Nâng cao và phát triển toán 7 - tập 1

107(4). Một ống dài đƣợc kéo bởi một máy kéo trên đƣờng. Tuấn chạy dọc từ đầu ống đến cuối ống theo hƣớng chuyển động của máy kéo thì đếm đƣợc 140 bƣớc. Sau đó Tuấn quay lại chạy dọc ốn[r]



NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN

LỚP TOÁN TẬP

Chương I

SỐ HỮU TỈ SỐTHỰC

§1 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC SỐ HỮU TỈ

Các phân số biểu diễn số hữu tỉ Số hữu tỉ số viết đƣợc dƣới dạng

phân số a

b với , a b  , b  Tập hợp số hữu tỉ đƣợc kí hiệu Ta xác định thứ tự nhƣ sau :

( , , , ; , 0)

    

a c

ad bc a b c d b d b d

Ta xác định hai phép toán: - Phép cộng: a c ad bc+ ;

b d bd - Phép nhân: a c ac

b d bd 

Phép cộng số hữu tỉ có bốn tính chất: giao hốn, kết hợp, cộng với số 0, cộng với số đối Phép nhân số hữu tỉ có bốn tính chất: giao hốn, kết hợp, nhân với số l, nhân với số nghịch đảo

Giữa phép nhân phép cộng có quan hệ: phép nhân 'phân phối phép cộng Giữa thứ tự phép tốn có quan hệ:

;     

x y x z y z

x y x z y z với z0;

x y x zy z với z0

Trừ số hữu tỉ cộng với số đối số Chia cho số hữu tỉ khác nhân với số nghịch đảo số Mọi số hữu tỉ khác có số nghịch đảo Do phép chia số hữu tỉ cho số hữu tỉ khác cho kết số hữu tỉ

Ví dụ

a) So sánh tổng tích cặp phân số sau :

5 ;

8 11

8 

b) Cho phân số a

b Hãy tìm phân số c

d cho

a c a c b    d b d Giải:

a) 7 7; 8 8

5 11 11

 

       b) Với b0, d0, a b



          

a c a c ad bc ac

ad bc ac ad ac bc

b d b d bd bd

( ) c a

ad c a b

d a b

     

 Chẳng hạn: Nếu

5

a

b

7

7

c

d  

Nếu

11

a

b

8 8

8 11 3

c d



  

Bài tập 1 So sánh số hữu tỉ :

a) 18 91 

23 114 

; b) 22 35 

103

177

  2. Tìm hai phân số có tử 9, biết giá trị phân số lớn 11

13



nhỏ 11

15



3. Cho số hữu tỉ a b

c

d với mẫu dƣơng,

a c

bd Chứng minh rằng: a) ad  bc; b) a a c c

b b d d    



4. Kí hiệu  x số nguyên lớn không vƣợt x, gọi phần nguyên x, chẳng hạn

 1,5 1; 5 5; 2,5 3

a) Hãy tính : ; 3, ; ;    43

7 10

 

   

   

   

b) Cho x3, So sánh:

 

5 5

A x x    x    x    x 

        B 5x c) Tính 100 1002 1003 1004

3 3

                        d) Tính 50 502 503 504 505

2 2 2

                                

e) Cho x So sánh  x với x, so sánh  x với y y ; y x

5. Thực phép tính :

a)

3

   

b)

3 10

    

c)

2 35 41

  

     

d) 1 1

100.9999.9898.97 3.22.1 ;

6 Cho số hữu tỉ x 1, 4089 ; 0,398 ;0, 4771 ;  1, 2592

a) Viết số dƣới dạng tổng số nguyên a số thập phân b không âm nhỏ (*)

1

b) Tính tổng số hữu tỉ hai cách : tính thơng thƣờng, tính tổng số đƣợc viết dƣới đạng câu a

c) Hãy so sánh b  x trƣờng hợp câu a

(*) Trong cách viết này, a phần nguyên x, b phần lẻ x. Kí hiệu phần lẻ x  x    

x x  x

a)

4

n A

n  

 b)

6

2

n B

n  

 8 Tìm số nguyên x y, biết rằng:

4

y x  

9 Viết tất số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ 20 theo thứ tự tuỳ ý Lấy số trừ số thứ tự ta đƣợc hiệu Tổng tất hiệu ?

10. Thực phép tính :

a)

3

10 15 20 19

;

1

14 35

   

 

 

     

 

 

b)

  1 1  

1 100 6, 12 21 3,

3

1 1

2 100

 

           

 

   

c)

1 1 3 3

9 11 25 125 625

4 4 4 4

9 11 25 125 625

    

 

    

11. Tìm số hữu tỉ x, biết rằng:

a) 12;

3x  

b) 1: 3;

44 x 

c) 3x 5

d) 1 1 1;

10 11 12 13 14

x x x x x

   

e*) 1;

2000 2001 2002 2003 x  x  x  x

12 Chứng minh rằng: 99 2! 3! 4!   100!

13. Chứng mỉnh rằng: 1.2 2.3 3.4 99.100

2! 3! 4! 100!

        

14. a) Ngƣời ta viết bảy số hữu tỉ vòng trịn Tìm số đó, biết tích hai số cạnh 16

b) Cũng hỏi nhƣ n số

15. Có tồn hay khơng hai số dƣơng a b khác nhau, cho 1 ?

16*. Chứng minh rằng: 1 1 1 1.23.45.6 49.50262728 50

I7*. Cho 1

1.2 3.4 5.6 99.100

A     Chứng rằng:

12 A

18. Tìm hai số hữu tỉ a b, cho: a b 2(a b ) a b:

19*. Tìm hai số hữu tỉ a b, cho a b ab a b   :

20*. Tìm số hữu tỉ x, cho tổng hai số với số nghịch đảo số nguyên

Vớ dụ: 23,24,26 đến 29, 33, 58 đến 76

Bài tập:135,139 đến 143, 148 đến 150, 156 đến 160, 212 đến 228, 230 đến 271, 273 đến 275, 277, 278

§2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Xem chuyên đề Giá trị tuyệt đối số phần chuyên đề

Ví dụ:35 đến 43

Bài tập:152, 153, 162 đến 164

§3 LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Luỹ thừa bậc n số hữu tỉ x, kí hiệu xn, tích n thừa số x (n số tự nhiên lớn 1)

Quy ƣớc :

x  với x0;x1x Ta có quy tắc :

; :

m n m n m n m n

x x x  x x x  (với x # 0, mn)

   ;    ;      

n n

n n

m mn n n

n

x x

x x x y x y

y y (với y0) Ví dụ

a) Có thể khẳng định x2 luôn lớn x hay không ? b) Khi x2x?

Giải :

a) Không thể khẳng định nhƣ vậy, chẳng hạn với

2

x

1

2

       b) x2    x x2 x x x(  1)

Xảy quan hệ x x1 trái dấu Chú ý x 1 x nên phải có x 1 0,x0tức

0 x Nhƣ với 0 x x2x Cách giải khác xem ví dụ 30

Ví dụ

Tìm số hữu tỉ a b c, , biết rằng: ab2,bc3,ca54 Giải : Nhân vế ba đẳng thức trên, ta đƣợc

 2  2

2.3.54 6.6.9 6.3

abc    nên abc18

1

b

Nếu abc 18 lập luận tƣơng tự nhƣ suy 9, 6,

c  a  b Có hai đáp số: a6,

3

b , c9 6, 1,

3 a  b c  Ví dụ

Rút gọn: A   1 52 53  5495 50

Giải:

2 50 51

2 49 50

5 5 5 5

1 5 5

A A

      

      

Do 51

5A A 5 1 Vậy

51

5

A 

Nhận xét: Trong biểu thức A, số hạng sau gấp lần số hạng liền trƣớc Do ta tính biểu thức 5A

trừ A đƣợc hiệu 5511, từ rút biểu thức A

Ví dụ Cho

2 98 99

1 1 1

2 2 2

B                   

          Chứng minh B1

Giải: Ta viết:

2 97 98

2 98 99

1 1 1

2

2 2 2

1 1 1

1

2 2 2

              B

B

nên 199

B B   Do B1

Bài tập

21. Chứng minh rằng:

a)

7  7 chia hết cho 55; b) 15

16 2 chia hết cho 33;

c) 13

81 27 9 chia hết cho 405

22. Điền vào chỗ trống ( ) từ “bằng nhau” “đối nhau” cho đúng: a) Nếu hai số đối bình phƣơng chúng

b) Nếu hai số đối lập phƣơng chúng c) Lũy thừa chẵn bậc hai số đối d) Lũy thừa lẻ bậc hai số đối

23 Các đẳng thức sau có với số hữu tỉ avà bhay không?

3 5

) ( ) ; ) ( )

a a  a b a  a

2 4

) ( ) ; ) ( )

c a  a d a  a

  2 2  3  3

) ; )

15 20 25 30

1 1

) ) :

2

a        b      

       

   

3

2 3

1

) ) :

16

           

c d x x với x0

25 Viết số 64 dƣới dạng an với a Có cách viết? 26. Rút gọn biểu thức

5

10 8 2.6

20

A 



27 Cho Sn      1  1 n1.n với n1, 2,3, Tính S35S60

28. Cho A      1 13 17 21 25  (nsố hạng, giá trị tuyệt đối số hạng sau lớn giá trị tuyệt đối số hạng trƣớc đơn vị, dấu cộng dấu trừ xen kẽ)

a) Tính A theo n

b) Hãy viết số hạng thứ ncủa biểu thức A theo n (chú ý dùng lũy thừa để biểu thị dấu số hạng đó)

29. Với giá trị chữ biểu thức sau có giá trị số 0, số dƣơng, số âm?

2

) a b; )  x

a P b Q

c yz

30 Hai số hữu tỉ a b trái dấu a b5 Xác định dấu số 31 Viết số sau dƣới dạng lũy thừa :

16; 64; 1; 32;

1

8; 0,5 ; 0, 25 32 a) Viết số sau thành lũy thừa với số mũ âm:

1000000; 0, 00000002 b) Viết số sau dƣới dạng số thập phân:

7

10 ; 2,5.106 33 Tính xem A gấp lần B:

a) A3, 4.108; B34.109; b) A104103102; B109

34 So sánh: a)

100 16       

500     

  ; b)  

9 32

  1813 35 Hãy xếp số hữ tỉ a, b, c theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

100 

a , b375, c550

36 Trong câu sau, câu với số hữu tỉ a? a) Nếu a0 a2 0;

b) Nếu a2 0 a0; c) Nếu a0 

a a; d) Nếu a2 a a0 e) Nếu a2 a a0

37 a) Cho aman (a ; m n,  ) Tìm số m n b) Cho aman (a ;a0;m n,  ) So sánh m n 38 Tìm số hữu tỉ x, biết rằng:

a) 5x5x2 650; b) 3x15.3x1 162 40 Tìm số tự nhiên x y, biết rằng:

a) 3x1 y 12x; b) 10 : 5x y 20y; c)

2x 4y 27y 3x8 41 Tìm số hữu tỉ a, b, c, biết rằng:

a)

5

ab ,

5

bc ,

4 ca

b) a a b c    12; b a b c   18; c a b c   30; c) abc, bc4a, ac9b

42 Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn abbc cd deea Chứng minh năm số a, b, c, d, e

43 Cho 12 12 12 12

2 100

       

           

       

A

So sánh A với 

44 Rút gọn A2100299298297   22 45 Rút gọn B3100399398397    32 46 Cho 12 13 199

3 3

C    

Chứng minh C 47. Chứng minh rằng:

2 2 3 2

3 19

1 2 3  9 10  48 Chứng minh rằng:

2 100

1 100

33 3 3  3 

49 Ta khơng có 2m2n 2m n với số nguyên dƣơng m, n Nhƣng có số ngun dƣơng m, n có tính chất Tìm số

50. Tìm số ngun dƣơng m, n cho

2m2n 256

51 Cho bảng vuông 3 ô Trong ô bảng viết số số 1 Gọi di tích số dịng i (i1, , 3), ck tích số cột k (k1, , 3)

a) Chứng minh xảy

1 3 d d d    c c c b) Xét tốn bảng vng n n

52 Cho n số x1, x2, x3, , xn, mối số 1 Biết tổng n tích x x1 2,

x x , x x3 4, , x xn Chứng minh n chia hết cho

Ví dụ: 25, 30 đến 32, 34

Bài tập: 133, 134, 136 đến 138, 151, 154, 155, 161

§4 TỈ LỆ THỨC

Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Trong tỉ lệ thức a c

b  d (hoặc a b: c d: ) số hạng a d đƣợc gọi ngoại tỉ, số hạng b c đƣợc gọi trung tỉ

Khi viết tỉ lệ thức a c

Từ tỉ lệ thức a c

b d ta suy adbc Đảo lại, adbc (cả bốn số a, b, c, d khác 0) ta có tỉ lệ thức :

a c

b  d ,

a b

c  d ,

d c

b a,

d b

c a

Nhƣ tỉ lệ thức, ta hốn vị ngoại tỉ với nhau, hoán vị trung tỉ với nhau, hoán vị ngoại tỉ với trung tỉ với

Từ đẳng thức adbc, ta lập đƣợc bốn tỉ lệ thức với số hạng a, b, c, d (với quy ƣớc hai tỉ lệ thức a c

b  d

c a

d b kể tỉ lệ thức) Ví dụ

Cho ba số 6, 8, 24

a) Tìm số x cho x với ba số lập thành tỉ lệ thức b) Có thể lập đƣợc tất tỉ lệ thức?

Giải:

a) Trong ba số 6, 8, 24 , có ba cách chọn tích hai ba số Với tích, có cách lập đẳng thức với tích số cịn lại x Ta có:

6.824.x x 2;

6.248.x x 18;

8.246.x x 32 b) Với tích 6.824.2 ta lập đƣợc bốn tỉ lệ thức:

6

24 8,

6 24

2  ,

8

24  6,

8 24

2  Tƣơng tự với tích 6.248.18 8.246.32 Tất có 3.4 12 tỉ lệ thức

Ví dụ 7:

Cho tỉ lệ thức a c

b d Chứng minh

a c

a b c d (giả thiết ab, cd số a, b, c, dkhác 0)

Giải:

Cách Để chứng minh a c

a b c d , ta xét tích a c d   c a b  

Ta có a c dacad

 1

 

c a b ac bc  2

Ta lại có a c ad bc

b  d 

 3

Từ  1 ,  2 ,  3 suy a c d   c a b  Do a c a b c d Cách Đặt a c k

b  d abk, cdk Ta tính giá trị tỉ số a a b

c

c d theo k:  1 (1)

  

   

a bk bk k

 1 (2)

  

   

c dk dk k

c d dk d d k k

Từ  1  2 suy a c a b c d

Cách Hoán vị trung tỉ tỉ lệ thức a c

b d đƣợc

a b

c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đƣợc a b a b

c d c d

  

 Hoán vị trung tỉ a a b

c c d

 

 đƣợc

a c

a b c d

Cách a c b d b d

b       d a c a c

a b c d a c

a c a b c d

 

   

  Nhƣ để chứng minh tỉ lệ thức a c

b d , ta thƣờng dùng hai phƣơng pháp chính: Phương pháp 1: Chứng tỏ adbc

Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số a b

c

d có giá trị Nếu đề cho trƣớc tỉ lệ thức khác, ta đặt giá trị mõi tỉ số tỉ lệ thức cho k, tính giá trị tỉ số tỉ lệ thức cho theo k (cách ) Cũng dùng tính chất tỉ lệ thức nhƣ hốn vị số hạng, tính chất dãy tỉ số nhau, tính chất đẳng thức để biến đổi từ tỉ lệ thức tỉ lệ thức phải chứng minh (cách 3, cách )

Ví dụ Cho tỉ lệ thức

2

x  y

Biết xy90 Tính x y Giải:

Cách Hiển nhiên x0 Nhân hai vế

2

x  y

với x, ta có

2

x xy

 nên

90 18

2

x  

suy x2 36 Do x 6

Vậy x16, y115; x2  6, y2  15 Cách Đặt

2

x y

k

  x2k, y5k Thay giá trị vào xy90 đƣợc 10k2 90

9 k

    k Suy kết nhƣ

Chú ý: Cần tránh sai lầm áp dụng “tƣơng tự” tính chất dãy tỉ số nhau:

2 2.5

x  y xy  

!

Bài tập 53 Tìm số hữu tỉ x tỉ lệ thức:

a) 0, :xx: 0,9; b) 13 :11 26 : 2 1

3 3 x ;

c) 0, :11 2: 6 7

5 x ; d)

37 13 x x    54 Cho tỉ lệ thức 3

4

x y

x y

 

55 Cho tỉ lệ thức a c

b d Chứng tỏ ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết tỉ lệ thức có nghĩa):

a) 3

2 3

a b c d

a b c d

 



  ; b)

2

2

ab a b

cd c d

 

 ; c)

2 2

2

a b a b

c d c d

 

      

 

56 Chứng minh ta có tỉ lệ thức a c

b d có đẳng thức sau (giả thiết tỉ lệ thức có nghĩa):

a) a b c d

a b c d

    

b) a b c  da b c  d  a b c d   a b c d    57 Cho lỉ lệ thức a b c a b c

a b c a b c

    

    b0 Chứng minh c0 58 Cho tỉ lệ thức a b c d

b c d a

 



  Chứng minh ac a b c   d

59 Có thể lập đƣợc tỉ lệ thức từ bốn số sau không? (mỗi số chọn lần)? Nếu có lập đƣợc tỉ lệ thức?

a) 3, , 5, 6, 7; b) 1, , , 8, 16; c) 1, 3, 9, 27, 781, 243

60 Cho bốn số , , 8, 16 Tìm số hữu tỉ x với ba bốn số lập đƣợc thành tỉ lệ thức

Bài tập:107, 229

§5 TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Nếu có n tỉ số n2: 3

n n

a a

a a

b  b  b  b

1 3

1 3

n n

n n

a a a a a a a a

a

b b b b b b b b b

       

  

       

(nếu đặt dấu " " trƣớc số hạng tỉ số đặt dấu " " trƣớc số hạng dƣới tỉ số đó)

Ta gọi tính chất tính chất dãy tỉ số

Tính chất dãy tỉ số cho ta khả rộng rãi để từ tỉ số cho trƣớc, ta lập đƣợc tỉ số tỉ số cho, số hạng số hạng dƣới cua có dạng thuận lợi nhằm sử dụng kiện tốn

Ví dụ

Tìm số x, y, z biết rằng:

3

x y

 ,

5

y  z

2x3y z 186 Giải:

Từ giả thiết ta có:

15 20

x  y ,

20 28

y  z

Theo tính chất dãy tỉ số nhau:

2 3 186

3

15 20 28 30 60 30 60 28 62

x y z x y x yz

      

 

Ví dụ 10

Tìm số x, y, z biết rằng:

1

y z x z x y

x y z x y z

        

  Giải: Theo tính chất dãy tỉ số nhau:

1

y z x z x y

x y z x y z

        

 

y z 1 x z 2 x y 3 x y z

             2

x y z x y z

 

 

  (vì x  y z 0) Do x  y z 0,5 Thay kết vào đề ta đƣợc:

0,5 0,5 0,5

2

x y z

x y z

        

tức 1,5 x 2,5 y 2,5 z

x y z

   

  

Vậy

2

x ,

6

y ,

6 z 

Bài tập 61 Tìm số x, y, z biết rằng:

a)

10 21

x  y z

5x y 2z28; b) 3x2y, 7y5z, x  y z 32; c)

3

x y ,

3

y  z

, 2x3y z 6;

d)

3

x y z

  x  y z 49;

e)

2

x  y  z

2x3y z 50; g)

2

x y z

xyz810

62 Tìm x, biết

18 24

y y y

x     

63 Tìm phân số a

b biết cộng thêm số khác vào tử mẫu giá trị phân số khơng đổi

64 Cho a b c

b  c d Chứng minh

3

a b c a b c d d

 

  

   

 

65 Cho a  b c

b c a Chứng minh a b c 66 Vì tỉ số hai hỗn số dạng a1

b

1

b

a luôn phân số ? a b

( Chẳng hạn : 51 35 )

67 Cho ba tỉ số a ; b ; c

Tìm giá trị tỉ số Ví dụ : 16 đến 20

Bài tập : 106, 108 đến 111, 113 đến 123, 272, 276

§6 SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN Xem chun đề tên phần chuyên đề

Ví dụ : 21, 22

Bài tập : 124 đến 132

§7 SỐ VƠ TỈ CĂN BẬC HAI SỐ THỰC

Mọi số hữu tỉ biểu diễn đƣợc dƣới dạng số thập phân hữ hạn vơ hạn tuần hồn Ngƣợc lại , số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn biểu diện số hữu tỉ

Số vô tỉ số viết dƣới đƣợc dƣới dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Tập hợp số thực bao gồm tập hợp số hữu tỉ tập hợp số vô tỉ I

Cho số a không âm Căn bậc hai alà số x mà x2 a Căn bậc hai không âm a kí hiệu

a

Nếu n số tự nhiên mà khơng số phƣơng n số vơ tỉ Ví dụ 11:

Chứng minh : a) 15 số vô tỉ

b) Nếu số tự nhiên a khơng phải số phƣơng a số vơ tỉ Giải

a) Cách 1: Giả sử 15 số hữu tỉ, nhƣ 15 viết dƣới dạng:

15 m

n

 với m n,  ,m n, 1 Suy m2 15n2(1),

3

m Ta lại có số nguyên tố nên m (2) Đặt m3k k  Thay vào (1) ta đƣợc 2

9k 15n nên 3k2 5n2 suy 5n2 Do  5,3 1 nên n2 3, n (3)

Từ (2) (3) suy m n chia hết cho 3, trái với ( , n)m 1 Nhƣ 15 không số hữu tỉ, 15 phải số vơ tỉ

Cách Giả sử 15 số hữu tỉ, nhƣ 15 viết dƣới dạng:

15 m

n

 với m n,  ,m n, 1 Do 15 khơng số phƣơng nên m

n không số tự nhiên, n1

Ta có 2

15

m  n Gọi p ƣớc nguyên tố n,

,

m p m p Nhƣ plà ƣớc nguyên tố m n, trái với m n, 1

Vậy 15 phải số vô tỉ

b) Giải tƣơng tự nhƣ cách câu a

68 Tính :

) 0,36 0, 49;

a  ) 25

9 36

b 

69 Tìm x , biết :

a) x2 81; b)  12 ; 16

x  c) x2 x 0 d) x x

70 Cho x A

x  

 Chứng minh với

16

x 25

9

x A có giá trị số nguyên

71 Cho x A

x  

 Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên 72 Chứng minh :

a) số vô tỉ; b) 5 số vơ tỉ

73 a) Có hai số vơ tỉ mà tích số hữu tỉ hay khơng?

b) Có hai số vơ tỉ dƣơng mà tổng số hữu tỉ hay không?

