (2) Tƣơng tự HC DC (3)
Từ (1), (2) , (3) suy ra:
.
HA HB HC AB AC b) Ta có HA HB HC AB AC.
Tƣơng tự HA HB HC AB BC
.
HA HB HC AC BC
Suy 3HA HB HC 2AB BC AC HA HB HC < 2
(99)Chuyên đề
PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 118. Giải tƣơng tự nhƣ 3c
119. Trƣớc hết ta thấy H, B, C ba điểm phân biệt Thật vậy, H trùng B (hoặc C)
B (hoặc C) 90o , trái với giả thiết Trong ba điểm thẳng hàng phân biệt, có điểm nằm hai điểm Giả sử C nằm B H (h.99a) ACH90o nên ACB90o , trái với giả thiết Giả sử B
nằm C H (h.99b) ABH90o nên ABC90o , trái với giả thiết Vậy H nằm B C
120. a) (h.100) Giả sử ACB90o Kẻ AH BC H khơng trùng với C Tam giác ABH vng có
o
BAH30 nên BH = 1
2 BA (ví dụ 10)
Ta lại có BC = 1
2 BA nên C trùng H Mâu thuẫn Vậy ACB90o
b) (h.101) Gọi H trung điểm BC BH = 1,5 dm Do BH = 1
2 BA
o
(100)D C H
B
A
Hình 103 I D
H K
F E
C B
A AHD = AHC (c.g.c)
Suy raAD AC
121. (h.102) Giả sử HD HE E2 15o (1)
Mặt khác, HD HE nênHA HE ,
o
E 30 (2) Từ (1) (2) suy BED45o
Do ABD60o , trái với giả thiết
Giả sửHD HE , chứng minh tƣơng tự, ABD60o, trái với giả thiết VậyHD HE 122. Giả sử c a c + c a + c > b Ta có 2c > b nên 4c2 > b2 (1) Từ c a suy c2a2 (2) Từ (1)
(2) dẫn đến 5c2 > a2 + b2, trái với giả thiết
Giả sử c b, chứng minh tƣơng tự dẫn đến điều vơ lí Vậy c độ dài cạnh nhỏ tam giác
123 Giả sử DEF tam giác (h103) Ta có
0
60
CDH nên
30
DCH
60 ACD Ta lại có nên
90
FIC
ABC
có trung tuyến BI đƣờng cao nên ABC
cân tại, lại có ACB600 nên tam giác Do AH BI CK, , đồng quy tức ba điểm
, ,
D E F trùng nhau, trái với giả thiết
Vậy DEF tam giác
(101)124 (h104) Giả sử
45
A Gọi Hx tia đối tia HA Trên Hx lấy HE HA CEACAE450 Do
90
ACE Ta chứng minh ACBACE, điều vơ lí (trái với giả thiết
0
90
ACB ) Chứng minh điều cách chứng tỏ B không thuộc tia Ex
Thật vậy, gọi O giao điểm củaAD BM CH, , , gọi F giao điểmcủa EO AC
EAC
có EA EC (vì EA đối diện với góc lớn hơn) mà EF tia phân giác AEC(dễ dàng chứng minh) nên AF FC (bài 78), suy
2 AC
AF Còn M trung điểm AC nên M nằm A F B thuộc tia Ex
Do ACB ACE, mà ACE900 nên
0
90
ACB , trái với giả thiết Vậy
45
A
125 Tƣơng tự xem 39
126 Theo đề bài, cạnh tam giác có vai trị nhƣ nên giả sử a b c Khi A B C
Do (a - b)(AB)0, (b - c)(BC)0, (a - c)(A C )0
Suy kết câu a Từ kết câu a, khai triển thu gọn, đƣợc kết câu b Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC
127 (h105)
Xét AEF, EO tia phân giác góc
,
E FO tia phân giác góc F AO,
là tia phân giác góc ngồi đỉnh A
Hình 104 O C F M D x B E H A
Hình 105
(102)Hình 106
B M C
d K
A
H
Hình 107 d
C
K M
H A
B
128 Chẳng hạn thay “tam giác đều” “tam giác vuông cân A” 129 Bài tốn ban đầu: Xem hình 106
Bài toán tƣơng tự: Thay :B C thuộc nửa mặt phẳng có bờ d” “B C thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ d”
Giải (h 107):
AB = CA, BHA ACK(cùng phụ với CAK)