74 Kí hiệu  x số nguyên lớn khơng vƣợt q x (xem thích tập 4) Tính giá trị tổng :

1 35

                   

75 Cho số thực a b cho tập hợp a2a b;  b2b b;  Chứng minh

ab

Bài tập: 144 đến 147

Chương II

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ §8 ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ THUẬN

Nếu đại lƣợng yliên hệ với đại lƣợng x công thức yax, với a số khác ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a

Nêu hai đại lƣợng tỉ lệ thuận tỉ số hai giá trị đại lƣợng tỉ số hai giá trị tƣơng ứng đại lƣợng kia:

1

2 x y x  y Ví dụ 12:

Hai gà 1,5 ngày để trứng Hỏi bốn gà 1,5 tuần đẻ trứng? Giải : Số gà tăng gấp lần, số ngày tăng gấp lần ( tuần = ngày ) nên số trứng đẻ đƣợc tăng gấp

2.7 lần

Số trứng phải tìm 2.2.728( )

Bài tập 76 Viết công thức biểu thị phụ thuộc giữa:

a) Chu vi C hình vng cạnh x nó; b) Chu vi C đƣờng trịn bán kính R

77 a) Một hình chữ nhật có cạnh 5cm Viết công thức biểu thị phụ thuộc diện tích S

(cm ) hình chữ nhật cạnh x(cm)

b) Một hình tam giác có cạnh đáy 4cm Viết cơng thức biểu thị phụ thuộc diện tích S

(cm )của hình tam giác chiều cao h( cm)

78 Viết cơng thức cho tƣơng ứng số hữu tỉ x với số đối

79 Một cơng 30 đinh ốc cần 45 phút Hỏi 15 phút, ngƣời tiện đƣợc đinh ốc?

80 Biết a công nhân làm b ngày đƣợc cdụng cụ Tính xem bcơng nhân làm ngày đƣơc adụng cụ?

81 10 chàng trai câu đƣợc 10 cá phút Hỏi 50 chàng trai câu đƣợc 50 cá phút?

82 Một ngựa ăn hết xe cỏ ngày Một dê ăn hết xe cỏ ngày Một cừu ăn hết xe cỏ 12 ngày Hỏi ba ăn hết xe có bao lâu?

83 Một hình chữ nhật lớn đƣợc chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ nhƣ hình với diện tích ( tính m2) đƣợc cho hình Diện tích x hình chữ nhật cịn lại : A) 72m2; B) 49m2; C) 81m2; D) 91m2

84* Có ba đồng hồ có kim Chiếc thứ đồng hồ chết; thứ hai đồng hồ treo tƣờng, ngày chậm phút; thứ ba

một đồng hồ đeo tay, chậm phút Hỏi đồng hồ nhiều lần ? Hình 1

63 x

§9 ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ NGHỊCH

Nếu đại lƣợng y liên hệ với đại lƣợng x công thức y a x

 , với a số khác ta nói ytỉ lệ nghịch với x theo tỉ lệ a

Nếu hai đại lƣợng tỉ lệ nghịch tỉ số hai giá trị đại lƣợng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tƣơng ứng đại lƣợng kia:

1

2 x y x  y Ví dụ 13:

Để làm công việc , ngƣời ta cần huy động 40 ngƣời làm 12 Nếu số ngƣời tăng thêm ngƣời thời gian hồn thành giảm đƣợc giờ?

Giải: Gọi thời gian hoàn thành cồn việc sau bổ sung thêm ngƣời xgiờ Ta có : Số ngƣời Thời gian (giờ)

40 12

48 x

Do khối lƣợng công việc không đổi nên số ngƣời làm việc thời gian hồn thành cơng việc hai đại lƣợng tỉ lệ nghịch Do đó:

40 48 12

x

 Suy 12.40 10 48

x 

Thời gian hồn thành cơng việc 10 giờ, giảm đƣợc :

12 10  

Bài tập

85 a) Một hình chữ nhật có diện tích 12cm2 Viết cơng thức biểu thị phụ thuộc cạnh có độ dài y cm( ) cạnh có độ dài x cm( ) hình chữ nhật

b) Một tam giác có diện tích

10cm Viết công thức biểu thị phụ thuộc cạnh có độ dài (cm)

y đƣờng cao tƣơng ứng có độ dài x (cm) tam giác

86 Viết cơng thức cho tƣơng ứng số hữu tỉ x khác với số nghịch đảo

88 Một bánh xe cƣa có 75 răng, phút quay 56 vịng Một bánh xe khác có 35 ăn khớp với bánh xe phút quay đƣợc vòng?

89 Đĩa xe đạp có 48 răng, cịn líp (gắn vào bánh sau xe đạp) có 18 Khi bánh xe đạp quay vịng đùi đĩa quay góc độ?

90 Trong hệ thống bánh xe cƣa chuyển động khớp với nhau, ba bánh xe I, II, III có số theo thứ tự 15, 10, ( h.2) Vận tốc quay ba bánh xe (tính theo vịng /phút) theo tỉ lệ với :

15; 10; 8; 8; 10; 15; 8; 12; 15; 10

) )

; 15; 20 )

)

A B C D

Hãy chọn câu trả lời

91 Tuấn Hùng uống hai viên vita C ngày, Dũng uống viên ngày Số thuốc đủ dùng cho ba ngƣời 30 ngày Nếu Dũng uống hai viên ngày số thuốc dùng hết bao lâu?

92 Có ba máy, máy làm ngày sau ngày làm xong cơng việc Hỏi cần máy, máy làm ngày để ngày làm xong công việc ?

93 Cho hai đại lƣợng I II tỉ lệ nghịch với có giá trị dƣơng Nếu giá trị đại lƣợng I tăng thêm 10% giá trị tƣơng ứng đại lƣợng II giảm đi:

A) 10% B) 9010%

11 C) 9% D)

1

9 %

11

Hãy chọn câu trả lời

§10 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Nếu đại lƣợng y phụ thuộc vào đại lƣợng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định đƣợc giá trị tƣơng ứng y y đƣợc gọi hàm số xvà xgọi biến số Hàm số đƣợc cho bảng , công thức,…

Đồ thị hàm số y f x( ) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tƣơng ứng  x y; mặt phẳng tọa độ

Ví dụ 14:

Cho f x( ) 4,

x

 g x( ) 3 ,x h( )x x2, k x( )x3 a) Tính ( 1); ; ( ); (2 )

2

f  g   h a k a

 

b) Tính f( 2) g(3)h(0)

c) Tính x x x x1, 2, 3, 4, biết  1 1;  2 3;  3 9;  4

f x  g x  h x  k x  

d) Vì hàm số f x( ) có tính chất f    x f x ? Trong hàm số cịn lại, hàm số có tính chất tƣơng tự nhƣ trên?

Giải :

a) ( 1) 4; 3.1 3; h( ) 2; (2 )  2

1 2

f     g      a a k a  a  a

  

b)

( 2) (3) (0) ( 3).3 11

2

f  g h           

c)  1 1

1

1

8;

2

f x x

x

     g x 2   3 3x2  3 x2  1; h x 3  9 x32  9 x3 3; k x 4   8 x34   8 x4  2; d) f  x ; f x 

x x

    

 Vậy f    x f x 

Các hàm số g x k x( ), ( ) có tính chất g(  x) g x k( ), (  x) k x( ) Hàm số h x( ) tính chất mà có tính chất h( x) h x( )

Ví dụ 15 :

Vẽ đồ thị hàm số :

2 ,

1

,

2 x x y

x x  

  





Giải:

Với x0 y2x Với x0

2

y  x

Đồ thị hàm số gồm hai tia OA OB, A2;1 B 1; nhƣ hình Bài tập

Hàm số

94. Viết công thức cho tƣơng ứng giữa:

b) Diện tích S hình trịn bán kính R

95. Giầy cỡ 36 ứng với khoảng cách d từ gót chân đến mũi ngón chân 23cm Khi khoảng cách d tăng (hay giảm)

3

cm cỡ giầy tăng (hay giảm) số Hãy điền số thích hợp vào

các trống bảng sau :

) (cm

d 19 23 25

Cỡ giầy 33 36 37 38

96. Cho hàm số f x1( ) x; f x2( ) ;x f x3( ) ; f x4( ) ; ; f x5( ) ; f x6( ) x2 x

      

Trong hàm số , hàm số có tính chất f(x) f(x);

? ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) (

); ( )

( x f x f x1 x2 f x1 f x2 f x1x2 f x1 f x2

f      

97. Viết công thức cho tƣơng ứng số que diêm (y)và số tam giác tạo thành (x)đƣợc nêu

bảng sau:

Hình vẽ …

Số tam giác (x) …

Số que diêm (y) …

98. Viết công thức cho tƣơng ứng số que diêm (y) số hình vng tạo thành (x) đƣợc nêu bảng sau:

Hình vẽ …

Số hình vng (x) …

Số que diêm (y) 10 …

99. Viết công thức cho tƣơng ứng số hình vng (y)và số hình vng đen (x) đƣợc nêu bảng sau:

Hình vẽ

Số hình vng đen(x) …

Số hình vng trắng (y) 13 18 …

Đồ thị hàm số yax

100. Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số yax qua điểm A6;2 Điểm B9;3, điểm

7;2

C có thuộc đồ thị hàm số khơng? Tìm đồ thị hàm số điểm D có hồnh độ

4

a) víi

víi

x x

y

x x

 

  

 b)

2 víi

víi

x x

y

x x

 

  

 



102. Cho biểu thức 4x Hãy lí luận để chứng tỏ biểu thức khơng có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ

Đồ thị hàm số x a y

103. Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số x a

y qua điểm 

  

  

8 ;

A Điểm B1;4, điểm 2;2

C có thuộc đồ thị hàm số khơng? Tìm đồ thị điểm D có hồnh độ 6, điểm E có tung độ

104. Vẽ đồ thị hàm số x

y1và y1 hệ trục tọa độ xOy dùng đồ thị để tìm giá trị x cho 1

x

105. Hãy dung đồ thị để chứng tỏ biểu thức x

5

khơng có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ

nhất

CHUYÊN ĐỀ

CHIA TỈ LỆ

Trong toán chia số thành phần tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch với số cho trƣớc, cần ý rằng:

1) x, y, z tỉ lệ thuận với

p n m z y x c b

a, ,  : :  :1:1 ( tức

c z b y a x  

)

2) x, y, z tỉ lệ thuận với

p n m z y x p n

m, ,  : :  :1:1 Ví dụ 16(5)

Hai xe ô tô khởi hành lúc từ hai địa điểmA vàB Xe thứ quãng đƣờng AB hết 15 phút, xe thứ hai quãng đƣờng BA hết 45 phút Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đƣợc quãng đƣờng dài quãng đƣờng xe thứ 20km Tính quãng đƣờngAB

Giải:

Cùng quãng đƣờngAB, vận tốc hai xe tỉ lệ nghịch với thời gian hai xe quãng đƣờng Do đó, tỉ số vận tốc xe thứ so với xe thứ hai bằng:

17 : 15 4 : 3 

Cùng thời gian từ chỗ khởi hành đến chỗ gặp nhau, quãng đƣờng hai xe đƣợc (gọi

s s2) tỉ lệ thuận với vận tốc hai xe Do s1:s2  15:17 Mặt khác s2 s1 20

Ta có: 10

2 20 15 17 17 15 2

1  

    s s s s

Vậy s1 150, s2 170 Quãng đƣờng AB 320 km Ví dụ 17(5)

Để từ A đến Bcó thể dung phƣơng tiện: máy bay, ô tô, xe lửa Vận tốc máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với ; ; Biết thời gian từ A đến Bbằng máy bay so với ô tô Hỏi thời gian xe lửa quãng đƣờng AB bao lâu?

Giải: Gọi t1,t2,t3(giờ) theo thứ tự thời gian máy bay, ô tô, xe lửa từ A đến B.Cùng quãng đƣờng, thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc nên:

6 : : 1 : : : : 2 3

1 t t  

t Ta lại có t2 t1 6

Theo tính chất dãy tỉ số nhau:

3 6 1

1  

   

t t t t t

Do t3 18

Thời gian xe lửa quãng đƣờng ABlà 18 Ví dụ 18(5)

Ba khoA, B,Ccùng chứa số gạo Ngƣời ta nhập vào kho A thêm

7

số gạo kho đó,

xuất kho B

9

số gạo kho đó, xuất kho C

7

số gạo kho Khi số gạo ba kho

bằng Tính số gạo kho lúc đầu, biết kho A chứa nhiều kho Blà 20 tạ gạo Giải:

Gọi số gạo lúc đầu kho A, B,C theo thứ tự a,b,c (tạ) Ta có:

) ( 9 c b

a  ba20 (2)

2 10 20 35 45 56 45

35   

  

 b c b a a

Từ đó: a70,b90, c112

Số gạo kho A,B,Clúc đầu theo thứ tự là: 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ Ví dụ 19(5)

Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy phân chia số hàng cho đội cho khối lƣợng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển

Giải:

Để chia 1530 kg thành ba phần tỉ lệ nghịch với 1500; 2000 ; 3000, ta chia thành ba phần tỉ lệ thuận với 3000 ; 2000 ; 1500

tức tỉ lệ thuận với ; ; (bằng cách nhân phân số với 6000,

BCNN 1500 , 2000 , 3000)

Gọi x, y, z(kg) theo thứ tự số hàng đội I, II , III phải vận chuyển Ta có:

170 1530

4    

   

 y z x y z x

Từ đó: x680, y510, z340

Số hàng đội I, II, III phải vận chuyển theo thứ tự là: 680kg, 510kg, 340kg Ví dụ 20(5)

Ba xí nghiệp xây dựng chung cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I có 40 xe cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe cách cầu 1km

Hỏi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu tiền, biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu?

Giải:

Gọi x, y, z(triệu đồng) theo thứ tự số tiền xí nghiệp I, II, III phải trả Ta có:

38

  y z x : : 30 : 20 : , 40 :

: y z 

x

Theo tính chất dãy tỉ số nhau:

2 19 38 9

8    

   

 y z x y z x

Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả : 16 triệu đồng, triệu đồng, 18 triệu đồng

Bài tập

106(5) a) Tính thời gian từ lúc hai kim đồng hồ gặp lần trƣớc đến lúc chúng gặp lần

b) Trong ngày, hai kim đồng hồ tạo với góc vng lần?

107(4) Một ống dài đƣợc kéo máy kéo đƣờng Tuấn chạy dọc từ đầu ống đến cuối ống theo hƣớng chuyển động máy kéo đếm đƣợc 140 bƣớc Sau Tuấn quay lại chạy dọc ống theo chiều ngƣợc lại đến đƣợc 20 bƣớc Biết bƣớc chạy Tuấn dài 1m Hãy tính độ dài ống

108(5) Năm lớp , , , , 7A B C D E nhận chăm sóc vƣờn trƣờng có diện tích 300m2 Lớp 7A nhận 15% diện tích vƣờn, lớp 7B nhận

5

nhận đƣợc đem chia cho ba lớp 7C, 7D,7E tỉ lệ với

2

;

4

;

16

Tính diện tích vƣờn giao cho lớp

109 (5). Ba công nhân đƣợc thƣởng 100000 đồng, số tiền thƣởng đƣợc phâm chia tỉ lệ với mức sản xuất ngƣời Biết mức sản xuất ngƣời thứ so với mức sản xuất ngƣời thứ hai : 3, mức sản xuất ngƣời thứ ba 25% tổng số mức sản xuất hai ngƣời kia.Tính số tiền ngƣời đƣợc thƣởng

110(5) Một công trƣờng dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với ; ; 5.Nhƣng sau số ngƣời đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ với ; ; Nhƣ có đội làm nhiều so với dự định 6m3đất Tính số đất phân chia cho đội

111(5) Trong đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển đƣợc 912m3đất Trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đƣợc 1,2m3;1,4m3;1,6m3 Số học sinh khối khối tỉ lệ với 3, số học sinh khối khối tỉ lệ với Tính số học sinh khối

112(5) Ba tổ cơng nhân có mức sản xuất tỉ lệ với ; ; Tổ I tăng suất 10%, tổ II tăng suất 20%, tổ II tăng suất 10% Do thời gian, tổ I làm đƣợc nhiều tổ II sản phẩm Tính số sản phẩm tổ làm đƣợc thời gian

113(5) Tìm ba số tự nhiên, biết BCNN chúng bắng 3150, tỉ số số thứ số thứ hai : 9, tỉ số số thứ số thứ ba 10 :7

114(5) Ba vài theo thứ tự giá 120 000 đồng, 192 000 đồng 144 000 đồng Tấm thứ thứ hai có chiều dài, thứ hai thứ ba có chiều rộng Tổng ba chiều dài 110m, tổng ba chiều rộng 2,1m Tính kích thƣớc vải, biết giá 1m2 ba vải

115(5) Có ba gói tiền: gói thứ gồm tồn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm tồn tờ 2000 đồng, gói thứ ba gồm tồn tờ 5000 đồng Biết tổng số tờ giấy bạc ba gói 540 tờ số tiền gói Tính sô tờ giấy bạc loại

116(5) Ba công đƣợc tất 860 dụng cụ thời gian Để tiện dụng cụ, ngƣời thứ cần phút, ngƣời thứ hai cần phút, ngƣời thứ ba cần phút Tính số dụng cụ ngƣời tiện đƣợc

117(5) Ba em bé: Ánh tuổi, Bích tuổi, Châu 10 tuổi đƣợc bà chia cho 42 kẹo Số kẹo đƣợc chia tỉ lệ nghịch với số tuổi em Hỏi em đƣợc chia kẹo?

118(5) Tìm ba phân số, biết tổng chúng 70

3

3 , tử chúng tỉ lệ với ; ; 5,

mẫu chúng tỉ lệ ; ;

119(5) Tìm số tự nhiêm có ba chữ số, biết số bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với ; ;

120(5). Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với ; ; Ba chiều cao tƣơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?

121(5). Ba đƣờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12, x Biết số tự nhiên Tìm (cho biết cạnh tam giác nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng)

122(5). Cho tam giác ABC Có góc ngồi tam giác A,B,Ctỉ lệ với ; ; Các góc tƣơng ứng tỉ lệ với số nào?

SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN

I – Viết phân số dƣới dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hồn Ví dụ 21(6)

Viết phân số sau dƣới dạng số thập phân:

a) 40 ; 25 b) 22 ; ; 23 Giải:

a) Cách 1.Chia tử cho mẫu:

075 , 40 ; 28 , 25

7  

Cách Phân tích mẫu thừa số bổ sung thừa số phụ để mẫu lũy thừa 10:

; 28 , 100 28 7 25 2

2   

 075 , 1000 75 40 3

3   



b) 0,31818

22 ; 1428571428 , ; 2121 , 33   

Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy :

1 Nếu phân số tối giản mà mẫu ƣớc ngun tố khác viết đƣợc dƣới dạng phân số thập phân hữu hạn

2 Nếu phân số tối giản mà mẫu có ƣớc ngun tố khác khơng viết đƣợc dƣới dạng số thập phân hữu hạn Phân số viết thành số thập phân vơ hạn, có nhóm chữ số đƣợc lặp lại, nhóm chữ số gọi chu kì, số thập phân vơ hạn gọi tuần hồn Số thập phân có nguồn gốc từ phân số vơ hạn phải tuần hồn Chẳng hạn chia cho ta đƣợc số thập phân vô hạn, số dƣ phép chia 1, 2, 3, 4, 5, nên nhiều đến số dƣ thứ bảy, số dƣ phải lặp lại, nhóm chữ số thƣơng lặp lại, số thập phân vơ hạn phải tuần hồn Ta có :

0,142857142857

1 

3 Để viết gọn số thập phân vô hạn tuần hồn, ngƣời ta đặt chu kì dấu ngoặc Chẳng hạn:

) 18 ( , 31818 , 22 ); 21 ( , 2121 , 33     Số

337 viết dƣới dạng 0,(2121) 0,2(12) So với cách viết 0,(21)có chu kì 21 cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số tập phân liền trƣớc chu kì chữ số cuối chu kì nhau, ta không chọn cách viết

4 Số thập phân vơ hạn tuần hồn gọi đơn chu kì bắt đầu sau dấu phẩy, ví dụ 0,(21); gọi tạp chu kì khơng bắt đầu dấu phảy, phần thập phân đứng trƣớc chu kì gọi phần bất thường, ví dụ 0,3(18) có chu kì 18 phần bất thƣờng

II – Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dƣới dạng phân số

10 18 10 18 10 31818 , ; 10 21 10 21 10 21 212121 ,

0  2  4  6    3  5 

Các phép tính đƣợc nghiên cứu lớp học tổng số hạng cấp số nhân lùi vô hạn

Ngƣời ta chứng minh đƣợc quy tắc sau:

Muốn viết phần thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn dƣới dạng phân số, ta lấy chu kỳ làm tử, mẫu số gồm chữ số 9, số chữ số số chữ số chu kỳ Ví dụ :

    21

0, ; 0, 21

9 99 33

   

Muốn viết phần thập phân số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dƣới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thƣờng chu kỳ trừ phần bất thƣờng làm tử, mẫu số gồm chữ số kèm theo số 0, số chữ số số chữ số chu kỳ, số chữ số số chữ số phần bất thƣờng Chẳng hạn :

  16 1   318 315

5,1 5 ; 0,3 18

90 990 990 22

 

    

Ta đƣa cách minh họa quy tắc Gọi x0, 2121 : 100 21, 2121

0, 2121 99 21 x x x    

nên 21

99 33

x  Gọi 0,3181818 :

1000 318,1818 10 3,1818

990 318

y y y     

nên 318 315

990 990 22

y   

Tuy nhiên, minh họa nói khơng phải cách chứng minh chặt chẽ ta áp dụng quy tắc tính số thập phân hữu hạn vào số vô hạn mà chƣa chứng minh điều có

đƣợc phép hay khơng

III – Điều kiện để phân số viết dƣới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn hay tạp Xét quy tắc viết só thập phân vơ hạn tuần hoàn đơn dƣới dạng số :

  21

0, 21

99 33

  Tổng quát:

 

1 0, 99 n n n

a a a

a a a  Mẫu 99

n

không chia hết cho , không chia hết đến phân số tối giản, mẫu không chƣa nguyên tố

Xét quy tắc viết số thập phân tuần hoàn tạp dƣới dạng phân số:   318 315 0,3 18

990 990 22



  

Tổng quát:

  2

1 2

0,

99 00

k n k

k n

n k

b b b a a a b b b

b b b a a a   Mẫu 99 00

n k

tận mà tử tận

thừa số hoặc

Từ ta suy ra: Một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác viết thành số thập phân vơ hạn tuần hồn Đối với phân số đó, mẫu khơng có ƣớc ngun tố viết đƣợc thành số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn, mẫu có ƣớc nguyên tố viết đƣợc thành số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp

Ví dụ 22 6 

Với số tự nhiên n0 viết phân số dƣới dạng số thập phân, ta đƣợc số thập phân vô hạn hay hữu hạn? Nếu số thập phân vô hạn số số thập phân vơ hạn tuần hoàn đơn hay tạp?

a)

3

12

n n

n 

; b)

12

n n 

Giải:

a)  

2

3

3

12 12

n n

n n n

n n



 

  đổi số thập phân hữu hạn

b) Từ 6n1 không chia hết cho 3, mẫu chia hết đến đổi phân số tối giản, mẫu có ƣớc 3, phân số đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn

Tử 6n1 số lẻ, mẫu 12n số chẵn nên phân số tối giản, mẫu có ƣớc 2, số thập phân vơ hạn tuần hoàn tạp

BÀI TẬP

124(6). Viết phân số sau dƣới dạng số thập phân:

35 10 15 13

; ; ; ; ; ; ;

56 15 11 13 82 22 60 24

125(6). Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dƣới dạng phân số:

             

0, 27 ; 0, 703 ; 0, 571428 ; 2, 01 ; 0,1 63 ; 2, 41 ; 0,88 63

126(6). Tìm phân số tối giản phân số khác 1, biết tích tử mẫu 1260 phân số viết đƣợc dƣới dạng số thập phân hữu hạn

127(7). Cho số x0,12345 998999 bên phải dấu phảy ta viết số từ đến 999 liên tiếp Chữ số thứ 2003 bên phải dấu phảy chữ số:

A) 0 ; B) ; C) ; D)

Hãy chọn câu trả lời

128(6). Thay chữ số thích hợp: a) 1:0,abc  a b c ;

b) 1:0, 0abc   a b c d;

c) 0,x y 0,y x 8.0, 00 1  biết x y 129(6). Thay dấu * chữ số thích hợp:

* * *

 * *

* * * ,* * *

* * *

 * *

* *

 * *

* *

130(6). Khi viết phân số sau dƣới dạng số thập phân, ta đƣợc số thập phân hữu hạn, hay vô hạn tuần hồn đơn, hay vơ hạn tuần hồn tạp:

a) 35  

70

n n

 

; b)

n109876543211n2n3 n  131*(6). Cho

1, 00 01

BẤT ĐẲNG THỨC

I- ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Định nghĩa ab a b số dƣơng

Tính chất Cần ý đến tính chất bất đẳng thức: Cộng số vào hai vế bất đẳng thức:

a    b a c b c Nhân hai vế bất đẳng thức với số dƣơng:

,

ab c acbc

3 Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức:

,

ab c acbc II- KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƢƠNG HOẶC ÂM Dạng Biểu thức có dạng tổng, hiệu

Ví dụ 23(1)

Tìm giá trị x, cho :

a) Biểu thức A2x1 có giá trị dƣơng ; b) Biểu thức B 8 2x có giá trị âm Giải:

a) 1

2

x   x Với

x A0

b) 2 x  0 2x   4 x x Với x4 B0 Chú ý : Ta gọi

2

x nghiệm nhị thức 2x1 ; x4 nghiệm nhị thức 2x Đối với nhị thức bậc ax b a ( 0) ; nghiệm nhị thức b

a  Ngƣời ta chứng minh đƣợc :

Với x b a

  nhị thức dấu với hệ số a, với x b a

  nhị thức trái dấu với hệ số a Dạng Biểu thức đƣa dạng tích

Ví dụ 24(1)

Tìm giá trị x để biểu thức A (x 1)(x3) có giá trị âm Giải: A0 thừa số x1 x3 trái dấu

Chú ý x  1 x nên A0 xảy x 1 x 3 Giải x 1 đƣợc x1, giải x 3 0đƣợc x 3

Vậy 3  x A0 Ví dụ 25(3)

Khi biểu thức Bx23x có giá trị dƣơng ? Giải: Biến đổi B thành tích : Bx x( 3)

0 B   x

x  x x0

rằng x0 x3 làm cho Cách Chú ý

các thừa số x x3 0, ta xét ba khoảng giá trị x:

a) Với x0 hai thừa số âm, B0 b) Với 0 x hai thừa số trái dấu, B0 c) Với x3 hai thừa số dƣơng, B0

0

B  x x3

Có thể viết kết bảng xét dấu :

Dạng Biểu thức có dạng thƣơng

Ví dụ 26(1)

Tìm giá trị x để biểu thức x A

x  

 có giá trị âm Giải: Tƣơng tự nhƣ ví dụ 24, ta đƣợc 3  x

III- KHI NÀO AB HOẶC AB?