nên ABH CAK (cạnh huyền – góc nhọn), suy AH CK (1) ABC
cân có trung tuyến AM đƣờng cao, từ AMC
vuông cân nên AM = MC (2)
MAH MCK BAH 450 ACK450
Do MAH MCK(c.g.c) Từ chứng minh tam giác MHK vng cân
TÍNH SỐ ĐO GĨC
(103)Ta có BKC120 KI phân giác góc BKC nên BKI CKI 60 Sau chứng minh KEKD KI Đáp số: 120 ,30 ,30
131. Trƣờng hợp A 90 (h.109) IB KC, tia phân giác góc ngồi HIK nên HA tia phân giác góc Do AHC 90 nên HC tia phân giác góc ngồi đỉnh H Các tia phân giác góc đỉnh
H K HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK, IBIC Chứng minh tƣơng tự, BKKC
Trường hợp A 90 (h.110) HIK có IB KC, tia phân giác góc trong, IC KB, tia phân giác góc ngồi Ta có AIC AKB 90
Chú ý:
Trong trƣờng hợp B90, HIK có IB KB tia phân giác góc trong, IC KC tia phân giác góc ngồi
Trong trƣờng hợp C 90 , HIK có IB KB tia phân giác góc ngồi, IC KC tia phân giác góc
Trong trƣờng hợp này, ta có AIC AKB 90
132. (h.111) Để vẽ hình xác, ta vẽ BHD có BHD135, vẽ điểm A, sau vẽ điểm C
Xét ABH ta có:
2
90 90 HAx ABH B Ta lại có HAx2A2 Do
2 2
2A 2B 90 A B 45 Mặt khác, xét ABD ta có
2 2
(104)Từ (1) (2) suy D145
133. (h.112) O giao điểm đƣờng trung trực ABC nên OBOC, B1 C1
BC đƣờng trung trực OK nên BOBK, COCK, B1 B C2, C2
K giao điểm đƣờng phân giác nên B2 B C3, C3
Đặt B1 B2 B3 C1C2 C3
Ta lại có OAOB nên OBAOAB OA, OC nên OCAOAC, 3
BACOBA OCA
Xét ABC ta có AABCACB180 nên 622180, suy 18 Vậy 36 , 108
B C A
134. (h.113) Chú ý ABC 60 nên BC lấy BKBA ABK đều,
đó AKAB Cịn ABI vng cân nên AI AB Vậy IAC KAC (c.g.c) suy ICAKCA45 Do ICB90
135. (h.114) CDE có CE tia phân giác góc C DA, tia phân giác góc ngồi D nên EA tia phân giác góc ngồi E Do E130 nên
180 30 : 2 75
DEA
ADB ADE g c g DB DE
Tam giác BDE cân có góc đỉnh 120 nên DBE30 Vậy CBE30
136 (h.115) Từ hình vẽ, ta dự đốn FIH nửa
(105)tam giác đều, tia đối tia IH, ta lấy điểm K cho IK IH
Gọi BAC HAF 90 , (nếu 90 ),
360 ,
KCF ICKACBACF
Từ ta đƣợc KCF90 Do HAF KCF
Trƣờng hợp 90 chứng minh tƣơng tự Hình 115
Nhƣ AHF CKF c g c FH FK AFH, CFK, HFA60 HFK tam giác Các góc FIH 90 ,60 ,30
137. (h.116) Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa AC, vẽ tia Cy cho ACy60 , tia cắt AB E
CBE
có B80 ,
60 20 80
CEB ACECAE
Nên tam giác cân, suy CBCE Do ACD ACE c g c
Vậy ADC AEC100 Hình 116
138. Cách Vẽ tam giác ADE nằm ngồi ABC h 117 CAE 80 Do đóCAE ABC c g.cCECA ACE, BAC 20
Ta có ACD ECD c c c ACDECD10
(106)Cách Vẽ tam giác AFB (F C phía AB, h.118) Tính AFC, chứng minh ACDBFC
139 (h.119) BAE 75 , EACECA 15
Ta thấy 75 15 60 góc tam giác Do giải cách sau: Cách Vẽ tam giácACD phía ngồi AEC
AEB AED (c.g.c) suy AEB AED
Ta tính AED Do DADC, EAEC nên DE đƣờng trung trực AC
Do 75
AEC
AED
Cách Vẽ AEKđều phía ngồi AEC chứng minh AKB AEC
(c.g.c), BKE BKA (c.g.c)
Cách Trong ABC vẽ AKB AEC chứng minh AEK Cách Vẽ CEH phía AEC chứng minh ABH