Công việc tìm giá trị biến để biểu thức A B có giá trị dƣơng giá trị âm Ví dụ 27(1)

Cho biểu thức

8 x A

x  

 Tìm giá trị x để A1 Giải:

Biến đổi : 3

8 8

x x

A

x x x

  

   

  

Do : A1 suy

x  nên x 8 hay x 8 Vậy với x 8 A1

Ví dụ 28(1)

Với giá trị x 1 (1) 4x 2x ? Giải: Xét hiệu hai vế: 1

4x 2x 4x

      

   

   

Ta có

4x  nên

6

4x suy x24 Vậy với x24 xảy bất đẳng thức (1)

Ví dụ 29(1)

Với giá trị x a x  a x ? a x  a x? Giải: Xét hiệu hai vế : (a   x) (a x) 2x

Nhƣ , x0 (a   x) (a x) 0, a x  a x; x0 x

x   

x    ( 3)

(a   x) (a x) 0, a x  a x Ví dụ 30(3)

So sánh a2 a, số lớn ? Giải:

Xét hiệu a2 a a a( 1) Chú ý a0 a1 làm cho thừa số a a1 Ta xét trƣờng hợp:

a) Nếu a0 a a1 âm, a2 a nên a2 a b) Nếu 0 a a0, a 1 0,

0

a  a nên a2 a c) Nếu a1 a a1 dƣơng, a2 a nên a2 a d) Cịn a0 a1 a2 a

Ví dụ 31(3)

Chứng minh hai số dƣơng : a) Số lớn có bình phƣơng lớn b) Số có bình phƣơng lớn số lớn Giải:

a) Cho x y Cần chứng minh x2  y2

Nhân hai vế xy với số dƣơng x ta đƣợc x2 xy (1) Nhân hai vế xy với số dƣơng y ta đƣợc xy y2 (2) Từ (1) (2) suy 2

x  y

b) Cho x0, y0 x2  y2 Cần chứng minh xy Giả sử x y theo câu a ta có x2  y2 trái với giả thiết Giả sử xy x2 y2, trái với giả thiết

Vậy x y

IV- TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Một biểu thức có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Chẳng hạn, xét biểu thức x2 Biểu thức có giá trị dƣơng x0, có giá trị x0 Nhƣ x2có giá trị nhỏ khix0 Biểu thức khơng có giá trị lớn Thật vậy, giả sử x2 có giá trị lớn m x1 x2cũng m x2 số đối x1 Giả sử x10, ta chứng tỏ tồn giá trị x3 mà

2

x m Ta chọn x3  x1 x32 x12 Mà x12 m nên x32 m, trái với điều giả sử m giá trị lớn biểu thức

Muốn tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức ( )f x , ta phải thực hai yêu cầu: chứng tỏ ( )f x m (m số) với x dấu '''' đƣợc xảy

Muốn tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức f x( ), ta cần chứng tỏ : f x( )m (m số) với x dấu '''' đƣợc xảy

Nếu chứng minh đƣợc yêu cầu thứ chƣa đủ để kết luận GTNN GTLN biểu thức Chẳng hạn ta có (x23)2 0 Muốn xảy dấu đẳng thức phải có x2 3 0, điều khơng xảy x2 3 với x Nhƣ ta có 2

(x 3) 0 nhƣng số GTNN biểu thức (x2 3)2, GTNN biểu thức x0

thức không xảy ra, GTNN biểu thức x1 (*)

Để chứng tỏ ( )f x m (m số) ta thƣờng dùng đến bất đẳng thức :

0

x  , x 0

Để chứng tỏ ( )f x m (m số) ta thƣờng dùng đến bất đẳng thức :

0 x

  ,  x Ví dụ 32(3)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức A2(x3)25

Giải: Với x ta có (x3)2 0 suy 2(x3)2 0 2(x3)2  5 GTNN A 5 x 3

_

(*) Thật x2 (x 2)2 x2x24x 4 2(x22x  1) 2(x1)2 2 Khi x1 giá trị biểu thức

Chú ý: Có biểu thức khơng có GTLN lẫn GTNN, chẳng hạn A4x; B x

 (xem 102, 105)

Tuy nhiên xét giá trị biến tập hợp hẹp hơn, biểu thức lại có GTLN GTNN Chẳng hạn, xét x , x x biểu thức x3 khơng có GTNN, nhƣng xét x biểu thức có GTNN với x0

Ví dụ 33(1)

Với giá trị nguyên x biểu thức 14

4

x D

x  

 có giá trị lớn nhất? Tìm giá tri

Giải: Biến đổi 10 10

4

x D

x x

 

  

 

Dlớn 10

4x lớn Xét x4 10

4x (1) Xét x4 10

4x Phân số

10

4x có tử mẫu dƣơng, tử khơng đổi nên có giá tri lớn mẫu nhỏ Mẫu 4x số nguyên dƣơng, nhỏ 4 x tức x3 Khi

10 10 4x (2)

So sánh (1) (2), ta thấy 10

4x lớn 10 Vậy GTLN D 11 x3

BÀI TẬP 133(3). Tìm x, cho:

c) x2 2 x1x 4 0; d)   x x x  

 ; e)

5

x

134(3). Tìm giá trị x để:

a) x2x; b) a x a  ; c) x3x2

135(3). Tìm giá trị x để:

a)

x x

 

 ; b)

3 x x   

136(3). Tìm số nguyên a cho:

    

1 10

a  a  a  a   137(3). Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A x 4 3x22; b) Bx452; c) C x 1 2 y22

138(3). Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A 5 2 x12; b)

 2

1

2

B x 

  ; c) 2 x C x   

139(1). Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị lớn nhất:

a)

7

A x 

 ; b)

27 12 x B x   

140(1). Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất:

a)

3

A x 

 ; b)

7 x B x  

 ; c)

5 19 x C x   

141*(1). Tìm số tự nhiên n để phân số

2

n n 

 có giá trị lớn nhất:

142(1) Tìm số a, b, c không âm cho a 3c 8, a2b9 tổng a b c  có giá trị lớn

143*(1) Cho 1989 số tự nhiên liên tiếp từ đến 1989 Đặt trƣớc dấu “" " " " cộng lại đƣợc tổng A Tính giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đƣợc

144(7) So sánh x y, biết rằng:

a) x2 7; y3 b) x6 2; y5

c) x 31 13; y 6 11

145(7) Chứng minh 0 a aa

147(7) Tìm giá trị lớn biểu thức x

148(1). Kí hiệu  a phân nguyên a (xem thích 4) Tìm x, biết rằng: a) 2 x  1 5; b)  x 2 3  x  1

149(1). Kí hiệu  a phân nguyên a  a phần lẻ a (xem thích kí hiệu 4, 6) Tìm x y, biết rằng:

a)  x  y 1,5  y  x 3, 2; b) x y 3,  x  y 4,

150(1). Có tồn hay khơng dãy gồm năm số, cho hai số liên tiếp có tổng số dƣơng, cịn tổng năm số lại số âm?

151(3). Tìm số nguyên a, b, c cho:

a b, b2 c, c2 a

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ

I- ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

Trên trục số, điểm -2 cách điểm gốc đơn vị Ta nói: giá trị tuyệt đối 2, giá trị tuyệt đối -2

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số a, kí hiệu a , số đo khảng cách từ điểm a đến điểm gốc trục số

Ta thƣờng sử dụng định nghĩa dƣới dạng:

0

a nÕu a

a

a nÕu a

 

   

Tính chất

Từ định nghĩa ta suy đƣợc tính chất sau:

1) Nếu a0 a 0; a0 a 0

Ta có: Giá trị tuyệt đối số khơng âm: a 0.

2) Nếu a0 a a, a0 a a

Ta có: Trị tuyệt đối số lớn số đó: aa

Trong số tốn giá trị tuyệt đối, ta dùng đến bất đẳng thức sau:

Giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối

Xảy dấu đẳng thức ab0 II - TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

Ví dụ 34(3)

Tính giá trị biểu thức A3x22x1 với

2

x 

Giải: 1

2

x   x

2

x 

Nếu x

2

1 3

3 1

2 4

A         

  ;

Nếu

2

x 

2

1 3

3 1

2 4

   

         

   

A

III - RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ 35(2)

Rút gọn biểu thức A3 2 x  1 x

Giải:Với x 5 x  5 x 5, với x 5 x  5 x

Xét hai trƣờng hợp ứng với hai khoảng giá trị biến x: a) Nếu x5 A3 2 x    1 x 5 5x 2;

b) Nếu x5 A3 2 x    1  x 5 7x8

IV - TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ 36(2)

Tìm x, biết 3x  1

Giải: Ta có 3x 1 nên Xét hai trƣờng hợp:

a) 3x 1 2, x1 b) 3x 1 2,

3

x Ví dụ 37(2)

Tìm x, biết x  5 x

Giải:

a) Xét x5 ta có x  5 x 3, loại

Vậy x1 Ví dụ 38(2)

Với giá trị a b, ta có đẳng thức

 2 2 

a b a b ?

Giải: Chú ý A A, ta biến đổi a b 2 thành a2b để đƣa đẳng thức cho dạng

2  2 

a b a b

(1)

Ta biết AA A0, (1) xảy a2 b Có bốn tƣờng hợp:

a) a0, b tùy ý; b) b2, a tùy ý; c) a0, b2; d) a0, b2 Ví dụ 39(2)

Tìm số a b choa b  a b (1)

Giải: Cách Xét bốn trƣờng hợp:

a) a0,b0 Khi (1) trở thành a b a b    b b Đẳng thức khơng xảy vế trái dƣơng, vế phải âm

b) a0,b0 Khi (1) trở thành a b a b   Đẳng thức luôn Vậy a0,b0

thỏa mãn tốn

c) a0,b0 Khi (1) trở thành a b    a b a b Vậy a0,bathỏa mãn tốn d) a0,b0 Khi (1) trở thành a b    a b a a Đẳng thức khơng xảy vế trái âm, vế phải dƣơng

Kết luận: Các giá trị a bphải tìm a0,b0hoặc a0,ba Cách Xét hai trƣờng hợp:

a) Trƣờng hợp b0 Khi (1) trở thành a b  a b Lại xét hai trƣờng hợp:

Nếua0thì a b a b   tức bb Đẳng thức khơng xảy vế trái dƣơng, vế phải âm Nếu a0 Thì a b  a btức ab

b) Trƣờng hợp b0 Khi (1) trở thành a b      a b a a a Kết luận: a0,b0hoặc a0,ba

V - TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Tìm giá trị nhỏ biểu thức A2 3x 1 Giải: Với x, ta có:

3x 1 suy 3x 1 Do A2 3x  1 4

4

A 3x 1 0, tức x

Vậy GTNN A 4

3

x Ví dụ 41(2)

Tìm giá trị lớn biểu thức

10

B  x

Giải: Với x ta có:

2

x  suy 4 x 2 Do 10 4 x 2 10

10

B x 2 0, tức x2 Vậy GTLN B 10 x2 Ví dụ 42(2)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức C

x 

 với x số nguyên Giải: Xét x3thì C0

Xét x3 x nên x hoặc 2, C -2, -3 -6 Vậy GTNN C 6 x2

Ví dụ 43(2)

Tìm giá trị lớn biểu thức A x  x Giải:

Xét x0 A x x  0 (1) Xét x0 A x x  0 (2) Từ (1) (2) ta thấy A0

Vậy GTLN A x0 VI – HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Vẽ đồ thị hàm số y x

Giải: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối số:

0

x víi x

y x

x víi x

 

    

Với x0 đồ thị hàm số y x tia phân giác góc phần tƣ I

Với x0 đồ thị hàm số yx tia phân giác góc phần tƣ II

Đồ thi hàm số y x gồm hai tia phân giác góc phần tƣ thứ I II nhƣ hình

Ví dụ 45(10)

Vẽ đồ thị hàm số 1x 

y  x

Giải:

Với x0 y x Với x0 y0

Đồ thị hàm số gồm hai tia Ox' OA nhƣ hình Ví dụ 46(10)

Vẽ đồ thị hàm số y x x  Giải:

Với x > y1 Với x0 y1

Đồ thị hàm số gồm hai tia Az Bt nhƣ hình (ở dấu mũi tên dùng nói điểm A B không thuộc đồ thị)

BÀI TẬP

152(2). Tìm tất số a thỏa mãn điều kiện sau:

a) a a ; b) aa ;

c) a a; d) a  a; e) aa

154(3). Cho x  y x0, y0 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

a) x y2 0; b) x y 0; c) xy0;

d) 1

x y ; e) x

y  155(3). Tìm giá trị biểu thức:

a) A6x33x22 x4 với

3

x

b) B2 x 3 y với

x , y 3 c) C2 x 2 1x với x4 d)

2

5

3

x x

D

x   

 với

1

x  156(1). Rút gọn biểu thức:

a) a a; b) a a; c) a a ;

d) a a: ; e) 3(x 1) 2x3 ; f) 2x 3 4x1 157(1) Tìm x đẳng thức:

a) 2x 3 5; b) 2x 1 2x3; c) x 1 3x1; d) 5x  3 x 158(1) Tìm số a b thỏa mãn điều kiện sau:

a) a b  a b ; b) a b  b a 159(1) Có cặp số nguyên x y;  thỏa mãn điều kiện sau:

a) x  y 20; b) x  y 20?

(Các cặp số  3;  4;3 hai cặp số khác nhau)

160(1) Điền vào chỗ trống   dấu , ,   để khẳng định sau với a b Hãy phát biểu khẳng định thành tính chất rõ xảy dấu đẳng thức?

a) a b a b ; b) a b a b với a  b;

c) ab a b ; d) a a

b b 161(3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A2 3x 2 1; b) B5 4 x 1;

c)

3

Cx  y  ; d) D x x 162(2) Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A 5 2x 1 ; b)

2

B x 

  163(2) Tìm giá trị lớn biểu thức C x

x 

164(2) Cho a c 3, b c 2 Chứng minh a b 5 165(10) Vẽ đồ thị hàm số:

a) y2.x ; b) x y

x

 ; c) 1 

2

y x x ;

d) 1 

2

y x x ; e) 13 

2

y x x

166(10) Vẽ đồ thị hàm số y x y2 dùng đồ thị để tìm giá trị x cho x 2

Bài đọc thêm

ĐỀ-CÁC VÀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Năm 1619, sĩ quan ngƣời Pháp 23 tuổi, đêm không ngủ đƣờng hành quân, nghĩ hệ trục tọa độ vng góc, đặt sở cho nghành lớn tốn học Hình học giải tích Chàng sĩ quan Rơ-nê Đề-các (René Descartes)

Ngƣời ta kể lại lúc Đề-các thấy nhện bị góc nhà (h.7) Đề-các gọi x khoảng cách từ nhện đến mép trần, gọi y khoảng cách từ nhện đến mép trần bên cạnh, biết độ dài x y xác định đƣợc vị trí nhện Đó hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đƣợc biểu thị cặp số x y; , nhờ dùng đại số để biểu thị đƣờng thẳng, đƣờng trịn giải tốn hình học phƣơng pháp tọa độ

Hình Rơ-nê Đề-các

Đề-các sinh năm 1596 gia đình q tộc nhƣng khơng giàu có Cậu bé Đề-các mẹ lúc tuổi Do yếu sức khỏe nên đến năm tám tuổi, cậu đến trƣờng đƣợc phép đến lớp muộn bạn

Sau tốt nghiệp đại học năm 1616, Đề-các làm luật sƣ tình nguyện tham gia quân đội Hà Lan năm 1617 Tuy nhiên, ông không ngừng nghiên cứu toán học triết học Từ năm 1620, ông

I-NHỆN

F E

O

D C

B A

ta-li-a Đức năm, sau trở Pháp, sống 29 năm Hà Lan Ông Thụy Điển năm 1650, năm sau nữ hồng Thụy Điển 90 tuổi mời ơng sang dạy triết học cho bà

Đề-các ngƣời biểu diễn số âm trục số vào bên trái điểm 0, từ số âm có vị trí bình đẳng với số dƣơng Ơng có nhiều đóng góp cho phát triển mơn Đại số: chấn chỉnh lại hệ thống kí hiệu tốn học; đề nghị dùng chữ x, y, z … để đại lƣợng biến thiên chữ a, b, c, … để đại lƣợng không đổi Ông ngƣời viết lũy thừa nhƣ dùng ngày a b c2, 3, 4, ; viết phƣơng trình dƣới dạng vế phải

Các cơng trình Đề-các giúp mơn Đại số đƣợc hồn chỉnh ảnh hƣởng sâu sắc đến phát triển toán học, học nhiều kỉ sau

HẦN HÌNH HỌC

Chƣơng I

ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG

§1 HAI GĨC ĐỐI ĐỈNH

Định nghĩa Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc

Tính chất Hai góc đối đỉnh Ví dụ

Cho ba đƣờng thẳng cắt O nhƣ hình Kể tên cặp góc đối đỉnh nhỏ góc bẹt hình

Giải: Có sáu cặp góc đối đỉnh nhỏ góc bẹt: AOC BOD, COE DOF, EOB FOA,

E

AO BOF, COB DOA, EOD FOC

Chú ý: Có sáu tia chung gốc nên có 6.5 15

2  (góc), có ba góc bẹt, cịn lại 12 góc nhỏ góc bẹt Mỗi góc 12 góc có góc đối đỉnh với nó,

do hình có có 12 : 26 cặp góc đối đỉnh Hình Bài tập

1 Cho hai góc đối đỉnh AOB A OB' ' Gọi Ox tia phân giác góc AOB, Ox' tia đối tia Ox Vì Ox' tia phân giác góc A OB' '?

2 Chứng tỏ hai tia phân giác hai góc đối đỉnh hai tia đối 3*. Qua điểm O, vẽ năm đƣờng thẳng phân biệt

a) Có góc hình vẽ?

M

N C

B

A O

b) Trong góc ấy, có cặp góc đối đỉnh nhỏ góc bẹt?

c) Xét góc khơng có điểm chung, chứng tỏ tồn góc lớn 36, tồn góc nhỏ 36

~ Bài tập: 118

§2 HAI ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC

Định nghĩa 1. Hai đƣờng thẳng vng góc hai đƣờng thẳng cắt góc tạo thành có góc vng

Định nghĩa 2. Đƣờng trung trực đoạn thẳng đƣờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm

Ví dụ

Chứng tỏ hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với Giải: (h.9)

Gọi AOC COB hai góc kề bù, OM ON Theo thứ tự tia phân giác hai góc Ta có

A A 180

90

2 2

OC COB OC COB

MOCCON        

Ta thấy tia OC nằm hai tia OM ON nên MOC CON MON Hình Do MON  90 Vậy OM ON

Bài tập

4 Cho hai góc kề bù AOC COB Gọi OM tia phân giác góc AOC Kẻ tia ON vng góc với OM (tia ON nằm góc BOC) Tia ON tia phân giác góc nào? Vì sao?