140 (h.120) Chú ý 75 15 60 góc tam giác Ta vẽ BECđều (E H phía BC) Gọi K trung điểm BH EBK 15 Do EBK BCA (c.g.c) suy K 90 Ta có BEHcân, BEH 1500nên CEH 1500, đóBEH CEH c g c( )
Hình 118 Hình 117
F D
C B
A
D E
B C
K A
Hình 119
K E
A
D
(107)Suy BEH CHE Vậy
30
BHC
142. (h.121) Chú ý CM tia phân giác góc Cnên tia CAlấy CECBthì ( )
CME CMB c g c
ME MB
BME600 Do EBMđều, BM BE Ta tính đƣợc
0
30 , ( ) ABE ABM ABM ABE c g c ,
đó
70
AMBAEB
143. (h 123)
(108)ME MB
BME600
Do EBMđều, suy BEBM (1) CEB
cân Ccó C360nên CEB720
Ta tính đƣợc
72
BAE nên ABE cân, suy ABBE (2)
Từ (1) (2) suy BABM.Từ
0
78 AMB
144 (h.124) Vẽ điểm K cho BClà đƣờng trung trực MK Ta tính đƣợc ABK 70 ,ACK 60 Đặt ABACa Ta
tính đƣợc
130 BKC (1) Nếu AK a thì:
- Xét AKBcó ABKAKB tức 70 AKB - Xét AKCcó ACK AKC tức 60 AKC Suy 130 BKC, trái với (1)
Tƣơng tự, AK a 130 BKC, trái với (1) Vậy AK a Do đóACK Từ MCKCAC Tam giác ACM cân C,ACM 20 nên MAC 80
(109)
Ta lại có ABI 30 Áp dụng kết 51, lấy K BI cho BAK 10 , ta chứng minh đƣợc
A AK D (1)
Ta tính đƣợc AEB 70 ,EAK 70 nên AKE cân, AK EK (2)
Từ (1) (2): ADEK
∆IAK cân (vì IKA= 400, IAK= 400) nên IAIK
Từ IDIE Ta tính đƣợc: DIE1000, ̂ ̂
146 (h.126) Vẽ MBK vuông cân tạiB (K A nằm phía BM) Đặt
; ;
MAa MB a MC a
∆ABK = ∆CBK (c.g.c) suy AK CM a Xét ∆MBK vuông cân B:
2 2
2 2
2
MK MB BK a a a
Xét AMK ta có:
2 2 2
9
MA MK a a a MK
Nên AMK900 (định lý Py- ta- go đảo) Vậy AMB1350
147 (h.127) Vẽ tam giác MBK (K A nằm phía BM) Đặt
, ,
MA a MB a MC a
Hãy chứng minh ABK CBM để suy
KA MC a Từ tính đƣợc
90
AMK
Đáp số:
150
AMB
148 (h.128) Lấy D cạnh AB cho AD AN thìDN/ / BC , AND800 Ta cần tính DNM c
A
M
K
B
H 126
A
K
M
B
C
(110)Gọi I giao điểm CD và BN tam giác BIC DIN, tam giác Ta chứng minh MN tia phân giác góc DNI cách chứng minh ∆MDN MIN Ta có
40
MDI (1)
Cần tính MID Chú ý ∆BCM có hai góc Nên BC = BM, BI = BM Ta có ∆BIM cân có góc đỉnh 200
nên BIM 800, suy MID400
Dễ dàng chứng minh đƣợc MNA300800 1100
149 (h.129) Gọi K giao điểm CH vàAE Ta tính đƣợc CK 3, KH nên CH 5
150 (h1.30) Gọi K trung điểm DB Chứng minh MK/ /CD chứng minh AD DK
151 (h.131) Gọi M trung điểm củaDC , N trung điểm củaDK Chứng minh MN
(111)152.(h.132) Qua trung điểm M AC kẻ đƣờng vng góc vớiAC , cắt BC ởN Chứng minh
DE MN
2AB 153 (h.133)
a) Gọi D E giao điểm AI AK với BC Chứng minh
;
AIID AKKE
b) Chú ý
- -
DE BD CE BC AB AC BC
Từ AB AC BC IK
b) Suy DK DG, ̂ = ̂ Sau chứng minh ̂ = 90°
F
G E
C D
B K
A
O E
B M
C K D A
(112)K M C E N B D A G F B D I C E A
155. (h.135) Gọi K trung điểm củaDC , O giao điểm AM vàBD Ta có MK đƣờng trung bình BCD nên MK / / BD AMK có AD DK DO, / / MK nên O trung điểm AM Nhƣ BD qua trung điểm củaAM
Chứng minh tƣơng tự, CE qua trung điểm AM Vậy BD CE AM, , đồng quy
156. (h.136) Chứng minh K trung điểm DM, E tâm MND
Hình 136 Hình 137
158 (h.138) Xét ∆ABC có đƣờng trung tuyến AD BE CF, , cắt G Gọi I trung điểm
.
GC Ta có GD
3 AD GI,
3 CF DI,
1
2 BG = 3BE Trong ba đoạn thẳngGD GI DI, , , đoạn thẳng
nhỏ tổng hai đoạn Do ba
đoạn thẳngAD CF BE, , , đoạn thẳng nhỏ tổng hai đoạn
Hình 138 159. Hướng thứ : Tạo đoạn thẳng nửa CK
Cách (h.139) Gọi I trung điểm CK
2 CK
CI Sau chứng minh CI CD ∆CBI = ∆CBD (c.g.c)
(113)D B
K
N C A
D
B
K
C A E
Hình 139 Hình 140 Cách (h.140) Gọi E trung điểm AC
2 CK
BE Sau chứng minh BE CD ∆BCE = ∆CBD (c.g.c)
Hướng thứ hai : Tạo đoạn thẳng gấp đôi CD
Cách (h.141) Trên tia đối tia CB lấy M cho CM CB AM 2CD Sau chứng minh AM SK ∆MCA = ∆CBK (c.g.c)
Cách (h.142) Trên tia đối tia CA lấy N cho CN CA BN 2CD.
Sau chứng minh BN CK BCN CBK (c.g.c)
Hình 141 Hình 142 Hình 143
Cách (h.143) Trên tia đối tia DC lấy E cho DE DC. Dễ dàng chứng minh đƣợcBE AC BE, / / AC Sau chứng minh CBE CBK (c.g.c)
D
B
K
I
C A
D
B
K
C E A
D
B
K
C M
(114)N A
D
B M C
E G
H 160 (h.144) Chú ý DE ⊥ AC E trực tâm ADC
Hình 144 Hình 145
161. (h.145) Gọi D E F, , theo thứ tự trung điểm BC CA AB, , Ta có FE đƣờng trung bình ∆ABC nên EF
2 BC
FE đƣờng trung bình ∆OB C' ' nên EF ' '
2 B C
suy raBC ' 'B C Chứng minh tƣơng tự AB ' ', A B AC 'A C' Vậy ABC A B C' ' ' (c.c.c)
162 (h.146) a) Đề choBI 2IM , ta lấy K
trung điểm BI Ta có KIM vuông cân, IKM 45 , KM đƣờng trung bình BIC, KM IC CIM// , IMK 45
Suy BIC135 ;B1C145 ,B C 90
Vậy BAC90
c) Gọi E giao điểm BI AC. Ta có BIC135 nên 45
CIE
Do CIE CIM (g.c.g) nên IE IM
Do đóBK KI IE Từ dễ dàng chứng minh đƣợc
BA IH
163. Cách Để chứng minh MN tạo với AB AC góc nhau, ta chứng MN tạo với hai
E
A C
H D B
A' O
E F
B
D
C B' A
(115)đƣờng thẳng song song với AB AC góc Muốn lấy I trung điểm DC (h.147) thìIM / / AB IN, / / AC Do BD CE nên IM IN Ta có MN tạo với IM IN,
các góc (∆IMN cân) nên MN tạo với AB AC, góc (∆AGH cân)
Cách Ta tạo đƣờng thẳng song song với MN cách lấy tia đối
tia MD điểm K chơ MK MD (h.148) thìEK / / MN Đoạn thẳng BD đƣợc di chuyển đến vị trí CK thuận lợi song song với , tạo nên ∆CEK cân Ta có EK tạo với AC CK, góc Từ MN tạo với AC AB,
góc (∆AGH cân)
Hình 148 Hình 149 164 (h.149)
Để chứng tỏ ∆HKM đều, ta sữ chứng minh HK KM HKM 60 Gọi I trung điểm AC Trƣớc hết ta thấy HAKMIK (chú ý
DACMICDo ∆HAK = ∆MIK (c.g.c) nên HKKM, AHKIKM từ HKM 60 165 Cách (h.150)
Ta tạo đoạn thẳng nửaCD , EH (H trung điểm AC) Để chứng tỏEF EH , ta xét chúng cặp cạnh tƣơng ứng hai tam giác Gọi I trung điểm AM K, trung điểm củaAB Ta có
∆EIH = ∆EKF (c.g.c) nên EF EH
N G
E C
K M
D A
B H
M D A
H
B C
I
(116)F E