5 Ở miền góc tù xOy, vẽ tia Oz Ot, cho Oz vuông góc với Ox, Ot vng góc với Oy Chứng tỏ rằng:

a) xOtyOz b) xOyzOt 180

6 Ở miền ngồi góc tù xOy, vẽ tia Oz Ot, cho Oz vng góc với Ox, Ot vng góc với Oy Gọi Om On, tia phân giác góc xOy Ot, z Chứng tỏ Om On, hai tia đối ~ Bài tập: 119

4α α

B A

y x

β

180°-α α

m

y x

C

B A

Hai đƣờng thẳng song song hai đƣờng thẳng khơng có điểm chung

Để nhận hai đƣờng thẳng song song, ta xét góc tạo hai đƣờng thẳng với đƣờng thẳng thứ ba (cát tuyến) Nếu hai góc so le nhau, hai góc đồng vị nhau, hai góc phía bù hai đƣờng thẳng song song

Hai đƣờng thẳng song song với chúng song song hay vng góc với đƣờng thẳng thứ ba

Ví dụ

Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax By

, A

BAx By  Tính  Ax song song với By Giải: (h.10)

Ta biết hai góc phía bù hai đƣờng thẳng song song

A

BAx By   

Nếu 5 180, tức  36 Ax By// Bài tập

7. Trên hình 11 có đƣờng thẳng song song với OC? Vì sao?

8 Cho xOya, điểm A nằm Oy Qua A vẽ tia Am Tính số đo góc OAm để Am song song với Ox

9 Trên hình 12: A,C, ABC   , ABm180  Chứng tỏ rằng:

a) Ax song song với Bm b) Cy song song với Bm

§4 TIÊN ĐỀ Ơ-CLIT

TÍNH CHẤT HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG

Khi vẽ đƣờng thẳng qua điểm A song song với đƣờng thẳng a, vấn đề đƣợc đặt ra: Qua điểm A nằm ngồi đƣờng thẳng a, có đƣờng thẳng song song với a? Ta thừa nhận tiên đề sau: Qua điểm nằm đƣờng thẳng, có đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng Đó tiên đề Ơ-clit

Với tiên đề Ơ-clit, ta chứng minh đƣợc: Hai đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng

130° 140°

E D

O

B C

A

Hình 10

Hình 11

2 K

m

y x

C B

A

x

B

A thứ ba song song với

Từ tiên đề Ơ-clit, ta chứng minh đƣợc tính chất hai đƣờng thẳng song song: Nếu hai đƣờng thẳng song song bị cắt cát tuyến hai góc so le nhau, hai góc đồng vị nhau, hai góc phía bù

Ví dụ Cho hình 13

a) Cho biết Ax// Cy Hãy tính A B C 

b) Cho biết A B C  360 Chứng tỏ Ax Cy//

Giải: (h.14)

a) Kẻ Bm Ax// Ta có ABm A 180 (1) Do Bm Ax// Cy// Ax nên Bm Cy//

//   180

Bm Cy CBm C (2)

Từ (1) (2) suy ABm A CBm C 360 Do A B C  360

b) Ta có ABm A 180 A  B C 360 nên CBm C 180

Hai góc phía CBm C bù nên Bm Cy// Ta có Ax// Bm Cy Bm// nên Ax Cy//

Chú ý: Với kiến thức tổng ba góc tam giác (§5), giải câu a b cách vẽ giao điểm K AB Cy (h.15) Ta có ABC góc ngồi BKC nên ABC K C2

Do

1

A 180

A BC C   A K C C   A K  a) Nếu Ax Cy// A K 180 Do

1 180 180 360

AABC C      

b) Nếu AABC C 1360.thì A K 180, Ax Cy// Bài tập

10. Cho hình 16 a) Cho biết Ax Cy//

y x

C B

A

m

y x

C B

A

Hình 14 Hình 13

Hình 14

Hình 14

3

2

1

1 K

H C

B

A So sánh ABC với A C

b) Cho biết ABC A C Chứng tỏ Ax//By

11 Tam giác ABC có tia phân giác góc B cắt AC D Qua A kẻ đƣờng thẳng song song với D

B , đƣờng thẳng cắt BC E Hãy chứng tỏ BAEBEA

12 Chứng tỏ hai đƣờng thẳng song song tia phân giác cặp góc đồng vị song song với

13* Cho năm đƣờng thẳng mặt phẳng khơng có hai đƣờng thẳng song song Chứng tỏ năm đƣờng thẳng đó, tồn hai đƣờng thẳng tạo với góc nhỏ

36

Chương II TAM GIÁC

§5 TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC

Định lý. Tổng ba góc tam giác 180 Từ định lý trên, ta suy ra:

- Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với - Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với Ví dụ

Cho tam giác ABC có A 90 Kẻ AH vng góc với BC H BC(*) (Từ đây, nói AH BC mà khơng thích thêm, ta hiểu H thuộc đường thẳng BC) Các tia phân giác góc BAH C cắt K Chứng minh AK vuông góc với CK

Giải: (h.17) AHC

 có H  90 nên

A 90

ACH   (1)

Ta lại có BAHA3 BAC 90 (2) Từ (1) (2) suy ACH BAH Ta có 1

2

C  ACH 1

2

A  BAH nên C1A1

Do 3 90

o

A A C A A A 

Tam giác AKC có A2A3C190o nên AKC90 o Vậy AKCK BÀI TẬP

14. Cho tam giác ABC có A Các tia phân giác góc B C cắt I Các tia phân giác góc ngồi đỉnh B C cắt K Tia phân giác góc B cắt tia phân giác góc

ngồi đỉnh C E Tính số đo góc BIC BKC BEC, , theo  15. a) Tính a b c  hình 18,

b) Tính m n p hình 19

16. Cho tam giác ABCcó BC Tia phân giác góc ngồi đỉnh A cắt đƣờng thẳng CB E Tính góc AEB theo góc B C ABC

17 Cho tam giác ABC có B C , tia phân giác góc A cắt BC D a) Tính ADC ADB,

b) Vẽ AH vng góc với BC, tính HAD

18 Cho hai gƣơng đặt tạo với thành góc xOy Một tia sáng chiếu tới gƣơng thứ A thuộc Ox, phản xạ chiếu xuống gƣơng thứ hai B thuộc tia Oy, phản xạ theo tia song song với tia ban đầu (nhƣng có hƣớng ngƣợc lại) Biết góc tạo tia chiếu với mặt gƣơng góc tạo tia phản xạ với mặt gƣơng Tính góc xOy tạo hai gƣơng

19 Tìm mối liên hệ góc B C tam giác ABC biết góc tạo tia phân giác góc B với cạnh đối diện góc tạo tia phân giác góc C với cạnh đối diện

20* Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E.Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Chứng minh

2

BAC BDC BKC  Bài tập: 71

§6 TRƢỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC CẠNH – CẠNH – CẠNH

Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác Ví dụ

Cho tam giác ABC có A40 ,o AB AC.Gọi M trung điểm BC Tính góc tam giác AMB AMC,

Giải: (h20)

AMB

 AMC có: ABAC (giả thiết) MBMC (giả thiết)

:

AM cạnh chung

Do AMB AMC c c c , suy A1 A B2, C M, 1M2

Ta lại có A1A2 40o nên A1 A2 20 ,o

1 180

o

M M  nên M1 M2 90 o

Suy B C 180o20o90o 70 o

Hình 19 Hình 18

p n

m

c b

a

A D

C B

B

A

C

Hình 20 2 1

2 1

B C

Bài tập

21 Cho tam giác ABC Vẽ cung tâm A có bán kính BC, vẽ cung tâm C có bán kính AB,

chúng cắt M (M B nằm khác phía AC ) Chứng minh AM BC//

22 Cho tam giác ABC.Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB (D C nằm khác phía AB),

ADAB Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC (E vàB nằm khác phía đối vớiAC), AEAC Biết rằngDEBC Tính BAC

23 Cho đoạn thẳngAB, điểm C hai điểm A B, điểm D cách hai điểm A B (C D nằm khác phía AB)

a) Chứng tia CD tia phân giác góc ACD

b) Kết câu a có khơng nếuC vàD nằm phía AB?

§7 TRƢỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC CẠNH – CẠNH – CẠNH Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác

Ví dụ

Cho tam giác ABC có B90 o Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC, vẽ tia Bxvng góc với BC, toa lấy điểm D cho BDBC Trên nửa mặt phẳng có chứaC bờAB, vẽ tia By vng góc vớiBA, tia lấy điểm E choBEBA Chứng minh rằng:

a)DAEC b) DAEC Giải: (h.21)

a) ABD vàEBC có: ABBE

ABDEBC (cùng 90o ABC)

BDBC

Do đóABD EBC c g c , suy raDAEC

b) Gọi giao điểm DA với BC EC theo thứ tự H K Ta có ABD EBC (câu a)

Suy raADBECB Do BDH KCH DBH

 CKH có:

Hình 21 y x

H A

B C

E D

,

BDH KCH DHBCHK nên BDH CKH

Do BDH90o nên CKH 90 o Vậy DAEC

BÀI TẬP

24. Trên cạnh Ox Oy góc xOy, lấy điểm A B cho OAOB Tia phân giác góc xOy cắt AB C Chứng minh rằng:

a) C trung điểm AB b) AB vng góc với OC

25. Cho tam giác ABCcó A 90 , M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm K cho MKMB Chứng minh rằng:

a) KC vng góc với AC b) AK song song với BC

26. Cho tam giác ABC, D trung điểm AC, E trung điểm AB Trên tia đối tia DB lấy điểm N cho DNDB Trên tia đối tia EC, lấy điểm M cho EM EC Chứng minh A trung điểm MN

27 Cho điểm A nằm góc nhọn xOy Vẽ AH vng góc với Ox, tia đối tia HA lấy điểm B cho HBHA Vẽ AK vuông góc với Oy, tia đối tia KA lấy điểm C cho

KCKA Chứng minh rằng: a) OBOC

b) Biết xOy, tính BOC

28 Tam giác ABC có ACAB, tia phân giác góc A cắt BC D Trên AC lấy điểm E cho AE AB Chứng minh AD vng góc với BE

29. Cho m đƣờng trung trực đoạn thẳng AB, Clà điểm thuộc m Gọi Cx tia đối tia CA ,Cn tia phân giác góc BCx Chứng minh Cn vng góc với m

30. Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt trung điểm Ocủa đoạn thẳng Lấy điểm E đoạn thẳng AD, F đoạn thẳng BC cho AEBF Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng

31 Cho đoạn thẳng AB Vẽ hai phía AB đoạn thẳng AC BD vng góc với AB cho ACBD Chứng minh ADCBCD

32 Cho tam giác ABC, kẻ BD vng góc với AC, kẻ CE vng góc với AB Trên tia đối tia BD, lấy điểm Hsao cho BH AC Trên tia đối tia CE, lấy điểm K cho CKAB Chứng minh AH AK

33*. Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, tia lấy điểm D cho ADAB Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC, vẽ tia Ay vng góc với AC, tia lấy điểm E cho AE AC Chứng minh rằng:

a)

2

DE AM  b) AM DE ~ Ví dụ: 13 Bài tập: 73

Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác

Từ trƣờng hợp góc – cạnh – góc nói trên, ta suy ra: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng

Ví dụ

Cho tam giác ABC có A 60 Tia phân giác góc Bcắt AC M , tia phân giác góc C cắt AB N Chứng minh BNCM BC

Giải: (h.22)

Gọi I giao điểm BM CN Ta có A 60 suy B C 180   60 120

Do B1C1120 : 2  60 Vì I160, I2 60

Kẻ tia phân giác góc BIC, cắt BC D Tam giác BIC có B1C1120 nên BIC120

Do I3 I4  60 BIN

 BID có

B B

BI: cạnh chung

2 60 I I  

Do BIN BID (g.c.g), suy BNBD (1)

Chứng minh tƣơng tự, CIM  CID (g.c.g), suy CMCD (2)

Từ (1) (2) suy ra: BNCM BD CD BC Ví dụ

Chứng minh rằng: Hai đoạn thẳng song song chắn hai đƣờng thẳng song song

Giải

Xét hai đoạn thẳng AB, CD song song thỏa mãn điều kiện AC//BD (h.23) Ta phải chứng minh ABCD

Kẻ đoạn thẳng AD Xét ABD DCA: 1

A D (so le trong, AB CD// ) AD: cạnh chung

2

D  A (so le trong, AC//BD)

Do ABD DCA (g.c.g), suy ABCD

BÀI TẬP

Hình 23

1 2

1 2

D

C B A

D

Hình 22 M N

4 3

2 1

2 1 1

2

I

B C

34 Cho tam giác ABC có AB AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho

ADAE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh rằng:

a) BECD b) KBD KCE

35. Cho tam giác ABC có A 60 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh IDIE

36. Cho đoạn thẳng AB, Olà trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax By vuông góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đƣờng vng góc với OC Ocắt tia By D Chứng minh CDACBD

37. Trên cạnh BC tam giác ABC, lấy điểm Evà F cho BECF Qua E F , vẽ đƣờng thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự G H Chứng minh

EGFH AB

38. Cho tam giác ABC có A 90 , ABAC Qua A vẽ đƣờng thẳng d cho B C nằm phía đƣờng thẳng d Kẻ BH CK vng góc với d Chứng minh rằng:

a) AHCK b) HKBHCK

39*. Cho tam giác ABC Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB( D C nằm khác phía AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC(E B nằm khác phía AC ) Vẽ AH vng góc với BC Đƣờng thẳng HA cắt DEở K Chứng minh DKKE

~ Ví dụ ; 29, 34, 35

Bài tập : 68, 69, 149 đến 155

§9 TAM GIÁC CÂN

Ngồi tam giác vng đƣợc giới thiệu §7, mục giới thiệu số dạng tam giác đặc biệt: tam giác cân( tam giác có hai cạnh nhau), tam giác (tam giác có ba cạnh nhau), tam giác vng (tam giác có góc vng)

Cần ý đến tính chất góc tam giác cận: Trong tam giác cân, hai góc đáy

Các dấu hiệu nhận biết tam giác cân:

- Tam giác có hai cạnh tam giác cân ( định nghĩa )

Các dấu hiệu nhận biết tam giác đều:

- Tam giác có ba cạnh tam giác ( định nghĩa ) - Tam giác có ba góc tam giác

- Tam giác cân có góc 600 tam giác Ví dụ 10

Chứng minh rằng:

a, Nếu tam giác vng có góc 300 cạnh đối diện với góc nửa cạnh huyền b, Nếu tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh

0

30 Giải:

a) Xét ABC vuông A có B30 (h.24a)

( )

ABD ABC c g c

     BDBC ABD,  ABC30o

Tam giác BDC cân B có DBC60 nên tam giác đều, DCBC

Suy

2

AC BC

b) Xét ABC vng A có

2

AC BC( hình24b) Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho ADAC

( )

ABD ABC c g c BD BC

      

Do ,

2

AC BC AC DCnên BCDC

Tam giác BDC có BDBCDC nên tam giác đều, C60 ABC 30  Bài tập

40 Cho tam giác ABC cân Acó A90, kẻ BD vng góc với AC Trên cạnh AB lấy điểm E cho AEAD Chứng minh rằng:

a) DEsong song với BC b) CEvng góc với AB

41. Trên cạnh huyền BC tam giác vuông ABC, lấy điểm D E cho

,

BDBA CECA Tính DAE

42 Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Chứng minh rằng:

a) Nếu

2

BC

AM  A90

b) Nếu

2 BC

AM  A 90

c) Nếu

2 BC

43. Tam giác ABC có B C  Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho ADAB Tính CBD theo 

44. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tam giác ,

AMC BMD Gọi E F, theo thứ tự trung điểm AD CB, Chứng minh tam giác MEFlà tam giác

45. Cho tam giác ABCcân A, A120, BC6cm Đƣờng vng góc với AB Acắt BC D Tính độ dài BD

46. Cho tam giác ABC có A120 Trên tia phân giác góc A, lấy điểm E cho AEABAC Chứng minh tam giác BCE tam giác

47. Ở miền góc nhọn xOy, vẽ tia Oz cho

xOz yOz Qua điểm A thuộc tia Oy, vẽ AH vng góc với Ox, cắt Oz B Trên tia Bz lấy điểm D cho BDOA Chứng minh tam giác AOD tam giác cân

48. Cho xOz120, Oy tia phân giác góc xOz, Ot tia phân giác góc xOy, M điểm thuộc miền góc yOz Vẽ MAOx, vẽ MBOy, vẽ MCOt Tính độ dài OC theo MA MB

49. Cho tam giác ABCcân A, A140 Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, kẻ tia Cx cho ACx110 Gọi D giao điểm tia Cx BA Chứng minh ADBC

50. Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120 Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng:

a) BMC120 ; b) AMB1200

51 Cho tam giác cân ABC có B  C 50 Gọi K điểm tam giác cho

110 , 30

KBC  KCB  Chứng minh tam giác ABK tam giác cân tính số đo góc BAK 52 Cho tam giác ABC vng A có AC3AB Trên AC lấy điểm D E cho

ADDEEC Chứng minh AEBACB 45

53. Cho tam giác cân ABC có A100, tia phân giác góc B cắt ACở D Chứng minh BCBDAD

~Ví dụ: 14 đến 16, 27, 30 đến 32, 36

Bài tập: 65 đến 67, 72, 74 đến 76, 120, 125, 128, 129, 134, 137 đến 145, 148, 162 đến 168, 173

§10 ĐỊNH LÍ PY – TA – GO

Tính chất cạnh tam giác vuông đƣợc thể định lý Py – ta – go: Trong tam giác vuông , bình phƣơng cạnh huyền tổng bình phƣơng hai cạnh góc vng

Định lí Py – ta – go đảo cho ta cách nhận biết tam giác vng: Nếu tam giác có bình phƣơng cạnh tổng bình phƣơng hai cạnh tam giác tam giác vng

Ví dụ 11

Giải

Kẻ AH BD (h.26) Dễ chứng minh: BHHD9 Áp dụng định lý Py – ta – go vào AHB vng H, ta có:

2 2 2

9 81

AH  AB HB x  x  (1) Áp dụng định lý Py – ta – go vào AHC vuông H, ta có:

 

2 2 252 162 369 2.

AH  AC CH  x   x (2)

Từ (1) (2) ta có: 2

81 369

x   x

Do 2

2x 450x 225 x 15

BÀI TẬP 54. Tính độ dài x hình 27:

18

4

D C

x

B x

A

Hình 26 Hình 25

A x B

x C

D

a) b)

x

2 2 1

2

E C

D

A

B

8

10 6

x

D

C B

55. Tam giác ABC vng A có BC26cm AB AC, : 5 :12 Tính độ dài AB AC,

56. Tính độ dài x hình 28:

57. Tam giác ABC có AB16cm AC, 14cm B,  60 Độ dài BC bằng:

A 12cm B 10cm C 6cm D 10cm 6cm

Hãy chọn câu trả lời

58. Cho tam giác ABC cân A, A 30 ,BC2cm Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD 60 Tính độ dài DA

59. Cho số : 5,9,12,13,15,16, 29 Hãy chọn ba số độ dài ba cạnh tam giác vuông 60. Vẽ phía đoạn thẳng AB5cm tia Ax By, vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm

D cho AD5cm Trên tia By lấy điểm E cho BE1cm Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC2cm Góc DCE có góc vng hay khơng?

~ Ví dụ: 23 Bài tập: 146, 147

§11 CÁC TRƢỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VNG

Ngồi trƣờng hợp tam giác vuông suy từ trƣờng hơp cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc trƣờng hợp cạnh huyền – góc nhọn, tam giác vng cịn có trƣờng hợp cạnh huyền- cạnh góc vng:

Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng

Ví dụ 12

Hinh 27

0

3

30 D

A C

B

c) H

3 x

11 9

B C

A

8

C B

A

x

0

B

Hình 28

x

7

120 x

c) b)

18 H 32

C A

B E

2

D

a)

C 4

Cho tam giác ABC vuông A AB AC điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh BC cho MH vng góc với BC MHHB Chứng minh AH tia phân giác góc A

Giải: h.29

Kẻ HI AB HK, AC

Ta có HMKB (cùng phụ với C) HKM

 HIB có: 90

K   I

HM HB (giả thiết)

HMK B (chứng minh trên)

Do HKM  HIB (cạnh huyền – góc nhọn), suy HKHI HIA

 HKA có: 90

I K 

HA: cạnh chung

HI HK(chứng minh trên)

Do HKM  HIB (cạnh huyền – cạnh góc vng), suy A1 A2 Do AH tia phân giác góc A

BÀI TẬP

61. Cho tam giác ABC cân A, A 90 Kẻ BD vng góc với AC, kẻ CE vng góc với AB Gọi K giao điểm BD CE Chứng minh AK tia phân giác góc A

62. Cho tam giác ABC có M trung điểm BC AM tia phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC tam giác cân

63. Cho tam giác ABC vuông cân A Một đƣờng thẳng d ln qua A Kẻ BH CK vng góc với đƣờng thẳng d Chứng minh tổng 2

BH CK có giá trị khơng đổi Hình 29

2

1 M

K I

H

C B

64. Cho tam giác ABC vuông A ABAC Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AEAB Đƣờng thẳng vng góc với AE E cắt tia

DH K Chứng minh rằng: a) BABH;

b) DBK 45 ~ Ví dụ: 26 Bài tập: 70

CHUYÊN ĐỀ

MỆNH ĐỀ THUẬN, ĐẢO, PHẢN, PHẢN ĐẢO

I BỐN LOẠI MỆNH ĐÊ

Gọi   số đo hai góc so le tạo hai đƣờng thẳng AB CD với cát tuyến (đƣờngthẳng thứ ba cắt hai đƣờng thẳng trên) Xét bốn mệnh đề sau:

1 Nếu   AB CD// (có Pcó Q) Nếu AB CD//   (có Qcó P)

3 Nếu  // AB// CD (khơng Pkhơng Q) Nếu AB// CD  // (không Qkhông P)

Nếu gọi mệnh đề mệnh đề thuận mệnh đề mệnh đề đảo, mệnh đề mệnh đề phản, mệnh đề mệnh đề phản đảo

II QUAN HỆ GIỮA BỐN LOẠI MỆNH ĐỀ

Mệnh đề thuận mệnh đề phản đảo hoặc sai Ta nói hai mệnh đề tƣơng đƣơng, tức mệnh đề suy đƣợc mệnh đề ngƣợc lại

Chứng minh:

- Bƣớc (chứng minh có Pcó Q suy khơng Qkhơng P)

Thật khơng Qcó P theo giả thiết, có Pcó Q Ta đƣợc đồng thời có Q khơng Q, mâu thuẫn

- Bƣớc (chứng minh không Qkhông P suy có Pcó Q)

Thật vậy, có Pkhơng Q theo giả thiết, khơng Qkhơng P Ta đƣợc đồng thời có P khơng P, mâu thuẫn

Nhƣ vậy, cặp mệnh đề thuận phản đảo tƣơng đƣơng Cũng chứng minh tƣơng tự, cặp mệnh đề đảo phản tƣơng đƣơng

Do tƣơng đƣơng này, chứng minh định lí cách chứng minh mệnh đề tƣơng đƣơng với (xem Phương pháp phản chứng)

Trong ví dụ mục I, mệnh đề thuận phản đảo đúng, mệnh đề đảo phản đúng, chúng đƣợc gọi định lí

- Hai góc đối đỉnh nhau:

- Hai góc đối đỉnh: sai

- Hai góc khơng đối đỉnh khơng nhau: sai - Hai góc khơng không đối đỉnh:

III CÁCH LẬP MỆNH ĐỀ ĐẢO

Một cách đào sâu, khai thác định lí xét mệnh đề đảo Vì cần biết cách lập mệnh đề đảo mệnh đề cho trƣớc

1 Mệnh đề thuận dạng Nếu có A có B, mệnh đề đảo Nếu có B có A

2 Mệnh đề thuận dạng Nếu có A có B có C, lập mệnh đề đảo: a) Nếu có C có A B (đổi chỗ giả thiết kết luận)

b) Nếu có A có C có B (mệnh đề thuận đảo có A giả thiết chung)

c) Nếu có B có C có A (mệnh đề thuận đảo có B giả thiết chung)

Một ví dụ: Cho tam giác ABC

- Mệ nh đề thuận: 90 , 30

2

BC

A  B  AC  (xem ví dụ 10)

- Mệnh đề đảo 1: 90 , 30

2

BC

AC   A B  (sai)

- Mệnh đề đảo 2: 90 , 30

2

BC

A  AC   B (xem ví dụ 10)

- Mệnh đề đảo 3: 30 , 90

2

BC

B  AC   A (xem ví dụ 23) Một ví dụ: Cho tam giác ABC

- Mệnh đề thuận: AB AC A,    60 ABC - Mệnh đề đảo : ABC AB AC A,  60 (đúng)

3 Mệnh đề thuận dạng Nếu có A, có B có C có D, dạng Nếu có A, có B có C có D …, có nhiều cách lập mệnh đề đảo cách đổi chỗ giả thiết kết luận cho nhau, giữ lại phần giả thiết mệnh đề thuận làm giả thiết chung ( xem phần tập vận dụng)

BÀI TẬP

Giải toán sau (bài 65 – 67) xét tốn đảo tốn đó(quy ƣớc toán đảo mệnh đề đúng):

65 Cạnh đáy tam giác cân song song với tia phân giác góc ngồi đỉnh đối diện

67 Cho tam giác ABCcân A, A 75 Kẻ CH vng góc với AB Chứng minh

2

AB CH 

ĐẶC BIỆT HÓA I ĐẶC BỆT HÓA LÀ GÌ?