A I K M B D H
C
Hình 150 Hình 151 Cách (h.151)
Ta tạo đoạn thẳng nửaCD , PQ (P trung điểm củaMC ,
Q trung điểm củaMD ) Để chứng mìnhEF PQ , ta lấy K trung điểm AB
chứng minh ∆EKF = ∆QMP (c.g.c)
166 Do DK / / AH nên để chứng minhKH HC , ta chứng tỏ AH đƣờng trung bình tam giác có cạnh làKC Gọi M giao điểm KD AC (h.152)
∆ABE = ∆AMD (g.c.g) suy ABAM, Mà AB AC, nên AM AC
CKM
có AM AC AH MK, // nênKH HC Hình 152 167 (h.153) Kẻ DM BC IN BC// , //
ADM
cân AM ADCE (1) DEM
có DI IE IN DM, // nên MN NE (2) Từ (1) (2) suy AN NC
AKC có ANNC IN KC, // nên AI IK
Hình 153 Hình 154
F P E
A K M B
D C
D
M A E C H K B
I D
B K C
E N M A
I
(117)168 (h.154)
Để chứng minh MCCH, ta tạo đoạn thẳng trung gian
Qua B vẽ đƣờng vng góc với AH, cắt AC E BE IK// nênEK KM, AEMC (1)
( ) ABE CAH g c g
nên AECH (2)
Từ (1) (2) suy MCCH Do MCH vng cân 169 (h.155) KẻBHAC
ABH
vng có 60 2 AB
BAH AH
Bằng định lí Py-ta-go, ta tính đƣợc BH 2
CH HAAC Kẻ MKCH
2 HC
HK nênAK2
Ta lại có BH
MK nên
2 2 4 3 7.
AM AK MK Hình 155
Do AM
170 Gọi , E F theo thứ tự trung điểm củaBD, AC (h.156) B’ thuộc DF DB’ ’ B F Gọi K trung điểm DB’ EK đƣờng trung bình DBB’ nên EK BB// ’
EKF có KB’B F BB EK’ ; ’// nên BB’ Hình 156 qua trung điểm EF
Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên, đƣờng
thẳng AA CC’, ’, DD’ qua trung điểm EF Do AA BB’, ’, CC’, DD’ đồng quy 171 (h.157) Gọi M trung điểm CH
B M C
K A
H
F B'
K E
A
B C
(118)DM/ /BH Ta chứng minh AIDM MI đƣờng trung bình HDCMI DC// Do MIAD
ADM
có I trực tâm nên AIMD
Do AIBH Hình 157 172 Gọi ABC tam giác cân A, đƣờng phân
giác AD BE, thỏa mãn
2 BE
AD (h.158)
Gọi F trung điểm EC thìDF BE// ,
2 BE
DF nên DF AD
Đặt C2DAC90 2 (1)
EBC;AEB2 3AFD3 Hình 158 Ta có ADF cân nên DACAFD3 (2)
Từ (1) (2) suy 390 2 18 VậyC B 36 ;A108
173 (h.159)
Đo góc BDE để dự đoán kết quả, ta đƣợc 90°, 45°, 45° Nhƣ ta cần phải chứng minh ADE vuông cân Để chứng tỏ DBDE ta xét chúng cặp cạnh tƣơng ứng hai tam giác DB cạnh huyền BMD
vng Do ta vẽ EHAD chứng minh
BMD DHE c g c Hình 159 174 (h.160) Xét ABC, đƣờng caoAD BE; cắt H,
B D C
M H
A
M
H
A E C
D B
B D C
(119)các đƣờng trung trực OM ON; BC AC; cắt O Ta chứng minh
OM AH
Gọi R trung điểm củaCH Ta có NR
đƣờng trung bình AHC nênNR AH// ,
NR AH Cần chứng minh OMNR Hình 160 Ta có OM NR// (cùng song song với AD), ON MR// (cùng song song với BE) nên dễ dàng chứng
minh đƣợc OM NR Do
2 OM AH
175. (h.161) Cho ABC, đƣờng trung tuyến AM Gọi H trực tâm, O giao điểm đƣờng trung trực, G giao điểm AM HO; Ta chứng minh G trọng tâm ABC