Xét hai tốn sau:

Bài tốn 1: Nếu ABC có A, tia phân giác góc B C cắt O 90

BOC   Bài tốn 2: Nếu ABC vuông A, tia phân giác góc B C cắt O BOC135 Bài tốn trƣờng hơp đăc biệt toán thay  90 Đặc biệt hóa chuyển từ trƣờng hợp chung sang trƣờng hợp riêng, sang trƣờng hợp đặc biệt

II CÁC CÁCH ĐẶC BIỆT HÓA

Ngƣời ta thƣờng đặc biệt hóa hai cách:

1 Thay biến số số, cho số đo góc độ dài đoạn thẳng số cụ thể, chẳng hạn thay

  90

2 Thay điều kiện toán điều kiện hẹp hơn, chẳng hạn thay ABC có BC ABC vng B

3 Thay vị trí điểm, hình vị trí đặc biệt nó, chẳng hạn điểm

Cthuộc đoạn thẳng AB, xét C trùng A, trùng B, trung điểm AB

4 Bổ sung thêm quan hệ vào toán, chẳng hạn tam giác ABC, xét tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện ABAC)

III TÁC DỤNG CỦA ĐẶC BIỆT HĨA

Ta biết tính chất trƣờng hợp chung trƣờng hợp đặc biệt, tính chất sai trƣờng hợp đặc biệt sai trƣờng hợp chung Do phƣơng pháp đặc biệt hóa đƣợc dùng để :

1 Bác bỏ mệnh đề Ví dụ 13(7)

Xét mệnh đề : Nếu hai cạnh góc tam giác hai cạnh góc tam giác hai tam giác

Mệnh đề có không ?

Giải : Mệnh đề không

Để bác bỏ mệnh đề cần nêu trƣờng hợp đặc biệt : tồn hình thỏa mãn giả thiết

mệnh đề nhƣng không với kết luận mệnh đề Chẳng hạn, vẽ ABC có ABAC, lấy điểm D.Trên tia đối tia CB (h 30) Các tam giác ABD ACD có cạnh AD chung,

,

ABAC ADB ADC nhƣng hai tam giác không 2 Phát tính chất

Ví dụ 14(8)

Hình 30

D C

Cho tam giác ABC cân A Qua điểm M đáy BC, kẻ ME vng góc với AB, kẻ MF vng góc với AC Chứng minh tổng MEMF không đổi điểm M thay đổi vị trí cạnh BC

Nhận xét: Ta xét vị trí đặc biệt điểm M M trùng với B Khi đoạn thẳng ME “suy biến” thành điểm B, đoạn thẳng MF trở thành đoạn thẳng BH vng góc với AC (h.31), độ dài BH không đổi Ta chứng minh MEMFBH

Giải (h 31)

Kẻ BHAC MK, BH Dễ dàng chứng minh MFKH (1)

MBK BME

   (cạnh huyền – góc nhọn) suy BKME (2)

Từ (1) (2), ta có: MEMFBKKHBH (khơng đổi) 3 Đặt toán

Một ví dụ. Cho tam giác ABC, AC AB , tia phân giác góc A cắt BC D Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC , vẽ tia Dx cho CDxBAC, tia cắt CA E Chứng minh

DBDE (h.32)

Đặc biệt hóa ví dụ 90

BAC , Dx vng góc với BC, ta có tốn sau đây: Ví dụ 15(9)

Cho tam giác ABC vuông A, ACAB , tia phân giác góc A cắt BC D Đƣờng thẳng vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh DBDE

Giải (h.33)

Vẽ DH AB DK, AC Ta có BDH EDK (cùng phụ với HDE ) Ta lại có DHDK Do

BDH EDK

   (g.c.g), suy DBDE Các cách giải khác :

1 Trên tia AB lấy điểm F cho AFAE , chứng minh DB DE DF Trên tia AC lấy điểm N cho ANAB , chứng minh DB DE DN IV CHÚ Ý

Ta phân biệt vị trí đặc biệt vị trí giới hạn Một tính chất trƣờng hợp chung vị trí đặc biệt, nhƣng khơng vị trí giới hạn Tuy nhiên đơi ta xét vị trí giới hạn để dự đốn kết tốn

Hình 31 F H

E K

M C

B

A

E

Hình 33 K H

D

C M

A

Hình 32 D

E

E B

Ví dụ 16 (9)

Cho tam giác ABC cân A, M điểm nằm B C Các điểm E , F theo thứ tự chân đƣờng vng góc kẻ từ M đến AB AC, Chứng minh với vị trí điểm M , tổng MEMF có giá trị không đổi (h.34)

Điểm M nằm đoạn thẳng BC nhƣng khơng trùng B C (vì M nằm B C ), ta gọi B C vị trí giới hạn điểm M , điểm nằm B C vị trí đặc biệt điểm M

Mặc dù điểm M trùng B nhƣng ta xét vị trí giới hạn M B để dự đốn kết Khi đoạn thẳng ME « suy biến « thành điểm B MF, BH (BH đƣờng vng góc kẻ từ B đến cạnh bên AC) MEMFBH (khơng đổi) Ta dự đốn MEMF BH

Dự đoán đƣợc khẳng định : Xem ví dụ 14

Bài tập

Dùng phƣơng pháp đặc biệt hóa để bác bỏ mệnh đề sau (bài 68 – 70) :

68(8). Nếu cạnh hai góc tam giác cạnh hai góc tam giác hai tam giác ( !)

69(8). Nếu cạnh góc vng góc nhọn tam giác vng cạnh góc vng góc nhọncủa tam giác vng hai tam giác vuông (!)

70(11). Nếu hai cạnh đƣờng cao ứng với cạnh lại tam giác tƣơng ứng hai cạnh đƣờng cao ứng với cạnh lại tam giác hai tam giác (!)

71(5). Bằng cách đặc biệt hóa, chỗ sai cách giải toán sau :

Cho tam giác ABC AB, AC, tia phân giác góc A cắt BC D Kẻ AH vng góc với

BC Tính HAD theo B C Giải : (h.35)

Đặt BACA

Ta có B900BAH C, 900HAC

Nên B C HACBAH (1)

Mặt khác, ,

2

A A

DAH  BAH DAH HAC

Nên

2

A A

DAH  BAH    HAC HACBAH

    (2)

Từ (1) (2) suy

2

B C DAH   Hình 34

F H

E K

M C

B

A

Hình 35

H D

C B

72*(9). Vận dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm cách giải tốn sau : Gọi O điểm nằm tam giác ABC, điểm H I K, , theo thứ tự chân đƣờng vng góc kẻ từ O đến

, ,

BC AC AB Chứng minh tổng AKBHCI không phụ thuộc vào vị trí điểm O tam giác

73(7). Xét toán : Cho xOy 90 , A điểm nằm góc Vẽ điểm B C cho Ox

là đƣờng trung trực AB Oy, đƣờng trung trực AC.Chứng minh

,

OBOC BOC xOy

Hãy đặc biệt hóa tốn 90

xOy nêu toán

TỔNG QUÁT HÓA

I – TỔNG QUÁT HÓA LÀ GÌ ?

Q trình ngƣợc lại đặc biệt hóa tổng quát hóa, tức chuyển từ trƣờng hợp đặc biệt sang trƣờng hợp tổn quát

Chẳng hạn : Trên hình 36 A130 ,0 B90 ,0 C1400 Thì Ax/ /Cy Bỏ số đo góc A B C, , thay điều kiện “rộng hơn” A B C  3600 ta có Ax/ /Cy, nhƣ ta đƣợc toán tổng quát

II – CÁC CÁCH TỔNG QT HĨA

Ngƣời ta thƣờng tổng qt hóa toán cách :

1 Thay số biến số, chẳng hạn thay góc 50 góc 

2 Thay điều kiện toán điều kiện “rộng hơn” (điều kiện cũ trƣờng hợp riêng), chẳng hạn thay A130 ,0 B90 ,0 C1400bởi A B C  3600, thay ABC có B900 ABC

có BC

3.Thay vị trí đặc biệt điểm, hình vị trí nó, chẳng hạn thay trung điểm đoạn thẳng điểm thuộc đoạn thẳng

4 Bỏ bớt điều kiện giả thiết, chẳng hạn thay tam giác vuông tam giác

III – TÁC DỤNG CỦA TỔNG QT HĨA

Nếu tốn tổng qt đúng, ta có toán “mạnh hơn” toán đầu, với lớp đối tƣợng mạnh so với toán ban đầu Nhờ tổng quát hóa mà ta đến cơng thức tổng qt, sáng tạo tốn mới, định lí

Bài tập

Nêu giải toán tổng quát toán sau (bài 74 – 76) :

74(9). Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Vẽ ME song song với AB (E thuộc AC

), vẽ MF song song với AC(F thuộc AB) Chứng minh BME FMC

Hình 36

y C

B A

75(9). Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác BAD CAE, vng cân A Vẽ AH vng góc với BC, đƣờng thẳng HA cắt DE K Chứng minh K trung điểm DE

76(9). Cho tam giác ABC vuông A AC,  AB,tia phân giác góc A cắt BC D Đƣờng thẳng vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh DBDE (ví dụ 15)

Bài đọc thêm

Ơ-CLIT VÀ BỘ SÁCH CƠ BẢN

Hình học mơn học xuất sớm Hàng nghìn năm trƣớc Cơng ngun, ngƣời phải đo đạc ruộng, đong thóc gạo sau thu hoạch, xây dựng kim tự tháp khổng lồ Mơn hình học lúc đầu đời với ý nghĩa khoa học đo đạc: danh từ géométrie (hình học) có nghĩa phép đạc điền (géo: đất, métrie: đo) Nhƣng ngƣời khơng phải cần đo đất, mà cịn nghiên cứu nhiều tính chất hình học phức tạp Tuy nhiên, hình học trở thành mơn khoa học thực ngƣời ta nêu lên tính chất hình học đƣờng suy diễn chặt chẽ, đo đạc trực tiếp

Khoa học hình học gắn liền với tên tuổi nhà tốn học Hi lạp vĩ đại Ơ-clit (Euclide) Ơ-clit sinh

A-ten, sống khoảng năm 330 – 275 trƣớc Công nguyên, đƣợc Hồng Đế Ptơ - lê – mê I mời làm việc A-lêc-xan-đri, trung tâm khoa học lớn

thời cổ bờ Địa Trung Hải

Bằng cách chọn lọc, phân loại kiến thức hình

học có, bổ sung, khái quát xếp chúng lại thành hệ thống chặt chẽ, dùng tính chất trƣớc để suy tính chất sau, sách Cơ đồ sộ Ơ-clit đả đặ móng cho mơn hình học cũn g nhƣ cho tồn tốn học cổ đại Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu đầu gồm kiến thức hình học phẳng, ba có nội dung số học đƣợc trình bày dƣới dạng hình học, thứ mƣời gồm phép dựng hình có liên quan đến đại số, ba cuối nói vế hình học không gian Trong thứ nhất, Ơ-clit đƣa năm định đề:

1 Qua hai điểm bất kì, luôn vẽ đƣợc đƣờng thẳng Đƣờng thẳng kéo dài vơ hạn

3 Với tâm với bán kính bất kì, ln ln vẽ đƣợc đƣờng trịn

4 Mọi góc vuông

5 Nếu hai đƣờng thẳng tạo thành với đƣờng thẳng thứ ba hai góc phía có tổng nhỏ

180 chúng cắt phía Và năm tiên đề:

1 Hai thứ ba

2 Thêm vào đƣợc

3 Bớt từ đƣợc Trùng

5 Toàn thể lớn phần

Với định đề tiên đề đó, Ơ-clit chứng minh tất tính chất hình học

Một lần, hồng đế Ptơ-lê-mê I nói với ơng:

- Không lẽ ta lại phải đọc hết 13 sách ngƣơi sao? Liệu ta đến với hình học đƣờng ngắn khơng?

Nhà toán học trả lời:

- Tâu bệ hạ, khoa học khơng có đƣờng dành riêng cho vị vua chúa, mà có đƣờng dành cho ngƣời kiên trì, nhẫn nại

Có lần nghe thấy học trị phàn nàn chẳng thấy lợi ích thiết thực mơn Hình học, Ơ-clit quay sang ngƣời hầu bảo:

- Hãy cho anh học trò đồng tiền muốn có lợi nhuận từ học đƣợc

Con đƣờng suy diễn hệ thống chặt chẽ Cơ làm cho tập sách đƣợc chép tay truyền nƣớc Khi loài ngƣời biết in sách, Cơ đƣợc dịch in nhiều thứ tiếng Cho đến đầu kỉ XX, chƣơng trình hình học phổ thông nƣớc giới hầu nhƣ lặp lại nội dung sách Vì mơn hình học đƣợc học gọi Hình học Ơ-clit

Tuy nhiên, định đề tiên đề Ơ-clit cịn q ít, đặc biệt khơng có tiên đề liên tục, nên nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác thừa nhận điều mà ông không nêu lên thành tiên đề Năm 1899, nhà Toán học Đức Hin-be (Hilbert, 1862 – 1943) đƣa hệ tiên đề đầy đủ cho Hình học Ơ-clit gồm 20 tiên đề, có 13 tiên đề hình học phẳng tiên đề hình học khơng gian, chia thành nhóm (nhóm tiên đề liên thuộc, thứ tự, nhau, liên tục, song song) đồng thời chứng minh phi mâu thuẫn, đầy đủ độc lập tiên đề Cơng trình Hin-be mở giai đoạn lịch sử phƣơng pháp tiên đề

TIÊN ĐỀ Ơ-CLIT VÀ HÌNH HỌC PHI Ơ-CliT Trong tiên đề Cơ mà Ơ-clit nêu lên, có tiên đề thứ năm:

Nếu hai đƣờng thẳng tạo thành với đƣờng thẳng thứ ba hai góc phía có tổng nhỏ 1800 chúng cắt phía

Tiên đề tƣơng đƣơng với tiên đề sau:

1 Nếu hai đƣờng thẳng song song cắt đƣờng thẳng thứ ba chúng tạo thành cặp góc phía bù

2 Qua điểm nằm ngồi đƣờng thẳng, có đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng

3 Tổng góc tam giác 1800

Ngƣời theo đƣờng nhà tốn học Nga Ni-cơ-lai I-van-nơ-vích Lơ-ba-sep-xki (1792 - 1856) Ông kết luận tiên đề đƣờng thẳng song song chứng minh đƣợc, tức khơng thể suy đƣợc từ tiên đề cịn lại Ông thừa nhận tiên đề Ơ-clit, trừ tiên đề đƣờng thẳng song son Thay cho tiên đề ấy, ông đƣa tiên đề sau: Qua điểm nằm đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng cho trƣớc, có hai đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng Với hệ thống tiên đề này, ông xây dựng đƣợc hệ thống hình học, đƣợc gọi hình học phi Ơ-clit,

tổng góc tam giác nhỏ 180 Lô-ba-sep-xki công bố kết nghiện cứu hình học phi Ơ-clit vào năm 1826 Mặc dù Lơ-ba-sep-xki giải thích mơn hình học áp dụng đƣợc không gian khổng lồ, với khoảng cách cực lớn sao, vấn đề mà ông nêu lạ nên nhiều ngƣời khơng hiểu, trí cịn chế diễu ơng, cho mơn hình học ơng vơ lí, hoang đƣờng

Thực ra, nhà tốn học vĩ đại ngƣời Đức Gau-xơ(1777-1855) ngƣời đƣợc gọi “vua nhà tốn học” có ý nghĩ có hệ thống hình học khác với hình học Ơ-clit năm 1818, ơng đạt đƣợc bƣớc quan trọng việc nghiện cứu môn hình học Nhƣng ơng khơng cơng bố kết nghiên cứu mình, khơng phát biểu cơng khai hình học Lơ-ba-sep-xki Vì vậy? Gau-xơ hiểu ý kiến táo bạo, trái với quen thuộc gặp phải phản ứng mạnh mẽ, công bố ý kiến mà chƣa đƣợc hồn chỉnh uy tín nhà tốn học đƣờng thời Ơng tiếp tục tìm tịi thêm hình học phi Ơ- clit nhƣng không kịp thực ý định mình, ơng năm 1855

Một nhà tốn học khác ngƣời Hung-ga-ri I-a-nôss Bô-i-oi(1802-2860) nghiện cứu độc lập với Lơ-ba-sep-xki, năm 1832 cơng bố cơng trình hình học phi Ơ-clit Nhƣng bi quan quan điểm khơng đƣợc ngời thừa nhận, ông không tiếp xúc nghiện cứu hình học phi Ơ-clit nữa, sau ông đƣợc đọc sách Lơ-ba-sep-xki dịch tiếng Đức 1840

Cịn Lơ-ba-sep-xki, bị cơng kích kịch liệt, khơng nhụt chí, ơng tiếp tục nghiên cứu hồn thiện lí thuyết suốt 30 năm nghiên cứu đơn độc

Hình chọ Lơ-ba-sep-xki khơng phải hình học phi Ơ – clit suy Năm 154, nhà toán học Đức Ri- man(1826 - 1866) đƣa cách xây dựng nhiều thứ hình học phi Ơ-clit khác nhau, nhƣng tƣ tƣởng phƣơng pháp Ri-man lúc cịn đƣợc ý

Sau Gau- xơ vài năm, ngƣời ta công bố thƣ từ Gau – xơ viết cho bạn bè, ơng đánh giá cao cơng trình hình học phi Ơ-clit Lơ-ba-sep-xki Uy tín Gau-xơ làm cho giới tốn học lại bắt đầu quan tâm tới hình học phi Ơ-clit

Năm 1868, nhà toán học Ý Ben-tơ-ra-mi chứng minh đƣợc hình học Lơ-ba-sep-xki mặt có độ cong số âm(mặt có độ cong số dƣơng mặt cầu, hình học mặt hình học cầu; hình học Ơ-clit thơng thƣờng hình học mặt có độ cong không)

Ta tƣởng tƣợng tam giác ABC Trái Đất có đỉnh A Bắc cực, đỉnh B giao điểm xích đạo với kinh tuyến gốc 0, đỉnh C giao điểm xích đạo với kinh tuyến 90 (h.37) Ba góc tam giác 90và tổng ba góc tam giác 270 Nhƣ

mặt cầu, mặt có độ cong số dƣơng, tổng góc tam giác lớn 180 Cịn mặt có độ cong số âm nhƣ hình 38, tổng góc tam giác ABC nhỏ 180 , đồng thời qua điểm M mặt cong ấy, ta có đƣờng thẳng a lẫn đƣờng thẳng b song song với đƣờng thẳng c Vũ trụ dƣới sức hút Mặt trời sao, khơng gian cong nhƣ thé, điều đƣợc chứng minh thuyết tƣơng đối Anh-xtanh, nhà vật lí học vĩ đại giới XX Những đo đạc xác vật lí thiên văn khẳng định hình học Lơ-ba-sep-xki mặt lí luận

Chính thƣ giử Gau- xơ, Lơ-ba-sep-xki viết mơn hình học ơng nhƣ nghịch lí, trái với quan niệm thơng thƣờng, nhƣng ông không tìm thấy mâu thuẫn mơn hình học Trong thƣ, ơng viết: “Chúng ta biết ít, chí chƣa biết chất không gian Chúng ta không nên lẫn lộn khác thƣờng với khơng thể có”

Có thể nói hình học Ơ-clit mơn hình học khơng gian khoảng cách mặt đất Cịn hình học phi Ơ-clit mơn hình học không gian khổng lồ hành tinh, hình học vũ trụ, hình học Ơ-clit nhƣ trƣờng hợp đặc biệt

Hình học phi Ơ-clit lúc đầu cịn bị cho kì quặc, hoang tƣởng, trở nên quen thuộc, đặc biết với nhà trắc địa, nhà trắc địa, nhà thiên văn, nhà nghiên cứu vũ trụ

LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ PHẦN ĐẠI SỐ

CHƢƠNG I – SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC 1. Cộng, trừ , nhân, chia số hữu tỉ

1 a)18 18 23 23

9190  5 115114 Do

18 23

91 114   

b) 22 110 103 103

35 175175177 Do

22 103

35 177

 

2. Trƣớc hết ta xét phân số

x cho

11 11

15 x 13 Biến đổi để tử phân số nhau:

99 99 99

135 11 117 12 10

13511x 117  x  11 x 11 Do x 11 12

Suy ra: 11 11; 11 11

13 11 15 13 12 15

      

 

3. a) a c ad bc ad bc

b d bd bd  

b) Xét hiệu:

   

a c a ab bc ab ad bc ad

b d b b b d b b d

        

  

Xét hiệu:

   

c a c bc cd ad cd bc ad

d b d b b d b b d

    

   

  

4. a) 1;3; 4; 5.   b) Bằng

c) Tổng bằng: 33 11 1   48 (đó số thừa số đƣợc chƣa tích 1.2.3 100) d) Tổng bằng: 25 12 1    47 (đó số thừa số đƣợc chƣa tích 1.2.3 50) e)  x x x;  y

5 a) 20 

; b)

4 

c) 1

2 25 41 41

        

   

   

d) 1

100.99 99.98 98.97 2.1

 

    

 

Biểu thức dấu ngoặc :

1 1 1 98

1

2 98 99 99 99

         Kết bằng: 98 9799

9900 99 9900



 

1, 4089 0, 4089 0,1398 0,1398

0, 2771 0, 5229 1, 2592 0, 7408

           

b) Theo cách thứ nhất, tổng bằng: 1,5487 1, 7363  0,1876 Theo cách thứ hai, tổng bằng: 2 1,8124 0,1876

c) Bằng

7. a) 3 4 21 21

4 4

n n

A

n n n

  

   

  

Để A số nguyên, n4 phải ƣớc 21 Ta đƣợc :

n 21 7 3 1 21

n 17 3 11 25

A 4 18 24 10

b) Biển đổi :

2

B

n  

 2n1 ƣớc lẻ Đáp án :

8

5 1

8

y y

x

   

1  40

x  y    y ƣớc lẻ 40 Đáp án :

9. Các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ 20 gồm 39 số : 19, 18, , 1, 0,1, 18,19.(1)

  

Giả sử 39 số nới viết thành dãy số sau :

1, 2, 39

a a a a

Cần tìm tổng :

     

   

1 39

1 39

1 (a 2) 39

39

S a a a

a a a a

       

         

Ta thấy tổng số dãy (1) nên a1  a2 a39 0 Do :

  40.39

1 39 780

2

S          

n

B 11 5

x 40 -40 8 -8

10. a) 19 : 1:

60 19 10 12 24

   

     

   

   

b) Chú ý rằng:6,3.12 21.3, 6 63.1, 63.1, 2 0 Do biểu thức

c) Biểu thức bằng:

1 1

1 1 3.

1

5 25 125 625

9 11 1.