Ta dễ dàng chứng minh đƣợc OM AH// ,
2
OM AH (xem 174)
Gọi X Y trung điểm GA GH,
XY đƣờng trung bình GAH nên Hình 161 // ,
2 AH
XY AH XY Do OM XY OM// ; XY Từ GMO GXY g c g GM GX Điểm G thuộc đƣờng trung tuyến AM
3
GA AM nên G trọng tâm ABC
176 (h.162) Chứng minh HDAD HE, AE,DHE DAE . c c cDHEDAE90
R O H
B D M C
N E A
X
O G Y H
B M C
(120)Hình 162 Hình 163
177 (h.163) AM đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền ABC vuông MAMBMC MAB
cân M B MAB (1) Ta lại có C A1 (cùng phụ với HAC (2)
Từ (1) (2) suy : B C MABA1 A2
Vậy MAH B C
178 (h.164) a) Theo tính chất đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông : MAMB Gọi H giao điểm MD AB. Tam giác cân AMB có MH đƣờng cao ứng với đáy nên đƣờng trung trực, suy DADB
MBD MAD c c c MBDMAD =90
DBBC Hình 164
Tƣơng tự ECBC Vậy BD CE//
b) Theo câu a, DBDA Tƣơng tự ECEA Suy DEDAAEBD CE 179 (h.165)
a) Các tam giác vuông OHB OKC có HE KF đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền nên E12 ;B F1 12C1
E1 F1 1
b) Từ (1) suy MEH MFK. Từ MEH MHK (c.g.c) nên MHHK D
B H C
E A
2
C M
H B
A
M H
D
B C
E
(121)Hình 167 A B C D E M
180. (h 166)
Gọi M trung điểm BE
2 BE MB MD
Ta có M1 2 ,B C1 1 2B1 nên M1 C1,
MDCD Từ (1) (2) suy BE2CD
181 (h 167)
Gọi M trung điểm BC tam giác MBE MDE MDC, , cân Ta có
0
0
0
3
D 180 D D
180 180 180 2 2 2 . 2 2
A E M E M C
M M
M M MBE
ABC
Chú ý: Bài tốn bỏ điều kiện “có ba góc nhọn” đề 182 (h 168)
a) Dễ dàng chứng minh đƣợc IH OM IH OM, // OMN HIK c g c( ). Do IHQ MOQ g c g( ) suy QHQO QI, QM
Hình 166 1
1
A
B C E
D
(122)b) DIM vng có DQ đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền nên QDQI QM Nhƣng QI đƣờng trung bình OHA nên
2
OA
QI
. 2
OA QI QM QD c) Tƣơng tự nhƣ câu b, ta có
, 2
OB QK QN QE
R .
2
OC Q QPQF
d) Do OAOBOC nên chín đoạn thẳng QI QM QD QK QN QE QR QP QF, , , , , , , , Do chín điểm I M D K N E R P F, , , , , , , , cách Q đoạn thuộc đƣờng tròn tâm Q
Chú ý: Từ chứng minh trên, ta suy ra:
1. Chín điểm M N P, , (trung điểm ba cạnh), D E F, , (Chân ba đƣờng cao), I K R, ,
(trung điểm đoạn nối trực tâm với đỉnh) nằm đƣờng tròn Đƣờng tròn gọi đường trịn chín điểm đường trịn Ơ-le Các điểm I K R, , đƣợc gọi điểm Ơ-le
2. Tâm Q đƣờng tròn Ơ-le thẳng hàng với trực tâm H, trọng tâm G giao điểm O ba đƣờng trung trực tức nằm đƣờng thẳng Ơ-le (xem 175) Vị trí bốn điểm
, , ,
H Q G O đƣờng thẳng Ơ-le đƣợc thể hình 168,
, 2 .
HQ QO HG GO
3 Bán kính đƣờng trịn Ơ-le
2
OA