1 1 1 1 4

4

9 11 25 125 625

                             

11. a) 24; b) 25 

 ; c)3

3

d)

 

1 1 1

0

10 11 12 13 14

1 1 1

1

10 11 12 13 14

x x x x x

x                      

Dễ thấy 1 1

10 1112 1314 nên biểu thức dấu ngoặc thứ hai khác Do x 1

x  e)

 

4

1 1

2000 2001 2002 2003

2004 2004 2004 2004

2004 2001 2002 2003

1 1

2004

2000 2001 2002 2003 2004

2004

x x x x

x x x x

x x x                                                         

12. Ta có:

1 99

2! 3! 4! 100!

2 100

2! 3! 4! 100!

1 1 1 1

1! 2! 2! 3! 3! 4! 99! 100! 1 100!                         

13. Ta có:

1.2 2.3 3.4 99.100

2! 3! 4! 100!

1.2 2.3 3.4 99.100

2! 2! 3! 3! 4! 3! 100! 100!

        

1.2 2.3 3.4 99.100 1

2! 3! 4! 100! 2! 3! 100!

   

          

   

1 1 1

1

2! 98! 2! 3! 100!

   

          

   

1

2

99! 100!

   

14. a) Gọi bảy số a a a1, 2, 3, ,a7 hiển nhiên số khác Ta có a a1 2 a a2 3 a1 a3 : tƣơng tự a3 a a5, 5 a a7, 7 a2, Vậy bảy số nhau, số 4 b) Phải xét hai trƣờng hợp :

- Nếu n lẻ a1a3 a5   a an; 2 a4   an1 Mỗi số 4

- Nếu n chẵn a1a3 a5   an1;a2 a4   an.Ta có

1 n

a a  a  m(m tùy ý khác 0)

2

16

n

a a a

m     15. Giả sử 1

a b a b

1 b a

ab a b

 

 suy b a a b    ab Vế trái có giá trị âm tích hai số đối khác 0, vế phải có giá trị dƣơng tích hai số dƣơng Vậy không tồn hai

số dƣơng a b khác mà 1 a b a b

Chú ý : Ta chứng minh đƣợc không tồn hai số a b khác 0, khác mà

1 1

a b a b Thật vậy,

1 1

a b a b

1 b a

ab a b

 



   2

b a a b ab ab b a ab ab

        

2

2 2

0

2 4

ab ab b b

a ab b a

         

2

2

3

0 0,

2 2 4

b b b b b b

a a  a  a  b a

               

     

Nhƣng giá trị làm cho biểu thức khơng có nghĩa

16. Đặt 1

1.2 3.4 5.6 49.50

A    

Dễ thấy 1 1 1 1

1 49 50

1 1 1 1 1

1 49 50 50

A           

 

1 1 1 1 1

1 49 50 25

 

           

 

1 1

26 27 50

   

17. Trƣớc hết ta biến đổi 1

51 52 53 100

A     (cách giải tƣơng tự nhƣ 16) Do đó:

1 1 1

51 52 75 76 77 100

A          

   

Ta có: 1 , 1

5152  75 7677  100 nên:

1 1

.25 25

75 100 12

A    

1 1 1

.25 25 25 25

51 76 50 75

A      

Vậy

12 A

18. Từ a b 2a b  suy a b 2a2b , a 3b nên a

b   Từ a b  3 a  b 1,5 ta tính đƣợc a 2, 25;b0, 75

19. Từ a b ab a ab b b a  1 a b:  a (do b0 ) Mặt khác, theo đề bài, :a b a b

Suy a     1 a b b

Thay b 1 vào a b ab đƣợc 1 a   a a  a

Vậy 1,

2

a b

20. Đặt x a b

 ,a bZ a b; , 0;(a b, ) 1 Ta có 2

2

a b a b

Z a b ab

b a ab



     (1)

Từ (1) suy b a2 , mà a b, 1 nên b a Cũng a b, 1 nên a 1 Cũng chứng minh tƣơng tự nhƣ trên, ta đƣợc b 1

21. a) 4 

7   7 55 chia hết cho 55 b) 215.33 chia hết cho 33;

c) 326.5 chia hết cho 34.5

22. a) Bằng nhau; b) Đối nhau; c) Bằng nhau; d) Đối 23. a) b) Đúng

c) d) Không Chỉ a0

e) Đúng, hai số đối bình phƣơng chúng g) Đúng, hai số đối lập phƣơng chúng đối 24. a)

15 20 15 40 55

1 1 1

2 2

                              b)

25 30 50 30 20

1 1 1

: :

9 3 3

                              c)

3 12 6

1 1 1

: :

16 2

                              d) x6:x6 1 với x0

25. Có sáu cách viết:  2  6

64 8  8 4 2  2

26      

     

5

2 10 10 10

8 10 10 10

10

2 2.3 2 3 2 3 2 3 2 1

2 3 5 3 2.3

A        

 



27. Với n chẵn

2

n

n

S   nên S60 30

Với n lẻ

n

n

S   nên S35 18 Vậy S60S35 12

28. a) Với n chẵn 2 n

A    n

Với n lẻ 4( 1) 2

n

A    n

b) Số hạng thứ n dãy ( 1) n1(4n3) Cũng viết

( 1)n (4 3) n 

 

29. a) P  0 a 0,c0 b0,c0

0

P  a , b c dấu

0

P  a , b c trái dấu b) Q  0 x 0,y0,z0

0

0

Q  Trong x y z, , ba số âm có số âm hai số dƣơng 30. Nếu b0 b5 0, a 0, vơ lí

Vậy b0, suy a0 31 , , , , , , 24 5 3 1 2

32 a) 10 ; 2.10 ;6 8 b) 0, 0000001;0, 0000025 33 a)AB; b) A0, 0111;A11100000B 34 a) Chỉ cần so sánh

100

1 16

     

500

1

      Cách

100 400 500

1 1

16 2

                  Cách

100 100 500

1 1

16 32

                  b) Trƣớc hết ta so sánh 329

1813 Ta có: 329245252 16131813 Vậy 329  1813, tức 32 9  1813

35 a16 ,25 b27 ,25 c2525 Vậy a c b 36 Các câu a c

Câu b sai Ví dụ:  3 0 Câu d sai Ví dụ:  1  1 Câu e sai Ví dụ: 32 3

37 Nếu a0 m n số tự nhiên khác tùy ý Nếu a1 m n số tự nhiên tùy ý

Nếu a 1 m n số chẵn tùy ý số lẻ tùy ý Nếu a0,a 1 mn

38 a) (2x1)4 34  ( 3)4 Có hai trƣờng hợp: 2x   1 x

2x     1 x

b) (x1)5  ( 2)5       x x

c) 1; 1;

2

x x x

40 a)

2

1

1

2

2 3 1

2

x y

x y x x x y x

x x x y x x y

  



             b) x2y

c) Ta tìm đƣợc x2y2 3y x Đáp số: x10,y6 41 a) Nhân vế ba đẳng thức đƣợc:

2

( )

25

abc  ,

5

abc  Có hai đáp số:

3

, ,

4

a b c 3, 4,

4

a  b  c  b) Công vế ba đẳng thức đƣợc:

( ) ( ) ( ) 36

a a b c  b a b c  c a b c  

Do

(a b c  ) 36 nên a   b c

Có hai đáp số a 2,b3,c5 a2,b 3,c 5 c) Nhân vế ba đẳng thức đƣợc (abc)2 36abc

Nếu số a b c, , hai số cịn lại

Nếu ba số a b c, , khác chia hai vế cho abc ta đƣợc abc36 Từ abc36và abc, ta đƣợc

2 36

c  nên c 6 Từ abc36và bc4a, ta đƣợc 4a2 36 nên a 3 Từ abc36và ac9b, ta đƣợc 9b2 36

nên b 2

Nếu c6 a b dấu nên a3,b2 a 3,b 2 Nếu c 6 a b trái dấu nên a3,b 2 a 3,b2

Tóm lại, có số ( ; ; )a b c thỏa mãn toán là: (0;0;0), (3; 2;6), ( 3; 2;6), (3; 2; 6), ( 3; 2; 6)     

42 Giả sử ab, chẳng hạn ab (trƣờng hợp ab chứng minh tƣơng tự) Chú ý hai lũy thừa có số (là số tự nhiên) khác lũy thừa có số nhỏ có số mũ lớn

hơn Từ b c d e a

a b c d e ab suy bc c, d d, e e, a a, b, mâu thuẫn Do ab Nếu a b c  d e Nếu a b b  c d e Vậy năm số , , , ,a b c d e (Chú ý: Không xét a b khơng có )

43 A tích 99 số âm Do đó:

2

1 1

(1 )(1 )(1 ) (1 )

4 16 100

A

      

2 2 2 2

3 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101

2 100 100

 

Để dễ rút gọn, ta viết tử dƣới dạng tích số tự nhiên liên tiếp 1.2.3 98.99 3.4.5 100.101 101 101

2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 100 200 A

    

Do A

44 Ta có: A2100299298   22 101 100 99

2A2 2 2    2 Nên 3A21012

Vậy

101

2

3

A 

45 Cộng B với 3B, đƣợc 4B 1 3101 Đáp số:

101

4

B 

46 Tính 3C, trừ C, đƣợc 199

C  Vậy

2 C 47 Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

3 19

1 2 3 10

2 10

1 2 3 10

1 1 1 1

1 2 3 10

1

1

10

   

   

    

           

48 Đặt: 22 33 44 9999 100100

3 3 3

M       

Nên 32 43 9998 10099

3 3 3

M       

Do (1 12 13 198 199) 100100

3 3 3

M  MM        

Biểu thức dấu ngoặc nhỏ

2 (xem 46) nên

1

2

2

M  

Suy

4

M 

49 2m2n 2m n 2m n 2m2n 0

2 1

2 (2 1) (2 1) (2 1)(2 1) 1

2 1

n

m n n n m

m m n

  

            

 



a) Nếu m n 1thì từ (1) ta có (2 1)n  28 Suy n8,m9

b) Nếu m n 2 2m n 1 số lẻ lớn nên vế trái (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ phân tích thừa số nguyên tố Còn vế phải (1) chứa thừa số nguyên tố Mâu thuẫn

Vậy n8,m9là đáp án

51 a) Giả sử sáu số d d d c c c1, 2, 3, ,1 2, 3, số -1, có tổng sáu số phải có ba số 1, ba số -1

Do

1 3 ( 3)

d d d c c c    d d d   (vì d d d1 c c c1 3) Điều vơ lí Vậy khơng thể xảy d1d2    d3 c1 c2 c3

b) Kết luận toán trƣờng hợp bảng vng n n có n số lẻ Trong trƣờng hợp n số chẵn, đẳng thức

1 n n

d d  d     c c c xảy Bạn đọc tự tìm ví dụ bảng vuông 4 52 Xét n tích x x x x1 2, 2 3, ,x xn 1, tích có giá trị -1 mà tổng chúng nên số tích có giá trị số tích có giá trị -1,

2 n

Vậy n chia hết cho Bây ta chứng minh số tích có giá trị -1 số chẵn Thật vậy, xét

1 2 1 ( )( ) ( n n)( n )

A x x x x x x x x

Ta thấy 2

1 n

Ax x x nên A 1 0, chứng tỏ số tích có giá trị -1 số chẵn, tức n

là số

chẵn, n chia hết cho Tỉ lệ thức

53 a) x 0, b) x1,8 c) x 

d) Cộng vào tỉ số ta đƣợc 50 10

13

x 

Do x1335 Vậy x22

54 3 4(3 ) 3( )

4

x y

x y x y

x y

     



12x 4y 3x 3y    

12x 3x 4y 3y

   

9

7

x y

x y    

55. Có nhiều cách chứng minh tỉ lệ thức (xem ví dụ 7) Ở giới thiệu cách giải:

Đặt a ck

a) 3

2 3

a b bk b k

a b bk b k

  

 

  

2 3

2 3

c d dk d k

c d dk d k

  

 

  

Do 3

2 3

a b c d

a b c d

 



 

b) c) Học sinh tự giải

56. a) Từ giả thiết suy (a b c d )(  ) (a b c d)(  ) Khai triển rút gọn ta đƣợc 2ad2bc nên a c

b d b) Giải tƣơng tự nhƣ câu a

57. Trừ tỉ số, ta đƣợc 2c 2c a b c  a b c 

Nếu c0 a    b c a b c nên b b b0, trái với đề 58. Ta có: a b b c

c d d a

 



 

Công vào tỉ số ta đƣợc a b c d b c a d

c d d a

      

 

- Nếu c  d a d nên ac

- Nếu a   b c d tốn đƣợc chứng minh (xảy đƣợc a   b c d 0, chẳng hạn

1, 2, 3,

a b c d   )

59. a) Khơng xét tích hai số: 3.4; 3.5; 3.6; 3.7; 4.5; 4.6; 4.7; 5.6; 5.7; 6.7, khơng có hai tích

b) Xét tích hai số, có ba đẳng thức 1.82.4;1.162.8; 2.164.8 Mỗi đẳng thức cho ta bốn tỉ lệ thức

c) Có bảy đẳng thức cặp tích hai số, tổng cộng có 28 tỉ lệ thức

60. Xét bốn trƣờng hợp:

- Trƣờng hợp 1: Chọn x với ba số 2, 4, lập thành tỉ lệ thức, ta có đẳng thức:

.2 4.8 2.8 2.4 x

x x

  

Các trƣờng hợp theo thứ tự cho ta: x16,x4,x1

- Trƣờng hợp 2: Chọn x với ba số 2, 4, 16 lập thành tỉ lệ thức

- Trƣờng hợp 3: Chọn x với ba số 2, 8, 16 lập thành tỉ lệ thức

Các trƣờng hợp 2, 3, giải tƣơng tự trƣờng hợp

Tổng cộng ta tìm đƣợc tám giá trị x 1;1; 2; 4; 8;16; 32; 64

2

§5 Tính chất dãy tỉ số

61. a) x20,y12,z42 b) x20;y30;z42 c) x27,y36,z60 d) x18; y16;z15 e) x11,y17,z23

g) Từ

3

810

27

2 2 30 30

x y z  x x y z xyz

       

 

do

x 

x6, y9,z15

62. Cộng số hạng cộng số hạng dƣới tỉ số thứ thứ ba so sánh với tỉ số thứ hai Đáp số: x5

63. Gọi x số them vào tử mẫu phân số ax 0

b  , ta có

1

a x a a x a x b b x b x b x

  

   

  

Vậy a

b 

64. Mỗi tỉ số cho a b c

b c d  

  Tích ba tie số cho

3 a b c b c d  

 

   

  , mặt khác tích a b c a

b c d  d Vậy

3

a b c a b c d d

 

  

   

 

65. Đặt a b c k

b   c a abk b, ck c, ak

Do

abcbk ck akabck

Do

, , 0

a b c abc k  Vậy k 1 Từ a b c

66. Ta biết 1: 1.a a

b ab b Theo tính chất dãy tỉ số nhau:

1 1

1 1

a a

a b b b

b b b

a a a



  

67. Nếu a b c  0 theo tính chất dãy tỉ số nhau:

 

2

a b c a b c

b c a c a b a b c

 

   

    

Nếua b c  0 thif b c  a c,   a b a b,   c nên tỉ số a , b , c

b c a c a b 1 §7 Số vô tỉ Căn bậc hai Số thực

68. a) 1, b)

6

 69. a) x 9 b)

4

x

4

x c) x x20 nênx0 x4 d) x0 x1

70. Với 16

9

x A7 Với 25

9

x A4

71. Biến đổi: 4

3

x A

x x

 

  

 

Do A số nguyên nên

x phải số nguyên (1)

Khi x số nguyên x số nguyên (nếu x số phƣơng), số vơ tỉ (nếu x

khơng số phƣơng)

Nếu x laf số vơ tỉ x3 số vô tỉ, trái với (1) Vậy x phải số nguyên Từ (1) suy x3 phải ƣớc Ta có

3

x 4 2 1

x 1

x Khơng

có

1 16 25 49

72. a) Giải tƣơng tự ví dụ 11a

b) Giả sƣ 5 số hữu tỉ số hữu tỉ, vơ lý 73. a) Có, chẳng hạn: 2 2

b) Có, chẳng hạn: 2 5 25

74. Theo định nghĩa phần nguyên số, với a số tự nhiên thì:

1

n a a n a         

Với 1 n n 1 Với 4 n n 2 Với 9 n 15 n 3 Với 16 n 24 n 4 Với 25 n 35 n5 Vậy

3

9 11

1 15

16 24 25 35 1.3 2.5 3.7 4.9 5.11 10 21 36 55 125

so so so

so so

                           

                 

       

75. Xét hai trƣờng hợp:

a) Trƣờng hợp ab (1) 2

a  a b b (2) ta thấy có (1) suy (2) Nhƣ ab b) Trƣờng hợp

a  a b (3)

b  b a (4)

Cộng (3) (4) đƣợc: a2b2    a b a b a2b2   0 a b Kết luận: Trong hai trƣờng hợp ta có ab

CHƢƠNG II – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

§8 Đại lƣợng tỉ lệ thuận

76. a) C4x x 0 ; b) C2R R 0 77. a) S5x x 0 ; b) S 2h h 0

78. a) y x

79. Đáp số: 50 đinh ốc

80. Gọi số ngày phải tìm x Ta quy ƣớc công tƣơng đƣơng với cơng nhân làm

ngày ta có:

Làm ab công đƣợc c dụng cụ Làm bx công đƣợc a dụng cụ Từ ab c,

bx a ta tính đƣợc a x

c 

81. Trong thời gian, số ngƣời tăng gấp lầ số cá câu đƣợc tăng gấp lần Vậy thời gian phải tìm phút

82. Cách (dung phân số): Trong ngày ngựa ăn hết

4 xe cỏ, dê ăn hết

6 xe cỏ,

một cừu ăn hết

12 xe cỏ, ba ăn hết

1 1

4 6 12 2 (xe cỏ)

Trong 12 ngày (chọn số 12 BCNN 4, 6, 12 ), ngựa ăn hết xe cỏ, dê ăn hết xe cỏ, cừu ăn hết xe cỏ, ba ăn hết: 3  (xe cỏ)

Vậy ba ăn hết xe cỏ 12 : 62 (ngày)

83. (h.39) Nếu hai hình chữ nhật có chiều dài tỉ số diện tích chúng tỉ số hai ciều rộng

36 28

x 63

84. Đồng hồ có khoảng thời gian hai lần nhỏ nhiều

Khoảng thời gian hai lần đồng hồ chết 12

Khoảng thời gian hai lần đồng hồ treo tƣờng đeo tay thời gian để đồng hồ chậm 12

Đồng hồ treo tƣợng chận phút ngày nên chậm 12 (tức 720 phút) sau 720 ngày Đồng hồ đeo tay chậm phút nên chậm 12 (tức 720 phút) sau 720 Vậy đồng hồ chết nhiều

§9 Đại lƣợng tỉ lệ nghịch

85. a) y 12x 0

x

  b) y 20x 0

x

 

86. y x 

87. Đáp số: 72 dụng cụ 88. Đáp số: 120 vòng 89.

Số Số vòng

18 48

1 x

Số số vòng quay hai đại lƣợng tỉ lệ nghịch nên: 18

48

x  Từ

8

x (vịng)

Đùi đĩa quay góc: 3.360 135

o  o

90. Ba bánh xe quay số nhƣ nên vận tốc ba bánh xe I, II, III tỉ lệ nghịch với số hai bánh xe

Gọi vận tốc quay bánh xe I, II, III a b c, ,

A

B

C

15a10b8c nên 15 10

120 120 120 12 15

a b c a b c

    

Vậy câu trả lời C

91

Số viên thuốc ba ngƣời uống ngày Thời gian hết thuốc viên

6 viên

30 ngày x ngày

Ta có 25

6 30

x x    Thời gian phải tìm 25 ngày

92.

Số làm việc Số máy cần dùng

9.436

3.6 18

3 x

Tìm đƣợc x6 93

Đại lƣợng I Đại lƣợng II

a 1,1a

b x

1,1

a x

a b nên

10 1,1 11

ab

x b

a

  Giá trị đại lƣợng II giảm

11 hay

9 %

11 Vậy câu trả lời D

§10 Hàm số đị thị hàm số

94. a) Sx2 x0 b) S R2 R0 95. Xem bảng dƣới

d (cm) 19 21 23

23

1 24

3

25

Cỡ giấy 30 33 36 37 38 39

96

Hàm số f  x  f x 

   

f   x f x

 2  1  2

f x  x  f x  f x

 2    1

f x x  f x f x

 

1

f x x khơng có có có

 

2

Hàm số f   x f x 

   

f   x f x

 2  1  2

f x  x  f x  f x

 2    1

f x x  f x f x

 

3

f x  có khơng khơng có

 

f x 

có khơng khơng không

 

1

f x

x 

khơng có khơng có

 

6

f x  x có khơng khơng có

97 y2x1 98 y3x1

99 y5x3

100

3

a 

Điểm B thuộc đồ thị hàm số, điểm C không thuộc đồ thị hàm số, điểm D có tọa độ 4;4

 

 

 , điểm E có tọa độ 6; 2

102 Giả sử 4x có giá trị lớn m xx1 4x1m m phải dƣơng,

x  x 4x2 4x1 nên 4x2 m, mẫu thuẫn Vậy biểu thức 4x khơng có giá trị lớn Bạn đọc tự chứng minh biểu thức 4x khơng có giá trị nhỏ

103. a 4, Điểm B không thuộc đồ thị hàm số, điểm C thuộc đồ thị hàm số, điểm D có toạ 6;2

3

   

 , điển E có toạ độ 1; 4 104 Các điểm thuộc đồ thị hàm số y

x

 nằm phía dƣới đƣờng thẳngyx có hồnh độ thoả mãn điều kiện: 1

x , Trên hình 42 ta tìm đƣợc x0 x1 giá trị phải tìm

105 Đồ thị hàm sốy x

 có nhánh chạy xa vô tận theo chiều dƣơng trục tung nên biểu thức

x khơng có giá trị lớn

Đồ thị hàm số có nhánh chạy xa vô tận theo chiều âm trục tung nên biểu thức khơng có giá trị nhỏ

Hình 41

x 1

-2 1

2 y

-1

-1

Hình 40 y

2

CHIA TỶ LỆ

106 a) Gọi x y theo thứ tự số vòng kim phút kim quay đƣợc từ lúc hai kim gặp lần trƣớc đến lúc chúng gặp lần

Ta có: x y (kim phút phải quay nhiều kim vòng), x y: 12 :1 (kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

Từ 12 11

x (vịng) Thời gian phải tìm 11 11

b) Trong ngày, hai kim đồng hồ gặp 24 :12 22

11 (lần) Giữa hai lần hai kim gặp nhau, chúng tạo với góc vng lần Vậy ngày, hai kim đồng hồ tạo với góc vuông 44 lần

107 Gọi AB vị trí ống lúc Tuấn bắt đầu chạy từ đầu ống (tại A), CD vị trí ống lúc Tuấn chạy đến cuối ống (tại D), EF vị trí ống húc Tuấn gặp đầu ống lần thứ hai (tại E) Nhƣ Tuấn chạy

AD 140 bƣớc chạy DE 20 bƣớc (h.43)

Gọi chiều dài ống x(mét) Trong thời gian Tuấn chạy 140m, ống di chuyển đƣợc đoạn 140

BD x Trong thời gian Tuấn chạy 20m, ống di chuyển đƣợc đoạn DF x 20 (m) Ta có 140 140

20 20

x x

 

 Từ x35 Chiều dài ơng 35m

108 Đáp số:45m2, 51m2, 96m2, 48m2, 60m2

109 Đáp số: 50 000 đồng, 30 000 đồng, 20 000 đồng

110 Đội I đội làm nhiều dự định:

15 18 90 (số đất) Tổng số đất 540m Số đất phân chia cho đội I, I, II là: 216m3, 180m3, 144m3

111 Đáp số: Khối có 80 học sinh, khối có 240 học sinh, khối có 300 học sinh 112 Gọi , ,x y z theo thứ tự số sản phẩm tổ I, II, III làm Ta có

: : (5.1,1) : (4.1, 2) : (3.1,1)

x y z x y

Đáp số: Tổ làm 55 sản phẩm, tổ II làm 48 sản phẩm, tổ III làm 33 sản phẩm

113 Gọi a b c, , theo thứ tự ba số phải tìm Ta có a b: 5 : 9, :a c10 : 7, : :a b c10 :18 : Hình 43

20 D

F D E

E x F

D x

C

C 140

B A

Đặt

10 18

a b c

k

   ta có BCNN (10 ,18 , )k k k 3150

650k 3150 k

   

Các số phải tìm 50; 90; 35

114 Gọi a b theo thứ tự chiều rộng (tính mét) thứ thứ hai

2,1

a b b   (1)

Hai vải chiều dài nên:

: 120000 :192000 5:

a b  (2)

Từ (1) (2) suy a0,5( ),m b0,8( )m

Gọi c d theo thứ tự chiều dài (tính mét) thứ hai thứ ba 110

c c d   (3)

Hai vải chiều rộng nên:

: 192000 :144000 :

c d  (4)

Từ (3) (4) suy c40( ),m d 30( )m

Vậy thứ dài 40m, rộng 0, 5m; thứ hai dài 40m, rộng 0,8m; thứ ba dài 30m, rộng

0,8m

115 Gọi x y z, , theo thứ tự số tờ giấy bạc 500 đồng, 2000 đồng, 5000 đồng Ta có: x  y z 540

và 500x2000y5000z Từ x400,y100,z40

116 Đáp số: Ngƣời thứ làm 360 dụng cụ, ngƣời thứ hai làm 300 dụng cụ, ngƣời thứ ba làm 200 dụng cụ

117 Đáp số: Ánh đƣợc 18 chiếc, Bích đƣợc 15 chiếc, Châu đƣợc

118 Gọi phân số phải tìm theo thứ tự a b c, , Ta có: 213 70 a b c  

: : : : : 40 : 25

a b c  Do đó:

213

: 71

6 40 25 40 25 70 70

a  b  c  a b c   

 

Từ đó;

9 12 15

, ,

35 14

a b c

119 Gọi a, b, c chữ số số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, ta có:

1

a b c a b c 

   (1)

Từ (1) suy raa b c  6, a b c  18 Ta tìm đƣợc a3,b6,c9

Số phải tìm chia hết chữ số tận Xét hai số 396 936, có số 936 thoả mãn toán (chia hết cho 72)

Đáp số: 936

120 Gọi độ dài ba cạnh tam giác a b c, , , ba chiều cao tƣơng ứng x y z, , , diện tích tam giác S

Ta có: x 2S,b 2S,c 2S

x y z

  

Từ đó:

2 2

2

2 4

a b c S S S x y z

x y z

x y z

          

Vậy ba chiều cao tƣơng ứng tỉ lệ với 6; 4;

121. Gọi a b c, , độ dài ba cạnh tƣơng ứng với đƣờng cao 4,12,x Ta có:

4a12bxc2S suy , ,

2

S S S

a b c

x

  

Do a b   c a b nên

2 1 1 2

2 6 6

3

S S S S S

x x x

x

              

Do xN nên x

122 Tính góc ngồi đỉnh A B C, , ta đƣợc 96 ,120 ,144   Do góc A B C, ,

84 , 60 ,36  , chúng tỉ lệ với 7;5;3

123 Gọi hai số phải tìm a b (a0,b0,ab) Ta có:

5 12

a b a b ab

 

Từ a b 5(a b ) ta đƣợc

a b

2 b a b 

Từ 12( ) 12

2 b

ab a b   b 12( ) 12

2 b

ab a b   b ta đƣợca6 ;b4 SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN

SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN

124 35 0, 625;10 0, (6); 0, (45); 0, (153846)

15 13

0,1(82926); 0,5(90); 0, 01(6); 0, 208(3)

82  22  60 24 

125 0, (27) 3;0, (703) 19;0, (571428) 4; 2, 01(6)

7 27 60

   

9 31 39

0,1(63) ; 2, 41(3) ;0,88(63)

55 75 44

  

Chú ý: Các nhận xét sau giúp ta kiểm tra lại kết tính tốn Xét phân số đổi thành số thập phân vơ hạn tuần hồn:

a) Nếu b không chia hết cho tổng chữ số chu kì chia hết cho

Chẳng hạn 15 0,1(82926)

82  Tổng chữ số chu kì bằng: 6    27, chia hết cho b) Nếu b số nguyên tố số chữ số chu kì ƣớc củab1 Trong trƣờng hợp chu kì có số

chắn chữ số chữ số nửa sau chu kì hiệu chữ số tƣơng ứng nửa đầu chu kì

Chẳng hạn 0, (153846)

13 Chu kì có sáu chữ số (6 ƣớc 12) 4     3 126 Gọi phân số tối giản phải tìm a

b ,  a b, 1 Ta có: ab12602 5.72

b khơng có ƣớc nguyên tố 7, b1 nên b4 : :20 .Có ba đáp số:

315 252 63

78, 75; 50, 4; 3,15

4   20 

127 Xét dãy 2003 chữ số sau dấu phẩy x Gọi chữ số thứ 2003 a Chia dãy thành ba nhóm:

nhãm III nhãm I nhãm II

1234567891011 99100101 x

Nhóm I có chữ số, nhóm II có 180 chữ số, nhóm III có:

2003 180 1814   (chữ số) Ta thấy 1814 chia đƣợc 604 dƣ

Số thứ 604 kể từ 100 là:100 604 703  

Hai chữ số số 703 chữ số chữ số (thuộc số 704),

Vậy a0, câu trả lời A

128 a) a b c  ƣớc 1000 không 27 Đáp số: 1: 0,125 5  

c) Ta có yx

90 90 90

xyx y

  xy x yx y

8(x y)

     x y

Ta lại có x y Do đó: x5,y4

129 Xét phép trừ thứ hai: *** ** *  suy số bị trừ, có dạng 10*, 100 (vì chữ số đơn vị

của số bị trừ chữ số thêm vào để tìm chữ số thập phân thƣơng)

Đặt số chia, thƣơng tích riêng thứ theo thứ tự ab;c; deg; mn

Ta thấy 10 :ab0, deg nên10000ab.deg

Chú ý d 0 (vì d 0 ab eg 10000) g0 (vì g0 thƣơng dừng lại e), deg ƣớc 10 000 có ba chữ số Suy deg 53 125 hoặc54  625 Tƣơng ứng ab 80 16

Trƣờng hợp ab80 mn80, trái với 80 10  *** (số bị chia), loại Trƣờng hợpab16 thìc , mn96, số bị chia là96 10 106  Ta có 106 :166, 625

131

100

99 99

1 10 1, 01 10 01

A  Nhân tử mẫu với

100

99 , ta đƣợc

100 100

100 100

9 0 9

Theo quy tắc viết số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn thành phân số số 0,

100 100

0, (9 0) viết thành

phân số

Vậy

100 100 100 0,9 09

A

132 Xét phân số

A, mẫu A không chứa thừa số nguyên tố nên

A viết dƣới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn

1

1

99 a 99 99

n

n

n n

n

a a a

A a a A

A   

Chú ý: Ta chứng minh đƣợc tồn bội A gồm toàn chữ số Thật vậy, ta có 9.11

n

A (1) Ƣớc chung A 1, 3,

 Nếu  A,9 1 từ (1) suy 11

n

A

 Nếu  A,9 3 đặt A3B, ta có  B,3 1 Từ (1) suy ra:

9.11 3.11 11 11

n n n n

B B B BA

 Nếu  A,9 9 đặt A9B, Từ (1) suy

9.11 11 11

n n n

B B B A

Cũng giải cách dùng ngun lí Đi-rích-lê BẤT ĐẲNG THỨC

133 a)x 3 b)x1 x2

c) 1  x 2 x d) 3 x

e) 5 x

x     x x5 134 a) x0

b) x0

c) x1 x0

135 a) 2 3

3 x x

x x

         

b)1 1 4

4 x x

x x

         

 

136 Tích bốn số a210,a27,a2 -4,a21 số âm nên phải có ba số âm Ta có

2 2

10 -

a  a  a a  Xét hai trƣờng hợp: a) Có số âm, ba số dƣơng:

2 2

10 7 10

a   a   a  a  (do a )   a b) Có ba số âm, số dƣơng:

2 2

4 1

a   a   a  Do a nên không tồn số a Đáp số: a 3

137 a) GTNN A x0 b) GTNN B 25 x0 c) GTNN C x1,y 2 138. a) GTLN A

2

x b) GTLN B

3 x1

c)

2

2

8

1

2

x C

x x



  

 

GTLN B x0

139. a) Xét x7 A0 (1)

Xét x7thì mẫu 7x số nguyên dƣơng Phân số A có tử mẫu số nguyên dƣơng, tử không đổi nên

A lớn mẫu 7x nhỏ  7   x x Khi A1 (2) So sánh (1) (2) ta thấy GTLN A x6

b) Biến đổi: 27 2(12 ) 3

12 12 12

x x

B

x x x

  

   

  

GTLN B x11 140 Xét x3 A0

Xét x3 A0 Vì A số âm nên A nhỏ số đối (là

3x ) lớn Giải tƣơng tƣ nhƣ 139 ta đƣợc GTNN A -1 x2

b) ( 5)

5 ( 5) ( 5)

x x

B

x x x

  

   

  

GTNN B -3 x4

c) GTNN C -4 x3

141. Biến đổi 2(7 8) 7(2 3)

2(2 3) 2(2 3) 2(2 3)

n n

A

n n n

  

   

  

Đặt

2(2 3) B

n 

 A lớn B lớn GTLN A n2 142. Từ a3c8,a2b9 suy 2a2b3c17 Do 2(a b c   ) c 17 Để có a b c  lớn phải có c nhỏ Mà c0 nªn c0 Khi 8,

2

143. Trƣớc hết ta thấy tổng A số lẻ Thật tách riêng số 1989 ghép 1988 số hạng đầu thành cặp, cặp hai số ta đƣợc 994 cặp số 1989

(*1*2) (*3*4) (*1987*1988)*1989

A    dấu * thay cho dấu “+” hay dấu “-“

Giá trị cặp số lẻ nên tổng hai cặp số chẵn Vì số cặp tổng A số chẵn (994) nên tổng 994 cặp số chẵn, A số lẻ

Số lẻ không âm nhỏ Tổng A nhận đƣợc giá trị này, chẳng hạn:

1 (2 5) (6 9) (1986 1987 1988 1989)

A              144 a) 2

(2 7) 4.7 28

x   

2

(3 3) 9.3 27

y   

2 

x y nênx > y (chú ý x,y dương) b) x < y

c) 316, 11 13 nên 31 11 6 13

vậy 31 13 6 11 tức x y

145.0 ( 1) 2

1 a

a a a a a a a a a

a  

               

146. GTNN x1 x0

147. GTLN 1

3

3 

 x

x 148. a)  x    2 x

b)    

3

  

x x (loại) Vậy    2 x

149. Theo định nghĩa phần nguyên phần lẻ số, a Q  a Z 0 a 1 a) Xét  x  y 1,5 ý 0 y 1 neân 0,5 < x 1,5

Do  x Z neân  x 1 suy  y 0,5

Xét  x  y 3, ý 0 x 1neân 2,2< y 3, Do  y Zneân  y 3 suy  x 0,

Vậy x x  x  1 0, 1, 2; y y  y  3 0,53,5 b) Trừ vế hai đẳng thức cho, ta đƣợc:

    1,5

x x  y y   hay  x  y  1,5 Giải tƣơng tự câu a) Đáp số: x4,5;y 1,3

150. Có tồn Chẳng hạn chọn số dãy 5;6; 5;6; 5   dãy thỏa mãn điều kiện toán

151 Với số nguyên n ta có nn2 Do từ đề suy ra:

2 2

a  b b  c c  a a

Do đó: 2 2

a  b b  c c  a a Ta có: a2  a a a(    1) a  0;1 Tƣơng tự: b 0;1 ; c 0;1

Bài tốn có hai đáp số: a  b c a  b c

152 a) a0 ; b) a0

c) Khơng có số nhƣ d) a0 e) Mọi a 153. a) Thêm điều kiện: a b dấu b) Thêm điều kiện: b0 a b dƣơng

154 Ta có  x y

a) x y2  y y2 y3 0 y0 b) x y

c) xy0 x0,y0 d) 1 1 1 x  y x x    x x x e) x 1

y    

Nhƣ có câu d sai 155. a) 22

9 b) -8; c) -5; d) -2,5 -2,3 156. a) Biểu thức 2a vớia0, với a0

b) Biểu thức vớia0, - 2a với a0 c) Biểu thức a2 vớia0, - với a2 a0 d) Biểu thức vớia0, - với a0

e) Biểu thức x9 vớix 3, 5x3 với x 3

g) Biểu thức 3,

4

 với  ,   với     với 

x x x x x x

157. a) 1 4, 2 1; 1; 0; 1 5, 2

2

b) c) d)

x  x   x  x x  x   158. Cách a) a b  a b Xét hai trƣờng hợp:

1) Nếu b0 a b  a b, a a hay a0

2) Nếu b0 a b  a b, a  a 2b Đẳng thức khơng xảy vế trái không âm, vế phải âm

Kết luận: Vậy a0;b0 giá trị thỏa mãn a b  a b Cách Ta có: a a b;  b Do đó: a b  a b suy a0;b0 b) a b  a b Giải tƣơng tự nhƣ ví dụ 39

Đáp án: a0; b0 b0; a b 159. a) Có 80 cặp số

b) Nếu x0 ybằng 0; 1; 2; 3; ; 19    gồm 39 giá trị Nếu x 1 y

0; 1; 2; 3; ; 18    gồm 37 giá trị Nếu x 18 y 0; 1 gồm giá trị Nếu x 19 y gồm giá trị

Có tất 2(1 37) 39    761 cặp số 160 Dựa vào quy tắc phép tính học, ta có:

a) Giá trị tuyệt đối tổng nhỏ giá trị tuyệt đối   

a b a b

Dấu đẳng thức xảy ab0

b) Giá trị tuyệt đối hiệu lớn hiệu giá trị tuyệt đối    với 

a b a b a b

Dấu đẳng thức xảy ab0



ab a b

d) Giá trị tuyệt đối thƣơng thƣơng giá trị tuyệt đối  a

a b b 161. a) GTNN A -1

3

x b) GTNN B -1

4 x

c) GTNN C -1 x0,y2

d) Với x0 D  x x 2x0 (1) Với x0 D  x x (2) Từ (1) (2) suy ra: GTNN D x0

162. a) GTLN A

2

x b) GTLN B

3 x2

163. Xét trƣờng hợp: Xét x 2 C1 Xét x 1 C1

Xét x 1 Khi A x 2

x x



   Ta thấy C lớn x

 lớn Chú ý x số nguyên dƣơng nên

x lớn tức x1 Khi C3

So sánh trƣờng hợp ta suy ra: GTLN C x1 164.a b  (a c  ) (c b)       a c c b

165 a) 2

2         với với x x y x

x x b)

2 0         với với x x x y x x x

c) 1( ) 0

0         với với x

y x x

x x d)

0 ( ) 0          với với x x

y x x

x

e) 1(3 )

0         với với x x

y x x

x x

Đồ thị hàm số trên: xem hình 44

x -1 y a) y -1 x -1 c) -1 y

1 x

b)

y

1 -1

2 y

-1

O x' x

B'

A' B

A

Hình 46

4 3 1

2 O m'

m

y'

x' y

x

Hình 47 PHẦN HÌNH HỌC

CHƢƠNG I – ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG

§1 Hai góc đối đỉnh

1. (h.46) Ta có: ' '

A Ox AOx (đối đỉnh) ' '

B Ox BOx (đối đỉnh)

Mà: AOxBOx nên A Ox' 'B Ox' '

Ta lại có tia Ox' nằm hai tia OA' tia OB'

nên tia Ox'là phân giác góc A OB' '

2. (h.47) Gọi xOyvaø x Oy' ' hai góc đối đỉnh Om Om' tia phân giác hai góc

Cách Ta có xOyx Oy' ' nên O1O4 Ta lại có

4 ' 180

O xOm  , O1xOm' 180

Vậy Omvà Om' hai tia đối

Cách Ta có O1O O2, 3 O4, xOy'x Oy' mà

0

1 ' 180

O O xOy  tổng sáu góc 3600 nên

Vậy Omvà Om' hai tia đối

3 a) Có 10 tia chung gốc O, tia tạo với tia cịn lại thành góc nên 10 tia tạo với tia cịn lại thành 9.1090góc Nhƣng góc đƣợc tính lần Vậy có 90 :  45(góc)

Chú ý: Tổng quát với n đƣờng thẳng qua điểm O, ta có số góc là:

2 (2 1)

(2 1)

n n

n n 

  (bạn đọc tự chứng minh) b) Các góc nhỏ góc bẹt hình có 45 5 40 (góc)

Mỗi góc 40 góc có góc đối đỉnh với tạo thành cặp góc đối đỉnh Vậy có 40 : 220 cặp góc đối đỉnh

x

2 y

-2 x

Chú ý: Tổng quát với n đƣờng thẳng, ta có (2 1) ( 1)

n n n n n    

cặp góc đối đỉnh nhỏ góc bẹt

Nếu kể cặp góc bẹt đối đỉnh có n2cặp góc đối đỉnh (bạn đọc tự chứng minh) c) Có 10 góc khơng có điểm chung, tổng chúng 3600

, vơ lí Vậy phải tồn góc lớn 360

§2 Hai đƣờng thẳng vng góc 4. (h.48)

0 90 O  O

0

4 180 90

O  MONO  O

Do O1O2 nên O3 O4 Do ONlà phân giác cùa góc BOC

5. (h.49)

a) xOtzOtxOz900neânxOt900zOt

0

90 neân 90

yOzzOt yOt yOz zOt

Vậy xOt yOz b)

0 0

( )

( ) 90 90 180

xOy zOt xOz zOy zOt

xOz zOy zOt xOz yOt

    

      

6. (h.50)

Hãy chứng minh tổng mOxxOzzOn 1800

§3 Dấu hiệu nhận biết hai đƣờng thẳng song song

7. Hai góc so le COD D (bằng 900) nên OC // DE

0 0

AOC360 90 140 130

Hai góc so le AOC A (bằng130 ) nên AB // OC 8. Xét hai trƣờng hợp:

a) (h.51a) Nếu tia Am thuộc miền góc xOy phải có OAm =180 - α b) (h.51a) Nếu tiaAmthuộc miền ngồi góc xOy

thì phải có OAm = α

4

O

N

B C

M

A

Hình 48

z

t

x O

y

Hình 49

O

m y

t

n z

x

O

d'4

d'3

d'2

d'1

d4

d3

d2

d1

9. a) Chứng tỏ A + ABm =180

b) Tính CBm , chứng tỏ C + CBm =180

§4 Tiên đề Ơ – clit Tính chất hai đƣờng thẳng song song

10 (h.52) a) Vẽ Bm // Ax cho Bmnằm góc ABC Bm // Cy Do ABm = A, CBm = C

suy ABm + CBm = A + C , tức ABC = A+ C

b) Vẽ tia Bm so cho góc ABm góc A hai góc so le ABm A Chứng tỏ Ax

Cycùng song song với Bm

ình 52 ình 53

11. (h.53)AE // BD , cát tuyến AB nên A = B (so le trong) 1

AE // BD, cát tuyến EC nên E = B (đồng vị)

Do A = B nên 1 A = E tức BAE = BEA

12. (h.54) Kí hiệu nhƣ hình vẽ

AE // DC HEB = EFD E =F 1

Hai góc đồng vị E , F nên 1 Em // Fn

13. Trƣớc hết ta xét hai góc xOy x'O'y' hình 55 có

Ox // O'x', Oy // O'y', ta gọi hai góc hai góc có cạnh tƣơng ứng song song “ chiều” Dễ thấy xOy = x'Oy' xIy'

m y

A x

B

C

2

1

1

x

D A

E B C

2 1

2 1

n m H

F E

D C

B A

Hình 56

α I

K

E

C B

A

Hình 57

2 1

x

E

C B

A

Hình 58

Gọi năm đƣờng thẳng cho d , d , d , d , d Qua diểm O bất kì, vẽ năm đƣờng thẳng

1

d' ,d' ,d' ,d' ,d' tƣơng ứng song song với năm đƣờng thẳng cho (h.56)

Trong năm đƣờng thẳng d' ,d' ,d' ,d' ,d'1 5cũng khơng có hai đƣờng thẳng trùng nhau, nên có 10 góc đỉnh O khơng có điểm chung có tổng 360 Tồn góc nhỏ

0

360 :1036 Góc góc có cạnh tƣơng ứng song song “cùng chiều” với

Vậy năm đƣờng thẳng cho, tồn hai đƣờng thẳng tạo với góc nhỏ

36

CHƢƠNG II TAM GIÁC §5 Tổng ba góc tam giác

14. (h.57) BIC = 90 +0 α, BKC = 90 - α, BEC = α

2 2

15. a) Kẻ tia BD áp dụng tính chất góc ngồi tam giác

Đáp số:

a + b + c = ADC = 90

b) Chú ý m - p = ACB

Đáp số

m + n - p = 180

16.(h.59) Đặt ABC = B

Cách E = A1 C

2 E = B A mà A1  A2nên 2E = B C Vậy

B C

E =

2 

Cách 2.BAx = B C nên 2

B C B C B C

A , E B A B

2 2

  

     

17. a) Đặt BACA Ta có ADC ADB 180  

I

x' x y'

O' O

y

C D

H B

A

Hình 59

2 3 1

3

2 1

n

m

x y

B

O A

Hình 60

E D

C B

A

Hình 61 Hình 62

A A

ADC ADB B + +

2

B C = 

   

     

   

 

C

Do ADC 90 , ADC 90

2

 

     

b) Trong tam giác HAD ta có

0 0

90 90 90

2

 

 

     

 

HAD ADH

Chú ý: Sẽ thiếu xác tính HAD BADBAH điểm H nằm ngồi đoạn thẳng BC Xem thêm 71

18 (h.60). Gọi A2 , B1 A3 180 2 , B3 180 2 nên A3B3 360 2(  )

Do Am Bn// nên 3602(  ) 180  Suy

90

  

  Vậy xOy 90

19. Xét hai trƣờng hợp :

a) BECBDC (h.61) A ACE  A ABD nênACE ABD, suy BC



BEC BDA (h.62) A ACE BCD CBD tức là: b)

C B C B

A C A 2A C B

2 2

         3A   A C B 180  A 60

D E

C B

2 1

2 1

G

H E

B D

K

C A

Hình 63

M

C B

A

Hình 64

C

D

B A

Hình 65 Hình 66

Do B C 120 Vậy BC B C 120 20 (h.63). Gọi G giao điểm CK AE, H giao điểm BK DE

Xét KGB AGC ta có K B 1 A C1  1 Xét KHC DHB ta có K C  D B2  2

Do B1 B ,2 C1 C2, nên cộng  1 với  2 ta đƣợc 2K A D ,

A D

K

 

§ Trƣờng hợp thứ tam giác cạnh – cạnh – cạnh

21 (h.64) ABC CMA c c c  Suy ACBCAM Do AM BC//

22 (h.65) ABC ADE c c c  suy BACDAE Ta lại có BACDAE180 nên 90

  

BAC DAE

23 a) (h.66)

( )

ACD BCD c c c suy ACDBCD Do CD tia phân giác ACB b) Nếu ADAC (h.67a) CD tia phân giác ACB

Nếu ADAC(h.67b) kết luận câu a khơng Trong trƣờng hợp này,CD tia đối tia phân

giác

D C C

E

D

C B

Hình 68

Hình 69

K y

x H

B A C

O

Hình 71 Hình 70

của góc ACB

a) Hình 66 b)

§7 Trƣờng hợp thứ hai tam giác cạnh – góc - cạnh

24 (h.68)

a) AOC BOC c g c(   ) nên ACCB

b) OACOCB mà OCA OCB 180 nên OCA90 Vậy ABOC

25 (h.69) a) Chú ý AMB CMK c g c( )

b) Xét AMKvà CMB

26 (h.70). Chứng minh AM AN M N A, , thẳng hàng

27 (h.71) a) OBvà OCcùng OA b) BOC2

28 ( H.72) Gọi H giao điểm AD BE

Ta có AHB AHE c g c( ) Từ chứng minh đƣợc AHBE nên ADBE

M

K C B

A

x y

C

A B

O

D E

C B

N

29 ( H.73 or H.23) Gọi H giao điểm m AB Ta có AHC BHC c g c( ) nên CH tia phân giác góc ACB Cịn Cn tia phân giác góc BCx, kề bù với góc ACB

Do CHCn tức m Cn

30 ( H.74)

( )

AOD BOC c g c

   suy A B OA OB , 

( )

AOE BOF c g c

   suy AOE BOF

Ta lại có AOE EOB 180 nên BOF EOB 180

Suy hai tia OE OFđối nhau, tức ba điểm E O F, , thẳng hàng

( )

ABC BAD c g c

   suy B1 A1 Do BC AD// nªn ADCBCD

32 ( h.76) ABH KCA c g c( ) suy AHAK

33 ( h.77) a) Để chứng tỏ DE2AM, ta tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách lấy K tia đối tia

MA cho MK MA , ta chứng minh

AKDE

Dễ thấy AC BK , AC BK// Xét ABK DAE

, ta có ADAB, BKAE (cùng AC ),

ABKDAE ( bù với góc BAC ) Do

( )

ABK DAE c g c

   , suy AKDE.Vậy

DE

AM Gọi H giao điểm MA DE Ta có BAK DAH  90 nên D DAH  90 ,

90

AHD 

§8 Trƣờng hợp thứ ba tam giác góc – cạnh – góc 34 ( h.78)

a) ABE ACD c g c( ) suy BD CE

b) KBD KCE g c g 

Hình 72

D

E A

B C

x

n m

Hình 23

H

A B

C

x

y

H

Hình 77 Hình 76

K D

M K

H

E D

A

B C

A

35 ( h.79)

Chú ý A 60 nên B C 120 , IBC ICB 60 BIC120 , BIE CID 60  Vẽ tia phân giác góc BIC, cắt BC K Chứng minh ID IE IK

36 (h.80)

Gọi K giao điểm CO BD Ta có AOC BOK(g.c.g) suy OCOK AC, BK ( )

COD KOD c g c

   suy CDDK Do CDDBBKDBAC

31 ( h 75)

( )

ABC BAD c g c

   suy B1 A1 Do BC AD// nªn ADCBCD

32 ( h.76) ABH KCA c g c( ) suy AHAK

33 ( h.77) a) Để chứng tỏ DE2AM, ta tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách lấy K tia đối tia

MA cho MK MA , ta chứng minh

AKDE

Dễ thấy ACBK, AC BK// Xét ABK DAE

, ta có ADAB, BKAE (cùng AC ),

ABKDAE ( bù với góc BAC ) Do

( )

ABK DAE c g c

   , suy AKDE.Vậy

DE

AM Gọi H giao điểm MA DE Ta có BAK DAH  90 nên D DAH  90 ,

90

AHD 

§8 Trƣờng hợp thứ ba tam giác góc – cạnh – góc 34 ( h.78)

a) ABE ACD c g c( ) suy BD CE

b) KBD KCE g c g 

Hình 79 Hình 78

K I

E D

E

B E

A

B A

D

C

Hình 75

1 1

Hình 74 F

C O

A

B D

A

B

E C

D

x

y

H

Hình 77 Hình 76

K D

M K

H

E D

A

B C

A

35 ( h.79)

Chú ý A 60 nên B C 120 , IBC ICB 60 BIC120 , BIE CID  60 Vẽ tia phân giác góc BIC, cắt BC K Chứng minh ID IE IK

36 (h.80)

Gọi K giao điểm CO BD Ta có AOC BOK(g.c.g) suy OCOK AC, BK ( )

COD KOD c g c

   suy CDDK Do CDDBBKDBAC

37.(h.81) Qua E vẽ ED//AC ADEG Sau chứng minh BDFH cách chứng tỏ

 

BDE FHC g c g

  

38 (h.82)

a) Ta có B1A2 (cùng phụ với A1 ) (cạnh huyền – góc nhọn)

suy AH  CK b) Ta có: AH  CK Tƣơng tự AK  BH

Do AH  AK  CK BH Vậy HK  CK  BH 39 Cách (h.83)

Vẽ AI DE, đƣờng thẳng IA cắt BC M AED

 CAM có:

E CAM (cùng phụ với EAI )

AE  AC

EAK  ACM (cùng phụ với CAH ) Do AEKCAM g c g( ), suy EKAM

Tƣơng tự ADKBAM g c g , suy DK  AM Vậy DK EK

Cách (h.84) Qua E kẻ đƣờng thẳng song song vớiAD, cắt AKởF, FEA BAC có FEABAC

(cùng bù với DAE ), AE  AC, EAF C (cùng phụ với HAC ) nên

 ,

FEA BAC g c g

   suy EF  AB Từ EF  AD,

 ,

KAD KFE g c g

   suy DK  KE

Hình 79 Hình 78

K I

E D

E

B E

A

B A

D

C

H G D

A

C

B E F

Hình 81

x

y

Hình 80

D

O

A B

C

K

d

Hình 82

1

1

K

H

B

A

C

N K

A D

Cách 3.(h.85) Kẻ DM EN, vng góc vớiAH Chứng minh tƣơng tự nhƣ 38a, ta đƣợc

AH  DM Tƣơng tự AH  EN

Suy DM  EN, KMDKNE g c g , DK  KE §9 Tam giác cân

40 (h.86) a) Chứng minh ADEC (cùng 180

A



)

b)ABD ACE c g c 

41 (h.87) ABD cân B nên 180

2 B ADB  AEC

 cân C nên 180

2 C AEC  

Do 360 ( ) 135

2

B C

ADBAEC    Vậy DAE45

42. a) (h.88) Đặt BAC A

Ta có B A C1,  A2 nên B  C A1 A2  A

Do B C  A 180 nên A90

b) (h.89) Trên tia MA lấy D cho

2 BC

MD D nằm M A Ta có

Hình 84

K

H B

A

C D

E F

Hình 86

E D

B

A

C

D

Hình 87

A

E C

Hình 89 M D

B A

C

2

Hình 88

M A

,

BAM BDM CAM CDM nên BACBDC 90 c) Chứng minh tƣơng tự câu b

43.(h.90) Đặt BAC A Cách Ta có

2 A B D nên

 

 

1 1 1 = + = + + + + + = = 2

+ + + 180 +

= = = 90 +

2 2

A

CBD B B B

B C A

B A

A B C



  

Cách Ta có

1

1 1

= + B = + = + 90 -

-2 2

A B C

CBD B B B  

 

-

=90 + = 90 +

2

B C 

44 (h.91)

Ta có AMDCMB c g c  nên A1C AD1, CB AE, CF Ta có MAE MCF c g c 

nên MEMF AMECMF, EMF 60 Tam giác cân MEF có góc 60 nên tam giác

45 (h.92) Chú ý ABD vng có

30

B nên =1

2

AD BD (ví dụ 1(a)) Đáp số: BD4cm

46.(h.93) Sử dụng giả thiết AE  ABAC, tia AE ta lấy AD AB DE AC

ABD

 cân có BAD60 nên tam giác đều, suy ADDB

 

DBE ABC c g c B B

     BEBC Ta lại có

1 60

B B  nên B2B3 60

BCE

 cân B có CBE 60 nên tam giác

47. (h.94) Để chứng minh AO AD, ta xét chúng cặp cạnh tƣơng ứng hai tam giác Để tạo tam giác AOB, tia DB ta lấy DE OB.Ta chứng minh

AOB ADE

  

Chú ý OABDBEEDBE OB OE nên AOE cân Đặt BOH 

AOE   DO AOE cân O nên AEB90 

Mặt khác ABE OBH 90 .Do AEB ABE, suy AE AB, AED ABO Ta có AOB ADE c g c  suy AO AD

Vậy AOD cân 48. (h.95)

Gọi E I, giao điểm MC với Oy Ox, , ta có EOI

 Vẽ EH MA EK, OI Dễ dàng chứng minh đƣợc MH MB EK, OC nên

MA MB MA MH HAEK OC Chú ý: Gọi Ox’ tia đối tia Ox Nếu Mnằm góc đối đỉnh với góc yOz ta có kết Nếu Mnằm góc zOx’ góc đối đỉnh với MB MA OC Nếu Mnằm góc

xOy góc đối đỉnh với MA MB OC

49 (h.96) Kẻ CECD Đặt CEa ED2 a Trên BClấy M N, cho 40 ; 40

BAN  CAM 

Ta có MAN 60 ,CAE40 NAB MAC  EAC g c g  nên NBMCECa Tam giác MAN Đặt AM MN b AEb

Do AD b ,a BC b a Vậy BCAD

50 (h.97)

a) Ta có ABE ADC c g c  nên ABE ADC suy BMDBAD60 , 120

BMC 

b) Trên tia MD lấy MF MB MBF đều, MBF 60 Ta thấy F nằm M D (xem ý dƣới), MBA FBDc g c  suy AMBDFB120

Chú ý:

1 Do góc ABC nhỏ 120 nên tia BE nằm hai tia BA BC, tia CD nằm hai tia CA CB, M nằm ABC

2 Do tia BE nằm hai tia BA BC, MBF 60 ;ABD60 nên Fnằm M D Bài toán cho ta cách dựng điểm M ABC (có

góc nhỏ 120 ) cho BMC AMB AMC

51 (h.98) Ta chứng minh BA BK cặp cạnh tƣơng ứng hai tam giác

Cách Chú ý ABC 50 ,KBC10 ,mà

50 10 60 góc tam giác Ta vẽ EBC

x

Hình 96 b

b

a 2a

E

B

C A

N M

y

t z

Hình 95

x x'

B

K

H E

C

O A

M

I

Hình 97

M

B C

A D

E F

E

I A

“trùm lên” ABC (tức Evà A phía đối vớiBC) ABE 60 50 100

 

E E

BA CA c c c

   nên BEA30 Do BAE BKC g c g , suy BABK Vậy ABK cân BAK 70

Cách Vẽ tia phân giác góc ABK, cắt đƣờng thẳng CK I IBC cân, IBIC

 

BIA CIA c c c

   nên BIACIA120

Do BIA BIK g c g , suy BABK BAK 70 Cách (h.99) Vẽ tam giác ACE (E B phía

AC) BCE10 ABE

 cân Acó BAE 20 nên ABE 80 ,do

0

30 CBE 

 

KBC ECB g c g

   nênBK CE Do BK BA

0

70 BAK 

52.(h.100) Để chứng minh AEB ACB45 , ta tạo góc kề với gócACB , góc AEB chứng minh tổng góc với góc ACB 450

Trên tia đối tia AB, lấy điểm H cho AH  AB.Qua H vẽ đƣờng thẳng song song với AD, qua Dvẽ đƣờng thẳng song song với AH, chúng cắt K Ta chứng minh BCK 450 cách chứng minh BCK vuông cân

Ta có HBK  DCK c g c  nên KBKC, K1 K3 Ta lại có

2

K B nên K2K3 B1K190 Do BKC vuông cân K nên C1C2 45 Nhƣng C2 E1 AEB DCK c g c  nên

0

1 45

C E  53 (h.101)

0 0

1 20 40 60

D B  C  

Trên cạnh BC lấy điểm K Esao cho BDK 60 ,

0

D 80 B E 

  1 

BDA BDK g c g DA DK

    

D B E

 có BDE 80 ,0 B2 200nên E180 Ta lại có

0 0

2

DKED B 60 20 80 nên DKE cân D, suy

 



DK KE

0 0 0

1

180 180 60 80 40 EDC D BDE     C

DEC

  cân E DEEC 3  Từ      1 , , suy ADEC Do BCBEECBDAD §10 Định lí Py-ta-go

54. a)(h.102) Kẻ AH BD Đáp số: x 808,9

Hình 99 C B K E A C Hình 100 1 1 B A H K E D Hình 101 2 1 D A

b) (h.103) Gọi K giao điểm AB BE Đáp số: x5 c) (h.104) Ta tính đƣợc

72,

AH  HC2 49 Vậy x7

d) (h.105) ABD vng có B1300 nên BD2AD2x (xem ví dụ 10)

D B C

 có B2 C nên tam giác cân D, DCBD2x

Nhƣ ADDC x 2xAC3 x Do AC3 nên x1

Chú ý: Ta cịn có BD2,DC2 Áp dụng định lý Py-ta-go ABD:

2 2 2

D D

AB B A    nên AB

55. Ta có

5 12 AB  AC

suy

2 2 2

26 25 144 25 144 169 169 AB  AC  AB AC  BC  



Vì

5 12 AB  AC 

Do AB10cm AC, 24cm

56.a) Qua E, kẻ IK BC h( 106) Dễ chứng minh BK  AI KC, ID Ta có:

     

2 2

2 2

2 2 2

1

16

D D

EC EK KC

EK EB BK AI

KC I E EI EI

 

   

    

Từ (1), (2), (3) suy EC2 16AI2  4EI220AI2EI2 Ta lại có: AI2EI2 AE2 9

Từ (4) (5) suyra: EC2 20 11  VậyEC 11 Hình 102

x 4

8

6

A

C D

H

Hình 103 x

1

2

2

E A

K

C

B D

Hình 104

9 11

x

H

B C

A

3

1

Hình 105 x

30°

D A

B

b) (h.107) AC2AB2HC2HB2322182 1024 324 700

 2

2 2

18 32 2500

AC AB BC    Từ đó:

1600

AC  nênx40

c) (h.108) KẻAHBC, nên ta có :HB3,5

2

49 12, 25 36, 75

AH   

2

36, 75 11,5 169 13

x     x

57 (h.109) BH 8 2

16 256 64 192

AH      2

14 192

HC    HC

Có hai trƣờng hợp:

- NếuC90thìBC  8 10(cm) (h.109a) - NếuC90thìBC  8 6(cm) (h.109b) Vậy câu trả lời Dlà

58 (h.110) VẽBICvng cân có đáyBC(I vàAcùngphíađốivớiBC) Hình 106

x

4

K B

D C

A

I

E

Hình 107 x

32 18 H

B

A

C

Hình 108 120°

8 x

H C

A

B

b) 14 16

60°

a)

Hình 109 60°

14 16

A

H

B C

A

Hình112

K

E D

A

B C

45 , 15 , 15

CIB  IBD  DBA 

( )

IAB IAC c c c nênIABIAC15

( )

IAB DBA g c g nênIB AD XétBICvng cân, ta có:

2 2

2

BI IC BC  

2BI

 

2( )

BI cm

 

Do đóAD 2 cm

59 Các ba số ba cạnh tam giác vuông là:5,12,13,9,12,15,12,16, 20

60. (h.111) TínhCD2 29,EC2 10.KẻEH D Ta có:

2 2 2

4 41

DE DH EH   

Ta thấy 2

DE CD EC nênDCE90

§11 Các trƣờng hợp tam giác vuông

61 (h.112)ABD ACE (cạnh huyền – góc nhọn)

suyraAD AE

ADK AEK ( cạnh huyền - cạnh góc vng)

Suyra DAK EAK

62.Cách (h.113) Trên tia đối tia MAlấyDsao choMDMA, sau chứng minh rằngACDcó hai góc

Cách ( h.114) KẻMH AB MK, ACrồi chứng minh MH MKvàBC Cách Chứng minh phản chứng

Hình 110

D I A

C

Hình 113

M

B C

A

D

Hình 113

K H

M

B C

A

Hình 111

E

A B

H

x y

D

Giả sửABAC (h.115)

Trên cạnhABlấyDsao choAD AC Ta cóAMD AMC c g c ,

Suy D1C (1)

MDMC.Ta lại cóMBMCnênMBMD.Do đóMBDcân M,

Suyra BD2 (2)

Từ (1) (2) ta có: B C D1D2 180, vơ lí

Giả sửABAC.Cũng chứng minh tƣơng tự dẫn đến mâu thuẫn VậyABAC

63. (h.116)

ABH CAK( phụ vớiBAH)

ABH CAK( cạnh huyền – góc nhọn) suy raBH AK

Do 2 2

BH CK AK CK (1) Xét tam giác vngACK, theo định lí Py-ta-go:

2 2

AK CK  AC (2)

Từ (1) (2) suy raBH2CK2 AC2( số)

Vậy 2

BH CK có giá trị khơng đổi 64. (h.117)

a) ABD HBD (cạnh huyền – góc nhọn)

BA BH

 

b) Qua B, kẻ đƣờng vng góc vớiEK,cắtEKtạiI Ta cóABI 90

Hãy chứng minh

3

B B cách chứng minh HBK IBK( cạnh huyền – cạnh góc vng) Từ suy raDBK45

Mệnh đề thuận, đảo, phản, phảnđảo 65. Cho ABC(h.118)

Bài toán thuận: AB AC A, 1 A2 BC AE//

d K H K

H

B

A d

B

A

C C

Hình 115

1

M B

A

C D

Hình 116

hình 117

3

2

H

K I

A E

B

Mệnh đề đảo (sai):

1

//   , 

BC AE AB AC A A Mệnh đề đảo ( đúng):

1

, //

  

AB AC BC AE A A Mệnh đề đảo (đúng):

1 2, //   A A BC AE AB AC

Bài đọc tự chứng minh toán thuận mệnh đề đảo 66 Bài đọc tự chứng minh toán thuận

Bài toán đảo: Cho tam giácABC Trên cạnhABlấy điểmD,trên tia đối

của tiaCA lấy điểmEsao choCEBD.GọiOlà giao điểm củaDEvà BC Chứng minh nếuODOEthì tam giácABCcân tạiA

Chứng minh tốn đảo ( h.119):

Cách 1:

Qua DvẽDK CE// Ta có:   OKD OCE g c g nên

KDCE Do đóKDBD.Vậy DBKcân tạiD, đóABC cân tạiA

Cách 2:

VẽDH vµ EIvng góc vớiBC. Ta cóDHO EIO( cạnh huyền – góc nhọn) suy raDH EI,

DHB EIC( cạnh huyền – cạnh góc vng ) suy raBC.VậyABCcân 67. (h.120)

Bài toán thuận: AB AC B, 75 , CH  AB

2

AB CH

 

Bài toán đảo 1: , ,

2 AB

ABAC CH AB CH 

75

B 

 

Bài toán đảo 2: , 75 ,

2

AB AB AC B  CH 

CH AB

 

Bài toán đảo 3: 75 , ,

2 

   AB  

B CH AB CH AB AC

Hình 118

A

B C

E

Hình 119

O

I H

A

B

C D

K

E

Hình 120

B C

AB AC

 

Đặc biệt hóa 68

VẽABCvng A, kẻAHvng góc vớiBC(h.122),

vµ

ABC ABH

  cóABchung,

,

BACBAH ABCABHnhƣng chúng không

69 VẽABCvuôngở A, AB AC,kẻAHvng góc vớiAB(h.122) AHB vµ CHA thỏa mãn điều kiện giả thiết nhƣng chúng không

70 ( h.123) VẽABDcân A Trên tia đối tiaDBlấy điểmCbất kì, ABCvàADCthỏa mãn điều kiện tốn nhƣng chúng khơng

Hình 123 Hình 124

71 Cách giải với trƣờng hợpB90 , nhƣng nếuB90thì quan hệ

90 , ,

B BAH B C HACBAH ,

2



 A  HAC BAH

DAH BAH DAH

Đều không đúng( xem h.124) Cách giải đúng: ĐặtBACB

Cách ( chung cho trƣờng hợpB90 , B90 , B90) Trong ba trƣờng hợp ta cóH thuộc tiaDBvìABAC

, 90

2

A

ADH  C DAH  ADH

2 2 2

A B C A B C

DAH        C  

   

Cách 2: Xem 17

Cách 3: Xét riêng trƣờng hợpB90 , B90 , B90

Hinh 112

H B

A

C

D A

H B M C

Dễ dàng chứng minh toán thuận, bào toán đảo1 và Chứng minh toán đảo3 nhƣ sau (h.121):

VẽBECđều (EvàAcùng phía đối vớiBC), ta có 15

EBA  GọiKlà trung điểm củaABthì  

EBK CBH c g c , suy raK 90  Bạn đọc tự chứng minh tiếpAEB150 , AEC150 , ABAC

Hình 121

E

H A

B C

K

H B

A

72 Đặc biệt hóa tốn khiOlà giao điểm đƣờng trung trực củaABvàAC, đóAKBHCIbằng nửa chu vi ABC Ta chứng minh điều nàu khiOlà điểm nằm trongABC QuaOvẽ đƣờng thẳng song song với cạnh

ABC(H.125)

Các tam giácODM,OFN, OEG

là tam giác Gọi độ dài cạnh chúng théo thứ tự làa b c, , thìa b c  BC. Ta có

     

AKBHCI  AMMK  BFFH  CEEI

 

3

2 2 2

a b c

c a b a b c BC

     

            

      chu vi ABC

73 ChoA điểm nằm góc vngxOy Vẽ điểmBvàCsao choOxlà đƣờng trung trực

,

AB Oylà đƣờng trung trực củaAC.Chứng minh Olà trung điểm củaBC.(h.126)

Tổng quát hóa

74 Thay điều kiện “M trung điểm củaBC” “M điểm nằm cạnhBCbài toán 75. BỎ điều kiệnA90 Giải: Xem 39

76. Thay điều kiện "BACCDE 90 "bởi "BACCDE" Giải

Cách (h.127) Do BACCDEnên 180

BACBDE  (1)

VẽDH AB DK, ACthì

180

BACHDK  

Từ (1) (2) suy raBDEHDK , từ đóBDH EDK Ta lại cóDH DK Do đóBDH  EDK g c g suy raDBDE

Hình 126

A

O y

x C

B

Hình 125 a c

c b b a

N F

G M

E

D O

I K

H A

Cách 2.(h.128)

LấyMtrênABsao cho AM  AE. Ta cóAMD AED c g c nên AMDAED DM, DE.Ta có BDEC, từ DBMcân D

Suy DM DB.Vậy DBDE Cách (h.129) LấyN ACsao cho

AN NB

Ta có DAB DAN c g c  nên BN DB1, DN.Ta có BE1,suy N1E DE1, DN Từ DBDE

Chú ý: Có thể bỏ điều kiện AC AB Hình 127

H

K

D A

B C

E

Hình 128

D A

B C

M